Beamer-Präsentation - Universität Stuttgart

Höhere Mathematik II
Universität Stuttgart, SS 09
Prof. Dr. M. Griesemer
Integration
Das bestimmte Integral
Sei f : [a, b] → R stetig. Das bestimmte Integral von f über [a, b]
ist die Zahl
Z b
n
X
f (x)dx = lim
f (xk )∆x
n→∞
a
k=1
wobei
xk := a + k∆x,
∆x :=
b−a
.
n
Die Randpunkte a, b heißen Integrationsgrenzen.
P
Die Zahlen Sn := nk=1 f (xk )∆x, n ∈ N heißen
Riemannsche Summen,
Rb
Das Integral a f (x)dx ist der Grenzwert der Folge (Sn ).
I
I
I
Geometrische Interpretation
Wenn f ≥ 0 dann ist Sn eine Summe von Rechteckflächen
a
b
a
b
a
Rb
und a f (x)dx kann als Fläche unter dem Graphen von
f : [a, b] → R über dem Interval [a, b] interpretiert werden:
a
b
b
+
+
-
a
-
b
b
Z
f (x)dx = graue Fläche − rote Fläche
a
Eine Funktion f : [a, b] → R heißt stückweise stetig, wenn sie
stetig ist bis auf endlich viele Stellen c1 , . . . , cN ∈ [a, b] wobei die
einseitigen Grenzwerte limx→ci ± f (x) existieren.
Theorem 1.1
Ist f : [a, b] → R stückweise stetig, dann existiert
Rb
Pn
f
(x)dx
=
lim
n→∞
k=1 f (xk )∆x und es gilt
a
Z
b
f (x)dx = lim
a
n→∞
n
X
f (ξk )(xk − xk−1 )
k=1
für jede Partition a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b, und für
beliebig gewählte Zwischenpunkte ξk ∈ [xk−1 , xk ] sofern nur
max xk − xk−1 → 0,
(n → ∞).
1≤k≤n
Ist f stückweise stetig, dann konvergieren
R b auch folgende
Riemann-Summen gegen das Integral a f (x)dx:
a
b
n
X
a
b
n
X
f (xk−1 )∆x
k=1
a
b
n
X
mk ∆x
k=1
Mk ∆x
k=1
mk := min{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk }
Mk := max{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk }
Im ersten Fall ist ξk = xk−1 , im zweiten und dritten Fall wird ξk so
gewählt, dass f (ξk ) = mk bzw. f (ξk ) = Mk , was zumindest für
stetige f möglich ist.
Elementare Eigenschaften
Es gilt
Z
a
Z
Z
f (x)dx = −
f (x)dx = 0,
a
a
b
b
f (x)dx,
a
denn ∆x = (a − a)/n = 0, bzw ∆x = (b − a)/n = −(a − b)/n.
Satz 1.2
Sind f , g : [a, b] → R stückweise stetig, λ ∈ R and a < c < b,
dann gilt
Z
(a)
(b)
(c)
b
Z
b
λf (x)dx = λ
f (x)dx,
a
a
Z b
Z b
Z b
f (x) + g (x)dx =
f (x)dx +
g (x)dx,
a
a
a
Z b
Z c
Z b
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx.
a
a
c
Satz 1.3 (Abschätzungen)
Sind f , g stückweise stetig und ist a < b, dann gilt:
Z
f (x) ≤ g (x)
(a)
⇒
b
f (x)dx ≤
a
Z
m(b − a) ≤
(b) m ≤ f (x) ≤ M ⇒
Z b
Z b
≤
(c)
f
(x)dx
|f (x)|dx
a
b
Z
g (x)dx
a
b
f (x)dx ≤ M(b − a)
a
a
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Satz 1.4
Ist f : [a, b] → R stetig, dann gibt es
ein ξ ∈ [a, b] mit
Z
fHΞL
b
f (x)dx = f (ξ)(b − a).
a
Ξ
Satz 1.5
Sind die Funktion f und p stetig auf [a, b] und ist p(x) ≥ 0 für alle
x ∈ [a, b], dann existiert ein Punkt ξ ∈ [a, b] mit
Z
b
Z
f (x)p(x)dx = f (ξ)
a
b
p(x)dx.
a
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Sei f : I → R eine gegebene Funktion und I ⊂ R ein Intervall. Jede
differenzierbare Funktion F : I → R mit F 0 = f heißt
Stammfunktion von f .
Theorem 1.6
Sei f : I → R stetig und I ⊂ R ein Intervall.
(a) Exitenz von Stammfunktionen. Für jedes a ∈ I ist
Z x
F (x) :=
f (t)dt
a
eine Stammfunktion von f , d.h.
d
dx
Rx
a
f (t)dt = f (x).
(b) Integralberechnung. Ist F eine Stammfunktion von f und
sind a, b ∈ I , dann gilt
Z
b
f (t)dt = F (b) − F (a).
a
Bemerkungen
(a) Zwei Stammfunktionen F1 und F2 von f unterscheiden sich
nur um eine Konstante (denn (F1 − F2 )0 = f − f = 0).
(b) Nach (a) ist die Differenz
b
b
F (b) − F (a) =: F (x)a =: F (x) a
unabhängig von der Wahl der Stammfunktion F .
(c) Die Menge
R aller Stammfunktionen einer Funktion f : I → R
wird mit f (x)dx bezeichnet und heißt unbestimmtes
Integral von f . Nach (a) gilt
Z
f (x)dx = F (x) + c
mit einer festen Stammfunktion F und c ∈ R beliebig.
Die Bestimmung der Limes
Z
b
f (x)dx = lim
n→∞
a
n
X
f (xk )∆x
k=1
nennt man Quadratur. Den Prozess der Bestimmung der
Stammfunktionen
Z
f (x)dx
nennt man Integration. Nach Theorem 1.6 gilt
Z
b
Z
f (x)dx =
a
b
f (x)dx a
d.h. man kann das Problem der Quadratur (Flächenberechnung)
durch Integration (Bestimmung einer Stammfunktion) lösen, und
umgekehrt. Es gibt stetige Funktionen, deren Stammfunktion nicht
durch elementare Funktionen (trig. Funktionen, rationale Funktion,
exp, ln, etc.) ausgedrücken werden können! (z.B. f (x) = exp(x 2 )).
Korollar 1.7
Ist f : I → R stetig und sind α, β : I → R differenzierbare
Funktionen, dann gilt
d
dx
Z
β(x)
α(x)
f (t) dt = f (β(x))β 0 (x) − f (α(x))α0 (x).
Integrationstechniken
Linearität. Für λ, µ ∈ R gilt
Z
Z
Z
λf (x) + µg (x) dx = λ f (x) dx + µ g (x) dx
Partielle Integration.
Z
f (x)g 0 (x) dx
Z b
f (x)g 0 (x) dx
a
Z
f 0 (x)g (x) dx
b Z b
f 0 (x)g (x) dx
= f (x)g (x) −
= f (x)g (x) −
a
a
Beweis durch Integration beider Seiten von (fg )0 = f 0 g + fg 0 .
Durch partielle Integration bekommt man z.B. folgendes Resultat:
Satz 1.8
Sind a, b ganzzahlige Vielfache von π/2, dann gilt für n ≥ 2:
Z
Z
b
(sin x)n dx
=
(cos x)n dx
=
a
b
a
Z
n−1 b
(sin x)n−2 dx
n
a
Z b
n−1
(cos x)n−2 dx
n
a
Substitutionsmethode 1
Z
f (g (x))g 0 (x) dx
b
Z
Z
=
Z
0
f (g (x))g (x) dx
f (u) du g (b)
=
a
u=g (x)
f (u) du
g (a)
Formales Vorgehen:
1) Substitution: g (x) = u, g 0 (x)dx = du,
R
2) Integration: f (u) du,
3) Rücksubstitution u = g (x).
Bei der bestimmten Integration entfällt die Rücksubstitution, wenn
in Schritt 1) die Integrationsgrenzen a, b durch g (a) und g (b)
ersetzt werden.
Substitutionsmethode 2
Z
Z
0
f (u) du =
f (g (x))g (x) dx x=g −1 (u)
Z
b
Z
g −1 (b)
f (u) du =
a
f (g (x))g 0 (x) dx
g −1 (a)
Formales Vorgehen:
1) Substitution: u = g (x), du = g 0 (x)dx,
R
2) Integration: f (g (x))g 0 (x) dx,
3) Rücksubstitution g (x) = u.
Bei der bestimmten Integration entfällt Schritt 3), wenn in 1)
zusätzlich die Integrationsgrenzen a, b durch g −1 (a) und g −1 (b)
ersetzt werden.
Partialbruchzerlegung von p/q
Seien p, q Polynome mit Grad(p) < Grad(q). Die Zerlegung von q
in Linearfaktoren gemäß HM1, Satz 1.21 sei:
q(x) = d(x −a1 )m1 · · · (x −ar )mr (x 2 +b1 x +c1 )k1 · · · (x 2 +bs x +cs )ks
wobei ai ∈ R und die quadratischen Polynome x 2 + bi x + ci keine
reellen Nullstellen haben. Die Partialbruchzerlegung von p/q ist
eine Summe von Partialbrüchen bestehend aus folgenden
Summanden: für jeden Faktor (x − a)m gibt es die m Summanden
A2
A1
Am
+
+
.
.
.
+
(x − a) (x − a)2
(x − a)m
Für jeden Faktor Q(x)k = (x 2 + bx + c)k gibt es die k Summanden
B1 x + C1 B2 x + C2
Bk x + Ck
+
+
.
.
.
+
Q(x)
Q(x)2
Q(x)k
Bemerkungen:
I
Die Koeffizienten Ai , Bi , Ci können durch
Koeffizientenvergleich bestimmt werden.
I
Falls Grad(p) ≥ Grad(q), dann ist zuerst eine
Polynomdivision mit Rest gemäß HM1, Satz 1.22
durchzuführen. D.h.
p(x)
r (x)
= h(x) +
q(x)
q(x)
wobei h, r Polynome sind und Grad(r ) < Grad(q).
I
Die Partialbruchzerlegung ist eindeutig.
Integration von Partialbrüchen
Die Integration von (x − a)−m bereitet keine Schwierigkeiten.
Aus Q(x) = x 2 + bx + c folgt Q 0 (x) = 2x + b und somit
B Q 0 (x)
C − Bb/2
Bx + C
=
+
.
Q(x)m
2 Q(x)m
Q(x)m
Der erste Summand wird mit der Substitution Q(x) = u,
Q 0 (x)dx = du integriert. Zur Integration des zweiten Terms
schreiben wir Q(x) = (x + b/2)2 + λ2 mit λ2 = c − b 2 /4 > 0, so
dass
Z
Z
1
1
dx =
du m
2
2
m
Q(x)
(u + λ )
|
{z
} u=x+ b2
Im
wobei I1 = (u 2 + λ2 )−1 du = λ−1 arctan(u/λ) und für m ≥ 1,
u
1
+ (2m − 1)Im .
