Proporcionalidad Directa

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Dirección de Formación General
Programa de Matemática
Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001
Material de Estudio Guía N°6:
“Trabajando con Proporciones”
x
Proporcionalidad Directa
En un día de invierno se
determinó
que
si
está
de
manera
lloviendo
constante en 5 minutos
caen 8 mm de agua,
¿Cuántos mm de agua
caerán en tres cuarto de
hora?
Una inversión de $350.000
produce una ganancia de
$42.000 en un año, ¿Qué
ganancia producirá una
inversión de $450.000 a la
misma tasa de interés y
durante el mismo tiempo?
Las dos situaciones planteadas anteriormente se resuelven aplicando una proporción
directa.
¿Por qué cumple la regla de la proporcionalidad directa?
¿Cuál es la regla de la proporcionalidad directa?
Proporcionalidad Directa:
Dos variables x e y son directamente proporcionales si su razón
y
es constante. En
x
este caso se dice que las variables x e y son directamente proporcionales.
Dicho de otra manera si una de las variables aumenta ( x ), la otra también aumenta
( y ); y si una de las variables disminuye ( x ), la otra también disminuye ( y )
En los casos anteriores:
En un día de invierno se determinó
que si está lloviendo de manera
constante en 5 minutos caen 8 mm
de agua, ¿Cuántos mm de agua
caerán en tres cuarto de hora?
Página 111
Nivelación Matemática
Aumentan los minutos y
bajo las mismas condiciones
aumentan los mm de agua
caídos, por lo que cumple la
regla de la PD.
Una
inversión
de
$350.000
produce una ganancia de $42.000
en
un
año,
¿Qué
ganancia
producirá
una
inversión
de
$450.000 a la misma tasa de
interés y durante el mismo tiempo?
Aumenta el dinero invertido y
bajo las mismas condiciones
aumenta la ganancia, por lo que
cumple la regla de la PD.
Ejemplo Nº1:
En un día de invierno se determinó que si está lloviendo de manera constante en 5
minutos caen 8 mm de agua, ¿Cuántos mm de agua caerán en tres cuarto de hora?
Paso 1: Identificar las variables presentes en el problema.
Minutos y mm de agua caídas
Paso 2: Como uno de los datos está en horas y la variable es minutos, debemos
arreglarla.
Tres cuarto de hora = 45 minutos
Respuesta:
Paso 3: Ordenar la información, de tal manera de armar una proporción
En tres cuartos de hora si llueve de manera
constante, caerán 72 mm de agua.
Minutos
Mm de agua
5
8
45
?
Paso 4: Para encontrar el valor de la incógnita, que corresponde a la cantidad de mm de
agua que se registran en tres cuartos de hora, en la proporción directa, se debe
multiplicar cruzado:
Respuesta:
45 8
5 x
45 8
x
5
72 x
En tres cuartos de hora si llueve de
manera constante, caerán 72 mm de agua.
Además podemos obtener la Constante de proporcionalidad, dada por
y
x
y
x
Página 112
8
1,6
5
72
1,6
45
y
x:
En ambos casos se debe cumplir que la
constante de proporcionalidad sea la
misma
Ejemplo Nº2:
El siguiente gráfico presenta la
relación entre la cantidad de
productos comprados (todos de
las mismas características) y el
valor a pagar. De acuerdo a la
información, ¿Cuál es el valor
que se debe cancelar si se
compran 15 productos iguales?
Paso 1: Como los datos del problema son proporcionados a través de un gráfico,
debemos seleccionar un par ordenado para poder hacer la proporción y para esos
tenemos varias opciones, observa los puntos marcado en azul a continuación.
Si te fijas, hay varios pares ordenados
que podrías elegir, nos sirven los que
están justo en la intersección y donde
se puede ver claramente cuáles con las
coordenadas.
Para formar la proporción basta con
que elijas uno de ellos, ya que con
cualquiera obtendrás el mismo valor,
porque son parte de la misma recta.
Para
nuestro
ejemplo,
seleccionaremos el par (4,20.000)
Paso 2: Formar la proporción entre las variables presentes en el gráfico.
Cantidad de productos
Valor a pagar
4
20000
15
x
Paso 3: Multiplicar cruzado y despejar el valor de la incógnita:
15 20000 4 x
15 20000
x
4
75.000 x
Página 113
Respuesta:
Al comprar 15 productos iguales, se debe cancelar
un total de $75.000
Además podemos obtener la Constante de proporcionalidad
y
x
y
x
20000
4
75000
15
y
x:
En ambos casos SE DEBE cumplir que la
constante de proporcionalidad sea la misma.
