Opret en dato vha. en makrooptagelse

Facit til øvelser i Matema10k B-niveau
Variabelsammenhænge s. 22-24
Øvelse 1
A = 2b 2 hvor b er husets bredde og A er arealet.
Øvelse 2
Rumfang af keglen: V = 13 G · h, hvor V er rumfang, G er grundfladeareal og h er højden.
Grundfladearealet: G = π · r 2 , hvor G er arealet og r er radius i grundfladen.
Øvelse 3
π 2
Svar: A = s 2 − 16
s , hvor A er arealet og s er kvadratets sidelængde.
Øvelse 4
Hvis A4-papirets længde kaldes l og bredden kaldes b, mens sidelængden i de afklippede kvadrater kaldes x fås kassens rumfang, V :
V = (l − 2x)(b − 2x)x
Øvelse 5
Hvis terningens sidelængde kaldes l , terningens overfladeareal O og terningens rumfang V
fås:
O = 6l 2
og V = l 3
Hvis sidelængden fordobles fås rumfanget V = (2l )3 = 8l 3 — altså 8-dobles rumfanget.
Hvis sidelængden fordobles får overfladearealet O = 6(2l )2 = 4(6l 2 ) — altså 4-dobles overfladearealet.
Øvelse 6
Skrivemåde
Intervallet illustreret på en tallinje
[1; 3, 5]
1
3.5
] − 6 ; 9[
−6
9
3
] − ∞; 3]
] − ∞; ∞[
Øvelse 7
Skrivemåde
[0; 11[
] − ∞; 4[
Intervallet illustreret på en tallinje
0
11
4
[1, 5; 3, 5]
1.5
3.5
] − 3; 3[
−3
3
1
Øvelse 8
Hvis antallet af studerende kaldes s og antallet af lærere kaldes l fås 6l = s.
Øvelse 9
E = 2T
Øvelse 10
a(b + c) = ab + ac
Øvelse 11
x = 74
x = − 23
Øvelse 12
8
3
x=
og y = −
7
7
20
4
x=
og y =
3
3
51
x=
og y = 4
10
Øvelse 13
−3x
2ab − 2a
−8
Proportionalitet s. 33-34
Øvelse 1
28 500 kr.
Øvelse 2
Absolutte tilvækst: 562, 00 kr.
Relativ tilvækst: 14, 2%.
Øvelse 3
k = 1, 5
x
1
2
3
23, 3
y
1, 5
3
4, 5
35
Øvelse 4
x
1
3
30
50
y
5
15
150
250
2
Øvelse 5
k = 15 = 0, 2
x
1
3
5
7
y
0, 2
1
15
1
25
1
35
Øvelse 6
x
2
4
6
y
3
1, 5
1
8
6
8
Øvelse 8
x
2
5
10
23
48
y
21
52
104
241
500
y
x
10, 50
10, 40
10, 40
10, 48
10, 42
Vækstmodeller s. 52-53
Øvelse 1
f (x) = 1, 6x + 3, 6
Øvelse 2
f (x) = 4x + 2
Øvelse 3
f (x) = 2x − 11
x = 39
Øvelse 4
f (x) = 37, 5 · 1, 0145x
7, 46%
Øvelse 5
f (x) = 1, 890 · 1, 0595x
Øvelse 6
f (x) = 22, 55 · 0, 9445x
Øvelse 7
f (x) = 669, 7 · 0, 9510x
Øvelse 8
13, 1%
3
36, 9%
Øvelse 9
88, 6 cm
