2 מבחן 807 - שאלון ( )0

Transcription

2 מבחן 807 - שאלון ( )0
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫שאלון ‪ - 807‬מבחן ‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫פרק ראשון ‪ -‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬וקטורים‪ ,‬טריגונומטריה במרחב‪ ,‬מספרים מרוכבים ) ‪ 66‬נק'(‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) 1-3‬לכל שאלה ‪ 33‬נק'(‬
‫‪ .1‬הנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬נמצאות על גרף הפרבולה ‪ (4 < p) y 2 = 2 px‬ברביע הראשון‪ .‬שיפועי הישרים‬
‫‪p‬‬
‫המשיקים לפרבולה בנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬הם בהתאמה ‪ 2‬ו‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫גם על הישר ‪. y = 6 x‬‬
‫‪ .‬המשיקים נחתכים בנקודה ‪ ,C‬אשר נמצאת‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת הפרבולה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעגל שמרכזו על ציר ה‪ x-‬ואורך רדיוסו ‪ 12‬יח' אורך‪ ,‬משיק לפרבולה בשתי נקודות‪.‬‬
‫מצא את משוואת המעגל‪.‬‬
‫‪ .2‬בשרטוט נתון‪, p DAC =p DAB = 30 0 , AB = v, AD = w, AC = u :‬‬
‫‪ E , p BAC = 60 0‬אמצע ‪. w = 3 , u = 2 v , BF = t ⋅ BC ,DF‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ w , v , u‬ו‪ t -‬את הוקטור ‪. AE‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ :‬הוקטור ‪ AE‬יוצר זוויות שוות עם הוקטורים‪:‬‬
‫‪ AC‬ו‪ . AB -‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.t‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ B(0,0,0) :‬ו‪ . F (1,2,−1) -‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על המישור ‪ZX‬‬
‫ושיעורי ה‪ x-‬וה‪ z-‬שלה זהים‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫‪ .3‬נתונה המשוואה‪. (0 0 < θ < 60 0 ) , Z + 1 = 2 sin θ :‬‬
‫‪Z‬‬
‫פתרונות המשוואה הם המספרים המרוכבים ‪ Z 1‬הנמצא ברביע הראשון ו‪. Z 2 -‬‬
‫א‪ .‬סמן את המספרים ‪ Z 1‬ו‪ Z 2 -‬על גבי מערכת צירים במישור גאוס‪.‬‬
‫ב‪ .‬שני המספרים ‪ Z 1‬ו‪ Z 2 -‬נמצאים על המקום הגיאומטרי ‪ . Z + Z = 1‬פתור את המשוואה‪. Z 4 = Z 1 :‬‬
‫ג‪ .‬מבין ארבעת הפתרונות שמצאת בסעיף ב'‪ ,‬שני הפתרונות הנמצאים ברביע הראשון והרביעי הם‬
‫קודקודי הבסיס של משולש שווה שוקיים החסום במעגל קנוני במישור גאוס‪ .‬במשולש זה כל הזויות‬
‫חדות‪ .‬מצא את‪:‬‬
‫‪ .1‬זוית קודקוד הראש‪.‬‬
‫‪ .2‬התצוגה הקוטבית של קודקוד הראש‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪156‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫פרק שני ‪ -‬גידול ודעיכה‪ ,‬פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ) ‪ 33‬נק'(‬
‫ענה על אחת מהשאלות ‪.4-5‬‬
‫‪ a−x ‬‬
‫‪f ( x) = log 2 ‬‬
‫‪ .4‬לפונקציה‪ :‬‬
‫‪ x + 2a ‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫) ‪ (0 < a‬יש נקודת פיתול כאשר ‪. x = −1‬‬
‫מצא את ערכו של הפרמטר ‪ ,a‬את תחום ההגדרה של )‪ f (x‬ואת האסימפטוטות‪.‬‬
‫הוכח‪ :‬גרף )‪ f (x‬יורד בכל תחום ההגדרה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫שרטט סקיצה של גרף )‪. f (x‬‬
