Malliratkaisut 4

HY / Avoin yliopisto
Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015
Harjoitus 4 – Ratkaisuehdotuksia
Tehtäväsarja I
Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin.
1. Merkitään X = {1, 2, 3, 4}. Ovatko seuraavat säännöt kuvauksia?
(a) f : X → X , f (x) = 4
b−a
a
= 2
b
b + a2
(c) h : Q → Q , h
(b) g : X → X , g(x) = x + 1
(d) τ : R → R , τ (x) =
2
.
x
Ratkaisu:
(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.
(b) Ei. Lähtöjoukon alkio 4 kuvautuu luvulle 5, joka ei kuulu maalijoukkoon.
(c) Ei. 0 =
0
1
= 20 , mutta
0
1−0
1
2−0
0
h( ) = 2
= 1 6= = 2
= h( ).
2
2
1
1 +0
2
2 +0
2
Näin ollen luku 0 ei kuvaudu täsmälleen yhteen alkioon.
(d) Ei. τ (0) =
2
0
∈
/ R.
2. Olkoon X = {1, 2, 3}. Mitkä seuraavista kuvauksista ovat samoja?
1
1
1
, 3 7→
f2 : X → Q, f2 (x) = 2
4
9
x
1
1
1
f3 : X → Q, 1 7→ 1 , 2 7→ , 3 →
7
f4 : N r {0} → Q, f4 (x) = 2
4
9
x
2
.
f5 : X → Q, f5 (x) = 3
2
2x − 10x + 22x − 12
f1 : X → R, 1 7→ 1 , 2 7→
Ratkaisu: Kuvauksilla pitää olla sama lähtö ja maali, jotta ne voivat olla samat.
Huomataan, että ehto toteutuu kuvauksilla f2 , f3 ja f5 . Sijoittamalla x:n paikalle
lähtöjoukon alkiot 1, 2 ja 3 huomataan, että f2 (1) = f3 (1) = f5 (1), f2 (2) = f3 (2) =
f5 (2) ja f2 (3) = f3 (3) = f5 (3). Näin ollen f2 = f3 = f5 .
3. (a) Mitä eroa on kuvauksilla f : N → R, x 7→ 4x2 − x ja g : Q → R, x 7→ 4x2 − x
vai ovatko ne sama kuvaus?
(b) Valitse sellaiset lähtö X ja maali Y , että sääntö x 7→
Y.
7x
2x2 −x−3
Ratkaisu:
(a) Kuvauksilla on eri lähtö ja näin ollen ne ovat eri kuvauksia.
(b) Esimerkiksi X = {0}, Y = R, jolloin 0 7→ 0.
on kuvaus X →
4. Perustele, mitkä alla olevista koordinaatistoon piirretyistä kuvioista määrittelevät
kuvauksen [−4, 3] → R.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Ratkaisu:
(a) Näyttäisi olevan kuvaus. Eli jokaiseen lähtöjoukon alkioon liitetään täsmälleen
yksi maalijoukon alkio (joku voi tulkita kuviota niin, että luku -1 kuvautuu
kahteen eri lukuun, jolloin se ei ole kuvaus. Molemmat tulkinnat ovat yhtä
hyviä).
(b) Ei ole kuvaus, sillä esim. luku 0 näyttää kuvautuvan lukuun kolmeen eri lukuun.
(c) Kyllä. Jokaiseen lähtöjoukon alkioon liitetään täsmälleen yksi maalijoukon alkio.
(d) Ei ole kuvaus, sillä lukuun -1,8 ei liitetä yhtään maalijoukon alkiota.
(e) Kyllä. Jokaiseen lähtöjoukon alkioon liitetään täsmälleen yksi maalijoukon alkio.
(f) Ei ole kuvaus, sillä esim. lukuun 0 ei liitetä yhtään maalijoukon alkiota.
5. Olkoon X = {2, 9}. Muodosta kaikki mahdolliset kuvaukset X → X .
Ratkaisu:
• f : X → X , f (2) = f (9) = 2.
• g : X → X , g(2) = g(9) = 9.
• h : X → X , h(2) = 2, h(9) = 9.
• i : X → X , i(2) = 9, i(9) = 2.
6. Olkoon A = {1, 2, 3}. Olkoon f : P(A) → P(A) kuvaus, jolle f (X) = A\X . Määritä
(a) f ({1})
(b) f ({2, 3})
Ratkaisu:
(a) f ({1}) = A \ {1} = {2, 3}.
(b) f ({2, 3}) = A \ {2, 3} = {1}.
(c) f (A) = A \ A = ∅.
(d) f (∅) = A \ ∅ = A.
