הגדרות ומשפטים - אלון באומן – שיעורים פרטיים ומרתונים

‫אלגברה לינארית ‪ -‬הגדרות ומשפטים‬
‫פרק ‪ - 3‬דטרמיננטה‬
‫הגדרה ‪3.1‬‬
‫דטרמיננטה מוגדרת על מטריצה ריבועית בלבד ומסומנת 𝐴 או 𝐴 ‪ det‬והיא מוגדרת בצורה‬
‫רקורסיבית‪ .‬חישוב דטרמיננטה מתבצע ע"י בחירת שורה או עמודה לפיה תפותח‬
‫הדטרמיננטה‪.‬‬
‫‪ .1‬תהי 𝐴 מטריצה מסדר ‪:1𝑥1‬‬
‫‪ .2‬תהי 𝐴 מטריצה מסדר ‪:2𝑥2‬‬
‫‪ .3‬תהי 𝐴 מטריצה מסדר 𝑛𝑥𝑛‪,‬‬
‫המתקבלת מהמטריצה 𝐴 ללא‬
‫אם 𝑎 = 𝐴 אז 𝑎 = 𝐴‬
‫𝑏 𝑎‬
‫= 𝐴 אז 𝑐𝑏 ‪𝐴 = 𝑎𝑑 −‬‬
‫אם‬
‫𝑑 𝑐‬
‫נגדיר את המטריצה המינורית‬
‫שורה 𝑖 וללא עמודה 𝑗‪.‬‬
‫𝑗𝑖𝑀 מסדר‬
‫‪𝑛−1 𝑥 𝑛−1‬‬
‫ולכן הדטריננטה של 𝐴 מתקבלת ע”י הנוסחא הבאה‪:‬‬
‫א‪ .‬פיתוח לפי שורה 𝑖‪:‬‬
‫ב‪ .‬פיתוח לפי עמודה 𝑗‪:‬‬
‫𝑛𝑖𝑀‬
‫𝑛‪𝑖+‬‬
‫𝑗𝑛𝑀‬
‫‪𝑀𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 −1‬‬
‫𝑛‪𝑗 +‬‬
‫‪𝑖+2‬‬
‫‪𝑀2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗 −1‬‬
‫מטריצת הסימנים עבור חישוב דטרמיננטה‪:‬‬
‫…‬
‫…‬
‫⋮‬
‫⋱‬
‫‪+‬‬
‫…‬
‫⋱‬
‫…‬
‫‪𝑀𝑖1 + 𝑎𝑖2 −1‬‬
‫‪𝑗 +2‬‬
‫‪𝑖+1‬‬
‫‪𝑀1𝑗 + 𝑎2𝑗 −1‬‬
‫‪𝐴 = 𝑎𝑖1 −1‬‬
‫‪𝑗 +1‬‬
‫‪𝐴 = 𝑎1𝑗 −1‬‬
‫‪+ −‬‬
‫‪− +‬‬
‫⋮ ‪+‬‬
‫⋮ ⋮‬
‫משפט ‪ – 3.2‬השפעת ביצוע פעולות אלמנטריות של דטרמיננטה של מטריצה‬
‫ניתן לבצע פעולות אלמנטריות על דטרמיננטה לפי שורות או לפי עמודות‪ .‬השפעת ביצוע‬
‫הפעולות על סימן הדטרמיננטה‪:‬‬
‫‪ .1‬החלפת שתי שורות (או עמודות) במטריצה משנות את סימן הדטרמיננטה‬
‫‪ .2‬הכפלת שורה (או עמודה) בקבוע לא משנה את סימן הדטרמיננטה‬
‫‪ .3‬הוספת כפולה של שורה (או עמודה) לשורה (או עמודה) אחרת לא משנה את סימן‬
‫הדטרמיננטה‬
‫תכונות‪:‬‬
‫‪ .1‬אם במטריצה יש שורה (או עמודה) של אפסים אז הדטרמיננטה שווה אפס‬
‫‪ .2‬אם במטריצה שורה (או עמודה) אחת היא כפולה של שורה (או עמודה) אחרת אז‬
‫הדטרמיננטה שווה אפס‬
‫‪ .3‬יהיו 𝐴 ו‪ 𝐵 -‬מטריצות מסדר 𝑛‪ ,‬אזי מתקיים‪𝐴𝐵 = 𝐴 𝐵 :‬‬
‫‪ .4‬תהי 𝐴 מטריצה מסדר 𝑛𝑥𝑛 אזי מתקיים‪𝐴𝑡 = 𝐴 :‬‬
‫‪ .5‬תהי 𝐴 מטריצה הפיכה מסדר 𝑛𝑥𝑛‪ ,‬אזי ‪ 𝐴 ≠ 0‬ומתקיים‪:‬‬
‫𝑛‬
‫‪1‬‬
‫𝐴‬
‫= ‪𝐴−1‬‬
‫‪ .6‬תהי 𝐴 מטריצה מסדר 𝑛𝑥𝑛 וסקלר ‪ ,α‬אז מתקיים‪α𝐴 = α 𝐴 :‬‬
‫‪ .7‬תהי 𝐴 מטריצה מסדר 𝑛𝑥𝑛‪ ,‬אזי מתקיים‪𝐴𝑘 = 𝐴 𝑘 :‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪1‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫משפט ‪ – 3.3‬כלל קרמר‬
‫תהי 𝑏 = 𝑥𝐴 מערכת משוואות מסדר 𝑛 עבורה יש פתרון יחיד‪ ,‬כלומר ‪ . 𝐴 ≠ 0‬אזי יש פתרון‬
‫יחיד למערכת והוא ניתן לחישוב ע"י כלל קרמר באופן הבא‪:‬‬
‫‪𝐴1‬‬
‫‪𝐴2‬‬
‫𝑛𝐴‬
‫= ‪, 𝑥2‬‬
‫= 𝑛𝑥 ‪, … ,‬‬
‫𝐴‬
‫𝐴‬
‫𝐴‬
‫= ‪𝑥1‬‬
‫כאשר 𝑖𝐴 היא המטריצה שהוחלפה בה עמודת 𝑖 בוקטור האיברים החופשיים 𝑏 של מערכת‬
‫המשוואות‪.‬‬
‫משפט ‪3.4‬‬
‫הקשר בין דרגה של מטריצה‪ ,‬מספר פתרונות של המערכת‪ ,‬דטרמיננטה והפיכות המטריצה‪:‬‬
‫תהי 𝐴 מטריצה מסדר 𝑛𝑥𝑛‪ ,‬אזי מתקיים‪:‬‬
‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬
‫‪054-5-290106‬‬
‫‪2‬‬
‫‪[email protected]‬‬