לוגיקה ותורת הקבוצות ־ פתרון תרגיל בית 1 (2015־2016) ו"עשת ףרוח חלק

Transcription

לוגיקה ותורת הקבוצות ־ פתרון תרגיל בית 1 (2015־2016) ו"עשת ףרוח חלק
‫לוגיקה ותורת הקבוצות ־ פתרון תרגיל בית ‪1‬‬
‫חורף תשע"ו )‪2016‬־‪(2015‬‬
‫‪.............................................................................................................‬‬
‫חלק ראשון‪ :‬שאלות שאינן להגשה‬
‫‪ .1‬נניח בשלילה שקיימת קבוצה ‪ A‬כך ש־‪.P (A) ⊆ A‬‬
‫∈ ‪.X = {a ∈ A | a‬‬
‫נתבונן בקבוצה }‪ a‬קבוצה ו־‪/ a‬‬
‫מהגדרת הקבוצה ‪ X‬מתקיים ‪ X ⊆ A‬ולכן מהגדרת קבוצת החזקה מתקיים )‪.X ∈ P (A‬‬
‫מהנחת השלילה ‪ P (A) ⊆ A‬ומהגדרת הכלה מתקיים ‪.X ∈ A‬‬
‫כעת‪ ,‬נבדוק האם ‪:X ∈ X‬‬
‫∈ ‪ X‬־ סתירה‪.‬‬
‫)א( אם נניח כי ‪ X :X ∈ X‬מקיימת את הגדרת הקבוצה ‪ ,X‬כלומר ‪ X ∈ A‬וגם ‪/ X‬‬
‫∈ ‪ X ∈ A :X‬ולכן מהגדרת ‪ X‬צריך להתקיים ‪ X ∈ X‬־ סתירה‪.‬‬
‫)ב( אם נניח כי ‪/ X‬‬
‫∈ ‪ X‬וזו סתירה‪ ,‬ולכן לא קיימת קבוצה ‪ A‬כך ש־‪.P (A) ⊆ A‬‬
‫כלומר‪ ,‬קיבלנו כי לא ייתכן ‪ X ∈ X‬וגם לא ייתכן ‪/ X‬‬
‫‪ .2‬תהי ‪ A‬קבוצה כלשהי ויהי ‪ R ⊆ A × A‬יחס דו מקומי‪.‬‬
‫)א( יהיו ‪ S1 , S2 ⊆ A × A‬כך ש־ ‪ S1 6= S2‬ו־ ‪ S1 , S2‬הם סגור־‪ α‬של ‪.R‬‬
‫מתכונה ‪ 3‬של סגור־‪ α‬של ‪ R‬עבור ‪ ,T = S2‬מתקיים ‪.S1 ⊆ S2‬‬
‫מתכונה ‪ 3‬של סגור־‪ α‬של ‪ R‬עבור ‪ ,T = S1‬מתקיים ‪.S2 ⊆ S1‬‬
‫מהכלה דו כיוונית‪ ,S1 = S2 ,‬בסתירה לכך ש־ ‪.S1 6= S2‬‬
‫כלומר‪ ,‬לכל תכונה ‪ α‬יש לכל היותר סגור־‪ α‬אחד של ‪.R‬‬
‫)ב( נוכיח ש־ ‪ R ∪ IA‬מקיים את שלושת תנאי הסגור הרפלקסיבי‪:‬‬
‫‪ R∪IA .i‬רפלקסיבי‪ :‬יהי ‪ ,a ∈ A‬אזי עפ"י הגדרת הקבוצה ‪ IA‬נקבל ‪ (a, a) ∈ IA‬ומהגדרת איחוד ‪.(a, a) ∈ R∪IA‬‬
‫‪ :ּR ⊆ R ∪ IA .ii‬יהי ‪ .(a, b) ∈ R‬מהגדרת איחוד ‪ (a, b) ∈ R ∪ IA‬ומהגדרת הכלה ‪.R ⊆ R ∪ IA‬‬
‫‪ .iii‬יהי ‪ T ⊆ A × A‬כך ש־ ‪ T‬רפלקסיבי וגם ‪ .R ⊆ T‬נראה ש־ ‪:R ∪ IA ⊆ T‬‬
‫יהי ‪ .(a, b) ∈ R ∪ IA‬נפריד למקרים עפ"י הגדרת איחוד‪:‬‬
‫• אם ‪ (a, b) ∈ R‬אז מההנחה ש־ ‪ R ⊆ T‬ומהגדרת הכלה נקבל ‪.(a, b) ∈ T‬‬
‫• אם ‪ (a, b) ∈ IA‬אז ‪ a = b‬וגם ‪ .a, b ∈ A‬מכך ש־ ‪ T‬רפלקסיבי נקבל ‪.(a, b) ∈ T‬‬
‫לכן‪ ,‬סה"כ מהגדרת הכלה נקבל ‪.R ∪ IA ⊆ T‬‬