‫הגדירו פונקציה חדשה‪. g ( x) = 2 f ( x ) :‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך שלה עם הצירים‪.‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה )‪ g (x‬לבין הישר ‪ x = 1‬בין הצירים ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪x+ p‬‬
‫‪3 p− x‬‬
‫‪ (0 < p ) g ( x ) = −2‬המוגדרות לכל ‪.x‬‬
‫‪, f ( x) = 2‬‬
‫‪ .5‬נתונות שתי הפונקציות‪:‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה של שתי הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של שתי הפונקציות עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציות‪.‬‬
‫ד‪ .‬הגדירו פונקציה חדשה‪. h( x ) = g ( x ) :‬‬
‫שרטט את הגרפים של הפונקציות )‪ g (x ) , f (x‬ו‪ h(x) -‬על מערכת צירים אחת‪.‬‬
‫ה‪ .‬מהנקודה ‪ A‬הנמצאת על גרף )‪ h(x‬ברביע הראשון יוצאים שני ישרים‪ :‬הראשון מקביל לציר ה‪y-‬‬
‫וחותך את גרף ) ‪ g (x‬בנקודה ‪ B‬והשני מקביל לציר ה‪ x-‬וחותך את גרף )‪ f (x‬בנקודה ‪ .C‬הנקודה ‪D‬‬
‫משלימה את הנקודות ‪ B ,A‬ו‪ C-‬ליצירת מלבן‪ .‬היקפו המינימלי של המלבן ‪ ABCD‬הוא ‪.9p‬‬
‫מצא את ערכו של הפרמטר ‪.p‬‬
‫בהצלחה!‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪157‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫‪ (1‬א‪ . y 2 = 16 x .‬ב‪. ( x − 13) 2 + y 2 = 144 .‬‬
‫‪t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1− t ‬‬
‫‪⋅u + ‬‬
‫‪ (2‬א‪⋅ v + ⋅ w .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫ב‪ . cis15 , cis105 , cis195 , cis 285 .‬ג‪. cis150 (2 . 45 (1 .‬‬
‫‪ (3‬א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪ . AE‬ב‪ . t = .‬ג‪ A(3,0,3) .‬או )‪. A(− 3,0,−3‬‬
‫‪ (4‬א‪ . x = −4, x = 2 , −4 < x < 2 , a = 2 .‬ג‪ . ( −1,0) , (0,−1) .‬ד‪.‬‬
‫ה‪ , (0,0.5) , −4 < x < 2 : g (x) .‬בנקודה )‪ (2,0‬אין חיתוך אלא קיימת נקודת אי רציפות‪ ,‬בגלל תחום‬
‫ההגדרה‪ .‬ו‪ 0.338 .‬יח"ר‪.‬‬
‫‪ (5‬א‪ .‬שתיהן עולות לכל ‪ .x‬ב‪. (0,−2 3 p ) : g ( x ) , (0,2 p ) : f ( x ) .‬‬
‫ג‪ .‬שתיהן‪ . y = 0 :‬ד‪ .‬ראה שרטוט משמאל‪ .‬ה‪. p = 3.65 .‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪158‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫פתרון מלא ‪ -‬מבחן ‪2‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫א‪ .‬ראשית נמצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪ .B-‬ניתן לראות כי נקודה ‪ B‬נמצאת‬
‫‪p‬‬
‫גדול יותר מ‪ 2-‬כאשר ‪.p>4‬‬
‫משמאל לנקודה ‪ A‬מכיוון שהשיפוע‬
‫‪2‬‬
‫למציאת הנקודות נשתמש במשוואה הכללית של המשיק לפרבולה‪:‬‬
‫) ‪ . yy 0 = p( x + x0‬לאחר פתיחת סוגריים וסידור המשוואה נקבל את משוואת‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪x+‬‬
‫המשיק‪x0 :‬‬
‫‪.‬‬
‫= ‪ . y‬ניתן לראות שהמקדם של ‪ x‬הוא שיפוע הישר‪:‬‬
‫‪y0‬‬
‫‪y0‬‬
‫‪y0‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫השיפוע בנקודה ‪ A‬הוא ‪ .2‬כלומר‪= 2 :‬‬
‫ולכן ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪yA‬‬
‫= ‪. yA‬‬
‫‪ p p‬‬
‫לאחר הצבת שיעורי ‪ y‬במשוואת הפרבולה נקבל‪. A ,  :‬‬
‫‪8 2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫השיפוע בנקודה ‪ B‬הוא ‪ .‬כלומר‪= :‬‬
‫ולכן‪. y B = 2 :‬‬
