דיאגרמות בלוקים, מידול, אותות ומערכות בזמן ובתדר

Comments

Transcription

דיאגרמות בלוקים, מידול, אותות ומערכות בזמן ובתדר
‫הטכניון—מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION—Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫מבוא לבקרה )‪(034040‬‬
‫דוגמאות בחינות סופיות‬
‫‪ 19‬באוקטובר ‪2014‬‬
‫כ״ה בתשרי‪ ,‬תשע״ה‬
‫חלק ‪I‬‬
‫דיאגרמות בלוקים‪ ,‬מידול‪ ,‬אותות ומערכות בזמן ובתדר‬
‫‪u‬‬
‫‪−‬‬
‫‪G1‬‬
‫‪Va‬‬
‫‪y‬‬
‫‪G2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪La s + Ra‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪Km‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪G3‬‬
‫‪Load‬‬
‫‪yload‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪Kb‬‬
‫‪v‬‬
‫)א( דיאגרמת בלוקים‬
‫)ב( מנוע זרם ישר‬
‫איור ‪:1‬‬
‫שאלה מס׳ ‪1‬‬
‫מצאו את פונקציית התמסורת ‪ Gyu‬הקושרת בין ‪ u‬לבין ‪ y‬כמתואר באיור ‪)1‬א(‪.‬‬
‫= ‪Gyu‬‬
‫שאלה מס׳ ‪2‬‬
‫מצאו את פונקציית התמסורת ‪ Gyv‬הקושרת בין ‪ v‬לבין ‪ y‬כמתואר באיור ‪)1‬א(‪.‬‬
‫= ‪Gyv‬‬
‫שאלה מס׳ ‪3‬‬
‫באיור ‪)1‬ב( מוצגת דיאגרמת בלוקים המתארת מנוע זרם ישר המחובר לעומס‪ .‬מהי המשמעות הפיסיקלית של האותות הבאים‪:‬‬
‫‪ x1‬הוא‬
‫‪ x2‬הוא‬
‫‪ x3‬הוא‬
‫‪ x4‬הוא‬
‫שאלה מס׳ ‪4‬‬
‫מהו הקשר בין הזרם בעוגן ‪ Ia‬לבין המומנט ‪ Tm‬המיוצר ע״י מנוע ‪? DC‬‬
‫)‪Ia (s‬‬
‫= )‪ ,Tm (s‬כאשר‬
‫שאלה מס׳ ‪5‬‬
‫מהו הקשר בין מהירות הרוטור‪ ,ωm ,‬לבין הכח האלקטרומניע הנגדי ‪ Vb‬במנוע ‪? DC‬‬
‫)‪ωm (s‬‬
‫= )‪ ,Vb (s‬כאשר‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−5‬‬
‫‪−5‬‬
‫‪−5‬‬
‫‪−30‬‬
‫‪−30‬‬
‫‪−30‬‬
‫‪−60 −1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫)א( ‪G1‬‬
‫‪−60 −1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫)ב( ‪G2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫)ג( ‪G3‬‬
‫‪1.16‬‬
‫‪1.08‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.16‬‬
‫‪1.08‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.16‬‬
‫‪1.08‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.19‬‬
‫‪0.19‬‬
‫‪0.19‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.5‬‬
‫)ד( ‪P1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫)ה( ‪P2‬‬
‫איור ‪:2‬‬
‫שאלה מס׳ ‪6‬‬
‫נתונה תגובת המדרגה באיור ‪)2‬ד(‪ .‬מהן תגובות היתר ‪ OS‬והחסר ‪? US‬‬
‫= ‪ OS‬ו־‬
‫‪1‬‬
‫‪−60 −1‬‬
‫‪10‬‬
‫= ‪US‬‬
‫שאלה מס׳ ‪7‬‬
‫נתונה תגובת המדרגה באיור ‪)2‬ד(‪ .‬מהו זמן הרגיעה עבור רמת הרגיעה ‪? δ = 8%‬‬
‫≈ ‪ts‬‬
‫שאלה מס׳ ‪8‬‬
‫נתונה תגובת התדירות באיור ‪)2‬א(‪ .‬מהו )בקירוב( תדר התהודה ?‬
‫≈ ‪ωr‬‬
‫שאלה מס׳ ‪9‬‬
‫נתונה תגובת התדירות באיור ‪)2‬ב(‪ .‬מהו )בקירוב( רוחב הסרט של המערכת ?‬
‫≈ ‪ωb‬‬
‫שאלה מס׳ ‪10‬‬
‫התאימו בין תגובות התדירות באיורים ‪)2‬א(–‪)2‬ג( לבין תגובות המדרגה באיורים ‪)2‬ד(–‪)2‬ו(‪.‬‬
‫‪ G1 = P‬מכיוון‬
‫‪ G2 = P‬מכיוון‬
‫‪ G3 = P‬מכיוון‬
‫‪2‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1‬‬
‫)ו( ‪P3‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−6‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪−8‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−2‬‬
