Lh1_2015

LUT/MaFy
Kirsi Ikonen
BM30A2600 Mekaniikan perusteet
Harjoitus 1, Viikko 37, s. 2015
Jos olet valinnut laskuharjoituksia 2 x 2h/vk: Tehtävät 1-3 tehdään 1. harjoituskerralla ja tehtävät 4-6
2. harjoituskerralla.
Jos olet valinnut laskuharjoituksia 3h/vk: Tehtävät 1-6 tehdään samalla harjoituskerralla.
Tee etukäteen mahdollisimman paljon tehtäviä. Harjoituksissa voit kysyä sitten vaikeampia kohtia.
1. Laske funktion 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 derivaatta pisteessä x = -3, x = -1 ja x = 1. Piirrä funktion
kuvaaja ja mieti, mitä saamasi tulos kuvaa (piirrä).
2. Laske seuraavien käyrän ja x-akselin rajoittama pinta-ala välillä [1,2] seuraavilla funktioilla:
a) 𝑓 (𝑥 ) = 3𝑥 + 2 , b) (𝑥 ) = 𝑥 2 .
3. Olkoon vektori A = 3i + 2j ja vektori B = - i + 4j.
a) Määrää vektoreiden suuruus ja suunta.
b) Muodosta vektorit C = A + B, D = A - B ja E = B- A.
c) Laske vektorien pistetulo.
d) Laske vektoreiden A ja B ristitulon itseisarvo.
4. Oheiseen kuvioon on piirretty vektorit A, B ja C. Kirjoita vektoreiden yhtälöt.
5. Kappaleen nopeusvektorin suunta on 40° positiivisen x-akselin alapuolelle. Nopeuden ykomponentin suuruus on 10 m/s. Laske nopeusvektorin x-komponentin suuruus ja vektorin pituus
(kappaleen vauhti).
6. Kun kappale on tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä, sen nopeus hetkellä t on 𝑣(𝑡) = 𝑣0 + 𝑎𝑡, missä 𝑣0
on kappaleen alkunopeus hetkellä t = 0 ja a on kappaleen kiihtyvyys (a on vakio).
a) Kappaleen paikan muutos alkuhetkestä hetkeen t saadaan määrätyn integraalin avulla eli pintaalana, joka jää nopeuskuvaajan (suora) ja t-akselin väliin. Määritä lauseke kappaleen paikan
muutokselle graafisesti.
𝑑𝑥
b) Määritä lauseke kappaleen paikan muutokselle integroiden, kun tiedetään, että 𝑣 = 𝑑𝑡 .
Vastauksia:
1. -4 ; 0 ; 4 2. a) 6,5 b) 2,333 3. a) 3,6 ; 4,1 ; 56° ; 104° b) 2i + 6j ; 4i - 2j ; - 4i + 2j c) 5 d) 14,0
4. A = (28,2 i + 10,3 j ) m ; B = (-40i +30 j ) m ; C = (7,1i – 7,1j ) m
5. vx = 11,9 m/s ; v = 15,6 m/s 6. Δ𝑥 = 𝑣0 𝑡 + 1⁄2 𝑎𝑡 2