(c) f (A)
(d) f (∅).
Tehtäväsarja II
Seuraavat tehtävät liittyvät kuvan ja alkukuvan käsitteisiin (luentokalvot 91-108).
7. Olkoon X = {3, 6, {3, 6}} ja Y = {0, 3, 6, 9}. Määritellään sääntö f asettamalla
3 7→ 6 ,
6 7→ 9
{3, 6} 7→ 0 .
ja
(a) Perustele, että f on kuvaus X → Y .
(b) Merkitään A = {3, 6}. Määritä f (A), f A sekä f ← A ja nimeä nämä käsitteet.
Ratkaisu:
(a) f on kuvaus, sillä se liittää jokaiseen lähtöjoukon X alkioon täsmälleen yhden
maalijoukon Y alkion.
(b) Merkitään siis A = {3, 6}. Tällöin:
• Alkion A ∈ X kuva-alkio on f (A) = f ({3, 6}) = 0.
X
Y
f
A = {3, 6}
0 = f (A)
6
9
3
6
3
• Joukon A ⊂ X kuva on f A = { y ∈ Y | y = f (x) jollakin x ∈ A } = {6, 9}.
X
Y
f
{3, 6}
0
6
9
3
6 fA
A
3
• Joukon A ⊂ Y alkukuva on f ← A = { x ∈ X | f (x) ∈ A } = {3}.
X
Y
f
{3, 6}
0
6
9
3
6 A
f ←A
3
8. Tarkastellaan kuvausta f : Z → Z, jolle z 7→ z 2 + 2. Merkitään A = {1, 2, 3, 4} ja
B = {−2, −1, 0, 1, 2} . Määritä
(a) f A
(b) f B
(c) f ← A
(d) f ← B .
Ratkaisu:
(a) f A = { z ∈ Z | z = f (a) jollakin a ∈ A } = { f (a) | a ∈ A } = {f (1), f (2), f (3), f (4)}
= {3, 6, 11, 18}.
(b) f B = { z ∈ Z | z = f (b) jollakin b ∈ B } = { f (b) | b ∈ B }
= {f (−2), f (−1), f (0), f (1), f (2)} = {6, 3, 2, 3, 6} = {2, 3, 6}.
(c) f ← A = { z ∈ Z | f (z) ∈ A } = { z ∈ Z | z 2 + 2 ∈ {1, 2, 3, 4} }
= { z ∈ Z | z 2 ∈ {−1, 0, 1, 2} } = {−1, 0, 1}.
(d) f ← B = { z ∈ Z | f (z) ∈ B } = { z ∈ Z | z 2 + 2 ∈ {−2, −1, 0, 1, 2} }
= { z ∈ Z | z 2 ∈ {−4, −3, −2, −1, 0} } = {0}.
2
9. Olkoon f : R → R kuvaus, jolle f (x) = 2x − 4 kaikilla x ∈ R. Merkitään U = [1, 3].
(a) Määritä f U . Piirrä koordinaatistoon funktion f kuvaaja sekä joukot U ja f U .
(b) Määritä f ← U . Piirrä koordinaatistoon funktion f kuvaaja sekä U ja f ← U .
Ratkaisu:
(a) Määritetään f U :
f U = {y ∈ R | y = f (x) jollakin x ∈ U} = {f (x) | x ∈ U}
= {2x − 4 | 1 ≤ x ≤ 3} = {2x − 4 | 2 ≤ 2x ≤ 6}
= {2x − 4 | −2 ≤ 2x − 4 ≤ 2} = {y | −2 ≤ y ≤ 2}
= [−2, 2].
(b) Määritetään f ← U :
f ← U = {x ∈ R | f (x) ∈ U} = {x ∈ R | 1 ≤ 2x − 4 ≤ 3} = {x ∈ R | 5 ≤ 2x ≤ 7}
7
5 7
5
= , .
= x∈R| ≤x≤
2
2
2 2
U
fU
U
f ←U
Tehtäväsarja III
Seuraavissa tehtävissä oletetaan, että f : X → Y on kuvaus, A, B ⊂ X ja V , W ⊂ Y .
Kannattaa tutustua luentokalvojen 109-116 esimerkkeihin.
10. (a) Osoita, että f [A ∩ B] ⊂ f A ∩ f B .
(b) Osoita vastaesimerkillä, että inkluusio toiseen suuntaan ei päde yleisesti.
Ratkaisu:
(a) Oletetaan, että y ∈ f [A ∩ B]. Tällöin y = f (x), missä x ∈ A ∩ B . Näin ollen
x ∈ A ja x ∈ B . Koska y = f (x) ja x ∈ A, niin y ∈ f A. Toisaalta, y = f (x)
ja x ∈ B , joten y ∈ f B . Näin ollen y ∈ f A ∩ f B .