‫לכן‪ R ∪ IA ,‬הוא הסגור הרפלקסיבי של ‪.R‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ R ∪ RA‬מקיים את שלושת תנאי הסגור הסימטרי‪:‬‬
‫)ג( נוכיח ש־‬
‫‪ R ∪ R−1 .i‬סימטרי‪ :‬יהי ‪ .(a, b) ∈ R ∪ R−1‬נפריד למקרים עפ"י הגדרת איחוד‪:‬‬
‫• אם ‪ (a, b) ∈ R‬אז עפ"י הגדרת היחס ההופכי ‪ (b, a) ∈ R−1‬ומהגדרת איחוד ‪.(b, a) ∈ R ∪ R−1‬‬
‫• אם ‪ (a, b) ∈ R−1‬אז עפ"י הגדרת היחס ההופכי ‪ (b, a) ∈ R‬ומהגדרת איחוד ‪.(b, a) ∈ R ∪ R−1‬‬
‫‪ :R ⊆ R ∪ R−1 .ii‬יהי ‪ .(a, b) ∈ R‬מהגדרת איחוד ‪ (a, b) ∈ R ∪ R−1‬ומהגדרת הכלה ‪.R ⊆ R ∪ R−1‬‬
‫‪ .iii‬יהי ‪ T ⊆ A × A‬כך ש־ ‪ T‬סימטרי וגם ‪ .R ⊆ T‬נראה ש־ ‪:R ∪ R−1 ⊆ T‬‬
‫יהי ‪ .(a, b) ∈ R ∪ R−1‬נפריד למקרים עפ"י הגדרת איחוד‪:‬‬
‫• אם ‪ (a, b) ∈ R‬אז מההנחה ש־ ‪ R ⊆ T‬ומהגדרת הכלה ‪.(a, b) ∈ T‬‬
‫• אם ‪ (a, b) ∈ R−1‬אז עפ"י הגדרת היחס ההופכי ‪ ,(b, a) ∈ R‬מהגדרת הכלה ‪ (b, a) ∈ T‬ומכך ש־ ‪T‬‬
‫סימטרי נובע ‪.(a, b) ∈ T‬‬
‫‪1‬‬
‫לכן‪ ,‬סה"כ מהגדרת הכלה ‪.R ∪ R−1 ⊆ T‬‬
‫לכן‪ R ∪ R−1 ,‬הוא הסגור הסימטרי של ‪.R‬‬
‫‪) .3‬א( הוכחה ע"י הכלה דו כיוונית‪:‬‬
‫⇔‬
‫הגדרת הרכבה‬
‫קיים‪ b ∈ B‬כך ש‪ (b, d) ∈ R2 ◦ R3 :‬וגם ‪(a, b) ∈ R1‬‬
‫⇔‬
‫הגדרת הרכבה‬
‫⇔‬
‫הגדרת הרכבה‬
‫) ‪(a, d) ∈ R1 ◦ (R2 ◦ R3‬‬
‫קיימים‪ b ∈ B, c ∈ C‬כך ש‪ (c, d) ∈ R3 :‬וגם ‪ (b, c) ∈ R2‬וגם ‪(a, b) ∈ R1‬‬
‫‪(a, d) ∈ (R1 ◦ R2 ) ◦ R3‬‬
‫⇔‬
‫הגדרת הרכבה‬
‫קיים‪ c ∈ C‬כך ש‪ (c, d) ∈ R3 :‬וגם ‪(a, c) ∈ R1 ◦ R2‬‬
‫)ב( נוכיח באינדוקציה על ‪:i‬‬
‫בסיס‪ :‬עבור ‪ i = 1‬מתקיים ‪ ,Rn+1 = Rn ◦ R‬מההגדרה הרקורסיבית הנתונה‪.‬‬
‫מעבר‪ :‬עבור ‪:i = k‬‬
‫‪Rn ◦ Rk‬‬
‫‬
‫=‬
‫הגדרת ‪Rn+1‬‬
‫‪Rn ◦ Rk−1 ◦ R‬‬
‫=‬
‫אסוציאטיביות )סעיף א'(‬
‫‬
‫‪Rn ◦ Rk−1 ◦ R‬‬
‫=‬
‫הנחת האינדוקציה‬
‫‪Rn+k−1 ◦ R‬‬
‫=‬
‫הגדרת ‪Rn+1‬‬
‫‪Rn+k‬‬
‫‬
‫‬
‫שימו לב‪ Rn ◦ Rk−1 ◦ R = Rn ◦ Rk−1 ◦ R :‬נובע מאסוציאטיביות‪ :‬אף שבנינו את ‪ Rn , Rk−1‬כהרכבות של‬
‫יחסים‪ ,‬אפשר לראות אותם כיחסים חדשים‪ ,‬שמתאימים ל־ ‪ R1 , R2‬מסעיף א'‪.‬‬
‫‪) .4‬א( נתון‪.R ⊆ S :‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫צ"ל‪ :‬לכל ‪R ⊆ S ⇐ R ⊆ S : i‬‬