‫)א( ‪G1‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪−6‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪−8‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−2‬‬
‫)ב( ‪G2‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪−6‬‬
‫)ג( ‪G3‬‬
‫‪2.544‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2.462‬‬
‫‪2.208‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−0.572‬‬
‫‪0‬‬
‫)ד( ‪P1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫)ה( ‪P2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫)ו( ‪P3‬‬
‫איור ‪:3‬‬
‫שאלה מס׳ ‪11‬‬
‫מהי תגובת היתר בתגובה המוצגת באיור ‪)3‬ד( ?‬
‫≈ ‪OS‬‬
‫שאלה מס׳ ‪12‬‬
‫למי מהמערכות המוצגות באיורים ‪)3‬א(–‪)3‬ב( יש את הקטבים בעלי מנת הריסון‪ ,ζ ,‬הקטנה ביותר?‬
‫‪ ,G‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪13‬‬
‫נתונות מפות קטבים־אפסים המופיעות באיורים ‪)3‬א(–‪)3‬ג(‪ .‬התאימו את המפות לתגובות המדרגה המופיעות באיורים ‪)3‬ד(–‪)3‬ו(‪.‬‬
‫‪ G1 = P‬מכיוון‬
‫‪ G2 = P‬מכיוון‬
‫‪ G3 = P‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪14‬‬
‫נתונה המערכת‬
‫‪9‬‬
‫‪s2 +3s+9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ , 0.06s+1‬על תגובת היתר‪.‬‬
‫= )‪ .P(s‬הסבירו מה תהיה השפעת הוספת קוטב נוסף למערכת‪,‬‬
‫שאלה מס׳ ‪15‬‬
‫נתונה המערכת‬
‫‪4‬‬
‫‪s2 +3s+4‬‬
‫‪−8‬‬
‫= )‪ ,P(s‬הסבירו מה תהיה השפעת הוספת האפס‪ ,(s − 3) ,‬על תגובת היתר של המערכת‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫שאלה מס׳ ‪16‬‬
‫יהיו )‪ y1 (t‬ו־)‪ y2 (t‬תגובות המדרגה של‬
‫‪s+1‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪ (s+π)(s2 +s+1‬ו־ ‪s2 +s+1‬‬
‫בהתאמה‪ .‬למי מהן זמן עליה קצר יותר ?‬
‫ל־ ‪ ,y‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪17‬‬
‫‪2‬‬
‫‪? 3s+2‬‬
‫מהו רוחב הסרט של המערכת‬
‫= ‪ ,ωb‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪18‬‬
‫מהו רוחב הסרט של המערכת ‪? s2 +√s2s+1‬‬
‫= ‪ ,ωb‬מכיוון‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−6‬‬
‫)‪u(t‬‬
‫)‪y(t‬‬
‫‪3.5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0.5‬‬
‫)‪Magnitude (dB‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−20‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3.5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−40‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫)א( אותות לשאלה מס׳ ‪19‬‬
‫‪10‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪10‬‬
‫)ב( ספקטרום לשאלות מס׳ ‪ 20‬ו־‪21‬‬
‫איור ‪:4‬‬
‫שאלה מס׳ ‪19‬‬
‫בציור מס׳ ‪)4‬א( נתונים אותות כניסה ויציאה ממסנן ‪ F‬שמסומנים ב־‪ u‬ו־‪ y‬בהתאמה‪ .‬מהי דיאגרמת הבודה )הגבר בלבד( המתאימה‬
‫ל־‪? F‬‬
‫‪3‬‬
‫א(‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪Frequency, ω‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪−20‬‬
‫‪−20‬‬
‫‪−20‬‬
‫‪−30 −1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫ב(‬
‫‪10‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪Frequency, ω‬‬
‫‪−30 −3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫ג(‬
‫‪10‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪Frequency, ω‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪−20‬‬
