LOGICA Y CONJUNTOS

4.5 LA
PRUEBA INDIRECTA
REDUCCIÓN AL ABSURDO
O
PRUEBA
DE
Existe otro procedimiento para demostrar la validez de los
argumentos. El método de prueba indirecta o también llamado
prueba de reducción al absurdo, consiste en suponer que la
conclusión del argumento es falsa y por consiguiente negarla y
considerarla como una premisa más. La demostración de la validez
del argumento finaliza cuando se llega precisamente a un absurdo o
a una contradicción del conjunto total de premisas.
Por ejemplo, consideremos el siguiente argumento,
1. A ( B  C)
2. (B  C) E
3. (D  A)/  E
La demostración de la validez del argumento usando la prueba
indirecta o prueba de reducción al absurdo, se hace así
Paso 1. Negar la conclusión del argumento e incluirla como una
premisa más,
200
1. A  ( B  C)
2. (B  C) E
3. (D  A) /  E
____________________
4. ~E
PRUEBA INDIRECTA (PI)
Paso 2. Del conjunto total de premisas (son 4), empleando las
leyes de inferencia o de equivalencia, deducir un absurdo o una
contradicción, esto es
1. A  ( B  C)
2. (B  D) E
3. (D  A) /  E
________________________
4. ~E
PRUEBA INDIRECTA (PI)
5. ~(B  D)
2,4 MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT)
6. ~B ~D
5 TEOREMA DE MORGAN (TM)
7. ~D
6 SIMPLIFICACION (SIMP)
8.
3, 7 SILOGISMO DISYUNTIVO (SD)
A
9. ( B  C)
1, 8 MODUS PONENDO PONENS (MPP)
10. B
9 SIMPLIFICACION (SIMP)
11. ~B
6 SIMPLIFICACION (SIMP)
12. B ~B
10, 11 CONJUNCION (CONJ)
201
El paso
12 representa
una
contradicción o absurdo,
lo
que
significa que ~E no es cierto y por consiguiente la conclusión E es
cierta.
Es importante señalar que el hecho de haber deducido en el
ejemplo la contradicción (B ~B), representa solo una alternativa de
la demostración, pues bien, la validez se puede demostrar si se
puede deducir la contradicción de la variable A o de la variable C,
o
de
cualquier
otra
variable
que
esté contenida
en
el
argumento.
EJERCICIOS No. 20
Para cada uno de los siguientes argumentos construya una
demostración con el método de prueba indirecta.
1) 1. A  (N  B)
2. A  B/  B
2) 1. (B H)  (L A)
2. (~A  S)  (B  L) /  A
202
3) 1. (S  N)  (Y  W)
2. (N  W)  V
3. ~V/ ~(S Y)
4) 1. (A  B)  (P  J)
2. (P  K)  (~D  C)
3. (D  G)  (A  L) / ~D
5) 1. (U  ~O)  (Q  F)
2. (~O N)  (R  ~M)
3. (N  ~A)  (~M  E)
4. U  Q / ~A  E
6)1. (X D)
2. (D  H)
3. (H  A) / (X  A)
7) 1. [K  (D  A)]
2. [(D  A)  G]
3. (K D) / G
203
8) 1. [E  (A  D)]
2. (E  A) / D
9) 1. (B  C)
2. (B  H)
3. [(C  H)  (B  M)]
4. [(M  L) K] / K
10) 1. (J  F)
2. (F  D)
3. [(D  B)  (M  F)]
4. [(~B  ~T)  (~C  ~H)] / (~T  ~M)
11) 1. [(A  X)  (M  T)]
2. [(X M)  (i  A)] / (A  T)
204
12) 1. [A  (M  S)]
2. [(M  T)  (T  A)]
3. A /  ( T  A)
13) 1. [(M  D)  (M  R)]
2. (D ~ A) / [A  (S  W)]
14) 1. [(K  T)  (J  ~T)]
2. [(H v J)  (J  T)] /  (K  T)
15) 1. {(~T  ~R)  [E  (M  ~K)]}
2. {(~T  ~D)  R
3. [(~T  ~D)  (~T  E)] / ~K
16) 1. [K  (D  A)]
2. [(D  A)  G]
3. [(A  L)  ~B]
4.[~B  (D ~O)]
5. [~G  ~(D  ~O)] / [~K  ~(A  L)]
205
17) 1. [G  (X  N)]
2. [B  (X G)]
3. [(B  N)  (~F ~C)]
4. [(~F  ~B)  (~C  ~H)]
5. [(B  H)  (K  H)]/ (K  H)]
18) 1. (A  B)  (C  D) /  (A  C)  (B v D)
19)1. (F  G)  (H  I) /  (~G  ~I)  (~F  ~H)
20)1. (H  D) /  (D  E)  (H  E)
4.6 MÉTODO DE LA PRUEBA CONDICIONAL
Cuando en la conclusión de un argumento se presenta una
condicionante, se puede demostrar la validez del argumento usando
la prueba condicional. El procedimiento de la prueba condicional
consiste en suponer al antecedente de la conclusión como una
premisa más, dejar el consecuente en la conclusión y proceder
hacer la demostración con el procedimiento de una prueba formal
de validez.
206
Por ejemplo:
1. A  D
2. D  E
3. E  F /  A  F
Para una demostración condicional de validez
del
siguiente
argumento se siguen los siguientes pasos:
Paso 1. Se supone el antecedente de la conclusión como
una
premisa más y dejar al consecuente en la conclusión. Esto es:
1. A  D
2. D  E
3. E  F /  A  F
________________________
4.
A hipótesis / F
Paso 2. Utilizar el procedimiento de prueba formal de validez,
tomando en cuenta que en este caso la conclusión es la variable F.
Esto es:
207
1. A  D
2. D  E
3. E  F /  A  F
________________________
hipótesis / F
4.
A
5.
D
1,4 MODUS PONENDO PONENS (MPP)
6.
E
2,5 MODUS PONENDO PONENS (MPP)
7.
F
3,6 MODUS PONENDO PONENS (MPP)
De esta forma la demostración de la validez del argumento ha
finalizado.
La justificación de este procedimiento se debe al principio de
exportación. Analicemos el argumento presentado en el ejemplo:
1. A  D
2. D  E
3. E  F /  A  F
Escribiendo el razonamiento en forma horizontal,
{[ ( A  D)  ( D  E) ]  ( E  F)} /  ( A  F)
si hacemos,
208
P= {[ ( A  D)  ( D  E) ]  ( E  F)}¨
Q= A
R= F
La simbolización del argumento es,
P/  (Q  R)
que es lo mismo,
P  (Q  R)
utilizando el principio de la exportación en la expresión anterior, se
obtiene que:
P  (Q  R)  (P  Q)  R
sustituyendo los valores de las variables P, Q y R, en la expresión
(PQ) R, tenemos,
{[ ( A  D)  ( D  E) ]  ( E  F)} A /  F
209
ordenando al argumento verticalmente, se logra
1. A  D
2. D  E
3. E  F /  A  F
4. A  F
Nótese que la proposición A que era el antecedente en la
conclusión del argumento, ahora es una premisa más. Mientras que
el consecuente F se convierte en la nueva conclusión. De esta
forma, el demostrar la validez de este argumento es equivalente a la
demostración del argumento original.
210
EJERCICIOS No. 21
Para cada uno de los siguientes argumentos construya una
demostración con el método de prueba condicional.
