Einführung in Quantitative Methoden

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Weitere Korrelationsmaße
Inferenzstatistik - Einführung
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
5. Vorlesung
Einführung in Quantitative Methoden
Karin Waldherr & Pantelis Christodoulides
30. April 2014
Waldherr / Christodoulides
Einführung in Quantitative Methoden- 5.VO
1/54
Zusammenhangsmaß für rangskalierte Variablen
Rangkorrelation nach Spearman
I
Zumindest eine der Variablen ordinalskaliert
I
Produkt-Moment-Korrelation zwischen Rangplätzen R(xi ) und
R(yi )
Berechnung:
I
I
I
Falls nicht bereits Rangplätze angegeben, den Ausprägungen
der Beobachtungspaare Rangzahlen zuordnen: der kleinste
Wert erhält Rangplatz 1, usw., getrennt für X und Y
Tritt eine Ausprägung xj0 mehrmals auf (Bindung), erhalten
alle Personen mit dem entsprechenden Messwert als Rangplatz
das arithmetische Mittel der zu vergebenden Rangplätze
Beispiel:
geordnete Urliste: 10, 12, 12, 13, 15
Rangplätze: 1, 2.5, 2.5, 4, 5
2/54
I
Vereinfachte Berechnungsformel:
rsp
P
6 ni= 1 di2
=1−
n(n2 − 1)
mit di = R(xi ) − R(yi )
I
Kontrolle der Rangplatzvergabe:
n
X
R(xi ) =
i=1
n(n + 1)
2
bzw.
n
X
R(yi ) =
i=1
n
X
n(n + 1)
2
di = 0
i=1
I
−1 ≤ rsp ≤ 1
3/54
Beispiel für Rangkorrelation nach Spearman
Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Bewertungen des
Preis-Leistungs-Verhältnisses von 15 Produkten durch NutzerInnen
und eine Expertin?
I
durchschnittliche Bewertung von NutzerInnen auf einer Skala
mit Minimum 1 und Maximum 5 (1 = sehr schlecht, 5 = sehr
gut) und
I
Expertin (Rangreihung; 1=schlechtestes
Preis-Leistungs-Verhältnis)
4/54
Beispiel für Rangkorrelation nach Spearman
X = durchschnittliche Bewertung von NutzerInnen, Y = Expertin
5/54
Punkt-biseriale Korrelation für Zusammenhang einer
dichotomen mit einer metrischen Variable
I
Abgeleitet aus Produkt-Moment-Korrelation
r
x̄1 − x̄0
n1 n0
rpb =
sx
n(n − 1)
I
Berechnung in SPSS mittels Produkt-Moment-Korrelation
6/54
Beispiel
ALLBUS (2006): Zufallsstichprobe n = 22, Zusammenhang
zwischen Geschlecht und Alter der Befragten; 1 = Mann, 0 = Frau
Person
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Geschlecht
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
Alter
58
45
54
79
46
34
76
63
49
55
32
Person
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Geschlecht
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
Alter
68
64
45
63
20
37
20
52
50
44
57
7/54
n1
X
xi = 518,
n1 = 10,
x̄1 = 51.80
xi = 593,
n0 = 12,
x̄0 = 49.42
i=1
n0
X
i=1
N
X
xi = 1111,
i=1
N
X
xi2 = 61285,
sX = 15.70
i=1
51.8 − 49.42 √
0.26 = 0.077
15.7
⇒ kein Zusammenhang zwischen Geschlecht und Alter
rpb =
8/54
Zusammenhangsmaß für zwei dichotome Variablen Vierfelderkorrelation
I
I
Zwei dichotome Variablen (z.B. richtig/falsch, ja/nein,
Geschlecht, etc.)
Vierfeldertafel
Y
+
X
+
−
f++
f−+
f.+
−
f+−
f−−
f.−
f+.
f−.
f..