Im+1 =
2mλ2 (u 2 + λ2 )m
R
Nicht elementar integrierbare Funktionen
Die Fehlerfunktion:
2
E (x) := √
π
x
Z
2
e −t dt,
x ≥0
0
spielt eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie.
1
2Π
x2
e- 2
1
2
EH
x
L
2
x
Die elliptischen Integrale:
Z
x
F (x, k) :=
0
Z
E (x, k) :=
0
dt
p
x
1 − k 2 sin2 t
p
1 − k 2 sin2 t dt
Die Fresnelschen Integrale
Z
x
C (x) =
Z0 x
S(x) =
cos(t 2 ) dt
sin(t 2 ) dt
0
x
Z
2
e it dt
C (x) + iS(x) =
0
Die Cornusche Spirale (oder Klothoide) spielt eine Rolle im
Straßenbau und in der Optik.
Uneigentliche Integrale
Die Funktion f sei auf dem Intervall [a, b), b ≤ ∞, definiert und
stückweise stetig auf [a, c] für jedes c < b. Dann heißt
Z
b
c
Z
f (x) dx := lim
c→b− a
a
f (x) dx
uneigentliches Integral von f über [a, b]. Dieses Integral
konvergiert, wenn der Limes (1) existiert. Sonst divergiert es.
Entsprechend definiert man
Z
b
Z
f (x) dx := lim
a
c→a+ c
b
f (x) dx
wenn f : (a, b] → R, a ≥ −∞, auf jedem Intervall [c, b], c > b,
stückweise stetig ist.
(1)
Satz 1.9
(a)
(b)
R∞
1
1 x α dx konvergiert für α > 1 und divergiert sonst.
R1 1
0 x α dx konvergiert für α < 1 und divergiert sonst.
1
x
Α<1
Α>1
1
Satz 1.10
Sei f definiert auf [a, b) oder (a, b] und stückweise stetig auf
abgeschlossenen Teilintervallen. Dann gilt
b
Z
Z
|f (x)| dx < ∞
a
b
⇒
f (x) dx ist konvergent
a
Korollar 1.11
(a)
∞
K
|f (x)| ≤ α , mit α > 1 ⇒
x
Z
K
|g (x)| ≤ α , mit α < 1 ⇒
x
Z
f (x) dx konvergiert,
1
(b)
1
g (x) dx konvergiert.
0
An beiden Grenzen uneigentliches Integral:
Z
b
Z
f (x) dx :=
c
b
Z
f (x) dx +
a
f (x) dx
a
c
a
c
b
Hier ist c mit a < c < b beliebig wählbar.
Ausnahmestelle im Innern:
Z b
Z c
Z
f (x) dx :=
f (x) dx +
a
a
b
f (x) dx
a
c
b
c
In beiden Fällen müssen beide Integrale rechts konvergieren!
Von obigen Definitionen abweichende Konventionen sind speziell
bezeichnet: Hat f bei c eine Singularität, dann heißt
Z c−ε
Z b
Z a
P
f (x) dx := lim
f (x)dx +
f (x)dx
ε→0+
a
Cauchy Hauptwert von
Z
1
−1
1
dx
x
Rb
a
a
c+ε
f (x) dx. Beispiel:
divergiert,
Z
P
1
−1
1
dx = 0.
x
Satz 1.12 (Gammafunktion)
Für x > 0 ist das Integral
Z
Γ(x) :=
∞
t x−1 e −t dt
0
konvergent, Γ(x + 1) = xΓ(x), und Γ(n + 1) = n! für n ∈ N.
Längen-, Flächen- und
Volumenberechnung
Eine (parametrisierte) Kurve in der Ebene ist eine vektorwertige
Abbildung c : [a, b] → R2 , c(t) = (x(t), y (t)), bzw ein System von
Gleichungen
x = x(t),
y = y (t),
t ∈ [a, b].
t heißt Parameter und [a, b] heißt Parameterintervall.
Die Abbildungen x, y : [a, b] → R werden im folgenden als stetig
differenzierbar angenommen.
Beispiele:
I
Gerade durch die Punkte (x0 , y0 ) und (x1 , y1 ):
x = x0 + t(x1 − x0 ),
I
y = y0 + t(y1 − y0 ),
t ∈ R,
Kreis um (x0 , y0 ) mit Radius r :
x = x0 + r cos(t),
y = y0 + r sin(t),
t ∈ [0, 2π].
Der Geschwindigkeitsvektor
1
ċ(t0 ) := lim [c(t0 + h) − c(t0 )] =
h→0 h
ẋ(t0 )
.
ẏ (t0 )
im “Zeitpunkt” t0 ist parallel zur Tangente
t 7→ c(t0 ) + t ċ(t0 ),
t ∈ R,
an die Kurve durch den Punkt c(t0 ). Die Kurve c heißt regulär,
wenn ċ(t) 6= 0 für alle t ∈ [a, b]. Die Länge einer regulären Kurve
c : [a, b] → R2 ist gegeben durch
b
Z
Z
|ċ(t)| dt =
L=
a
b
q
ẋ(t)2 + ẏ (t)2 dt
a
Der Graph einer stetig differenzierbaren Funktion f : [a, b] → R hat
die Länge
Z bq
L=
1 + f 0 (x)2 dx.
a
Eine durch Drehung der Kurve y = f (x), a ≤ x ≤ b, um die
x-Achse erzeugter Rotationskörper hat das Volumen
Z
y
b
V =π
f (x)2 dx.
a
und die Mantelfläche
Z
M = 2π
a
b
q
f (x) 1 + f 0 (x)2 dx
z
x
Numerische Integration
Ist die Stammfunktion von f : [a, b] → R nicht elementar
Rb
berechenbar, so muss a f (x) dx numerisch approximiert
werden.
Trapezformel
Sei f : [a, b] → R stetig, ∆x = (b − a)/n und sei xk = a + k∆x.
Summation der Trapezflächen:
f (xk−1 ) + f (xk )
2
∆x
xk-1
liefert für
Rb
a
xk
f (x) dx die Approximation
∆x Tn (f ) :=
f (a) + 2f (x1 ) + . . . + 2f (xn−1 ) + f (b) .
2
Man kann zeigen, dass
Z
a
b
(b − a)3
f (x) dx − Tn (f ) ≤
sup |f 00 (x)|
2
12n
x
Simpsonformel
Sei f : [a, b] → R stetig, ∆x = (b − a)/n, xk = a + k∆x und sei n
gerade. Auf den Doppelintervallen [x0 , x2 ], [x2 , x4 ], etc wird nun f
durch jeweils ein quadratisches Polynom p1 , p3 , . . . approximiert,
wobei pk (x) = f (x) für x ∈ {xk−1 , xk , xk+1 }. Man nimmt
Z xk+1
∆x f (xk−1 ) + 4f (xk ) + f (xk+1 )
pk (x) dx =
3
xk−1
R xk+1
als Approximation für xk−1
f (x) dx. Summation dieses Ausdrucks
Rb
über alle n/2 Doppelintervalle liefert für a f (x) dx die
Approximation
∆x f (a) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + . . . + f (b) .
Sn (f ) :=
3
Man kann zeigen, dass
(b − a)5
Z b
f (x) dx − Sn (f ) ≤
sup |f (4) (x)|
4
180n
x
a
Vergleich von Trapezformel und Simpsonformel:
Z π
Z πr
3 2
sin x dx = 2
1
−
sin x dx = 2.422112
0
4
0
n
Tn
Sn
n
Tn
Sn
2
1.5708
2.0944
2 2.356194 2.094395
4 1.89612 2.00456
4 2.419921 2.441163
8 1.97423 2.00027
8 2.422103 2.422831
16 1.99357 2.00002
16 2.422112 2.422115
Im zweiten Beispiel (elliptisches Integral) scheint die Trapezformel
wider Erwarten schneller zu konvergieren.
Reihen
Wozu Reihen?
x3 x5 x7
x−
+
−
+ ...
3!
5!
7!
4
1
sin x + sin(3x) + . . .
π
3
2Π
Definitionen
Gegeben sei eine
a0 , a1 , a2 , . . .. Wir betrachten die
PZahlenfolge
n
Summen sn := k=0 ak und interessieren uns für den Limes
∞
X
ak := lim
k=0
n
X
n→∞
ak .
k=0
P
Die P
Folge (sn ) heißt Reihe und wird ebenfalls mit ∞
k=0 ak oder
mit k ak bezeichnet. Die Zahlen ak heißen Glieder der Reihe
und die Summen sn nennt man
P Partialsummen der Reihe.
Entsprechend der Definition k ak = (sn ) sagt man, die Reihe
P
∞
k=0 ak konvergiert (bzw. divergiert), wenn die Folge (sn )
nennt man
konvergiert (bzw. divergiert). Im Konvergenzfall
P∞
s := limn→∞ sn , die Summe der Reihe
P∞ k=0 ak . Man schreibt
auch a0 + a1 + a2 + . . . anstelle von k=0 ak .
Wichtige Reihen
1. Die Geometrische Reihe. Für |q| < 1 gilt
∞
X
qk = 1 + q + q2 + . . . =
k=0
Für |q| ≥ 1 divergiert die Reihe
2. Die harmonische Reihe
P∞
k=0 q
k
1
.
1−q
(HM1, Kap. 3.1)
∞
X
1
1 1
= 1 + + + ...
k
2 3
k=1
ist divergent.
3. Die alternierende harmonische Reihe
∞
X
(−1)k−1
k=1
ist konvergent (Satz 2.2).
1
1 1
= 1 − + − ...
k
2 3
Satz 2.1
lim ak 6= 0
⇒
k→∞
∞
X
ak ist divergent.
k=0
Umgekehrt ist limk→∞ ak = 0 nicht hinreichend für Konvergenz!
Das sieht man am Beispiel der harmonischen Reihe.
Satz 2.2 (Alternierende Reihen)
Falls a0 ≥ a1 ≥ a2 . . . und limk→∞ ak = 0, dann konvergiert die
alternierende Reihe
∞
X
(−1)k ak = a0 − a1 + a2 − . . .
k=0
P
Der Abbruchfehler s − sn , sn = nk=0 ak , ist betragsmäßig kleiner
als das erste vernachlässigte Glied:
|s − sn | ≤ an+1 .
Satz 2.3 (Rechenregeln)
P
P
Falls
die
Reihen
a
und
k
k
k bk konvergent sind, dann auch
P
P
k (ak + bk ) und
k λak und es gilt
∞
∞
∞
X
X
X
(ak + bk ) =
ak +
bk
k=0
∞
X
λak
k=0
∞
X
= λ
k=0
k=0
ak
k=0
Theorem 2.4 (Cauchy-Kriterium)
P
Die Reihe k ak ist genau dann konvergent, wenn es zu jedem
ε > 0 ein Index Nε ∈ N existiert, so dass
|sn − sm | < ε,
für n, m ≥ Nε .
