משרד החינוך - Cast-TV

Transcription

משרד החינוך - Cast-TV
‫סוג הבחינה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫מועד הבחינה‪:‬‬
‫‬
‫מספר השאלון‪:‬‬
‫‬
‫מדינת ישראל‬
‫משרד החינוך‬
‫‬
‫א‪ .‬בגרות לבתי ספר על־יסודיים‬
‫ב‪ .‬בגרות לנבחנים אקסטרניים‬
‫קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‬
‫‪316 ,035806‬‬
‫‬
‫הצעת תשובות לשאלות בחינת הבגרות‬
‫מתמטיקה‬
‫‪ 5‬יחידות לימוד — שאלון ראשון‬
‫הוראות לנבחן‬
‫א‪.‬‬
‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות וחצי‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מבנה השאלון ומפתח ההערכה‪ :‬בשאלון זה שלושה פרקים‪.‬‬
‫פרק ראשון‬
‫—‬
‫אלגברה והסתברות‬
‫‬
‫פרק שני‬
‫—‬
‫‬
‫גאומטריה וטריגונומטריה‬
‫‬
‫— ‬
‫‬
‫פרק שלישי‬
‫במישור‬
‫—‬
‫חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫—‬
‫‬
‫ג‪.‬‬
‫‬
‫‪2 0#1‬‬
‫‪20#2‬‬
‫סה"כ‬
‫—‬
‫‪ 20‬נקודות‬
‫—‬
‫‪ 40‬נקודות‬
‫— ‬
‫‪ 100‬נקודות‬
‫חומר עזר מותר בשימוש‪:‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‬
‫מחשבון לא גרפי‪ .‬אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות‪.‬‬
‫שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫(‪)2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫—‬
‫‪20#2‬‬
‫—‬
‫‪ 40‬נקודות‬
‫דפי נוסחאות (מצורפים)‪.‬‬
‫הוראות מיוחדות‪:‬‬
‫(‪)1‬‬
‫אל תעתיק את השאלה; סמן את מספרה בלבד‪.‬‬
‫(‪)2‬‬
‫התחל כל שאלה בעמוד חדש‪ .‬רשום במחברת את שלבי הפתרון‪ ,‬גם כאשר‬
‫‬
‫החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון‪.‬‬
‫‬
‫הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת‪.‬‬
‫‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫(‪)3‬‬
‫לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים‪.‬‬
‫‬
‫שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪/‬המשך מעבר לדף‪/‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון — אלגברה והסתברות‬
‫(‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 3-1‬לכל שאלה — ‪20‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫נקודות)‪- 2.‬‬
‫‬‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫רץ ‪ I‬ורץ ‪ II‬יצאו באותו רגע מאותו מקום‪ .‬הם רצו במהירות קבועה ובאותו כיוון‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫המהירות של רץ ‪ I‬הייתה ‪ 6‬קמ"ש‪ ,‬והמהירות של רץ ‪ II‬הייתה ‪ 7.5‬קמ"ש‪.‬‬
‫כעבור ‪ 20‬דקות מרגע היציאה של שני הרצים‪,‬‬
‫יצא רץ ‪ III‬מאותו מקום ובאותו כיוון‪ ,‬והוא רץ במהירות קבועה‪.‬‬
‫רץ ‪ III‬פגש בדרך את רץ ‪ , I‬ושעה אחר כך הוא פגש את רץ ‪. II‬‬
‫מצא כמה שעות עברו מרגע היציאה של רץ ‪ III‬עד לפגישתו עם רץ ‪. II‬‬
‫‪.2‬‬
‫תשובה לשאלה ‪1‬‬
‫נתונה סדרה חשבונית‪a1 , a2 , a3 , ... :‬‬
‫היציאה‪, a‬‬
‫שעברו‪a n + 2‬‬
‫מקיימים‪:‬‬
‫בסדרה‪,‬‬
‫עוקבים‬
‫לפגישתו עם רץ ‪II‬‬
‫רץ‪ III, a‬עד‬
‫השעות‬
‫איבריםמספר‬
‫שלושה‪— t‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫של ‪n‬‬
‫מרגע ‪n + 1 ,‬‬
‫‪a2n + 2 - a2n = 216‬‬
‫‪ — v‬המהירות של רץ ‪III‬‬
‫‬
‫‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪a n + a n + 1 + a n + 2 = 54‬‬
‫מצא את האיבר ‪. a n‬‬
‫זמן‬
‫מהירות‬
‫(שעות)‬
‫(קמ"ש)‬
‫לקחו חלק מהאיברים בסדרה הנתונה ובנו סדרה חשבונית חדשה‪:‬‬
‫רץ ‪ I‬עד הפגישה עם רץ ‪III‬‬
‫‪6‬‬
‫‪20‬‬
‫‪20‬‬
‫ ‪a9‬‬‫‪, 1a)13 , ...t +, 60‬‬
‫‪a 4k-+11‬‬
‫‪6a(t5 +, 60‬‬
‫סכום כל האיברים בסדרה החדשה הוא ‪. 450‬‬
‫‪20‬‬