Y
X
+
−
+
a
c
a+c
−
b
d
b+d
a+b
c +d
n
9/54
Vierfelderkorrelation
Y
X
+
−
+
a
c
a+c
−
b
d
b+d
a+b
c +d
n
Bei zwei dichotomen Variablen ergibt sich als Spezialfall der
Produkt-Moment-Korrelation der Phi-Koeffizient:
ad − bc
rφ = p
(a + b)(a + c)(b + d)(c + d)
Vorzeichen von rφ ist abhängig vom Vorzeichen der Determinante
ad − bc (positives Vorzeichen bei Überwiegen der Kombinationen
++ und −−, negatives Vorzeichen bei Überwiegen von +- und -+)
10/54
Beispiel
Zusammenhang zwischen zwei Fragen in einem Test, die mit
richtig (+) und falsch (−) bewertet werden. 1121 Personen haben
an dem Test teilgenommen, 542 Personen haben Frage 1 richtig
beantwortet, 860 Personen haben Frage 2 richtig beantwortet und
446 Personen haben beide Fragen richtig beantwortet,
Frage 1
+
−
Frage
+
446
414
860
2
−
96
165
261
542
579
1121
446 ∗ 165 − 414 ∗ 96
33846
rφ = √
=
= 0.13
265404.57
542 ∗ 579 ∗ 860 ∗ 261
nur sehr geringer positiver Zusammenhang zwischen den zwei
Fragen
11/54
Kontingenztafel - Zusammenhangsmaß Chi-Quadrat (χ2 )
I
Zusammenhang zweier nominalskalierter Variablen
I
vergleicht beobachtete Häufigkeiten, fjl , mit den unter
empirischer Unabhängigkeit erwarteten Häufigkeiten, ejl
k X
m
X
(fjl − ejl )2
ejl
χ2 =
j=1 l=1
mit
ejl =
fj. f.l
,
n
fj. , f.l > 0
12/54
Eigenschaften von χ2
I
Quadratisches Maß analog zu Varianz daher stets χ2 ≥ 0
I
Kann nur mit absoluten Häufigkeiten ermittelt werden!
I
χ2 = 0 X und Y empirisch unabhängig
I
Maximaler Wert bei vollständiger Abhängigkeit
χ2 ≤ n min{k − 1, m − 1}
I
mit k = Zahl der Zeilen, m = Zahl der Spalten; ’min’
bedeutet, die kleinere der beiden Zahlen ⇒ χ2 abhängig vom
Stichprobenumfang n und daher nach oben unbeschränkt
13/54
Kontingenzkoeffizient nach Pearson
I
s
C=
I
χ2
n + χ2
Untere und obere Schranke:
s
min{k − 1, m − 1}
0≤C ≤
<1
min{k, m}
mit k = Zahl d. Zeilen, m = Zahl d. Spalten
I
⇒ Wertebereich abhängig von Dimension der betrachteten
Kontingenztafel
14/54
Korrigierter Kontingenzkoeffizient
s
Ck = C
min{k, m}
min{k, m} − 1
0 ≤ Ck ≤ 1
15/54
Beispiel Kontingenzkoeffizient
Zusammenhang zwischen Wohngebiet (Ost- vs. Westdeutschland)
und Konfession
Erhebungsgebiet
Ostd.
fjl
ejl
Westd.
fjl
ejl
Gesamt
Evang.
905
798
284
391
1189
Konfession
Röm.- andere
Kath. andere
838
165
593
127
45
25
290
63
883
190
keine
377
767
765
375
1142
Gesamt
2285
1119
3404
16/54
χ2 =
(905 − 798)2 (838 − 593)2
(765 − 375)2
+
+...+
= 990.03
798
593
375
(Max. möglich: 3404 x 1)
r
C=
(Max. möglich:
q
1
2
990.03
= 0.47
4394.04
= 0.707)
r
Ck = 0.47
2
= 0.66
1
17/54
Zufallsexperiment und Ereignisraum
Inferenzstatistik
I
Schluss von Zufallsstichprobe auf Population
I
Grundlage: Wahrscheinlichkeitsrechnung
I
Zentral: Zufallsprozesse (Ausgang unsicher, nicht mit
Sicherheit vorhersagbar)
18/54
Stochastik
I
die Kunst des Vermutens (altgriechisch)
I
Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff geht zurück auf 17.