‫‪−30 −3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫ד(‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪Frequency, ω‬‬
‫‪−30 −1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪20‬‬
‫‪ ω = 2[ rad‬בלפחות ‪.70%‬‬
‫באיור ‪)4‬ב( נתון ספקטרום של אות מסויים‪ .‬הציעו מסנן שינחית את כל התדרים מעל ] ‪sec‬‬
‫שאלה מס׳ ‪21‬‬
‫באיור ‪)4‬ב( נתון ספקטרום של אות מסויים‪ .‬הציעו מסנן כך שבמידה ואות זה יסונן דרכו‪ ,‬הספקטרום של אות היציאה לא יעלה על‬
‫‪ω = 0.1[ rad‬‬
‫]‪ −20[dB‬בתדירויות מעל ] ‪sec‬‬
‫‪4‬‬
‫‪Im‬‬
‫‪Im‬‬
‫‪Im‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪Re‬‬
‫)‪P3 (jω‬‬
‫)‪P2 (jω‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪Re‬‬
‫)‪P1 (jω‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪Re‬‬
‫)א( )‪P1 (s‬‬
‫)ג( )‪P3 (s‬‬
‫)ב( )‪P2 (s‬‬
‫איור ‪ :5‬תיאורים פולרים לשאלה מס׳ ‪22‬‬
‫שאלה מס׳ ‪22‬‬
‫נתונים שלושה עקומים פולאריים באיור ‪ 5‬ונתונות שלוש מערכות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪s2‬‬
‫= )‪, G1 (s‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪+ 1‬‬
‫‪s2 (s‬‬
‫= )‪G2 (s‬‬
‫‪s+1‬‬
‫ו־‬
‫‪s2‬‬
‫= )‪.G3 (s‬‬
‫התאימו לכל מערכת את העקום הפולארי שלה‪.‬‬
‫‪ G1 = P‬מכיוון‬
‫‪ G2 = P‬מכיוון‬
‫‪ G3 = P‬מכיוון‬
‫‪Im‬‬
‫‪Im‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Im‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Re‬‬
‫‪Re‬‬
‫)‪P1 (jω‬‬
‫‪Re‬‬
‫)‪P3 (jω‬‬
‫)‪P2 (jω‬‬
‫)א( )‪P1 (s‬‬
‫)ג( )‪P3 (s‬‬
‫)ב( )‪P2 (s‬‬
‫איור ‪ :6‬תיאורים פולרים לשאלה מס׳ ‪23‬‬
‫שאלה מס׳ ‪23‬‬
‫נתונות פונקציות תמסורת של שלושה תהליכים‪:‬‬
‫)‪6(s + 1‬‬
‫)‪(s + 2)(s + 3‬‬
‫= )‪, G1 (s‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪8(s + 1‬‬
‫= )‪ G2 (s‬ו־‬
‫‪(s + 2)3‬‬
‫‪(s + 1)3‬‬
‫התאימו לתהליכים אלו את העקומים הפולרים המופיעים באיור ‪.6‬‬
‫‪ G1 = P‬מכיוון‬
‫‪ G2 = P‬מכיוון‬
‫‪ G3 = P‬מכיוון‬
‫‪5‬‬
‫= )‪.G3 (s‬‬
‫חלק ‪II‬‬
‫בקרה בחוג פתוח‬
‫שאלה מס׳ ‪24‬‬
‫נתונה מערכת בקרה בחוג פתוח עם תהליך )‪ P(s‬ובקר שתוכנן בשיטת היפוך התהליך )‪ .C(s) = P−1 (s‬בהנחה שאות הרפרנס הוא‬
‫מדרגה )‪ r(t) = 1(t‬וההפרעה היא אות חסום כלשהו‪ ,‬קיבעו האם המערכות הבאות קבילות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪s+1‬‬
‫= )‪ :P(s‬כן‪/‬לא מכיוון‬
‫‪s−2‬‬
‫‪s+1‬‬
‫= )‪ :P(s‬כן‪/‬לא מכיוון‬
‫‪s+2‬‬
‫‪s−1‬‬
‫= )‪ :P(s‬כן‪/‬לא מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪25‬‬
‫חזרו על שאלה ‪ 24‬עבור הדרישה שתגובת המערכת תתנהג בדומה למערכת מסדר ראשון‬
‫‪1‬‬
‫‪s+1‬‬
‫= )‪ :P(s‬כן‪/‬לא מכיוון‬
‫‪s−2‬‬
‫‪s+1‬‬
‫= )‪ :P(s‬כן‪/‬לא מכיוון‬
‫‪s+2‬‬
‫‪s−1‬‬
‫= )‪ :P(s‬כן‪/‬לא מכיוון‬
‫‪1‬‬
‫‪10s+1‬‬
‫= )‪:Tr (s‬‬
‫שאלה מס׳ ‪26‬‬
‫‪2s−3‬‬
‫‪s2 +2s+6‬‬
‫נאמר וברצוננו לבקר בחוג פתוח את המערכת‬
‫אם כן‪ ,‬מהם האילוצים הנדרשים על מודל הייחוס ?‬
‫= )‪ P(s‬באמצעות היפוך התהליך עם מודל הייחוס‪ .‬האם ניתן לבצע זאת ?‬
‫שאלה מס׳ ‪27‬‬
‫‪5s−1‬‬
‫‪s2 +5s−7‬‬
‫נאמר וברצוננו לבקר בחוג פתוח את המערכת‬
‫אם כן‪ ,‬מהם האילוצים הנדרשים על מודל הייחוס ?‬
