ואנרגיה בקפיץ חוק הוק

‫‪34‬‬
‫ניסוי ‪:4‬‬
‫נושאי לניסוי‪:‬‬
‫חוק הוק ואנרגיה בקפי‪.‬‬
‫חוק הוק‪ ,‬כוח ואנרגיה של קפי‪.‬‬
‫מטרות הניסוי‪:‬‬
‫‪ .1‬מציאת קבוע קפי ע"י שימוש בחוק הוק‪.‬‬
‫‪ .2‬מציאת קבוע קפי ע"י שימוש במעבר אנרגיה כובדית לאנרגיה אלסטית אצורה בקפי‪.‬‬
‫רקע תאורטי‪.‬‬
‫כאשר קפי נמצא במצב של התארכות )או כוו( ביחס למצבו הרפוי )מצב בו קצוות הקפי לא מפעילי כוח‬
‫על הגופי המחוברי אליה(‪ ,‬הוא מפעיל כוחות על הגופי המחוברי לקצותיו‪ .‬עבור קפי אידיאלי‪,‬‬
‫הכוחות האלה שווי בגודל והפוכי בכיוונ‪.‬‬
‫נתבונ! בקפי שקצהו האחד מחובר אל בסיס קבוע ונמתח את קצהו השני‪.‬‬
‫מצב רפוי‬
‫נסמ! את התארכות הקפי ממצבו הרפוי ב"‪) X‬תרשי ‪.(1‬‬
‫מתברר ניסיונית שגודל הכוח שהקפי מפעיל בקצותיו‬
‫נתו! ע"י‪:‬‬
‫‪F = KX‬‬
‫‪m‬‬
‫]‪[3"1‬‬
‫‪X‬‬
‫כלומר‪ ,‬הכוח פרופורציוני לגודל ההתארכות מהמצב הרפוי‪.‬‬
‫‪ K‬הוא קבוע הכוח של הקפי )או בקיצור‪" :‬קבוע‬
‫הקפי"(‪ ,‬והוא מהווה תכונה המאפיינת כל קפי‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪m‬‬
‫תרשי‬
‫‪1‬‬
‫כמו כ! מתברר שמדובר בכוח "מחזיר"‪ :‬כשהקפי נמתח הכוח שקצותיו מפעילי מכוו! "פנימה" )במגמה‬
‫להתקצר( וכשמכווצי אותו הכוח מכוו! "החוצה" )במגמה להתאר'(‪.‬‬
‫פורמלית‪ ,‬נית! לרשו סימ! מינוס לפני הביטוי ‪ KX‬ולבטא בכ' את התנהגות הכוח מבחינת הכיוו!‪.‬‬
‫לא נשתמש כא! באפשרות זו כי נתייחס בהמש' רק לגודל הכוח‪.‬‬
‫הקשר הזה בי! הכוח וההתארכות נקרא חוק הוק והוא מתקיי כל עוד ההתארכות לא גדולה מדי‪ ,‬ה! עבור‬
‫מתיחה וה! עבור כיוו הקפי‪.‬‬
‫עבור התארכויות גדולות מתקבל קשר לא ליניארי בי! הכוח לבי! ההתארכות‪.‬‬
‫העבודה החיצונית שיש להשקיע כדי למתוח את הקפי או לכווצו בשיעור ‪ X‬ביחס למצבו הרפוי מוגדרת בתור‬
‫"האנרגיה האלסטית" האצורה בקפי‪.‬‬
‫האנרגיה האלסטית האצורה בקפי כאשר הוא מתוח בשיעור ‪) X‬כלומר‪ ,‬אורכו גדול ב" ‪ X‬לעומת אורכו‬
‫הרפוי( נתונה ע"י‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Ee(x)= KX2‬‬
‫‪2‬‬
‫התלות הריבועית הזאת בי! האנרגיה וההתארכות נכונה כל עוד חוק הוק בתוק(‪.‬‬