Jahrhundert (Frankreich): Wirksamkeit von ’Zufallsgesetzen’
bei Glücksspielen.
I
Mathematik setzt Vorstellung von Zufall voraus (= Modelle
von Situationen, deren Ausgang unsicher ist).
I
Keine Einzelereignisse vorhersagbar, aber:
I
Erkennen von Regelmäßigkeiten bei Vorgängen, deren
Ergebnisse vom Zufall abhängen.
I
Zentraler Begriff: Zufallsexperiment
19/54
Zufallsexperiment
I
(Im Prinzip) Beliebig oft wiederholbarer Vorgang, der nach
bestimmter Vorschrift ausgeführt wird, wobei das Ergebnis
vom Zufall abhängt, d.h. der Ausgang kann nicht eindeutig
im voraus bestimmt werden.
I
Folge von gleichartigen, voneinander unabhängigen Versuchen
möglich.
I
Entweder Folge voneinander unabhängiger Versuche mit
einem Objekt oder jeweils einmaliger Versuche mit
”gleichartigen” (unabhängigen) Objekten.
I
Beispiel 1: Ein Würfel wird wiederholte Male geworfen und es
wird beobachtet, wie oft jede Zahl kommt.
I
Beispiel 2: Parteipräferenz bei weiblichen Jugendlichen
zwischen 16 und 18 Jahren.
20/54
I
Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines
Zufallsexperimentes bezeichnet man als Ergebnisraum Ω.
I
Die Teilmengen, die nur ein Ergebnis eines
Zufallsexperimentes enthalten, heißen Elementarereignisse ω
I
Beispiel: ’Einmaliges Würfeln’: Elementarereignisse sind {1},
{2}, {3}, {4}, {5}, {6}. Ergebnisraum Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
I
Ereignis A: Zusammengefasste Ergebnisse, z.B. alle geraden
Augenzahlen beim Würfeln. A ⊂ Ω
21/54
Sicheres Ereignis und Unmögliches Ereignis
I
Sicheres Ereignis: Jenes Ereignis, welches unter gegebenen
Bedingungen immer eintritt.
I
Unmögliches Ereignis: Jenes Ereignis, welches unter
gegebenen Bedingungen nie eintritt.
22/54
Einander ausschließende Ereignisse
Zwei Ereignisse A und B heißen einander ausschließend, wenn sie
niemals gemeinsam auftreten.
23/54
Zusammengesetzte Ereignisse A ∧ B (Durchschnitt - ’und’)
Unter dem Ereignis A ∧ B versteht man jene Ergebnisse, die sowohl
zu A als auch zu B gehören (d.h. sowohl A als auch B treten ein).
24/54
Zusammengesetzte Ereignisse A ∨ B (Vereinigung - ’oder’)
Unter dem Ereignis A ∨ B versteht man jene Ergebnisse, die
entweder zu A, oder zu B, oder zu beiden gehören (d.h.
mindestens eines der Ereignisse A oder B tritt ein).
25/54
A ohne B, A\B
Unter dem Ereignis A\B versteht man jene Ergebnisse, die zu A
gehören, aber nicht gleichzeitig zu B.
26/54
Komplementäres Ereignis
Komplementärereignis A: Jenes Ereignis, welches genau dann
eintritt, wenn A nicht eintritt (Ω\A).
27/54
Komplementärereignis zu A ∧ B (A ∧ B)
Unter dem komplementären Ereignis A ∧ B versteht man jene
Ergebnisse, die nicht zu A ∧ B gehören.
28/54
Kombinatorik
I
Hinderer (1980): ’Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
dient der Beschreibung von beobachteten Häufigkeiten bei
beliebig oft wiederholbaren Vorgängen, deren Ausgang nicht
vorhersehbar ist.’