Con respecto al ejercicio anterior, podemos
observar que la constante de proporcionalidad
puede ser un número entero o un número
decimal
5.000
5.000
Observación:
Puedes observar que el gráfico de la proporción
directa es una recta
x
Proporcionalidad Inversa
Proporcionalidad Inversa:
Dos variables x e y son inversamente proporcionales si su multiplicación x y k es
constante. En este caso se dice que las variables x e y son inversamente
proporcionales.
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye
la otra en la misma proporción.
Situación N°1
En una parcela hay 50 animales y el alimento les alcanza
para 18 días. Si se compran 10 animales más, ¿Para cuántos
días alcanzaría la misma cantidad de alimento?
Página 114
Identifiquemos los pasos a seguir:
Paso 1: Identificar a qué tipo de proporción corresponde.
El enunciado cumple con las reglas de la proporción inversa, ya que si se tienen más
animales el alimento alcanzará para menos días, entonces cuando aumenta una variable,
disminuye la otra en la misma proporción.
Paso 2: Ordenar los datos para establecer la proporción:
Cantidad de Animales
50
60
Días
18
x
Paso 3: Como en este caso se trata de una proporción inversa, para poder obtener el
valor de la incógnita, se tienen dos alternativas:
Página 115
Podemos observar que se puede aplicar cualquiera de las dos técnicas y cualquiera de
las dos que se aplique llegamos a los mismos resultados.
Situación N°2
El siguiente gráfico presenta el
valor en miles de pesos de la cuota
que debe pagar cada integrante de
un grupo familiar, al comprar un
producto tecnológico para el grupo
familiar. De acuerdo al gráfico,
¿Cuál
es
la
constante
de
proporcionalidad?, ¿Cuál será la
cuota que deberá pagar cada
integrante si el grupo familiar está
compuesto por 12 personas?
Paso 1: Como los datos del problema son proporcionados a través de un gráfico,
debemos seleccionar un par ordenado para poder hacer la proporción y para esos
tenemos varias opciones, observa los puntos marcado en azul a continuación:
Si te fijas, hay varios pares ordenados que
podrías elegir, nos sirven los que están justo en
la intersección y donde se puede ver claramente
cuáles son las coordenadas.
Para formar la proporción basta con que elijas
uno de ellos, ya que con cualquiera obtendrás el
mismo valor, porque son parte de la misma
curva.
Para nuestro ejemplo, seleccionaremos el par
(20,30)
Como el eje “y” está abreviado en Miles $, el par
ordenado a utilizar es
(20,30000)
Paso 2: Formar la proporción entre las variables presentes en el gráfico:
Cantidad de productos
Valor a pagar
20
12
30000
x
Paso 3: Para encontrar el valor de la variable aplicamos cualquiera de las dos técnicas
explicadas en el ejemplo anterior, aplicaremos la primera técnica, es decir
multiplicaremos horizontal.
20 30000 12 x
Página 116
Paso 4: Despejar la incógnita
20 30000 12 x
20 30000
x
12
50.000 x
Respuesta:
Si hay 12 personas cada una pagará una
cuota de $50.000
Además podemos obtener la Constante de proporcionalidad k
k
k
x y 20 30000 600000
x y 12 50000 600000
x y :
En ambos casos se debe cumplir que la
constante de proporcionalidad sea la misma
Observación:
Puedes observar que el gráfico de la
proporción inversa es una curva
Observación:
En cambio el gráfico de la proporción
Directa siempre será una línea recta.
Apuntes de
clases:
Página 117
Guía de Estudio N°6:
1. Teresa trabajó tres horas y ganó $8.100.
¿Cuántas horas debe trabajar en el mismo
lugar y bajo las mismas condiciones para
ganar $32.400?
Desarrollo:
2. En condiciones óptimas un alumno del taller
de teatro necesita 25 minutos para aprender
15 líneas del texto, ¿cuántos minutos
necesitará bajo las mismas condiciones para
memorizar 180 líneas?, ¿cuántas horas se
demora en memorizar este texto?
Desarrollo:
3. El arriendo de una cancha de tenis cuesta
$5.500 la media hora. Si Juan y su hermano
la arrendarán por 3 horas 15 minutos,
¿cuánto dinero deben pagar?
Desarrollo:
4. Un estudio determinó que 100 gramos de
naranjas aportan al organismo 34 ml de agua,
¿cuántos ml de agua aportarán al organismo
2 kilos de naranjas?