‫‪t + 60‬‬
‫‪7.5‬‬
‫עם רץ‬
‫הפגישה‬
‫רץ ‪ II‬עד‬
‫בסדרה‬
‫הראשון‬
‫האיבר‬
‫‪ III‬הנתונה בפתיח הוא ‪. a1 = - 21‬‬
‫מצא את הערך של ‪. k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪v‬‬
‫רץ ‪ III‬בין הפגישה עם רץ ‪ I‬לרץ ‪II‬‬
‫הזמן של רץ ‪ III‬עד הפגישה עם רץ ‪ II‬מקיים‪:‬‬
‫הזמן של רץ ‪ III‬בין הפגישה עם רץ ‪ I‬לרץ ‪ II‬מקיים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫נציב ‪ v = 1.5t + 6.5‬במשוואה ‪ , I‬ונקבל‪:‬‬
‫‬
‫ ‪ , t 2 0‬לכן‪:‬‬
‫דרך‬
‫(ק"מ)‬
‫‪20‬‬
‫) ‪7.5 (t + 60‬‬
‫‪v $1‬‬
‫המשך בעמוד ‪3‬‬
‫‪20‬‬
‫) ‪7.5 (t + 60‬‬
‫= ‪I. t‬‬
‫‪v‬‬
‫‪20‬‬
‫‪20‬‬
‫)‪7.5 (t + 60 ) - 6 (t + 60 - 1‬‬
‫=‪1‬‬
‫‪v‬‬
‫‪0‬‬
‫‪v = 1.5t + 6.5‬‬
‫‪1.5t2 - t - 2.5 = 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 3‬שעות = ‪t‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬
‫יצא רץ ‪ III‬מאותו מקום ובאותו כיוון‪ ,‬והוא רץ במהירות קבועה‪.‬‬
‫רץ ‪ III‬פגש בדרך את רץ ‪ , I‬ושעה אחר כך הוא פגש את רץ ‪. II‬‬
‫מצא כמה שעות עברו מרגע היציאה של רץ ‪ III‬עד לפגישתו עם רץ ‪. II‬‬
‫‪-3-‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫נתונה סדרה חשבונית‪a1 , a2 , a3 , ... :‬‬
‫שלושה איברים עוקבים בסדרה‪ , a n , a n + 1 , a n + 2 ,‬מקיימים‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪a2n + 2 - a2n = 216‬‬
‫‪a n + a n + 1 + a n + 2 = 54‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את האיבר ‪. a n‬‬
‫ב‪.‬‬
‫לקחו חלק מהאיברים בסדרה הנתונה ובנו סדרה חשבונית חדשה‪:‬‬
‫‪a5 , a9 , a13 , ... , a 4k + 1‬‬
‫סכום כל האיברים בסדרה החדשה הוא ‪. 450‬‬
‫האיבר הראשון בסדרה הנתונה בפתיח הוא ‪. a1 = - 21‬‬
‫מצא את הערך של ‪. k‬‬
‫א‪.‬‬
‫תשובה לשאלה ‪2‬‬
‫המשך בעמוד ‪3‬‬
‫‪a2n + 2 - a2n = 216‬‬
‫לפי הנתון‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪(a n + 2 - a n) $ (a n + 2 + a n) = 216‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫נציב ‪ a n + 2 - a n = 2d‬ו־ ‪ , a n + 2 = a n + 2d‬ונקבל‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪I. d (a n + d) = 54‬‬
‫‬
‫‬
‫‪2d (2a n + 2d) = 216‬‬
‫‪a n + a n + 1 + a n + 2 = 54‬‬
‫לפי הנתון‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪a n + a n + d + a n + 2d = 54‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪II. a n + d = 18‬‬
‫‬
‫‬
‫מ־ ‪ I‬ו־ ‪ II‬מקבלים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪a n = 15 , d = 3‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪-4‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הפרש הסדרה החדשה הוא‪:‬‬
‫‬
‫מצאנו כי ‪ , d = 3‬לכן הפרש הסדרה החדשה הוא‪:‬‬
‫‬
‫‪ k‬מציין את מספר האיברים ‪ N‬בסדרה החדשה‪ ,‬כי‪:‬‬
‫‬
‫לכן סכום ‪ k‬האיברים בסדרה החדשה מקיים‪:‬‬
‫‬
‫האיבר החמישי בסדרה הנתונה הוא‪:‬‬
‫‬
‫מכאן‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪a9 - a5 = a1 + 8d - (a1 + 4d) = 4d‬‬
‫‪12‬‬
‫‪k=N‬‬
‫&‬
‫)‪4k + 1 = 5 + 4 (N - 1‬‬
‫‪k‬‬
‫))‪450 = 2 (2 $ a5 + 12 (k - 1‬‬
‫‪a5 = - 21 + 3 (5 - 1) = - 9‬‬
‫‪k‬‬
‫))‪450 = 2 (- 2 $ 9 + 12 (k - 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪k = 10‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬
‫‪-3‬‬‫‪.3‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪-5‬‬‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪ + 316 ,035806‬נספח‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫‬
‫בעיר גדולה כל אחד מתלמידי כיתות י"ב בשנה מסוימת בוחר באחד משני המסלולים לטיול שנתי‪:‬‬
‫מסלול א' או מסלול ב'‪.‬‬
‫נמצא‪ 75% :‬מן התלמידים שבחרו במסלול א' הן בנות‪.‬‬
‫‪ 10%‬מן הבנות בחרו במסלול ב'‪.‬‬
‫‪ 40%‬מן התלמידים הם בנות‪.‬‬
‫בוחרים באקראי תלמיד י"ב (בן‪/‬בת)‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהוא בחר במסלול א' ?‬
‫כאשר בוחרים באקראי תלמיד י"ב (בן‪/‬בת)‪ ,‬האם המאורע "התלמיד הוא בת"‬
‫ב‪.‬‬
‫והמאורע "התלמיד (בן‪/‬בת) בחר במסלול א' " הם מאורעות בלתי תלויים? נמק‪.‬‬
‫בחרו באקראי כמה בנות מבין התלמידים‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫נמצא שההסתברות שלפחות אחת מהן בחרה במסלול א' היא ‪. 0.99‬‬
‫(הבחירות של המסלולים על ידי הבנות שנבחרו הן בלתי תלויות‪).‬‬
‫כמה בנות נבחרו?‬
‫תשובה לשאלה ‪3‬‬
‫א‪.‬‬
‫נסמן‪ — A :‬קבוצת הבנות‬
‫‬
‫‬
‫‪ — B‬קבוצת הבוחרים במסלול א'‬
‫לפי הנתון‪:‬‬
‫‪P (B/A) = 0.1‬‬
‫‪P (A) = 0.4‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪P (A + B) = 0.1$ 0.4 = 0.04‬‬
‫‬
‫‬
‫‪P (A/B) = 0.75‬‬
‫‪,‬‬
‫‪40‬‬
‫המשך בעמוד‬
‫)‪P (A + B) = 0.75 P (B‬‬
‫)‪P (A) = P (A + B) + P (A + B‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪0.4 = 0.75P (B) + 0.04‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪P (B) = 0.48‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מכפלת הסיכוי שיקרה המאורע "התלמיד הוא בת"‬
‫בסיכוי שיקרה המאורע "התלמיד בחר במסלול א' " היא‪:‬‬
‫‬
‫הסיכוי שיקרה המאורע "התלמיד הוא בת וגם בחר במסלול א' " הוא‪:‬‬
‫‬
‫מכאן‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪P (A) $ P (B) = 0.4 # 0.48‬‬
‫‪P (A + B) = 0.75 P (B) = 0.75# 0.48‬‬
‫)‪P (A + B) ! P (A) $ P (B‬‬
‫‪0‬‬
‫המאורעות תלויים‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/6‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪-6‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.3‬‬
‫ג‪ .‬ההסתברות שבת תבחר במסלול א' היא‪:‬‬
‫‬
‫ההסתברות שמבין ‪ n‬בנות לפחות אחת בחרה במסלול א' היא‪:‬‬
‫)‪ m = 1 - Pn (0‬לפחות ‪P c‬‬
‫אחת‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪P (B+ A) 0.75# 0.48‬‬
‫‪= 0.9‬‬
‫‪0.4‬‬
‫= )‪P (A‬‬
‫= )‪P (B/A‬‬
‫נציב ‪ , Pn (0) = (1 - 0.9) n‬ונקבל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪0.99 = 1 - 0.1 n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0.1 n = 0.01‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n=2‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/7‬‬
‫‪-4-‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪ + 316 ,035806‬נספח‬
‫פרק שני — גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫ענה על אחת מהשאלות ‪. 5-4‬‬
‫(‪ 20‬נקודות)‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪-7-‬‬
‫שבמחברתך‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ AC‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ BD‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O2‬‬
‫ישר משיק למעגלים ‪ O1‬ו־ ‪O2‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O2‬‬
‫בנקודות ‪ A‬ו־ ‪ B‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪O1‬‬
‫‪B‬‬
‫המשיק חותך את קטע המרכזים ‪O1 O2‬‬
‫‪C‬‬
‫בנקודה ‪( E‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ :‬רדיוס המעגל ‪ O1‬הוא ‪ 30‬ס"מ‬
