null

‫תחרות בין מעטים‬
‫קורנו‬
‫סטאקלברג‬
‫שוליים תחרותיים‬
‫‪1‬‬
Antoine Augustin Cournot
1801-1877
2
‫מודל קורנו‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫תיאור הסביבה )ההנחות(‬
‫מושג הפתרון‬
‫חישוב הפתרון‬
‫השוואה לתחרות ולמונופול‬
‫סטאטיקה השוואתית‬
‫‪3‬‬
‫מודל קורנו )הבסיסי( – הנחות‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫מודל חד תקופתי‬
‫מוצר הומוגני‬
‫הפירמות מתחרות על ידי בחירת כמויות‬
‫בחירת הכמויות נעשית באופן סימולטני‬
‫מחיר המוצר נקבע כך שהשוק מתנקה‬
‫לפירמות אינפורמציה מלאה על הביקוש ומבנה ההוצאות של כל‬
‫הפירמות האחרות‬
‫אין כניסה או יציאה מהענף‬
‫כל פירמה ממקסמת את רווחיה בהתייחסה לכמויות אותן בוחרות‬
‫הפירמות האחרות כקבועות‪.‬‬
‫לעיתים אומרים כל פירמה ממקסמת את רווחיה תחת הנחה כי‬
‫הכמות בה תבחר אינה משפיעה על הכמויות אותן תבחרנה‬
‫הפירמות האחרות )‪.(Zero Conjectural Variation‬‬
‫‪4‬‬
‫מודל קורנו – שתי פירמות‬
‫הנתונים‬
‫•‬
‫פונקציית הביקוש – )‪P(Q‬‬
‫•‬
‫פונקציית ההוצאות של כל פירמה‪ C1(q1) :‬ו – )‪C2(q2‬‬
‫•‬
‫פונקציית הרווח של פירמה ‪ 1‬הינה‪:‬‬
‫)‪π1(q1,q2)=P(q1+q2)q1-C1(q1‬‬
‫•‬
‫פונקציית הרווח של פירמה ‪ 2‬הינה‪:‬‬
‫)‪π2(q1,q2)=P(q1+q2)q2-C2(q2‬‬
‫•‬
‫כל פירמה מתייחסת לכמות אותה מייצרת הפירמה האחרת כקבועה וממקסמת‬
‫את רווחיה‪.‬‬
‫במילים אחרות פירמה ‪ i‬מניחה ש ‪ dqj /dqi=0 -‬עבור ‪ j‬שונה מ – ‪) .i‬כלומר מניחה‬
‫שינוי משוער אפס ובאנגלית ‪.(zero conjectural variation‬‬
‫•‬
‫‪5‬‬
‫מודל קורנו ‪ -‬שתי פירמות‬
‫פתרון )שיווי משקל(‬
‫• יש למצוא‬
‫– זוג כמויות ‪ q*1‬ו‪ q*2 -‬כך ש‪-‬‬
‫• ‪ q*1‬ממקסמת את רווחי פירמה ‪ 1‬בהינתן שפירמה ‪ 2‬מייצרת‬
‫‪ q*2‬ו‪-‬‬
‫• ‪ q*2‬ממקסמת את רווחי פירמה ‪ 2‬בהינתן שפירמה ‪ 1‬מייצרת‬
‫‪q*1‬‬
‫‪6‬‬
‫בצורה פורמאלית‪...‬‬
‫• פתרון )שיווי משקל( ניתן על ידי זוג כמויות‪ q*1 ,‬ו‪q*2 -‬‬
‫המקיים‪:‬‬
‫* *‬
‫*‬
‫) ‪π1 (q1 , q2 ) ≥ π1 (q1, q2‬‬
‫* *‬
‫*‬
‫) ‪π 2 (q1 , q2 ) ≥ π 2 (q1 , q2‬‬
‫‪7‬‬
‫חישוב הפתרון )שיווי משקל(‬
‫– אם ‪ q*1‬מביאה למקסימום את רווחי פירמה ‪ 1‬בהינתן שפירמה‬