Desarrollo:
5. El siguiente gráfico presenta la relación entre
los metros cúbicos consumidos de agua y el
valor a pagar en pesos por tal consumo. De
acuerdo a la información entregada en el
gráfico,
¿cuál
es
la
constante
de
proporcionalidad?, ¿cuánto se debe cancelar
si se consumen 7.552 metros cúbicos de
agua?
Desarrollo:
Página 118
6. El siguiente gráfico presenta la distancia
recorrida por un bus de pasajeros en relación
a los litros de combustible consumidos
durante el viaje, si mantiene una velocidad
constante. De acuerdo a los datos de gráfico,
¿cuál es la constante de proporcionalidad?,
¿cuántos litros de combustible gastará el bus
si realiza un viaje de 375km?
Desarrollo:
7. Un acuario puede llenarse con 12 bidones de
15 litros cada uno, ¿cuántos bidones de 4,5
litros se necesitan para llenar el mismo
acuario?
Desarrollo:
8. Una constructora sabe que para construir un
edificio de 8 pisos se necesitan 72
trabajadores, los cuales se demoran 12
meses en terminarlo. ¿Cuántos trabajadores
extra se deben contratar para terminar el
mismo edificio en 9 meses?
Desarrollo:
9. En una parcela hay 50 animales y el alimento
les alcanza para 18 días. Si se compran 10
animales más, ¿para cuántos días alcanzaría
la misma cantidad de alimento?
Desarrollo:
10. Un bus demora 7,5 horas entre Valparaíso y
Talca a una velocidad promedio de 84 km/h.
¿A qué velocidad promedio se desplazó otro
vehículo que hizo el mismo recorrido en 6
horas?
Desarrollo:
Página 119
11. El siguiente gráfico presenta el valor en miles de
pesos de la cuota que debe pagar cada
integrante de un grupo familiar al adquirir un
producto tecnológico. De acuerdo al gráfico,
¿cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cuál
sería la cuota que se debería pagar cada
integrante, si el grupo familiar estuviera
compuesto por 12 personas?
Desarrollo:
12. En el siguiente gráfico se presenta información
que relaciona el tiempo de espera de los clientes
en ser atendidos en una sucursal de telefonía
celular, con respecto a la cantidad de
trabajadores que están atendiendo. Si trabajan
12 personas en la sucursal, ¿cuántos minutos
tendrá que esperar una persona para ser
atendida?
Desarrollo:
13. Una moto recorre 120 metros en 4 segundos.
¿Qué distancia recorre en 1 minuto 12
segundos, si mantiene su rapidez constante?
Desarrollo:
Página 120
14. Una inversión de $350.000 produce un
Desarrollo:
rendimiento (ganancia) de $4.200 en un
año. ¿Qué rendimiento producirá una
inversión de $450.000 a la misma tasa de
interés y durante el mismo tiempo?
15. El siguiente gráfico presenta la relación
entre la cantidad de productos comprados
(todos de las mismas características) y el
valor a pagar. De acuerdo a la información,
¿cuál es el valor que se debe cancelar si se
compran 15 productos iguales?
Desarrollo:
16. La rapidez de un automóvil es de 70 km/h
y demora 5 horas en recorrer una cierta
distancia. ¿Cuántas horas demorará en
recorrer la misma distancia, otro automóvil,
con una rapidez de 80 km/h? Utilice FIX1
Desarrollo:
17. Cuando una llave arroja 32 litros por
minuto de cierto líquido, demora 3,5 horas
en llenar un estanque. ¿Cuánto demora en
llenarse este estanque, si ahora la llave
arroja 24 litros por minuto? Utilice FIX1
Desarrollo:
18. Un estudio realizado sobre la salinidad del
agua de mar determinó que 2 litros de
agua de mar contienen 1,5 gramos de sal.
Si se tiene una muestra que contiene 9,375
gramos de sal, ¿cuántos litros de agua de
mar se extrajeron?
Desarrollo:
Página 121
19. Para pavimentar una calle de 800 metros
de largo y 12 metros de ancho, se han
utilizado 18.000 pastelones. ¿Cuántos
pastelones se necesitan para pavimentar
una calle de 1.000 metros de largo y 15
metros de ancho?
Desarrollo:
entre la cantidad de máquinas que se
tienen para realizar un determinado
trabajo y el tiempo que demoran
en
realizarlo. ¿Cuántas horas demorarán en
hacer el mismo trabajo si se cuenta con 25
máquinas?