‫רדיוס המעגל ‪ O2‬הוא ‪ 20‬ס"מ‬
‫אורך קטע המרכזים ‪ O1 O2‬הוא ‪ 90‬ס"מ‬
‫א‪.‬‬
‫‪O E‬‬
‫(‪ )1‬מצא את היחס ‪ . O1 C‬נמק‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫(‪ )2‬הוכח כי ‪. 3EO1 C +3EO2 D‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הוכח כי הנקודה ‪ E‬נמצאת על הישר ‪. CD‬‬
‫תשובה לשאלה ‪4‬‬
‫במשולש ישר־זווית ‪)B ACB = 90o ( ACB‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪o‬‬
‫נקודה(‪ G)1‬היא אמצע‬
‫‪B‬‬
‫הניצב‪= 90‬‬
‫‪ O1 AE =BO2 BE. AC‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫משיק למעגל מאונך לרדיוס‬
‫נקודה ‪ P‬נמצאת על ‪ GB‬כך ש־ ‪( BG = 4 $ PG‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪ B‬זוויות קדקודיות הן שוות‬
‫‪ O1 EA =BO2 EB‬‬
‫‬
‫‪R‬‬
‫הוא‬
‫‪CGB‬‬
‫המשולש‬
‫את‬
‫החוסם‬
‫המעגל‬
‫רדיוס‬
‫‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫ ‪= BC‬‬
‫‪. GC‬‬
‫מכאן‪:‬‬
‫‪ O1 AE +3O2 BE‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪.‬‬
‫ הבע באמצעות ‪ R‬את רדיוס המעגל‬
‫‪0‬‬
‫‪O E O E O O2 - O‬‬
‫המשולש‬
‫ החוסם את‬
‫‪1E‬‬
‫‪O1A = O2 B = .1ACB‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את ‪2‬מרחק הנקודה‪P 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪ACB‬‬
‫המשולש‬
‫את‬
‫החוסם‬
‫המעגל‬
‫ממרכז‬
‫‪.‬‬
‫‪O1 E 90 - O1 E‬‬
‫‬
‫= ‪30‬‬
‫‪20‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫על פי ז‪.‬ז‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪0‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫המשך בעמוד ‪5‬‬
‫‪O1 E = 54‬‬
‫‪O1 E 54‬‬
‫‪O1 C = 30 = 1.8‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/8‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪-8‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.4‬‬
‫‬
‫‪O2 E O1 O2 - O1 E‬‬
‫= ‪O2 D‬‬
‫‪O2 D‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪O2 E 90 - 54‬‬
‫‪O2 D = 20 = 1.8‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫מכאן‪:‬‬
‫מצאנו ‪ , BO1 AE =BO2 BE‬לכן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC z DB‬‬
‫‬
‫מכאן‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ CO1 E =BDO2 E‬‬
‫זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו‬
‫‪ EO1 C +3EO2 D‬‬
‫‪3‬‬
‫על פי צ‪.‬ז‪.‬צ‬
‫מהדמיון מקבלים‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ O1 EC =BO2 ED = b‬‬
‫‬
‫מצאנו בתת־סעיף א(‪:)1‬‬
‫‪BO1 EA =BO2 EB = a‬‬
‫‬
‫נקודה ‪ E‬על הישר ‪ , O1 O2‬לכן‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫)‪BAED = 180 o - (b + a‬‬
‫‬
‫‪BCED = b + a +BAED‬‬
‫‬
‫‪BCED = b + a + 180 o - (b + a) = 180 o‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪O E‬‬
‫‪O E‬‬
‫‪O 2 D = O1 C‬‬
‫‪0‬‬
‫הנקודה ‪ E‬על הישר ‪CD‬‬
‫‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/9‬‬
‫(‪ )1‬מצא את היחס ‪ . O1 C‬נמק‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪.‬‬
‫(‪ )2‬הוכח כי ‪. 3EO1 C +3EO2 D‬‬
‫הוכח כי הנקודה ‪ E‬נמצאת על הישר ‪- 9 - . CD‬‬
‫ב‪.‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫במשולש ישר־זווית ‪)B ACB = 90o ( ACB‬‬
‫‪.5‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪A‬‬
‫נקודה ‪ G‬היא אמצע הניצב ‪. AC‬‬
‫נקודה ‪ P‬נמצאת על ‪ GB‬כך ש־ ‪( BG = 4 $ PG‬ראה ציור)‪.‬‬
‫רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ CGB‬הוא ‪. R‬‬