‫נוכיח את הטענה באינדוקציה על‬
‫‪+‬‬
‫‪:i ∈ N‬‬
‫‪1‬‬
‫בסיס‪ :‬עבור ‪ R = R ⊆ S = S 1 : i = 1‬מהנתון‪.‬‬
‫מעבר‪ :‬נניח ש־ ‪ Ri ⊆ S i‬ונוכיח־ ‪.Ri+1 ⊆ S i+1‬‬
‫קיים‪ b ∈ B‬כך ש‪ (b, c) ∈ R :‬וגם ‪(a, b) ∈ Ri‬‬
‫‪(a, c) ∈ S i+1‬‬
‫⇒‬
‫הגדרת ‪S i+1‬‬
‫‪(a, c) ∈ S i ◦S‬‬
‫⇒‬
‫הגדרת הרכבה‬
‫⇒‬
‫הגדרת הרכבה‬
‫‪(a, c) ∈ Ri ◦ R‬‬
‫⇒‬
‫הגדרת ‪Ri+1‬‬
‫‪(a, c) ∈ Ri+1‬‬
‫קיים‪ b ∈ B‬כך ש‪ (b, c) ∈ S :‬וגם ‪(a, b) ∈ S i‬‬
‫)ב( נתון‪.R ⊆ S :‬‬
‫צ"ל‪ :‬לכל ‪.R ◦ Q ⊆ S ◦ Q :Q ⊆ A × A‬‬
‫יהי ‪:Q ⊆ A × A‬‬
‫קיים‪ b ∈ A‬כך ש‪ (b, c) ∈ Q :‬וגם ‪(a, b) ∈ R‬‬
‫‪(a, c) ∈ S ◦ Q‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪(a, c) ∈ R ◦ Q‬‬
‫הגדרת הרכבה‬
‫קיים‪ b ∈ B‬כך ש‪ (b, c) ∈ Q :‬וגם ‪⇒ (a, b) ∈ S‬‬
‫הגדרת הרכבה‬
‫מהנתון‬
‫‪2‬‬
‫⇒‬
‫מהנחת האינדוקציה ומהנתון‬
‫)ג( נתון‪ R ⊆ A × A :‬טרנזיטיבי‬
‫צ"ל‪⊆ Rn ⊆ ... ⊆ R2 ⊆ R :‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪∀n ∈ N : R‬‬
‫נוכיח את הטענה באינדוקציה על ‪:n‬‬
‫‪2‬‬
‫בסיס‪ :‬עבור ‪ n = 1‬ראינו בתרגול ‪ 2‬שמתקיים ‪= R ⊆ R‬‬
‫‪1+1‬‬
‫‪.R‬‬
‫מעבר‪ :‬נניח שהטענה נכונה לכל ‪ k‬כך ש־ ‪ ,1 ≤ k < n‬ונוכיח עבור ‪:n‬‬
‫כלומר נניח ש־ ‪ Rn ⊆ Rn−1 ⊆ ... ⊆ R2 ⊆ R‬ונוכיח ש־ ‪⊆ ... ⊆ R2 ⊆ R‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪⊆R ⊆R‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪.R‬‬
‫מטרנזטיביות ההכלה מספיק להוכיח‪:Rn+1 ⊆ Rn :‬‬
‫מהנחת האינדוקציה ידוע‪Rn ⊆ Rn−1 :‬‬
‫מסעיף ב' נובע כי לכל ‪ ,Rn ◦ Q ⊆ Rn−1 ◦ Q :Q ⊆ A × A‬ובפרט עבור ‪ ,Q = R‬כלומר‪.Rn ◦ R ⊆ Rn−1 ◦ R :‬‬
‫מהגדרת ‪ Rn+1‬נקבל‪ ,Rn+1 ⊆ Rn :‬כנדרש‪.‬‬
‫‪) .5‬א( נוכיח כי ∗‪ R‬טרנזיטיבי‪.‬‬
‫⇒‬
‫קיימים ‪ i, j ∈ N+‬כך ש‪ (b, c) ∈ Rj :‬וגם ‪(a, b) ∈ Ri‬‬
‫הגדרת הרכבה‬
‫∗‪(a, c) ∈ R‬‬
‫⇒‬
‫הגדרת ∗‪ R‬ואיחוד גדול‬
‫קיימים ‪ i, j ∈ N+‬כך ש‪(a, c) ∈ Ri+j :‬‬
‫⇒‬
‫הגדרת ∗‪ R‬ואיחוד גדול‬
‫∗‪(a, b) , (b, c) ∈ R‬‬
‫⇒ קיימים ‪ i, j ∈ N+‬כך ש‪(a, c) ∈ Ri ◦Rj :‬‬
‫שאלה ‪ 3‬ב'‬
‫)ב( נוכיח כי ∗‪.R ⊆ R‬‬
‫מהגדרת איחוד גדול ∗‪Ri = R‬‬
‫‪i∈N‬‬
‫‪S‬‬
‫⊆ ‪.R = R1‬‬
‫)ג( נוכיח כי לכל יחס ‪ T‬טרנזיטיבי המכיל את ‪ R‬מתקיים כי ‪.R∗ ⊆ T‬‬