Desarrollo:
21. Una persona establece la relación entre el número de grifos necesarios y las horas
que tardan en llenar una piscina. Si se sabe que 5 grifos demoran 1,6 horas en
llenarla, ¿cuál de los siguientes gráficos representa la situación planteada?
Desarrollo:
Página 122
22. Un instituto confecciona un gráfico donde se representa la relación entre la cantidad
de alumnos matriculados y el dinero recaudado por este concepto. Se sabe que se si
matriculan 15 alumnos la recaudación es de $750.000, ¿cuál de los siguientes
gráficos establece la relación entre las variables?
Desarrollo:
Selección Múltiple
23. Un árbol de 1,8 metros de altura proyecta
una sombra hacia el frente de 2,2 metros.
¿Cuánto mide la sombra de otro árbol de
1,5 metros que se encuentra al lado del
primero a la misma hora? Utilizar FIX2
a)
b)
c)
d)
e)
Desarrollo:
0,54m
1,83m
2,06m
2,64m
5,94m
24. Una máquina puede etiquetar 4.096
envases en cuatro días de trabajo.
¿Cuántos
días
son
necesarios
para
etiquetar 9.216 envases iguales a los
anteriores?
a)
b)
c)
d)
e)
Página 123
Desarrollo:
1
2
9
10
13
25. Una casa se pinta en 20 días con 60 hombres
trabajando. Por problemas de presupuesto, al
mes siguiente la empresa debe contratar a 45
personas menos bajo las mismas condiciones.
¿Cuántos días se demorarán en pintar una casa
de iguales características?
a)
b)
c)
d)
e)
5
15
26
60
80
26. Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en
120 horas de trabajo, ¿cuántas horas demoran
60 telares iguales en producir la misma cantidad
de tela?
a)
b)
c)
d)
e)
Desarrollo:
Desarrollo:
7,2
12,5
25,0
50,0
288,0
27. Para pintar una pared de 96m2 se ocupan 8
tarros de pintura. ¿Cuántos tarros del mismo
tipo de pintura se necesitan para pintar una
pared de 28,8 metros de largo por 2,5 metros
de ancho?
Desarrollo:
a) 3
b) 5
c) 6
d) 11
e) 17
28. El pago por el consumo de la electricidad es
proporcional a la electricidad que se consume
mensualmente. Esta situación se refleja en el
siguiente gráfico. Si una familia consume
1.550KW de electricidad en el mes, ¿cuánto es
lo que debe cancelar?
a)
b)
c)
d)
e)
Página 124
Desarrollo:
$258
$7.750
$9.000
$9.300
$9.360
29. Un jefe de obra construye el siguiente
gráfico donde se relaciona la cantidad de
operarios trabajando bajo las mismas
condiciones, y el tiempo en horas que se
demoran en realizar un determinado trabajo.
¿Cuánto tiempo se demorarán en realizar el
mismo trabajo 16 operarios?
Desarrollo:
a) 9,37
b) 6,25
c) 12,5
d) 100
e) 800
30. La cantidad de mg de medicamento en el
organismo
se
relaciona
en
forma
proporcional a las horas transcurridas desde
que se ingiere. Pasadas 1,6 horas de haber
sido ingerido quedan en el organismo
125mg, ¿cuál (es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdaderas?
Desarrollo:
I. Pasada 1 hora hay en el organismo
200mg del medicamento.
II. La constante de proporcionalidad es 50.
III. El siguiente gráfico modela la situación.
a)
b)
c)
d)
e)
Página 125
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo I y III
I, II y III
31. En
una parcela hay 12 caballos que
consumen 720 kg. de alfalfa durante el
mes de “Abril”. El dueño de la parcela
compró 3 caballos más, si tiene la misma
cantidad de alfalfa, ¿para cuántos días le
alcanzará?
a)
b)
c)
d)
e)
Desarrollo:
7,5
14
24
37,5
38,75
32. Laura quiere comenzar a andar en bicicleta
Desarrollo:
y diseña un plan de acción que se ve
representado en el siguiente gráfico, donde
se relacionan en forma proporcional los
minutos dedicados a andar en bicicleta y la
distancia recorrida en kilómetros. ¿Cuál
(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdaderas?
I. Si hace ejercicio por media hora recorre 5
km en bicicleta.
II. La constante de proporcionalidad es 6.
III. Si Laura se dedica 1 hora y 24 minutos a
andar en bicicleta, recorre 14 km.
a)
b)
c)
d)
e)
Sólo I
Sólo III
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
Página 126
33. Un nutricionista le indica a un paciente que
Desarrollo:
una porción de yogurt tiene 6,3 proteínas.
