שאלה לדוגמא

‫שברים פשוטים – מושגים בסיסיים‬
‫תלמיד‪/‬ה יקר‪/‬ה‪.‬‬
‫לפניך קובץ ובו מושגים בסיסיים בשברים פשוטים‪.‬‬
‫הקובץ מכיל ‪ 11‬מושגים בסיסיים‪.‬‬
‫רצוי לעבור על חומר הלימוד לפני המעבר על המבחנים‪.‬‬
‫ניתן להדפיס קובץ זה כדי שיהיה לפני התלמיד‪/‬ה בזמן התרגול‪.‬‬
‫בהצלחה‪,‬‬
‫צוות מכון נועם‬
‫‪1‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫מושג מספר ‪ – 1‬שבר פשוט‬
‫שבר פשוט הוא‪ ,‬צורת כתיבה של מספר שאינו שלם‪ ,‬כשמעל הקו נמצא המונה‪ ,‬מספר המציין כמה חלקים יש‪.‬‬
‫ומתחת לקו המכנה‪ ,‬מספר המציין לכמה חלקים חולק השלם‪:‬‬
‫השבר יכול לציין גם תרגיל חילוק‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫אם ניקח סוכרייה אחת ונחלק לשני ילדים‪ ,‬כמה יקבל כל אחד?‬
‫דרך לפתרון‬
‫נכתוב את התרגיל כשבר‪ ,‬כשבמקום סימן החילוק מופיע קו השבר‪:‬‬
‫כל אחד מהילדים יקבל חצי סוכרייה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫מושג מספר ‪ – 2‬מספר מעורב‬
‫סכום המורכב משלם ושבר‪ .‬לדוגמא את הסכום אחת ורבע נרשום כך‪:‬‬
‫מושג מספר ‪ – 3‬שבר מדומה‬
‫שבר מדומה הוא שבר ששווה ליותר משלם ‪ ,1‬אבל נכתב בצורת שבר בכל זאת‪ ,‬לדוגמא אחת ורבע ניתן‬
‫לרשום כשבר מדומה כך‪:‬‬
‫לפעמים כדי לפתור שאלה עלינו להמיר מספר מעורב לשבר מדומה‪ ,‬ואז מה שעלינו לעשות הוא להכפיל את‬
‫השלם במכנה ולהוסיף את המונה‪:‬‬
‫המכנה נשאר אותו מכנה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫המירו את השבר‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 7‬לשבר מדומה‪.‬‬
‫דרך לפתרון‬
‫נעבוד לפי השיטה‪ ,‬נכפיל את המספר השלם כלומר ה‪ 7-‬במכנה כלומר ב‪ 4-‬ונוסיף את המונה כלומר את ה‪:3-‬‬
‫‪7 × 4 + 3 = 31‬‬
‫המספר שקיבלנו הוא המונה של השבר המדומה‪ ,‬המכנה נשאר אותו מכנה ולכן התשובה היא‪:‬‬
‫‪31‬‬
‫‪4‬‬
‫לפעמים בסוף התרגיל מתקבל שבר מדומה ואז עלינו להמיר אותו בחזרה לשבר מעורב‪ ,‬זאת נעשה בשיטה‬
‫הפוכה לשיטה הקודמת‪:‬‬
‫נבדוק כמה פעמים נכנס המכנה במונה‪ ,‬זה יהיה מספר השלמים שלנו בשבר המעורב‪.‬‬
‫במקרה הזה‪ 4 ,‬נכנס ב‪ 7 31-‬פעמים ומשאיר לנו‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫שאינם מתחברים לשלם‪.‬‬
‫אחר כך נחסיר מהמונה את המכנה כפול מספר השלמים‪ ,‬מספר זה הופך להיות המונה בשבר המעורב‪.‬‬
‫והמכנה נשאר אותו מכנה‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‪:‬‬
‫הפכו את השבר למספר מעורב‪:‬‬
‫‪20‬‬
‫?=‬
‫‪9‬‬
‫נמצא כמה שלמים יש בשבר הזה‪ ,‬נבדוק כמה פעמים נכנס ‪ 9‬ב‪ 2 ?20-‬זאת אומרת שבמספר המעורב שיתקבל‬
‫יהיו ‪ 2‬שלמים‪.‬‬
‫לצורך יצירת ‪ 2‬שלמים השתמשנו ב‪ 18-‬תשיעיות‪ .‬נמצא כמה תשיעיות ישארו לנו ע"י החסרת ‪ 18‬מ‪ 20-‬התשיעיות‬
‫שהיו לנו‪:‬‬