‫‪P‬‬
‫נתון‪. GC = BC :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את רדיוס המעגל‬
‫א‪.‬‬
‫החוסם את המשולש ‪. ACB‬‬
‫‪B‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את מרחק הנקודה ‪P‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ממרכז המעגל החוסם את המשולש ‪. ACB‬‬
‫מכאן במשולש ‪ BCG‬ישר־הזווית‬
‫לפי משפט פיתגורס מתקיים‪:‬‬
‫לפי הנתון ‪ , GC = BC‬לכן‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪(2R) 2 = BC2 + GC2‬‬
‫‪GC = 2 R‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪ G‬אמצע ‪ , CA‬לכן‪:‬‬
‫‬
‫זווית היקפית של ‪ 90o‬נשענת על קוטר‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪C‬‬
‫המשך בעמוד ‪5‬‬
‫תשובה לשאלה ‪5‬‬
‫‪BG = 2R‬‬
‫‬
‫א‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‪G‬‬
‫‪CA = 2 2 R‬‬
‫במשולש ישר־הזווית ‪ACB‬‬
‫לפי משפט פיתגורס מתקיים‪:‬‬
‫‪AB2 = BC2 + CA2‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪AB2 = ( 2 R) 2 + (2 2 R) 2‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪AB = 10 R‬‬
‫‬
‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל החוסם את ‪ ACB‬‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪10‬‬
‫‪2 R‬‬
‫זווית היקפית של ‪ 90o‬נשענת על קוטר‬
‫‪0‬‬
‫‪AB‬‬
‫= ‪ = 2‬רדיוס המעגל החוסם את ‪3ACB‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/10‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫ ‪- 10‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.5‬‬
‫ב‪.‬‬
‫במשולש ישר־הזווית ‪ ACB‬מתקיים‪:‬‬
‫‪CA‬‬
‫)‪CB = tg (BABC‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫)‪2 = tg (BABC‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪BABC = 63.435 o‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ , BCGB =BCBG = 45 o‬לכן‪BPBA = 63.435 o - 45 o = 18.435 o :‬‬
‫‬
‫מהנתון ‪ BG = 4PG‬נקבל‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪BP = 4 BG = 4 $ 2R = 2 R‬‬
‫‬
‫‬
‫נסמן ב־ ‪ O‬את מרכז המעגל החוסם את המשולש ‪, ACB‬‬
‫ונקבל כי לפי משפט הקוסינוסים במשולש ‪ POB‬מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪PO2 = c 2 R m + b 2 R l - 2 $ 2 R $ 2 R $ cos 18.435 o‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪PO2 = BO2 + BP2 - 2 $ BO $ BP $ cos BPBA‬‬
‫‪ , PO 2 0‬לכן‪:‬‬
‫‪PO = 0.5R‬‬
‫‬
‫‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/11‬‬
‫פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות שורש‪ ,‬של פונקציות רציונליות‬
‫ושל פונקציות טריגונומטריות (‪ 40‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 8-6‬לכל שאלה — ‪20‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫נקודות)‪- 11.‬‬
‫‬‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫שאלה ‪6‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתונות שתי פונקציות‪:‬‬
‫‪f (x) = x 8 - x2‬‬
‫‪g (x) = 8x2 - x 4‬‬
‫(‪ )1‬לשתי הפונקציות יש אותו תחום הגדרה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה‪.‬‬
‫(‪ )2‬מצא את נקודות החיתוך של כל אחת מהפונקציות )‪ f(x‬ו־ )‪ g(x‬עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של כל אחת מהפונקציות ‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫על פי הסעיפים א ו־ ב‪ ,‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪, f(x‬‬
‫וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. g(x‬‬