‫= )‪ P(s‬באמצעות היפוך התהליך עם מודל הייחוס‪ .‬האם ניתן לבצע זאת ?‬
‫שאלה מס׳ ‪28‬‬
‫נתונה מערכת בקרה בחוג הפתוח כאשר התהליך הוא‬
‫|)‪ ess = limt→∞ |r(t) − y(t‬עבור )‪? r(t) = t · 1(t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪s+0.1‬‬
‫= )‪ P(s‬והבקר נתון על ידי‬
‫‪10s+1‬‬
‫‪s+1‬‬
‫= )‪ .C(s‬מהי שגיאת המצב המתמיד‬
‫= ‪ ,ess‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪29‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון התהליך‬
‫‪ P(s) = 2s+1‬הניחו כי ניתן למדוד את אות הייחוס )‪ r(t‬ואת הנגזרת שלו בזמן )‪ .˙r(t‬מהו חוק הבקרה בחוג פתוח‬
‫המבטיח כי )‪ y(t) ≡ r(t‬עבור כל )‪? r(t‬‬
‫= )‪u(t‬‬
‫שאלה מס׳ ‪30‬‬
‫התהליך‬
‫‪1‬‬
‫‪s2 −s+3‬‬
‫= )‪ P(s‬מבוקר בחוג הפתוח באמצעות הבקר‬
‫‪3‬‬
‫‪s+1‬‬
‫= ‪ ,ess‬מכיוון‬
‫‪6‬‬
‫= )‪ .C(s‬מהי שגיאת המצב המתמיד ‪ ess‬עבור )‪? r(t) = 2 · 1(t‬‬
‫חלק ‪III‬‬
‫בקרה בחוג סגור‬
‫‪d‬‬
‫‪e‬‬
‫‪r‬‬
‫‪−‬‬
‫‪u‬‬
‫)‪C(s‬‬
‫)‪P(s‬‬
‫‪y‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ym‬‬
‫איור ‪ :7‬דיאגרמת בלוקים של מערכת משוב יחידה‬
‫שאלה מס׳ ‪31‬‬
‫מהי פונקציית התמסורת בין ‪ r‬ל־‪ e‬בדיאגרמת משוב היחידה המתוארת באיור ‪? 7‬‬
‫)‪e(s‬‬
‫=‬
‫)‪r(s‬‬
‫והיא נקראת‬
‫שאלה מס׳ ‪32‬‬
‫מהי פונקצית הרגישות המשלימה עבור מערכת בקרה באיור ‪ ? 7‬תנו ‪ 2‬דוגמאות לאותות ביניהם היא מקשרת‪.‬‬
‫= )‪ ,T (s‬מקשרת בין‬
‫לבין‬
‫לבין‬
‫ובין‬
‫שאלה מס׳ ‪33‬‬
‫הגדירו יציבות ‪ BIBO‬של מערכת ליניארית ‪) G‬לא את הקריטריון‪ ,‬פשוט את ההגדרה(‪.‬‬
‫‪ G‬יציבה ‪ BIBO‬אם‬
‫שאלה מס׳ ‪34‬‬
‫האם המערכת המתוארת באיור ‪ 7‬יציבה בחוג הסגור עבור‬
‫‪1‬‬
‫‪s−2‬‬
‫= )‪P(s‬‬
‫‪2s+1‬‬
‫ו־ ‪s‬‬
‫= )‪? C(s‬‬
‫כן‪/‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪35‬‬
‫האם המערכת המתוארת באיור ‪ 7‬יציבה בחוג הסגור עבור‬
‫‪0.5s−1‬‬
‫)‪(s+2)(s2 +2s+1‬‬
‫= )‪P(s‬‬
‫כן‪/‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪36‬‬
‫מהי שגיאת המצב המתמיד עבור )‪ r(t) = 1(t‬כאשר‬
‫‪1‬‬
‫)‪s(s+1‬‬
‫= )‪ P(s‬ו־‪? C(s) = 10‬‬
‫= ‪ ess‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪37‬‬
‫מהי שגיאת המצב המתמיד עבור )‪ d(t) = 1(t‬כאשר‬
‫‪1‬‬
‫)‪s(s+1‬‬
‫= )‪ P(s‬ו־ ‪? C(s) = 1s‬‬
‫= ‪ ess‬מכיוון‬
‫‪7‬‬
‫)‪(s+2)(s+1‬‬
‫ו־ )‪(s−2)(s+5‬‬
‫= )‪? C(s‬‬
‫שאלה מס׳ ‪38‬‬
‫‪d‬‬
‫‪r‬‬
‫מהו הפולינום האופייני של המערכת הבאה‪:‬‬
‫‪e‬‬
‫‪−‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪s‬‬
‫‪u‬‬
‫‪2 1+‬‬
‫‪s+1‬‬
‫)‪s(s+2)(s−3‬‬
‫‪y‬‬
‫?‬
‫‪s+2‬‬
‫‪s+8‬‬
‫‪ym‬‬
‫‪n‬‬
‫= )‪χcl (s‬‬
‫שאלה מס׳ ‪39‬‬
‫‪d‬‬
‫‪e‬‬
‫‪r‬‬
‫‪−‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪s‬‬
‫‪u‬‬
‫‪2 1−‬‬
‫‪s+1‬‬
‫)‪s(s+2)(s−3‬‬
‫מהו הפולינום האופייני של המערכת הבאה‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4s+8‬‬
‫‪s+8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪s+1‬‬
‫‪ym‬‬
‫?‬
‫‪n‬‬
‫= )‪χcl (s‬‬
‫‪8‬‬
‫חלק ‪IV‬‬
‫מג״ש‬
‫שאלה מס׳ ‪40‬‬
‫באיור ‪7‬‬
‫ב‬
‫‪1‬‬
‫)‪(s−1)(s+2‬‬
‫= )‪ P(s‬ו־‪ .C(s) = k‬היכן המג״ש עבור ‪ k‬חיובי חוצה את הציר המדומה ?‬
‫= ‪ s‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪41‬‬
‫√‬
‫‪s2 + 2s + 1‬‬
‫‪? Gk (s) = 3‬‬