I
Würde man (theoretisch) unendlich oft eine faire Münze
werfen, könnte man beobachten, dass sich mit wachsender
Anzahl n der Münzwürfe die relativen Häufigkeiten der beiden
Elementarereignisse {Kopf} und {Zahl} stabilisieren, und zwar
bei 0.5. D.h. die relativen Häufigkeiten streben einem
Grenzwert zu = empirisches Gesetz der großen Zahlen.
29/54
Kombinatorik
Definition der statistischen Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses A, P(A),
ist jener Wert, bei dem sich die relative Häufigkeit rn (A) bei
n → ∞ Versuchen unter gleichen Bedingungen stabilisiert.
P(A) = lim rn (A)
n→∞
30/54
Kombinatorik
Laplace-Wahrscheinlichkeit
I
Zufallsexperimente mit endlich vielen Ergebnissen
I
alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich
I
Wahrscheinlichkeit für ein beliebiges Ereignis A
P(A) =
I
Anzahl der für A ’günstigen’ Ergebnisse
Anzahl aller möglichen Ergebnisse
Beispiele: P(K ) bei Münzwürfen =
P(1) beim Würfeln =
1
6
1
2
= limn→∞ rn (K )
= limn→∞ rn (1)
31/54
Kombinatorik
Beispiele
I
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei Lotto 6 aus 45 sechs
Richtige zu haben?
I
In der Sendung ’Millionenshow’ müssen zu Beginn 10
TeilnehmerInnen eine Auswahlfrage beantworten, bei der
jeweils 4 Objekte den Buchstaben A bis D zuzuordnen sind.
Sei die Frage z.B. ’Ordnen Sie folgende Seen nach ihrer
Größe, beginnend beim kleinsten: 1) Titicacasee, 2)
Chiemsee, 3) Michigansee, 4) Bodensee. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit durch reines Raten die richtige Reihenfolge
zu finden?
32/54
Kombinatorik
Kombinatorik
I
Grundlage für Wahrscheinlichkeitsrechnung
I
Rechenregeln zur Berechnung von:
I
In wie vielen unterschiedlichen Reihenfolgen können n
Elemente angeordnet werden? = Permutationen
Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus n Elementen eine
Teilmenge von k Elementen auszuwählen? = Kombinationen
I
1. mit oder ohne Wiederholung (= mit oder ohne Zurücklegen)
2. mit oder ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
33/54
Kombinatorik
Permutationen ohne Wiederholung
Permutation = jede Anordnung einer endlichen Anzahl von
Elementen, bei der alle Elemente verwendet werden
Beispiel: 3 verschiedene Geschenke sollen auf 3 Kinder aufgeteilt
werden
1. Geschenk: 3 Möglichkeiten (allgemein:n) →
2. Geschenk: 2 Möglichkeiten (allgemein: n − 1) →
3. Geschenk: 1 Möglichkeit
⇒ allgemein: n(n − 1)(n − 2) . . . 1 = n! Möglichkeiten
Anmerkung: n! = n Fakultät = 1 · 2 · . . . · n (z.B.
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24); 0! = 1
34/54
Kombinatorik
Permutationen mit Wiederholung
Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Elemente, die sich in m
verschiedene Typen (Klassen) mit je k Elementen unterscheiden
lassen, anzuordnen? Z.B. n = 4 Geschenke, m = 2 Klassen,
k1 = 2, k2 = 2, (d.h. je 2 Geschenke sind gleich)
n Elemente → n! verschiedene Anordnungsmöglichkeiten
m verschiedene Klassen mit k1 , k2 . . . , km nicht unterscheidbaren
Elementen
k1 !k2 ! . . . km ! Anordnungsmöglichkeiten nicht unterscheidbar
⇒
n!
k1 !k2 ! . . . km !
verschiedene Anordnungsmöglichkeiten
35/54
Kombinatorik
Spezialfall m = 2 Klassen
I
Hier gilt:
n!