Bemerkungen:
I
Die Klammerstellung zu ändern ist im allgemeinen verboten:
0 + 0 + 0 + . . . = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . .
6= 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + . . . = 1
I
Umsortieren der Glieder einer Reihe ist verboten:
1−
I
1 1 1 1
1 1 1 1 1
+ − + − . . . 6= 1 + − + + − + . . .
2 3 4 5
3 2 5 7 4
Zur Berechnung von Partialsummen ist Zusammenfassen oder
Umsortieren der Glieder erlaubt:
n
n X
X
1
1
1
1
=
−
=1−
k(k + 1)
k
k +1
n+1
k=1
k=1
(teleskopierende Summe). Also gilt
P∞
1
k=1 k(k+1)
= 1.
Absolute Konvergenz
P
P
Die Reihe k ak heißt absolut konvergent, wenn k |ak |
konvergent ist. Eine Reihe heißt bedingt konvergent, wenn sie
konvergent, aber nicht absolut konvergent ist.
Theorem 2.5
Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent:
∞
X
|ak | < ∞
k=0
⇒
∞
X
ak ist konvergent.
k=0
Aufgrund dieses Satzes benötigen wir Tests für absolute
Konvergenz.
Satz 2.6
|ak | ≤ bk ,
P∞
P∞
ist konvergent.
0 ≤ bk ≤ ak ,
P∞
P∞
ist divergent.
k=0 bk < ∞ ⇒
k=0 bk = ∞ ⇒
k=0 ak
k=0 ak
Satz 2.7 (Integraltest)
Sei ak = f (k) > 0, wobei f , stetig und monoton fallend ist. Dann
gilt:
Z ∞
∞
X
ak < ∞ ⇔
f (x)dx < ∞.
1
k=1
Korollar 2.8
∞
X
1
kα
k=1
< ∞ α > 1,
= ∞ α ≤ 1.
Theorem 2.9 (Quotientenkriterium)
Falls ak 6= 0 für k ≥ k0 und limk→∞ |ak+1 /ak | existiert, dann gilt
∞
X
ak+1 <1 ⇒
lim ak
k→∞ ak k=0
∞
X
ak+1 lim
>1 ⇒
ak
k→∞ ak ist absolut konvergent.
ist divergent.
k=0
Im Fall limk→∞ |ak+1 /ak | =P
1 ist sowohl Konvergenz P
als auch
∞
−2 ist
Divergenz möglich. Z.B. ist k=1 k −1 divergent und ∞
k=1 k
konvergent, aber in beiden Fällen ist limk→∞ |ak+1 /ak | = 1.
Satz 2.10 (Cauchy-Produkt)
P
P
Für absolut konvergente Reihen k ak und k bk gilt die
Produktformel
! ∞
!
!
∞
∞
n
X
X
X
X
ak
bk =
ak bn−k
k=0
k=0
n=0
k=0
= (a0 b0 ) + (a0 b1 + a1 b0 ) + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 ) + . . .
Bemerkung: Bei absolut konvergenten Reihen spielt die
Reihenfolge der Glieder keine Rolle.
Funktionenfolgen
Punktweise und gleichmäßige Konvergenz
Eine Folge von Funktionen f0 , f1 , f2 , . . ., alle auf demselben Intervall
I definiert, konvergiert auf I punktweise gegen die Funktion f ,
falls
f (x) = lim fk (x),
alle x ∈ I .
k→∞
Die Funktionenfolge (fk )k≥0 konvergiert auf I gleichmäßig gegen
f , wenn es zu jedem ε > 0 einen Indexwert Nε gibt, so dass
n > Nε
⇒
|f (x) − fn (x)| < ε für alle x ∈ I .
(Nε kann unabhängig von x gewählt werden!)
Bemerkung: Aus gleichmäßiger Konvergenz folgt punktweise
Konvergenz aber nicht umgekehrt.
Gleichmäßige Konvergenz fn → f auf I :
f+Ε
f
f-Ε
fn
I
Punktweise Konvergenz fn → f auf I , die nicht gleichmäßig ist:
f10
f25
f+Ε
f
f-Ε
I
Satz 2.11
Ist fn : I → R, n ∈ N, eine Folge stetiger Funktionen, welche
gleichmäßig gegen f : I → R konvergiert, dann ist auch f stetig.
Punktweise Konvergenz genügt in Satz 2.11 nicht! Die stetigen
Funktionen fn (x) = x n konvergieren auf [0, 1] punktweise gegen
eine unstetige Funktion f :
1
1
f1
f2
f3 f10
f
1
1
Theorem 2.12
Ist fn : [a, b] → R, n ∈ N, eine Folge stetiger
Funktionen, welche gleichmäßig gegen f
konvergiert, dann gilt:
n
fn
Z
lim
n→∞ a
f2
f1
2
n
2
b
Z
fn (x) dx =
b
Z
lim fn (x) dx =
a n→∞
b
f (x) dx.
a
Punktweise Konvergenz genügt in Theorem 2.12 nicht! In der Figur: fn (x) → 0 und
somit:
Z 2
0=
lim fn (x)dx
n→∞
0
Z 2
6= lim
fn (x)dx = 1.
n→∞ 0
Theorem 2.13
Ist fn : I → R, n ∈ N, eine Folge stetig differenzierbarer
Funktionen, welche punktweise gegen f konvergiert, und
konvergieren die Ableitungen fn0 gleichmäßig gegen eine Funktion
g , dann ist f stetig differenzierbar und f 0 = g . Insbesondere gilt
d
d
d
fn (x) =
lim fn (x) =
f (x).
n→∞ dx
dx n→∞
dx
lim
Bemerkung: Auf die gleichmäßige Konvergenz der Ableitungen fn0
kommt es an! Gleichmäßige Konvergenz der Funktionen fn und
punktweise Konvergenz
der Ableitungen genügt in Thm 2.13 nicht.
√
Beispiel: fn (x) = x 2 + n−1 konvergiert auf [−1, 1] gleichmäßig
gegen f (x) = |x| und fn0 ist punktweise konvergent, aber f ist nicht
differenzierbar.
Funktionenreihen
P
Eine Funktionenreihe k fk (x) heißt auf I gleichmäßig
konvergent, wenn die Funktionenfolge der Partialsummen
sn = f0 + f1 + . . . + fn auf I gleichmäßig konvergent ist.
Satz 2.14 (M-Test)
Falls es zu jeder Funktion fk : I → R der Reihe
Schranke Mk ≥ supx∈I |fk (x)| gibt, so dass
∞
X
P
k fk
eine
Mk < ∞,
k=0
dann ist die Reihe
P
k fk
auf I gleichmäßig und absolut konvergent.
Satz
P2.15
Ist k fk eine auf [a, b] gleichmP
äßig konvergente Reihe stetiger
Funktionen fk , dann ist f (x) = k fk (x) stetig, und es gilt
Z
∞
bX
fk (x)dx =
a k=0
∞ Z
X
b
fk (x)dx.
k=0 a
Satz
P2.16
Ist k fk eine auf I punktweise konvergente Reihe
Pstetig
differenzierbarer Funktionen fk und ist diePReihe k fk0 auf I
gleichmäßig konvergent, dann ist f (x) = k fk (x) differenzierbar
und
∞
∞
X
d X
d
fk (x) =
fk (x).
dx
dx
k=0
k=0
Illustration: Sei f (x) =
fk (x) = −
P∞
k=0 fk (x)
cos((2k + 1)x)
,
(2k + 1)2
wobei
fk0 (x) =
sin((2k + 1)x)
.
2k + 1
Es gilt supx |fk (x)| = (2k + 1)−2 und supx |fk0 (x)| = (2k + 1)−1
wobei
X
X 1
1
= ∞.
<
∞,
(2k + 1)2
2k + 1
k
k
Also ist f stetig, aber Differenzierbarkeit ist nicht zu erwarten und
liegt auch nicht vor:
2Π
Potenzreihen
4Π
Eine Potenzreihe ist eine Funktionenreihe der Form
∞
X
ak x k = a0 + a1 x + a2 x 2 + . . .
(2)
k=0
mit festen Koeffizienten ak ∈ R. Der Konvergenzradius R von
(2) ist definiert durch
o
n P
k
ist konvergent
R := sup |x| k ak x
Satz 2.17
P
Eine Potenzreihe k ak x k mit Konvergenzradius R > 0 ist absolut
konvergent für |x| < R, divergent für |x| > R und gleichmäßig
konvergent auf jedem Intervall [−ρ, ρ] mit ρ < R.
P
Die Konvergenzmenge M := {x ∈ R| k ak x k ist konvergent} ist,
nach Satz 2.17, eines der Intervalle (−R, R), (−R, R], [−R, R)
oder [−R, R], also ein Konvergenzintervall. Die Randpunkte
x = −R, x = R sind in jedem Fall gesondert zu betrachten.
Satz 2.18
ak x k ist gegeben durch
ak R = lim k→∞ ak+1 Der Konvergenzradius von
P
k
sofern dieser Limes existiert oder ∞ ist.
Allgemeingültige Formeln für den Konvergenzradius sind:
−1
p
k
R = lim sup |ak |
,
k→∞
R = sup r | die Folge |ak |r k ist beschränkt .
Theorem 2.19
P
Die Summe einer Potenzreihe, f (x) = k ak x k , mit
Konvergenzradius R > 0 ist im Intervall (−R, R) beliebig oft
differenzierbar. Die Ableitungen von f erhält man durch gliedweise
Differentiation:
0
f (x) =
f 00 (x) =
∞
X
k=1
∞
X
ak kx k−1 ,
ak k(k − 1)x k−2 .
k=2
Eine Stammfunktion von f bekommt man durch gliedweise
Integration:
Z x
∞
X
x k+1
f (t) dt =
ak
.
k +1
0
k=0
Der Konvergenzradius ändert sich nicht bei gliedweiser
Differentiation oder Integration.
Potenzreihendarstellung wichtiger Funktionen:
x
e =
∞
X
xk
k=0
∞
X
x2
=1+x +
+ ...
2!
k!
x ∈R
x 2k+1
x3 x5
(−1)
=x−
+
− ...
(2k + 1)!
3!
5!
x ∈R
x 2k
(−1)
(2k)!
x2 x4
=1−
+
− ...
2!
4!
x ∈R
x k+1
ln(1 + x) =
(−1)
k +1
k=0
∞ X
α k
(1 + x)α =
x
k
x2 x3
=x−
+
− ...
2
3
|x| < 1
sin x =
cos x =
k=0
∞
X
k=0
∞
X
k
k=0
wobei α ∈ R und
α
:= 1,
0
k
k
= 1 + αx +
α(α − 1) 2
x + ...
2
α
α(α − 1)(α − 2) · · · (α − k + 1)
:=
k
k!
|x| < 1
Potenzreihen mit Entwicklungspunkt a 6= 0
Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a ist eine Funktionenreihe
der Form:
∞
X
ak (x − a)k = a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + . . .
(3)
k=0
Sie konvergiert für |x − a| < R und P
divergiert für |x − a| > R
k
wobei R der Konvergenzradius von ∞
k=0 ak x ist.
Satz 2.20
Falls f (x) =
gilt
P∞
k=0 ak (x
− a)k für |x − a| < R wobei R > 0, dann
f (k) (a)
ak =
,
k!
k = 0, 1, 2, . . .
Folgerungen aus Satz 2.20:
P∞
P∞
k =
k
I Falls
a
(x
−
a)
k=0 k
k=0 bk (x − a) für |x − a| < R
wobei R > 0, dann gilt
ak = b k
für alle k.
(Koeffizientenvergleich)
I
Falls eine Funktion
P∞ f in (a −k R, a + R) als Summe einer
Potenzreihe k=0 ak (x − a) darstellbar ist, dann nur in Form
einer Taylorreihe:
f (x) =
∞
X
f (k) (a)
k=0
k!
(x − a)k
(4)
Ist f : I → R eine beliebig oft differenzierbare Funktion und a ∈ I ,
stellen sich nun folgende Fragen:
I
Wie groß ist der Konvergenzradius der Taylorreihe (4)?
I
Stimmt die Summe der Taylorreihe im Konvergenzintervall
mit f überein?
Theorem 2.21 (Satz von Taylor)
Ist I ⊂ R ein offenes Intervall und f : I → R eine (n + 1)-mal
stetig differenzierbare Funktion, dann gilt für alle a, x ∈ I :
f (x) =
n
X
f (k) (a)
k=0
k!
(x − a)k + Rn+1 (x, a)
mit dem Integralrestglied:
1
Rn+1 (x, a) =
n!
Z
x
(x − t)n f (n+1) (t) dt,
a
bzw., dem Restglied nach Lagrange:
f (n+1) (ξ)
Rn+1 (x, a) =
(x − a)n+1
(n + 1)!
mit ξ zwischen a und x.
Das n-te Taylorpolynom von f mit Entwicklungspunkt a
f 00 (a)
f (n) (a)
2
Tn (x) := f (a) + f (a)(x − a) +
(x − a) + . . . +
(x − a)n
2
n!
0
hat mit f im Punkt a den Funktionswert sowie die ersten n
Ableitungen gemeinsam (vgl. Satz 2.20):
(k)
f (k) (a) = Tn (a),
T1
k = 0, . . . , n.
T5
T9
2Π
sin
T3
T7
Ist f ein Polynom vom Grad m ≤ n, dann gilt f = Tn für alle a.
Satz 2.22
Für alle n ∈ N, x ∈ R gilt:
n
2k+1
X
|x|2n+3
k x
(−1)
sin x −
≤
(2k + 1)! (2n + 3)!
k=0
n
2k
X
|x|2n+2
k x
≤
cos
x
−
(−1)
(2k)! (2n + 2)!
k=0
n
k
n+1
X
x x
|x| |x|
e −
≤ e
k! (n + 1)!
k=0
Satz 2.23 (Extremwert-Test)
Sei f : I → R n-mal stetig differenzierbar und a ∈ I mit
f 0 (a) = f 00 (a) = . . . = f (n−1) (a) = 0,
f (n) (a) 6= 0.
Ist n gerade, dann gilt:
f (n) (a) > 0 ⇒ a ist lokale Minimalstelle,
f (n) (a) < 0 ⇒ a ist lokale Maximalstelle.
Ist n ungerade, dann ist a keine Extremalstelle sondern ein
Wendepunkt (d.h. f 00 wechselt das Vorzeichen).
Taylorreihe
Sei f : I → R eine beliebig oft differenzierbare Funktion, I ein
offenes Intervall und a ∈ I . Die Taylorreihe von f mit
Entwicklungspunkt a ist die Potenzreihe:
∞
X
f (k) (a)
k=0
k!
(x − a)k .
(5)
Die Funktion f lässt sich um a in eine Taylorreihe entwickeln,
falls ein ε > 0 existiert, so dass
f (x) =
∞
X
f (k) (a)
k!
k=0
(x − a)k ,
|x − a| < ε.
(6)
Selbst wenn die Taylorreihe (5) einen positiven Konvergenzradius
hat, muss (6) nicht zutreffen!
Beispiel: Die Funktion f definiert durch
f (x) :=
e −1/x
0
0.5
x > 0,
x ≤ 0.
1
ist beliebig oft differenzierbar und
∞
X
f (k) (0)
k=0
k!
f (k) (0)
x k = 0 6= f (x),
= 0 für alle k ∈ N. Also
für x > 0.
Der Satz von Taylor ist anwendbar und er besagt, dass für jedes
n ∈ N die Funktion f durch das Restglied Rn (x, 0) gegeben ist:
1
f (x) =
(n − 1)!
Z
x
(x − t)
0
n−1 (n)
f
f (n) (ξn ) n
(t) dt =
x ,
n!
wobei ξn zwischen 0 und x liegt. Für festes x > 0 folgt
f (n) (ξn ) = f (x)n!/x n → ∞ für n → ∞.
Satz 2.24
Ist f auf dem Intervall I ⊂ R beliebig oft differenzierbar, und
a, x ∈ I , dann gilt
f (x) =
∞
X
f (k) (a)
k=0
k!
(x − a)k ,
genau dann, wenn Rn (x, a) = f (n) (ξx )(x − a)n /n! → 0, für x → a.
Dafür ist hinreichend, dass |f (n) (x)| ≤ AB n für alle x ∈ I , n ∈ N.
Landausche o-Symbole
Die o-Symbole o(·) (klein oh von...) und O(·) (groß oh von ...)
sind definiert durch
f (x) = o(g (x)),
(x → a)
⇔
|f (x)|
= 0,
x→a |g (x)|
f (x) = O(g (x)),
(x → a)
⇔
|f (x)| ≤ C |g (x)|
lim
für x nahe bei a.
In Anwendungen ist meist g (x) = 1 oder g (x) = (x − a)n für ein
n ∈ N. Aus Theorem 2.21 folgt:
f (x) =
n
X
f (k) (a)
k=0
k!
(x − a)k + O((x − a)n+1 ),
(x → a),
wenn f eine (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion auf einem
Intervall I 3 a, x ist.
Nachtrag zu Kap. 1: Stirlingsche Formel
Theorem 2.25 (Stirlingsche Formel)
Für alle n ≥ 1 gilt
√
2πn
n n
e
< n! ≤
√
2πn
n n
e
e 1/12n .
Nach diesem Theorem gilt
n! ≈
√
2πn
n n
e
mit dem relativen Fehler:
n! − √2πn n n 1
1/12n
e
≤
e
−
1
≤
.
√
n
10n
2πn ne
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n!
1
2
6
24
120
720
5040
40320
362880
3628800
√
2πn (n/e)n e 1/12n
1.002
2.000
6.000
24.001
120.002
720.009
5040.040
40320.217
362881.378
3628810.056
Differentialrechnung in Rn
Kurven in Rn
Wir betrachten vektorwertige Funktionen x : I → Rn definiert auf
einem Intervall I ⊂ R. Sei x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t))T und
c = (c1 , . . . , cn )T ∈ Rn . Der Limes limt→t0 x(t) wird
komponentenweise definiert. D.h.
lim x(t) = c
t→t0
def .
⇐⇒
lim xk (t) = ck .
t→t0
Somit gilt:
x(t + h) − x(t)
= (ẋ1 (t), . . . , ẋn (t))T
h→0
h
Z b
n
X
x(t)dt := lim
x(tk )∆t
ẋ(t) := lim
n→∞
a
Z
=
k=1
b
Z
x1 (t)dt, . . . ,
a
T
b
xn (t)dt
a
Folgerungen:
I
Die Funktion t 7→ x(t) ist stetig im Punkt t0
⇐⇒ alle Funktionen t 7→ xk (t), k = 1, . . . , n, sind stetig in
t = t0 .
I
Die Funktion t 7→ x(t) ist differenzierbar im Punkt t0
⇐⇒ alle Funktionen t 7→ xk (t) sind differenzierbar in t0 .
I
ẋ(t0 ) = v ⇐⇒ ẋk (t0 ) = vk für alle k = 1, . . . , n.
I
Für vektorwertige Funktionen t 7→ x(t) gilt ebenfalls der
Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung.
Satz 3.1
Sind x, y : I → Rn , γ : I → R differenzierbar und α, β ∈ R, dann
gilt
(a)
(b)
(c)
(d)
d
(αx + βy ) = αẋ + β ẏ ,
dt
d
(x · y ) = ẋ · y + x · ẏ ,
dt
d
(x ∧ y ) = ẋ ∧ y + x ∧ ẏ ,
dt
d
γx = γ̇x + γ ẋ.
dt
(n = 3),
Folgerung:
|x(t)| = const.
⇒
ẋ(t) ⊥ x(t),
alle t ∈ I .
Sei G ⊂ Rn und [a, b] ⊂ R. Eine stetig differenzierbare Abbildung
x : [a, b] → G nennen wir Kurvenstück in G mit Anfangspunkt
x(a), Endpunkt x(b) und Spur {x(t) : a ≤ t ≤ b}. Ein
Kurvenstück x heißt regulär, wenn ẋ(t) 6= 0 für alle t ∈ I .
Eine Kurve ist aus endlich vielen Kurvenstücken zusammengesetzt,
d.h., sie kann Ecken haben.
Kurvenstück in Zylindermantel
Kurve
Die Bogenlänge s : [a, b] → R eines Kurvenstücks x : [a, b] → G
ist definiert durch
Z
t
|ẋ(τ )| dτ.
s(t) :=
a
Ebene Kurven
Sei c(t) = (x(t), y (t)) eine reguläre Kurve in der Ebene und sei
ϕ(t) der Winkel zwischen x-Achse und Tangentenrichtung im
Punkt c(t). Die Krümmung κ(t) der Kurve c im Punkt c(t) ist
definiert durch:
∆ϕ(t)
ϕ̇(t)
=
∆t→0 ∆s(t)
ṡ(t)
κ(t) := lim
wobei
∆ϕ(t) := ϕ(t + ∆t) − ϕ(t)
∆s(t) := s(t + ∆t) − s(t),
Winkeländerung der Tangente und Zuwachs der Bogenlänge sind.
I Eine Gerade hat Krümmung κ = 0.
I Bei einem Kreis mit Radius r ist |κ| = 1/r .
Satz 3.2
(a) Die Krümmung eines zwei Mal stetig differenzierbaren
Kurvenstücks c(t) = (x(t), y (t))T beträgt
κ=
det(ċ, c̈)
ẋ ÿ − ẍ ẏ
=
|ċ|3
(ẋ 2 + ẏ 2 )3/2
(b) Die Krümmung des Graphen einer zwei Mal stetig
differenzierbaren Funktion f : [a, b] → R beträgt
κ(x) =
f 00 (x)
.
