Lektion 6 Grafteori (pdf)

Matematik 5
Grafteori
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Centralt innehåll
Dagens lektion behandlar följande moment
i det centrala innehållet:
• Begreppet graf, olika typer av grafer och
dess egenskaper samt några kända
grafteoretiska problem.
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Grundläggande begrepp i grafteorin
Graf: Ett antal prickar förbundna med streck.
Detta för att göra en modell över hur
personer, moment eller saker förhåller
sig till varandra.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Grundläggande begrepp i grafteorin
Nod (hörn): En knutpunkt
Kant (båge):
Förbindelsen mellan två
noder
Grannar: Två noder som
har en kant mellan sig .
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Grundläggande begrepp i grafteorin
En vandring: hur man
går i grafen från nod till
nod via kanterna.
e
Vi betecknar det som:
a-b-c-d
d
En väg: är en vandring
där man bara passerar en
kant en gång.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
b
a
c
Grundläggande begrepp i grafteorin
En stig: är en väg där
man bara passerar en
nod en gång.
En krets: är en väg som
är sluten, dvs börjar och
slutar i samma nod.
e
d
c
e
b
a
a
d
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
b
c
Grundläggande begrepp i grafteorin
En cykel: är en sluten
stig.
En nods grad: är antalet
kanter som går ut ifrån
noden.
e
a
c
e
b
a
d
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
b
c
Grundläggande begrepp (övning)
a) Hur många hörn
respektive kanter har
grafen?
b) Hur många grader
har hörn D och B?
c) Hur många kretsar
kan du bilda?
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Grundläggande begrepp (övning)
• Rita en graf med 4 hörn och därefter så
många kanter som möjligt.
• Gör sedan samma sak med 5 och 6 hörn.
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Hamiltonstig och -cykel
Hamiltonstig. En stig
som besöker varje hörn i
grafen exakt en gång.
Hamiltoncykel: en sluten
hamiltonstig.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Eulerväg och -krets
Eulerväg. En väg som
går via varje kant i grafen
exakt en gång.
Eulerkrets: en sluten
Eulerväg.
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Grundläggande begrepp (övning)
Finn en Hamiltoncykel i grafen.
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Grundläggande begrepp (övning)
Finn en Eulerkrets i Grafen.
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Modellering
Figur
Upptäcka mönster
Hörn
Kant
Nod
med
udda
grad
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Nod Euler Euler
med väg
krets
jämn
grad
Königsbergs sju broar
I Königsberg finns två öar i staden. Till öarna
finns sju broar. Invånarna roade sig med att
under sina söndagspromenader försöka gå
över varje bro exakt en gång.
Skulle det gå?
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Fyrfärgsproblemet
Tänk dig att du har en karta med områden ex
länder, kommuner. Antag att du vill färglägga
kartan så att två områden som gränsar till
varandra alltid har olika färg. Hur många
färger behövs det för att klara alla kartor?
Detta problem formulerades i slutet
av1800-talet och först 1976 bevisades det
att med hjälp av datorer att det räcker med
fyra färger.
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Handelsresandes problem
En handelsresande ska besöka ett vist antal
städer. I vilken ordning ska städerna besökas
för att få så kort resväg som möjligt.
18 km
32 km
21 km
19 km
25 km
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Uppspännande träd (och Kruskals algoritm)
Om du ska bygga elledning mellan
städerna A,B,C, D och E så vill du ha så
låg kostnad som möjligt. I grafen finns det
tal som anger kostnaden av att bygga
ledning mellan de olika städerna. Hur ska
vi dra ledningarna?
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Uppspännande träd
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Tidsplanering
En ruta=
en
§
vecka
G:2
D
A
C
E
I
B
G
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
F
H