‫‪ 2‬מייצרת ‪ q*2‬אז‬
‫* * ‪∂π 1‬‬
‫‪(q1 , q2 ) = 0.‬‬
‫‪∂q1‬‬
‫‪∂q‬‬
‫– אם ‪ q*2‬מביאה למקסימום את רווחי פירמה ‪ 2‬בהינתן שפירמה‬
‫‪ 1‬מייצרת ‪ q*1‬אז‬
‫* * ‪∂π 2‬‬
‫‪(q1 , q2 ) = 0.‬‬
‫‪∂q2‬‬
‫‪8‬‬
‫• לכן‪ ,‬על מנת למצוא את שיווי המשקל אנו צריכים לפתור את‬
‫מערכת שתי המשוואות עם שני הנעלמים הבאה‪:‬‬
‫* * ‪ ∂π 1‬‬
‫(‬
‫‪q‬‬
‫‪,‬‬
‫‪q‬‬
‫)‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ∂q‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ∂π 2 (q * , q * ) = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ∂q2‬‬
‫• מחיר שיווי המשקל יהיה‬
‫‪9‬‬
‫) ‪P(q + q‬‬
‫*‬
‫‪2‬‬
‫*‬
‫‪1‬‬
‫דוגמה מספרית‬
‫• הביקוש המצרפי מתואר על‪-‬ידי הפונקציה‬
‫‪P (Q) = 25 − 2Q‬‬
‫‪P‬‬
‫‪25‬‬
‫)‪P(Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪10‬‬
‫דוגמה מספרית‬
‫• יש שתי פירמות זהות בשוק‪ :‬פירמה ‪ 1‬ופירמה ‪.2‬‬
‫• פירמה ‪ (i=1,2) ,i‬מאופיינת על‪-‬ידי פונקצית העלות הבאה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ci (qi ) = qi + 2qi‬‬
‫• העלות השולית של כל פירמה היא‪ ,‬אם כן‪:‬‬
‫‪i = 1,2‬‬
‫‪11‬‬
‫‪MCi (qi ) = 1 + 4qi‬‬
‫אם הפירמות היו תחרותיות‪...‬‬
‫• פונקצית ההיצע של כל פירמה ‪ i‬הינה‪:‬‬
‫‪p −1‬‬
‫= ) ‪qi ( p‬‬
‫‪4‬‬
‫• ופונקצית ההיצע המצרפית הינה‪:‬‬
‫‪p −1‬‬
‫= )‪q ( p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s‬‬
‫‪12‬‬
‫הפתרון התחרותי‬
‫‪P‬‬
‫הכמות והמחיר התחרותיים‬
‫ניתנים על ידי נקודת החיתוך‬
‫בין עקומת הביקוש ועקומת ההיצע‪.‬‬
‫)‪S(p‬‬
‫עקומת ההיצע מתקבלת מסכימה אופקית‬
‫של עקומות ההיצע של הפירמות הבודדות‪.‬‬
‫)‪MC(q‬‬
‫‪25‬‬
‫‪13‬‬
‫)‪P(q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪6‬‬
‫‪13‬‬
‫אבל הן לא תחרותיות‪ ,‬פתרון קורנו‬
‫• לכן‪ ,‬על מנת למצוא את שיווי המשקל אנו צריכים לפתור‬
‫מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים‪:‬‬
‫* * ‪ ∂π 1‬‬
‫(‬
‫‪q‬‬
‫‪,‬‬
‫‪q‬‬
‫)‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ∂q‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫∂‬
