Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 3 / Syksy 2015

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3
Rasila / Majander
Differentiaali- ja integraalilaskenta 3
Harjoitus 3 / Syksy 2015
Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Tehtävät 4-6 ratkaistaan ennen loppuviikon harjoituksia, joissa ratkaisut esitetään taululla. Tehtävien 7 ja 8 ratkaisut palautetaan kirjallisesti seuraaviin alkuviikon harjoituksiin mennessä. Lisäksi tällä viikolla on kaksi verkkotehtävää.
Tuntitehtävä 1: Tutki onko vektorikenttä
F (x, y, z) = xi − 2yj + 3zk
konservatiivinen. Myönteisessä tapauksessa etsi vektorikenttään F liittyvä skalaaripotentiaali φ.
Tuntitehtävä 2: Metallilanka seuraa parametrisoinnin
r(t) = 3t i + 3t2 j + 2t3 k,
(0 ≤ t ≤ 1)
määräämää käyrää C. Määritä langan massa, kun sen tiheys pisteessä r(t) on 1 + t grammaa
pituusyksikköä kohden.
Vihje: Tämä saadaan laskettua kaavalla
Z 1
f (r(t))|r0 (t)|dt,
0
jossa f (r(t)) on kappaleen tiheys pisteessä r(t). Ks. luento 5 s.16.
Tuntitehtävä 3: Laske viivaintegraali
Z
x2 ds,
C
kun käyrä C on tasojen x−y +z = 0 ja x+y +2z = 0 leikkaussuoran pisteitä (0, 0, 0) ja (3, 1, −2)
yhdistävä osa.
Vihje. Etsi ensin C:n parametrisointi C(t). Tämän jälkeen integraali lasketaan vastaavasti kuin
edellisessä tehtävässä.
Tiedostoa viimeksi muokattu: September 10, 2015
1/2
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3
Rasila / Majander
Taulutehtävä 4: Osoita, että parametrisoinnin
r(t) = a cos t sin ti + a sin2 tj + a cos tk,
(0 ≤ t ≤
π
),
2
määräämä käyrä C on origokeskisen pallon pinnalla. Määritä
Z
x ds.
C
Taulutehtävä 5: Tutki, onko vektorikenttä
F (x, y) =
2(xi − yj)
x2 + y 2
konservatiivinen. Jos se on konservativinen, määritä skalaaripotentiaali φ.
Taulutehtävä 6: Laske vektorikentän viivaintegraali
Z
F(x, y, z) · dr,
C
kun F(x, y, z) = (y +z)i+x(j+k) ja C on pisteitä (0, 1, 1) ja (0, −1, −1) yhdistävä osa sylinterin
x2 + y 2 = 1 ja tason z = y leikkauksesta.
Vihje: Tutki aluksi, onko F konservatiivinen.
Palautettava tehtävä 7: Metallilanka C on taivutettu parametrisoinnin
x(t) = cos t, y(t) = sin t, z(t) = t, t ∈ [0, T ],
määräämän helix-käyrän (kierrejousi) muotoon. Määritä C:n massa, kun tiheys on δ(x, y, z) = y.
Palautettava tehtävä 8: Määritä voimakentän
F(x, y, z) = (x + yz)i + xzj + (z + xy)k
tekemä työ kappaleen liikkuessa kyseisessä kentässä pisteestä (0, 2, −1) pisteeseen (4, 5, 0) laskemalla integraali
Z
F(x, y, z) · dr,
W =
C
missä C on pisteitä yhdistävä polku. Integraalin arvo ei riipu valitusta polusta C. Miksi?
Tiedostoa viimeksi muokattu: September 10, 2015
2/2