בחינה בקורס: מתמטיקה בדידה 1 - Or-Alfa

‫חלק א' – שאלות פתוחות‪:‬‬
‫(ניקוד‪ 70 :‬נקודות)‬
‫שאלה ‪( :1‬ניקוד‪ 2 14  28 :‬נקודות)‬
‫הוכיחו ‪ 2‬מתוך ‪ 3‬המשפטים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תהי ‪ A  ‬ויהי ‪ R‬יחס שקילות מעל ‪ R . A‬משרה חלוקה של ‪. A‬‬
‫ב‪  0,1 .‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪ .‬נוסחת אויילר‪ :‬יהי ‪ G‬גרף מישורי קשיר‪ .‬אם נסמן ב‪ n -‬את מספר קודקודיו‪ ,‬ב‪-‬‬
‫‪ m‬את מספר צלעותיו וב‪ f -‬את מספר פאותיו‪ ,‬אז מתקיים‪. n  m  f  2 :‬‬
‫שאלה ‪( :2‬ניקוד‪) 3 14  42 :‬‬
‫ענו על ‪ 3‬מתוך ‪ 4‬הסעיפים הנתונים‬
‫א‪ .‬תהי ‪ X‬קבוצה לא ריקה ותהי ‪ .   C  X‬נגדיר יחס‬
‫הבא‪A  C  B  C  :‬‬
‫‪ )1‬הוכיחו כי‬
‫‪ )2‬נניח כי‬
‫‪B ‬‬
‫‪A‬‬
‫מעל ‪ P  X ‬באופן‬
‫‪A,B  P  X‬‬
‫הוא יחס שקילות מעל ‪. P  X ‬‬
‫=‪ . C= , X‬מצאו את כל המחלקות השקילות השונות של ‪P  X ‬‬
‫לגבי יחס השקילות‬
‫ואת קבוצת המנה‬
‫‪ . X‬מהי עוצמתה של‬
‫‪?X‬‬
‫נמקו‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הוכיחו‪ 0,1 ,‬‬
‫‪( .  0,1‬שימו לב! יש להוכיח את תכונות הפונקציות‬
‫שהגדרתם – חח"ע‪/‬הפיכות‪).‬‬
‫ג‪ 6[ )1 .‬נקודות] בכיתה ‪ 24‬תלמידים‪ .‬כל תלמיד שולח מכתב ל‪ 12-‬תלמידים‬
‫אחרים‪ .‬הוכיחו‪ ,‬תוך שימוש בעקרון שובך היונים‪ ,‬כי ישנם לפחות שני‬
‫תלמידים בכיתה ששולחים מכתבים זה לזה‪.‬‬
‫‪ 8[ )2‬נקודות] הוכיחו את הזהות הנתונה ע"י שיקולים קומבינאטורים‬
‫‪n  k 1 n  i‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪. 0  k  n  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪i 1  k  1‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪1‬‬
‫ד‪ .‬נגדיר )‪( G n  (V, E‬‬
‫הבא‪ :‬תהי ‪, b n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ) 2  n ‬להיות גרף פשוט‪ ,‬לא מכוון מסדר ‪ 2n‬באופן‬
‫‪,a n , b1 , b2 ,‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ V= a1 ,a 2 ,‬ו‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪E= a i , bi  1  i  n  a i ,a j 1  i  j  n  bi , b j 1  i  j  n‬‬
‫הוכיחו כי ‪ G n‬הוא גרף מישורי אם ורק אם ‪. n  3‬‬
‫(הדרכה‪ :‬יש להראות כי‬
‫(‪ )1‬אם ‪ n  3‬אז ‪ G n‬הוא גרף מישורי‬
‫(‪ )2‬אם ‪ n  4‬אז הגרף ‪ G n‬אינו מישורי)‬
‫חלק ב' – שאלות סגורות‪:‬‬
‫(ניקוד‪ 6  5  30 :‬נקודות)‬
‫ענו על ‪ 6‬מתוך ‪ 8‬השאלות הבאות‪:‬‬
‫‪ .3‬נגדיר יחס ‪ S‬מעל הקבוצה‪  :‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪.   a, b  ,  c,d    :  a, b  S  c,d    a  c  b  d ‬‬
‫הקבוצה ‪ ,S‬‬
‫‪‬‬
‫היא‪:‬‬