(b) Olkoon X = {1, 2}, Y = {1}, A = {1} ja B = {2}, jolloin A, B ⊂ X .
Määritellään kuvaus f : X → Y , 1 7→ 1 ja 2 7→ 1. Tällöin
f A ∩ f B = {1} ∩ {1} = {1} 6⊂ ∅ = f ∅ = f [A ∩ B]
11. Todista tai kumoa seuraava väite: f ← [V ∪ W ] = f ← V ∪ f ← W .
Ratkaisu: Väite pätee. Todistus:
⊂ Oletetaan, että x ∈ f ← [V ∪ W ]. Tällöin f (x) ∈ V ∪ W .
• Jos f (x) ∈ V , niin x ∈ f ← V , jolloin x ∈ f ← V ∪ f ← W .
• Jos f (x) ∈ W , niin x ∈ f ← W , jolloin x ∈ f ← V ∪ f ← W .
Näin ollen x ∈ f ← V ∪ f ← W .
⊃ Oletetaan, että x ∈ f ← V ∪ f ← W .
• Jos x ∈ f ← V , niin f (x) ∈ V , jolloin f (x) ∈ V ∪ W . Näin ollen x ∈ f ← [V ∪ W ].
• Jos x ∈ f ← W , niin f (x) ∈ W , jolloin f (x) ∈ V ∪ W . Näin ollen x ∈ f ← [V ∪ W ].
Näin ollen x ∈ f ← [V ∪ W ].
Tehtäväsarja IV
Seuraavassa tehtässä harjoitellaaan II induktioperiaatteen käyttöä. Luentokalvoista 117122 voi olla apua.
12. Määritellään jono kokonaislukuja a0 , a1 , a2 , . . . rekursiivisesti asettamalla a0 = 1,
a1 = 2 ja an+1 = 2an − an−1 , kun n ≥ 1. Osoita II induktioperiaatetta käyttäen,
että an = n + 1 kaikilla n ∈ N.
Ratkaisu: Alkuaskel: Osoitetaan, että väite pätee kun n = 0:
an = a0 = 1 = 0 + 1 = n + 1.
Induktioaskel: Oletetaan, että jollakin k ∈ N pätee am = m + 1 kaikilla luvuilla
m ∈ {0, 1, . . . , k}.
Osoitetaan, että väite pätee luvulle k + 1:
Jos k = 0, niin
ak+1 = a1 = 2 = 1 + 1 = k + 1 + 1.
Jos k ≥ 1, niin
i.o
ak+1 = 2ak − ak−1 = 2(k + 1) − (k − 1 + 1) = 2k + 2 − k = k + 1 + 1
Näin ollen induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla n ∈ N.
Kompleksiluvut
Seuraavat tehtävät liittyvät kompleksiluvun napaesitykseen.
z8
13. Viereinen kuva esittää kompleksitasoa
(ruudun sivun pituus
on 1). Lisäksi tiede√
√
3 3 3
tään, että z7 = 2 + 2 i ja z8 = − 23 + 3 2 3 i.
Kirjoita kuvaan merkittyjen kompleksilukujen napaesitykset.
z7
z6
z5
z4
z3
Tässä tehtävässä voit hyödyntää alla olevia ns. muistikolmioita:
z2
z1
π
6
√
√
3
2
1
π
3
2
1
π
4
1
2
1
Ratkaisu:
5
3π
3π
z1 =
cos
+ i sin
2
2
2
z3 =
√ 5π
5π
z2 = 2 2 cos
+ i sin
4
4
√ 7π
7π
2 cos
+ i sin
4
4
z4 = 2(cos 0 + i sin 0)
z5 = 3(cos π + i sin π)
π
π
z7 = 3 cos + i sin
6
6
z6 = cos
π
π
+ i sin
2
2
2π
2π
z8 = 3 cos
.
+ i sin
3
3
14. Etsi seuraavien kompleksilukujen napaesitys:
z1 = −4 + 4i
z2 = 3i
√
z3 = 6i − 2 3
Ratkaisu: Lasketaan luvun z1 = −4 + 4i itseisarvo:
q
√
√
|z1 | = (−4)2 + 42 = 32 = 4 2.
Merkitsemällä luku z1 kompleksitasoon
huomataan, että vaihekulmaksi voidaan va√
3π
lita π − π/4 = 3π/4. Siis z1 = 4 2(cos 4 + i sin 3π
).