Si el médico le indica a su paciente que
debe consumir diariamente 5 porciones de
yogurt con las mismas características,
¿cuántas proteínas debe consumir el
paciente a la semana?
a)
b)
c)
d)
e)
8,82
31,5
126
157,5
220,5
34. Eugenia se quiere comprar una estufa a
parafina que gasta 2 litros del combustible
en 5 horas. Si el consumo de parafina es
proporcional al tiempo de uso, ¿cuántos
litros de parafina se gastarán en 8 horas?
a)
b)
c)
d)
e)
Desarrollo:
1,25
2
3,2
11
15
35. Una
cuenta
se
dividirá
en
forma
proporcional a la cantidad de personas que
la compartirán, la situación se ve reflejada
en el siguiente gráfico. ¿Cuál es la cuota
que debe cancelar cada uno, si el grupo
tiene en total 16 personas?
a)
b)
c)
d)
e)
Página 127
Desarrollo:
$17.500
$18.750
$21.875
$50.000
$114.286
36. Un jardinero utiliza 74,4 metros cuadrados de
pasto para colocar la misma cantidad en 6
casas, ¿Cuántos metros cuadrados de pasto
necesitará el jardinero para colocar en 14
casas iguales a las anteriores?
a)
b)
c)
d)
e)
Desarrollo:
31,9 m2
94,4 m2
173,6 m2
297,6 m2
520,8 m2
37. Jaime ahorra mensualmente la misma
cantidad de dinero. Al consultar su saldo
después de 15 meses, observa un total de
$354.000. Si Jaime sigue ahorrando de la
misma manera, ¿cuánto dinero tendrá
ahorrado después de 32 meses?
a)
b)
c)
d)
e)
Desarrollo:
$165.938
$377.600
$708.000
$755.200
$826.000
38. Para construir un edifico el capataz de una
obra determina que si tiene 70 trabajadores
trabajando bajo las mismas condiciones
demorarán 24 meses en terminarlo. ¿Cuál
(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdaderas?
Desarrollo:
I. La constante de proporcionalidad es 1.680
II. Si el capataz contratara 14 trabajadores
más,
trabajando
bajo
las
mismas
condiciones, demorarían 20 meses en
terminar el mismo edificio.
III. Si se contrataran más trabajadores,
trabajando bajos las mismas condiciones,
se demorarán más en terminar el mismo
trabajo.
a) Sólo I
b) Sólo III
c) Sólo I y II
d) Sólo I y III
e) I, II y III
Página 128
Desarrollo:
proporcional entre los litros de pintura
utilizados para pintar un muro y la
superficie que se puede cubrir al pintar.
¿Cuántos litros de la misma pintura se
deben utilizar para pintar un muro de 68
metros cuadrados de superficie?
a)
b)
c)
d)
e)
0,6 L
6L
6,8 L
7L
10 L
40. Gonzalo necesita dejar su auto en un
Desarrollo:
estacionamiento. Un letrero le indica que el
costo por estacionar 30 minutos es de
$800. Si el cobro del estacionamiento es
proporcional al tiempo, ¿cuánto debe
cancelar Gonzalo si permanece estacionado
por 1 hora y 24 minutos?
a)
b)
c)
d)
e)
$ 640
$1.600
$1.720
$2.240
$3.040
Página 129
Respuestas Guía de Estudio N°6:
1.Debe trabajar 12 horas
2.Se demora 300 minutos = 5 horas
3.Debe pagar $35.750
4.Aportan al organismo 680ml de agua
5.La constante de proporcionalidad es 2. Se deben cancelar $15.104
6.La constante de proporcionalidad es 0,05. Se necesitan 18,75 litros de combustible.
7.Se necesitan 40 bidones
8.Se necesitan 24 trabajadores extra
9.Les alcanza para 15 días
10. Viaja a 105 km/h
11. La constante de proporcionalidad es 600.000. Cada uno debe pagar $50.000
12. El tiempo de espera es de 12,5 minutos
13. La moto recorre 2.160 metros
14. Produce una ganancia de $5.400
15. Por 15 productos cancela $75.000
16. Se demorará 4,4 horas
17. Se demorará 4,7 horas
18. Se extrajeron 12,5 litros de agua de mar
19. Se necesitan 28.125 pastelones
20. Se demoran 16 horas
21. Gráfico B
22. Gráfico C
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
B
C
E
D
C
D
C
D
C
E
E
C
C
C
D
C
C
D
Página 130

Proporcionalidad Directa

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