(1 + f 0 (x)2 )3/2
Der Krümmungskreis des Kurvenstücks c : [a, b] → R2 im Punkt
c(t) = (x(t), y (t)) ist der Kreis mit Radius r = 1/|κ(t)| und
derselben Tangentenrichtung wie c. Der Mittelpunkt
(xM (t), yM (t)) des Krümmungskreises ist gegeben durch:
xM (t) = x(t) −
ẏ (t)
1
p
κ ẋ(t)2 + ẏ (t)2
yM (t) = y (t) +
1
ẋ(t)
p
κ ẋ(t)2 + ẏ (t)2
Die durch die Mittelpunkte (xM (t), yM (t)) aller Krümmungskreise
gebildete Kurve heißt Evolute der gegebenen Kurve.
Raumkurven
Sei c(t) ein reguläres Kurvenstück mit ċ(t) 6= 0 und
ċ(t) ∧ c̈(t) 6= 0 für alle t. Man definiert
T (t) := ċ(t)/|ċ(t)|,
Tangenteneinheitsvektor,
N(t) := Ṫ (t)/|Ṫ (t)|,
Normalenvektor,
B(t) := T (t) ∧ N(t),
Binormalenvektor.
Das Orthonormalsystem {T (t), N(t), B(t)} heißt begleitendes
Dreibein der Kurve im Punkt c(t) und die durch (T (t), N(t))
aufgespannte Ebene durch c(t) heißt Schmiegebene der Kurve im
Punkt c(t).
Die Krümmung κ einer Raumkurve c ist definiert durch
|∆T (t)|
|Ṫ (t)|
=
.
∆t→0 ∆s(t)
ṡ(t)
κ(t) := lim
Sie ist immer positiv im Gegensatz zur Krümmung einer ebenen
Kurve. Abgesehen davon ist die Interpretation dieselbe: 1/κ ist der
Radius des Krümmungskreises in der Schmiegebene. Die Zerlegung
von ċ und c̈ bezüglich der Basis {T (t), N(t), B(t)} lautet
ċ = ṡT ,
c̈ = s̈T + ṡ 2 κN,
und daraus folgt:
κ(t) =
|ċ(t) ∧ c̈(t)|
|ċ(t)|3
Das Herauswinden einer Raumkurve aus der Schmiegebene wird
beschrieben durch Ḃ/ṡ wobei Ḃ ⊥ B und Ḃ ⊥ T denn |B| = 1
und Ḃ = Ṫ ∧ N + T ∧ Ṅ = T ∧ Ṅ. Also ist Ḃ parallel zu N und
somit ist die Torsion
1
τ := − Ḃ · N
ṡ
ein skalares Maß für das Herauswinden aus der Schmiegebene. Aus
Ḃ · N = −B · Ṅ und der Ableitung von c̈ = s̈T + ṡ 2 κN bekommt
man
...
det(ċ, c̈, c )
τ=
|ċ ∧ c̈|2
Funktionen mehrer
Variablen
Definitionen
Ein Funktion von n Variablen ist eine Abbildung:
f : D ⊂ Rn → R
die jedem Punkt x = (x1 , . . . , xn ) ∈ D eine Zahl f (x) ∈ R
zuordnet. Zur Beschreibung und Untersuchung solcher Funktionen
ist es nützlich, f auf Teilmengen von D zu betrachten. Man
definiert dazu:
I Die Niveaumenge (Niveaulinie, Niveaufläche) von f zum
Niveau c:
Nc := {x ∈ D | f (x) = c}
I
Die n partiellen Funktionen von f , welche durch festhalten
von n − 1 Variablen entstehen:
xi 7→ f (a1 , . . . , ai−1 , xi , ai+1 , . . . an )
Bekanntlich ist der Graph von f die Menge
Γf := {(x, f (x)) | x ∈ D} ⊂ Rn+1 .
Beispiele
Druck und Temperatur als Funktion von geographischer Breite und
Länge:
Isobaren = Niveaulinien zu festem Druckniveau,
Isothermen = Niveaulinien zu konstantem Temperaturniveau.
Die partiellen Funktionen des Affensattels
f : R2 → R,
f (x, y ) = x 3 − 3xy 2
x 7→ f (x, b) = x 3 − 3xb 2
y 7→ f (a, y ) = a3 − 3ay 2
kubische Parabeln
Parabeln
y
y
x
x
Grenzwerte und Stetigkeit
Der Abstand von zwei Punkten x, y ∈ Rn wird definiert durch
v
u n
uX
|x − y | := t (xi − yi )2 .
i=1
Zu jedem Punkt a ∈ Rn und zu jedem ε > 0 ist eine ε-Umgebung
von a definiert durch
Uε (a) := {x ∈ Rn | |x − a| < ε}.
Für n = 1 ist Uε (a) = (a − ε, a + ε), für n = 2 ist Uε (a) eine
Kreisscheibe um a, für n = 3 ist Uε (a) eine Kugel um a mit Radius
ε.
Sei D ⊂ Rn .
I
Ein Punkt a ∈ D heißt inneren Punkt von D wenn es eine
ε-Umgebung von a gibt die ganz in D liegt: Uε (a) ⊂ D.
I
D heißt offen, wenn jeder Punkt von D ein innerer Punkt von
D ist.
I
Ein Punkt b ∈ Rn heißt Randpunkt von D wenn jede
ε-Umgebung von b sowohl D als auch Rn \D schneidet. Die
Menge der Randpunkte von D heißt Rand von D und wird
mit ∂D bezeichnet.
I
Die Menge D heißt abgeschlossen, wenn sie alle ihre
Randpunkte enthält, d.h. wenn ∂D ⊂ D.
I
Die Menge D̄ = D ∪ ∂D heißt Abschluss von D.
b
D
a
Sei f : D ⊂ Rn → R und sei a ∈ ∂D.
(a) f hat in a den Grenzwert c ∈ R, in Zeichen
lim f (x) = c,
x→a
oder f (x) → c, (x → a)
wenn es zu jedem ε > 0 eine δ-Umgebung gibt, so dass
x ∈ Uδ (a)
⇒
|f (x) − f (a)| < ε.
(b) f heißt stetig im Punkt a wenn limx→a f (x) = f (a).
(c) Die Funktion f heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt von D
stetig ist.
Satz 3.3
Summe, Produkt und Quotient stetiger Funktionen sind stetig.
Satz 3.4
Sind f : D ⊂ Rn → R und g : R → R stetig, dann ist auch
x 7→ g (f (x)) auf D stetig.
Vorsicht: Die Stetigkeit der partiellen Funktionen x 7→ f (x, b) und
y 7→ f (a, y ) garantiert nicht, dass f im Punkt (a, b) stetig ist! Sei
f : R2 → R definiert durch f (0, 0) = 0 und
f (x, y ) =
2xy
,
x2 + y2
(x, y ) 6= (0, 0)
dann gilt f (x, 0) = f (0, y ) = 0 für alle x, y ∈ R, aber f (x, x) = 1
für alle x ∈ R. Also ist f im Punkt (0, 0) nicht stetig.
Eine Menge D ⊂ Rn heißt beschränkt, wenn es eine Zahl R gibt
mit
x ∈ D ⇒ |x| < R.
Eine Menge D ⊂ Rn heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und
beschränkt ist.
Theorem 3.5
Sei D ⊂ Rn kompakt und f : D → R stetig. Dann gilt:
(a) Die Funktion f nimmt ihr Maximum und ihr Minimum an,
d.h. es gibt a, b ∈ D mit
f (a) ≤ f (x) ≤ f (b)
für alle x ∈ D.
(b) Die Funktion f ist gleichmäßig stetig, d.h. zu jedem ε > 0
gibt es ein δ > 0, so dass für alle x, y ∈ D gilt:
|x − y | < δ
⇒
|f (x) − f (y )| < ε.
Partielle Ableitungen
Sei D ⊂ Rn offen und sei f : D → R. Falls die Ableitung der
partiellen Funktion
xi 7→ f (a1 , . . . , ai−1 , xi , ai+1 , . . . , an )
an der Stelle xi = ai existiert, so heißt sie partielle Ableitung von
f nach xi im Punkt a = (a1 , . . . , an ). Sie wird mit
∂f
(a),
∂xi
∂xi f (a),
∂i f (a),
oder fxi (a)
bezeichnet. Also
1
f (x1 , . . . , xi−1 , xi + t, xi+1 , . . . , xn ) − f (x1 , . . . , xn )
t→0 t
f (x + tei ) − f (x)
= lim
t→0
t
∂i f (x) := lim
wobei ei den iten Basisvektor der Standardbasis von Rn bezeichnet.
Die Funktion f : D ⊂ Rn → R heißt partiell differenzierbar, wenn
alle partiellen Ableitungen ∂i f (x) in allen Punkten x ∈ D
existieren. Sie heißt stetig partiell differenzierbar, wenn die
partiellen Ableitungen auch noch stetig sind. Sind die partiellen
Ableitungen ∂i f wieder partiell differenzierbar, dann schreibt man
∂2f
∂
∂f
≡ fxk xi ≡ (fxk )xi :=
∂xi ∂xk
∂xi ∂xk
∂
∂2f
∂f
:=
.
∂xi ∂xi
∂xi2
und man sagt, f sei zweimal partiell differenzierbar. f heißt
k-Mal partiell differenzierbar, wenn f (k − 1)-Mal partiell
differenzierbar ist, und alle kten partiellen Ableitungen
∂k f
≡ fxik ...xi1
∂xi1 . . . ∂xik
existieren. Sind sämtliche Funktionen fxik ...xi1 stetig, dann heißt f
k-Mal stetig partiell differenzierbar.
C 0 (D) := {f : D → R | f ist stetig}
C k (D) := {f : D → R | f ist k-Mal stetig partiell differenzierbar}
Satz 3.6 (Schwarz)
Sei D ⊂ Rn offen und sei f ∈ C 2 (D). Dann gilt
∂
∂f
∂
∂f
=
∂xk ∂xi
∂xi ∂xk
für alle i, k ∈ {1, . . . , n}.
I
I
Im Allgemeinen ist ∂i (∂k f ) 6= ∂k (∂i f ), wenn die zweiten
partiellen Ableitungen nicht stetig sind!
Aus dem Satz von Schwarz folgt
∂x (∂y (∂z f )) = ∂y (∂x (∂z f )) = ∂z (∂y (∂x f )) = etc.
wenn f (x, y , z) dreimal stetig partiell differenzierbar ist.
Ableitung und lineare Approximation
Sei D ⊂ Rn offen. Eine Funktion f : D → R heißt differenzierbar
in x0 ∈ D, wenn es einen Vektor a ∈ Rn gibt mit
lim
x→x0
|f (x) − f (x0 ) − a · (x − x0 )|
=0
|x − x0 |
was äquivalent ist zu
f (x) = f (x0 ) + a · (x − x0 ) + o(|x − x0 |),
(x → x0 ),
bzw.
f (x0 + h) = f (x0 ) + a · h + o(|h|),
(h → 0).
Die lineare Abbildung h 7→ a · h heißt Ableitung oder Differential
von f im Punkt x0 und wird mit df (x0 ) bezeichnet. D.h.
df (x0 )h = a · h.