‫ככל שההתארכות או הכוו של קפי גדולי יותר – אצורה בו יותר אנרגיה אלסטית‪.‬‬
‫רק כאשר הקפי רפוי אי! בו אנרגיה אלסטית‪.‬‬
‫]‪[3"2‬‬
‫‪35‬‬
‫דוגמא‪ :‬שימוש בחוק שימור האנרגיה כדי למדוד אנרגיה אלסטית‪.‬‬
‫משקולת שמסתה ‪ m‬תלויה בקצהו של קפי אנכי הקשור לתקרה )תרשי ‪.(2‬‬
‫‪g‬‬
‫מצב רפוי‬
‫‪X0‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X max‬‬
‫מצב התארכות‬
‫מקסימאלית‬
‫מנוחה‬
‫‪X‬‬
‫‪m‬‬
‫מנוחה רגעית‬
‫תרשי‬
‫‪2‬‬
‫מחזיקי את המשקולת כ' שהקפי יהיה במצב רפוי‪ ,‬ומשחררי אותה ממנוחה‪.‬‬
‫המשקולת נופלת תו' כדי משיכת הקפי ומתיחתו‪ ,‬עד להתארכות מקסימלית ‪ Xmax‬בה נעצרת המשקולת‬
‫רגעית‪ .‬במצב זה נית! לומר שכל האנרגיה הכובדית ‪ E p‬שהשתחררה הפכה לאנרגיה אלסטית האצורה בקפי‬
‫‪) E e‬זאת‪ ,‬בהנחה שבתהלי' נשמרת האנרגיה המכנית של המערכת(‪ .‬לאחר מכ! יחזור הקפי לאורכו המקורי‬
‫והמשקולת תתנודד‪.‬‬
‫השוואת האנרגיות בנקודות המנוחה העליונה ) ‪ ( E p‬והתחתונה ) ‪ ,( E e‬נותנת ‪:‬‬
‫]‪[3"3‬‬
‫‪E p = Ee‬‬
‫‪1‬‬
‫אבל הביטויי עבור האנרגיות הנ"ל ה‪ Ep=mgXmax :‬ו" ‪KX 2max‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪Ee‬‬
‫ולכ!‪ ,‬שימור אנרגיה מכנית מתבטא במשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪KX 2max‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= mgXmax‬‬
‫]‪[3"4‬‬
‫ממשוואה זו נית! למצוא את המרחק ‪ , Xmax‬א' מטרתנו כא! היא לחשב את האנרגיה האלסטית האצורה‬
‫בקפי )ברגע העצירה הרגעית של המשקולת!(‪ ,‬ולאנרגיה זו שווה כל אחד מאגפי המשוואה‪.‬‬
‫ג במהל' הניסוי נתבסס על המשוואה האחרונה כדי לחשב את האנרגיה האלסטית האצורה בקפי הנמצא‬
‫במצב של התארכות מקסימלית‪ ,‬מתו' האנרגיה הכובדית שהשתחררה בתהלי'‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫תאור המערכת‪.‬‬
‫המערכת )ראה תרשי ‪ (3‬מורכבת בעיקרה משני חלקי המוצמדי למוט )‪ (1‬המחובר לשולח! העבודה‪ .‬החלק‬
‫העליו! " מתק! תלייה )‪ (2‬מוצמד למוט ע"י שני תפסני קפיציי )‪ .(3‬בחזית הנושא יש לוחית מגנטית )‪ (4‬ובורג‬
‫)‪ (5‬המשמשי לתליה והצמדת סרגל המתכת )‪ .(14‬בתחתית מתק! התלייה יש וו )‪ (6‬שעליו נית! לתלות את‬
