Tryk her for at hente PDF

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE
TEMA: PYRAMIDER
I oldtiden regnede man med 7 underværker, hvilket var seværdigheder, som man fremhævede på grund
af deres størrelse, skønhed og udseende. Kun et enkelt af disse underværker står stadigvæk, næsten som
da den blev bygget: Kheopspyramiden i Giza i Egypten.
I skal nu i denne opgave arbejde med pyramider - herunder den mest kendte af dem alle, Keopspyramiden i Giza i Egypten.
Kheops-pyramiden
Problemstilling (1)
Giv jeres vurdering af Kheops-pyramidens
størrelse på baggrund af de oplysninger, I får i
faktaboksene til højre herfor.
Diskuter hvordan begrebet størrelse skal forstås, når vi taler om størrelsen af en pyramide
Sammenlign størrelsen af Kheopspyraminden med en bygning, I kender, f.eks.
et parcelhus.
Undersøg, hvad der er sket med pyramidens
størrelse siden den blev bygget i år 2560 f.kr.
Fakta om Kheopspyramiden i Giza
Højde oprindelig: 146,70 m
Sidelængde oprindelig: 230,50 m
Gennemsnitligt rumfang af en sten: 1 m3
Pyramidens vægt (anslået): 6,25 mill. ton
Højde i dag: 138,75 m
Sidelængde i dag: 225 m
© 2015 www.dagsberg.dk
Side 1
MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE
TEMA: PYRAMIDER
Gamle egyptiske måleenheder
Problemstilling (2)
Vis med nogle eksempler, hvordan man kan
omregne fra de gamle egyptiske måleenheder
til metersystemet.
Vis, hvordan man kan lave en formel eller en
funktion, der viser sammenhængen mellem de
egyptiske længdemål og metersystemet.
Vis, hvordan man kan illustrere sammenhængen mellem de egyptiske længdemål og metersystemet på grafisk form, f.eks. ved anvendelse af et dynamisk tegneprogram.
Vis, hvordan man kan anvende jeres illustration til at omskrive mellem egyptiske længdemål og meter.
Fakta om gamle ægyptiske længdemål:
1 Cubit = 52,388 cm
1 Cubit = 7 Shesep (håndbredder)
1 Shesep = 4 Djeba (Fingre)
© 2015 www.dagsberg.dk
Side 2
MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE
TEMA: PYRAMIDER
Knæk-pyramiden i Dahshur
Knækpyramiden i Dahshur
er bygget under farao Sneferu, der regerede 2575
-2551 før Kristus.
Problemstilling (3)
Vis, hvordan man kan beregne rumfanget af
Knækpyramiden.
På grund af problemer med underlaget - og fordi
pyramiden blev bygget for stejlt - måtte man gøre
vinklen mindre, da man havde bygget pyramiden
op i en vis højde (ca. 49 meter).
Vis, hvordan man kunne finde højden af pyramiden, hvis man havde valgt at bygge den
uden knækket.
Denne pyramide har fået flere øgenavne, og den
kaldes i dag mest ”The Bent Pyramide”
Se illustrationerne til venstre.
Undersøg om der er en matematisk sammenhæng mellem vinklen i knækket (herover 44o)
og højden af pyramiden
© 2015 www.dagsberg.dk
Side 3
MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE
TEMA: PYRAMIDER
Egypternes vinkelmål
Problemstilling (4)
Undersøg, om det er korrekt, at en seked på
15 Djeba giver en vinkel på 61,8o.
Kan I lave en tabel over sammenhængen mellem seked og grader som den er beskrevet i
faktaboksen?
Brug f.eks. et regneark eller et andet elektronisk værktøj til denne undersøgelse.
Ægypterne regnede ikke med vinkler, som vi
kender det i dag.
I stedet regnede de ved ”ikke-lodrette” (skrå)
sider med, hvor meget siden var forskudt i
forhold til lodret.