‫היכן מסתיימים ענפי המג״ש של המערכת‬
‫) ‪s (s + a1 )(s + a2‬‬
‫שאלה מס׳ ‪42‬‬
‫‪3s2 + 3s + 1‬‬
‫היכן מסתיימים ענפי המג״ש של המערכת‬
‫‪s3‬‬
‫‪? Gk (s) = 1 +‬‬
‫שאלה מס׳ ‪43‬‬
‫איזה מבין הגרפים הבאים לא יכול להיות מג׳׳ש ביחס להגבר בקר חיובי של מערכת מהצורה‬
‫ב(‬
‫א(‬
‫ג(‬
‫‪1‬‬
‫‪(s+1)n‬‬
‫עבור ‪ n‬שלם וחיובי כלשהוא ?‬
‫ד(‬
‫‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪44‬‬
‫למערכת מסוימת ‪ 4‬קטבים בראשית ו־‪ 2‬קטבים ב־‪ .−1‬איזה מהציורים הבאים הוא המג״ש של המערכת ?‬
‫ב(‬
‫א(‬
‫ג(‬
‫ד(‬
‫‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪45‬‬
‫באיור ‪)8‬א( מופיע המג״ש של מערכת מסויימת‪ .‬האם ניתן לייצב מערכת זו באמצעות בקר הגבר חיובי ?‬
‫כן‪/‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−5‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫)ב( מג״ש לשאלה מס׳ ‪46‬‬
‫)א( מג״ש לשאלה מס׳ ‪45‬‬
‫‪−3‬‬
‫)ג( מג״ש לשאלה מס׳ ‪47‬‬
‫איור ‪ :8‬מג״שים‬
‫שאלה מס׳ ‪46‬‬
‫כמה קטבים ואפסים סופיים יש למערכת המתוארת במג״ש שבציור ‪)8‬ב( ?‬
‫קטבים ו‬
‫אפסים סופיים‬
‫שאלה מס׳ ‪47‬‬
‫‪? ωn = 3 rad‬‬
‫עברו המערכת מאיור ‪)8‬ג(‪ ,‬האם קיים בקר הגבר עבורו למערכת בחוג הסגור קטבים דומיננטים בעלי תדירות טבעית ‪sec‬‬
‫כן‪/‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪48‬‬
‫האם ניתן לבקר את המערכת‬
‫‪s+10‬‬
‫‪s4 +s3 +s2 +s+1‬‬
‫= )‪ P(s‬באמצעות בקר הגבר גבוה במיוחד ?‬
‫כן‪/‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫‪10‬‬
‫חלק ‪V‬‬
‫שיטות בתחום התדר )עיצוב החוג‪ ,‬קריטריון נייקוויסט וכו׳(‬
‫שאלה מס׳ ‪49‬‬
‫עבור המערכת‬
‫‪1‬‬
‫)‪s(s+1‬‬
‫= )‪ P(s‬באיור ‪ ,7‬האם קיים בקר )‪ C(s‬כך ש־‪ |S(jω)| = 0.1‬ו־‪ |T (jω)| = 0.5‬עבור ‪? ω = π‬‬
‫כן‪/‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪50‬‬
‫כיצד יש לשנות את תגובות התדירות של החוג הפתוח‪ ,L(jω) ,‬על מנת להאיץ את תגובת המעבר של החוג הסגור ?‬
‫שאלה מס׳ ‪51‬‬
‫נתונים מסלול פשוט וסגור ‪ Γs‬במישור המרוכב ופונקציה ראציונלית )‪ f(s‬כך ש־ ‪ Γs‬לא עוברת דרך קטבים ואפסים של )‪ .f(s‬עקרון‬
‫הארגומנט אומר שכאשר ‪ s‬נע על ‪ Γs‬עם כיוון השעון‪) Γf ,‬כלומר‪ ,‬העתקת ‪ Γs‬ע׳׳י )‪ (f(s‬מקיף‬
‫‪Im s‬‬
‫‪Im s‬‬
‫‪Γs‬‬
‫‪Γf‬‬
‫)‪f(s‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪Re s‬‬
‫‪←−−‬‬
‫‪Re s‬‬
‫איור ‪ :9‬העתקת העקום ‪Γs‬‬
‫שאלה מס׳ ‪52‬‬
‫באיור ‪ 9‬מתוארת העתקת העקום ‪ Γs‬על ידי הפונקציה‬
‫)‪s(s+1‬‬
‫)‪Df (s‬‬
‫= )‪ ,f(s‬כאן )‪ Df (s‬הוא פולינום‪ .‬כמה שורשים יש ל־)‪ Df (s‬בתוך ‪? Γs‬‬
‫‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪53‬‬
‫נתון התיאור הפולרי של החוג הפתוח היציב )‪ L(s‬באיור ‪)10‬א(‪ .‬האם המערכת יציבה בחוג הסגור ?‬
‫כן‪/‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪54‬‬
‫נתון התיאור הפולרי של תהליך בעל קוטב לא יציב אחד )‪ .P(s‬המערכת מבוקרת כמתואר באיור ‪ 7‬באמצעות בקר הגבר ‪.C(s) = kp‬‬
‫מהו תחום הגברים עבורם החוג הסגור יציב ?‬
‫∈ ‪kp‬‬
‫‪11‬‬
‫‪Im‬‬
‫‪Im‬‬
‫‪3/2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪Re‬‬
‫‪Im‬‬
‫‪1/3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪Re‬‬
‫)‪P(jω‬‬
‫)‪P(jω‬‬
‫)‪L(jω‬‬