‫‪yB 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫לאחר הצבת שיעורי ‪ y‬במשוואת הפרבולה נקבל‪. B p ,2  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כעת נמצא את הנקודה ‪ C‬באמצעות החיתוך שבין שני המשיקים בנקודות ‪ A‬ו‪:B-‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪. y = 2x +‬‬
‫נמצא את משוואת המשיק בנקודה ‪ y − = 2( x − ) :A‬ולאחר סידור איברים‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫נמצא את משוואת המשיק בנקודה ‪ y − 2 = 2 ( x − p ) :B‬ולאחר סידור איברים‪. y = x + 1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫נשווה בין שני המשיקים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p >4‬‬
‫‪x + 1 = 2x +‬‬
‫‪⋅ 4 → 2 px + 4 = 8 x + p → 2 px − 8 x = p − 4 → 2( p − 4) x = p − 4 ‬‬
‫= ‪→ xc‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1 p ‬‬
‫ע"י הצבה של ערך ‪ x‬באחת ממשוואות המשיקים נקבל את ערך ‪ . y c = + 1‬שיעורי נקודה ‪ C‬הם‪. C  , + 1 :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2 4 ‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1‬‬
‫ונקבל‪. p = 8 :‬‬
‫נתון שהנקודה ‪ C‬נמצאת על הישר ‪ . y = 6 x‬נציב את שיעוריה במשוואת הישר‪+ 1 = 6 ⋅ :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫לכן משוואת הפרבולה היא ‪. y = 16 x‬‬
‫ב‪ .‬משוואת המעגל הנתון היא ‪ ( x − a ) 2 + y 2 = 144‬ומשוואת הפרבולה היא‪. y 2 = 16 x :‬‬
‫על פי השרטוט ניתן לראות כי מעגל כזה משיק לפרבולה בשתי נקודות בעלי שיעור ‪ x‬זהה‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬אם נשווה את משוואת המעגל ואת משוואת הפרבולה נצפה לקבל פתרון אחד בלבד‪.‬‬
‫נציב במשוואת המעגל את ‪ y 2 = 16 x‬ונקבל‪. ( x − a ) 2 + 16 x = 144 :‬‬
‫לאחר פתיחה וסידור נקבל משוואה ריבועית פרמטרית‪. x 2 + (16 − 2 a )x + a 2 − 144 = 0 :‬‬
‫על מנת שיהיה למשוואה פתרון אחד בלבד‪ ,‬נדרוש שהביטוי מתחת לשורש ) ∆ ( ישתווה ל‪:0-‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪2‬‬
‫‪∆ = 0 → (16 − 2 a ) − 4 a 2 − 144 = 0 → 256 − 64 a + 4 a 2 − 4 a 2 + 576 = 0 → −64 a = −832 → a = 13‬‬
‫משוואת המעגל המתקבלת היא‪. ( x − 13) 2 + y 2 = 144 :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪159‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪ .‬לפי השרטוט ניתן לראות כי‪DF :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . AE = AD +‬ראשית נביע את ‪: DF‬‬
‫‪DF = DA + AB + t BC = − w + v + t ( −v + u ) = − w + (1 − t )v + t u‬‬
‫) ‪(1 − t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪v+ w‬‬
‫‪DF = w + (− w + (1 − t )v + t u ) = u +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AE = AD +‬‬
‫ב‪ .‬מהנתון ‪ , p EAB = p EAC‬נובע כי‪. cos(p EAB) = cos(p EAC) :‬‬
‫נביע את שני הקוסינוסים באמצעות ‪ v , u‬ו‪: w -‬‬
‫) ‪(1 − t‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪v + w  ⋅ v t u v + (1 − t ) v 2 + 1 wv‬‬
‫‪ u+‬‬
‫‪AE ⋅ AB‬‬
‫‪AE ⋅ v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪cos(p EAB‬‬
‫=‬
‫‪=‬‬
‫‪= 2‬‬
‫‪AE ⋅ AB‬‬
‫‪AE ⋅ v‬‬
‫‪AE ⋅ v‬‬
‫‪AE ⋅ v‬‬
‫)‪(1‬‬