‫הקפי‪ ,‬כאשר מתכווני להשתמש במלוא אורכו )‪ .(8‬בקצה המתק! יש שקע )‪) (7‬ע פחית בתחתיתו ומגנט‬
‫קט! בפני( לאחיזת הקפי באמצעו‪ ,‬כאשר מתכווני להשתמש רק בחלק מאורכו הקפי )קפי במצב ‪.(9‬‬
‫החלק התחתו! של המערכת )מציי! מיקו ‪ (11‬משמש לסימו! ומדידה של מידת התארכותו של הקפי‪ ,‬הוא‬
‫מוצמד למוט ע"י תפס! קפיצי )‪ .(12‬בחזיתו יש לוחית מגנטית )‪ (13‬להצמדת חלקו התחתו! של הסרגל‪.‬‬
‫על הקפי נית! לתלות נושא משקלות )‪ ,(10‬שמסתו ומסת כל משקולת מוספת ה! ‪ 20‬גר‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪14‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪13‬‬
‫‪12‬‬
‫תרשי ‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫"‬
‫"‬
‫"‬
‫"‬
‫"‬
‫"‬
‫"‬
‫מוט )מחובר לשולח!(‬
‫מתק! תלייה )חלק עליו!(‬
‫תפסני קפיציי‬
‫לוחית מגנטית להצמדת סרגל‬
‫בורג לתליית סרגל‬
‫וו תליה‬
‫שקע לאחיזת קפי חלקי‬
‫‪ " 8‬קפי תלוי למלוא אורכו‬
‫‪ " 9‬קפי פעיל בחלקו בלבד‬
‫‪ " 10‬נושא משקלות‬
‫‪ " 11‬מציי! מיקו )גבול התארכות קפי(‬
‫‪ " 12‬תפס! קפיצי‬
‫‪ " 13‬לוחית מגנטית להצמדת סרגל‬
‫‪ " 14‬סרגל מתכת‬
‫‪37‬‬
‫מהל' הניסוי‪.‬‬
‫חלק ‪ :I‬חוק הוק‪.‬‬
‫הרכבת המערכת וביצוע מדידות )זמן מומלץ ‪ 20‬דקות(‪.‬‬
‫‪ .1‬תלה את הקפי על הוו כ' שאורכו המלא ישתלשל ממתק! התלייה‪ .‬על הקפי תלה את נושא המשקולות‬
‫ריק‪ .‬הרכב את סרגל המתכת אל הבורג כ' שהוא ייצמד ללוחיות המגנטיות בשני חלקי המערכת‪.‬‬
‫הבא את נושא המשקולות לידי שווי"משקל‪ .‬פתח את הקוב אקסל לניסוי זה שבחבילת "טפסי"‪.‬‬
‫הזז את מציי! המיקו )‪) (11‬החלק התחתו! של המערכת( כ'‪ ,‬שיגע בתחתית נושא המשקלות‪ ,‬אבל לא ירי‬
‫אותו‪ .‬קרא את המיקו על הסרגל ורשו ‪ X1‬בשורה ראשונה בטבלה ‪) 1‬אותו גודל בכל השורה(‪.‬‬
‫‪ .2‬העמס את הנושא במשקולת אחת‪ .‬הזז את מציי! המיקו למיקומו החדש ומדוד את המיקו נושא‬
‫המשקלות במצב שווי המשקל החדש ‪) X‬רשו בטבלה(‪.‬‬
‫התארכותו של הקפי מהמצב ההתחלתי ‪ X1‬כתוצאה מהעמסת משקולת על התושבת נתונה ע"י‬
‫‪ , ∆X = X – X1‬רשו אותה בעמודה ראשונה בטבלה ‪.1‬‬
‫שי לב‪:‬‬
‫‪ X1‬אינו אורכו הרפוי של הקפי‪ ,‬אלא המצב ההתחלתי לביצוע הניסוי ו"‪ ∆X‬הוא שינוי ההתארכות‬
