MS-A0103 / Syksy 2015 Harjoitus 5 / viikko 41

MS-A0103 / Syksy 2015 Harjoitus 5 / viikko 41

MS-A0103 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
Varpanen / Väisänen
MS-A0103 / Syksy 2015
Harjoitus 5 / viikko 41 / alkuviikko
Alkuviikon harjoitusten aihepiiri: epäoleellinen integraali, integraalin sovelluksia.
Alkuviikon tuntitehtävä 1: Suppeneeko vai hajaantuuko epäoleellinen integraali1
Z 1 −x
e
dx ?
x
0
Vihje: Taylor.
Alkuviikon tuntitehtävä 2: Torstain 1.10. luennolla laskimme Gabrielin torven2
tilavuudeksi π yksikköä. Miksi torven pinnan ala on ääretön? Vihje: käytä arviota muotoa
1 + a2 ≥ 1.
Alkuviikon tuntitehtävä 3: Padon seinän (pystysuora) korkeus on h ja leveys w.
Oletetaan, että pato on täynnä vettä, jonka tiheys on ρ = vakio. Mikä on veden seinään kohdistama kokonaisvoima? Vihje: verkkoluento 38 (Elements) kohdasta 06:36 eteenpäin.
Alkuviikon tuntitehtävä 4: Bensiinikäyttöisen urheiluauton kiihtyvyys a paikan
x funktiona on a(x) = x. Auton kiihdyttäessä se polttaa bensiiniä ja sen massa m
vähenee kaavan m(x) = 1 + e−x mukaisesti. Miten paljon työtä tehdään, kun auto
ajetaan paikasta x = 0 paikkaan x = 3? Vihje: työ = voima · matka. Voima F = ma; tässä F (x) = m(x)a(x).
1
Epäoleellinen integraali suppenee, jos se on äärellinen reaaliluku; muulloin se hajaantuu.
Gabrielin torvi on kappale, joka muodostuu, kun käyrä y = 1/x, 1 ≤ x < ∞, pyörähtää x-akselin
ympäri.
2
Tiedostoa viimeksi muokattu: 2. lokakuuta 2015 16:34
1/4
MS-A0103 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
Varpanen / Väisänen
MS-A0103 / Syksy 2015
Harjoitus 5 / viikko 41 / alkuviikko
Tehtävänanto liittyy verkkoluentoon 39: Averages.
Alkuviikon kirjallinen 1: Kerro omin sanoin (tieteellisen selkeästi) mitä virkaa on
luennon lopussa (noin 11:20 alkaen) esiintyvällä RMS-keskiarvon käsitteellä. Johda
kaava (perustele luennon välivaiheet) sinijännitteen RMS-keskiarvolle
Vp
Vrms = √ .
2
Alkuviikon kirjallinen 2: On intuitiivisesti uskottavaa, että x-koordinaatin keskiarvo yksikköympyrällä {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1} on nolla. Samoin on uskottavaa,
että termin x2 keskiarvo yksikköympyrällä on aidosti positiivinen.
a) Mitä oikeastaan tarkoittaa ”termin x2 keskiarvo yksikköympyrällä” ? Ilmaise
keskiarvo integraalina. Integraalia ei tarvitse laskea.
b) Miksi x-koordinaatin keskiarvo yksikköympyrällä on nolla?
c) Osaatko laskea a-kohdan keskiarvon?
Vihjeitä: kaarenpituuselementti on dL =
p
dx2 + dy 2 ja yksikköympyrän voi parametrisoida asettamalla
x = cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ 2π.
Kirjalliset tehtävät palautetaan seuraavaan loppuviikon harjoitustilaisuuteen tai laskutupaa vastapäätä olevaan lokeroon viimeistään perjantaina
9.10. klo 16:00.
Tiedostoa viimeksi muokattu: 2. lokakuuta 2015 16:34
2/4
MS-A0103 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
Varpanen / Väisänen
MS-A0103 / Syksy 2015
Harjoitus 5 / viikko 41 / loppuviikko
Loppuviikon harjoitusten aihepiiri: Numeerinen integrointi (tiistain 6.10. luento) ja
Taylor-sarja (torstain 8.10. luento).
Loppuviikon tuntitehtävä 1:
Tässä ja seuraavassa tehtävässä verrataan trapetsoidi-, keskipiste- ja Simpsonin menetelmiä integraalin
Z 1
dx
= arctan 1 = π/4 ≈ 0, 7853982
2
0 1+x
laskemisessa. Kirjoita välivaiheet käsin paperille ikään kuin käytössäsi olisi vain
yksinkertainen (ei-ohjelmoitava) laskin.
a) Laske T4 (trapetsoidimenetelmä, kun N = 4). Miten suuri virhe syntyy verrattuna tarkkaan arvoon?
b) Vertaa a-kohda virhettä luennolla (ti 6.10.) esitettyyn virherajaan. Miksi virhe
on melko kaukana virherajasta?
Loppuviikon tuntitehtävä 2: Kuten edellinen tehtävä, mutta trapetsimenetelmän
T4 :n asemesta Simpsonin menetelmä S4 .
Loppuviikon tuntitehtävä 3: Kun silikoninen jongleerauspallo pudotetaan levosta sileälle kivilattialle, se pomppaa takaisin korkeudelle, joka on 90 % pudotuskorkeudesta. Laske pallon pomppima kokonaismatka, kun se pudotetaan 1, 3 metrin korkeudelta.
Loppuviikon tuntitehtävä 4: Osoita suhdetestin avulla, että sarja
∞
X
xk
k=0
k!
suppenee kaikilla x ∈ R.
Tiedostoa viimeksi muokattu: 2. lokakuuta 2015 16:34
3/4
MS-A0103 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
Varpanen / Väisänen
MS-A0103 / Syksy 2015
Harjoitus 5 / viikko 41 / loppuviikko
Z
Kirjallisissa tehtävissä arvioidaan integraalia
1
2
e−x dx Taylor-polynomin avulla.
0
Loppuviikon kirjallinen 1:
2
a) Kirjoita funktion f (x) = e−x Taylor-polynomi Pn (x) ja virhetermi En (x) pisteen
0 ympäristössä.
b) Arvioi virhetermin En (x) itseisarvon suuruutta, kun 0 ≤ x ≤ 1.
Vastaus: |En (x)| ≤
x2n+2
.
(n + 1)!
Loppuviikon kirjallinen 2:
Z
1
2
e−x dx korvataan intea) Perustele edellisen tehtävän b-kohdan avulla: kun
0
Z 1
1
Pn (x) dx, niin virhe on pienempi kuin
graalilla
.
(n + 1)!(2n + 3)
0
b) Kuinka suuri on luvun n oltava, jotta virhe edellä olisi pienempi kuin 0, 0001?
Z 1
2
e−x dx siten, että virhe on pienempi kuin 0, 0001. Vastaus: 0, 74684.
c) Määritä
0
Kohdissa b) ja c) tarvitset laskinta tai tietokonetta.
Kirjalliset tehtävät palautetaan seuraavaan loppuviikon harjoitustilaisuuteen tai laskutupaa vastapäätä olevaan lokeroon viimeistään tiistaina 13.10.
klo 16:00.
Tiedostoa viimeksi muokattu: 2. lokakuuta 2015 16:34
4/4