‫)א( תיאור פולרי לשאלה מס׳ ‪53‬‬
‫‪−0.5‬‬
‫‪Re‬‬
‫‪−1‬‬
‫)ג( תיאור פולרי לשאלה מס׳ ‪55‬‬
‫)ב( תיאור פולרי לשאלה מס׳ ‪54‬‬
‫איור ‪:10‬‬
‫שאלה מס׳ ‪55‬‬
‫באיור ‪)10‬ג( נתון התיאור הפולרי של תהליך יציב )‪ P(s‬המבוקר כמתואר באיור ‪ 7‬באמצעות בקר הגבר ‪ .C(s) = kp‬חשבו את שגיאת‬
‫המצב המתמיד ‪ ess‬כפונקציה של ‪ kp > 0‬עבור )‪.r(t) = 1(t‬‬
‫‪0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪Magnitude (dB‬‬
‫‪−20‬‬
‫)‪Magnitude (dB‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪−30‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−180‬‬
‫‪−90‬‬
‫)‪Phase (deg‬‬
‫‪−270‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫)א( דיאגרמת בודה לשאלה מס׳ ‪56‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫)ב( דיאגרמת בודה לשאלה מס׳ ‪57‬‬
‫איור ‪:11‬‬
‫שאלה מס׳ ‪56‬‬
‫‪e−sh‬‬
‫באיור ‪)11‬א( נתון תיאור הבודה של המערכת‬
‫‪s+1‬‬
‫= )‪ P(s‬עבור ‪ h‬כלשהו‪ .‬קבעו מהו הזמן המת במערכת‪.‬‬
‫= ‪ ,h‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪57‬‬
‫מהם עודפי ההגבר והפאזה של המערכת היציבה הנתונה על ידי דיאגרמת הבודה באיור ‪)11‬ב( ?‬
‫≈ ‪ µg‬ו־‬
‫‪−1‬‬
‫‪10‬‬
‫≈ ‪ ,µph‬מכיוון‬
‫‪12‬‬
‫‪−360 −2‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪Phase (deg‬‬
‫‪−360‬‬
‫‪−180‬‬
‫שאלה מס׳ ‪58‬‬
‫‪1‬‬
‫מהם עודפי ההגבר‪ ,‬הפאזה והזמן המת של‬
‫‪s‬‬
‫= ‪ µph‬ו־‬
‫= ‪,µg‬‬
‫= )‪? L(s‬‬
‫= ‪µd‬‬
‫שאלה מס׳ ‪59‬‬
‫‪1‬‬
‫מהו עודף הזמן המת של‬
‫‪(s + 2)2‬‬
‫= )‪? L(s‬‬
‫= ‪ ,µd‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪60‬‬
‫‪2s2 + 2‬‬
‫√‬
‫מהו עודף הזמן המת של‬
‫‪s2 + 2s + 1‬‬
‫= )‪? L(s‬‬
‫= ‪ ,µd‬מכיוון‬
‫‪0‬‬
‫‪60‬‬
‫)‪Magnitude (dB‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪Magnitude (dB‬‬
‫‪30‬‬
‫‪−40‬‬
‫‪−30‬‬
‫‪−180‬‬
‫)‪Phase (deg‬‬
‫‪−90‬‬
‫‪−90‬‬
‫‪−180‬‬
‫‪−270‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪Phase (deg‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−80‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−270‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫)א( דיאגרמת בודה לשאלה מס׳ ‪61‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪10‬‬
‫)ב( דיאגרמת בודה לשאלה מס׳ ‪62‬‬
‫איור ‪:12‬‬
‫שאלה מס׳ ‪61‬‬
‫‪ .ωc = 10[ rad‬לצורך כך ניתן‬
‫נתון תיאור הבודה של תהליך יציב מסויים‪ ,P(s) ,‬באיור ‪)12‬א(‪ .‬דרוש לייצב את החוג הסגור כך ש־] ‪sec‬‬
‫להשתמש בבקר‪:‬‬
‫קידום ‪ /‬פיגור‪ ,‬על מנת‬
‫← שאלה מס׳ ‪62‬‬
‫מהי תדירות מעבר ההגבר המקסימלית שניתן להשיג על ידי בקר יחסי מייצב בלבד‪ ,‬עבור המערכת היציבה המתוארת באיור ‪)12‬ב( ?‬
‫‪[ rad‬‬
‫] ‪sec‬‬
‫‪ ,ωmax‬מכיוון‬
‫≈‬
‫‪c‬‬
‫‪13‬‬
‫שאלה מס׳ ‪63‬‬
‫בבקר קידום‪ ,‬מדוע נהוג לבחור את ‪ ωm‬כ־ ‪ ωc‬הרצויה ?‬
‫שאלה מס׳ ‪64‬‬
‫בבקר פיגור‪ ,‬מדוע נהוג לבחור את ‪ ωm‬כ־ ‪ ωc‬הרצויה ?‬
‫‪0‬‬
‫‪−40‬‬
‫)‪Magnitude (dB‬‬
‫‪−20‬‬
‫‪−60‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−45‬‬
‫)‪Phase (deg‬‬
‫‪−90‬‬
‫‪−135‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪−180‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪10‬‬
‫איור ‪ :13‬דיאגרמת בודה לשאלות מס׳ ‪ 65‬ו־‪66‬‬