Dette kaldte ægypterne seked (sqd)
Metode:
Man måler 1 Cubit lodret opad, og derefter
hvor mange Djeba, Shesep eller Cubit, siden
er forskudt.
På skitsen nedenfor kan man se, at en seked
(forskydning) på 6 Djeba giver en vinkel på
77,9o og at en seked på 15 Djeba giver en
vinkel på ca. 61,8o.
En seked på 1 Cubit = en vinkel på 45o
En seked på 1 Djeba = en vinkel på ca. 88o
1 Cubit =
28 Djeba
6 Djeba
© 2015 www.dagsberg.dk
1 Cubit =
28 Djeba
15 Djeba
Side 4
MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE
TEMA: PYRAMIDER
Lav jeres egen pyramide:
Problemstilling (5)
Fremstil en pyramide på følgende måde:
Anvend et stykke kvadratisk papir (på f.eks.
20x20 cm), og find nu midtpunktet af hver af
siderne (se nedenfor).
Undersøg hvilken sidelængde i grundfladen,
der kan give det største rumfang for en pyramide, der klippes ud langs linjerne.
Grundflade
© 2015 www.dagsberg.dk
Side 5
Lærerside(r), supplerende spørgsmål og løsningsforslag
Problemstilling 1:
Giv jeres vurdering af Kheops-pyramidens størrelse
på baggrund af de oplysninger, I får i faktaboksene til
højre herfor.
”Størrelse” er et vidt begreb, men der kan bl.a. være
tale om følgende (regnet i metermål):
Højde: 146,70 m
Sidelængde: 230,50 m
Grundflade: 230,50·230,50 = 53.130,25 m2
Rumfang: 146,70·53130,25/3 = 2.598 069,225 m3
Højden i sidefladen: √115,252+146,702 = 186,55 m
Overflade: 4·0,5·186,55·230,50 = 85.999,55 m2
Diskuter hvordan begrebet størrelse skal forstås, når
vi taler om størrelsen af en pyramide
Se i beregningerne ovenfor…
Sammenlign størrelsen af Kheops-pyraminden med
en bygning, I kender, f.eks. et parcelhus.
Med et parcelhus på 160 m2 og i gennemsnit 5 m højt
(rumfang: 800 m3) er Keopspyramiden
ca. 2,6 mill./800 = 3250 gange større.
Undersøg, hvad der er sket med pyramidens størrelse
siden den blev bygget i år 2560 f.kr.
Pyramiden er sunket noget sammen (vind og vejr?)
Ændring i højden: 146,70-138,75 = 7,95 m
- i procent: 5,42 %
Ændring i sidelængden: 230,50-225 = 5,50 m
- i procent: 2,39 %
© 2015 www.dagsberg.dk
Side 6
Lærerside(r), supplerende spørgsmål og løsningsforslag
Problemstilling 2:
Vis med nogle eksempler, hvordan man kan omregne
fra de gamle egyptiske måleenheder til metersystemet.
F.eks:
1 Shesep = 52,388/7 = 7,484 cm
1 Djeba = 7,484/4 = 1,871 cm
Vis, hvordan man kan lave en formel eller en funktion, der viser sammenhængen mellem de egyptiske
længdemål og metersystemet.
Et egyptisk mål kan opgives som et tocifret decimaltal: a,bc - hvor a = Cubit, b = Shesep og c = Djeba
Et mål på a,bc omregnes til (i meter)
y = (a·52,388 + b·7,484 + c·1,871) cm
Ganger man Shesep med 4, får man et udtryk, der kun
består af Cubit og Djeba, idet 1 Cubit = 28 Djeba.
Vis, hvordan man kan illustrere sammenhængen mellem de egyptiske længdemål og metersystemet på
grafisk form, f.eks. ved anvendelse af et dynamisk
tegneprogram.
Der kan opstilles en lineær funktion (ligefrem proportionalitet) til omregning mellem Cubit (x) og meter
(y), idet man får
y = 0,52388·x
Meter
Cubit
© 2015 www.dagsberg.dk
Side 7
Lærerside(r), supplerende spørgsmål og løsningsforslag
Problemstilling 3:
Vis, hvordan man kunne finde højden af pyramiden,
hvis man havde valgt at bygge den uden knækket.