Satz 3.7
Sei f in x0 differenzierbar mit Ableitung df (x0 )h = a · h. Dann gilt:
(a) f ist stetig in x = x0 ,
(b) Für jeden Vektor v ∈ Rn gilt:
i
d
1h
f (x0 + tv )
= lim f (x0 + tv ) − f (x0 ) = a · v .
t→0 t
dt
t=0
(c) f ist partiell differenzierbar in x0 und


∂1 f (x0 )


a =  ...  =: ∇f (x0 ).
∂n f (x0 )
Der Vektor ∇f (x0 ) heißt Gradient von f im Punkt x0 . Das
Symbol ∇ wird mit Nabla bezeichnet.
Korollar 3.8
Ist f : D ⊂ Rn → R in x0 differenzierbar, dann gilt
f (x) = f (x0 ) + ∇f (x0 ) · (x − x0 ) + o(|x − x0 |),
Für x nahe bei x0 gilt also:
f (x) ≈ f (x0 ) + ∇f (x0 ) · (x − x0 )
im Sinn von Korollar 3.8. Der Graph der
Funktion L(x) = f (x0 )+∇f (x0 )·(x −x0 )
ist, für n = 2, die Tangentialebene an
den Graphen von f im Punkt x0 .
(x → x0 ).
Satz 3.9
Ist D ⊂ Rn offen und f : D → R stetig partiell differenzierbar,
dann ist f auf D (total) differenzierbar.
Wenn die partiellen Ableitungen von f existieren aber nicht stetig
sind, dann braucht f nicht differenzierbar zu sein! Ein Beispiel
dafür ist die Funktion f : R2 → R mit f (0, 0) = 0, und
xy 2
f (x, y ) = 2
,
x + y2
(x, y ) 6= (0, 0).
Fehlerrechnung
Sei f differenzierbar im Punkt x0 , sei ∆f := f (x) − f (x0 ),
∆x := x − x0 ∈ Rn und sei ∆xk = (x − x0 )k . Dann gilt
∆f (x) = ∇f (x0 ) · ∆x + o(|∆x|),
(x → x0 ),
n
X
∂f
=
(x0 )∆xk + o(|∆x|),
(x → x0 ).
∂xk
k=1
Daraus folgt
n X
∂f
|∆f (x)| ≤
∂xk (x0 ) |∆xk | + o(|∆x|),
(x → x0 ).
k=1
P
Somit kann nk=1 |∂k f (x0 )||∆xk | als approximative Schranke für
|∆f (x)| angesehen werden (vgl. Fehlerabschätzung bei
Messungen).
Richtungsableitung und Kettenregel
Sei v ∈ Rn . Wir definieren
i
1h
Dv f (x) := lim f (x + tv ) − f (x)
t→0 t
falls dieser Limes existiert. Wenn |v | = 1 dann heißt Dv f (x)
Richtungsableitung von f an der Stelle x in Richtung v und kann
als Steigung von f an der Stelle x in Richtung v interpretiert
werden. Wenn f partiell differenzierbar ist, dann
Dek f (x) = ∂k f (x),
k = 1...,n
und falls f differenzierbar ist, dann gilt nach Satz 3.7
Dv f (x0 ) = ∇f (x0 ) · v =
n
X
∂k f (x)vk .
k=1
Die Formel Dv f (x0 ) = ∇f (x0 ) · v ist ein Spezialfall von:
Satz 3.10 (Kettenregel)
Sei D ⊂ Rn offen, f ∈ C 1 (D) und sei x : [a, b] → D differenzierbar
(z.B. ein Kurvenstück.) Dann gilt:
n
X
d
f (x(t)) = ∇f (x(t)) · ẋ(t) =
∂k f (x(t))ẋk (t).
dt
k=1
Folgerungen:
I
Der Gradient ∇f (x0 ) steht senkrecht auf der Niveaufläche
Nf (x0 ) = {x ∈ D | f (x) = f (x0 )}.
I
Der Gradient ∇f (x) zeigt in die Richtung des steilsten
Anstiegs von f an der Stelle x und |∇f (x)| ist die Steigung
von f in dieser Richtung.
Niveaulinien und Gradientenfeld
f (x, y ) = x 2 + 3y 2
2x
∇f (x, y ) =
6y
g (x, y ) = x 3 − 3xy 2
2
3x − 3y 2
∇g (x, y ) =
−6xy
Taylorsche Formel
Sei D ⊂ Rn offen und konvex, d.h. wenn x, y ∈ D dann ist
x + t(y − x) ∈ D für 0 ≤ t ≤ 1. Sei f ∈ C m (D), x ∈ D, v ∈ Rn
und x + v ∈ D. Um f (x + v ) zu berechnen betrachten wir
h(t) := f (x + tv )
für 0 ≤ t ≤ 1.
Es gilt f (x + v ) = h(1) und nach dem Satz von Taylor
(Theorem 2.21):
h(t) =
m
X
h(k) (0)
k=0
k!
h(m+1) (ξt ) m+1
t +
t
(m + 1)!
k
1 00
h(m) (0) h(m+1) (ξ)
h(1) = h(0) + h (0) + h (0) + . . . +
+
2
m!
(m + 1)!
0
wobei 0 ≤ ξ ≤ 1.
Nach der Kettenregel gilt
0
h (t) =
h00 (t) =
h000 (t) =
n
X
vk (∂k f )(x + tv ),
k=1
n
X
vi vj (∂i ∂j f )(x + tv ),
i,j=1
n
X
vi vj vk (∂i ∂j ∂k f )(x + tv ).
i,j,k=1
Also h0 (0) = v · ∇f (x) und
h00 (0) = v T Hf (x)v
mit der Hesseschen Matrix Hf (x)ij = (∂i ∂j f )(x). Allgemein gilt
h(k) (0) = (Dvk f )(x) = Dv (Dv (Dv . . . f )))(x)
mit k-maliger Anwendung von Dv auf f .
Theorem 3.11
Sei D ⊂ Rn offen und konvex und sei f ∈ C 3 (D). Für alle
x, x + v ∈ D gilt
1
f (x + v ) = f (x) + v · ∇f (x) + v T Hf (x)v + O(|v |3 ),
2
I
(v → 0).
Im Fall n = 1 reduziert sich die Aussage des Theorems auf
1
f (x + v ) = f (x) + f 0 (x)v + f 00 (x)v 2 + O(v 3 ),
2
(v → 0)
was bekannt ist aus Kapitel 2.5.
I
Die quadratische Form 12 v T Hf (x)v beschreibt die Abweichung
der Funktion f von der Tangentialebene v 7→ f (x) + v · ∇f (x)
an der Stelle x korrekt bis auf Terme der Größe O(|v |3 ).
Klassifikation der Flächenpunkte durch die quadratische Form
q(v ) = v T Hf (x)v
x ∈D
Flachpunkt
elliptisch
parabolisch
hyperbolisch
Hf (x)
Nullmatrix
pos./neg. definit
semidefinit, nicht definit
indefinit
elliptisch
parabolisch
Graph von q
Ebene
elliptisches Paraboloid
parabolischer Zylinder
hyperbolisches Paraboloid
hyperbolisch
Bemerkungen:
I
Falls f ∈ C 3 (D) und
f (x + v ) = a0 +
n
X
k=1
ak vk +
n
X
Ak1 k2 vk1 vk2 + o(|v |2 )
k1 ,k2 =1
dann gilt a0 = f (x), a = ∇f (x), und Ak1 k2 = ∂k1 ∂k2 f (x)/2.
I
Theorem 3.11 und obige Bemerkung haben naheliegende
Verallgemeinerungen auf Funktionen die m + 1 Mal stetig
differenzierbar sind (vgl. Meyberg/Vachenauer).
Lokale Minima und Maxima
Ein Punkt a ∈ D heißt lokale Maximalstelle der Funktion
f : D → R, wenn es eine Umgebung Uε (a) von a gibt, so dass
x ∈ Uε (a) ∩ D
⇒
f (x) ≤ f (a).
Der Punkt a heißt globale Maximalstelle von f , wenn
x ∈D
⇒
f (x) ≤ f (a)
Die Zahl f (a) heißt lokales, bzw., globales Maximum. Die
Begriffe lokale/globale Minimalstelle und lokales/globales
Minimum sind analog definiert. Extremwert ist der gemeinsame
Überbegriff für Maximum und Minimum.
Satz 3.12 (Lokale Extrema im Inneren)
Ist a ein innerer Punkt von D ⊂ Rn und ist f : D → R partiell
differenzierbar im Punkt a, dann gilt
a ist lokale Extremalstelle von f
⇒
∇f (a) = 0.
Ein Punkt a ∈ D wo ∇f (a) = 0 heißt stationärer oder kritischer
Punkt von f . Ein stationärer Punkt, welcher keine Extremalstelle
ist nennen wir Sattelpunkt. In einem stationären Punkt a gilt
1
f (a + v ) = f (a) + v T Hf (a)v + o(|v |2 ),
2
(v → 0),
wobei Hf (a) = (∂i ∂j f (a)) die Hesse-Matrix von f im Punkt a ist.
Wir nehmen hier an f sei eine C 2 −Funktion in einer Umgebung
von a. Daraus folgt:
Satz 3.13 (Extremstellen-Test)
Sei D ⊂ Rn offen und sei a ∈ D ein stationärer Punkt einer
C 2 -Funktion f : D → R. Dann gilt:
Hf (a) positiv definit ⇒ a ist lokale Minimalstelle,
Hf (a) negativ definit ⇒ a ist lokale Maximalstelle,
Hf (a) indefinit ⇒ a ist Sattelpunkt.
Im Fall n = 2 ist die Hesse-Matrix eine 2 × 2-Matrix:
fxx (a) fyx (a)
Hf (a) =
.
fxy (a) fyy (a)
Korollar 3.14 (Extremstellen-Test für n = 2)
Sei D ⊂ R2 offen und sei a ∈ D ein stationärer Punkt einer
C 2 -Funktion f : D → R. Dann gilt:
det Hf (a) > 0, fxx (a) > 0
⇒ a ist lokale Minimalstelle,
det Hf (a) > 0, fxx (a) < 0 ⇒ a ist lokale Maximalstelle,
det Hf (a) < 0 ⇒ a ist Sattelpunkt.
Lokale Extrema der Funktion:
f (x, y ) = x 4 + y 3 − x 2 − y 2
Satz über implizite Funktionen
Problemstellung: Durch eine Gleichung der Form f (x, y ) = 0 wird
eine Kurve in der Ebene beschrieben. Lassen sich wenigstens Teile
dieser Kurve als Graph y = g (x) eine Funktion g auffassen? Was
lässt sich über g aussagen?
