פתרון לשאלה 2

Transcription

פתרון לשאלה 2
‫מדינת ישראל‬
‫סוג הבחינה‪:‬‬
‫משרד החינוך‬
‫מועד הבחינה‪:‬‬
‫מספר השאלון‪:‬‬
‫א‪ .‬בגרות לבתי ספר על־יסודיים‬
‫ב‪ .‬בגרות לנבחנים אקסטרניים‬
‫חורף תשע"ג‪2013 ,‬‬
‫‪316 ,035806‬‬
‫הצעת תשובות לשאלות בחינת הבגרות‬
‫מתמטיקה‬
‫‪ 5‬יחידות לימוד — שאלון ראשון‬
‫הוראות לנבחן‬
‫א‪.‬‬
‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות וחצי‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מבנה השאלון ומפתח ההערכה‪ :‬בשאלון זה שלושה פרקים‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫פרק ראשון‬
‫—‬
‫אלגברה והסתברות‬
‫פרק שני‬
‫—‬
‫גאומטריה וטריגונומטריה‬
‫פרק שלישי‬
‫—‬
‫—‬
‫‪2‬‬
‫‪16 3 #2‬‬
‫‪2‬‬
‫—‬
‫במישור‬
‫—‬
‫‪16 3 #2‬‬
‫חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫—‬
‫‪16 3 #2‬‬
‫—‬
‫סה"כ‬
‫—‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 33 3‬נקודות‬
‫‪1‬‬
‫—‬
‫‪ 33 3‬נקודות‬
‫‪ 33 3‬נקודות‬
‫‪ 100‬נקודות‬
‫‪1‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש‪:‬‬
‫(‪)1‬‬
‫מחשבון לא גרפי‪ .‬אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות‪.‬‬
‫שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫(‪)2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫דפי נוסחאות (מצורפים)‪.‬‬
‫הוראות מיוחדות‪:‬‬
‫(‪)1‬‬
‫אל תעתיק את השאלה; סמן את מספרה בלבד‪.‬‬
‫(‪)2‬‬
‫התחל כל שאלה בעמוד חדש‪ .‬רשום במחברת את שלבי הפתרון‪ ,‬גם כאשר‬
‫החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון‪.‬‬
‫הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫(‪)3‬‬
‫לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים‪.‬‬
‫שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪/‬המשך מעבר לדף‪/‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪-2-‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫דן יצא מתל אביב להרצליה על אופניו‪ ,‬ורכב במהירות קבועה של ‪ v‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫כעבור ‪ 2‬שעה מרגע היציאה של דן‪ ,‬גם אילנית יצאה על אופניה מתל אביב להרצליה‪ ,‬ורכבה באותו מסלול במהירות‬
‫הגדולה ב־ ‪ 2‬קמ"ש ממהירותו של דן‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫אילנית ודן נפגשו בדרך להרצליה‪ ,‬ו־ ‪ 2‬שעה לאחר הפגישה הגיעה אילנית להרצליה‪.‬‬
‫מצא באיזה תחום מספרים נמצאת המהירות ‪ , v‬אם נתון כי מסלול הרכיבה מתל אביב להרצליה קטן מ־ ‪ 25‬ק"מ‬
‫וגדול מ־ ‪ 9‬ק"מ‪.‬‬
‫פתרון לשאלה ‪1‬‬
‫זמן (שעות)‬
‫מהירות (קמ"ש)‬
‫‪t‬‬
‫‪v‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t- 2‬‬
‫‪v+2‬‬
‫דן עד הפגישה‬
‫אילנית עד הפגישה‬
‫אילנית אחרי הפגישה‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v+2‬‬
‫לכן אורך כל המסלול הוא‪:‬‬
‫)‪II. S = t (v + 2‬‬
‫על ידי פתיחת סוגריים ופישוט מקבלים מ־ ‪:I‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t= 4v+ 2‬‬
