Technische Universität München - Lehrstuhl für Aerodynamik und

Technische Universität München
Lehrstuhl für Aerodynamik, Prof. Dr.-Ing. N. Adams
Aerodynamik des Flugzeugs II
SS 2011
Dipl.-Ing. M. Förster, PD Dr.-Ing. C. Breitsamter
Übung 4 – Prandtl-Glauert Transformation
Es sollen der Auftriebs- und Momentenbeiwert der Tragflächen einer Boeing B-717 im
Reiseflug untersucht werden. Der Einfluss von Rumpf und Leitwerk kann dabei
vernachlässigt werden. Der Flügel wird als trapezförmige ebene Platte modelliert. Zur
Ermittlung der aerodynamischen Beiwerte soll das Tragflächenverfahren angewendet werden.
1) Ermitteln Sie die relevanten Geometriegrößen und bestimmen Sie c A und cM für
M  0 .
2) Welche Geometrie nimmt der Flügelgrundriss des Vergleichsflügels nach der 2. Form
der Prandtl-Glauert Transformation an?
3) Welchen Auftrieb produzieren die Tragflächen bei der Reiseflugmachzahl?
4) Welcher Auftriebsbeiwert ist notwendig, um einen stationären Horizontalflug zu
gewährleisten? Gehen sie dabei von einer Gesamtmasse aus, die 80% des maximalen
Abfluggewichts beträgt.
5) Welcher Flügel-Einbauwinkel  sollte gewählt werden, um im Reiseflug eine
horizontale Lage der Kabine zu gewährleisten?
6) Leiten Sie den Druckbeiwert in Abhängigkeit von der lokalen Strömungsgeschwindigkeit und den ungestörten Anströmbedingungen für isentrope Zustandsänderungen her.
1
Dreiseitenansicht Boeing 717-200:
Daten Boeing 717-200:
b = 2s = 28,4 m
mMTOW = 53 524 kg
mC = 0,8  mMTOW
MC = 0,76
HC = 11 000 m
Daten Atmosphäre:
2
Lösung zu Übung 4 – Prandtl-Glauert Transformation
1)
- Spannweite ist gegeben:
b  28,4m
- Maßstab:
1 : 481
- Flügeltiefe im Mittelschnitt:
li = 5,53 m
- Flügeltiefe im Außenschnitt:
la = 0,96 m
- Flügelfläche:
F = (li + la)  b/2 = 92,16 m2
- Zuspitzung:

 = la/li = 0,17
- Streckung:

 = b2/F = 8,75
- Pfeilung der 1/4-Punkt-Linie:

25% = 24°
- Tragflächenverfahren (Aufpunkte in Tiefenrichtung 5, in Spannweitenrichtung 50):
cA , M  0 = 5,25
cM , M  0 = -3,32
2)
- Koeffizient   :
  1  M C2  0,65
- Koordinatentransformation:
xi = x/∞ = x/0,65
zi = z/∞ = z/0,65
yi = y
3
- Zuspitzung:

i = 0,17
- Streckung:

i = ∞ = 5,69
- Pfeilung:
tan 25%i = tan 25% / ∞ = 0,445 / 0,65 = 0,685

25%i = 34,4°
Originalflügel (links), transformierter Flügel (rechts)
3)
- Tragflächenverfahren (Aufpunkte in Tiefenrichtung 5, in Spannweitenrichtung 50):
c Ai = 4,25
cMi = -2,80
- Rücktransformation:
cA  cAi /   4,25 / 0,65  6,54  1,25cA , M 0
cM  cMi /   2,80 / 0,65  4,31  1,30cM , M 0
4
- Auftriebsbeiwert:
cA  6,54[rad ]
cA  0,114[]
4)
- Reisefluggewicht:
mMTOW = 53 524 kg
mC = 0,8  mMTOW = 42 819 kg
- Auftriebsbeiwert:
AG

2
U 2 c A,C F  mg
U  M 
c A, C
p

2mC g
2  42819kg  9,81m2 / s


 0,50
pFM 2 1,4  22632 Pa  92,16m2  0,762
5)
- Einbauwinkel:
  
c A, C
cA

0,50
 0,076  4,4
6,54
5
6)
- eindimensionale Euler’sche Bewegungsgleichung:
- Kräftegleichgewicht am Volumenelement in Richtung der Stromröhrenachse:
p 
Dw

(1)
pdF   p  ds dF  gdm cos   dm
s 
Dt

p
Dw
(2)
 dsdF  gdm cos   dm
s
Dt
- substantielle Ableitung:
D 

(3)
 w
Dt t
s
- Division von (2) durch dm  dFds :
p
Dw
(4)

 g cos  
s
Dt
z
- mit (3) in (4) und cos   :
s
p
w
w

 g cos  
w
s
t
s
- stationär:
dw dp
dz
w

g
0
ds ds
ds
(5)
(6)
- isentrope Zustandsänderung:
- Verhältnis der spezifischen Wärmen:
c
 1
 p
cv

 - Anzahl der Freiheitsgrade geteilt durch 2
  3 / 2 für einatomiges Gas
  5 / 2 für zweiatomiges Gas
- 1. Hauptsatz der Thermodynamik für adiabate Zustandsänderung:
dU  dW  dQ  0
dW  pdV
- für ein ideales Gas gilt:
U  nRT
pV  nRT
n - Molanzahl
R – universelle Gaskonstante
- (11) in (10) und Differentiation:
dU  nRdT  ncV dT  d ( pV )   ( pdV  Vdp )
- (12) und (9) in (8):
 pdV  pdV  Vdp
 (  1) pdV  Vdp
- Division durch pV :
dV
dp
 (  1)

V
p
6
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
- Integration zwischen dem Zustand im Unendlichen und einem beliebigen Ort:
 p 
 1 V
ln    
ln

V
 p 

 1
p V  
V 
  
  
p  V 
V 
- mit V  1 /  und (7):
 1

(16)
(17)

p   
 
p   
(18)
 p 

 p 
   
1

(19)
- kompressible Bernoulli-Gleichung:
- Integration von (6):
w2
dp
(20)

 gz  const.
2

- Vernachlässigung der Ortshöhe und Integration zwischen dem Zustand im Unendlichen und
einem beliebigen Ort:
p
1 2
dp
2
(21)
( w  w )  
0
2

p
- Druckfunktion für isentrope Zustandsänderung mit (19):
p
p
dp p1 / 
1 / 
 
 p dp
p


(22)
p
p
 1

p1 /   
 p1 / 
  
p  
    1
 p   1 
 1
 1

 p  p 




 1



 p   p  



    1
  1    p 



- (24) in (21):
 1






2 p
p 
2
2


w  w 
    1  0
  1    p 



p
p
- umformen nach
mit c   :
p

(23)
(24)
(25)

  1
p   1 1 2
2

 
(
w

w
)

1

p  2 c2

(26)
7
- mit M  w / c :

2
 1
p    1 2   w   
 1

M  1  
  w   
p  2

 

(27)
- Druckbeiwert in Abhängigkeit der lokalen Strömungsgeschwindigkeit:
- Druckbeiwert:

p  p
2 p  p

cp 

 1
2 
 2  w  p 
w
2
p
- mit c  
und M  w / c :
(28)


2  p

 1
2 
M   p 
- (27) in (29):



2

1

2     1 2   w   




cp 
M
1


1

1

  w   
M 2   2


 




cp 
8
(29)
(30)