‫‪π‬‬
‫‪ 2 (q* , q* ) = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ∂q2‬‬
‫‪14‬‬
‫דוגמה מספרית‬
‫• בהינתן שרווחי פירמה ‪ 1‬הם‬
‫) ‪π 1 (q1 , q2 ) = P(q1 , q2 )q1 − c1 (q1‬‬
‫) ‪= [25 − 2(q1 + q2 )]q1 − (q1 + 2q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫• נקבל ש‪-‬‬
‫‪∂π 1‬‬
‫‪= 24 − 8q1 − 2q2‬‬
‫‪∂q1‬‬
‫‪15‬‬
‫דוגמה מספרית‬
‫• באופן דומה‪ ,‬בהינתן שרווחי פירמה ‪ 2‬הם‬
‫) ‪π 2 (q1 , q2 ) = P(q1 , q2 )q2 − c2 (q2‬‬
‫) ‪= [25 − 2(q1 + q2 )]q2 − (q2 − 2q22‬‬
‫• נקבל ש‪-‬‬
‫‪∂π 2‬‬
‫‪= 24 − 2q1 − 8q2‬‬
‫‪∂q2‬‬
‫‪16‬‬
‫דוגמה מספרית‬
‫ מקיימות‬q*2 -‫ ו‬q*1 ‫• מכאן שכמויות שיווי המשקל‬
24 − 8q1 − 2q2 = 0

24 − 2q1 − 8q2 = 0
12 − q2

=
reaction
function
of
firm
1
q
1

4

q = 12 − q1 reaction function of firm 2
 2
4
17
‫‪q1‬‬
‫‪12‬‬
‫פונקצית התגובה של פירמה ‪2‬‬
‫שיווי המשקל‬
‫פונקצית התגובה של פירמה ‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪12/5‬‬
‫‪q2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12/5 3‬‬
‫‪18‬‬
‫שיווי המשקל‬
‫• כמויות שיווי המשקל הן‬
‫‪q1*= q2*=12/5.‬‬
‫• התפוקה המצרפית היא‬
‫‪q*= q1*+ q2*=24/5.‬‬
‫• מחיר שיווי המשקל הוא‬
‫‪P(q*)=25-2 q* =77/5=15.40‬‬
‫השוו פתרון זה לפתרון המונופוליסטי )כאשר יש רק פירמה‬
‫אחת( ולפתרון השיתופי )כאשר שתי הפירמות משתפות‬
‫פעולה על מנת למקסם את סכום הרווחים(‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫השוואה בין הפתרון התחרותי ופתרון קורנו‬
‫‪P‬‬
‫)‪MC(q‬‬
‫‪25‬‬
‫)‪S(p‬‬
‫‪15.4‬‬
‫‪13‬‬
‫)‪P(q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4.8‬‬
‫‪20‬‬
‫דוגמה מספרית נוספת )‪ MC‬קבוע(‬
‫הביקוש ניתן על ידי‪P=25-Q :‬‬
‫פונקציית ההוצאות של כל פירמה )‪ 1‬ו – ‪ (2‬ניתנת על ידי‪Ci=5qi :‬‬
‫‪i=1,2‬‬
‫פונקציית הרווח של פירמה ‪ 1‬ניתנת על ידי‪:‬‬
‫‪Π1=q1(25-q1-q2)-5q1‬‬
‫מגזירה לפי ‪ q1‬והשוואה לאפס מתקבל‪:‬‬
‫‪25-2q1-q2-5=0‬‬
‫כלומר פונקציית התגובה של פירמה ‪ 1‬הינה‪:‬‬
‫)‪q1=0.5(20-q2‬‬
‫‪21‬‬
‫דוגמה מספרית נוספת )‪ MC‬קבוע(‬
‫•‬
