763101P Fysiikan matematiikkaa kesä 2015 Jakso 3 Näytä laskut

763101P Fysiikan matematiikkaa
Jakso 3
Näytä laskut viimeistään torstaina 21.5. tai palauta viimeistään perjantaina 22.5.
kesä 2015
Vektorit
1. a) Mitkä suureista
massa, tiheys, nopeus, kiihtyvyys, tilavuus, voima, energia, teho ja aika
ovat vektoreita ja mitkä skalaareja?
b) Kärpänen kävelee seinällä suoraa viivaa pitkin 50 cm, jolloin se liikkuu
pystysuunnassa 30 cm ylöspäin. Etsi kärpäsen siirtymää kuvaava vektori.
2. Tarkastellaan vektoreita A  2ˆi  3ˆj  kˆ ja B  ˆi  2ˆj  kˆ .
Laske a) R = A  B , b) R c) vektorin R suuntainen yksikkövektori R̂ .
3. Suora joki virtaa lännestä itään. Veden virtausvauhti on 3 km/h. Soutuvauhtisi tyynessä vedessä
on 5 km/h. Mihin suuntaan sinun on soudettava, jotta pääsisit suoraan joen yli etelästä
pohjoiseen. Kuinka kauan soutumatka kestää, kun joen leveys on 500 metriä?
4. Määritä luku a siten, että vektorit A  2ˆi  ˆj  3kˆ , B  5ˆi  3ˆj  kˆ ja C  12ˆi  5ˆj  akˆ ovat
saman tason suuntaiset. Vihje: Vektorit A ja B virittävät tason ja kolmas vektori C on tässä
tasossa, jos se voidaan kirjoittaa A:n ja B:n lineaarikombinaationa, ts. muodossa C   A   B ,
missä  ja  ovat vakioita.
5. Laske vektorin 4ˆi  3ˆj  kˆ projektion pituus pisteiden (2,3,-1) ja (-2,-4,3) kautta
kulkevalla suoralla.
6. Kappaletta siirretään suoraa viivaa pitkin pisteestä (1, 1, 1) pisteeseen (2, 3, 2) voimalla
F  3ˆi  2ˆj  kˆ . Laske tehty työ SI-yksiköissä.
7. Osoita käyttäen vektoreita, että kolmio, jonka kulmat ovat pisteissä (1,1), (2,5) ja (10,1) on
suorakulmainen kolmio.
Vastaukset
1. a) mieti
b) (40cm)ˆi  (30cm)ˆj tai (40cm)ˆi  (30cm)ˆj
Tässä y-akseli osoittaa ylöspäin ja x-akseli vaakasuuntaan (kuten normaalista).
Vastauksen voit myös muotoilla vektorin pituuden ja kulman avulla:
Pituus 50 cm kulmassa noin 36,9 (tai 143,1) astetta x-akselista mitattuna.
2. a) ˆi  ˆj b)
2 c)
1 ˆ 1 ˆ
i
j
2
2
3. Pohjoissuunnasta kulman   36,87 verran länteen (ks. kuva).
Aika on 1/8 tuntia eli noin 7,5 minuuttia.
4. a = 1
5. 1
6. 4 Nm = 4 J
7. osoita