‫) ‪(1 − t‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪v + w  ⋅ u t u 2 + (1 − t ) vu + 1 wu‬‬
‫‪ u+‬‬
‫‪AE ⋅ AC‬‬
‫‪AE ⋅ u‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= 2‬‬
‫= ) ‪cos(p EAC‬‬
‫=‬
‫‪=‬‬
‫‪AE ⋅ AC‬‬
‫‪AE ⋅ u‬‬
‫‪AE ⋅ u‬‬
‫‪AE ⋅ u‬‬
‫)‪(2‬‬
‫בטרם נשווה את שני האגפים חשוב להביע בנפרד כל אחת משלוש המכפלות הסקלאריות שאינן ניתנות לפירוק‪:‬‬
‫‪(3) u ⋅ v = u ⋅ v cos 60o = 2 v v 1 = v 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(4) u ⋅ w = u ⋅ w cos 30o = 2 v 3 3 = 3 v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(5) v ⋅ w = v ⋅ w cos 30o = v 3 3 = 3 v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נציב את הביטויים ‪ 3,4,5‬ב‪ 1-‬ו‪ 2-‬ובנוסף נבטא את כל האורכים בעזרת ‪) v‬כדי שיהיה נוח לצמצם בהמשך(‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t 2 (1 − t ) 2 3‬‬
‫‪(1 − t ) 2 1‬‬
‫‪uv +‬‬
‫‪v + wv‬‬
‫‪v +‬‬
‫‪v + v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫=‬
‫‪AE ⋅ v‬‬
‫‪AE ⋅ v‬‬
‫)‪(1‬‬
‫) ‪t 2 (1 − t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪(1 − t ) 2 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u +‬‬
‫‪vu + wu‬‬
‫‪4v +‬‬
‫‪v + v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪AE ⋅ u‬‬
‫‪AE ⋅ 2 v‬‬
‫)‪(2‬‬
‫נשווה את ‪ 1‬ו‪ 2-‬ונצמצם את שני אגפי המשוואה‪:‬‬
‫‪t 2 (1 − t ) 2 3‬‬
‫‪t‬‬
‫‪(1 − t ) 2 3‬‬
‫‪(1 − t ) 2 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v +‬‬
‫‪v + v‬‬
‫‪4v +‬‬
‫‪v + v‬‬
‫‪2t v +‬‬
‫‪v + v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4 = 2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪2 → t v 2 + (1 − t ) v 2 + 3 v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⋅2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AE ⋅ v‬‬
‫‪AE ⋅ 2 v‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(1 − t ) 2 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v = 2t v +‬‬
‫‪v + v ÷v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪(1 − t‬‬
‫) ‪(1 − t‬‬
‫‪t + (1 − t ) = 2t +‬‬
‫‪→ 1 = 2t +‬‬
‫= ‪→ 2 = 4t + 1 − t → 3t = 1 → t‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t v + (1 − t ) v +‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪160‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ג‪ .‬נתבונן במשולש ‪: ∆ABC‬‬
‫על פי הנתון‪ ,‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על המישור ‪ ZX‬ושיעורי ‪ x‬ו‪z-‬‬
‫שלה זהים‪ .‬המישור ‪ ZX‬הוא המישור "הנשען" על ציר ה‪ X-‬ועל‬
‫ציר ה‪ ,Z-‬ולכן‪ ,‬בכל הנקודות שעליו‪ ,‬שיעור ה‪ y-‬הוא ‪ .0‬לכן‪,‬‬
‫נסמן את הנקודה ‪. A( a,0, a ) :A‬‬
‫כמו כן‪ ,‬נתונה הנקודה )‪. B(0,0,0‬‬
‫הנקודה )‪ F (1,2,−1‬מחלקת את הקטע ‪ BC‬ביחס ‪) 1:2‬כמו‬
‫שמצאנו בסעיף ב'(‪ .‬ניעזר בחלוקת קטע ביחס נתון ונמצא את‬
‫שיעורי הנקודה ‪:C‬‬
‫‪0 ⋅ 2 + YC ⋅ 1‬‬
‫‪= 2 → YC = 6 ,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0 ⋅ 2 + X C ⋅1‬‬
‫‪=1→ XC = 3,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0 ⋅ 2 + Z C ⋅1‬‬
‫‪= −1 → Z C = −3‬‬
‫‪3‬‬