‫באופן דומה מתקבל כי פונקציית התגובה של פירמה ‪ 2‬הינה‪q2=0.5(20-q1) :‬‬
‫• הכמויות של שיווי משקל קורנו ניתנות על ידי חיתוך שתי פונקציות התגובה‬
‫ומתקבלות מפיתרון סימולטני של מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬
‫)‪q1=0.5(20-q2‬‬
‫)‪q2=0.5(20-q1‬‬
‫פתרונן ניתן על ידי‪:‬‬
‫‪q1=q2=20/3‬‬
‫כתוצאה מכמויות אלו המחיר שמנקה את השוק ניתן על ידי‪:‬‬
‫)‪P=35/3 (25-20/3-20/3‬‬
‫רווחיה של כל פירמה ניתנים על ידי ‪.400/9‬‬
‫השוו זאת לפתרון התחרותי‪ ,‬לפתרון המונופוליסטי‪ ,‬ולפתרון השיתופי )הפתרון‬
‫הממקסם את סך רווחי הפירמות(‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫פתרון כללי במקרה של ביקוש ליניארי‪,‬‬
‫הוצאה שולית קבועה ושתי פירמות‬
‫פונקציית הביקוש הינה‪P=A-bQ :‬‬
‫פונקציית ההוצאות של כל פירמה היא ‪cqi‬‬
‫פירמה ‪ 1‬תגזור את‪q1(A-b(q1+q2))-cq1 :‬‬
‫ונקבל את פונקציית התגובה‪:‬‬
‫)‪R1(q2)=(A-c-bq2)/(2b‬‬
‫ובאופן דומה‪R2(q1)=(A-c-bq1)/(2b) :‬‬
‫פתרון שתי המשוואות‪:‬‬
‫)‪q1=R(q2) ; q2=R(q1‬‬
‫יגרור‪ q1=q2=(A-c)/(3b) :‬ולכן ‪P=(A+2C)/3‬‬
‫ו ‪π=(A-c)2/(9b) -‬‬
‫‪23‬‬
‫סטאטיקה השוואתית‬
‫נניח כי עקומת הביקוש ליניארית והעלויות השוליות‬
‫קבועות ושוות לשתי הפירמות‪.‬‬
‫ירידה בעלות השולית של פירמה ‪ 1‬תגרור שיווי‬
‫משקל קורנו חדש בו‪:‬‬
‫‪ Q1‬יגדל‪ Q2 ,‬ירד‪ ,‬תפוקה כוללת תגדל‪ ,‬רווחי פירמה ‪ 1‬יעלו‬
‫ורווחי פירמה ‪ 2‬ירדו‪.‬‬
‫מראים זאת על ידי חישוב גדלי שיווי המשקל החדש‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫מודל קורנו – ‪ n‬פירמות‬
‫הנתונים‬
‫•‬
‫פונקציית הביקוש – )‪P(Q‬‬
‫•‬
‫פונקציית ההוצאות של כל פירמה‪Ci(qi) :‬‬
‫•‬
‫פונקציית הרווח של פירמה ‪ i‬הינה‪:‬‬
‫)‪πi(q1,q2,…,qi,…,qn)=qiP(q1+…+qn)-Ci(qi‬‬
‫•‬
‫פירמה ‪ i‬מתייחסת לכמויות אותן מייצרות הפירמות האחרות כקבועות וממקסמת‬
‫את רווחיה‪.‬‬
‫• במילים אחרות‪ ,‬פירמה ‪ i‬מניחה ש ‪ dqj /dqi=0 -‬עבור ‪ j‬שונה מ – ‪) .i‬כלומר‬
‫מניחה שינוי משוער אפס ובאנגלית ‪.(zero conjectural variation‬‬
‫‪25‬‬
‫מודל קורנו ‪ n -‬פירמות‬
‫פתרון )שיווי משקל(‬
‫• יש למצוא‬
‫– ‪ n‬כמויות‪ (q*1,q*2,…,q*n) ,‬כך ש‪-‬‬