‫לפניך ארבעה גרפים‪. IV-I ,‬‬
‫ד‪.‬‬
‫איזה מהגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת )‪ ? g'(x‬נמק‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪III‬‬
‫‪I‬‬
‫‪II‬‬
‫תשובה לשאלה ‪6‬‬
‫א‪.‬‬
‫המשך בעמוד ‪6‬‬
‫‪8- x $0‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪ )1‬צריך להתקיים‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫תחום ההגדרה של )‪ f(x‬ושל )‪: g(x‬‬
‫‪-2 2 # x#2 2‬‬
‫‬
‫(‪)2‬‬
‫‬
‫‪x = 0 , x =! 2 2‬‬
‫&‬
‫‪f (x) = 0‬‬
‫‬
‫‪x = 0 , x =! 2 2‬‬
‫&‬
‫‪g (x) = 0‬‬
‫‬
‫‬
‫נקודות חיתוך עם הצירים‬
‫של )‪ f(x‬ושל )‪: g(x‬‬
‫)‪(0 , 0) , (2 2 , 0) , (- 2 2 , 0‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/12‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫ ‪- 12‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.6‬‬
‫‪- 2x‬‬
‫‪8 - 2x2‬‬
‫=‬
‫‪2 8 - x2‬‬
‫‪8 - x2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪16x - 4x3‬‬
‫‪8x - 2x3‬‬
‫=‬
‫‪2 8x2 - x 4‬‬
‫‪8x 2 - x 4‬‬
‫‬
‫‬
‫עבור )‪ f(x‬נקודות "חשודות" לקיצון‪:‬‬
‫‬
‫עבור )‪ g(x‬נקודות "חשודות" לקיצון‪:‬‬
‫&‬
‫‪2 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-4‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪g(x‬‬
‫‬
‫‬
‫מקסימום מוחלט של )‪: g(x‬‬
‫‬
‫מינימום מוחלט של )‪: g(x‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪(2 , 4‬‬
‫)‪(- 2 , - 4‬‬
‫)‪(2 , 4) (- 2 , 4‬‬
‫)‪(- 2 2 , 0) (0 , 0) (2 2 , 0‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪g(x‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-2 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2 2 -2‬‬
‫)‪ g'(x‬אינה מוגדרת עבור ‪x = 0‬‬
‫‬
‫ד‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫גרף ‪ III‬וגרף ‪ IV‬אינם מתאימים‬
‫‬
‫‬
‫)‪ g(x‬עולה עבור ‪0 1 x 1 2 , - 2 2 1 x 1- 2‬‬
‫‬
‫)‪ g(x‬יורדת עבור ‪2 1 x 1 2 2 , - 2 1 x 1 0‬‬
‫‬
‫לכן‪ g'(x) :‬חיובית עבור ‪0 1 x 1 2 , - 2 2 1 x 1- 2‬‬
‫‬
‫)‪ g'(x‬שלילית עבור ‪0 1 x 1 2 2 , - 2 1 x 1 0‬‬
‫‬
‫‪8 x - 2x3 = 0‬‬
‫‪0‬‬
‫מינימום מוחלט של )‪: f(x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x =! 2 , x = 0‬‬
‫‪8 - 2x2 = 0‬‬
‫‪-2‬‬
‫‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x =! 2‬‬
‫&‬
‫= )‪g'(x‬‬
‫‪-2 2‬‬
‫‪0‬‬
‫מקסימום מוחלט של )‪: f(x‬‬
‫‪2 2 x‬‬
‫‪8 - x2 + x‬‬
‫= )‪f'(x‬‬
‫מכאן‪:‬‬
‫גרף ‪ I‬הוא הנכון‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/13‬‬
‫תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫מתמטיקה‪,‬‬
‫מתמטיקה‪- 13,‬‬
‫‬‫קיץנספח‬
‫‪+ 316‬‬
‫תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪,035806‬‬
‫‪-6‬‬‫‪(x - 2) 2‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪x2 - 1‬‬
‫‪.7‬‬
‫א‪.‬‬
‫שאלה ‪7‬‬
‫= )‪. f (x‬‬
‫(‪ )1‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f(x‬‬
‫(‪ )2‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f(x‬המקבילות לצירים‪.‬‬
‫(‪ )3‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f(x‬עם הצירים‪.‬‬
‫(‪ )4‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה )‪ , f(x‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫רק על פי סעיף א‪ ,‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪.f(x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫רק על פי הסקיצה של גרף הפונקציה )‪ f(x‬שסרטטת‪ ,‬מצא את התחום שבו מתקיים‪:‬‬
