Demo-Exp. 2 Lös. Zaubereien mit Stahlkugeln.docx

ForscherInnenwerkstatt Physik 01-2012
Demo-Experiment 2 ​ ​
Zaubereien mit Stahlkugeln
Elastischer Stoß
​
Lösung
​
​Reichweite von Magnetfeldern
Mit Hilfe eines Permanentmagneten kann gezeigt werden, wie bei einem elastischen Stoß unerwartet große
Geschwindigkeiten der stoßenden Körper auftreten können.
Abb. 1
Durchführung
1.
​
​Lässt man die sich berührenden Kugeln in einiger Entfernung vom Magneten los und die
Rinne so herunterrollen, dass die kleinere Kugel als erste rollt, bleiben beide Kugeln am Magneten
haften.
2.
​
​Setzt man umgekehrt die große Kugel vor die kleine, so bleibt nach dem Aufprall nur die
große Kugel am Magneten haften, während die kleine Kugel mit einer unerwartet großen
Geschwindigkeit vom Magneten weg- und die Rinne hinauf rollt.
Erklärung
Der Permanentmagnet übt auf die Stahlkugeln eine Anziehungskraft aus, da das Eisen der Kugeln ein
ferromagnetisches Material ist. Der Betrag F der Kraft, die zwischen einer Kugel und dem Pol des
Magneten wirkt, nimmt sehr stark mit zunehmendem Abstand d der Kugel vom Pol ab. Im Fall 1. wird
auch die große Kugel so wie die kleine Kugel noch genügend stark vom Magnet angezogen.
Im Fall 2. wird zwar die große Kugel stark vom Magnet angezogen, die kleine wegen der größeren
Entfernung aber viel schwächer und erhält gleichzeitig beim Abprall von der großen Kugel einen
deutlichen Impuls zurück.
Genauere Erklärung nur für SpezialistInnen:
Der Verlauf der Kraft-Abstands-Kurve kann in nullter Näherung durch eine Rechtecksfunktion
veranschaulicht werden. In Abbildung 2 ist dies qualitativ dargestellt: Der Betrag F der Kraft, die der
Magnet auf die Kugel ausübt, wird dabei nur bis zu einem gewissen Abstand d* als konstant und ungleich
Null angenommen. In Abständen größer als d* wirke keine Kraft mehr auf die Kugel. Genauer betrachtet
sind die Ecken dieses Rechtecks natürlich ziemlich „verschmiert“ (tatsächlicher Verlauf der KraftAbstands-Kurve: gepunktete Linie). Mit diesem Modell lassen sich die beobachteten Verhalten wie folgt
erklären:
Abb. 2
​(a)
​
​
​
​(b)
In (a) befindet sich der Schwerpunkt, also der Angriffspunkt der Magnetkraft, sowohl der kleinen wie
auch der großen Kugel innerhalb des Rechtecks, so dass auf beide die anziehende Kraft des Magneten
wirkt. Die durch den Stoß mit dem Pol des Magneten auf die Kugeln aufgrund der Impulsänderung
übertragene Kraft reicht nicht aus, um die anziehende Kraft des Magneten zu überwinden. Beide Kugeln
stoßen unelastisch mit dem Magneten.
In (b) ist bei geeigneter Dimensionierung von Magnetkraft und dem Durchmesser der großen Kugel
letztere gerade so groß, dass sie den Bereich (das Rechteck in Abbildung 2(b)) ausfüllt, in dem die Kraft
des Magneten wirkt. Da so der Schwerpunkt der kleinen Kugel außerhalb der Reichweite der Magnetkraft
zu liegen kommt, erfährt die kleine Kugel keine Anziehung durch den Magneten, bleibt also nicht an der
großen Kugel haften, sondern wird durch einen zentralen elastischen Stoß reflektiert. Im Idealfall wird
dabei die gesamte kinetische Energie des Systems auf die kleine Kugel übertragen. Der
Energieerhaltungssatz gibt Auskunft darüber, was das für den Betrag der Geschwindigkeit der kleinen
Kugel nach dem Stoß bedeutet:
1
1
1
2
2
2
m1v1 + m2 v2 = 0 + m2 v2¢
2
2
2
( m1 , m2 : Massen der großen bzw. der kleinen Kugel; v1 , v2 : Betrag der Geschwindigkeiten der großen
bzw. der kleinen Kugel vor dem Stoß; v2¢: Betrag der Geschwindigkeit der kleinen Kugel nach dem Stoß).
Da die Geschwindigkeiten der beiden Kugeln beim Herabrollen auf der Rinne übereinstimmen, kann man
v1 und v2 durch einen Geschwindigkeitsbetrag v und v2¢ durch einen Geschwindigkeitsbetrag v ¢ ersetzen.
Geeignet aufgelöst erhält man damit:
3
v ¢= 1 +
m1
r
v = 1 + 13 v
m2
r2
( r1 , r2 : Radien der großen bzw. der kleinen Kugel)
Mit typischen Werten wie z. B. r1 = 1 cm und r2 = 0,6 cm ergibt sich:
v ¢= 2,37 v
Die kleine Kugel wird zwar wegen der Reibung und der Magnetkraft, die eben nur im Idealfall auf Null
absinkt, nicht tatsächlich auf das berechnete Vielfache des Betrages v der Ausgangsgeschwindigkeit
beschleunigt, aber der Betrag v‘ der Geschwindigkeit nach dem Stoß ist dennoch deutlich größer als v.
Dass die Geschwindigkeit der kleinen Kugel nach dem Stoß so unerwartet groß ist, liegt darin begründet,
dass sich die Kugeln, zusätzlich zu der von der Gravitationskraft hervorgerufenen Beschleunigung,
insbesondere auf den letzten Millimetern, aufgrund der zwischen Kugeln und Magneten herrschenden
Anziehungskraft, auf der schiefen Rinne beschleunigt auf den Magnetpol zu bewegen.