1) 1. (M N)  ( N  E)
2. (F M)  (E F) /  (~ M  ~ E)  (~ M  ~ E)
2) 1. (M  N)  (B  F)
2. (H  M)  (I a)
3. (I  N)  (F  A)
4. ~ E /  H  ~ I
3) 1. B  P
2. J  K
3. ~ B  (~ J D)
4. ~ D / ~ P  K
4) 1. (J  K)  (~ D  V)
2. ~K C
3. J  ~ C/  ~D  C
5) 1. Y  W
2. (W  V)  T/  V  (Y  T)
211
6) 1. N  (M  E)
2. ~N  ((F  H)  (I A))
3. (M  E) v ((~N  F)  (~N I))
4. ~(M  E)  ~(A  F) /  ~H  A
7) 1. P  J
2. K  D
3. (~J  ~D)  (~P  ~J) /  P ~K
8) 1. (T  C)  (J  K)
2. S  T
3. S /  J K
9) 1. S  (X  Y)
2. W  (X  Y)
3. (~S  ~W)  (~Y v ~T)
4. (~V  ~B)  (~T  ~P)
5. (J  B)  (K  P)
6. ~(X  Y) /  J  ~K
212
10) 1. (C  T)  (D  V)
2. (T  P)  (S  C)
3. (P  K)  T /  C  K
11) 1. [(V X)  (D  Z)]
2. (X D)/ (V Z)
12) 1. [(M  A)  ~ S]
2. (AS) / [M(A  D)]
13) 1.[(K P)  T]
2. (T  K)/ (P  M)
14) 1. (A  X)
2. [(M  A)  X]
3. X/ (M X)
15) 1. [H  (G  T)]
2. (D  H)/  [~(G  T) ~D]
213
16) 1. [A  (U  W)]
2. [(U  W) ~X] /  (A ~X)
17) 1. [A  (~B  ~ C)]
2. (B  C) /  (A  T)
18) 1. (B  C)
2. (C  ~A)
3. B /  (A  ~W)
4.6.1 LA PRUEBA CONDICIONAL REFORZADA (PCR)
Esta prueba de demostración tiene cierta semejanza con la
prueba condicional (simple). Es una demostración de validez que
consiste en abrir cualquier supuesto o hipótesis en cualquier
secuencia o paso de la demostración, con la obligación de que dicho
supuesto o hipótesis debe cerrase con el conectivo condicional. Una
primera diferencia de este procedimiento (PCR) con respecto a la
prueba condicional simple consiste en que la prueba condicional
reforzada se puede aplicar a cualquier tipo de argumento y no sólo a
los argumentos que tengan una implicación en la conclusión; la
segunda diferencia importante que debe cerrase todo supuesto.
214
Consideremos el siguiente argumento:
[(A  B)  (C  D)] / [(A  C)  (B  D)]
Este argumento no puede resolverse con menos de 14 secuencias
de demostración directa. Por la prueba de demostración condicional
simple o reforzada se resuelve solo con dos pasos,
1. [(A  B)  (C  D)] / [(A  C)  (B  D)]
__________________________________________________
2. (A  C)
Supuesto
3. (B  D)
1,2 DILEMA CONSTRUCTIVO (DD)
4. [(A  C)  (B  D)] 2-3 PCR
215
Veamos otros ejemplo,
1. (A B)  (C  D)
2. (B  D)  {[ O  (O  G )]  (A  B) ] / 
AC
3. A  C
Supuesto
4. B  D
1,3 DILEMA CONSTRUCTIVO (DD )
5.[O(OG)] (A B)
2,4 MODUS PONENDO PONENS (MPP )
6. O
Supuesto
7. O  G
6 ADICION (ADI)
8. O  (O  G)
6-7 PCR
9. A  B
5,8 MODUS PONENDO PONENS (MPP )
10.(A  B)  (A  B) 3-9 PCR
11.~ (A v B)  (A  B) 10 IMPLIICACION MATERIAL (IM )
12. (~ A  ~ B) v (A  B) 11 TEOREMA DE MORGAN (TM )
13. (A  B)  (~ A  ~ B) 12 CONMUTATIVA (CONM )
14. A  B
13 IMPLICACION MATERIAL (IM )
Nótese que abrimos dos supuestos y ambos supuestos fueron
cerrados mediante el conectivo condicional.
216
En toda demostración de la prueba condicional reforzada, debemos
tomar en cuenta las siguientes observaciones:
1) Todo supuesto debe cerrarse.
2) Al cerrar el supuesto construimos una implicación.
3) La justificación ya no enumera simplemente los números de los
renglones utilizados en la inferencia; sino que se interpone entre
los números un guión, que significa la longitud de la
demostración.
4) Las secuencias de la demostración condicional se cierran
mediante líneas.
5) Las acciones anteriores (3 y 4) se justifican, pues estos
renglones
no
podrán
ser
utilizados
en
cualquier
otra
demostración; son renglones cerrados o agotados.
6) Puedes abrir más de un supuesto y no necesariamente se deben
de tomar de la conclusión.
217
EJERCICIOS No. 22
Demuestra
los
siguientes
argumentos por
el
método
de
demostración condicional reforzada.
1)1. Q  R
2. Q  R /  r
2) 1. ( A  B )  (C  D)
2. ( C  D )  ( A  B) / 
AB
3) 1. A  ( B C )
2. C  (D  E)
/
A  ( B D )
4)1. F  (G  H )
2. ( ~ G  I )  ~ H
3. J  ( K  ~ I)
4. ( ~ K  ~ L )  L
5. N  ~ J /  F N
5)1. (M v N)  (O  P)
2. (O  Q )  (~ R  S)
3. (R  T)  (M  U) /  ~ R
218
4.7 DEMOSTRACIÓN DE INVALIDEZ
Una forma de demostrar la invalidez de un argumento es usando el
método de las tablas de verdad, pero no es el único. Usar el
método de las tablas
de verdad
resulta muy laborioso si el
argumento cuenta con más de 4 proposiciones. Un procedimiento
sencillo y breve es el llamado método de ensayo o error o también
conocido como el método de asignación de valores. Este método
está íntimamente relacionado con el método de la tabla de verdad,
la diferencia consiste, que en lugar de construir una tabla de verdad
completa para el argumento, solo se busca un caso en que el
argumento sea falso. Es decir para demostrar la invalidez de un
argumento, lo que se hace es asignarle valores de verdad a las
proposiciones simples,
de
modo
que
las premisas sean
verdaderas y la conclusión falsa.
Supongamos que se quiere demostrar la invalidez
del siguiente
argumento,
1. E  R
2. T  U
3. (R  T) /  (E  U)
219
Paso 1. Se escribe el argumento en forma horizontal,
[ ( E  R)  (T U) ]  (R  T) /  (E  U)
Paso 2. Se asigna los valores de verdad de tal forma que
la
conclusión sea falsa. Esto es,
[ ( E  R)  (T U) ]  (R  T) /  (E  U)
F
F
_____
F
Paso 3. Tomando en cuenta los valores de verdad asignados en
las proposiciones de la conclusión debemos hacer que las premisas
del argumento sean verdaderas, como se muestra a continuación
220
[ ( E  R)  (T U) ]  (R  T) /  (E  U)
F
V
F
F
_____
_____
V
F
[ ( E  R)  (T U) ]  (R  T) /  (E  U)
F
V
F
_____
F
____
V
F
F
_____
V
F
[ ( E  R)  (T U) ]  (R  T) /  (E  U)
F
V
F
_____
F
____
V
V
F
F
_____
F
____________
V
221
[ ( E  R)  (T U) ]  (R  T) /  (E  U)
F
V
F
F
V
F
F
F
_____
____
_____
_____
V
V
V
F
____________
V
[ ( E  R)  (T U) ]  (R  T) /  (E  U)
F
V
F
_____
F
____
V
V
V
F
_____
V
F
F
_____
F
____________
V
_____________________
V
222
[ ( E  R)  (T U) ]  (R  T) /  (E  U)
F
V
F
_____
F
V
____
V
V
F
F
F
_____
_____
V
F
____________
V
_____________________
V
____________________
F
Como se puede observar las premisas son
verdaderas
y la
conclusión es falsa, en consecuencia el argumento es inválido.