Højden = 94,3·tan(54,5) = 94,3·1,402 = 132,2 m
Vis, hvordan man kan beregne rumfanget af Knækpyramiden.
Først findes længden af det røde linjestykke herunder:
x = 49,07/tan(54,5) = 35 m
Sidelængden øverst = 188,6 - 2·35 = 118,6 m
Rumfanget af Knækpyramiden findes nu som summen af to rumfang; nederst en pyramidestub, øverst
en pyramide.
Pyramide: 118,62·56/3 = 262.565 m3
Stub: 49,07·(188,62 + 118,62 + √188,62·118,62)/3 =
1.177.743 m3
Rumfang i alt = 272564 + 1177743 = 1.450.307 m3
Kan I finde en matematisk sammenhæng mellem
vinklen i knækket (herover 44o) og højden af pyramiden?
© 2015 www.dagsberg.dk
Højden af Knækpyramiden:
HøjdeI alt = HøjdeNederst + HøjdeØverst
HøjdeI alt = 49,07 + 118,6/2·tan(v)
HøjdeI alt = 49,07 + 59,3·tan(v)
Side 8
Lærerside(r), supplerende spørgsmål og løsningsforslag
Problemstilling 4:
Undersøg, om det er korrekt, at en seked på 15 Djeba
giver en vinkel på 61,8o.
<A = tan-1(a/b)
<A = tan-1(28/15)
<A = tan-1(1,8667)
<A = 61,82o
Ja, det er korrekt
Kan I lave en tabel over sammenhængen mellem seked og grader?
Tabellen ses herunder.
Denne kan også udvides til flere Djeba (= mindre
vinkler)
Tabellen laves på baggrund af følgende udregninger,
idet x = antal Djeba:
<A = tan-1(28/x)
© 2015 www.dagsberg.dk
Djeba
Grader
Djeba
Grader
1
87,95
15
61,82
2
85,91
16
60,26
3
83,88
17
58,74
4
81,87
18
57,26
5
79,88
19
55,84
6
77,91
20
54,46
7
75,96
21
53,13
8
74,05
22
51,84
9
72,18
23
50,60
10
70,35
24
49,40
11
68,55
25
48,24
12
66,80
26
47,12
13
65,10
27
46,04
14
63,43
28
45,00
Side 9
Lærerside(r), supplerende spørgsmål og løsningsforslag
Problemstilling 5:
Sæt sidelængden i den kvadratiske grundflade til x.
Når papiret er 20 cm i bredden, vil højderne i de små
trekanter blive (20 - x)/2 = 10 - 0,5·x cm
(Se illustrationen øverst til venstre).
Højden i de små trekanter er ikke den samme som
højden i pyramiden, idet de små trekanter foldes ind
over den kvadratiske grundflade. Dermed skal højden
af pyramiden findes ved brug af Pythagoras, jf. skitsen nederst til venstre:
Højden (h) findes ved Pythagoras:
b2 = c2 - a2
h2 = (10 - 0,5·x)2 - (0,5·x)2
h2 = 100 - 10·x
h = √(100 - 10·x)
Rumfanget af pyramiden kan nu findes som:
V = G·h/3
V = x2· √(100 - 10·x) /3
Denne formel indtastes som en funktion i Geogebra,
hvorved man får nedenstående kurve.
Bruges værktøjet Maks, kan man få Geogebra til at
angive punktet (8 , 95.41) som ”toppunkt”.
Man får altså det største rumfang, når
sidelængden i grundfladen er 8 cm.
Og herved fås rumfanget 95,41 cm3.
Ved papirer af andre størrelser fås det
største rumfang, når sidelængden er 8/20
af bredden, altså udgør 40% af bredden.
© 2015 www.dagsberg.dk
Side 10