2
3
4
3
x 3 + y 3 − 3xy = 0
Satz 3.15
Sei D ⊂ R2 offen, f ∈ C 1 (D) und sei (x0 , y0 ) eine Lösung von
f (x, y ) = 0 wobei ∂2 f (x0 , y0 ) 6= 0. Dann gibt es Intervalle
I = (x0 − δ, x0 + δ), K = (y0 − ε, y0 + ε) und eine differenzierbare
Funktion g : I → K mit
(a) I × K ⊂ D
(b) Für alle x ∈ I gilt f (x, g (x)) = 0 und y = g (x) ist die einzige
Lösung von f (x, y ) = 0 in K .
(c) Für alle x ∈ I ist ∂2 f (x, g (x)) 6= 0 und
g 0 (x) = −
∂1 f (x, g (x))
∂2 f (x, g (x))
Die Funktion g wird implizit durch die Gleichung f (x, y ) = 0
definiert.
Bemerkungen:
I
Ist f (x0 , y0 ) = 0 und ∂1 f (x0 , y0 ) 6= 0, dann lässt sich die
Gleichung f (x, y ) = 0 nach x als Funktion von y auflösen,
d.h. es gibt eine Funktion h : (y0 − ε, y0 + ε) → R mit
f (h(y ), y ) = 0 für y0 − ε < y < y0 + ε.
I
Der Satz 3.15 gilt auch für C 1 −Funktionen f : D ⊂ Rn → R:
Falls
f (a1 , . . . , an ) = 0,
und ∂n f (a1 , . . . , an ) 6= 0
dann gibt es eine Umgebung U ⊂ Rn−1 von (a1 , . . . , an−1 ),
ein Intervall K = (an − ε, an + ε), und ein differenzierbare
Funktion g : U → K , so dass U × K ⊂ D,
f (x1 , . . . , xn−1 , g (x1 , . . . , xn−1 )) = 0
(7)
und xn = g (x1 , . . . , xn−1 ) ist die einzige Lösung von (7) in K .
Extrema mit Nebenbedingung
Die Funktion f : D ⊂ Rn → R ist im Punkt p ∈ D lokal maximal
unter der Nebenbedingung g (x) = 0, wenn p in der Menge
M := {x ∈ D | g (x) = 0} liegt und eine Umgebung Uε (p) von p
existiert, so dass
x ∈ Uε (p) ∩ M ⇒ f (x) ≤ f (p).
Satz 3.16
Sind f : D ⊂ Rn → R und g : Rn → R zwei C 1 -Funktionen und ist
f im Punkt p lokal extremal unter der Nebenbedingung g (x) = 0,
wobei ∇g (p) 6= 0, dann gibt es eine Zahl λ, so dass
∇f (p) = λ∇g (p).
Die Zahl λ heißt Langrange Multiplikator.
I
Um Kandidaten für Extremalstellen von f unter der
Nebenbedingung g (x) = 0 zu finden, müssen, nach Satz 3.16,
die n + 1 Gleichungen
∇f (x) − λ∇g (x) = 0
g (x) = 0.
nach x1 , . . . , xn , λ aufgelöst werden. Dabei ist der Wert von λ
meist nicht von Interesse.
I
Satz 3.16 hat folgende Verallgemeinerung auf k < n
Nebenbedingungen: sind f , g1 , . . . gk C 1 −Funktionen und sind
∇g1 (x), . . . , ∇gk (x) linear unabhängig für alle x aus
M := {x ∈ Rn | g1 (x) = . . . = gk (x) = 0}, dann sind die
Extremalpunkte von f unter den Nebenbedingungen
g1 (x) = . . . = gk (x) = 0 zu finden unter den Lösungen von
∇f (x) − λ1 ∇g1 (x) − . . . λk ∇gk (x) = 0,
g1 (x) = . . . = gk (x) = 0.
(8)
Die Funktion
F (x1 . . . , xn , λ1 , . . . , λk )
:= f (x1 . . . , xn ) −
k
X
λi gi (x1 . . . , xn )
i=1
wird Lagrangesche Prinzipalfunktion genannt. Die Gleichungen
(8) sind äquivalent zu den n + k Gleichungen
∇F (x1 . . . , xn , λ1 , . . . , λk ) = 0.
(9)
Ist für alle Punkte von M := {x ∈ Rn | g1 (x) = . . . = gk (x) = 0}
die Bedingung der linearen Unabhängigkeit von ∇g1 , . . . , ∇gk
erfüllt, dann nennt man M eine (n − k)-dimensionale Fläche, und
die Punkte x ∈ M, welche zu Lösungen von (8) bzw. zu (9)
gehören, heißen bedingt stationäre Punkte von f (bez. M).
Globale Extrema
Ist K ⊂ Rn kompakt und die Funktion f : K → R stetig, dann
nimmt sie ihr globales Minimum und ihr globales Maximum in K
an (Thm. 3.5). D.h. es gibt Punkte a, b ∈ K , so dass
f (a) ≤ f (x) ≤ f (b),
für alle x ∈ K .
Kandidaten für a, b sind:
I
die stationären Punkte von f im Inneren von K ,
I
die bedingt stationären Punkte von f in Teilflächen von ∂K ,
I
die Eckpunkte von K und die Punkte wo f nicht
differenzierbar ist.
Um f (a) und f (b) zu finden, muss f in allen obengenannten
Punkten ausgewertet werden.
Vektorwertige Funktionen
Wir betrachten nun Funktionen der Form

f : D ⊂ Rn → Rm ,

f1 (x1 , . . . , xn )


..
f (x1 , . . . , xn ) = 

.
fm (x1 , . . . , xn )
Definitionen:
(a)


limx→x0 f1 (x)


..
lim f (x) = 
,
.
x→x0
limx→x0 fm (x)
f (x + tek ) − f (x)
t→0
t
∂k f (x) = lim
(c) f heißt stetig in x = x0 wenn limx→x0 f (x) = f (x0 ).
(d) f heißt C r -Funktion (Funktion der Klasse C r (D)), wenn alle
partiellen Ableitungen ∂k1 . . . ∂kr f existieren und stetig sind.
Satz 3.17
Für jede Funktion f : D ⊂ Rn → Rm mit f = (f1 , . . . , fm )T gilt:
(a) f ist genau dann stetig im Punkt x0 wenn alle
Komponentenfunktionen fk stetig sind in x0 .
(b) f ist genau dann partiell differenzierbar im Punkt x0 wenn alle
Komponentenfunktionen fk in x0 partiell differenzierbar sind
und dann gilt


∂k f1 (x)


..
∂k f (x) = 
,
.
∂k fm (x)
(c) f ist genau dann eine C r -Funktion, wenn f1 , . . . , fm
C r -Funktion sind.
Sei D ⊂ Rn offen. Eine Funktion f : D → Rm heißt differenzierbar
im Punkt x0 ∈ D, wenn eine m × n Matrix A existiert, so dass
|f (x0 + h) − f (x0 ) − Ah|
= 0,
h→0
|h|
lim
oder, äquivalent dazu, wenn
f (x0 + h) = f (x) + Ah + o(h),
(|h| → 0)
Die lineare Abbildung h 7→ Ah heißt Ableitung von f an der Stelle
x0 und wird mit df (x0 ) oder Df (x0 ) bezeichnet. D.h. df (x)h = Ah.
Satz 3.18
Eine Funktion f = (f1 , . . . , fm )T ist genau dann differenzierbar in
x0 , wenn alle m Komponentenfunktionen f1 , . . . , fm in x0
differenzierbar sind.
Satz 3.19
Sei f in x0 differenzierbar mit Ableitung df (x0 )h = Ah. Dann gilt:
(a) f ist stetig in x = x0 ,
(b) Für jeden Vektor v ∈ Rn gilt:
i
d
1h
f (x0 + tv )
= lim f (x0 + tv ) − f (x0 ) = Av .
t→0 t
dt
t=0
(c) f ist partiell differenzierbar in x0 und


∇f1 (x0 )T


..
A = (∂1 f , . . . , ∂n f ) = 
 =: Jf (x0 ).
.
∇fm (x0 )T
D.h. Jf (x0 )ik = fi,k (x0 ) = ∂k fi (x0 ).
Die m × n Matrix Jf (x0 ) heißt Jacobi-Matrix von f im Punkt x0 .
Aus den Sätzen 3.9, 3.18 und 3.19 folgt:
Theorem 3.20
Sei D ⊂ Rn offen und f (x) = (f1 (x), . . . , fm (x))T für x ∈ D. Falls
f1 , . . . , fm stetige partielle Ableitungen haben, dann ist f
differenzierbar und somit für alle x, x0 ∈ D,
f (x) ≈ f (x0 ) + Jf (x0 )(x − x0 )
mit dem Fehler o(x − x0 ) für x → x0 .
Satz 3.21
Sei D ⊂ Rn offen und
konvex und sei f : D → Rm eine
P
C 1 -Abbildung. Falls m
k=1 |∇fk (x)| ≤ M für alle x ∈ D, dann gilt
|f (x) − f (x0 )| ≤ M|x − x0 |
für alle x, x0 ∈ D.
Vorsicht: Der Mittelwertsatz gilt nicht für m > 1!
Offensichtlich gilt für differenzierbare Funktionen f (x), g (x) ∈ Rm :
Jαf +βg (x) = αJf (x) + βJg (x)
wenn α, β Konstanten sind.
Theorem 3.22 (Kettenregel)
Ist f : D ⊂ Rn → Rm differenzierbar im Punkt x0 ∈ D und ist
g : G ⊂ Rm → R` differenzierbar in f (x0 ) ∈ G , dann ist
(g ◦ f )(x) = g (f (x)) differenzierbar in x0 und
Jg ◦f (x0 ) = Jg (f (x0 ))Jf (x0 ).
Im Fall n = m = 1 reduziert sich die Aussage von Theorem 3.22
auf die altbekannte Kettenregel (g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x).
Schreibt man y (x) = f (x) dann bekommt die Kettenregel die
suggestive Form
n
X ∂gi
∂yj
∂
gi (f (x)) =
(y )
(x).
∂xk
∂yj
∂xk
j=1
Satz 3.23
Sei D ⊂ Rn offen, sei f : D ⊂ Rn → Rn eine C 1 -Funktion und sei
x0 ein Punkt mit det Jf (x0 ) 6= 0. Dann gibt es offene Mengen
U 3 x0 und V 3 y0 = f (x0 ), so dass f : U → V bijektiv ist,
f −1 : V → U wieder eine C 1 -Funktion ist und
Jf −1 (y0 ) = Jf (x0 )−1 .
Beweis: Siehe O. Forster, Analysis 2.
Vektorfelder und Skalarfelder
Ein Vektorfeld v auf D ⊂ Rn ist eine Abbildung v : D → Rn
(m = n), wobei man sich den Vektor v (x) im Punkt x ∈ D
angeheftet vorstellt. Ein C r -Vektorfeld ist eine Vektorfeld, das
r -Mal stetig partiell differenzierbar ist. Ein Skalarfeld f auf
D ⊂ Rn ist eine Funktion f : D → R (m = 1).