‫כלומר‪ ,‬הנקודה ‪ C‬היא‪. C (3,6,−3) :‬‬
‫הצלע ‪ AC‬ארוכה פי שניים מן הצלע ‪ .AB‬ניעזר בנוסחה למרחק בין שתי נקודות ונבנה משוואה מתאימה‪:‬‬
‫→ ) ‪(a − 3)2 + (0 − 6)2 + (a + 3)2 = 2 a 2 + 0 2 + a 2 → (a − 3)2 + 36 + (a + 3)2 = 4 ⋅ (2a 2‬‬
‫‪(a − 3)2 + 36 + (a + 3)2 = 4 ⋅ (2a 2 ) → a 2 − 6a + 9 + 36 + a 2 + 6a + 9 = 8a 2 → 6a 2 = 54 → a = ±3‬‬
‫→ ‪d AC = 2d AB‬‬
‫שתי האפשרויות לנקודה ‪ A‬הן‪ A(3,0,3) :‬או )‪. A( −3,0,−3‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫א‪ .‬תחילה נסדר את המשוואה ‪ Z + 1 = 2 sin θ‬כך שתתקבל המשוואה הריבועית‪ , Z 2 − 2 sin θ ⋅ Z + 1 = 0 :‬אותה‬
‫‪Z‬‬
‫ניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫‪2 sin θ ± 4 sin 2 θ − 1‬‬
‫‪2 sin θ ± 4 sin 2 θ − 1‬‬
‫= ‪→ Z 1, 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪→ Z 1, 2‬‬
‫‪(2 sin θ )2 − 4‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪2‬‬
‫‪2 sin θ ±‬‬
‫= ‪Z 1, 2‬‬
‫‪2 sin θ ± 4 − cos 2 θ‬‬
‫‪2 sin θ ± 2 cosθ ⋅ i‬‬
‫= ‪Z1, 2‬‬
‫= ‪→ Z1, 2‬‬
‫‪→ Z1, 2 = sin θ ± cosθ ⋅ i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Z1 = sin θ + i cos θ , Z 2 = sin θ − i cos θ‬‬
‫נמקם את הפתרונות במישור גאוס‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪161‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ב‪ .‬נציב את ‪ Z1 = sin θ + cosθ ⋅ i‬במשוואת המקום הגיאומטרי ‪: Z + Z = 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Z + Z = 1 → sin θ + i cos θ + sin θ − i cos θ = 1 → 2 sin θ = 1 → 2 sin θ = ±1 → sin θ = ±‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ θ = 150° + 360°k‬או ‪→ θ = 30° + 360°k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ θ = 210° + 360°k‬או ‪sin θ = − → θ = −30° + 360°k‬‬
‫‪2‬‬
‫הזווית שנמצאת בתחום הנתון ) ‪ (0 0 < θ < 60 0‬היא‪ . θ = 30° :‬כלומר‪. Z1 = sin 30° + i cos 30° :‬‬
‫= ‪sin θ‬‬
‫ניעזר בזהות ) ‪ sin α = cos(90° − α‬ונקבל כי‪ Z1 = cos 60° + i sin 60° :‬ולבסוף‪. Z1 = cis60° :‬‬
‫כעת נפתור את המשוואה ‪: Z 4 = Z 1‬‬
‫‪ 60 ° + 360 °k ‬‬
‫‪Z 4 = cis 60 ° → Z = 4 1 ⋅ cis ‬‬
‫→ ) ‪ → Z = cis (15 ° + 90 ° k‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫פתרונות המשוואה המתקבלים‪. cis 285 0 , cis195 0 , cis105 0 , cis15 0 :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ (1‬נמקם את הפתרונות במישור גאוס‪:‬‬
‫משיקולי נוחות לקורא‪ ,‬השתמשנו בפתרון של סעיף ג' שוב בסימנים‪:‬‬
‫‪ Z 1‬ו‪ , Z 1 -‬אך הם אינם קשורים לאותם סימונים בסעיף א'‪.‬‬
‫לפי הנתונים בשאלה על מיקום הפתרונות ברביעים השונים נסמן‪:‬‬
‫‪ , Z1 = cis15°‬ולכן‪. p O1 = 15° :‬‬
‫‪ , Z 4 = cis285°‬ולכן ‪. p O3 = 15°‬‬
‫מכאן ש‪ , p O2 = 75° :‬ולבסוף‪. p AOB = 90° :‬‬
‫‪ p AOB‬היא זווית מרכזית ומכאן שהזווית ההיקפית הנשענת על אותה‬
‫הקשת שווה למחצית ממנה‪. p ACB = 45° :‬‬
‫‪Z4‬‬
‫‪ (2‬זווית הראש של המשולש שווה השוקיים ‪ ∆ABC‬שווה ל‪ , 45° -‬ומכאן שזוויות הבסיס של המשולש שוות‬
‫ל‪ . 67.5° -‬כלומר‪ ,‬הזווית ההיקפית ‪ p ABC‬היא בת ‪ , 67.5°‬ולכן הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת היא‪:‬‬
