Kleine Formelsammlung zur Klausur - Physik 1

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Kleine Formelsammlung zur Klausur - Physik 1
Kleine Formelsammlung zur Klausur - Physik 1 - 28.02.06
Tabelle 1: Konstanten
Erdbeschleunigung
Erdbeschleunigung
Gravitationskonstante
Gaskonstante
Boltzmannkonstante
Avogadro Konstante
Symbol
g
G
R
kB
NA
Wert
9.81 m / s2
6.6742 · 10−11 N · m2 / kg2
8.3143 J · mol−1 K−1
1.38062 · 10−23 J · K−1 = 8.617 · 10−5 eV · K−1
6.02217 · 1023 mol−1
Tabelle 2: Kräfte F~
Kraft
Formel
Einheit
m·mE
Gewichtskraft
F = m · g = G · R2
N = kg · m / s2
E
RE Erdradius, mE Erdmasse
2
Gravitationsgesetz
F = G · m1R·m
N
2
G Gravitationskonstante, R Abstand der Schwerpunkte der Massen m1 und m2
Hookesches Gesetz (rücktreibende Feder) F = −k · x
N
k Federkonstante [k] = N / m, x Auslenkung der Feder
Spannung = - E · Dehnung (Stab)
σ = F/A = −E · ∆l/l
N / m2
E Elastizizätsmodul [E] = N / m2 , ∆l Auslenkung, l Länge, A Querschnittsfläche
Reibungskraft (feste Körper)
F = µ · FN
N
µ Gleit-,Haft-, bzw. (µ = µR · R) Rollreibungskoeffizient, FN Normalkraft ⊥ Auflagefläche
Reibungskraft wirkt Bewegung entgegen ⇒ Richtung
Tabelle 3: Bewegungen, Ort ~x, [x] = m, Zeit t, [t] = s
Symbol
Formel
x
Geschwindigkeit ~v
~v = ~x˙ = d~
dt
¨ = d22~x
Beschleunigung ~a
~a = ~x
R dt
Geschwindigkeit ~v
~v (t) = R ~adt
Ort ~x
~x(t) = ~v (t)dt
insbesondere gilt für ~a = const., ~v (t = 0) = ~v0 und ~x(t = 0) = ~x0
Geschwindigkeit ~v
~v (t) = ~a · t + ~v0
R
Ort ~x
~x(t) = 0t ~v (t)dt + ~x0 = 21 ~a · t2 + ~v0 · t + ~x0
Einheit
m/s
m / s2
m/s
m
m/s
m
Beachte: Ort ~x = (x1 , x2 , x3 ), Geschwindigkeit ~v = (v1 , v2 , v3 ) und Beschleunigung ~a =
(a1 , a2 , a3 ) sind Vektoren und es git vi = ẋi bzw. ai = ẍi , i = 1, 2, 3.
Tabelle 4: Spezialfall: Kreisbewegung (Radius r)
Symbol
Winkel
Kreisfrequenz, Winkelgeschwindigkeit
Periodendauer
Frequenz
Betrag der Geschwindigkeit
Zentripetalbeschleunigung
(Richtung Kreismittelpunkt)
Zentripetalkraft
Formel
ϕ
ω = ϕ̇ = dϕ
dt
T = 2π/ω
f = 1/T
v =ω·r
an = ω 2 · r = v 2 /r
Einheit
Bogenmaß
1/s
s
1 / s = 1 Hz
m/s
m / s2
F = m · an = m · ω 2 · r = m · v 2 /r
kg m / s2 = N
Tabelle 5: Scheinkräfte im rotierenden Bezugssystem (r’, v’)
Kraft
Zentrifugalkraft
für Kreisbewegung ω
~ ⊥r~0
Corioliskraft
Formel
FZ = −m ~ω × (~ω × r~0 )
F = −m · ω 2 · r0 = −m · v 2 /r0
FC = −2m (~ω × ~v 0 )
Einheit
N
N
N
Tabelle 6: Newtonsche Gesetze, Impuls, Drehimpuls, Drehmoment
Trägheitsprinzip
Aktionsprinzip: Kraft = Masse · Beschleunigung
Actio = Reactio
Impuls
Impulsänderung
Drehimpuls
Drehmoment
Drehimpulsänderung
Formel
F~ = 0 ⇔ ~v = const.