‫מהמצב ההתחלתי ‪!X1‬‬
‫‪ ∆F‬הוא תוספת הכוח מהמצב ההתחלתי ולא הכוח הכולל המופעל על קצה הקפי!‬
‫הער' את אי"דיוק במדידת ‪) ∆X‬שגיאת המדידה( ורשו בטבלה בצורת ‪.±‬‬
‫]‬
‫[‬
‫‪X1‬‬
‫]‬
‫[‬
‫‪X‬‬
‫[‬
‫]‬
‫]‬
‫‪∆X ±‬‬
‫[ ‪∆F‬‬
‫רשו בטבלה ג את תוספת הכוח ‪ ∆F‬הפועל על הקפי עקב הוספת משקולת אחת‪.‬‬
‫מסת כל משקולת היא ‪. 20gr‬‬
‫‪ .3‬חזור על המדידות של סעי( ‪ ,2‬כאשר נושא המשקלות עמוס במספר שונה של משקולות והשל את‬
‫הטבלה‪ ∆F .‬היא תוספת הכוח הנובעת מכל המשקולות שהוספת על הנושא‪.‬‬
‫ניתוח תוצאות המדידה )זמן מומלץ ‪ 20‬דקות(‪.‬‬
‫‪ .4‬שרטט גר( ‪ 1‬של תוספת הכוח המופעל על הקפי ‪ ∆F‬כתלות בהתארכות ‪ ∆X‬ע קו מגמה ליניארי‪.‬‬
‫זכור להעלות על הגר( את שגיאת המדידה כפי שנמדדה ורשומה בטבלה‪.‬‬
‫הא הקו עבר את כל הנקודות בתחומי שגיאות המדידה? הא ישנה התאמה טובה בי! שגיאות המדידה‬
‫ופיזור נקודות המדידה סביב הקו? מהו דיוק הגר( באחוזי?‬
‫‪ .5‬מתו' הגר( מצא את קבוע הקפי וכתוב את המסקנה לגבי התאמה של הגר( לתיאוריה )חוק הוק(‪.‬‬
‫הא דיוק הניסוי סביר?‬
‫‪38‬‬
‫חלק ‪ :II‬מעבר אנרגיה כובדית לאנרגיה אלסטית‪.‬‬
‫על מנת לבדוק שכל האנרגיה הכובדית )במצב רפוי( הופכת לאנרגיה אלסטית האצורה בקפי )במצב התארכות‬
‫מקסימאלית( לפי משוואה ]‪ ,[3"4‬נמדוד את התארכות מקסימאלית ‪ Xmax‬של הקפי ממצבו הרפוי ‪ X0‬עבור‬
‫מספר שונה של המשקולות‪.‬‬
‫ביצוע מדידות )זמן מומלץ ‪ 20‬דקות(‪.‬‬
‫‪ .1‬כדי למצוא את מצבו הרפוי של הקפי החזק את נושא‬
‫המשקולות ביד' כ'‪ ,‬שהקפי ימצא במצב רפוי‪,‬‬
‫א' צמוד לנושא )כמוראה בתרשי ‪.(4‬‬
‫הזז את מציי! המיקו ורשו את מיקומו במצב זה )‪(X0‬‬
‫רווח מינימלי‬
‫בי! קפי לתושבת‬
‫החזקת נושא‬
‫המשקולות‬
‫באצבעות‬
‫בשורה ראשונה של טבלה ‪) 2‬אותו גודל לכל השורה(‪.‬‬
‫בהמש' הניסוי יוחזר הקפי העמוס כל פע למצבו הרפוי‪.‬‬
‫‪ .2‬הורד את מציי! המיקו אל מתחת למקו שיווי המשקל‪.‬‬
‫‪ .3‬העמס את הנושא במשקולת אחת ורשו בטבלה ‪ 2‬את המסה‬
‫הכוללת )‪ (m‬התלויה על הקפי )מסה נושא המשקלות ומסת‬
‫תרשי ‪4‬‬
‫משקולת אחת(‪.‬‬