‫טענת עזר‪ :‬לכל ‪:Ri ⊆ T ,i ∈ N+‬‬
‫לפי הנתון ‪ ,R ⊆ T‬ולפי שאלה ‪ 4‬א' מתקיים ‪.Ri ⊆ T i‬‬
‫כמו־כן‪ T ,‬טרנזיטיבי‪ ,‬ולפי שאלה ‪ 4‬ג' מתקיים ‪.T i ⊆ T‬‬
‫ובסה"כ ‪Ri ⊆ T i ⊆ T ⇒ Ri ⊆ T‬‬
‫כעת נוכיח ‪:R∗ ⊆ T‬‬
‫‪(a, b) ∈ T‬‬
‫⇒‬
‫‪ Ri ⊆ T‬מטענת העזר‬
‫קיים ‪ i ∈ N+‬כך ש‪(a, b) ∈ Ri :‬‬
‫⇒‬
‫הגדרת ∗‪ R‬ואיחוד גדול‬
‫∗‪(a, b) ∈ R‬‬
‫חלק שני‪ :‬שאלות להגשה‬
‫‪) .6‬א( הוכיחו‪/‬הפריכו‪ :‬לכל שתי קבוצות ‪ A‬ו־‪ B‬מתקיים )‪.P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B‬‬
‫הטענה נכונה‪ .‬הוכחה ע"י הכלה דו כיוונית‪:‬‬
‫⇔ ‪∀x ∈ X : x ∈ A ∩ B‬‬
‫הגדרת חיתוך‬
‫⇔‬
‫הגדרת חיתוך‬
‫)‪ X ∈ P (B‬וגם )‪X ∈ P (A‬‬
‫‪X ⊆A∩B‬‬
‫⇔‬
‫הגדרת הכלה‬
‫⇔‬
‫הגדרת קבוצת חזקה‬
‫‪3‬‬
‫⇔‬
‫הגדרת קבוצת חזקה‬
‫‪ X ⊆ B‬וגם ‪X ⊆ A‬‬
‫)‪X ∈ P(A) ∩ P(B‬‬
‫)‪X ∈ P(A ∩ B‬‬
‫⇔‬
‫הגדרת הכלה‬
‫‪ x ∈ B‬וגם ‪∀x ∈ X : x ∈ A‬‬
‫)ב( טענה‪ P(A ∪ B) = P(A) ∪ P (B) :‬אם ורק אם ‪ A ⊆ B‬או ‪.B ⊆ A‬‬
‫כיוון ראשון ־ נתון‪ A ⊆ B :‬או ‪ .B ⊆ A‬נפריד למקרים‪:‬‬
‫• אם ‪: A ⊆ B‬‬
‫⇔‬
‫הגדרת קבוצת חזקה‬
‫‪X⊆B‬‬
‫‪X ⊆A∪B‬‬
‫⇔‬
‫‪:A⊆B⇒A∪B=B‬תרגיל מתרגול ‪+1‬נתון‬
‫)‪X ∈ P(A) ∪ P (B‬‬
‫⇒‬
‫הגדרת איחוד‬
‫⇒‬
‫‪ X ⊆ B‬או ‪X ⊆ A‬‬
‫הגדרת הכלה‬
‫)‪X ∈ P (A ∪ B‬‬
‫⇔‬
‫הגדרת קבוצת חזקה‬
‫⇔‬
‫הגדרת קבוצת חזקה‬
‫‪X ⊆A∪B‬‬
‫⇔‬
‫הגדרת קבוצת חזקה‬
‫)‪X ∈ P (B‬‬
‫)‪ X ∈ P (B‬או )‪X ∈ P (A‬‬
‫⇔‬
‫)‪X ∈ P(A ∪ B‬‬
‫‪∀x ∈ X : x ∈ A ∪ B‬‬
‫הגדרת הכלה‬
‫⇔‬
‫הגדרת איחוד‬
‫⇔‬
‫הגדרת איחוד‬
‫)‪X ∈ P(A) ∪ P (B‬‬
‫‪ x ∈ B‬או ‪∀x ∈ X : x ∈ A‬‬
‫• אחרת‪ :B ⊆ A ,‬הוכחה דומה‪.‬‬
‫כיוון שני ־ נתון‪ A 6⊆ B :‬וגם ‪.B 6⊆ A‬‬
‫∈ ‪.b‬‬
‫∈ ‪ a‬וכן קיים ‪ b ∈ B‬כך ש־‪/ A‬‬
‫מהנתון קיים ‪ a ∈ A‬כך ש־‪/ B‬‬
‫מהגדרת איחוד מתקיים ‪ ,a, b ∈ A∪B‬מהגדרת הכלה ‪ {a, b} ⊆ A∪B‬ומהגדרת קבוצת חזקה )‪.{a, b} ∈ P(A∪B‬‬
‫נניח בשלילה שמתקיים )‪ ,P(A ∪ B) = P(A) ∪ P (B‬אז נובע )‪.{a, b} ∈ P(A) ∪ P (B‬‬
‫מהגדרת איחוד מתקיים )‪ {a, b} ∈ P(A‬או )‪ .{a, b} ∈ P (B‬נפריד למקרים‪:‬‬
‫• אם )‪ :{a, b} ∈ P(A‬מהגדרת קבוצת חזקה‪ ,{a, b} ⊆ A :‬מהגדרת הכלה ‪ b ∈ A‬בסתירה לבחירתו‪.‬‬