‫(‪ )1‬קבוצה סדורה חלקית (קס"ח)‬
‫(‪ )2‬קבוצה סדורה בסדר מלא (קס"מ)‬
‫(‪ )3‬קבוצה סדורה היטב (קס"ה)‬
‫(‪ )4‬כל התשובות דלעיל נכונות‪.‬‬
‫‪ .4‬יהי ‪ R‬יחס מעל קבוצה ‪ .A‬מה מן הבאים אינו אפשרי ?‬
‫(‪ R )1‬הוא יחס סימטרי‪ ,‬לא טרנזיטיבי‪ ,‬אנטי רפלקסיבי‪.‬‬
‫(‪ R )2‬הוא יחס סימטרי‪ ,‬אנטי סימטרי‪ ,‬לא טרנזיטיבי‪.‬‬
‫(‪ R )3‬הוא יחס סימטרי‪ ,‬אנטי סימטרי‪ ,‬רפלקסיבי‪.‬‬
‫(‪ R )4‬הוא יחס אנטי סימטרי‪ ,‬טרנזיטיבי‪ ,‬לא רפלקסיבי‪.‬‬
‫‪ .5‬תהי ‪ f : A  B‬פונקציה כלשהי‪ .‬מה מן הבאים נכון בהכרח ?‬
‫(‪ )1‬אם ‪ A‬בת‪-‬מניה‪ ,‬אז ‪ B‬בת‪-‬מניה‪.‬‬
‫(‪ )2‬אם ‪ f‬חח"ע ו‪ A  B -‬אינה בת‪-‬מניה‪ ,‬אז ‪ A‬אינה בת‪-‬מניה‪.‬‬
‫(‪ )3‬אם ‪ f‬על ‪ B‬ו‪ A  B -‬אינה בת‪-‬מניה‪ ,‬אז ‪ A‬אינה בת‪-‬מניה‪.‬‬
‫(‪ )4‬אף תשובה מהנ"ל אינה נכונה‪.‬‬
‫‪ .6‬השלימו בכל סעיף מהבאים אחד (ורק אחד מהסימנים)‪.  ,  :‬‬
‫‪ _____ 0,     0,    \ ‬‬
‫‪0,    0,    ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫עוצמת קבוצת כל היחסים (הבינאריים) מעל‬
‫‪‬‬
‫עוצמת קבוצת כל הסדרות הבינאריות האינסופיות שלא מופיע בהן‬
‫הרצף‪ _____ 10 :‬עוצמת קבוצת כל הסדרות הבינאריות הסופיות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪P‬‬
‫‪_____ P ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪P‬‬
‫‪‬‬
‫‪P‬‬
‫‪2‬‬
‫_____‬
‫‪‬‬
‫‪P ‬‬
‫‪ .7‬נתונות ‪ 9‬קוביות משחק לבנות ו‪ 13-‬צבעוניות (שאינן לבנות‪ ,‬כולן‬
‫בצבעים שונים)‪ .‬מטילים את כל הקוביות בו זמנית פעם אחת‪ .‬כמה‬
‫תוצאות שונות ניתן לקבל אם הקוביות מוטלות על פני שני שולחנות‬
‫שונים (אחד שולחן כתיבה והשני שולחן אוכל)‪ ,‬כאשר כל הקוביות‬
‫הלבנות מוטלות על פני אותו שולחן‪.‬‬
‫________________________________________________‬
‫________________________________________________‬
‫‪ .8‬מהו המספר המינימאלי של צלעות בגרף פשוט‪ ,‬לא מכוון‪ ,‬קשיר עם‬
‫‪ n‬קדקודים‪ ,‬שקוטרו שווה ל‪_______________________ ?2-‬‬
‫‪ .9‬יהי ‪ G‬גרף פשוט‪ ,‬לא מכוון מסדר ‪ .n‬יהי ‪ G‬הגרף המשלים של ‪ .G‬איזו מבין‬
‫הטענות הבאות נכונה בהכרח?‬
‫(‪ )1‬אם ‪ G‬קשיר אז ‪ G‬אינו קשיר‪,‬‬
‫(‪ )2‬אם ‪ G‬אינו קשיר אז ‪ G‬קשיר‪,‬‬
‫(‪ )3‬אם ‪ G‬מישורי אז ‪ G‬מישורי‪,‬‬
‫(‪ )4‬אם ‪ G‬מישורי אז ‪ G‬אינו מישורי‪.‬‬
‫‪ .10‬מהו מספר האפשרויות לפזר ‪ 01‬כדורים שונים ב‪ 3 -‬תאים שונים‪,‬‬
‫באופן שלפחות תא אחד נשאר ריק‪.‬‬
‫_________________________________________________‬
‫_____________________________________________________‬
‫__________________________________________________‬
‫‪3‬‬