EJERCICIOS No. 23
Demostrar la invalidez o validez de los siguientes argumentos
1) 1. M  N
2. E F
3. N v F /  M  F
2) 1. H  (I  A )
2. A  (S  X)
3. ~S /  H  X
223
3) 1. V  (W  V)
2. W  (~V  T)
3. (V  T) B /  Y  B
4) 1. (P  J)  K
2. K  (J v D)
3. P  (~C  J)
4. (C  P)  ~D /  J  K
5) 1. G  L
2. L  (U  O)
3. U  (G  Q)
4. G  Q /  G  Q
6) 1. (B  F)
2. (C  B)
3. [(H  B)  (M  F)]
4. [(~B  ~F)  (~C  ~H)] / [(~H  ~M)  (~C  ~B)]
224
7) 1. [(A  X)  (M  T)]
2. [(H i)  (i  A)] / [(A  T)  H]
8) 1. [W  (M  S)]
2. [(S  T)  (T  A)] / [A ( B  M)]
9) 1. [(M  D)  (K  R)]
2. (D  A) / [A  (S  W)]
10) 1. [(K  T)  (~M  ~T)]
2. [(H v i)  (i  T)] / [(K  T)  ( H  ~M)]
11) 1. {(~T  ~R)  [E  (M  ~K)]}
2. {(~T  ~D)  [(M  ~K)  Ñ]}
3. [(~T  ~D)  (~Ñ  E)] / (E Ñ)
225
12) 1. [K  (D A)]
2. [(D A)  G]
3. [(A  I)  ~B]
4.[~B  (D ~O)]
5. [~G  ~(D  ~O)] / [~K  ~(A  I)]
13) 1. [G  (X  N)]
2. [B  (X N)]
3. [(~G  ~B)  (~F ~C)]
4. [(~F  ~B)  (~C  ~H)]
5. [(M B)  (K  H)]
6. ~(X  N) / (~M ~K)
14) 1. (A  D)
2. (D  R)
3. A /  (R  ~M)
15) 1. [(A  M)  (H  T)]
2. (A  H) / [(M  T) v X]
226
16)1. [(A  M)  ~ S]
2. [C  (A  K)]
3. (A  C) /  (M  K)
17) 1. [(M  B)  (C  K)]
2. (B  K) / (M  C)
18) 1.( A M)
2. [A  (N  ~F)]
3. ~B /(~F  ~M)
19) 1. [(A  N)  (F  K)]
2. (N A)
3. A / (A  F)
20)1. (A C)
2. (C  G)
3. (G  H) / (A  H)
227
UNIDAD 5
LÓGICA CUANTIFICACIONAL
5.1 INTRODUCCIÓN
En las secciones anteriores sólo se han analizado todos aquellos
argumentos cuya validez no depende de la estructura interna de
sus
enunciados.
Es decir, sólo de aquellos argumentos cuya
validez depende de la estructura externa de sus proposiciones, sin
importar el contenido de ellas. Sin embargo existen muchas formas
válidas de razonar, además de aquellas que la lógica de
proposiciones no es capaz de aceptar. Se trata de argumentos
que dependen de algo más que la relación externa entre sus
proposiciones. Son argumentos que requieren del análisis en su
estructura interna, en su contenido. Por consiguiente, se hace
228
necesario buscar un método de análisis que facilite la tarea en
cuestión. Podría parecer que con esto abandonamos
la lógica
de proposiciones para filtrarnos a situaciones de mayor rango.
Nada de eso. La lógica de proposiciones nos sigue siendo útil y
necesaria, puesto que la lógica en general no es un conjunto de
cálculos que se estudien por separado. La lógica, es, más bien,
una acumulación organizada de cálculos que suponen la integración
de los anteriores en un sistema más amplio. No es, por tanto, que al
pasar a exponer la lógica de cuantificadores estemos dejando un
lado la lógica de proposiciones, sino lo que haremos es construir a
partir de ella un instrumento más poderoso de análisis lógico.
5.2 NOMBRES Y PREDICADOS
Así pues, la lógica de cuantificadores, o también llamada lógica
de predicados, se interesa por la estructura interna de
los
enunciados,
los
pero, ¿qué
descubre
la lógica
dentro
de
enunciados? ¿Qué hay allí que le interese?
Hay, fundamentalmente, dos cosas. Por una parte, expresiones
que se refieren a individuos. Por otra, expresiones que designan
propiedades de individuos o relaciones entre ellos. Aquí lo que se
entiende por individuo es cualquier ser concreto, determinado,
identificable frente a todos los demás, como pueden ser personas,
montañas, números, ciudades, estrellas, países, obras de arte. Todo
229
aquello que tenga o pueda tener lo que la gramática llama "nombre
propio". Y a las expresiones que designan propiedades de los
individuos se le conoce como el
"predicado".
Por ejemplo,
analicemos el siguiente enunciado:
María es una estudiante
En este enunciado podemos distinguir, por una parte, como nombre
de individuo a "María", y por
otra
parte,
la
propiedad
o
característica (el predicado) "es una estudiante". Consideremos
otro ejemplo:
Todos los estudiantes son valientes
Aquí los individuos serían todos
aquellos
característica de ser estudiantes, y en
que
tienen
consecuencia
la
estos
individuos tendrán la característica de ser valientes. Como se
puede ver, este último ejemplo requiere de mayor análisis, pues en
él se encuentra implícitas dos características.
Al enunciado que aparece en el primer ejemplo se le conoce como
proposición singular y al enunciado que aparece en el segundo
ejemplo se le conoce como proposición general. Ambas serán
analizadas en el siguiente tema.
230
5.3 PROPOSICIONES SINGULARES,
PROPOSICIONES GENERALES, Y
CUANTIFICADORES.
5.3.1 DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE LAS
PROPOSICIONES
LAS PROPOSICIONES SINGULARES. Son aquellas que constan
de un individuo o sujeto en particular
y la característica del
sujeto (el predicado). Ejemplo,
Pitágoras fue un gran matemático
Sujeto
Predicado
Las proposiciones singulares se clasifican en afirmativas
o
negativas. Por ejemplo, Pitágoras no fue un gran matemático, es
una proposición negativa.
LAS PROPOSICIONES
contienen
GENERALES.
términos predicados,
pero
Son
no
aquellas
se
que
refieren
a
231
nombres
de
individuos particulares, es decir, no se refieren a
ningún individuo en particular. Por ejemplos, se tienen:
A Todas las ciudades son habitables
E
Ninguna ciudad es habitable
I
Algunas ciudades son habitables
O Algunas ciudades no son habitables
Las proposiciones generales se clasifican en
universales
o
particulares. A las proposiciones A, E, se les conoce como
"universal afirmativa", y "universal negativa",
respectivamente.
Mientras que las proposiciones I, O, como "particular afirmativa",
"particular negativa", respectivamente.
EJERCICIOS No. 24
De las siguientes expresiones usa una S para indicar cuáles son
proposiciones singulares, una U para indicar cuales no son
proposiciones universales y una P para indicar cuales son
proposiciones particulares.
1) Ese lápiz es verde.
(
)
2) Existe al menos un hombre inmortal.
(
)
3) Todos los días hace frío.
(
)
4) Todo padre ama a su hijo.
(
)
232
5) Todo hombre tiene al menos un nombre
(
)
6) Yo subo
(
)
7) Es de día y toda la gente está trabajando
(
)
8) EL número cinco es positivo
(
)
9) Todo metal es maleable.
