Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 / Syksy 2015

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 / Syksy 2015
Harjoitus 1 / viikko 37 / loppuviikon kirjalliset
Ratkaisuehdotuksia / MS-A0103, MS-A0105
Kirjallinen 1:
• Kertaa ja kirjoita ylös Eulerin kaavan tarkka muotoilu.
• Etsi ja kirjoita ylös de Moivren kaavan tarkka muotoilu.
• Näytä, miten de Moivren kaava seuraa Eulerin kaavasta.
• Johda de Moivren kaavan avulla sinin kolminkertaisen kulman kaava
sin(3x) = 3 sin x − 4 sin3 x .
Vastaus
• Lähteestä riippuen Eulerin kaavalla voidaan tarkoittaa eri tuloksia. Tässä haetaan
nyt Eulerin kaavaa, joka liittyy kompleksilukuihin ja löytyy kurssimonisteesta. Eulerin kaava kirjoitetaan muodossa
eiz = cos z + i sin z
∀z ∈ C ,
missä i2 = −1. Erityisesti Eulerin kaava pätee kaikilla reaaliluvuilla z.
• De Moivren kaavan mukaan kaikilla z ∈ C ja n ∈ Z pätee
(cos z + i sin z)n = cos(nz) + i sin(nz) ,
missä i2 = −1. Erityisesti de Moivren kaava pätee kaikilla z ∈ R.
• Asetetaan Eulerin kaavassa z = nx (n ∈ Z, x ∈ C) ja käytetään potenssien laskusääntöjä, jolloin
einx = (eix )n = ei(nx)
⇔
(cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx) .
Huomaa, että tämä todistus ei tarkoita, että kokonaisluku n voitaisiin korvata
millä tahansa reaaliluvulla, sillä kompleksiluvun ei-kokonaislukupotenssi ei ole yksikäsitteisesti määritelty.
• Merkitään kompleksiluvun z = a + bi imaginaariosaa =(z) = b. Tällöin saadaan de
Moivren kaavan ja trigonometrian peruskaavan avulla
sin(3x) = = cos(3x) + i sin(3x)
| de Moivren kaava
3
= = (cos x + i sin x)
= 3 cos2 x sin x − sin3 x
| sin2 x + cos2 x = 1
= 3 sin x − 4 sin3 x .
1
Kirjallinen 2:
√
Määritä funktiolle f (x) = 3 1 + x ensimmäisen ja toisen kertaluvun Taylor-polynomit origossa kehitettynä. Kirjoita ensin näkyviin Taylor-polynomin yleinen määritelmä. Kirjoita
näkyviin myös derivaattalaskujen välivaiheet. Liitä vastaukseesi kuva (käsin tai koneella
piirretty), jossa funktion ja kysyttyjen Taylor-polynomien kuvaajat näkyvät samaan taR
paan kuin ensimmäisen ennakkotehtävän MATLAB
-kuvassa (animaation pysähdyttyä).
Vastaus
Funktion f kertaluvun n Taylor-polynomi on yleisesti muotoa
Tn (x, x0 ) =
n
X
f (k) (x0 )
k!
k=0
(x − x0 )k ,
missä f (k) (x0 ) on funktion f kertaluvun k derivaatta kohdassa x0 ja f (0) (x0 ) = f (x0 ).
√
Lasketaan nyt funktion f (x) = 3 1 + x ensimmäinen ja toinen derivaatta kohdassa x = 0.
1
1
f 0 (x) = (1 + x)−2/3 , f 0 (0) =
3
3
2
2
00
−5/3
00
f (x) = − (1 + x)
, f (0) = −
9
9
Koska f (0) = 1, saadaan
x
3
x x2
.
T2 (x) = 1 + −
3
9
T1 (x) = 1 +
2
1
-4
-2
2
4
-1
-2
-3
Kuva 1: Sinisellä funktio f , jonka kohtaan x = 0 on sovitettu ensimmäisen ja toisen
kertaluvun Taylor-polynomit.
2