4
Lasketaan luvun z2 = 3i itseisarvo:
|z2 | =
√
32 = 3.
Merkitsemällä luku z2 kompleksitasoon huomataan, että vaihekulmaksi voidaan valita π/2. Siis z2 = 3(cos π2 + i sin π2 ).
√
Lasketaan luvun z3 = 6i − 2 3 itseisarvo:
q
√
√
√
|z3 | = 62 + (−2 3)2 = 48 = 4 3.
Merkitsemällä luku z3 kompleksitasoon
huomataan, että vaihekulmaksi voidaan va√
2π
lita π − π/3 = 2π/3. Siis z3 = 4 3(cos 3 + i sin 2π
).
3
15. Onko kompleksiluku −2(sin 2π
+ i sin 4π
) napaesityksessä? Jos ei, niin etsi luvun
3
3
napaesitys.
Ratkaisu: Kompleksiluvun napaesitys on muotoa z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ). Komplek+ i sin 4π
) ei ole napaesityksessä, sillä itseisarvo on negatiivinen,
siluku −2(sin 2π
3
3
vaihekulma ei ole sama ja kosinin tilalla on sini.
√
√
√
√
3
3
2π
4π
Saadaan
z
=
−2(sin
+i
sin
)
=
−2(
−i
)
=
−
3+i
3. Lasketaan itseisarvo:
3
3
2
2
q √
√ 2
√
|z| = (− 3)2 + 3 = 6. Merkitsemällä luku
huomataan,
√ z kompleksitasoon
3π
3π
että vaihekulmaksi voidaan valita 3π/4. Siis z = 6(cos 4 + i sin 4 ).
16. Olkoon z = cos φ + i sin φ, missä φ on jokin reaaliluku.
(a) Laske z 2 = (cos φ + i sin φ)2 kertomalla sulut auki.
(b) Kirjoita kompleksiluku z 4 kahdella tavalla: De Moivrén kaavan avulla ja toisaalta kertomalla sulut auki. Tässä a-kohdasta on apua, sillä z 4 = z 2 · z 2 . Päättele näistä esityksistä kosinin ja sinin nelinkertaisen kulmien kaavat; ts. päättele
miten cos 4φ ja sin 4φ voidaan ilmaista lausekkeiden cos φ ja sin φ avulla.
Ratkaisu:
(a) z 2 = cos2 φ + 2i sin φ cos φ + i2 sin2 φ = cos2 φ − sin2 φ + i · 2 sin φ cos φ.
(b) De Moivrén kaava:
z 4 = cos 4φ + i sin 4φ
Kerrotaan sulut auki:
z 4 = (z 2 )2 = (cos2 φ − sin2 φ + i · 2 sin φ cos φ)2
= (cos2 φ − sin2 φ)2 + 2(cos2 φ − sin2 φ) · i · 2 sin φ cos φ + (i · 2 sin φ cos φ)2
= cos4 φ − 2 sin2 φ cos2 φ + sin4 φ + 4i sin φ cos3 φ − 4i sin3 φ cos φ + i2 · 4 sin2 φ cos2 φ
= cos4 φ − 6 sin2 φ cos2 φ + sin4 φ + i(4 sin φ cos3 φ − 4 sin3 φ cos φ)
Näin ollen
cos 4φ = cos4 φ − 6 sin2 φ cos2 φ + sin4 φ
= (cos2 φ)2 + 2 sin2 φ cos2 φ + (sin2 φ)2 − 8 sin2 φ cos2 φ
= (cos2 + sin2 )2 − 8 sin2 φ cos2 φ
= 1 − 8 sin2 φ cos2 φ
ja
sin 4φ = 4 sin φ cos3 φ − 4 sin3 φ cos φ
= 4 sin φ cos φ(cos2 φ − sin2 φ)
= 4 sin φ cos φ(1 − 2 sin2 φ)
(sievennyksissä käytettiin identiteettiä sin2 φ + cos2 φ = 1)
Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa
Seuraavat tehtävät liittyvät binomikertoimiin.
17. Oheisessa kaavakuvassa on näkyvissä Kampin kortteleita välillä Albertinkatu-Yrjönkatu ja Merimiehenkatu-Lönnrotinkatu. Vihje tehtävään sivun alalaidassa1 .
B
Anna kävelee joka arkiaamu kotoaan Merimiehenkadun ja Albertinkadun kulmasta (piste A) työpaikalleen joka sijaitsee Vanhan kirkkopuiston kulmalla (piste
B ).
(a) Oletetaan, että Anna kulkee aina
kaavakuvassa näkyviä teitä pitkin
ja aina jompaan kumpaan nuolilla
merkityistä suunnista. Kuinka monta erilaista kävelyreittiä hänellä silloin on pisteestä A pisteeseen B ?