‫נשארו לנו‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪20 − 18 = 2‬‬
‫‪18 + 2‬‬
‫?=‬
‫‪9‬‬
‫לכן המספר המעורב הוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪2‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫מושג מספר ‪ – 4‬הרחבת שבר‬
‫לפעמים לצורך חישוב ניתן לכפול גם את המונה וגם את המכנה באותו מספר‪ ,‬הדבר לא משנה את הערך של‬
‫השבר‪.‬‬
‫‪5 4 3‬‬
‫לדוגמה‪ :‬המספר ‪ 1‬יכול להיות שווה גם ‪, ,‬‬
‫‪5 4 3‬‬
‫וכן הלאה‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫הרחיבו את השבר‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫כך שהמכנה שלו יהיה ‪.10‬‬
‫דרך לפתרון‬
‫כדי להגיע ממכנה ‪ 5‬למכנה ‪ .10‬יש להרחיב את המכנה פי‪ .2-‬מכיוון שהכפלנו את המכנה ב‪ 2-‬עלינו להכפיל גם את‬
‫המונה ב‪ 2-‬כדי לשמור על ערך השבר ‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫מושג מספר ‪ – 5‬צמצום שבר‬
‫כאשר יש לנו שבר ניתן לחלק את המונה והמכנה באותו מספר ולהגיע למצב מצומצם יותר של השבר‪ .‬נוח לנו‬
‫לעשות זאת כדי להמשיך ולחשב במספרים קטנים יותר‪ ,‬לכן תמיד כשנגיע לפתרון נבדוק שהשבר אליו הגענו‬
‫הוא במצב המצומצם ביותר האפשרי‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫הציגו את המצב המצומצם ביותר של השבר‬
‫‪18‬‬
‫‪96‬‬
‫דרך לפתרון‬
‫נחפש את המספר בו ניתן לחלק גם את המונה וגם את המכנה‪ .‬במקרה הזה‪ ,‬גם ‪ 18‬וגם ‪ 96‬מתחלקים במספר ‪.6‬‬
‫לעיתים קל יותר לעשות זאת בכמה שלבים‪ ,‬בשלב ראשון קל לראות ששני המספרים מתחלקים ב‪:3-‬‬
‫במצב זה קל לראות ששני המספרים שהתקבלו מתחלקים ב‪:2-‬‬
‫לא ניתן לחלק את השבר יותר‪ ,‬כיוון שלא קיים מספר שלם שבו מתחלקים גם המונה וגם המכנה ללא שארית‪ .‬לכן‪,‬‬
‫זהו השבר במצבו המצומצם ביותר‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫מושג מספר ‪ – 6‬חיבור וחיסור שברים‬
‫פעולת חיסור וחיבור יכולה להתבצע כאשר יש שני שברים בעלי אותו מכנה‪ .‬במקרה כזה ניתן להחסיר או‬
‫לחבר את המונים ולהשאיר את המכנה כמו שהוא‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫דרך לפתרון‬
‫מכיוון שכל המכנים זהים ניתן לחסר ולחבר בין המונים על מנת לחשב את המונה של התוצאה‪:‬‬
‫‪7‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫מושג מספר ‪ – 7‬מציאת מכנה משותף‬
‫כאשר יש תרגיל חיבור או חיסור בין שני שברים בעלי מכנה שונה‪ ,‬לא ניתן לחשב בלי ששני השברים יהיו בעלי‬
‫אותו מכנה‪ ,‬לכן ננסה למצוא מכנה משותף‪.‬‬
‫ישנם כמה דרכים למצוא מכנה משותף‪:‬‬
‫ניתן לבדוק האם אחד המכנים הוא הרחבה או צימצום של השני‪ ,‬כלומר האם ניתן להגיע ממכנה אחד לשני ע"י‬
‫הכפלה או חילוק‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫פתרו את התרגיל‪:‬‬