‫מקבלים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪(v + 2) (t - 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(v + 2): 2‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪t- 2 + 2 =t‬‬
‫הזמן שבו אילנית עוברת את כל המסלול‪:‬‬
‫מפתרון האי־שוויונים‬
‫‪v:t‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪I. v : t = (v + 2) (t - 2‬‬
‫אורך המסלול עד הפגישה‪:‬‬
‫נציב ‪ t‬ב־ ‪ II‬ונקבל‪:‬‬
‫דרך (ק"מ)‬
‫‪S = 0.25v2 + v + 1‬‬
‫‪9 1 0.25v2 + v + 11 25‬‬
‫‪ 8‬קמ"ש ‪ 41 v 1‬קמ"ש‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪-3-‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫(‪ )1‬אם מכניסים אחד מהסימנים ‪ H , 2 , G , 1‬למשבצת הריקה שבביטוי‪:‬‬
‫‪4 (1 + 2 + 3 + ... + n) 2‬‬
‫מתקבל אי־שוויון הנכון לכל ‪ n‬טבעי‪.‬‬
‫‪12 + 22 + 32 + ... + n2‬‬
‫בחר בסימן המתאים‪.‬‬
‫(‪ )2‬הוכח באינדוקציה או בדרך אחרת כי האי־שוויון שבתת־סעיף א (‪ )1‬מתקיים לכל ‪ n‬טבעי‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נתונה סדרה חשבונית שאיבריה הם‪58 , 62 , 66, ... , (4n + 6) :‬‬
‫הבע את סכום הסדרה באמצעות ‪. ) n 212 ( n‬‬
‫הערה‪ :‬אין קשר בין סעיף א לסעיף ב‪.‬‬
‫פתרון לשאלה ‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫(‪)1‬‬
‫הסימן המתאים הוא‪:‬‬
‫(‪)2‬‬
‫בדיקה עבור ‪: n = 1‬‬
‫‪( #‬ולא ‪ ,1‬כי אז אי־השוויון לא מתקיים עבור ‪). n = 1‬‬
‫‪12 #12‬‬
‫נניח כי הטענה נכונה עבור ‪ k‬טבעי כלשהו‪:‬‬
‫‪12 + 22 + 32 + ... + k2 # (1 + 2 + 3 + ... + k) 2‬‬
‫נוכיח כי הטענה נכונה עבור ‪ , k + 1‬כלומר צ"ל‪:‬‬
‫‪12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k + 1) 2 # (1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1) 2‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫מהנחת האינדוקציה נובע‪:‬‬
‫לכן מספיק להוכיח‪:‬‬
‫‪12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k + 1) 2 # (1 + 2 + 3 + ... + k) 2 + (k + 1) 2‬‬
‫‪(1 + 2 + 3 + ... + k) 2 + (k + 1) 2 # (1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1) 2‬‬
‫על פי סכום של סדרה חשבונית‪:‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪1 + 2 + 3 + ... + k = 2 (1 + k‬‬
‫‪k +1‬‬
‫)‪2 (2 + k‬‬
‫לכן נותר להוכיח‪:‬‬
‫= ‪1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k2‬‬
‫‪2 + (k + 1) 2 # (k + 1) (2 + k) 2‬‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪k‬‬
‫)‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫לאחר הצמצום בגורם החיובי ‪: (k + 1) 2‬‬
‫‪k2 + 4 (2 + k) 2‬‬
‫‪4 #‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k 2 + 4 # 4 + 4k + k 2‬‬
‫לכן הטענה נכונה לכל ‪ n‬טבעי‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪-4‬‬‫המשך פתרון לשאלה ‪ .2‬א‪)2( .‬‬
‫דרך אחרת להוכחה‪:‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫‪A = 1 + 2 + ... + k‬‬
‫‪B = k +1‬‬
‫לכן נותר להוכיח‪:‬‬
‫‪A2 + B2 # (A + B) 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A2 + B2 # A2 + 2A$B + B2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0 # 2A:B‬‬