(
)
10) Existe a lo más dos números x tales que ax+ bx+c = 0
(
)
11) Cualquier número x es mayor que y
(
)
12) Existe exactamente un número x tal que 2x+3=7-x
(
)
13) Existe exactamente dos números x tales que x +4=4x
(
)
14) Existen a lo sumo dos números y tales que y+5<11-2y
(
)
15) Existen por lo menos tres números z tales que z <2z.
(
)
16) Los números naturales son números reales
(
)
17) Para todo número x, existe un número y tal que x+y=2
(
)
18) Todos los diputados son hombres de palabra
(
)
19) Los automóviles contaminan
(
)
20) Juanita compro un vestido
( )
5.3.2 CUANTIFICADORES
Como podemos ver en las proposiciones generales aparecen
expresiones como "todos", "algunos" "nadie", "no todos" "ninguno".
A estas expresiones se les conoce con el nombre de cuantificadores.
La razón del nombre se debe a que por medio de ellas indicamos
233
cuántos individuos poseen una cierta propiedad (característica) o
entre cuántos individuos se
da una
cierta
relación.
Al
cuantificador "todos" se le denomina cuantificador universal.
Cuantificador existencial es el nombre que
se
le
da
al
cuantificador "algunos". El símbolo del cuantificador universal
es
(x). El del cuantificador existencial es (x). El cuantificador (x) se
lee "para toda x". Mientras que el cuantificador (x) se lee "existe
al menos una x".
5.3.3 SIMBOLIZACIÓN DE LAS PROPOSICIONES
SINGULARES
La simbolización de las proposiciones singulares, a efectos de
esquematización lógica, se hace sustituyendo el
nombre
del
individuo por alguna letra del alfabeto escrita en minúscula, como
puede ser: a, b, c, d, etc. Y las expresiones predicativas
(característica o relación) mediante letras
mayúsculas.
Por
ejemplo, simbolicemos la siguiente proposición:
Pedro es valiente,
considerando:
p= Pedro (sujeto),
V= es valiente (predicado),
234
la simbolización es,
Vp,
la cual representa que Pedro es valiente. Otro ejemplo sería:
Ernesto no es inteligente
considerando
e= Ernesto,
~I= no es inteligente,
entonces la simbolización es,
~Ie,
la cual quiere decir que Ernesto no es inteligente.
5.3.4 SIMBOLIZACIÓN DE PROPOSICIONES
GENERALES
Consideremos las siguientes proposiciones generales,
A Todas las ciudades son habitables
E
Ninguna ciudad es habitable
I
Algunas ciudades son habitables
235
O Algunas ciudades no son habitables
Recordemos que las dos primeras proposiciones son universales y
las siguientes son
particulares.
Primero
simbolizaremos
las
universales, tomemos la proposición A,
Todas las ciudades son habitables
nótese que aparece la expresión "todas" la cual al simbolizaremos
con el cuantificador x, esto es,
(x)= para todas las x.
La expresión "las ciudades" se simboliza como,
C(x)= x es ciudad.
Mientras que la expresión "son habitables" su simbolización formal
es,
H(x) = x es habitable
Por lo que, la simbolización de la proposición A sería,
236
(x)(C(x) H(x)),
y se puede leer como: Para toda x, tal que x es ciudad, entonces x
es habitable.
Ahora simbolizaremos la proposición E,
Ninguna ciudad es habitable,
esta proposición equivale a decir,
Todas las ciudades no son habitables,
entonces, de manera similar al
procedimiento
anterior, la
simbolización de esta proposición es,
(x) (C(x) ~H(x)),
y su lectura es: para toda x, tal que x es ciudad entonces x no es
habitable.
Ahora
tomaremos
las
proposiciones
particulares
y
las
simbolizaremos. La simbolización de la proposición I,
Algunas ciudades son habitables
237
considerando,
(x)=existe al menos una x,
C(x)= x es ciudad,
H(x)= x es habitable,
es,
(x)(C(x)  H(x)),
y su lectura es: existe al menos una x, tal que x es ciudad y x es
habitable. De forma similar la simbolización de la proposición O,
Algunas ciudades no son habitables
es,
(x)(C(x)  ~H(x)),
y se puede leer como: existe al menos una x, tal que x es ciudad y x
no es habitable.
De aquí podemos deducir que la forma general de las 4
proposiciones son,
UNIVERSAL AFIRMATIVA (A)
238
(x) (P(x)  Q(x)),
UNIVERSAL NEGATIVA (E)
(x) (P(x)  ~Q(x))
PARTICULAR AFIRMATIVA (I)
(x)(P(x)  Q(x)),
PARTICULAR NEGATIVA (O)
(x)(P(x)  ~Q(x)),
donde P(x) y Q(x) pueden ser cualquier proposición.
239
EJERCICIOS No. 25
Traduce del lenguaje
ordinario
al
lenguaje
simbólico las
siguientes proposiciones.
1) Todos los aminoácidos son compuestos orgánicos
______________________________________________________
2) Ningún aminoácido es un compuesto orgánico
______________________________________________________
3) Algunos aminoácidos son compuestos orgánicos
______________________________________________________
4) Algunos aminoácidos no son compuestos orgánicos
______________________________________________________
5) Ningún reptil es un animal de sangre fría
______________________________________________________
6) Algunos compuestos del radio son sustancias radiactivas
______________________________________________________
240
7) Ninguna solterona es una hermosa muchacha
______________________________________________________
8) Todos los marineros que han navegado por los siete mares son
hombres de considerable valentía
______________________________________________________
9) Algunos maestros del género del cuento son muy pobres como
novelistas
______________________________________________________
10) Ninguna filosofía materialista de la vida es una guía adecuada
para llevar una vida satisfactoria
______________________________________________________
11) Algunos ingleses no eran piratas
______________________________________________________
12) Algunos dirigentes políticos no son hombres de fiar
______________________________________________________
241
13) Todos los compuestos de oro no son buenos conductores de la
electricidad
______________________________________________________
14) Algunas mezclas que contienen azufre son venenosas
______________________________________________________
15) Ningún fabricante de armas es un pacifista
______________________________________________________
16) Algunos científicos del siglo XVIII eran almas con un gran
espíritu de humanidad
______________________________________________________
17) Todas las iglesias románticas son hermosas
______________________________________________________
18) Los libros de poesía son afrodisíacos
______________________________________________________
19) Cualquier desviación será reprimida con la mayor dureza
______________________________________________________
242
20) El hombre es portador de valores éticos
______________________________________________________
21) Hay comentaristas de deportes que pretenden destruir el lenguaje
______________________________________________________
22) No faltan políticos que no se preocupen por las familias pobres
______________________________________________________
23) hay vampiros que gustan salir de día
______________________________________________________
5.4
SIMBOLIZACION
DE
UN
ARGUMENTO
CON
CUANTIFICADORES.
Para simbolizar un argumento con cuantificadores, se siguen
tomando en cuenta las reglas de la sección 3.8 y además es
necesario agregar las propiedades de los cuantificadores. Por
ejemplo, consideremos el siguiente argumento:
Cualquier político es honesto. Todos los revolucionarios no
son honestos. Por lo tanto, todos los revolucionarios no son
políticos.
243
La expresión “Cualquier político es honesto. Todos
revolucionarios
Universales
no
Afirmativas
los
son honestos”, son dos proposiciones
que
constituyen
las
premisas
del
argumento.
La expresión “todos los revolucionarios no son políticos”, es una
proporción Universal Negativa y es la conclusión del argumento.