‫כדי לחבר את השברים יש למצוא מכנה משותף‪ ,‬מכיוון ש‪ 4-‬הוא כפולה של ‪ 2‬נרחיב את השבר ע"י הכפלת המונה‬
‫והמכנה ב‪:2-‬‬
‫עכשיו ניתן לפתור את התרגיל‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫דרך נוספת למציאת מכנה משותף היא ע"י מציאת מספר ששני המכנות מתחלקים בו‪.‬‬
‫ניצור רשימת שורות של כפולות עבור כל אחד מהמכנים‪ ,‬עד שנמצא מספר שמופיע בשתי השורות‪.‬כלומר מספר‬
‫זה הוא כפולה של שני המכנים‪ ,‬ולכן נוכל להשתמש בו כמכנה משותף‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫נרשום את כפולות המספר ‪ 6‬בשורה ומתחתיהם את כפולות המספר ‪:9‬‬
‫המספר הקטן ביותר המופיע בשתי השורות הוא ‪ .18‬ולכן נשתמש בו כמכנה משותף‪ .‬נרחיב כל אחד מהשברים‬
‫כדי להגיע למכנה ‪ .18‬את המכנה‪ 9-‬נכפיל ב‪ ,2-‬וכמובן שבהתאמה נרחיב גם את המונה‪:‬‬
‫את המכנה ‪ 6‬נכפיל ב‪:3-‬‬
‫וגם את המונה‪ ,‬בהתאמה‬
‫‪9‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫קיבלנו תרגיל חדש שנראה ככה‪:‬‬
‫חשוב לזכור‪ ,‬בסוף כל תרגיל שברים יש לצמצם את התוצאה לשבר המצומצם ביותר האפשרי‪:‬‬
‫דרך שלישית למציאת מכנה משותף היא ע"י הכפלת המכנים זה בזה ושימוש במכפלתם כמכנה משותף‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫דרך לפתרון‬
‫נכפיל את המכנים זה בזה‪:‬‬
‫‪5 × 7 = 35‬‬
‫נשתמש ב‪ 35-‬כמכנה משותף‪ ,‬נרחיב כל אחד מהשברים ע"י הכפלת המונה והמכנה במכנה של השבר השני‪,‬‬
‫ניתן לכתוב זאת גם כך‪:‬‬
‫‪3×7 2×5‬‬
‫‪−‬‬
‫?=‬
‫‪5×7 7×5‬‬
‫אחרי ההכפלה קיבלנו את התרגיל הבא‪:‬‬
‫‪3 2 21 10‬‬
‫= ‪−‬‬
‫–‬
‫?=‬
‫‪5 7 35 35‬‬
‫נפתור‪:‬‬
‫‪21 − 10‬‬
‫‪11‬‬
‫=‬
‫‪35‬‬
‫‪35‬‬
‫‪10‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫מושג מספר ‪ – 8‬חיסור עם שבר מעורב‬
‫בתרגילי חיסור בהם יש לנו שבר מעורב‪ ,‬שבו החלק של השבר אינו מספיק לבדו כדי לחסר ממנו‪ ,‬ניתן לפרוט‬
‫את אחד השלמים לשבר ולהחסיר ממנו‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫דרך לפתרון‬
‫ה‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫אינו מספיק לנו כדי להחסיר ממנו‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫לכן יש לפרוט את אחד השלמים ל‪ . -‬כך שנקבל‪:‬‬
‫‪4 1 3‬‬
‫‪5 3‬‬
‫? ‪7+ + − =7+ −‬‬
‫‪4 4 4‬‬
‫‪4 4‬‬
‫עכשיו ניתן לפתור‪:‬‬
‫‪4+1−3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= 7 =7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪11‬‬
‫‪7+‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫מושג מספר ‪ – 9‬כפל שברים‬
‫בתרגילי חיסור בהם יש לנו שבר מעורב‪ ,‬שבו החלק של השבר אינו מספיק לבדו כדי לחסר ממנו‪ ,‬ניתן לפרוט‬