‫מאחר ש־ ‪ A 2 0‬ו־ ‪ B 2 0‬הוכחנו את מה שנותר להוכיח‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ a1 = 58‬ו־ ‪d = 4‬‬
‫לפי הנתון‪:‬‬
‫נסמן את מספר האיברים בסדרה ב־ ‪. k‬‬
‫לפי הנוסחה לאיבר כללי בסדרה חשבונית‪I. a k = 58 + 4 (k - 1) :‬‬
‫לפי הנתון‪:‬‬
‫מ־ ‪ I‬ו־ ‪ II‬מקבלים‪:‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪II. a k = 4n + 6‬‬
‫‪k = n - 12‬‬
‫‪n - 12‬‬
‫))‪2 (2 : 58 + 4 (n - 13‬‬
‫= ‪Sk‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪S k = (n - 12) (32 + 2n‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪-5-‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫בחדר ‪ I‬נמצאים ‪ k‬נשים ו־ ‪ k‬גברים (‪ .) k 21‬בחדר ‪ II‬נמצאים ‪ k‬נשים ו־ ‪ 3k‬גברים‪.‬‬
‫מטילים קובייה מאוזנת‪.‬‬
‫אם מתקבל מספר המתחלק ב־ ‪ , 3‬בוחרים בזה אחר זה בלי החזרה‪ 2 ,‬אנשים מחדר ‪. I‬‬
‫אם מתקבל מספר שאינו מתחלק ב־ ‪ , 3‬בוחרים בזה אחר זה בלי החזרה‪ 2 ,‬אנשים מחדר ‪. II‬‬
‫‪15‬‬
‫כאשר בוחרים באופן זה‪ ,‬ההסתברות לבחור ‪ 2‬נשים מחדר ‪ I‬גדולה פי ‪ 7‬מההסתברות לבחור ‪ 2‬נשים מחדר ‪. II‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ‪. k‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את ההסתברות לבחור ‪ 2‬נשים באופן שתואר‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ידוע שנבחר לפחות גבר אחד באופן שתואר‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שנבחרו בדיוק ‪ 2‬גברים מחדר ‪? I‬‬
‫פתרון לשאלה ‪3‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ההסתברות לבחור בחדר ‪ I‬היא‪. 6 = 3 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫ההסתברות לבחור בחדר ‪ II‬היא‪. 6 = 3 :‬‬
‫מכאן‪:‬‬
‫ההסתברות לבחור ‪ 2‬נשים מחדר ‪ I‬היא‪:‬‬
‫‪1 k k -1‬‬
‫‪ 2 p = 3 : 2k : 2k - 1‬נשים ‪P f‬‬
‫מחדר ‪I‬‬
‫וההסתברות לבחור ‪ 2‬נשים מחדר ‪ II‬היא‪:‬‬
‫‪2 k k -1‬‬
‫‪ 2 p = 3 : 4k : 4k - 1‬נשים ‪P f‬‬
‫מחדר ‪II‬‬
‫לפי הנתון‪:‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ 2p‬נשים ‪ 2 p = 7 P f‬נשים ‪P f‬‬
‫מחדר ‪I‬‬
‫מחדר ‪II‬‬
‫‪0‬‬
‫מפתרון המשוואה‪ ,‬אחרי צמצום ב־ ‪ , k - 1‬מקבלים‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ 2 p‬נשים‬
‫מחדר ‪II‬‬
‫‪+ Pf‬‬
‫‪k=4‬‬
‫‪ 2 p‬נשים‬
‫מחדר ‪I‬‬
‫‪ 2( = P f‬נשים)‪P‬‬
‫‪1 1 3‬‬
‫‪2 1 3‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ 2( = 3 : 2 : 7 + 3 : 4 : 15 = 105‬נשים)‪P‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/6‬‬
‫‪-6‬‬‫המשך פתרון לשאלה ‪3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪ 2 p‬גברים ‪f‬‬
‫מחדר ‪I‬‬
‫= ‪ p‬לפחות‬
‫לפחות‬
‫גבר ‪1‬‬
‫‪ p‬גבר ‪P f 1‬‬
‫‪P‬‬
‫‪/‬‬
‫‪ 2‬גברים‬
‫מחדר ‪I‬‬
‫‪Pf‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ 2( = 1 - 105‬נשים)‪ p = 1 - P‬לפחות ‪P f‬‬
‫גבר ‪1‬‬
‫‪ 2 p 1 1 3‬גברים‬
‫‪= 3: 2 : 7‬‬
‫מחדר ‪I‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪ p = 15‬לפחות‬
‫‪188‬‬
‫גבר ‪1‬‬
‫‪/‬‬
‫‪Pf‬‬
‫‪ 2‬גברים ‪P f‬‬