Una vez identificadas las proposiciones que son parte de las
premisas y las proposiciones que constituyen la conclusión del
argumento, se procede a simbolizar el argumento siguiendo los
siguientes pasos:
1. La primera premisa,
Cualquier político es honesto
haciendo,
P(x)= x es un político
H(x)=x es honesto
se tiene que,
244
(x) (P(x)  H(x))
y se lee,
para toda x, si x es un político entonces x es honesto.
2. La segunda premisa,
Todos los revolucionarios no son honestos
haciendo,
R(x)= x es un revolucionario
H(x)=x no es honesto
se tiene que,
(x) (R(x) ~ H(x))
y se lee,
para toda x, si x es un revolucionario entonces x no es honesto.
3. Una vez simbolizadas las premisas, se procede con la conclusión
245
del argumento,
todos los revolucionarios no son políticos
haciendo,
R(x)= x es un revolucionario
P(x)=x no es político
Se tiene que,
(x) (R(x) ~ P(x))
Y se lee,
para toda x, si x es un revolucionario entonces x no es político.
4. Finalmente, el argumento queda simbolizado como
1. (x) (P(x)  H(x))
2. (x) (R(x) ~ H(x)) /  (x) (R(x) ~ P(x))
Consideremos otro argumento,
246
Ninguna persona educada es abogado. Algunos prestamistas
son abogados. Por tanto, algunos prestamistas no son personas
educadas.
La expresión “Ninguna persona educada es abogado. Algunos
prestamistas son abogados” son las premisas del argumento.
La expresión “algunos prestamistas no son personas educadas”
es una proposición particular negativa, que constituye la conclusión
del argumento.
En las premisas encontramos dos proposiciones: La proposición
Ninguna persona educada es abogado, es universal negativa y la
proposición Algunos prestamistas son abogados, es particular
afirmativa.
De esta forma, la simbolización del argumento es,
1. (x) (E(x)  ~A(x))
2. (x) (P(x)  A(x)) /  (x) (P(x) ~ E(x))
247
5.5 DEMOSTRACIÓN DE VALIDEZ: PRUEBA FORMAL
DE VALIDEZ
Recordemos que la prueba formal de validez consiste en deducir
la conclusión del argumento en función de sus premisas. En la
lógica de cuantificadores, la prueba formal de
validez
se
desarrolla de igual manera, sólo que en lugar de tener las 20 leyes
de inferencia y equivalencia, se hace necesario adicionar 4 leyes
más.
5.5.1 REGLAS DE CUANTIFICACIÓN
Para construir demostraciones de validez
en
enunciados
por
medio de cuantificadores, debemos aumentar nuestra lista de leyes
de inferencia.
1. EJEMPLIFICACIÓN UNIVERSAL (E.U.)
Supongamos que tenemos un enunciado cuya simbolización es,
(x) (P(x)  Q(x))
248
aplicar a este enunciado la ley de ejemplificación universal, sería
así:
(x) (P(x)  Q(x)) /  ( Pa Qa)
donde a es cualquier símbolo individual.
2. GENERALIZACION UNIVERSAL (G.U)
Supongamos que tenemos un enunciado cuya simbolización es,
( Pa Qa)
aplicar a este enunciado la ley de generalización universal es,
( Pa Qa) /  (x) (P(x)  Q(x))
3. EJEMPLIFICACIÓN EXISTENCIAL (E.E.)
Supongamos que tenemos un enunciado de la forma,
(x) (P(x)  Q(x))
aplicar la ley de la ejemplificación existencial a este enunciado
249
es,
(x) (P(x)  Q(x)) /  (Pa  Qa)
donde a es un individuo cualquiera.
4. GENERALIZACIÓN EXISTENCIAL (G.E.)
Supongamos que tenemos un enunciado cuya simbolización es,
(Pa  Qa)
aplicar a este enunciado la ley de generalización existencial es,
(Pa  Qa) /  (x) (P(x)  Q(x)).
5.5.2
PRUEBA
FORMAL
DE
VALIDEZ
PARA
ARGUMENTOS CON CUANTIFICADORES.
Ahora supongamos que se quiere demostrar la validez del
siguiente argumento con cuantificadores,
250
1. (x) (P(x)  H(x))
2. (x) (R(x) ~ H(x)) /  (x) (R(x) ~ P(x))
Lo primero que
se hace es eliminar los cuantificadores y para
lograrlo se hace uso de las leyes para cuantificadores. En este
caso utilizando la ley de ejemplificación universal, se obtiene:
1. (x) (P(x)  H(x))
2. (x) (R(x) ~ H(x)) /  (x) (R(x) ~ P(x))
______________________________________
3. (Pa  Ha)
1 EJEMPLIFICACION UNIVERSAL (EU)
4. (Ra  ~Ha)
2 EJEMPLIFICACION UNIVERSAL (EU)
donde a representa a un individuo en particular.
Ahora, lo que se hace es proceder a la demostración
como si estuviéramos en la lógica de proposicional, esto es:
251
1. (x) (P(x)  H(x))
2. (x) (R(x) ~ H(x)) /  (x) (R(x) ~ P(x))
______________________________________
3. (Pa  Ha)
1 EJEMPLIFICACION UNIVERSAL (EU)
4. (Ra  ~Ha)
2 EJEMPLIFICACION UNIVERSAL (EU)
5. (~Ha ~Pa)
3 TRANSPOSICION (TRANS)
6. (Ra ~Pa)
4,5 SILOGISMO HIPOTETICO (SH)
Para poder llegar a la conclusión del argumento es necesario
generalizar la última deducción obtenida (Ra~Pa). Lo que se hace
entonces es
utilizar
la
ley
de generalización universal y la
demostración de validez del argumento es:
1. (x) (P(x)  H(x))
2. (x) (R(x) ~ H(x)) /  (x) (R(x) ~ P(x))
______________________________________
3. (Pa  Ha)
1 EJEMPLIFICACION UNIVERSAL (EU)
4. (Ra  ~Ha)
2 EJEMPLIFICACION UNIVERSAL (EU)
5. (~Ha ~Pa)
3 TRANSPOSICION (TRANS)
6. (Ra ~Pa)
4,5 SILOGISMO HIPOTETICO (SH)
7. (x) (R(x) ~ P(x)) 6 GENERALIZACION UNIVERSAL
Por último presentaremos la demostración de otro argumento,
252
1. (x) (A(x) ~B(x))
2.( x)(C(x)  B(x)) /   (x)(C(x) ~ A(x))
3. (Aa ~Ba)
1 EJEMPLIFICACION UNIVERSAL (EU)
4. (Ca  Ba)
2 EJEMPLIFICACION EXISTENCIAL (EE)
5. Ba
4 SIMPLIFICACION (SIM)
6. ~Aa
3,5 MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT)
7. Ca
4 SIMPLIFICACION (SIM)
8. (Ca  ~Aa)
7,6 CONJUNCION (CONJ)
9 (x)(C(x) ~ A(x)) 8 GENERALIZACION EXISTENCIAL (EE)
EJERCICIOS No. 26
Pruebe la
validez de los
siguientes
argumentos,
previa
traducción del lenguaje ordinario al lenguaje simbólico.
1) Todos los mexicanos son humildes. Todas las personas son
mexicanos. Luego, todas las personas son humildes.
2) Ninguna persona educada es abogado. Algunos prestamistas
son abogados. Por tanto, algunos prestamistas no son personas
educadas.
253
3) Todos los filósofos son metafísicos. Algunos pragmáticos
filósofos. Luego, algunos pragmáticos
son
son metafísicos.
4) Ningún reptil es mamífero. Todas las ovejas
son
mamíferos.
Luego, ninguna oveja es reptil.
5) Los hongos son venenosos. Ninguna fruta es
venenosa.
Por
tanto, ninguna fruta es hongo.