=:
k!(n − k)!
I
I
n
k
= Binomialkoeffizient,
n
k
n≥k
Beispiel: 2 blaue Luftballons, 2 rote Luftballons
4
4·3·2·1
4!
=
=6
=
2
2!2!
(2 · 1)(2 · 1)
36/54
Kombinatorik
Rechenregeln für Binomialkoeffizienten
Es gilt:
n
n!
n
=
=
n−k
(n − k)!k!
k
n
n!
n
=
=
=1
0
0!n!
n
n
n
n!
n(n − 1)(n − 2) . . . 1
=
=
=
=n
1
n−1
1!(n − 1)!
(n − 1)(n − 2) . . . 1
n
n
n!
n(n − 1)(n − 2) . . . 1
n(n − 1)
=
=
=
=
2
n−2
2!(n − 2)!
2(n − 2) . . . 1
2
37/54
Kombinatorik
Kombinationen mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der
Reihenfolge
k Elemente sollen aus n Elementen ausgewählt werden (k Versuche
oder Ziehungen), wobei sich jedes der n Elemente beliebig oft
wiederholen kann (d.h. zurückgelegt wird).
Beispiel: Ziehen von k = 2 aus n = 3 Kugeln, wobei die gezogene
Kugel wieder zurückgelegt wird
→ nk
verschiedene Reihenfolgen
38/54
Kombinatorik
Beispiel
Ein Zahlencode besteht aus 4 voneinander unabhängigen,
nacheinander einzugebenden Ziffern von 0 bis 9. Wie viele
Möglichkeiten gibt es?
n = 10, k = 4
nk = 104 = 10000
39/54
Kombinatorik
Kombinationen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung
der Reihenfolge
Ziehen von k Elementen aus insgesamt n Elementen, wobei jedes
der n Elemente nur einmal gewählt werden kann (d.h. nicht
zurückgelegt wird)
Kugel nicht wieder zurückgelegt wird
n!
4!
=
= 12
(n − k)!
(4 − 2)!
40/54
Kombinatorik
Beispiel
Bei einem Pferderennen sind 8 Pferde am Start. Wie viele
Möglichkeiten gibt es für die Belegung der ersten drei Plätze?
n = 8, k = 3
n!
8!
=
= 336
(n − k)!
(8 − 3)!
Möglichkeiten
41/54
Kombinatorik
Kombinationen ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung
der Reihenfolge
Wie viele Möglichkeiten gibt es k Elemente aus n Elementen in
beliebiger Reihenfolge auszuwählen, wobei jedes der n Elemente
nur ein Mal gewählt werden kann?
Beispiel: Ziehen von k = 2 aus n = 3 Kugeln, Reihenfolge egal
n
n!
=
k
k!(n − k)!
42/54
Kombinatorik
Beispiel
Lotto 6 aus 45
n = 45, k = 6
n
45
45!
45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 40
=
=
=
= 8145060
k
6
6!39!
6·5·4·3·2·1
43/54
Kombinatorik
Kombinationen mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung
der Reihenfolge
Aus n Elementen sollen k Elemente in beliebiger Reihenfolge
ausgewählt werden, wobei sich jedes der n Elemente beliebig oft
wiederholen kann.
Kugel jeweils zurückgelegt wird und die Reihenfolge egal ist
n+k −1
(n + k − 1)!
4!
=
=
=6
k
k!(n − 1)!
2!2!
44/54
Kombinatorik
Beispiel
Gummibärchenorakel: Man wählt k = 5 Gummibärchen aus n = 5
Farben. Wieviele verschiedene Farbkombinationen sind möglich?
n+k −1
5+5−1
9
9!
=
=
=
= 126
k
5
5
5!4!