¨
F~ = m · ~a = m · ~x
F~12 = −F~21
p~ = m · ~v
p
F~ = p~˙ = d~
= dtd (m~v )
dt
~ = m · (~r × ~v )
L
~ = ~r × F~
M
~ = ~r × F~ = L
~˙ = dL~
M
Einheit
N = kg · m / s2
kg m / s
N
kg m2 / s
Nm
Nm
dt
ohne äußere Kraft bzw. Drehmoment sind Impuls bzw. Drehimpuls Erhaltungsgrößen
Tabelle 7: Spezialfall: Harmonische Schwingung
Art
ungedämpft
allg. Lösung
Formel
ẍ + ω02 x = 0
x(t) = x0 · cos(ω0 t + ϕ)
Einheit
m
schwache Dämpfung
ẍ + 2β ẋ + ω02 x = 0
allg. Lösung
x(t) = x0 e−βt · cos(ω0 t + ϕ)
m
1
2
erzwungene Schwingung
ẍ + τ ẋ + ω0 x = α0 · sin ωt
α0 = F/m, F treibende Kraft (periodisch), 1/τ Dämpfungsrate, τ charakteristische Zeit
allg. Lösung
x(t) = x0 · sin(ω0 t + ϕ)
mit Phase ϕ
tan ϕ = ω−ω/τ
2 −ω 2
0
q
und Amplitude x0
2
x0 = α0 / (ω02 − ω 2 ) + ω 2 /τ 2
ohne treibende Kraft ergeben sich x0 und ϕ aus Randbedingungen (z.B. Amplitude und Geschwindigkeit zur Zeit t = t0 )
Tabelle 8: Wellen
Art
Formel h
i
Harmonische Welle
y = y0 sin 2π
(ct
−
x)
= y0 sin [(ωt − kx)]
λ
λ Wellenlänge, f Frequenz, ω = 2πf Kreisfrequenz, k Wellenvektor
Phasengeschwindigkeit:
c = λ · f = ω/k
Doppler - Effekt für Schallwellen (Ausbreitung in Medium) ³
´
1
c
Quelle bewegt, Beobachter ruht
f = (λ0 −u/f
=
f
·
0
1−u/c
0)
Quelle ruht, Beobachter bewegt
f = u+c
=
f
·
(1
+
u/c)
0
λ0
dcP hase
Gruppengeschwindigkeit (Wellenpaket) cG = dω
=
c
P hase − λ ·
dk
dλ
Tabelle 9: Rotation starrer Körper
Drehimpuls
Trägheitsmoment
Steinerscher Satz
Is Trägheitsmoment um Achse
Energie eines starren Rotators
Formel
Einheit
~ = Pi mi~ri × ~vi = (Pi mi~r2 )~ω kg m2 / s
L
i
R
P
I = i mi~ri2 = V olumen r2 dm
kg m2
I = M a2s + Is
kg m2
durch Schwerpunkt, as Abstand der dazu parallelen Drehachse
Erot = 1/2 Iω 2
Nm = J
Tabelle 10: Arbeit und Energie
Arbeit/Energie
allg.: Arbeit
Hubarbeit (Höhe h)
Pot. Energie einer um xa ausgelenkten Feder
kinetische Energie
Energie eines starren Rotators
Formel
R
W = W eg F~ d~x
R
W = 0hR m · g dh = mgh
Epot = 0xa k · x dx = 1/2 k · x2a
Ekin = 1/2 mv 2
Erot = 1/2 Iω 2
Einheit
1 Nm = 1 J
Nm = J
In einem abgeschlossenen System gilt Energieerhaltung. Vorzeichenkonvention: Geleistete Arbeit hat negatives Vorzeichen, die entsprechend gespeicherte potentielle Energie hat positives
Vorzeichen.
Tabelle 11: Flüssigkeiten
Formel
Reibungskraft (Kugel in Flüssigkeit) F~ = −γ · ~v = −6πηR~v
η Viskosität, [η] = N s / m2 , ~v Geschwindigkeit, R Radius der Kugel
Auftriebskraft
F = ρF l · V F l · g
ρF l und VF l entsprechen Dichte und Volumen der verdrängten Flüssigkeit
dV
= A · v const., d.h. A1 · v1 = A2 · v2
Kontinuitätsgleichung
dt
stationäre Strömung, V Volumen, A Querschnitt, v Geschwindigkeit
Bernoullis Gesetz
1/2ρv12 + p1 = 1/2ρv22 + p2
Summe aus dynamischen Druck 1/2ρv 2 und statischen Druck p ist konstant.
Einheit
N
N
N / m2
Tabelle 12: Wärmelehre - Zustandsgleichungen
Formel
Einheit
Druck
p=F/A
N/m2 = 1 Pascal = 10−5 bar
Zustandsgleichung - ideales Gas p · V = N · kB T
Van-der-Waals - reales Gas
(p + a/V 2 ) · (V − b) = N kB T
2
a/V Binnendruck, b Kovolumen
Innere Energie
U = f /2N · kB T
f Zahl der Freiheitsgrade (Translation, Rotation,Vibration), f = 3 für einatomiges Gas
Boltzmannfaktor
exp(−E/kB T )
z.B. in barometrischer Höhenformel: ρ(h) = ρ(0) · exp(−mgh/kB T )
Tabelle 13: Wärmelehre - Zustandsänderungen
Formel
isotherm T = konst. p · V = konst.
isochor V = konst.
p/T = konst.
isobar p = konst.
V /T = konst.
adiabatisch δQ = 0 p · V κ = konst. und p1−κ · T κ = konst.
κ = cp /cv Adiabatenkoeffizient
Einheit
Tabelle 14: Wärmelehre - Arbeit und Wärmemenge
Formel
Arbeit, die Gas verrichtet
δW = p dV
δW > 0, Gas verrichtet Arbeit, δW < 0, am Gas wird Arbeit verrichtet
spezifische Wärme bei konstantem Volumen δQ = cv ∆T
d.h. δW = pdV = 0 und δQ = dU
spezifische Wärme bei konstantem Druck
δQ = cp ∆T
d.h. δQ = dU + pdV = cv ∆T + pdV
für Gas (1 Mol): pV = RT und cp = cv + R = (f /2 + 1) · R
Einheit
Tabelle 15: Wärmelehre - Hauptsätze
1. Hauptsatz (Energieerhaltung)
2. Hauptsatz (Entropie)
Wärmekraftmaschine-Wirkungsgrad
Wärmepumpe-Wirkungsgrad
Carnot-Maschine
Formel
dU = δQ − δW
dS ≥ δQ/T wobei dSreversibel = δQ/T
η = abgegebene Arbeit / aufgenommene Wärme
ηW P = abgegebene Wärme / aufgenommene Arbeit = 1/η
η = 1 − TK /TW < 1