מבחן לדוגמא + פתרונות סופיים

‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫שאלון ‪ - 807‬מבחן ‪) 27‬תשובות סופיות בלבד(‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫פרק ראשון ‪ -‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬וקטורים‪ ,‬טריגונומטריה במרחב‪ ,‬מספרים מרוכבים ) ‪ 66‬נק'(‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) 1-3‬לכל שאלה ‪ 33‬נק'(‬
‫‪ .1‬הנקודות )‪ B (6,0‬ו‪ C (−3,−3) :‬נמצאות על מעגל שמרכזו בנקודה ‪ O‬ברביע הרביעי‪ .‬שטח המשולש‬
‫‪ ∆BCO‬הוא ‪ 7.5‬יח' ריבועיות‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המעגל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מציירים במעגל מיתר שאורכו ‪ 8‬יח' אורך החותך את המעגל בנקודות ‪ D‬ו‪ .E-‬מצא את המקום‬
‫הגיאומטרי של‪:‬‬
‫∆‬
‫‪DEO‬‬
‫האפשריים‪.‬‬
‫‪ (1‬מרכזי הכובד )נקודת מפגש התיכונים( של כל המשולשים‬
‫‪ (2‬נקודת החיתוך של חוצה הזוית היוצא מהקודקוד ‪ ,E‬עם הצלע ‪.DO‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין שני המקומות הגיאומטריים שמצאת בסעיף ב'‪.‬‬
‫‪ .2‬במנסרה ישרה שבסיסה המשולש ישר הזוית ‪∆ABC‬‬
‫) ‪ ( p ABC = 90 0‬נסמן‪. p CAC ' = β , p C ' AB' = α , AC ' = m :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ , α ,m‬ו‪ β -‬את נפח המנסרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון שהפאה ‪ BB' C ' C‬היא ריבוע‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ α‬את )' ‪. tan(p BAC‬‬
‫ג‪ .‬נתון שהזוית שבין הישר ' ‪ AC‬לבין הפאה ‪ BB' C ' C‬היא‬
‫‪ . 450‬חשב את ערכה של הזוית ‪. α‬‬
‫‪ .3‬במנסרה ישרה שבסיסה המלבן ‪ ABCD‬נתון‪:‬‬
‫‪ AD = v , AA' = u‬ו‪ . AB = w :‬הנקודות ‪ E‬ו‪F-‬‬
‫נמצאות בהתאמה על האלכסונים ' ‪ D ' B‬ו‪ CB' -‬כך‬
‫שמתקיים‪ D' E = t ⋅ D' B' :‬ו‪. CF = t ⋅ CB ' :‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬הישרים ‪ EF‬ו‪ A' B -‬מקבילים זה לזה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את היחס‬
‫‪u‬‬
‫‪w‬‬
‫שעבורו המרובע ‪ A' EFB‬הוא‬
‫טרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ . A' B = ⋅ EF :‬נתון שהמרובע ‪ A' EFB‬הוא‬
‫טרפז שווה שוקיים‪ .‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.t‬‬
‫ד‪ .‬אלכסוני המרובע ‪ A' EFB‬נחתכים בנקודה ‪ .M‬עבור היחס שמצאת בסעיף ב' וערך ‪ t‬שמצאת בסעיף‬
‫ג'‪ ,‬קבע האם הזוית ‪ p A' MB‬היא חדה‪ ,‬ישרה או קהה‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪268‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫פרק שני ‪ -‬גידול ודעיכה‪ ,‬פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ) ‪ 33‬נק'(‬
‫ענה על אחת מהשאלות ‪.4-5‬‬
‫‪‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪.( p ≠ 1, 0 < p ) f ( x) = ln 2  p +‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪(x − p )2 ‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ,p‬במידת הצורך‪ ,‬את האסימפטוטות האנכיות והאופקיות של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערכו של ‪ p‬שעבורו השטח הכלוא ברביע הראשון בין הצירים לבין האסימפטוטות של גרף‬
‫הפונקציה )‪ f (x‬הוא מקסימלי‪.‬‬
‫‪ .5‬נתון גרף הנגזרת השנייה )‪ f ' ' ( x‬המוגדרת עבור כל ‪.( 0 < a ) x ≠ 4a‬‬
‫נתון שבנקודת החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם ציר ה‪ ,y-‬שיפוע‬
‫המשיק לגרף )‪ f (x‬הוא ‪ .-0.14‬גרף הנגזרת משיק לציר ה‪ x-‬בנקודה‬
‫אחת בלבד‪ ,‬ובנוסף שואף לציר ה‪ x-‬גם כאשר ‪ x‬שואף לאינסוף וגם‬
‫כאשר ‪ x‬שואף למינוס אינסוף‪.‬‬
‫א‪ .‬שרטט את גרף הנגזרת הראשונה )‪ f ' ( x‬בהינתן שהיא מוגדרת‬
‫עבור אותו תחום הגדרה כמו )‪. f ' ' ( x‬‬
‫‪x 2 + ax + 7‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪:‬‬
‫‪x − 4a‬‬
‫‪3‬‬
‫= )‪ . f ( x‬נתון כי גרף הנגזרת )‪ f ' ( x‬מתאפס‬
‫בנקודה אחת בלבד‪ .‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.a‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה שבה מתאפסת הנגזרת ואת סוגה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את האסימפטוטות של גרף )‪. f (x‬‬
‫ה‪ .‬שרטט סקיצה של גרף )‪ f (x‬והדגש בה את נקודות הפיתול‪.‬‬
‫ו‪ .‬נתון‪ . g ' ( x) = f ( x) :‬קבע לאילו ערכי ‪ x‬מתקיים‪. g ' ( x) ⋅ g ' ' ( x) > 0 :‬‬
‫בהצלחה!‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (1‬א‪. ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = 25 .‬‬
‫‪25‬‬
‫ב‪. ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 =   (2 . ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = 4 (1 .‬‬
‫‪ 13 ‬‬
‫‪m 3 ⋅ sin α ⋅ sin β ⋅ cos 2 β − sin 2 α‬‬
‫‪2 ⋅ sin α‬‬
‫‪ .‬ג‪. 30 .‬‬
‫‪ .‬ב‪.‬‬
‫ג‪ 0.948 .‬יח"ר‪ (2 .‬א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos 2α‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ (4‬א‪ . y = ln 2 p , x = p .‬ב‪. p = 2 = 0.136 .‬‬
‫‪ (3‬ב‪ .1:1 .‬ג‪ . t = 0.25 .‬ד‪ .‬קהה‪.‬‬
‫‪e‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ . a = 1 .‬ג‪ .‬נקודת פיתול ) ‪ . (−5,−‬ד‪. y = 0 , x = 4 .‬‬
‫‪ ( 5‬א‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪ − 5 < x < 4 .‬או ‪. x < −5‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪269‬‬