אוניברסיטת בן־גוריון בנגב – המחלקה למתמטיקה חדו א להנדסת מכונות 201–1

Transcription

אוניברסיטת בן־גוריון בנגב – המחלקה למתמטיקה חדו א להנדסת מכונות 201–1
‫אוניברסיטת בן־גוריון בנגב – המחלקה למתמטיקה‬
‫חדו״א להנדסת מכונות ‪ – (201–1–9711) 1‬סמסטר א׳ תשע״ה‬
‫תרגיל ‪ – 1‬פתרונות‬
‫‪) .1‬א( )‪− cos(x‬‬
‫)ב( )‪− sin(x‬‬
‫)ג( )‪− sin(x‬‬
‫)ד( )‪ − sin(x‬כאשר‬
‫‪kπ‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪.k ∈ Z ,x 6‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪ .n! < (n+1‬בסיס האידוקציה‪ :‬כאשר ‪,n = 2‬‬
‫‪) .2‬ג( נוכיח באינדוקציה שלכל ‪ n > 1‬מתקיים כי‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2 = 2! < 32‬הנחת האינדוקציה‪ :‬נניח שהטענה נכונה עבור ‪ n > 1‬מסויים‪ ,‬נוכיח עבור ‪,n + 1‬‬
‫כלומר נוכיח כי‬
‫‪(n+2)n+1‬‬
‫‪2‬‬
‫< !)‪.(n + 1‬‬
‫‪(n + 1)n‬‬
‫‪(n + 1)n+1‬‬
‫‪(n + 2)n+1‬‬
‫=‬
‫<‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫· )‪(n + 1‬‬
‫הנחת האינדוקציה‬
‫<‬
‫!‪(n + 1)! = (n + 1) · n‬‬
‫וזה מוכיח את הטענה‪.‬‬
‫‬
‫‪n+1 n‬‬
‫‪2‬‬
‫≤ !‪ .n‬בסיס האידוקציה‪ :‬כאשר ‪,n = 2‬‬
‫)ד( נוכיח באינדוקציה שלכל ‪ n > 1‬מתקיים כי‬
‫‪ .2 = 2! < ( 23 )2 = 94‬הנחת האינדוקציה‪ :‬נניח שהטענה נכונה עבור ‪ n > 1‬מסויים‪ ,‬נוכיח עבור‬
‫‪n+1‬‬
‫‪ .(n + 1)! < n+2‬קודם כל‪ ,‬נובע משאלה מס׳ ‪ 2‬סעיף א׳ )שנקרא‬
‫‪ ,n + 1‬כלומר נוכיח כי‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x = n+1‬שמתקיים כי‬
‫אי־שיוויון ברנולי( כאשר‬
‫‪1‬‬
‫‪= 2.‬‬
‫‪n+1‬‬
‫אזי‬
‫‪(n + 1)n+1‬‬
‫=‬
‫‪2n‬‬
‫‪n+1‬‬
‫· )‪> 1 + (n + 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫· )‪(n + 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n+1‬‬
‫‬
‫‪1+‬‬
‫הנחת האינדוקציה‬
‫<‬
‫‪n+1‬‬
‫=‬
‫‪n+2‬‬
‫‪n+1‬‬
‫!‪(n + 1)! = (n + 1) · n‬‬
‫ונובע מהאי־שיוויון )‪ (1‬לעיל כי‬
‫‪(n + 1)n+1‬‬
‫‪(n + 2)n+1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(n + 2)n+1‬‬
‫=‬
‫·‬
‫‪.‬‬
‫<‬
‫‬
‫‬
‫‪n+1‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪2n+1‬‬
‫‪2n+1‬‬
‫‪n+2‬‬
‫‪n+1‬‬
‫לכן‬
‫‬
‫‪n+2 n+1‬‬
‫‪2‬‬
‫< !)‪ (n + 1‬והטענה הוכח‪.‬‬
‫‪— .3‬‬
‫√ √‬
‫‪) .4‬א( ]‪[− 2, 2‬‬
‫)ב( ] ‪[ 61 , 14‬‬
‫)ג( )‪(−2.3, −1.7‬‬
‫)ד( )∞ ‪(−∞, −5) ∪ (15,‬‬
‫)ה( ) ‪(−∞, − 12‬‬
‫)ו( ]‪[−5, 5‬‬
‫‪) .5‬א( ]‪[−2, 2‬‬
‫)ב( ]‪(−∞, 0‬‬
‫)ג( }‪{x ∈ R | x 6= 0‬‬
‫)ד( }‪{x ∈ [−1, ∞) | x 6= πk, ∀k ∈ Z‬‬
‫)ה( )∞ ‪(−1,‬‬
‫‬
‫)‪(1‬‬
‫ ∞‬
‫‬
‫‪S‬‬
‫)ו( ‪4k 2 π 2 , (2k + 1)2 π 2‬‬
‫‪k=0‬‬
‫)ז( )‪[ π4 + kπ, π2 + kπ‬‬
‫∞‬
‫‪S‬‬
‫∞‪k=−‬‬
‫‪) .6‬א( אי זוגית‬
‫)ב( זוגית‬
‫)ג( לא זוגי ולא אי זוגי‬
‫)ד( אי זוגי‬
‫)ה( זוגי‬
‫)ו( אי זוגי‬
‫)ז( לא זוגי ולא אי זוגי‬
‫‪ .7‬הרכבה־ זוגית‬
‫כפל־ אי זוגי‬
‫‪ g(x)2‬זוגית‬
‫‪) .8‬א(‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫≤‪0≤y‬‬
‫)ב( ‪−1 ≤ y ≤ 1‬‬
‫‪2‬‬

Similar documents