‫את אחד השלמים לשבר ולהחסיר ממנו‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫בתרגילי כפל של שבר בשבר או שבר בשלם‪ ,‬אין צורך למצוא מכנה משותף אלא פשוט כופלים את המונה במונה‬
‫ואת המכנה במכנה‪.‬‬
‫דרך לפתרון‬
‫נכפול מונה במונה ומכנה במכנה‪:‬‬
‫‪2×7‬‬
‫‪14‬‬
‫=‬
‫‪5×8‬‬
‫‪40‬‬
‫נצמצם את התוצאה ע"י חלוקה של המונה והמכנה ב‪2-‬‬
‫כאשר כופלים שלם בשבר‪ ,‬ניתן להתייחס לשלם כשבר בעל מכנה ‪ .1‬או בקיצור‪ ,‬לכפול אותו ישירות במונה‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫‪4‬‬
‫?=‬
‫‪9‬‬
‫× ‪3‬‬
‫דרך לפתרון‬
‫נכפול ישירות את השלם במונה‪:‬‬
‫‪4 3 4 3 ×4‬‬
‫‪12‬‬
‫= × =‬
‫=‬
‫‪9 1 9 1 × 9‬‬
‫‪9‬‬
‫× ‪3‬‬
‫נמיר את השבר המדומה למספר מעורב‪ ,‬כפי שהדגמנו קודם‪ ,‬ונצמצם את התוצאה‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=1 =1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪13‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫מושג מספר ‪ –10‬חוק הפילוג‬
‫בתרגילי כפל של שבר במספר מעורב‪ ,‬ניתן להשתמש בחוק הפילוג כדי להקל על הפתרון‪.‬‬
‫חוק הפילוג קובע שכאשר יש חיבור או חיסור של שני מספרים שאחר כך מוכפלים במספר אחר‪ ,‬ניתן להכפיל‬
‫כל אחד מהם בנפרד ולחבר את התוצאות‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫‪2‬‬
‫?=‪×4‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫דרך לפתרון‬
‫נתייחס למספר המעורב כסכום של שני מספרים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫? = ‪(3 + ) × 4‬‬
‫‪9‬‬
‫עכשיו נשתמש בחוק הפילוג‪ ,‬נכפול את ה‪ 4-‬תחילה בשלם ואחר כך בשבר‪ ,‬ולבסוף נחבר בין שתי התוצאות‪:‬‬
‫‪14‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫מושג מספר ‪ – 11‬חלוקת שברים‬
‫כאשר יש תרגיל חילוק של שבר בשבר‪ ,‬ניתן במקומו לכפול בשבר ההופכי (השבר שבו המונה והמכנה הם‬
‫בדיוק הפוכים)‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫‪2 4‬‬
‫?= ∶‬
‫‪10 5‬‬
‫דרך לפתרון‬
‫נרשום את התרגיל אחרת‪ ,‬ע"י הכפלה בשבר ההופכי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫?= ×‬
‫‪10‬‬
‫‪4‬‬
‫נפתור כתרגיל כפל בשברים‪( ,‬שימו לב שניתן בשלב זה לצמצם את המספרים שבמונה עם המספרים שבמכנה‪ ,‬כדי‬
‫להקל על החישוב אבל לא חייבים)‪:‬‬
‫‪2 ×5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪10 × 4‬‬
‫‪40‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2 ×5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪10 × 4‬‬
‫‪10 × 4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪15‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il|[email protected]|03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחנים לקבלה לבתי ספר‪.‬‬