6) Todos los anarquistas son liberales. Ningún conservador es
liberal. Luego, ningún conservador es anarquista.
8) Algunas naciones son republicanas. Algunas comunidades
lingüísticas no son naciones. Por tanto, algunas comunidades
lingüísticas son republicanas.
10) Todos los deportistas son atletas. Algunos deportistas son
obesos. Por tanto, algunos obesos son atletas.
11) Todos los estadísticos son matemáticos. Algunos lógicos no
son matemáticos. Por lo tanto, algunos lógicos no son estadísticos.
12) Todo matemático es racionalista. Algunos hombres no son
racionalistas. Por tanto, algunos hombres no son matemáticos.
254
13) Algunos
estudiantes son
inteligentes.
Algunos
jóvenes no
son estudiantes. Por tanto, algunos jóvenes son inteligentes.
14) Ningún mexicano es poeta. Todos los franceses son poetas.
Luego, ningún mexicano es francés.
15) Todos los albañiles son pintores. Algunos carpinteros no son
pintores. Por lo tanto, algunos carpinteros no son albañiles.
EJERCICIOS No. 27
Construya una prueba formal de validez para cada uno de
los siguientes argumentos.
1) 1.- (x) (A(x) B(x))
2.- ~Bt /  ~At
2) 1.- (x) (A(x)  D(x))
2.- (x) (H(x)  ~D(x)) /  (x) (H(x)  ~A(x))
3) 1.- (x) (L(x)  ~A(x))
2.- (x) (F(x)  A(x))) /  (x) (F(x)  ~L(x))
255
4) 1.- (x) (T(x) J(x))
2.- (x) (T(x)  ~J(x)) /  (x) (N(x) T(x))
5) 1.- (x) (A(x) D(x))
2.- (x) ((A(x)  D(x)) E(x) ) /  (x) (A(x) E(x))
6) 1. (x) [(L(x) B(x))  ~A(x)]
2. (x) (F(x)  A(x))) /  (x) [F(x)  ~(L(x) B(x))]
7) 1. (x) [A(x)  (D(x)  C(x))]
2. (x) [H(x)  ~(D(x)  C(x))] /  (x) (H(x)  ~A(x))
8) 1 (x) [(T(x)  H(x)) J(x)]
2 (x) [(T(x)  H(x))  ~J(x)] /  (x) [A(x) (T(x)  H(x))]
9) 1. (x) (~B(x) A(x))
2. (x) [~(L(x) B(x))  A(x)] /  (x) [~(L(x) B(x))  ~B(x)]
256
10) 1. (x) [(A(x)  D(x))  ~ P(x)]
2. (x) (~P(x)  ~T(x)) /  (x) [T(x)  ~(A(x)  D(x))]
5.6
DEMOSTRACIÓN DE INVALIDEZ: MÉTODO DE
ASIGNACIÓN DE VALORES
El
método de asignación de valores también puede usarse
para demostrar la invalidez de argumentos con cuantificadores. El
procedimiento prácticamente es casi el mismo como se vio en la
sección 4.6, solo que ahora en los argumentos con cuantificadores
es necesario demostrar la invalidez para un caso especifico, es decir
hay que demostrar que para un individuo en particular el argumento
es invalido. Por ejemplo:
Supongamos que se quiere demostrar la invalidez del siguiente
argumento,
Todos los políticos son honrados. Algunos ciudadanos son
honrados. Por tanto ningún político es ciudadano.
257
Paso 1. Se simboliza el argumento
1.- (x) (P(x) H(x))
2.- (x) (C(x)  H(x)) /  (x) (P(x) ~ C(x))
donde
P(x)= son políticos, H(x)=son honrados, C(x)= son
ciudadanos
Paso 2. El argumento es
ejemplificado para un
individuo en
particular,
1.- (Pa Ha)
2.- (Ca  Ha) /  (Pa ~ Ca)
donde a es el individuo particular.
Paso 3.
Se escribe el argumento en forma horizontal, uniendo las
premisas con el conectivo conjunción,
(Pa Ha)  (Ca  Ha) /  (Pa ~ Ca)
258
Paso 4. Se asigna los valores de verdad de tal forma que
la
conclusión sea falsa. Esto es,
(Pa Ha)  (Ca  Ha) /  (Pa ~ Ca)
V
F
F
Paso 5. Tomando en cuenta los valores de verdad ya asignados
en las proposiciones de la conclusión, debemos hacer que las
premisas del argumento sean verdaderas:
(Pa Ha)  (Ca  Ha) /  (Pa ~ Ca)
V
V
V
V
V
F
_______
_______
V
_______
V
F
____________
V
_____________________
F
Como se puede observar, para el individuo a hemos demostrado que
se cumple que las premisas son verdaderas y la conclusión es
falsa, en consecuencia el argumento es inválido.
259
Nótese que en el caso anterior solo se requirió de tomar como
ejemplo un individuo a para demostrar la invalidez del argumento,
pero esto no siempre sucede así., en ocasiones se requiere tomar a
un individuo b o c, o hasta mas individuos hasta lograr demostrar la
invalides del argumento, como se ilustra en el siguiente ejemplo:
Todos los hombres son inteligentes. No todos los diputados
son inteligentes. Luego ningún hombre es diputado.
Haciendo,
H(x)= son hombres, I(x)= son inteligentes, D(x)=son diputados, la
simbolización del argumento es,
1.- (x) (H(x)  I(x))
2.- (x) (D(x)  ~I(x)) /  (x) (H(x) ~ D(x))
Ejemplificando el argumento para el individuo a,
1.- (Ha Ia)
2.- (Da  ~Ia ) /  (Ha ~ Da)
Escribiendo el argumento en forma horizontal y asignando valores
de verdad,
260
( (Ha Ia)  (Da  ~Ia )) /  (Ha ~ Da)
V
V
______
V
V
F
______
V
F
_________
F
F
________________
F
___________________________
F
Nótese que no es posible demostrar la invalidez del argumento para
el individuo a, por lo que es necesario tomar en cuenta otro
individuo, digamos al individuo b.
La ejemplificación del argumento para los individuos a y b es,
1.- (Ha Ia)  (Hb Ib)
2.- (Da  ~Ia )  (Db  ~Ib ) /  (Ha ~ Da)  (Hb ~ Db)
Escribiendo el argumento en forma horizontal y asignando valores
de verdad
261
[(HaIa)(HbIb)][(Da ~Ia ) (Db~Ib)] / (Ha~Da)  (Hb~ Db)
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
_____
_____
_____
_____
______
______
V
V
V
V
F
V
_____________
_______________
________________
V
F
V
________________________________
V
_______________________________________
F
se demuestra que para el individuo b el argumento es invalido.
EJERCICIOS No. 28
Pruebe la invalidez de los siguientes argumentos con
cuantificadores
1) 1. (x) (A(x) F(x))
2. (x)(R(x)  F(x)) /  (x)(R(x)  ~A(x))
262
2.) 1. (x)(A(x) ~ R(x))
2. (x)(A(x)  ~P(x)) /  (x)(P(x)  ~R(x))
3) 1. (x)(D(x)  N(x))
2. (x)(D(x)  A(x)) /  (x)(A(x)  N(x))
4) 1. (x)(H(x)  ~ P(x))
2. (x)(P(x)  T(x)) /  (x)(T(x)  ~H(x))
5) 1. (x)(A(x)  F(x))
2. (x)(E(x)  F(x)) /  (x)(E(x)  ~A(x))
263
5.7 CUADRO TRADICIONAL DE OPOSICIÓN
Las relaciones entre las proposiciones A, E, I, O, se
pueden apreciar con mayor claridad en el Cuadro
Tradicional de Oposición:
A
E
I
O
264
CONTRADICTORIAS. Son las proposiciones que no pueden ser
ambas verdaderas, ni falsas; es decir, una es verdadera y la otra
falsa, o bien, podemos considerar que cada una de ellas es la
negación de la otra.