(b) Oletetaan, että Anna poikkeaa joka arkiaamu kahvilassa pisteessä P .
Kuinka monta erilaista reittiä hän
tällöin voi kulkea?
P
A
Ratkaisu:
(a) Kävelyreitit voidaan kuvata 8 alkioisilla bittijonoilla, joissa 1 tarkoittaa, että kävellään yhden ruudun ylöspäin ja 0, että kävellään yhden ruudun oikealle. Näin
ollen kysymys on, kuinka monta 8 alkioista bittijonoa on, jossa on 5 ykköstä.
Vastaus:
!
8·7·6
8!
8
=
= 56
=
5!3!
3·2
5
(b) Nyt neljästä ensimmäisestä alkiosta kaksi pitää olla ykköstä, viides alkio pitää
olla 1 ja kolmesta viimeisestä alkiosta pitää kakis olla ykköstä. Näin ollen reittejä
on
!
!
3
4
= 6 · 3 = 18
·
2
2
18. Eräässä työpaikassa kymmenen miestä ja kaksitoista naista harrastaa jalkapalloa.
Kuinka monella tavalla heistä voidaan valita yksi jalkapallojoukkue (11 pelaajaa),
jos
(a) joukkueeseen valittavien sukupuolella ei ole väliä?
(b) joukkueessa on oltava vähintään yksi nainen?
(c) joukkueessa on oltava vähintään yksi mies?
(d) joukkueessa on oltava vähintään kuusi naista ja vähintään kolme miestä?
Ratkaisu:
1
Vinkki: bittijono.
(a) Joukkueeseen valittavien sukupuolella ei ole väliä, jolloin valitaan 22 työntekijästä 11 hengen joukkue. Tämä valinta voidaan tehdä
!
22
= 705432
11
eri tavalla.
(b) Joukkuetta ei voida valita niin, etteikö siinä olisi vähintään yksi nainen, sillä
miehiä on vain 10 ja joukkueen koko on 11. Joukkue voidaan muodostaa tällä
ehdolla siis yhtä monella tavalla kuin kohdassa (a), eli
!
22
= 705432
11
eri tavalla.
(c) Joukkueessa on oltava vähintään yksi mies tarkoittaa sitä, että emme ota huomioon vaihtoehtoja, joissa joukkueessa ei ole yhtään miestä. Tämä voidaan laskea siten, että vähennetään kaikista mahdollisista joukkueista ne, joissa on pelkästään naisia. Näiden lukumäärä saadaan valitsemalla 12 naisen joukosta 11
naista ja 10 miehen joukosta 0 miestä.
!
!
!
22
12
−
11
11
10
= 705432 − 12 = 705420.
0
(d) Joukkueessa on oltava vähintään kuusi naista ja vähintään kolme miestä. Eri
vaihtoehdot ovat seuraavat: joukkueessa on 6 naista ja 5 miestä, 7 naista ja 4
miestä tai 8 naista ja 3 miestä:
12
6
!
!
12
10
+
7
5
!
!
!
12
10
+
8
4
!
10
= 232848 + 166320 + 59400 = 458568.
3
19. Kurssikokeeseen osallistuu 150 opiskelijaa. Koe järjestetään
(a) kahdessa salissa, jossa on 90 ja 60 istumapaikkaa.
(b) kahdessa salissa, jossa on 90 ja 61 istumapaikkaa.
Kuinka monella tavalla opiskelijat voidaan jakaa saleihin näissä tapauksissa? (heidän
keskenäisellä järjestyksellään salien sisällä ei ole merkitystä) Ratkaisu:
(a) Tässä tapauksessa ensimmäiseen saliin menee 90 opiskelijaa ja toiseen loput 60.
Eri tapoja jakaa opiskelijat on siis
!
150
≈ 4, 62 · 1042
90
(b) Tässä tapauksessa ensimmäiseen saliiin menee 90 opiskelijaa ja toiseen 60 tai
ensimmäiseen menee 89 ja toiseen 61. Eri tapoja on siis
!
!
150
150
≈ 1, 14 · 1043
+
89
90
20. Osoita luentokalvojen lauseen 28 avulla, että
n
X
k=0
kaikilla n ∈ N.
3
k
!
n
= 4n
k
Ratkaisu: Lauseen 28 mukaan (a + b)n = nk=0 nk an−k bk . Olkoon a = 1 ja b = 3,
jolloin
!
!
n
n
X
n n−k k X
k n
n
n
1 3 =
3
4 = (1 + 3) =
k
k=0
k=0 k
P