33, 6%
Øvelse 10
f (x) = 14, 4 · x 0,2608
Funktionsteori s. 60
Øvelse 1
A, D, E og F
Øvelse 2
Dm( f ) = [8; ∞[
Øvelse 3
Dm( f ) =] − ∞; −1[ ∪ ]−1; 1[ ∪ ]1; ∞[ = R \ {−1, 1}
Øvelse 4
Vm( f ) = [−35; 46]
Øvelse 5
Dm( f ) = [−5; 3[
Øvelse 6
Dm( f ) = [−2; ∞[
Vm( f ) = [0; ∞[
Øvelse 7
f (x) = −0, 4x + 14, 8
Andengradspolynomier s. 76-80
Øvelse 1
T = (−2, 5 ; −0, 5)
T = (−2, 5 ; 0, 5)
T = (−1 ; −1)
Øvelse 2
T = (0 ; −12)
T = (−0, 5 ; 20, 25)
T = (−0, 5 ; 2, 25)
Øvelse 3
Vm( f ) =] − ∞; 0]
4
Øvelse 4
Vm( f ) = [2; ∞[
Øvelse 5
Vm( f ) =] − ∞ ; 1, 333]
Øvelse 6
a = 2;
b = −1;
c =2
Øvelse 7
a = 3,
b = 3,
c = −3
Øvelse 8
x = −1
Øvelse 9
x = −2
Øvelse 10
p
p
5
x 1 = −5+2 5 = −1, 3820 , x 2 = −5−2
x 1 = −4 og x 2 = −1
x 1 = −3 og x 2 = 1
= −3, 618
Øvelse 11
f : Ingen rødder.
g : x 1 = −2 og x 2 = 95 = 1, 8
h : x = −1
Øvelse 12
x 1 = −2 og x 2 = 1, 5
x 1 = −2, 5 og x 2 = 1
x 1 = −2, 5 og x 2 = 2, 5
Øvelse 13
x 1 = 0 og x 2 = 4
Ingen løsninger
p
p
x 1 = −3 + 2 = −1, 5858 og x 2 = −3 − 2 = −4, 4142
Øvelse 14
f (x) = 2(x + 2)(x − 3)
Øvelse 15
f (x) = (x + 3)2
5
Øvelse 16
f (x) = 5(x + 2)(x + 6)
g (x) = −7(x − 1)(x + 8)
h(x) = 2(x + 3)2
Øvelse 17
f (x) = 8(x + 32 )(x − 12 )
g kan ikke faktoriseres
h kan ikke faktoriseres
Øvelse 18
Øvelse 19
6
Øvelse 20
Øvelse 21
c er positiv
Øvelse 22
b er positiv
Øvelse 23
a < 0, b < 0, c < 0, d < 0
Øvelse 24
f : 5. grad, højst 5 rødder
g : 7. grad, højst 7 rødder
h˙ : 4. grad, højst 4 rødder
Øvelse 25
f : 8. grad, højst 8 rødder
g : 6. grad, højst 6 rødder
h : 4. grad, højst 4 rødder
Øvelse 26
4. grad, højst 4 rødder. Nulreglen fortæller at f (x) er 0 hvis en af faktorerne er 0. 3, −4, 1 og −7
er rødder.
Øvelse 27
For eksempel ligningen 0 = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)
Øvelse 28
Fejl i opgaven. Polynomiet skulle være givet ved forskriften:
p(x) = 3x 5 + 45x 4 + 255x 3 + 675x 2 + 822x + 360 .
I så fald er rødderne −1, −2, −3, −4, −5.
7
Øvelse 29
Vi ser at f er et 6. gradspolynomium. f har således højst 6 rødder. Men r 1 , ..., r 6 er rødder i f
og forskellige. Da har f netop disse 6 rødder.