‫• ‪ q*i‬ממקסם את רווחי פירמה ‪ i‬בהינתן שכל הפירמות‬
‫האחרות מייצרות את וקטור הכמויות‪:‬‬
‫)‪q*-i=(q*1,q*2,…,q*i-1,q*i+1,…q*n‬‬
‫‪26‬‬
‫בצורה פורמאלית‪...‬‬
‫• פתרון )שיווי משקל( ניתן על ידי ‪ n‬כמויות‪,‬‬
‫)‪ (q*1,q*2,…,q*n‬המקיימות‪:‬‬
‫‪π i (q , q ,..., q ) ≥ π i (qi , q ) i = 1,..., n‬‬
‫*‬
‫‪−i‬‬
‫*‬
‫‪2‬‬
‫*‬
‫‪n‬‬
‫*‬
‫‪1‬‬
‫‪where‬‬
‫) ‪(qi , q ) = (q , q ,..., q , qi , q ,..., q‬‬
‫*‬
‫‪i +1‬‬
‫*‬
‫‪n‬‬
‫‪27‬‬
‫*‬
‫‪i −1‬‬
‫*‬
‫‪2‬‬
‫*‬
‫‪1‬‬
‫*‬
‫‪−i‬‬
‫חישוב הפתרון )שיווי משקל(‬
‫– אם ‪ q*i‬ממקסם את רווחי פירמה ‪ i‬בהינתן שהפירמות האחרות‬
‫מייצרות ‪ q*-i‬אזי‪:‬‬
‫* * ‪∂π i‬‬
‫*‬
‫‪(q1 , q2 ,..., qn ) = 0.‬‬
‫‪∂qi‬‬
‫‪28‬‬
‫חישוב הפתרון )שיווי משקל(‬
‫• לכן‪ ,‬על מנת למצוא את שיווי המשקל אנו צריכים לפתור את‬
‫מערכת של ‪ n‬משוואות עם ‪ n‬נעלמים‪:‬‬
‫* * ‪∂π i‬‬
‫*‬
‫‪(q1 , q2 ,..., qn ) = 0 i = 1,..., n‬‬
‫‪∂qi‬‬
‫• מחיר שיווי המשקל יהיה‬
‫) ‪P(q + q + ... + q‬‬
‫*‬
‫‪n‬‬
‫*‬
‫‪2‬‬
‫*‬
‫‪1‬‬
‫‪29‬‬
‫דוגמה מספרית – ‪ n‬פירמות‬
‫פונקצית העלות של פירמה ‪ i‬היא‬
‫‪ci (qi ) = qi + 2q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫העלות השולית היא‬
‫‪i = 1,2,..., n‬‬
‫‪30‬‬
‫‪MCi (qi ) = 1 + 4qi‬‬
‫נתחיל בחישוב של שיווי משקל תחרותי‬
‫• פונקצית ההיצע של כל פירמה ‪ i‬הייתה‬
‫‪p −1‬‬
‫= ) ‪qi ( p‬‬
‫‪4‬‬
‫• ופונקצית ההיצע המצרפית הינה‬
‫‪np − n‬‬
‫= )‪q ( p‬‬
‫‪4‬‬
‫‪s‬‬
‫‪31‬‬
‫הפתרון התחרותי‬
‫• ההיצע ניתן על ידי‪:‬‬
‫‪nP − n‬‬
‫‪4‬‬
‫• הביקוש ניתן על ידי‪:‬‬
‫‪P = 25 − 2Q d or Q d ( P) = 12.5 − 0.5P‬‬
‫= )‪Q s ( P‬‬
‫• שיווי המשקל התחרותי מתקבל מפתרון המשוואות‬
‫וניתן על ידי‪:‬‬
‫‪50 + n‬‬
‫‪12n‬‬
‫=‪P‬‬
‫=‪; Q‬‬
‫‪2+n‬‬
‫‪2+n‬‬
‫‪32‬‬
‫אבל הן לא תחרותיות‪.‬‬
‫• הפירמות מכירות את פונקצית הביקוש ומבינות כי‬
‫הן משפיעות על המחיר )שנקבע לפי התפוקה‬
‫המצרפית( דרך רמת התפוקה בה יבחרו‪.‬‬
‫• כל פירמה ממקסמת את רווחיה בהתייחסה‬
‫לכמויות אותן בוחרות הפירמות האחרות כקבועות‪.‬‬
‫• כך מתקבלת מערכת המשוואות הבאה שפתרונה‬