Windgeschwindigkeit ist ein Vektorfeld, Druck ein Skalarfeld
Die Divergenz (oder Quellstärke) eines C 1 -Vektorfeldes v auf D
ist das Skalarfeld div v auf D definiert durch
div v :=
n
X
∂k vk .
k=1
Formal: div v (x) = ∇ · v (x), das Skalarprodukt von
∇ = (∂1 , ∂2 , ∂3 )T mit v (x).
Die Rotation (oder Wirbeldichte) eines C 1 -Vektorfeldes v auf
D ⊂ R3 ist das Vektorfeld rot v : D → R3 definiert durch


∂2 v3 − ∂3 v2
rot v := ∂3 v1 − ∂1 v3 
∂1 v2 − ∂2 v1
Formal: rot v (x) = ∇ ∧ v (x), das Vektorprodukt von ∇ mit v (x).
Vektorfelder mit konstanter Divergenz/Rotation
x
v (x, y ) =
y
w (x, y ) =
−y
x
∂1 w2 − ∂2 w1 = 2.
div v = 2
Das Skalarfeld ∆f (sprich Laplace f ) eines C 2 -Skalarfeldes
f : D ⊂ Rn → R ist definiert durch
∆f =
n
X
∂2f
k=1
mit dem Laplace-Operator ∆ :=
∂xk2
Pn
2
k=1 ∂k .
Sei f ein Skalar- und v ein Vektorfeld auf D ⊂ R3 , wobei beide
Felder zwei-, bzw. einmal stetig partiell differenzierbar sind, dann
gilt:
rot(grad f ) = 0,
div(rot v ) = 0,
Gradientenfelder sind wirbelfrei,
die Rotation eines Vektorfeldes ist quellfrei,
div(grad f ) = ∆f ,
div(fv ) = (grad f )v + f div v ,
rot(fv ) = (grad f ) ∧ v + f rot v ,
rot(rot v ) = grad(div v ) − ∆v .
Jedes wirbelfreie Vektorfeld ist lokal ein Gradientenfeld, und jedes
quellfreie Vektorfeld ist lokal die Rotation eines anderen
Vektorfeldes:
Theorem 3.24
Sei v : UR (x0 ) ⊂ R3 → R3 ein C 1 -Vektorfeld. Dann gilt:
rot v = 0 in UR (x0 ) ⇒ v = grad f in UR (x0 ),
div v = 0 in UR (x0 ) ⇒ v = rot w in UR (x0 ),
wobei f und w gewählt werden können als:
Z 1
f (x) :=
v (x0 + t(x − x0 )) · (x − x0 )dt,
0
Z 1
w (x) :=
tv (x0 + t(x − x0 )) ∧ (x − x0 )dt.
0
Das skalare Potential f und das Vektorpotential w sind durch v
nicht eindeutig bestimmt!
Koordinatenwechsel
Im affinen Koordinatensystem K = (p; b1 , b2 , b3 ) von R3 wird ein
Vektor x ∈ R3 dargestellt durch den Koordinatenvektor
y = (y1 , y2 , y3 )T mit
x=
2
X
yk bk + p = By + p,
B = (b1 , b2 , b3 ).
k=1
Das Skalarfeld f und das Vektorfeld v werden in K dargestellt
durch y 7→ g (y ) ∈ R und y 7→ w (y ) ∈ R3 wobei
g (y ) = f (x),
Bw (y ) = v (x),
d.h. g (y ) = f (By + p),
d.h. w (y ) = B T v (By + p).
Hier wurde B −1 = B T angenommen. D.h. {b1 , b2 , b3 } sei eine
Orthonormalbasis von R3 .
Satz 3.25
Sei B eine Orthogonalmatrix mit det B = 1 und p ∈ R3 ein fester
Punkt. Sei f ein C 2 -Skalarfeld, v ein C 1 -Vektorfeld und sei
g (y ) := f (x),
w (y ) := B T v (x)
wobei x = By + p, dann gilt:
(∆g )(y ) = (∆f )(x)
(∇g )(y ) = B T (∇f )(x)
(div w )(y ) = (div v )(x)
(rot w )(y ) = B T (rot v )(x).
Die Skalarfelder ∆f und div v transformieren sich gleich wie f , die
Vektorfelder ∇f und rot v transformieren sich gleich wie v .
Formal:
∆y = ∆x
und ∇y = B T ∇x .
Integralrechnung in Rn
Integrale mit Parameter
Wir betrachten Funktionen der Form:
Z d
F (x) =
f (x, y )dy .
(10)
c
Satz 4.1
Sei f : [a, b] × [c, d] → R stetig und sei F : [a, b] → R definiert
durch (10), wobei a, b, c, d ∈ R. Dann gilt:
(a) F ist stetig in [a, b].
(b) Wenn zusätzlich ∂x f existiert und stetig ist, dann ist F
differenzierbar und es gilt:
d
F (x) =
dx
0
Z
d
d
Z
f (x, y )dy =
c
∂x f (x, y )dy .
c
(c)
b
Z
Z
d
d
Z
Z
f (x, y )dy dx =
a
c
b
f (x, y )dx dy .
c
a
Satz 4.2 (Leibniz-Regel)
Die Funktion f : [a, b] × [c, d] → R erfülle die Annahmen von
Satz 4.1 (b) und g , h : [a, b] → [c, d] seien differenzierbar. Dann
gilt:
d
dx
Z
h(x)
f (x, y )dy
g (x)
0
0
Z
h(x)
= f (x, h(x))h (x) − f (x, g (x))g (x) +
∂x f (x, y )dy .
g (x)
Kurvenintegrale
Sei γ : [a, b] → Rn , γ : t 7→ x(t), ein reguläres Kurvenstück und sei
f : Spur γ → R stetig. Das Kurvenintegral von f längs γ ist
definiert durch:
Z
Z b
f ds :=
f (x(t))|ẋ(t)|dt.
γ
a
Eine Kurve γ in D ⊂ Rn ist eine endliche Kollektion von
Kurvenstücken
γk : [ak , bk ] → D,
k = 1, . . . , n
k = 1, . . . , n − 1.
γk (bk ) = γk+1 (ak+1 ),
Sei Spur γ := ∪nk=1 Spurγk und sei f : Spur γ → R stetig. Dann
Z
f ds :=
γ
I
n Z
X
f ds.
k=1 γk
R
Das Integral γ f ds ist unabhängig von der Parametrisierung
des Kurvenstücks γ : [a, b] → Rn . Insbesondere gilt
Z
Z
f ds = f ds,
γ∗
γ
wenn γ ∗ (t) = γ(a + b − t) für t ∈ [a, b] (umgekehrter
Durchlaufsinn).
I
Das Kurvenintegral ist linear in f , d.h.
Z
Z
αf ds = α f ds
γ
γ
Z
Z
Z
f + g ds = f ds + g ds.
γ
γ
γ
Kurvenintegrale von Vektorfeldern
Sei γ : [a, b] → Rn , γ : t 7→ x(t), ein Kurvenstück und sei
v : Spur γ → Rn ein stetiges Vektorfeld. Das Kurvenintegral von
v längs γ ist definiert durch:
Z
Z b
v · dx :=
v (x(t)) · ẋ(t)dt.
γ
a
Für Kurven γ := {γ1 , . . . , γn } definiert man
Z
v · dx :=
γ
n Z
X
v · dx.
k=1 γk
Eine gebräuchliche Notationen ist:
Z
Z
v1 dx1 + . . . + vn dxn := v (x) · dx,
γ
γ
und wenn γH geschlossen ist, Rd.h. γ(a) = γ(b), dann schreibt man
manchmal γ an Stelle von γ .
I
Für eine reguläre Kurve γ gilt:
Z
Z
v · dx = v · T ds
γ
I
γ
wobei T (x) = ẋ(t)/|ẋ(t)| = Tangenteninheitsvektor.
R
Das Kurvenintegral γ v (x) · dx ändert das Vorzeichen, wenn
γ in umgekehrter Richtung durchlaufen wird:
Z
Z
v (x) · dx = − v (x) · dx.
γ∗
I
γ
Das Kurvenintegral ist linear in v , d.h.
Z
Z
αv · dx = α v · dx,
α ∈ R,
γ
γ
Z
Z
Z
(v + w ) · dx = v · dx + w · dx.
γ
γ
γ
Theorem 4.3
Sei f : D ⊂ Rn → R eine C 1 −Funktion und sei γ eine Kurve in D
mit Anfangspunkt γ(a) und Endpunkt γ(b). Dann gilt:
Z
∇f (x) · dx = f (γ(b)) − f (γ(a)).
γ
Ein Vektorfeld das ein Gradientenfeld ist, nennt man auch
konservativ, da bei einer Bewegung im Kraftfeld F (x) = −∇U(x)
die Energie erhalten bleibt: Ist t 7→ x(t) eine Lösung der
Newtonschen Gleichung mẍ(t) = F (x(t)), dann ist
m
ẋ(t)2 + U(x(t))
2
unabhängig von der Zeit t.
Eine Menge G ⊂ Rn heißt zusammenhängend, wenn sich jedes
Paar von Punkten x0 , x1 ∈ D durch eine Kurve γ in D verbinden
lässt. Eine Menge G ⊂ Rn heißt Gebiet, wenn sie offen und
zusammenhängend ist.
Satz 4.4
Sei G ⊂ Rn ein Gebiet und v : G → Rn ein stetiges Vektorfeld.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) v ist ein Gradientenfeld,
R
(b) γ v (x) · dx hängt nur von den Endpunkten der Kurve γ ab,
(c) Für jede geschlossene Kurve γ in G gilt:
I
v · dx = 0.
γ
Ein Gebiet G ⊂ Rn heißt einfach zusammenghängend, wenn
jede geschlossene Kurve in G stetig auf einen Punkt in G
zusammengezogen werden kann, ohne dass dabei das Gebiet G
verlassen wird.
Genauer: das Gebiet G ⊂ Rn heißt einfach zusammenghängend,
wenn es zu jeder geschlossenen Kurve γ : [a, b] → G einen Punkt
x0 ∈ G und eine Familie {γs | s ∈ [0, 1]} von geschlossenen Kurven
γs : [a, b] → G gibt, mit γ1 = γ, γ0 (t) = x0 für alle t ∈ [a, b], so
dass die Abbildung
(s, t) 7→ γ(s, t) := γs (t)
stetig ist auf [0, 1] × [a, b].
Theorem 4.5
Sei G ⊂ Rn ein einfach zusammenhängendes Gebiet und sei
v : G → Rn ein C 1 −Vektorfeld. Dann sind folgende Aussagen
äquivalent:
(a) v ist ein Gradientenfeld
(b) Die Jacobimatrix von v ist symmetrisch:
∂i vk = ∂k vi ,
i, k = 1, . . . , n.
(Integrabilitätbedingung)
Korollar 4.6
Für ein C 1 −Vektorfeld v auf einem einfach zusammenhängenden
Gebiet G gilt:
v ist Gradientenfeld
⇔
rot v = 0.