En este caso serían:
A con O
E con I
Ejemplos:
1.- Todos los peces nadan _______________________ tipo A es
verdadero
Algunos peces no nadan ______________________ tipo O es
falso
2.- Ningún mamífero es acuático ______________________ tipo E
es falso
Algunos mamíferos son acuáticos_______________ tipo I
es
verdadero
265
CONTRARIAS. Son proposiciones que no pueden ser ambas
verdaderas pero sí pueden ser ambas falsas.
En este caso estarían:
A con E
Ejemplos:
1.- Todos los delfines son mamíferos ______________ tipo A es
verdadero
Ningún delfín es mamífero_________________________ tipo E
es falso
2.- Todos los hongos son comestibles___________________ tipo A
es falso
Ningún hongo es comestible ________________________tipo E
es falso
SUBCONTRARIAS. En este caso, las proposiciones no pueden ser
ambas falsas, pero sí ambas verdaderas.
En este caso está:
I con O
Ejemplos:
266
1.- Algunos osos polares son blancos ______________ tipo I es
verdadero
Algunos osos polares no son blancos_______________ tipo O es
falso
2.- Algunos planetas tienen satélites ______________
tipo I es
verdadero
Algunos planetas no tienen satélites____________
tipo O es
verdadero
SUBALTERNAS. En este caso las proposiciones pueden ser ambas
verdaderas, o también ambas falsas, pero pueden ser falso el
universal y verdadero el particular.
En este caso están:
A con I
E con O
Ejemplos:
1.- Todos los planetas tienen luz propia________________ tipo A es
falso
Algunos planetas tienen luz propia _________________ tipo I es
falso
267
2.- Ningún número tiene sucesor _____________________ tipo E es
falso
Algunos números no tienen sucesor________________ tipo O
es falso
3.- Todas las plantas tienen flores
__________________ tipo A es
falso
Algunas plantas tienen flores
_______________ tipo
I es
verdadero
4.- Ninguna planta tiene flores
_____________________ tipo E
es falsa
Algunas plantas no tienen flores _______________ tipo O es
verdadero
268
5.8 DEMOSTRACION DE LA VALIDEZ O INVALIDEZ DE
LOS ARGUMENTOS MEDIANTE DIAGRAMAS DE
VENN-EULER
El matemático y lógico británico, John Venn (1834 – 1923) es
especialmente conocido por su método de representación gráfica de
proposiciones (según su cualidad y cantidad). Los diagramas de
Venn permiten, además, una comprobación de la validez o invalidez
de los argumentos. Entre sus obras destaca Lógica Simbólica y los
principios de la lógica empírica o inductiva. Sin embargo, también
fue importante la participación de Euler en la esquematización de las
representaciones de algunas operaciones con conjuntos.
En ésta sección se hará uso de los diagramas de Venn-Euler para
la representación gráfica de operaciones y relaciones entre
conjuntos, con el propósito de demostrar la validez o invalidez de los
argumentos lógicos con cuantificadores.
Un concepto
intuitivo
en teoría de conjuntos, es el conjunto
universal. El conjunto universal simbólicamente esta representado
por el símbolo U y gráficamente se representa mediante un
rectángulo o un cuadrado.
269
U
Los conjuntos que están incluidos en el universo se representan con
figuras cerradas dentro del rectángulo; así tenemos , por ejemplo el
conjunto A que está incluido en el conjunto universo U.
U
A
El conjunto A está sombreado mientras que su complemento A’
está representado fuera del conjunto, de tal manera que A + A’ = U,
es decir, el conjunto A mas el complemento del conjunto A nos da el
conjunto universal.
270
Si se tienen dos conjuntos A y B, el diagrama de Venn de ambos
conjuntos es,
U
A
B
1
2
3
4
El área 1 corresponde a AB’ ó el conjunto A y no B, el área 2
abarca AB ó el conjunto formado por la intersección de los
conjuntos. El espacio 3 es A’B ó el conjunto formado por B y no A
y el espacio 4 es el conjunto formado por los complementos de cada
clase, o sea, A’ B’.
271
Si se tienen 3 conjuntos A, B y C, el diagrama de Venn es,
A
U
1
2
B
5
3
6
4
C
7
8
El área 1 corresponde a AB’C’ ó el conjunto A y no B y no C, el
área 2 abarca ABC’ ó el conjunto A y B y no C. El área 3 es
ABC ó el conjunto C y A y B. El área 4 corresponde al conjunto
ACB’ ó el conjunto formado por la intersección de A y C y no B.
El área 5 es el conjunto BA’C’, es decir el que corresponde a la
intersección del conjunto B con el conjunto no A y el conjunto no B.
El área 6 corresponde a la intersección de los conjuntos B y C y no
272
A, es decir BCA’. El área 7 representa a la intersección de los
conjuntos C y no A y no B, es decir CA’B’. Finalmente el área 8
corresponde A’B’C’, es decir el conjunto
formado por la
intersección de no A, de no B y no C.
5.8.1 DIAGRAMAS DE VENN, PROPOSICIONES
GENERALES, PROPOSICIONES SINGULARES
5.8.1.1 PROPOSICIONES GENERALES
Como se vio en la sección 5.3.1, en la lógica de cuantificadores
existen 4 tipos de proposiciones generales:
1) La proposición universal afirmativa A, que la podemos interpretar
como
Todo S es P.
Esta proposición tiene cuatro partes bien definidas:
El cuantificador universal: Todo
El Sujeto: S
El verbo copulativo: es
El predicado: P
273
Estas proposiciones las podemos encontrar de diferentes maneras:
Todos los profesores son buenas personas
Los políticos son mentirosos
El ser humano es racional
No existen políticos no mentirosos
2) La proposición universal negativa E, que se expresa como:
ningún S es P,
por ejemplo,
Ningún estudiante es mal intencionado
No existen mujeres vanidosas
Todos los políticos no son mentirosos
3) La proposición particular afirmativa I, que se expresa como
algún S es P,
A las proposiciones particulares también se les conoce como
proposiciones existenciales. Lo que afirma es que existe por lo
menos uno. Si afirmamos que algunos políticos son honestos,
274
queremos decir que existe al menos una persona que además de
ser político es honesto.
Ejemplos de proposiciones particulares afirmativas son:
Algún gato es felino
Existen los gatos pardos
Algunos profesores son interesantes.
No toda mujer es no vanidosa.
4) La proposición particular negativo O, se expresa como
Algún S no es P.
Algunos gatos no son felinos
Existen gatos que no son pardos
Algún profesor no es interesante
No todo lo que brilla es oro.
275
5.8.1.2 REPRESENTACION GRAFICA DE LAS PROPOSICIONES
GENERALES
Las proposiciones generales se pueden representar mediante los
diagramas de Venn. A continuación veremos el diagrama de Venn
para cada proposición general.
DIAGRAMA PARA LA PROPOSICION PARTICULAR: I
Cómo ya lo hemos intuido antes, el juicio I (Algún S es P), significa
que existe por lo menos un S que es P. Usando notación de teoría
de conjuntos (ver Apéndice) la expresión S P  , significa que el
conjunto formado por la intersección de los conjuntos S y P, no es un
conjunto vació.
Por ejemplo, si afirmamos que algún político es honesto, estamos
afirmando que al menos un político es honesto o que PH  .