‫ייתן את הפתרון של קורנו )תחרות בכמויות(‪.‬‬
‫‪33‬‬
‫חישוב פתרון )שיווי משקל( של קורנו‬
‫• על מנת למצוא את שיווי המשקל אנו צריכים לפתור‬
‫מערכת של ‪ n‬משוואות עם ‪ n‬נעלמים‬
‫• בהינתן ש‪-‬‬
‫) ‪π i (qi , q−i ) = P(q1 ,..., qn )qi − ci (qi‬‬
‫מתקבל‬
‫) ‪= [25 − 2(q1 + ... + qn )]qi − (qi + 2qi2‬‬
‫‪∂π i‬‬
‫‪= 24 − 8qi − 2 ∑ q j‬‬
‫‪∂qi‬‬
‫‪j ≠i‬‬
‫‪34‬‬
‫• לכן‪ ,‬כמויות שיווי המשקל )*‪ (q1*,…, qn‬מקיימות‬
‫‪i = 1,..., n.‬‬
‫‪24 − 8q − 2 ∑ q = 0‬‬
‫*‬
‫‪j‬‬
‫*‬
‫‪i‬‬
‫‪j ≠i‬‬
‫ולכן‬
‫‪i = 1,..., n.‬‬
‫‪35‬‬
‫‪12 − ∑ q *j‬‬
‫‪j ≠i‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪q‬‬
‫*‬
‫‪i‬‬
‫שיווי המשקל‬
‫• כמויות שיווי המשקל הן‬
‫‪12‬‬
‫= ‪q = q = ... = q‬‬
‫‪3+ n‬‬
‫*‬
‫‪2‬‬
‫*‬
‫‪n‬‬
‫*‬
‫‪1‬‬
‫• התפוקה המצרפית היא‬
‫‪12n‬‬
‫= ‪q = q + q + ... + q‬‬
‫‪3+ n‬‬
‫*‬
‫‪2‬‬
‫*‬
‫‪n‬‬
‫*‬
‫‪1‬‬
‫*‬
‫• מחיר שיווי המשקל הוא‬
‫‪75 + n‬‬
‫= ) ‪P = P(q‬‬
‫‪3+ n‬‬
‫*‬
‫*‬
‫‪N‬‬
‫‪36‬‬
‫פתרון קורנו מתכנס לפתרון התחרותי‬
12
12
*
lim q (cournot ) = lim
= lim qi (ce) = lim
=0
N →∞
N →∞ n + 3
N →∞
N →∞ n + 2
12n
12n
*
lim Q(cournot ) = lim
= lim qi (ce) = lim
= 12
N →∞
N →∞ n + 3
N →∞
N →∞ n + 2
n + 75
50 + n
=1
lim P (cournot ) = lim
= lim P (ce) = lim
N →∞
N →∞ n + 3
N →∞
N →∞ n + 2
*
i
37
‫ תוצאת שיווי המשקל מתקרבת לתוצאה‬,‫ככל שמספר הפירמות גדל‬
.‫התחרותית‬
‫הדוגמה הליניארית – ‪ n‬פירמות‬
‫נניח כי עקומת הביקוש ליניארית )‪ (P=A-bQ‬וכל‬
‫הפירמות זהות עם עלות שולית קבועה )‪ .(c‬ניתן‬
‫לחשב את שיווי המשקל ולקבל כי‪:‬‬
‫)‪Qi=(A-c)/((n+1)b) Q=n(A-c)/((n+1)b‬‬
‫)‪P=(A+nc)/(n+1) π=(A-c)2/((n+1)2b‬‬
‫גידול במספר הפירמות מוריד את הכמות אותה מייצרת כל‬
‫פירמה‪ ,‬מגדיל את הכמות המצרפית ומוריד את המחיר‪ .‬כש‬
‫– ‪ n‬שואף לאינסוף המחיר שואף ל – ‪ .c‬כלומר‪ ,‬גם כאן יש‬
‫התכנסות לתוצאה התחרותית‪.‬‬
‫‪38‬‬
‫מודל קורנו ‪ -‬מסקנות‬
‫•‬
‫•‬
‫ליצרנים בתחרות קורנו יש כוח שוק והמחיר בדרך כלל נקבע מעל לעלות השולית‪.‬‬
‫הקשר בין ‪ MC‬ומחיר נובע מתנאי הסדר הראשון שניתן על ידי‪:‬‬