‫מחדר ‪I‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/7‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪-7-‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫נתון משולש ‪ . KHE‬נקודות ‪ M‬ו־ ‪ G‬נמצאות על הצלעות ‪ KH‬ו־ ‪ EH‬בהתאמה‬
‫‪E‬‬
‫‪K‬‬
‫כך ש־ ‪. GM z EK‬‬
‫נקודה ‪ F‬נמצאת על הצלע ‪. EH‬‬
‫‪F‬‬
‫המשכי הקטעים ‪ GM‬ו־ ‪ FK‬נפגשים בנקודה ‪( L‬ראה ציור)‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫נתון‪. B KML =B KFH :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נתון גם‪:‬‬
‫‪G‬‬
‫‪H‬‬
‫הוכח כי ‪. 3KHE +3FLG‬‬
‫‪3‬‬
‫‪L‬‬
‫‪EF‬‬
‫‪ 12.5 , GE = 5‬ס"מ = ‪ 5 , EH‬ס"מ = ‪. LG‬‬
‫(‪ )1‬מצא את האורך של ‪. EK‬‬
‫‪MH‬‬
‫(‪ )2‬מצא את היחס ‪. KH‬‬
‫פתרון לשאלה ‪4‬‬
‫א‪.‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪GM z EK‬‬
‫‪BKML =BKFH‬‬
‫צ"ל‪:‬‬
‫‪TKHE +TFLG‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נסמן‪BKML =BKFH = a :‬‬
‫‪ BEKH = 180 o - a‬זוויות חד־צדדיות בין מקבילים משלימות ל־ ‪180 o‬‬
‫‪ BLFG = 180 o - a‬זווית צמודה ל־ ‪BKFH‬‬
‫‪0‬‬
‫‪BEKH =BLFG‬‬
‫‪BKEH =BFGL‬‬
‫זוויות מתחלפות בין מקבילים הן שוות‬
‫‪0‬‬
‫‪TKHE +TFLG‬‬
‫על פי ז‪.‬ז‪.‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/8‬‬
‫‪-8‬‬‫המשך פתרון לשאלה ‪4‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נתון גם‪:‬‬
‫(‪ )1‬מהנתון נובע‪:‬‬
‫לפי משפט תלס או לפי דמיון‬
‫במשולשים ‪ FKE‬ו־ ‪:FLG‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪EF 3‬‬
‫‪GE = 5‬‬
‫‪ 12.5‬ס"מ = ‪EH‬‬
‫‪ 5‬ס"מ = ‪LG‬‬
‫‪EF 3‬‬
‫‪FG = 2‬‬
‫‪EK EF‬‬
‫‪LG = FG‬‬
‫‪0‬‬
‫‪EK 3‬‬
‫‪LG = 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪EK = 7.5‬‬
‫(‪ )2‬מהדמיון שבסעיף א נובע‪:‬‬
‫‪EK EH‬‬
‫‪FG = LG‬‬
‫‪0‬‬
‫‪FG = 3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪EG = 7.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪GH = 5‬‬
‫לפי משפט תלס או לפי דמיון‬
‫במשולשים ‪ HKE‬ו־ ‪:HMG‬‬
‫‪MH GH‬‬
‫‪KH = EH‬‬
‫‪0‬‬
‫‪MH‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪KH = 12.5 = 5‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/9‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪-9-‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ .‬המיתר ‪ AF‬חותך את ‪ BC‬בנקודה ‪. G‬‬
‫‪A‬‬
‫המיתר ‪ AE‬חותך את ‪ BC‬בנקודה ‪( D‬ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪BF = BG :‬‬
‫‪B BAF =B CAE‬‬
‫א‪.‬‬
‫הוכח כי ‪. 3AGB ,3ACE‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נתון גם‪ 2 :‬ס"מ = ‪ 5 , CE‬ס"מ = ‪ 6 , AC‬ס"מ = ‪. GC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪G‬‬
‫‪B‬‬
‫חשב את האורך של המיתר ‪. AE‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫פתרון לשאלה ‪5‬‬
‫א‪.‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪BBAF =BCAE‬‬
‫‪BF = BG‬‬
‫‪TAGB ,TACE‬‬
‫צ"ל‪:‬‬
‫‪ BF = CE‬זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪BG = CE‬‬
‫‪ BABC =BAEC‬זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת הן שוות‬
‫‪0‬‬
‫‪ BAGB =BACE‬סכום זוויות במשולש הוא ‪180 o‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ TAGB ,TACE‬על פי ז‪.‬צ‪.‬ז‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ 2‬ס"מ = ‪ 5 CE‬ס"מ = ‪ 6 AC‬ס"מ = ‪GC‬‬
‫נתון גם‪:‬‬
‫מהחפיפה בסעיף א נובע‪:‬‬
‫‪AC = AG = 5‬‬
‫‪AB = AE‬‬
‫‪3‬‬
‫‪cos BAGC = 5‬‬
‫במשולש שווה־שוקיים ‪ AGC‬מתקיים‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪cos BAGB = - 5‬‬
‫לפי משפט הקוסינוסים‬
‫‪3‬‬
‫) ‪AB2 = 22 + 52 - 2 : 2 : 5: (- 5‬‬
‫במשולש ‪:ABG‬‬
‫‪0‬‬
‫‪41‬‬
‫ס"מ = ‪AE‬‬
‫&‬
‫‪41‬‬
‫ס"מ = ‪AB‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/10‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪- 10 -‬‬
‫שאלה ‪6‬‬
‫נתון משולש שווה־צלעות ‪. ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫נקודה ‪ T‬נמצאת בתוך המשולש (ראה ציור)‪.‬‬
‫נתון‪ n , B TBC = a :‬ס"מ = ‪ d , CT‬ס"מ = ‪ t , BT‬ס"מ = ‪. AT‬‬
‫‪2‬‬
‫אורך צלע המשולש הוא ‪ 2‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪n2 - t2‬‬
‫הוכח כי‬
‫‪4d‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הבע את שטח המשולש ‪ ATC‬באמצעות ‪ a‬ו־ ‪. d‬‬
‫= )‪. sin (a - 30o‬‬
‫‪t‬‬
‫‪n‬‬
‫‪T‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫פתרון לשאלה ‪6‬‬
‫א‪.‬‬
‫לפי משפט הקוסינוסים במשולש ‪:BTC‬‬
‫לפי משפט הקוסינוסים במשולש ‪:TBA‬‬
‫מ־ ‪ I‬ומ־ ‪ II‬מקבלים‪:‬‬
‫‪n2 = 22 + d2 - 2 : 2 : d cos a‬‬
‫‪I.‬‬
‫)‪II. t2 = 22 + d2 - 2 : 2 : d cos (60 o - a‬‬
‫‪n2 - t2‬‬
‫‪o‬‬
‫‪4d = cos (60 - a) - cos a‬‬
‫‪0‬‬
‫לפי הזהות להפרש הקוסינוסים‪:‬‬
‫‪60 o‬‬
‫‪60 o - 2a‬‬
‫‪= - 2 sin 2 sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n2 - t2‬‬
‫‪4d‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪= sin (a - 30 o‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪n2 - t2‬‬
‫‪4d‬‬
‫‪STATC = STABC - STABT - STTBC‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪STATC = 2 : 2 : 2 sin 60 o - 2 : 2 : d sin (60 o - a) - 2 : 2 : d sin a‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪STATC = 3 - d (sin (60 o - a) + sin a‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/11‬‬
‫‪- 11 -‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫א‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x2 + 3a2‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫שאלה ‪7‬‬
‫= )‪ a . f (x‬הוא פרמטר‪. a 2 0 ,‬‬
‫מצא (הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך)‪:‬‬
‫(‪ )1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f(x‬‬
‫(‪ )2‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f(x‬עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ )3‬את האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה )‪( f(x‬אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ )4‬את נקודות הקיצון של הפונקציה )‪( f(x‬אם יש כאלה)‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ידוע שלפונקציה )‪ f(x‬יש שתי נקודות פיתול בלבד ובהן ‪. x = ! a‬‬