‫• אם )‪ :{a, b} ∈ P(B‬מהגדרת קבוצת חזקה‪ ,{a, b} ⊆ B :‬מהגדרת הכלה ‪ a ∈ B‬בסתירה לבחירתו‪.‬‬
‫לכן הנחת השלילה שגויה ומתקיים )‪ P(A ∪ B) 6= P(A) ∪ P (B‬כנדרש‪.‬‬
‫)ג( הוכיחו‪/‬הפריכו‪ A ∩ B = ∅ :‬אם ורק אם )‪.P(A \ B) ⊆ P(A) \ P(B‬‬
‫הטענה אינה נכונה‪ ,‬נראה שאם נתון ∅ = ‪ A ∩ B‬אז לא מתקיים )‪ P(A \ B) ⊆ P(A) \ P(B‬ע"י דוגמה נגדית‪:‬‬
‫• נבחר }‪.A = {1} , B = {2‬‬
‫• מתקיים ∅ = ‪.A ∩ B‬‬
‫• מתקיים ‪ ∅ ⊆ A \ B‬ולכן מהגדרת קבוצת חזקה )‪.∅ ∈ P (A \ B‬‬
‫∈ ∅‪.‬‬
‫מתקיים גם ‪ ∅ ⊆ A‬ולכן )‪ ,∅ ∈ P (A‬וכן ‪ ∅ ⊆ B‬ולכן )‪ ,∅ ∈ P (B‬ולכן מהגדרת הפרש )‪/ P(A) \ P(B‬‬
‫לכן‪ ,‬מהגדרת הכלה‪.P(A \ B) 6⊆ P(A) \ P(B) ,‬‬
‫‪) .7‬א(‬
‫‪ R .i‬רפלקסיבי‪ :‬יהי ‪ .A ∈ X‬מתקיים ‪ ,A ⊆ A‬ולכן לפי הגדרת ‪ (A, A) ∈ R ,R‬ו־‪ R‬רפלקסיבי‪.‬‬
‫‪ R .ii‬סימטרי‪ :‬יהי ‪ .(A, B) ∈ R‬לפי הגדרת ‪ A ⊆ B ,R‬או ‪ ,B ⊆ A‬לכן‪ ,‬לפי הגדרת ‪ (B, A) ∈ R ,R‬ו־‪R‬‬
‫סימטרי‪.‬‬
‫‪ R .iii‬לא טרנזיטיבי‪ :‬נראה דוגמה נגדית‪:‬‬
‫א'‪ .‬נגדיר }}‪.X = {∅, {1} , {2‬‬
‫ב'‪ .‬נראה שתנאי הטענה מתקיימים‪ ,‬כלומר נראה ש־‪ X‬מונוטונית‪:‬‬
‫• עבור }‪ A = {1‬מתקיים ש־‪ ∅, {1} ⊆ A‬ושניהם שייכים ל־‪.X‬‬
‫• עבור }‪ A = {2‬מתקיים ש־‪ ∅, {2} ⊆ A‬ושניהם שייכים ל־‪.X‬‬
‫• עבור ∅ = ‪ A‬מתקיים ש־‪ ∅ ⊆ A‬והקבוצה הריקה שייכת ל־‪.X‬‬
‫ג'‪ .‬נראה שמסקנת הטענה לא מתקיימת כלומר ש־‪ R‬אינו טרנזטיבי‪.‬‬
‫לשם כך נראה שמתקיים ‪ ,({1} , ∅) , (∅, {2}) ∈ R‬אבל שלא מתקיים ‪.({1} , {2}) ∈ R‬‬
‫‪4‬‬
‫• מתקיים }‪ ,∅ ⊆ {1‬לכן מהגדרת ‪ R‬נקבל ‪.({1} , ∅) ∈ R‬‬
‫• בדומה‪ ,‬מתקיים }‪ ,∅ ⊆ {2‬לכן ‪.(∅, {2}) ∈ R‬‬
‫• נניח בשלילה שמתקיים ‪ :({1} , {2}) ∈ R‬מהגדרת ‪ R‬נובע כי }‪ {1} ⊆ {2‬או }‪ ,{2} ⊆ {1‬בסתירה לכך‬
‫שאף אחד משניהם לא מתקיים‪.‬‬
‫כעת נמצא את הסגור הטרנזיטיבי של ‪ R‬במפורש‪ .‬נשתמש בכך שלפי שאלה ‪ ,5‬הסגור הטרנזיטיבי הוא = ?‪R‬‬
‫· · · ∪ ‪.R ∪ R2 ∪ R3‬‬
‫טענה‪ .R? = X 2 :‬נוכיח באמצעות הכלה דו כיוונית‪:‬‬
‫• ‪ R? :R? ⊆ X 2‬מוגדרת כרלציה בינארית מעל ‪ ,X‬ולכן ‪ ,R? ⊆ X 2‬כנדרש‪.‬‬
‫• ?‪ :X 2 ⊆ R‬יהי ‪ ,(A, B) ∈ X 2‬אז ‪ A ∈ X‬ו־‪.B ∈ X‬‬
‫מתקיים ‪ ∅ ⊆ A‬ולכן מכך ש־‪ X‬מונוטונית נקבל ש־ ‪.∅ ∈ X‬‬