Donde P representa al conjunto de los políticos y H representa al
conjunto de los honestos. El diagrama de Venn para esta
proposición particular, es el siguiente
276
U
P
H
X
Al anotar una X en la intersección de los conjuntos P y H, estamos
afirmando efectivamente que existe al menos un elemento que
comparte dos predicados de ser político y honesto.
DIAGRAMA PARA LA PROPOSICION PARTICULAR: O
La proposición particular negativa nos dice que algún S no es P y
en términos de teoría de conjuntos la podemos expresar como
SP’, lo que significa que la intersección del conjunto S con el
conjunto no P es diferente del conjunto vacío.
Por ejemplo el diagrama de la proposición algún político no es
honesto, PH’   es,
277
U
P
H
X
El individuo “X” deberá escribirse precisamente en el conjunto PH’.
DIAGRAMA PARA LA PROPOSICION UNIVERSAL: E
Si afirmamos que ningún elefante vuela, estamos afirmando que
no existen elefantes que vuelen, es decir, que el conjunto formado
por los
elefantes y el conjunto formado por los voladores es
necesariamente un conjunto vacío.
La expresión en teoría de conjuntos para esta proposición E es
SP=, es decir que la intersección de ambos conjuntos da como
resultado el conjunto vacío.
278
La proposición no existen elefantes voladores es expresada como
EV = ; el diagrama de dicha proposición es,
U
E
V
Para representar que el espacio o conjunto es vacío es necesario
rayar el área correspondiente.
DIAGRAMA PARA LA PROPOSICION UNIVERSAL: A
Dejamos la proposición universal afirmativa hasta el final, pues no
siempre es fácil entender la operación de transformar esta
proposición de Todo S es P, a su forma de teoría de conjuntos es
SP’ = .
Si afirmamos que todos los gatos son felinos, estamos afirmando
también que no existen gatos que no sean felinos, es decir que la
intersección del conjunto de gatos con el conjunto de no felinos es
un conjunto vacío, por consiguiente el diagrama de esta proposición
es GF’= ,
279
U
G
F
Nótese que la región que esta sombreada representa el conjunto
vacío, ya que con esto estamos indicando que todos los gatos son
felinos.
5.8.1.3 PROPOSICIONES SINGULARES
Una proposición singular ocurre cuando se predica algo solamente
de un sujeto específico, como se vio en la sección 5.3.1. Por
ejemplo, la proposición Juan es hombre. El predicativo es hombre
sólo se predica de Juan. En términos de conjuntos, esto significa
que hay un conjunto de Hombres y que Juan pertenece a ese
conjunto, esto es j  H, (es decir, Juan pertenece al conjunto de los
hombres).
El diagrama de esta proposición singular es,
280
U
H
j
Dentro del conjunto H, la letra “j” que significa que Juan es un
elemento que pertenece al conjunto Hombre. Nótese que para
representar a Juan se utilizo una letra minúscula
y una letra
mayúscula para representar al conjunto.
5.9 ARGUMENTOS CON CUANTIFICADORES Y LOS
DIAGRAMAS DE VENN
Los diagramas de Venn pueden ser utilizados para demostrar la
validez o invalidez de los argumentos con cuantificadores. Lo único
que se tiene que hacer es realizar las representaciones de las
premisas en un diagrama y al final revisar si el resultado del
diagrama corresponde a lo que se dice en la conclusión del
argumento, si esto sucede se dice que el argumento es valido de lo
contrario se dice que el argumento es invalido.
281
Pero antes de utilizar los diagramas de Venn en los argumentos con
cuantificadores o silogismos, se recomienda seguir estos pasos:
Primero.- Traducir del lenguaje natural a la notación de conjuntos
(ver apéndice), cada proposición, ya sea premisa o conclusión.
Segundo.- Deberás representar en los diagramas exclusivamente la
información proporcionada por las premisas.
Tercero.- Las proposiciones que constituyen la conclusión no se
representan en el diagrama, lo que se deberá observar es si la
información solicitada por la conclusión, se cumple o no. Para que
un argumento sea valido es necesario verificar si la conclusión se
observa en el diagrama; de suceder
lo contrario se dice que el
argumento es invalido.
Ejemplo 1
Todo profesor es agradable.
Alberto es profesor. Por lo tanto,
Alberto es ameno.
La representación en términos de la teoría de conjuntos es,
282
Premisa 1.- P A’ = 
Premisa 2.- Pa  Aa
Elaborando sólo el diagraman de las premisas, se tiene que
U
P
A
a
a
Nótese que en el área 1 que corresponde a la intersección PA’ debe
quedar vacío, en el espacio 2 que corresponde a la intersección PA
deberá ser insertado el elemento a (Alberto).
La conclusión no se grafica en el diagrama, sólo observamos si la
conclusión se cumple o no. Como Alberto está representado en la
intersección quiere decir que el argumento es válido, pues el
diagrama afirma tanto que Alberto es Profesor, como agradable.
Ejemplo 2
Todo deportista es musculoso.
Pedro es musculoso.
Por lo tanto,
Pedro es deportista.
283
La expresión en términos de teoría de conjuntos es
DM’ = 
Mp  Dp
El diagrama de Venn
U
D
M
a
p
En el espacio 1 DM’ es un conjunto vacío. Pero ahora, se tiene el
problema de colocar a Pedro ya sea en el espacio 2 o 3. Cuando
ocurra esto, al sujeto lo debemos representar en medio de las líneas
que delimitan los espacios 2 y 3.
284
Este argumento es inválido por ambigüedad, pues se encuentra en
medio de esos dos espacios. Si el sujeto estuviera en dos sería
válido, inválido si estuviera en tres. Todo diagrama ambiguo nos
indica que el argumento es inválido, ya que la conclusión no se
desprende lógicamente o necesariamente de las premisas.
Ejemplo 3
Toda estudiante es vanidosa.
Algunas porristas no son vanidosas.
Por tanto, algunas porristas no son estudiantes.
Nótese
que
este
argumento
cuenta
con
tres
conjuntos.
Representando al argumento en notación de conjuntos tenemos que,
1) E V’ = 
2) P V’   P E’  .
285
P
U
X
E
V
Al representar la primera premisa dejamos como conjunto vacío en
los espacios 5 y 2. La premisa 2 se representa en el espacio 1.
Luego, el argumento es válido, pues se puede ver en el diagrama
que la conclusión se cumple, ya que efectivamente existe alguna
porrista que no es estudiante.
286
EJERCICIOS No. 29
Completa el siguiente cuadro:
Forma
Forma en teoría
tradicional
de conjuntos
Diagrama de Venn
Juicio A Todo S es P
Juicio E
Juicio I
Juicio O
287
EJERCICIOS No. 30
Demuestra la validez o invalidez de los siguientes argumentos
1.-Ningún mago es científico, Beto es científico. Por lo que, Beto no
es mago.
2.- Ningún corrupto es ético. Pedro es corrupto. Por lo que, no es
ético.
3.-Todos los que aprenden lógica conquistan a la mujer que desean.
Juan aprende lógica. Por lo que, Juan conquista a la mujer que
desea.
4.- Todas las vitaminas son compuestos orgánicos, de donde se
obtiene que algunas enzimas son vitaminas, pues algunas enzimas
son compuestos orgánicos.
5.-. Todos los payasos son alegres. Algunos cazafortunas no son
alegres. Por lo tanto, algunos cazafortunas no son payasos.
288
6.-Los tigres son feroces. Algunos tigres son bellos. Por lo tanto,
algunos seres feroces son bellos.
7.- Todos los ecologistas son holistas, se desprende que algunos
holistas no son comprendidos.
8.-Todo P es M. Ningún S es M. Por lo tanto, Ningún S es P
9.-Todos los cafres son astutos. Ningún astuto es chino. Por lo que,
ningún chino es cafre.
289