‫פונקציית הנגזרת )‪ f'(x‬שלילית ופונקציית הנגזרת השנייה )‪ f''(x‬חיובית‪.‬‬
‫נמק‪.‬‬
‫תשובה לשאלה ‪7‬‬
‫‪x2 - 1 ! 0‬‬
‫מוגדרת עבור‪:‬‬
‫מלבן )‪f(x‬‬
‫נתון (‪)1‬‬
‫‪ .8‬א‪.‬‬
‫‪. ABCD‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫הצלע ‪ DC‬מונחת על הקוטר של חצי מעגל‬
‫‪xB!! 1‬‬
‫תחום ההגדרה של )‪: f(x‬‬
‫‬
‫שהרדיוס שלו ‪ R‬ומרכזו ‪ M‬כך ש־ ‪. DC $ R‬‬
‫המעגל)‪f(x‬‬
‫אסימפטוטות של‬
‫ הצלע(‪)2‬‬
‫בנקודה ‪, D‬‬
‫‪ AD‬משיקה לחצי‬
‫המקבילות לצירים‪:‬‬
‫‬
‫‪C y = 1 , x =! 1‬‬
‫והקדקוד ‪ B‬נמצא על המעגל (ראה ציור)‪.‬‬
‫חיתוך עם ציר ה־ ‪: y‬‬
‫ נסמן‪= x)3(:‬נקודת‬
‫‪BBMC‬‬
‫‬
‫המלבןציר ה־ ‪: x‬‬
‫חיתוך עם‬
‫‪ABCD‬‬
‫נקודתשטח‬
‫)‪— S (x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪x=0‬‬
‫)‪(2 , 0‬‬
‫)‪& f (0) = - 4 & (0 , - 4‬‬
‫& ‪f (x) = 0 & (x - 2) = 0 & x = 2‬‬
‫המלבן )‪ S(x‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריך להיות ‪ , x‬כדי ששטח‬
‫)‪2 (x - 2) (x2 - 1) - (x - 2) 2 (2x‬‬
‫= )‪f'(x‬‬
‫‬
‫(‪)4‬‬
‫‬
‫באמצעות ‪ R‬את השטח‪2 - 1) 2‬‬
‫המוגבל‪(x‬על ידי גרף הפונקציה )‪ S(x‬ועל ידי ציר ה־ ‪x‬‬
‫ב‪ .‬הבע‬
‫‪0‬‬
‫ ‪r‬‬
‫‪.‬‬
‫בתחום ‪0 # x # 2‬‬
‫)‪2 (x - 2) (2x - 1‬‬
‫= )‪f'(x‬‬
‫‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(x - 1‬‬
‫‬
‫שיעורי ה־ ‪ x‬של הנקודות "החשודות" לקיצון‪:‬‬
‫‬
‫הנגזרת של המונה בפונקציית הנגזרת )‪ f'(x‬היא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫בהצלחה!‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ = 2 (4 $ 2 - 5) 1 0‬הסימן של ) ‪f''( 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪2 (4x - 5‬‬
‫פי‬
‫למדינתעל‬
‫שמורהנקבע‬
‫)‪f''(x‬‬
‫השנייה‬
‫ישראל‬
‫היוצרים‬
‫הסימן של הנגזרת זכות‬
‫‪0‬‬
‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬
‫הסימן של נגזרת המונה של )‪f'(x‬‬
‫‪ = 2 (4 $ 2 - 5) 2 0‬הסימן של )‪f''(2‬‬
‫כי המכנה של )‪ f'(x‬חיובי לכל ‪ , x‬לכן‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪x=2 , x= 2‬‬
‫&‬
‫‪f'(x) = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫ל־ )‪ f(x‬מינימום ב־ ‪ x = 2‬ומקסימום ב־ ‪x = 2‬‬
‫‪0‬‬
‫נקודות הקיצון של )‪ f(x‬הן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫מינימום ב־ )‪ , (2 , 0‬מקסימום ב־ ‪b 2 , - 3l‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/14‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫ ‪- 14‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.7‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪ f'(x) 1 0‬עבור‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 1 x 11 , 11 x 1 2‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪,‬‬
‫בתחום‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ f(x‬קעורה כלפי מעלה ‪ ,‬עבור‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪11 x 1 2‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫בתחום ‪2 1 x 11 , 11 x 1 2‬‬
‫‪ f''(x) 2 0‬עבור‪:‬‬
‫‪11 x 1 2‬‬
‫‬
‫מכאן ‪ f'(x) 1 0‬ו־ ‪ f''(x) 2 0‬עבור‪:‬‬
‫‪11 x 1 2‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫כי בתחום זה )‪ f(x‬יורדת‬
‫‪0‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/15‬‬
‫רק על פי הסקיצה של גרף הפונקציה )‪ f(x‬שסרטטת‪ ,‬מצא את התחום שבו מתקיים‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫פונקציית הנגזרת )‪ f'(x‬שלילית ופונקציית הנגזרת השנייה )‪ f''(x‬חיובית‪.‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪- 15 -‬‬