Differentialregning s. 103
Øvelse 1
f
f
f
f
f
0
1 (x) = 6x − 9
0
2
6
2 (x) = 18x + 21x − 5
0
6
−4
3 (x) = 35x + 6x
0
−2
4 (x) = 5x
0
4
−4
5 (x) = 8 − 15x + 6x
Øvelse 2
f 0 (2) = 160, 25
Øvelse 3
y = −x − 8
Øvelse 4
(x, y) = (2, 5)
Øvelse 5
(x, y) = (−3, −1)
Øvelse 6
Punkterne (x, y) = (4, −60) og (x, y) = (−2, 48)
Anvendelse af differentialregning s. 116
Øvelse 1
Minimum er −4 og V m( f ) = [−4; ∞[
Øvelse 2
p
f er aftagende i ] − ∞; 3− 2 97 ] = ]−∞ ; −3, 424]
p
f er voksende i [ 3− 2 97 ; 0] = [−3, 424 ; 0]
p
f er aftagende i [0; 3+ 2 97 ] = [0 ; 6, 424]
p
f er voksende i [ 3+ 2 97 ; ∞[ = [6, 424; ∞[
p
p
f har lokalt minimum y = 97 97−1199
= −30, 458 for x = 3− 2 97 = −3, 424
8
f har lokalt maksimum y = 24pfor x = 0
p
f har lokalt minimum y = −97
97−1199
8
= −269, 292 for x = 3+ 2 97
Øvelse 3
f er aftagende i ] − ∞; −4]
f er voksende i [−4; 1]
8
f er aftagende i [1; 6]
f er voksende i [6; ∞[
f har lokalt minimum y = −142 for x = −4
= 14, 25 for x = 1
f har lokalt maksimum y = 57
4
f har lokalt minimum y = −142 for x = 6
Vm( f ) = [−142; ∞[
Øvelse 4
Dåsens højde er 10, 8385 cm, og radius i bundfladen er 5, 41926 cm
Differentialregning og vækstmodeller s. 128
Øvelse 1
f (x) = 267 · e 0,1672x
Øvelse 2
f 0 (x) = 10, 71 · e 0,51x
Øvelse 3
f 0 (5) = 16, 44
Øvelse 4
101, 4%
Øvelse 5
−59, 3% (dvs. et fald pr. enhed på 59, 3%)
Integralregning s. 145-46
Øvelse 1
R
F (x) = (x 3 − 3x 2 + x − 11)d x = 14 x 4 − x 3 + 21 x 2 − 11x
Øvelse 2
Dm(F ) ³=]0; ∞[ = ´R +
0
p
F 0 (x) = 2 x − x12 = p1x + x23
Øvelse 3
R
(4x 2 − 2 + x −2 )d x = 43 x 3 − 2x − x1
Øvelse 4
R 3
(x + x 2 + 1)d x = 41 x 4 + 13 x 3 + x + k
Øvelse 5
1 3
x + 32 x 2 + 5x − 47
3
3
9
Øvelse 6
R
(5x 3 − 4x 2 + 5)d x = 54 x 4 − 43 x 3 + 5x
Øvelse 7
A(x) = x 2 + 3x
A 0 (x) = 2x + 3
Øvelse 8
R4p
xd x = 14
= 4 23
1
3
Øvelse 9
a =3
Øvelse 10
R5
= 10 23
A = − 1 (x 2 − 6x + 5)d x = 32
10
Øvelse 11
x 1 = 1 og x 2 = 4
Areal er A = 29
Øvelse 12
¡
¢
R
2 7
(ln x) · (2x 6 − 5)d x = − 49
x + 5x + 27 x 7 − 5x ln x
Øvelse 13
572, 54
Øvelse 14
a = 3, 5
Trigonometri s. 229
Øvelse 1
Der er to løsninger:
Løsning 1: c = 5, 97 ; A = 128, 13◦ ; C = 14, 87◦
Løsning 2: c = 23, 25 ; A = 51, 87◦ C = 91, 13◦
Øvelse 2
A = 33, 94◦
;
Areal: T = 184, 28
;
B = 85, 44◦
Øvelse 3
A = 55, 54◦
;
C = 39, 02◦
;
a = 15, 71
Øvelse 4
C = 115, 53◦
;
b = 33, 51
10
Øvelse 5
Der er desværre trykfejl i opgaveteksten: Der skal stå: “siderne BC og AD er parallelle”.
|C D| = 14, 91 ; C = 39, 06◦ ; D = 140, 94◦
Øvelse 6
|C D| = 31, 99 ;
|AC | = 36, 21
11