‫מהגדרת ‪ R‬נקבל ש־‪.(A, ∅) ∈ R‬‬
‫בדומה‪ ,‬מתקיים גם ‪ ∅ ⊆ B‬ולכן ‪ (∅, B) ∈ R‬מהגדרת ‪.R‬‬
‫?‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫?‬
‫לכן‪ ,‬מהגדרת הרכבה ולפי הגדרת ‪ .(A, B) ∈ R2 ,R2‬לפי הגדרת ‪ R‬כאיחוד · · · ∪ ‪,R = R ∪ R ∪ R‬‬
‫נקבל ש־ ?‪ ,(A, B) ∈ R‬כנדרש‪.‬‬
‫)ב( הטענה לא נכונה‪ .‬נראה דוגמה נגדית‪:‬‬
‫‪ .i‬נגדיר }}‪.X = {∅, {1} , {2} , {3‬‬
‫‪ .ii‬נראה שתנאי הטענה מתקיימים‪ ,‬כלומר נראה ש־‪ X‬מונוטונית‪ :‬מהגדרת הקבוצה ‪ X‬שהגדרנו נקבל שאם‬
‫‪ A ∈ X‬ו־‪ B ⊆ A‬אז ‪ B = A‬או ∅ = ‪ ,B‬ומכיוון ש־‪ ∅ ∈ X‬נקבל שבכל מקרה ‪.B ∈ X‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ .iii‬נראה שמסקנת הטענה אינה מתקיימת כלומר ש־}‪ X ∪ { X‬לא מונוטונית‪:‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫∈ }‪ ,{1, 2‬למרות ש־‬
‫מתקיים ש־}‪ , X = {1, 2, 3‬כלומר }‪ {1, 2, 3} ∈ X ∪ { X‬אבל }‪/ X ∪ { X‬‬
‫}‪.{1, 2} ⊆ {1, 2, 3‬‬
‫‪) .8‬א( נוכיח את התנאים הנדרשים מהגדרת הסגור‪:‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ .i‬נראה כי ‪ Y‬מקיים את ‪.α‬‬
‫‬
‫‬
‫‪T‬‬
‫מהגדרת ‪ Y‬מתקיים כי ‪ R‬מקיים את ‪ Y ⊆ R ⊆ A2 | α‬ומהנתון כי ‪ α‬נשמרת תחת חיתוך‪ ,‬נקבל כי ‪Y‬‬
‫מקיים את ‪.α‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ .ii‬נראה כי ‪.R ⊆ Y‬‬
‫יהי ‪.(a, b) ∈ R‬‬
‫מהגדרת ‪ Y‬לכל ‪ S ∈ Y‬מתקיים כי ‪ R ⊆ S‬ולכן מהגדרת הכלה ‪.(a, b) ∈ S‬‬
‫‪T‬‬
‫מהגדרת חיתוך גדול מתקיים ‪(a, b) ∈ Y‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ .iii‬נראה כי לכל ‪ T‬המקיים את ‪ α‬ו־ ‪ R ⊆ T‬מתקיים כי ‪. Y ⊆ T‬‬
‫יהי ‪ T‬המקיים את ‪ α‬ו־ ‪.R ⊆ T‬‬
‫‪T‬‬
‫מהגדרת ‪ Y‬מתקיים כי ‪ ,T ∈ Y‬ומהגדרת חיתוך גדול נקבל כי ‪. Y ⊆ T‬‬
‫‬
‫‬
‫)ב( צריך להראות כי ‪ α‬נשמרת תחת חיתוך‪ ,‬כלומר‪ ,‬לכל ‪ R‬מקיים את ‪X ,X ⊆ R ⊆ A2 | α‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫לפי הנתון‪ ,‬לכל יחס קיים סגור־‪ ,α‬ובפרט ל־‪ , X‬נסמנו ב־‪ S‬ונראה ש־ּ‪ S = X‬ע"י הכלה דו כיוונית‪:‬‬
‫‪T‬‬
‫• ‪ : X ⊆ S‬נובע מהגדרת הסגור‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫• ‪ :S ⊆ X‬מהגדרת סגור‪ ,‬לכל ‪ T‬המקיים את ‪ α‬ו־ ‪ X ⊆ T‬מתקיים כי ‪.S ⊆ T‬‬