‫‪ .4‬הבא את הקפי למצב הרפוי‪ .‬שחרר את הנושא מיד' ובדוק את מצבו בתחתית התנועה ביחס למציי!‬
‫המיקו‪ .‬א נושא המשקלות פוגע במציי! – הורד אותו‪ .‬א נשאר מרחק ביניה – הר אותו‪.‬‬
‫חזור על השחרור וההזזה עד שנושא המשקלות יגע אבל לא יעצור על ידי המסמ!‪.‬‬
‫רשו את הער' בטבלה ‪.X " 2‬‬
‫‪ .5‬חשב את התארכותו המקסימאלית של הקפי ממצבו הרפוי ‪ Xmax‬לפי הביטוי ‪. Xmax = X-X0‬‬
‫הער' את שגיאת המדידה ב" ‪ Xmax‬ורשו בטבלה בצורת ‪ ±‬ליד ‪. Xmax‬‬
‫‪ .6‬חזור על סעיפי ‪ 3‬ו" ‪ ,4‬כאשר בכל פע תלוי על הנושא מספר שונה של משקולות והשל את הרישומי בטבלה ‪:2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫מס' משקולות‬
‫] [‬
‫‪m‬כוללת‬
‫] [‬
‫‪X0‬‬
‫] [‬
‫‪X‬‬
‫] [‬
‫‪Xmax ±‬‬
‫] [ ‪Ep=mgXmax‬‬
‫ניתוח תוצאות המדידה )זמן מומלץ ‪ 40‬דקות(‪.‬‬
‫‪39‬‬
‫‪ .7‬חשב את האנרגיה הפוטנציאלית ‪ Ep‬לפי נתוני הטבלה‪.‬‬
‫בהנחה שאי! הפסדי אנרגיה בתהלי' נפילת נושא המשקולות‪ ,‬האנרגיה הכובדית הזאת שווה לאנרגיה‬
‫האלסטית ‪ Ee‬האצורה בקפי במצב בו ההתארכות היא ‪ Xmax‬לפי משוואה ]‪.[3"4‬‬
‫‪ . 8‬שרטט גר( ‪ 2‬של האנרגיה כנגד ההתארכות המקסימאלית‪.‬‬
‫מכיוו! שהיחס בי! ‪ Ee‬ובי! ‪ Xmax‬צפוי להיות מעריכי הוס( קו מגמה מעריכי‪ ,‬לש כ' בחלו!‬
‫"‪ "Add Trendline‬בחר ‪ power‬בלשונית ‪ .type‬כמו כ! הוס( משוואת הפונקציה ומקד הקורלציה‬
‫בלשונית ‪.options‬‬
‫‪ .9‬הוס( שגיאות המדידה אל הגר(‪ .‬הא הקו המגמה שהעברת בסעי( הקוד עבר בתחומי שגיאות המדידה‬
‫של כל הנקודות? הער' את דיוק הגר( באחוזי לפי פיזור הנקודות‪.‬‬
‫‪ .10‬השווה בי! הגודל המערי' שבמשוואת הפונקציה של הקו האופטימאלי ובי! הגודל הצפוי באופ! תיאורטי‪,‬‬
‫כלומר חשב את הסטייה באחוזי‪ .‬הא הסטייה סבירה ביחס לאחוז דיוק הגר(?‬
‫‪ .13‬השווה בי! ער' קבוע הקפי מתו' גר( ‪ 2‬ובי! ערכו מתו' גר( ‪) 1‬מצא את הסטייה באחוזי(‪ .‬הא הסטייה‬
‫סבירה ביחס לאחוז דיוק הגר(?‬
‫מה מסקנת' בחלק ‪ II‬של הניסוי?‬
‫שאלת הכנה‪:‬‬
‫כיצד ישתנה הגר( הצפוי של תוספת הכוח ‪ ∆F‬כתלות בהתארכות ‪ ∆X‬במקרה שבמקו ‪ ∆F‬נעלה על‬
‫הגר( את הכוח הכולל ‪ F‬המופעל על הקפי )של משקולות ‪ +‬תושבת(?‬
‫יש לשרטט את התשובה בדו"ח הכנה‪.‬‬