‫‪. p AOC = 135°‬‬
‫כדי "להתקדם" על המעגל מ‪ Z 1 -‬לקודקוד ‪ C‬עלינו להוסיף ‪ 135°‬לזווית של ‪ Z 1‬ולכן‪:‬‬
‫‪C = cis (15 ° + 135 °) → C = cis150°‬‬
‫נשים לב שקיים משולש שווה שוקיים נוסף שקודקודי הבסיס שלו הם ‪ A‬ו‪ .B-‬במשולש זה‪ ,‬קודקוד הראש ימצא על‬
‫המעגל הקנוני ברביע הרביעי בין הנקודות ‪ A‬ו‪ ,B-‬בקצה השני של הקוטר העובר בנקודה ‪ .C‬זוית הראש של אותו‬
‫משולש תשלים את הזוית ‪ p ACB‬ל‪) 180 0 -‬זויות נגדיות במרובע חסום במעגל( ותהיה ‪ . 1350‬כלומר‪ ,‬זוית הראש‬
‫של משולש זה תהיה קהה‪ ,‬ולכן המשולש אינו מתאים לנתון בשאלה‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪162‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫‪ a−x ‬‬
‫‪: f ( x) = log 2 ‬‬
‫א‪ .‬בנקודת הפיתול הנגזרת השנייה מתאפסת ולכן נגזור פעמיים את הפונקציה ‪‬‬
‫‪ x + 2a ‬‬
‫)‪− ( x + 2a ) − ( a − x‬‬
‫‪( x + 2a ) 2‬‬
‫) ‪− 3a ( x + 2a‬‬
‫‪− 3a‬‬
‫‪− 3a‬‬
‫= )‪f ' ( x‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a−x‬‬
‫) ‪( x + 2a ) (a − x ) ln 2 ln 2( x + 2a )(a − x ) ln 2( − x − ax + 2a 2‬‬
‫‪ln 2‬‬
‫‪x + 2a‬‬
‫נמצא את הנגזרת השנייה )נגזרת של מנה(‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫))‪0 ⋅ ln 2(− x − ax + 2a ) − (−3a ⋅ ln 2(−2 x − a‬‬
‫) ‪3a ln 2(−2 x − a‬‬
‫= )‪f " ( x‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ln 2(− x 2 − ax + 2a 2‬‬
‫) ‪ln 2(− x 2 − ax + 2a 2‬‬
‫נציב בנגזרת השנייה ‪ x = −1‬ונשווה אותה ל‪:0-‬‬
‫‪f " ( −1) = 0 → 3a ln 2( −2( −1) − a ) = 0 → 2 − a = 0 → a = 2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫הפונקציה מוגדרת רק כאשר הביטוי בתוך ה‪ log-‬הוא חיובי‪:‬‬
‫‪2−x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪> 0 ( x + 4) 2 → (2 − x)( x + 4) > 0 → − x − 2 x + 8 > 0‬‬
‫‪x+4‬‬
‫הפונקציה מתאפסת בנקודות ‪ x = 2‬ו‪ . x = −4 :‬לפי המקדם השלילי של ‪ x2‬ניתן להסיק כי הפרבולה "עצובה"‪ ,‬ויש‬
‫למצוא מתי ערכיה חיוביים‪.‬‬
‫ניתן לראות כי תחום ההגדרה הוא‪. − 4 < x < 2 :‬‬
‫בהתאם‪ ,‬האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה הן‪ x = 2 :‬ו‪. x = −4 :‬‬
‫מכיוון שהפונקציה מוגדרת בתחום מוגבל ‪ , − 4 < x < 2‬היא אינה שואפת‬
‫לאינסוף‪ ,‬ולכן אין לה אסימפטוטה אופקית‪.‬‬
‫‪−6‬‬
‫ב‪ .‬נביט בנגזרת הראשונה‪:‬‬
‫)‪ln 2(− x 2 − 2 x + 8‬‬
‫חיובי‪ ,‬והביטוי בסוגריים חיובי בכל תחום ההגדרה )ניתן לראות זאת בפרבולה שציירנו בסעיף א'(‪ .‬לסיכום‪ ,‬בכל‬
‫)‪( −‬‬
‫‪ ,‬ולכן הפונקציה יורדת בכל תחום ההגדרה‪.‬‬
‫תחום ההגדרה מתקבל‪= (−) :‬‬
‫)‪(+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪f (0) = log 2   = log 2   = −1 → (0,−1‬‬
‫ג‪ .‬למציאת נקודת החיתוך עם ציר ‪ ,y‬נציב ‪ x=0‬בפונקציה‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫למציאת נקודת החיתוך עם ציר ‪ ,x‬נשווה את הפונקציה ל‪:0-‬‬
‫‪2− x‬‬
‫‪2−x‬‬
‫‪2− x‬‬
‫→ ‪= 20‬‬
‫)‪= 1 → 2 − x = x + 4 → 2 x = −2 → (−1,0‬‬
‫‪log 2 ‬‬
‫→‪=0‬‬
‫‪x+4‬‬
‫‪x+4‬‬
‫‪ x+4‬‬
‫= )‪ . f ' ( x‬ניתן לראות כי המונה שלילי‪ .‬במכנה‪ ln2 ,‬הוא ביטוי‬
‫ד‪ .‬נסמן תחילה את שתי הנקודות החשובות‪ :‬חיתוך עם הצירים‪,‬‬