‫‪T‬‬
‫לפי הגדרת ‪ ,X‬כל ‪ R ∈ X‬מקיים את ‪ ,α‬ולפי הגדרת חיתוך גדול מתקיים ‪. X ⊆ R‬‬
‫‪T‬‬
‫מקיים את ‪.α‬‬
‫כלומר‪ ,‬לכל ‪.S ⊆ R ,R ∈ X‬‬
‫‪T‬‬
‫מהגדרת חיתוך גדול‪ ,‬נקבל כי ‪.S ⊆ X‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫משני אלו נובע כי ‪ X = S‬ולכן ‪ X‬הוא סגור־‪ ,α‬ובפרט הוא מקיים את ‪ α‬־ על־כן ‪ α‬נשמרת תחת חיתוך‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪) .9‬א( ‪ R‬רפלקסיבי‪ :‬יהי איבר ‪ .x ∈ N‬מכיוון ש־‪X = N‬‬
‫‪S‬‬
‫נקבל ש־‪X‬‬
‫‪S‬‬
‫∈ ‪.x‬‬
‫מהגדרת איחוד נובע שקיים ‪ B ∈ X‬כך ש־‪ x ∈ B‬ולפי הגדרת היחס ‪ R‬מתקיים ‪.(x, x) ∈ R‬‬
‫‪ R .i‬סימטרי‪ :‬יהיו ‪ ,(x, y) ∈ R‬לכן מהגדרת ‪ R‬קיים ‪ B ∈ X‬כך ש־‪ x, y ∈ B‬ולכן גם ‪ y, x ∈ B‬ועל־כן מהגדרת‬
‫‪.(y, x) ∈ R ,R‬‬
‫‪ R .ii‬לא טרנזיטיבי‪ :‬נראה דוגמה נגדית‪:‬‬
‫א'‪ .‬נגדיר }}‪X = {N \ {0} , N \ {1‬‬
‫‪S‬‬
‫ב'‪ .‬נראה שמתקיימים התנאים‪ ,‬כלומר ש־ ‪ . X = N‬לשם כך נראה הכלה דו־כיוונית‪:‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫• ‪ :N ⊆ X‬יהי ‪ .n ∈ N‬אם ‪ n 6= 0‬אז }‪ n ∈ N \ {0‬ומהגדרת איחוד גדול ‪ .n ∈ X‬אחרת‪n = 0 ,‬‬
‫‪S‬‬
‫ואז }‪ n ∈ N \ {1‬ומהגדרת איחוד גדול ‪.n ∈ X‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫• ‪ : X ⊆ N‬יהי ‪ ,x ∈ X‬מהגדרת איחוד גדול‪ x ∈ N \ {0} ,‬או }‪ x ∈ N \ {1‬ובכל מקרה ‪.x ∈ N‬‬
‫ג'‪ .‬נראה שמסקנת הטענה אינה מתקיימת‪ :‬נטען כי ‪ R‬אינו טרנזיטיבי משום ש־‪ (1, 2) , (2, 0) ∈ R‬אך‬
‫∈ )‪.(1, 0‬‬
‫∈ )‪ .(1, 0‬לשם כך נראה כי ‪ (1, 2) , (2, 0) ∈ R‬אך ‪/ R‬‬
‫‪/R‬‬
‫• }‪ 1, 2 ∈ N \ {0‬ולכן קיים }‪ B = N \ {0‬שעבורו ‪ 1, 2 ∈ B‬ומהגדרת ‪ R‬נקבל ‪.(1, 2) ∈ R‬‬
‫• }‪ 2, 0 ∈ N \ {1‬ולכן קיים }‪ B = N \ {1‬שעבורו ‪ 2, 0 ∈ B‬ומהגדרת ‪ R‬נקבל ‪.(2, 0) ∈ R‬‬
‫• נניח בשלילה ש־‪ ,(1, 0) ∈ R‬כלומר קיים ‪ B ∈ X‬כך ש־‪ .1, 0 ∈ B‬נפריד למקרים‪:‬‬
‫– אם }‪ B = N \ {0‬אז }‪ 0 ∈ N \ {0‬בסתירה להגדרת הפרש‪.‬‬
‫– אחרת‪ B = N \ {1} ,‬ולכן }‪ 1 ∈ N \ {1‬בסתירה להגדרת הפרש‪.‬‬
‫∈ )‪.(1, 0‬‬
‫כלומר קיבלנו סתירה‪ ,‬ולכן בהכרח ‪/ R‬‬