‫שאלה מס׳ ‪65‬‬
‫עקום בודה של תהליך יציב בחוג פתוח נתונה באיור ‪ .13‬דרוש לבקר את המערכת בחוג סגור כך שיתקיים‪:‬‬
‫א‪ .‬שגיאת מצב מתמיד אפס לכניסת מדרגה באות הרפרנס ובהפרעה‪,‬‬
‫‪,ωc = 10[ rad‬‬
‫ב‪ .‬תדר מעבר ההגבר ] ‪sec‬‬
‫ג‪ .‬עודף פאזה ◦‪.µph ≈ 39‬‬
‫= )‪ .C(s‬ההיגיון מאחורי הבחירה הזו‪:‬‬
‫שאלה מס׳ ‪66‬‬
‫לתהליך באיור ‪ 13‬נוסף זמן מת ‪≈ 0.064‬‬
‫‪arcsin 0.6‬‬
‫‪10‬‬
‫= ‪ h‬שניות‪ .‬תכננו בקר כך שהחוג הסגור יעמוד בכל הדרישות של שאלה ‪.65‬‬
‫= )‪ .C(s‬ההיגיון מאחורי הבחירה הזו‪:‬‬
‫‪14‬‬
‫חלק ‪VI‬‬
‫קשרים‬
‫‪Im‬‬
‫‪Im‬‬
‫‪Im‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪Re‬‬
‫)‪P3 (jω‬‬
‫)‪P2 (jω‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪Re‬‬
‫)‪P1 (jω‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪Re‬‬
‫)א( )‪P1 (s‬‬
‫)ב( )‪P2 (s‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫)ג( )‪P3 (s‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫)ד( )‪G1 (s‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫)ה( )‪G2 (s‬‬
‫)ו( )‪G3 (s‬‬
‫איור ‪ :14‬עקומים פולאריים ומג׳׳שים לשאלה מס׳ ‪67‬‬
‫שאלה מס׳ ‪67‬‬
‫באיור ‪ 14‬נתונים עקומים פולאריים של שלושה תהליכים בחוג פתוח‪ .‬מבקרים כל אחד מהתהליכים בחוג סגור באמצעות בקר הגבר‬
‫חיובי‪ .‬תיאורי המג״ש המתקבלים נתונים באיור ‪ .14‬התאימו בין המערכות למג״שים‪.‬‬
‫‪ G1 = P‬מכיוון‬
‫‪ G2 = P‬מכיוון‬
‫‪ G3 = P‬מכיוון‬
‫‪15‬‬
‫‪Im‬‬
‫‪k = k3‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪Re‬‬
‫=‪k‬‬
‫‪k = k2‬‬
‫‪k1‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪k1‬‬
‫‪k = k1‬‬
‫=‪k‬‬
‫‪−0.1‬‬
‫‪k = k2‬‬
‫‪−0.2‬‬
‫‪k=k‬‬
‫)‪Gk (jω‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−0.1‬‬
‫‪0‬‬
‫)ב( אקום פולרי‬
‫)א( מג׳׳ש‬
‫איור ‪ :15‬תיאורים לשאלה מס׳ ‪68‬‬
‫שאלה מס׳ ‪68‬‬
‫בציור ‪)15‬א( מתואר מג״ש של מערכת )‪ Gk (s‬מסויימת ביחס לפרמטר ‪ .k‬שלוש נקודות על כל ענף )מתוכן ‪ 2‬אשר נמצאות על הענף שעל‬
‫הציר הממשי ־ אינן נראות בציור( מתאימות לשלושה ערכים של ‪ k2 ,k1 :k‬ו־ ‪ .k3‬היעזרו בתיאור הפולרי של )‪ Gk (jω‬בכדי לקבוע מי‬
‫מהנקודות מתאימה ל־‪.k = 1‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪ ,k‬מכיוון‬
‫‪Im‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪Re‬‬
‫‪Im‬‬
‫)‪P1 (jω‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪Re‬‬
‫‪Im‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪Re‬‬
‫)‪P2 (jω‬‬
‫)‪P3 (jω‬‬
‫)א( )‪P1 (s‬‬
‫)ג( )‪P3 (s‬‬
‫)ב( )‪P2 (s‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪Magnitude (dB‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫)ד( )‪G1 (s‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪Magnitude (dB‬‬
‫‪−40‬‬
‫‪−20‬‬
‫‪−40‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪10‬‬
‫)ה( )‪G2 (s‬‬
‫‪−40‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫)ו( )‪G3 (s‬‬
‫איור ‪ :16‬עקומים לשאלה מס׳ ‪69‬‬
‫שאלה מס׳ ‪69‬‬
‫באיור ‪ 16‬נתונים עקומי בודה של שלוש מערכות ועקומים פולאריים עבור אותן המערכות‪ .‬התאימו בין העקומים‪.‬‬
‫‪ G1 = P‬מכיוון‬
‫‪ G2 = P‬מכיוון‬