‫ונתחום את שתי האסימפטוטות האנכיות‪.‬‬
‫הפונקציה יורדת בכל תחום ההגדרה ולכן השרטוט הוא‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪163‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ה‪ .‬נתבונן בפונקציה החדשה‪:‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫‪ 2− x ‬‬
‫‪log 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x+4 ‬‬
‫‪=2‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪=2‬‬
‫)‪. g ( x‬‬
‫תחום ההגדרה של הפונקציה ) ‪ g (x‬זהה לפונקציה הקודמת בגלל הביטוי שבתוך ה‪ ,log -‬ולכן הוא‪. − 4 < x < 2 :‬‬
‫נזכור גם את הזהות‪a loga x = x :‬‬
‫‪2−x‬‬
‫‪=‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x + 4‬‬
‫)המתקיימת לכל ‪ (log‬ולכן‪:‬‬
‫‪ 2− x ‬‬
‫‪log 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x+4 ‬‬
‫‪g ( x) = 2‬‬
‫‪2− x 2‬‬
‫‪g ( 0) = ‬‬
‫)‪ = = 0.5 → (0,0.5‬‬
‫‪ x+ 4 4‬‬
‫נקודת החיתוך עם ציר ‪ ,y‬כאשר ‪:x=0‬‬
‫‪2−x‬‬
‫נקודת החיתוך עם ציר ‪ ,x‬כאשר ‪= 0 → x = 2 :y=0‬‬
‫‪x+4‬‬
‫→‪=0‬‬
‫‪ 2− x ‬‬
‫‪log 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x+4 ‬‬
‫‪2‬‬
‫עם זאת‪ ,‬זהו קצה תחום ההגדרה‪ ,‬והפונקציה אינה מוגדרת ב‪ ,x=2 :‬ולכן הנקודה )‪( 2,0‬‬
‫היא למעשה נקודת אי רציפות סליקה )"חור" בפונקציה(‪ .‬הפונקציה החדשה נראית כך‪:‬‬
‫ו‪ .‬למציאת השטח נחשב את האינטגרל‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪− x + 2‬‬
‫‪log x‬‬
‫‪dx = ∫ ‬‬
‫נפשט את הפונקציה בעזרת הכלל ‪dx : a a = x‬‬
‫‪x+4 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 2− x ‬‬
‫‪log 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x+4 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪S = ∫2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪−1+‬‬
‫‪x+4‬‬
‫‪−x+2‬‬
‫‪|x+4‬‬
‫את האינטגרל נחשב בעזרת חילוק פולינומים‪:‬‬
‫‪−x−4‬‬
‫‪−6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪S = ∫  −1+‬‬
‫‪dx = − x + 6 ln( x + 4) 0 = −1 + 6 ln 5 − (6 ln 4) = 0.338‬‬
‫‪x+4‬‬
‫‪0‬‬
‫לסיכום‪ ,‬השטח הוא ‪ 0.338‬יח"ר‪.‬‬
‫שאלה ‪:5‬‬
‫א‪ .‬נגזור את שתי הפונקציות‪:‬‬
‫‪x+ p‬‬
‫‪3 p− x‬‬
‫‪f ( x) = 2‬‬
‫‪f ' ( x) = 2 x + P ⋅ ln 2‬‬
‫‪⋅ ln 2‬‬
‫‪3 p−x‬‬
‫‪⋅ (−1) ⋅ ln 2 = 2‬‬
‫‪3 p− x‬‬
‫‪g ( x) = −2‬‬
‫‪g ' ( x ) = −2‬‬
‫ניתן לראות כי ב‪ ln2 , f ' ( x ) -‬הוא חיובי‪ ,‬ו‪ 2 x + p -‬הוא ביטוי מעריכי החיובי לכל ‪ .x‬לכן ) ‪ f (x‬עולה לכל ‪.x‬‬
‫ניתן לראות כי ב‪ ln2 , g ' ( x ) -‬הוא חיובי‪ ,‬ו‪ 2 3 p − x -‬הוא ביטוי מעריכי החיובי לכל ‪ .x‬לכן ) ‪ g (x‬עולה לכל ‪.x‬‬
‫ב‪ .‬למציאת נקודת חיתוך עם ציר ‪ ,y‬נציב ‪ x=0‬בשתי הפונקציות‪:‬‬
‫→ ‪f (0) = 2 0+ p = 2 p‬‬
‫) ‪(0,2 p‬‬
‫) ‪g (0) = −23 p−0 = −23 p → (0,−2 3 p‬‬
‫לשתי הפונקציות אין חיתוך עם ציר ‪ x‬מכיוון שביטוי מעריכי אינו מתאפס‪ ,‬ולא ניתן להשוות אותן ל‪.0-‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪164‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ג‪ .‬כאמור‪ ,‬שתי הפונקציות מוגדרות עבור כל ‪ x‬ולכן אין להן אסימפטוטות אנכיות‪.‬‬
‫למציאת אסימפטוטות אופקיות נבדוק מה קורה כאשר ‪ x‬שואף לאינסוף ולמינוס אינסוף‪.‬‬