‫‪dπ i‬‬
‫‪d‬‬
‫=‬
‫= )) ‪( P (q1 + ... + qn ) ⋅ qi − c(qi‬‬
‫‪dqi dqi‬‬
‫‪dP‬‬
‫‪qi + P − mci = 0‬‬
‫‪dQ‬‬
‫‪or‬‬
‫‪dP‬‬
‫‪P − mci = −‬‬
‫‪qi‬‬
‫‪dQ‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫הפער בין מחיר ל – ‪ MC‬נמוך מהפער הקיים במונופול )שם מופיע סך התפוקה(‪.‬‬
‫במקרה של יצרנים סימטריים‪ ,‬כוח השוק קטן כשמספרם גדל‪.‬‬
‫ניתן לחשב אינדקס לרנר אישי‪.‬‬
‫‪39‬‬
‫אינדקס לרנר במודל קורנו‬
40
P − MCi (Qi )
dP 1
Li =
=−
Qi =
P
dQ P
dP Q Qi
1
=−
= − si =
dQ P Q
η
1
(in the symmetric case) −
nη
‫מודל קורנו – הערות‬
‫• שיתוף פעולה בין הפירמות יגדיל רווחים‬
‫– כיצד לחלק את הגידול ברווחים‬
‫– התוצאה אינה יציבה‪ ,‬פירמה בודדת יכולה לייצר יותר מאשר‬
‫ההסכם השיתופי מכתיב לה‪ ,‬ולהגדיל את רווחיה‪.‬‬
‫– במודל רב תקופתי ניתן להכניס "עונשים" כדי לתמוך ב שת"פ‪.‬‬
‫• כניסה חופשית של פירמות‬
‫– צריך לציין מהי ההוצאה הקבועה‬
‫– פירמות תיכנסנה עד הנקודה שהרווח מפעילות הייצור שווה‬
‫להוצאה הקבועה )נתעלם מבעיית השלמים(‬
‫• יש להיזהר אם פונקציות המטרה אינן מתנהגות יפה‬
‫ותנאי הסדר השני אינם מתקיימים‪.‬‬
‫‪41‬‬
‫מודל סטאקלברג‬
‫• עד כה הנחנו שהשינוי המשוער הינו אפס וכי בחירת‬
‫הכמויות הינה סימולטאנית‪.‬‬
‫• השינוי במודל סטאקלברג הינו שיש פירמה מובילה‬
‫ופירמה מסתגלת‪ .‬הפירמה המובילה קובעת כמות‬
‫בהכירה את פונקצית התגובה של הפירמה השנייה‪.‬‬
‫לחילופין‪ ,‬ניתן לומר כי הפירמה המובילה נעה ראשונה‪,‬‬
‫ויודעת כי הפירמה השנייה תבחר בכמות הממקסמת את‬
‫רווחי הפירמה השנייה‪ ,‬בהתחשב בכמות שבחרה‬
‫הפירמה הראשונה‪.‬‬
‫• לאור כל זאת הפירמה הראשונה תבחר את הנקודה‬
‫הטובה ביותר עבורה על פונקציית התגובה של הפירמה‬
‫השנייה‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫מודל סטאקלברג – דוגמה מספרית‬
‫נמשיך בדוגמה שהתחלנו במודל קורנו‪.‬‬
‫הביקוש ניתן על ידי‪P=25-Q :‬‬
‫פונקציית ההוצאות של כל פירמה )‪ 1‬ו – ‪ (2‬ניתנת על ידי‪Ci=5Qi :‬‬
‫‪i=1,2‬‬
‫פירמה ‪ 1‬מובילה ומכירה את פונקציית התגובה של פירמה ‪) 2‬חישבנו‬
‫אותה מקודם(‬
‫שניתנת על ידי ‪Q2=0.5(20-Q1) :‬‬