45/54
Kombinatorik
Kombinationen - Zusammenfassende Übersicht
Berücksichtigung
ja
d. Reihenfolge
nein
Wiederholung (= Zurücklegen)
nein
ja
n!
nk
(n
−k)!
n
n+k −1
k
k
Variationen
46/54
Kombinatorik
Beispiele
I
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei Lotto 6 aus 45 sechs
Richtige zu haben?
1
=
45
6
1
= 0.000000123
8145060
47/54
Kombinatorik
Beispiele
I
In der Sendung ’Millionenshow’ müssen zu Beginn 10
TeilnehmerInnen eine Auswahlfrage beantworten, bei der
jeweils 4 Objekte den Buchstaben A bis D zuzuordnen sind.
Sei die Frage z.B. ’Ordnen Sie folgende Seen nach ihrer
Größe, beginnend beim kleinsten: 1) Titicacasee, 2)
Chiemsee, 3) Michigansee, 4) Bodensee. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit durch reines Raten die richtige Reihenfolge
zu finden?
1
= 0.042
n! Reihenfolgen = 4! = 24 ⇒ 24
48/54
Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung nach Kolmogoroff
Wahrscheinlichkeiten lassen sich durch drei Eigenschaften, die auch
für relative Häufigkeiten gelten, und aus denen sich alle
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten ableiten lassen,
charakterisieren:
1. Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gilt stets:
0 ≤ P(A) ≤ 1.
2. Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses beträgt
P(Ω) = 1.
3. Additionsregel der Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit,
dass eines von k einander ausschließenden Ereignissen auftritt,
ist die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten
P(A1 ), P(A2 ), . . . , P(Ak ).
P(A1 ∨ A2 ∨ . . . ∨ Ak ) = P(A1 ) + P(A2 ) + . . . + P(Ak )
49/54
Rechenregeln
I
Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses B beträgt
P(B) = 0.
Wenn B ein unmögliches Ereignis ist, kann es nie eintreten →
rn (B) = 0 → P(B) = 0.
Achtung: Aus P(B) = 0 folgt aber nicht, dass B ein
unmögliches Ereignis ist. Das bedeutet nur, dass der
Grenzwert der relativen Häufigkeit für n → ∞ Null ist, woraus
aber nicht folgt, dass B nie eintreten kann! (Analoges gilt für
P(A) = 1).
50/54
Rechenregeln
I
P(A) + P(A) = 1, P(A) = 1 − P(A)
A tritt immer dann ein, wenn A nicht eintritt →
rn (A) + rn (A) = 1
Beispiel: Münzwurf: P(K ) + P(Z ) = 0.5 + 0.5 = 1
51/54
Rechenregeln
I
P(A ∨ B) = P(A) + P(B) − P(A ∧ B)
52/54
Beispiele
I
52 Spielkarten, 4 Farben je 13 Karten: P(Herz ∨Dame) =?
P(Herz) =
13
,
52
P(Dame) =
4
,
52
P(Herz ∧Dame) =
1
52
P(Herz ∨ Dame) = 0.25 + 0.08 − 0.02 = 0.31
I
Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Münzwurf das Ergebnis ’Zahl’
ist:
P(Z ) = 1 − P(K ) = 0.5
I
Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Münzwurf das Ergebnis ’Zahl’
oder ’Kopf’ ist:
P(Z ∨ K ) = P(Z ) + P(K ) = 1
53/54
Beispiele
I
Ein Kraftwerk besitzt für den Fall eines Maschinenausfalles
zwei Sicherheitssysteme. System A wird im Falle eines
Maschinenausfalles mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%
aktiviert, System B mit einer Wahrscheinlichkeit von 91%.
Mit 86.45%iger Wahrscheinlichkeit reagieren beide Systeme
gleichzeitig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei
einem Maschinenausfall zumindest eines der beiden Systeme
aktiviert wird?
P(A) = 0.95, P(B) = 0.91, P(A ∧ B) = 0.8645
P(A∨B) = P(A)+P(B)−P(A∧B) = 0.95+0.91−0.8645 = 0.9955
54/54

Einführung in Quantitative Methoden

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