‫בפונקציה ) ‪: f (x‬‬
‫‪lim‬‬
‫← הפונקציה שואפת לאינסוף ולכן אין אסימפטוטה אופקית בתחום החיובי‪.‬‬
‫∞ ≅ ∞ ‪f ( x) = 2 ∞ + p ≅ 2‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪1‬‬
‫← הפונקציה שואפת ל‪ 0-‬ולכן האסימפטוטה בתחום השלילי ‪. y = 0‬‬
‫‪f ( x) = 2 − ∞ + p = 2 −∞ = ∞ ≅ 0‬‬
‫∞‪x → −‬‬
‫‪2‬‬
‫בפונקציה ) ‪: g (x‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪1‬‬
‫← שואפת ל‪ 0-‬ולכן האסימפטוטה בתחום החיובי היא ‪. y = 0‬‬
‫‪g ( x ) = −2 3 p − ∞ ≅ −2 − ∞ = − ∞ ≅ 0‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪lim‬‬
‫← הפונקציה שואפת למינוס אינסוף ולכן אין אסימפטוטה אופקית בתחום‬
‫∞‪g ( x) = −2 3 p + ∞ ≅ −2 ∞ ≅ −‬‬
‫∞‪x → −‬‬
‫השלילי‪.‬‬
‫ד‪ .‬נצייר תחילה את הפונקציות ) ‪ f (x‬ו‪ g (x ) -‬על פי החקירה מהסעיפים‬
‫הקודמים‪ .‬נתחיל בנקודות החיתוך עם ציר ‪ ,y‬ונתחשב בתחומי העליה‬
‫והאסימפטוטות )בתחום החיובי או השלילי בהתאם לכל פונקציה(‪.‬‬
‫הפונקציה ) ‪ h(x‬היא הערך המוחלט של הפונקציה ) ‪ , g (x‬כלומר הופכת את כל‬
‫הערכים השליליים לחיוביים )ללא השפעה על הערך המספרי( ולכן היא נראית‬
‫כ'תמונת מראה' כלפי מעלה של הפונקציה ) ‪. g (x‬‬
‫ה‪ .‬סעיף זה הוא למעשה בעיית קיצון‪ .‬עלינו להביע את הבעיה כמשוואה בעלת נעלם אחד‪ .‬לאחר מכן נגזור את‬
‫המשוואה שקיבלנו ונשווה אותה ל‪ .0-‬תחילה נביע את הנקודות בעזרת משתנה יחיד ‪.t‬‬
‫‪3 p −t‬‬
‫‪3 p −t‬‬
‫נסמן את נקודה ) ‪ . A(t ,2‬בהתאם לכך‪ ,‬נקודה ) ‪ , B(t ,−2‬מכיוון שיש‬
‫להן את אותו ערך ‪.x‬‬
‫נביע את הנקודה ‪ C‬הנמצאת על ) ‪ f (x‬בעזרת ‪ . t‬נשווה את הפונקציה ) ‪f (x‬‬
‫לערך ‪ y‬של נקודה ‪) A‬יש לה ערך ‪ y‬זהה(‪.‬‬
‫‪3 p −t‬‬
‫‪x+ p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= 2 → 3p −t = x + p → x = 2 p − t‬‬
‫קיבלנו את הנקודה ) ‪ . C (2 p − t ,2 3 p −t‬כעת נביע את אורכי צלעות המלבן‪:‬‬
‫‪AB = y A − y B = 2 3 p −t − (−23 p−t ) = 2 ⋅ 23 p −t‬‬
‫‪AC = x A − xC = t − (2 p − t ) = 2t − 2 p‬‬
‫כעת נביע את היקף המלבן ‪:‬‬
‫‪+ 4t − 4 p‬‬
‫נגזור את הביטוי ונשווה אותו ל‪.0-‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪ln 2‬‬
‫‪2 3 p −t‬‬
‫‪3 p −t‬‬
‫‪+ 2(2t − 2 p) = 4 ⋅ 2‬‬
‫‪3 p −t‬‬
‫‪P = 2 AB + 2 AC = 4 ⋅ 2‬‬
‫→ ‪P' = 4 ⋅ ln 2 ⋅ 2 3 p −t ⋅ (−1) + 4 = 0 → 1 = ln 2 ⋅ 2 3 p −t‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪165‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫כעת נבטא את ‪ t‬באמצעות ‪:p‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ln 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫=‬
‫= ‪→ 3p − t‬‬
‫‪→ 3 p − t = 0.528 → t = 3 p − 0.528‬‬
‫‪ln 2‬‬
‫‪ln 2‬‬
‫‪2 3 p −t‬‬
‫זהו למעשה ערך ‪ ,t‬שעבורו היקף המלבן מינימלי‪ ,‬ולכן נציב אותו בנוסחת ההיקף ונשווה ל‪:9p-‬‬
‫→ ‪P = 4 ⋅ 2 3 p −t + 4t − 4 p → 4 ⋅ 2 3 p −(3 p −0.528) + 4 ⋅ (3 p − 0.528) − 4 p → 4 ⋅ 2 0.528 + 8 p − 2.112‬‬
‫כלומר‪ ,‬ניתן להביע את ההיקף כ‪:‬‬
‫נשווה להיקף המינימלי‪:‬‬
‫‪. 8 p + 3.65‬‬
‫‪. 8 p + 3.65 = 9 p → p = 3.65‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪807‬‬
‫עמוד ‪166‬‬

Similar documents