‫)ב( הטענה נכונה‪ .‬יהיו ‪ a, b, c ∈ N‬כך ש־‪ ,(a, b) , (b, c) ∈ R‬נוכיח ‪.(a, c) ∈ R‬‬
‫לפי הגדרת היחס ‪ ,R‬קיים ‪ Bi ∈ X‬כך ש־ ‪ a, b ∈ Bi‬וקיים ‪ Bj ∈ X‬כך ש־ ‪.b, c ∈ Bj‬‬
‫לכן ומהגדרת חיתוך נובע כי ‪.b ∈ Bi ∩ Bj‬‬
‫נתון כי הקבוצות זרות הדדית ולכן אם ‪ Bi ∩ Bj‬אינה הקבוצה הריקה אז בהכרח ‪ ,Bi = Bj‬כלומר ‪a, c ∈ Bi = Bj‬‬
‫ולפי הגדרת היחס ‪.(a, c) ∈ R ,R‬‬
‫)ג( הטענה אינה נכונה‪ .‬נראה דוגמה נגדית‪:‬‬
‫‪ .i‬נגדיר }‪.X = {{0} , N‬‬
‫‪ .ii‬נראה שתנאי הטענה מתקיימים‪:‬‬
‫‪S‬‬
‫א'‪ .‬נראה ש־ ‪ X = N‬ע"י הכלה דו־כיוונית‪:‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫• ‪ :N ⊆ X‬יהי ‪ ,n ∈ N‬אז )‪ n ∈ N (∈ X‬ומהגדרת איחוד גדול ‪.n ∈ X‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫• ‪ : X ⊆ N‬יהי ‪ ,x ∈ X‬מהגדרת איחוד גדול‪ x ∈ N ,‬או }‪ x ∈ {0‬ובכל מקרה ‪.x ∈ N‬‬
‫ב'‪ .‬נראה ש־‪ R‬טרנזטיבי‪ :‬יהי ‪ .(x, y) , (y, z) ∈ R‬מהגדרת ‪ R‬נקבל ‪.(x, y) , (y, z) ∈ N × N‬‬
‫כלומר מהגדרת מכפלה קרטזית‪.x, y, z ∈ N ,‬‬
‫כלומר עבור ‪ B = N‬נקבל ש־‪ x, z ∈ B‬ולכן מהגדרת ‪ R‬נקבל ‪.(x, z) ∈ R‬‬
‫‪ .iii‬נראה שמסקנת הטענה אינה מתקיימת‪ ,‬כלומר נראה שקיימות שתי קבוצות ב־‪ X‬שאינן זרות הדדית‪ :‬נתבונן‬
‫ב־‪.{0} , N ∈ X‬‬
‫∈ ‪ (1‬וגם שהחיתוך אינו ריק שכן ‪ ,0 ∈ {0} ∩ N‬לכן הקבוצות‬
‫מתקיים שהקבוצות שונות )כי ‪ 1 ∈ N‬אבל }‪/ {0‬‬
‫האלו אינן זרות הדדית‪.‬‬
‫)ד( הסגור הטרנזיטיבי הוא‪ .R∗ = N × N :‬נוכיח ע"י הכלה דו־כיוונית‪:‬‬
‫‪ R∗ :R∗ ⊆ N × N .i‬מוגדר כיחס מעל ‪ N‬כלומר‪ ,R∗ ⊆ N × N ,‬כנדרש‪.‬‬
‫‪ :N × N ⊆ R∗ .ii‬יהי ‪ .(x, y) ∈ N × N‬מהגדרת מכפלה קרטזית ‪.x, y ∈ N‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫מהנתון ‪ X = N‬נקבל ש־‪ x, y ∈ X‬ומהגדרת איחוד גדול נובע שקיימים ‪ B1 , B2 ∈ X‬כך ש־∈ ‪x ∈ B1 , y‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.B2‬‬
‫מהנתון מתקיים ‪ 0 ∈ B1 , 0 ∈ B2‬ולכן מהגדרת ‪.(x, 0) ∈ R, (0, y) ∈ R ,R‬‬
‫∗‬
‫מהגדרת הרכבה נקבל ‪ (x, y) ∈ R2‬ומהגדרת ∗‪ R‬נקבל שלכל ‪ n ∈ N+‬מתקיים ‪ ,R ⊆ R‬כלומר ‪R ⊆ R‬‬
‫ומהגדרת הכלה ∗‪ ,(x, y) ∈ R‬כנדרש‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