Oppsummeringsforelesning

Tekno-/Realstart høsten 2011
MTFYMA, BFY, LUR
Oppsummering
Fysikkprosjekt
m?

F?

F
m

v

p

a

a?

v?

p?
Lineær bevegelse
Rotasjonsbevegelse
Navn:
Symbol:
distanse
x
masse
m
hastighet
v = dx/dt
akselerasjon
a = dv/dt
kraft
F
bevegelsesmengde,
impuls
p=mv
Newtons 2. lov
Kinetisk energi
F  ma 
dp
dt
1
E k  mv 2
2
Navn:
Symbol:
s

r
Posisjon x
s

r
s

v
r
Posisjon x
dx
v
dt

d d (s / r ) v


dt
dt
r
Vinkelhastighet
s

r
s

v
r
a
Posisjon x
dv
a
dt

d d (v / r ) aT


dt
dt
r
Vinkelakselerasjon
s

r
Lineær bevegelse
Rotasjonsbevegelse
Navn:
Symbol:
Navn:
Symbol:
distanse
x
vinkel

masse
m
hastighet
v = dx/dt
vinkelhastighet

akselerasjon
a = dv/dt
vinkelakselerasjon

kraft
F
bevegelsesmengde
p=mv
Newtons 2. lov
Kinetisk energi
F  ma 
dp
dt
1
E k  mv 2
2


v
r
1
E k  mv 2
2
Kinetisk energi
1
1
1
 2r 
  m v 2   m
 
2
2
2
 T 
2
E rot
Erot


 2 
 m r   T 
1 2
 I
2
Rotasjonsenergi
2
2
Lineær bevegelse
Rotasjonsbevegelse
Navn:
Symbol:
Navn:
Symbol:
distanse
x
vinkel

masse
m
treghetsmoment
hastighet
v = dx/dt
vinkelhastighet

akselerasjon
a = dv/dt
vinkelakselerasjon

kraft
F
bevegelsesmengde
p=mv
Newtons 2. lov
Kinetisk energi
F  ma 
I   m  r 2
dp
dt
1
E k  mv 2
2
Rotasjonsenergi
E rot 
1 2
I
2
   
L  r  p  I
Egentlig vektorstørrelser:


 dp
F  ma 
dt


 
dL
  r F 
dt


v
r
F
p  mv
Bevegelsesmengde
(massefart, driv, impuls…)
F  ma 
dp
dt
b
F
L  I
Dreieimpuls, spinn
bevegelsemengdemoment
  kraft  arm  F  b  I 
dL
dt
Dreiemoment, kraftmoment
Lineær bevegelse
Rotasjonsbevegelse
Navn:
Symbol:
Navn:
Symbol:
distanse
x
vinkel