‫(‪ )1‬היעזר בגרף של )‪ , f(x‬והבע באמצעות ‪ a‬את התחום שבו פונקציית הנגזרת השנייה )‪ f ''(x‬חיובית‪,‬‬
‫ואת התחום שבו היא שלילית‪ .‬נמק‪.‬‬
‫(‪ )2‬הבע באמצעות ‪ a‬את שיעורי ה־ ‪ x‬של נקודות הקיצון של )‪ , f '(x‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ a‬את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ , f '(x‬על ידי הישר ‪ x = a‬ועל ידי ציר ה־ ‪. x‬‬
‫סמן במערכת צירים את השטח המבוקש‪.‬‬
‫פתרון לשאלה ‪7‬‬
‫א‪.‬‬
‫(המכנה תמיד חיובי‪ ,‬כי הוא סכום של מספר חיובי ומספר אי־שלילי‪).‬‬
‫(‪)1‬‬
‫)‪ f(x‬מוגדרת לכל ‪x‬‬
‫(‪)2‬‬
‫נקודת החיתוך עם ציר ה־ ‪:y‬‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫‪a2‬‬
‫(‪)3‬‬
‫אסימפטוטה אופקית‪:‬‬
‫‪y=0‬‬
‫‪. (0 ,‬‬
‫אין נקודות חיתוך עם ציר ה־‪. x‬‬
‫אין אסימפטוטה אנכית‪.‬‬
‫‪x=0‬‬
‫(‪)4‬‬
‫עבור ‪x 2 0‬‬
‫‪f' (x) 1 0‬‬
‫עבור ‪x 1 0‬‬
‫‪f' (x) 2 0‬‬
‫מכאן שיש מקסימום בנקודה‬
‫&‬
‫‪f' (x) = 0‬‬
‫‪- 12x‬‬
‫‪(x2 + 3a2) 2‬‬
‫= )‪f' (x‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪(0 , 2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/12‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫ ‪- 12‬‬‫המשך פתרון לשאלה ‪7‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מהנתון נובע‪f'' (a) = f'' (- a) = 0 :‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪ f'' (x) 2 0‬עבור ‪ x 2 a‬או ‪ , x 1- a‬כי בתחומים אלה )‪ f(x‬קעורה כלפי מעלה ‪. ,‬‬
‫‪ f'' (x) 1 0‬עבור ‪ , - a 1 x 1 a‬כי בתחום זה )‪ f(x‬קעורה כלפי מטה ‪. +‬‬
‫(‪)2‬‬
‫‪x2a‬‬
‫‪+‬‬
‫‪a‬‬
‫‪-a 1x1a‬‬
‫‪-‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x 1- a‬‬
‫‪-a‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f'' (x‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪f' (x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫ל־ )‪ f' (x‬יש מקסימום בנקודה שבה ‪x = - a‬‬
‫ויש מינימום בנקודה שבה‬
‫ד‪.‬‬
‫‪x=a‬‬
‫על פי סעיף א(‪ f'(x) :)4‬שלילית עבור ‪ x 2 0‬ו־ ‪. f'(0) = 0‬‬
‫לכן השטח המבוקש ‪ S‬נמצא מתחת לציר ה־ ‪ x‬בגבולות שבין ‪ 0‬ל־ ‪: a‬‬
‫‪y‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪# f' (x) dx = - [f (x)] a0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪S =-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2a2‬‬
‫=‪S‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/13‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪- 13 -‬‬
‫שאלה ‪8‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f (x) = - sin x + 2 sin x‬‬
‫בקטע ‪. 0G x G 3r‬‬
‫בקטע הנתון מצא‪:‬‬
‫(‪ )1‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה מוגדרת‪.‬‬
‫(‪ )2‬את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫(‪)1‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בקטע הנתון‪.‬‬