‫פירמה ‪ 1‬ממקסמת על כן את הרווח שלה שניתן על ידי‪:‬‬
‫‪Q1(25-Q1-(0.5(20-Q1))-5Q1‬‬
‫נגזור לפי ‪ Q1‬נשווה לאפס ונקבל‪ 25-2Q1-10+Q1-5=0 :‬לכן‪:‬‬
‫‪Q1=10 Q2=0.5(20-10)=5 P=25-10-5=10 π1=50 π2=25‬‬
‫‪43‬‬
‫הערות‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫הפירמה המובילה לעולם לא תרוויח פחות ובדרך כלל‬
‫תרוויח יותר מאשר בתחרות קורנו‪.‬‬
‫במקרה הליניארי )פונקצית ביקוש ליניארית והוצאה שולית‬
‫קבועה( עם פירמות זהות‪ ,‬ניתן לוודא כי הפירמה‬
‫המובילה תייצר יותר‪ ,‬הפירמה העוקבת תייצר פחות‪ ,‬סך‬
‫התפוקה יגדל‪.‬‬
‫בתרחיש זה פתרון סטאקלברג יעיל יותר‪.‬‬
‫כאשר הפירמות אינן זהות יתכן והוא פחות יעיל אם‬
‫הפירמה היעילה יותר הינה הפירמה העוקבת‪.‬‬
‫‪44‬‬
‫המקרה הליניארי עם ‪ MC‬קבוע וזהה‪-‬הצגה גראפית‬
‫‪45‬‬
‫פירמה מובילה מול שוליים תחרותיים‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫נניח כי יש פירמה מובילה ו – ‪ n‬פירמות עוקבות‪,‬‬
‫המתנהגות באופן תחרותי‪.‬‬
‫הפירמה המובילה מכירה את הביקוש הענפי ואת‬
‫פונקציות ההוצאות של הפירמות העוקבות‪.‬‬
‫היא קובעת מחיר ומניחה כי כל העוקבות לוקחות מחיר‬
‫זה כנתון ומייצרות לפי ‪.P=MC‬‬
‫הכמות אותה היא תמכור ניתנת על ידי הכמות המבוקשת‬
‫במחיר זה פחות הכמות המצרפית אותה מציעות‬
‫העוקבות‪ ,‬כמות זו הינה ה ‪.RESIDUAL DEMAND -‬‬
‫הפירמה המובילה תקבע מחיר הממקסם את רווחיה‪.‬‬
‫‪46‬‬
‫פירמה מובילה מול שוליים תחרותיים‬
‫דוגמה מספרית‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫הניחו כי פונקציית ההוצאות של הפירמה המובילה ניתנת על ידי‪:‬‬
‫‪C1(q1)=2q1‬‬
‫הביקוש המצרפי ניתן על ידי‪Q=1000-P :‬‬
‫ישנן שתי פירמות עוקבות )"תחרותיות"( עם פונקציית הוצאות‪:‬‬
‫‪C(qi)=150qi+qi2‬‬
‫בהינתן מחיר ‪ ,P‬ההיצע המצרפי של הפירמות העוקבות ניתן על‬
‫ידי‪P-150 :‬‬
‫הכמות המבוקשת אותה רואה הפירמה המובילה עבור מחיר ‪P‬‬
‫הינה‪1000-P-(P-150)=1150-2P :‬‬
‫הפירמה המובילה תמקסם את‪P(1150-2P)-2(1150-2P) :‬‬
‫נקבל כי‪ 1150-4P+4=0 :‬כלומר ‪P=288.5‬‬
‫ומכאן‪:‬‬
‫‪q1=573 q2=q3=69.25‬‬
‫‪π1=164164.5 π3=π2=4795.56‬‬
‫‪47‬‬