masse
m
treghetsmoment
I   m  r 2
hastighet
v = dx/dt
vinkelhastighet

akselerasjon
a = dv/dt
vinkelakselerasjon

kraft
F
dreiemoment
  Fb
bevegelsesmengde
p=mv
spinn
Newtons 2. lov
Kinetisk energi
F  ma 
dp
dt
1
E k  mv 2
2
L  I
Newtons 2. lov
  I 
Rotasjonsenergi
E rot 
dL
dt
1 2
I
2
Treghetsmoment I   m  r
2
Treghetsmomentet er en viktig størrelse i rotasjon.
Angir et legemes motstand mot endring av
rotasjonshastighet.
Avhenger ikke bare av massen, men også
avstanden fra rotasjonsaksen!!!
Analyse av treghetsmomentet
Måling med ulike antall lodd
Treghetsmoment sfa. masse
0,14
0,12
y = 0,0189x + 0,0499
I [kg m^2
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
m [kg]
Lineær sammenheng mellom I og m:
I ( m, r )  I 0  m  f ( r )
I0: Treghetsmomentet til den tomme karusellen, skjæringspunkt med y-aksen.
Måling med lodd ved ulike r
Treghetsmoment sfa. radius
0,16
0,14
0,12
I [kg m^2
0,1
y = 0,96x2 + 0,0529
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
0,05
0,1
0,15
0,2
r [m]
Kvadratisk sammenheng mellom I og r:
Mulige fremgangsmåter:
• Regresjon, kun r2- og
konstantledd.
• Kan plotte sfa. r2 og
gjøre lineær regresjon.
0,25
0,3
• Mer
generell
løsning:0,35
Se neste slide!
I(m, r )  I 0  mr 2
Koeffisienten foran r2-leddet skal altså være den totale massen til loddene.
Plotting av data
Hvordan undersøke om data følger
en potenslov?
y(x)=axb
Og hvordan bestemme a og b?
700000
600000
500000
400000
300000
200000
100000
0
0
20
30
40
50
7
Plotte lg y sfa. lg x !
y = 3x + 0,699
6
5
lg y  lg(ax )  b lg x  lg a
lg y
b
b=3
lg a = 0,699  a = 5
10
4
3
2
1
0
0
0,5
1
lg x
1,5
2
Plotting av data
180
Helt tilsvarende for en
eksponentialfunksjon: y(x)=aex
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
Plotte ln y sfa. x !
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
6
y = x + 1,6094
5
ln y  ln(ae x )  x  ln a
ln y
ln a = 1,6094  a = 5
4
3
2
1
0
0
1
2
x
3
4
Våre data i loglog-plot
Treghetsmoment sfa. radius - loglog-plot
2
1,8
1,6
y = 2,0402x - 0,0084
1,4
lg (I-I0
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
lg r
0,8
0,85
0,9
0,95
Beregning av I
Sammenligning av metoder når
r0 = 10 cm = 0,1 m
l = 17 mm = 0,017 m
1. All masse samlet midt på
I  8m  rm
2
5.2 % for liten verdi
 8  0,5  (0,168) 2 kg m 2  0,1129 kg m 2
2. 8 lodd etterhverandre
0.08 % for liten verdi
I  mr1  mr2    mr8  0,1190 kg m 2
2
2
2
I = Σ ri2 mi → ∫ r2 dm
3. Kontinuerlig massefordeling
rN
rN
8m
m 1 3 
I   r dm   r
dr   r   0,1191 kg m 2
8l
l  3  r0
r0
2
2
Ikke helt korrekt denne heller!
Treghetsmoment (om en gitt akse):
I = Σ ri2 mi → ∫ r2 dm
•
•
•
•
•
•
Ring om sentrum: I = M R2
Ring om diameter: I = ½ M R2
Sylinder eller skive om sentrum: I = ½ M R2
Kule om diameter: I = (2/5) M R2
Lang, tynn stav om midtpunkt: I = (1/12) M L2
Sylinder om midtpunkt (diameter):
I = ¼ M R2 + (1/12) M L2
• Om annen parallell akse i avstand RT: I = IT + M RT2
(Steiners sats)
Bevarelseslover
Bevarelseslover, altså størrelser som er konstante, er
svært viktig i fysikken.
”Alt” i mekanisk fysikk kan sammenfattes i 3 bevarelseslover:
• Bevaring av energi
• Bevaring av (lineær) impuls
• Bevaring av dreieimpuls
Bevarelseslover
Noen viktige beverelseslover i andre deler av fysikken:
•
•
•
•
•
Bevaring av elektrisk ladning
Bevaring av masse-energi (E=mc2)
Bevaring av ”fargeladning” (partikkelfysikk)
Bevaring av sannsynlighetstetthet (kvantemekanikk)
…
Energien E=1/2Iω2 er ikke konstant!
Dreieimpulsen L=Iω er konstant
Hva har vi gjort i fysikkprosjektet?
• Eksperimentert med rotasjon
• Skrevet rapport
• Blitt kjent med LaTeX
Lykke til med studiet!
Men ikke gå ennå! Vi skal ha evaluering!
Husk første forelesning i Mekanisk fysikk
mandag kl. 12:15 i R2