‫(‪)2‬‬
‫מצא משוואת ישר המשיק לגרף הפונקציה בשתי נקודות בדיוק‪.‬‬
‫‪ ? 21 sin x 2‬נמק‪.‬‬
‫האם יש ערכים של ‪ x‬בקטע הנתון שעבורם מתקיים האי־שוויון ‪sin x‬‬
‫פתרון לשאלה ‪8‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪sin x $ 0‬‬
‫(‪)1‬‬
‫עבור כל ‪ x‬בקטע הנתון‪:‬‬
‫(‪)2‬‬
‫(עבור ‪ 2r 1 x 1 3r‬או ‪:) 01 x 1r‬‬
‫( ‪ sin x‬מוגדר רק כאשר ‪) sin x $ 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0# x # r‬או ‪2r # x # 3r‬‬
‫)‪cos x ( sin x - 1‬‬
‫‪2 sin x‬‬
‫‪cos x = 0‬‬
‫‪sin x - 1 = 0‬‬
‫או‬
‫‪2‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪r‬‬
‫‪]] x = 2‬‬
‫[‬
‫‪5‬‬
‫‪]] x = 2 r‬‬
‫\‬
‫‪3r‬‬
‫לא בתחום ההגדרה ‪x = 2‬‬
‫‪5r‬‬
‫‪x= 2‬‬
‫‪3r‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫מקסימום בנקודות‪:‬‬
‫מינימום בנקודות‪:‬‬
‫)‪(3r , 0‬‬
‫‪f' (x) = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪x= 2‬‬
‫‪5r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-2‬‬
‫&‬
‫= )‪f' (x‬‬
‫‪2r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(2r , 0‬‬
‫)‪(r , 0‬‬
‫‪5r‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪( 2 , - 2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪(0 , 0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(2 , - 2‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/14‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫ ‪- 14‬‬‫המשך פתרון לשאלה ‪8‬‬
‫ב‪.‬‬
‫(‪)1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫(‪)2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y =- 2‬‬
‫‪r 2r 5r 3r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫(ישר העובר דרך שתי נקודות המינימום)‬
‫‪1‬‬
‫האי־שוויון ‪ 2 sin x 2 sin x‬שקול ל־ ‪. f (x) 2 0‬‬
‫‪1‬‬
‫לכן אין ערכים שעבורם מתקיים האי־שוויון ‪ , 2 sin x 2 sin x‬כי ‪ f (x) # 0‬לכל ‪ x‬בתחום ההגדרה‪.‬‬
‫‪/‬המשך בעמוד ‪/15‬‬
‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ג‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬
‫‪- 15 -‬‬
‫שאלה ‪9‬‬
‫מחלקים חוט שאורכו ‪ k‬לשני חלקים (לאו דווקא חלקים שווים) ‪.‬‬
‫מחלק אחד של החוט יוצרים מעגל ומהחלק האחר יוצרים ריבוע‪.‬‬
‫‪5r‬‬
‫סכום השטחים של שתי הצורות הוא מינימלי כאשר היקף המעגל הוא ‪. r + 4‬‬
‫מצא את הערך של ‪. k‬‬
‫פתרון לשאלה ‪9‬‬
‫היקף המעגל‪:‬‬
‫‪) 0# x # k ( x‬‬
‫היקף הריבוע‪:‬‬
‫‪k-x‬‬
‫סכום השטחים‪:‬‬
‫‪x 2‬‬
‫‪k-x‬‬
‫‪S = r:( 2r ) + ( 4 ) 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x (r + 4) - rk‬‬
‫‪8r‬‬
‫‪rk‬‬
‫‪I. x = r + 4‬‬
‫&‬
‫= '‪S‬‬
‫‪S' = 0‬‬
‫‪rk‬‬
‫(הנקודה ‪ r + 4‬נמצאת בקטע ]‪)[0 , k‬‬
‫בדיקת מינימום‪:‬‬
‫לפי הנתון‪:‬‬
‫מ־ ‪ I‬ו־ ‪ II‬מקבלים‪:‬‬
‫‪r+4‬‬
‫‪S'' = 8r 2 0‬‬
‫‪5r‬‬
‫‪II. x = r + 4‬‬
‫‪k=5‬‬
‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬
‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬

Similar documents