‫‪ G3 = P‬מכיוון‬
‫‪16‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪Magnitude (dB‬‬
‫‪−20‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−20‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−9.5‬‬
‫)‪Magnitude (dB‬‬
‫‪1‬‬
‫‪P1‬‬
‫‪P2‬‬
‫‪P3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫)א( מג׳׳ש של )‪Gk (s‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪Phase (deg‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−180‬‬
‫‪−360‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪10‬‬
‫)ב( דיאגרמות בודה של )‪ P2 (s) ,P1 (s‬ו־)‪P3 (s‬‬
‫איור ‪ :17‬תיאורים לשאלות מס׳ ‪ 70‬ו־‪71‬‬
‫שאלה מס׳ ‪70‬‬
‫המג״ש של איזו מערכת מבין המערכות המתוארות באיור ‪)17‬ב( מוצג באיור ‪)17‬א( ?‬
‫‪ ,Gk = P‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪71‬‬
‫איזה בקר ‪ PI‬יתקבל באמצעות שיטת הכיוונון של זיגלר־ניקולס המופעלת על התהליך )‪ ,P1 (s‬כאשר תיאור הבודה שלו מוצג באיור‬
‫‪)17‬ב( ?‬
‫= )‪ ,C(s‬מכיוון‬
‫‪17‬‬
‫חלק ‪VII‬‬
‫דף נוסחאות‬
‫‪ξi‬‬
‫)‪F(s‬‬
‫)‪Lf (s‬‬
‫‪−‬‬
‫• תגובות מצב מתמיד עבור מערכת‬
‫מדרגה‪:‬‬
‫ריצה‪:‬‬
‫פרבולה‪:‬‬
‫‪ξo‬‬
‫‪:‬‬
‫)‪Lb (s‬‬
‫)‪ξi (t) = 1(t‬‬
‫סוג ‪0‬‬
‫סוג ‪1‬‬
‫סוג ‪2‬‬
‫סוג ‪3‬‬
‫|)‪|F(0‬‬
‫| ‪|1/Lf (0) + kst‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫|)‪|F(0‬‬
‫| ‪|kv‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫|)‪2|F(0‬‬
‫| ‪|ka‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪ξi (t) = t · 1(t‬‬
‫∞‬
‫)‪ξi (t) = t2 · 1(t‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫כאשר )‪ ,kv := lims→0 sLb (s) ,kst := lims→0 Lb (s‬ו־)‪.ka := lims→0 s2 Lb (s‬‬
‫• בקר קידום‪:‬‬
‫√‬
‫‪α s + ωm‬‬
‫√‬
‫= )‪, Clead (s‬‬
‫‪s + α ωm‬‬
‫‪α−1‬‬
‫‪= arcsin‬‬
‫‪α+1‬‬
‫כאשר‬
‫‪ φm‬או‬
‫‪1 + sin φm‬‬
‫=‪α‬‬
‫‪1 − sin φm‬‬
‫)‪φm (α‬‬
‫‪69.3‬‬
‫‪64.8‬‬
‫‪60.1‬‬
‫‪54.9‬‬
‫‪48.6‬‬
‫‪41.8‬‬
‫‪36.9‬‬
‫‪30‬‬
‫‪19.5‬‬
‫‪α‬‬
‫‪30‬‬
‫‪20‬‬
‫• בקר פיגור‪:‬‬
‫‪14‬‬
‫‪10‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1 2 3 4 5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10s + ωm‬‬
‫= )‪Clag (s‬‬
‫‪10s + ωm /β‬‬
‫• טבלת זיגלר־ניקולס‪:‬‬
‫‪kd‬‬
‫‪ki‬‬
‫‪kp‬‬
‫‪0.5 Ku‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Tu‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪Tu‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Tu‬‬
‫‪0.45 Ku‬‬
‫‪PI‬‬
‫‪0.6 Ku‬‬
‫‪PID‬‬
‫• כמה נוסחאות טריגונומטריות )לא לפבלב ‪ 1‬בשימושן(‪:‬‬
‫‪sin(α ± β) = sin α cos β ± sin β cos α,‬‬
‫‪cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin β sin α,‬‬
‫‪α±β‬‬
‫‪arctan α ± arctan β = arctan‬‬
‫‪1 ∓ αβ‬‬
‫• התאמת יחידות‪:‬‬
‫יחידות רגילות‬
‫‪dB‬‬
‫‪75‬‬
‫‪≈ 37.5‬‬
‫‪25‬‬
‫‪≈ 28‬‬
‫‪50‬‬
‫‪≈ 34‬‬
‫‪15‬‬
‫‪≈ 23.5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪≈ 14‬‬
‫‪1‬התניה פבלובית היא תהליך למידה שבו גירוי נייטרלי נלמד מעורר אצל אדם או בעל חיים תגובה רפלקסיבית‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫‪2‬‬
‫‪≈6‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫‪≈3‬‬