‫נמק‪.‬‬
‫שאלה ‪8‬‬
‫נתון מלבן ‪. ABCD‬‬
‫‪.8‬‬
‫הצלע ‪ DC‬מונחת על הקוטר של חצי מעגל‬
‫‪B‬‬
‫שהרדיוס שלו ‪ R‬ומרכזו ‪ M‬כך ש־ ‪. DC $ R‬‬
‫הצלע ‪ AD‬משיקה לחצי המעגל בנקודה ‪, D‬‬
‫‪C‬‬
‫והקדקוד ‪ B‬נמצא על המעגל (ראה ציור)‪.‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪BBMC = x‬‬
‫)‪ — S (x‬שטח המלבן ‪ABCD‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא מה צריך להיות ‪ , x‬כדי ששטח המלבן )‪ S(x‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ S(x‬ועל ידי ציר ה־ ‪x‬‬
‫‪r‬‬
‫בתחום ‪. 0 # x # 2‬‬
‫תשובה לשאלה ‪8‬‬
‫א‪.‬‬
‫במשולש ישר־הזווית ‪ MBC‬מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫שטח המלבן ‪ ABCD‬הוא‪:‬‬
‫‪MC = R cos x‬‬
‫‪,‬‬
‫)‪S (x) = BC $ (R + MC‬‬
‫בהצלחה!‬
‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬
‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬
‫‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫)‪S (x) = R sin x (R + R cos x‬‬
‫‬
‫‬
‫‪BC = R sin x‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪S (x) = R2 sin x + 2 sin (2x‬‬
‫נשתמש בזהות ‪ , sin (2x) = 2 sin x cos x‬ונקבל‪:‬‬
‫‬
‫‪R2‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫))‪S'(x) = R2 cos x + 2 $ 2 cos (2x) = R2 (cos x + cos (2x‬‬
‫‬
‫‪S'(x) = 0‬‬
‫‪cos x + cos 2x = 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫נשתמש בזהות ‪ , cos (2x) = cos2 x - sin2 x‬ונקבל‪cos x + cos2 x - sin2 x = 0 :‬‬
‫‬
‫נשתמש בזהות ‪ , sin2 x = 1 - cos2 x‬ונקבל‪:‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪2 cos2 x + cos x - 1 = 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫&‬
‫‪ x‬זווית חדה במשולש‪ ,‬לכן ‪ , cos x !- 1‬ולכן‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪x= 3‬‬
‫&‬
‫‪1‬‬
‫‪cos x = 2‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/16‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תשע"ד‪ ,‬מועד ב‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫ ‪- 16‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.8‬‬
‫)‪S''(x) = R2 (- 2 sin (2x) - sin x‬‬
‫בדיקת מקסימום‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪2r‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪S'' a 3 k = R2 b- 2 sin 3 - sin 3 l = R2 c- 2 $ 2 - 2 m‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪r‬‬
‫‪S'' a 3 k 1 0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪r‬‬
‫ל־ )‪ S(x‬מקסימום ב־ ‪x = 3‬‬
‫‬
‫‪r‬‬
‫הערכים של )‪ S(x‬אינם שליליים בתחום ‪0 # x # 2‬‬
‫‬
‫ב‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪r‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪R2 (sin x + 2 sin (2x)) dx = R2 [- cos x - 4 cos (2x)] 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪#‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫= השטח המבוקש‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪ = R2 (- cos 2 - 4 cos (2 $ 2 ) + cos 0 + 4 cos 0‬השטח המבוקש‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ = 2 R2‬השטח המבוקש‬
‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬
‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬

Similar documents