f (x)

Análisis Numérico
I período 2015
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS
Facultad de Ciencias - Escuela de Matemática
Tarea #3 de Análisis Numérico
Problema 1 Sea f ( x ) = tan( x ) y usando h = 0.1, 0.0001
a) Calcule aproximaciones a f 00 (0.8) usando f 00 ( x ) ≈
significativas.
f ( x +h)−2 f ( x )+ f ( x −h)
h2
b) Calcule aproximaciones a f 00 (0.8) usando f 00 ( x ) ≈
decimales significativas.
2 f ( x )−5 f ( x +h)+4 f ( x +2h)− f ( x +3h)
, use 6 cifras
h2
c) Calcule aproximaciones a f 00 (0.8) usando f 00 ( x ) ≈
decimales significativas.
2 f ( x )−5 f ( x −h)+4 f ( x −2h)− f ( x −3h)
, use 6 cifras
h2
, use 6 cifras decimales
d) Determine el error real para los resultados obtenidos en a), b) y c).
Problema 2 Deduzca las fórmulas presentadas en el ejercicio anterior con su respectivo término
de error.
Problema 3 Adapte la fórmula
f 0 (x) ≈
f ( x + h) − f ( x − h)
2h
Para calcular las derivadas parciales f x ( x, y) y f y ( x, y) . Sea f ( x, y) =
xy
x +y
y usando h = 0.1, 0.01.
a) Calcule aproximaciones a f x (2, 3) y f y (2, 3) usando ambas fórmulas.
Problema 4 Usando la fórmula de Taylor para f ( x + h), f ( x − h), f ( x + 2h), f ( x − 2h), deduzca
la fórmula de diferencias centradas:
f (4) ( x ) ≈
f ( x + 2h) − 4 f ( x + h) + 6 f ( x ) − 4 f ( x − h) + f ( x − 2h)
h4
Lic. Angel Rivera
Análisis Numérico
I período 2015
Problema 5 Aproxime las siguientes integrales aplicando la regla del trapecio, simpson y punto
medio.
a)
b)
Z 1
0
x4 dx
Z π/4
0
x sen xdx
Obtenga una cota del error para cada fórmula de cuadratura y compárela con el error real.
Problema 6 Obtenga el grado de precisión de la fórmula de cuadratura
√ !
√ !
Z 1
− 3
3
+f
f ( x )dx = f
3
3
−1
Problema 7 Determine los valores de n y h que se requieren para aproximar
una exactitud de 10−4 . Usando
R2
0
e2x sen 3xdx con
a) La regla compuesta del trapecio
b) La regla compuesta de Simpson
Problema 8 La masa total de una barra de densidad variable está dada por
m=
Z L
0
ρ( x ) A( x )dx
Donde m es la masa, ρ( x ) la densidad, A( x ) área de la sección transversal, x la distancia a lo largo
de la barra. Se midieron los siguientes datos para una barra de 12m de longitud. Determine la
masa en kilogramos usando la regla compuesta de Simpson.
x (m)
0
2
4
ρ( g/cm3 )
4.00
3.95
3.89
A(cm2 )
100
103
110
6
8
10
12
3.60 3.41
3.30
3.20
120
150
160
133
Lic. Angel Rivera
Análisis Numérico
I período 2015
Problema 9 Las áreas de sección transversal (A) son requeridas para diferentes tareas en la ingeniería
de abastecimiento de aguas; entre otras, pronósticos de inundación y diseño de reservorios. Un
ejemplo de una corriente común con su sección transversal se muestra en la figura. Los puntos
representan ubicaciones donde se ancló un bote y tomó lecturas a diferentes profundidades.
Estime el área de la sección transversal a partir de estos datos utlizando:
a) Regla compuesta del trapecio con h = 2 m y h = 4 m.
Problema 10 Determine las constantes a, b, c y d que producirán una fórmula de cuadratura
Z 1
−1
f ( x )dx = a f (−1) + b f (1) + c f 0 (−1) + d f 0 (1)
cuyo grado de precisión es 3.
Problema 11 Aproxime las siguientes integrales usando la cuadratura gaussiana con n = 2 y
obtenga el error real.
a)
Z 1.5
1
x2 ln xdx.
Problema 12 Utilice la transformación t = x −1 y use la cuadratura gaussiana para aproximar las
siguientes integrales con n = 3.
a)
b)
Z ∞
1
Z ∞
1
x2
1
dx
+9
x −4 sen
1
x
!
dx.
Lic. Angel Rivera
Análisis Numérico
I período 2015
R∞
Problema 13 La integral impropia 0 f ( x )dx no puede convertirse en una integral con límites
finitos por medio de la sustitución t = x −1 porque el límite en cero se vuelve infinito. El problema
R∞
R1
R∞
se resuelve escribiendo primero 0 f ( x )dx = 0 f ( x )dx + 1 f ( x )dx. Aplique este método para
aproximar las siguientes integrales usando la cuadratura gaussiana con n = 3:
a)
b)
Z ∞
0
Z ∞
0
1
dx.
1 + x4
1
dx.
(1 + x 2 )3
Problema 14 La velocidad hacia arriba de un cohete se puede calcular con la siguiente fórmula:
!
m0
− gt
v = u ln
m0 − qt
donde v = velocidad hacia arriba, u = velocidad a la cual se expulsa el combustible relativo al
cohete, m0 = masa inicial del cohete en el tiempo t = 0, q = razón de consumo de combustible
y g = aceleración hacia abajo debido a la gravedad (se supone constante e igual a 9.8 m/s2 ). Si
u = 2000 m/s, m0 = 150000 kg y q = 2600 kg/s. Use la cuadratura gaussiana con 3 puntos para
determinar que tan alto volará el cohete en 30 segundos.
Lic. Angel Rivera