Läsvecka 2

2015-09-14
Kapitel 3 Jämvikt
Referensramar
1
2
Hastighet och referensram
Euler’s ekvationer
aP a P  a P (t )  i 
xP (t )  j 
yP (t )  k 
z P (t )
dmP
B
vP P
rP  rP (t )  i xP (t )  j yP (t )  k zP (t )
rP n
F   Fi
Pi
Fi rPi k rP v P  v P (t )  i x P (t )  j y P (t )  k zP (t )
Referensram
O
Mi j i 1
n
M O   (rOPi  Fi  M i )
i 1
F   aP dmP
B
a P  a P (t )  i 
xP (t )  j 
yP (t )  k 
z P (t )
O
i M O   rP  a P dmP
Inertialram
B
3
4
Leonard Euler (1707 – 1783)
Jämvikt
En av historiens mest produktiva matematiker
För alla kroppar gäller:
a P  a P (t )  0 
F  0

 MO  0
För stel kropp gäller omvändningen
… men ej för flexibel kropp
F  0
 a P  aP (t )  0

 MO  0
De Motu (om rörelsen) 1775
5
6
1
2015-09-14
Statiskt bestämt
Frilagd kropp
Exempel 1.1: Statiskt bestämt system: Planka på två stöd. En homogen planka med massan m och
längden L vilar mot två stöd enligt nedanstående figur. Bestäm stödreaktionerna, d v s krafterna från
stöden på plankan!
L
A
j
C
2
g
B
i
m, L
j NB
jNA
j ( m g )
Figur 1.5 Planka på två stöd.
Figur 1.6 Frilagd planka.
7
8
Statiskt obestämt
Frilagd kropp
Exempel 1.2: Statiskt obestämt system: Planka på tre stöd. En homogen planka med massan m och
längden L vilar mot tre stöd enligt nedanstående figur. Det tredje stödet placeras mitt under plankan.
Bestäm stödreaktionerna!
j (m g )
g
j
L
A
C
2
j NC
j NA
B
j NB
i
Figur 1.7 Planka på tre stöd.
Figur 1.8 Frilagd planka.
9
Sammanfattning
10
Nollsystem bestående av två punktkrafter
Sammanfattning (Jämvikt)
En kropp B påverkas av ett system av yttre krafter
rörelselagar
F:
F y . Då gäller Euler’s
( F1 , P1 ), ( F2 , P2 )
F   a P dmP , M O   rP  a P dmP
B
B
Jämvikt medför ( a P  0 , P  B )
F  0 , MO  0
vilket är ekvivalent med
 M O, x  0
 Fx  0


 Fy  0 och  M O , y  0



F
0
 z
 M O, z  0
och innebär att F y utgör ett nollsystem.
F2   F1
11
( rP1  rP2 )  F1  0  rP2 P1  F1
12
2
2015-09-14
Nollsystem bestående av tre punktkrafter
F : ( F1 , P1 ), ( F2 , P2 ), ( F3 , P3 )
F1
F3
P3
F3
P1
F2
P2
F1
F2
Verkningslinjerna ligger i ett gemensamt plan, antingen
skär de varandra i en punkt eller också är de parallella.
13
14
Friläggning
Exempel 1.3: Betrakta en kropp B som består av fyra delkroppar B1 , B2 , B3 och B4 . Delkroppen
B1 påverkas av en yttre anbringad kraft (G , P1 ) . Delkropparna är i kontakt och delkroppen B3 stöder
mot ett fundament B0 och delkropp B4 är kopplad till B0 via en axel genom punkten A. Frilägg
delkropparna och ställ upp jämviktsvillkor för delkropp B1 .
G
P1
g
1 4 A
2 3 0 15
Frilagd delkropp
16
Frilagda delkroppar
G
F y (B1 ) : (G , P1 ), ( K 12 , P2 ), ( K 14 , P3 ), (m1 g , P4 )
P1
K 41
m4 g
G
4 K 04
P1
P3  1
K 14
1 K 14
m1 g
K 21
K 43
P4
P2
2 K 32
m1 g
3 K 12
K 34
m2 g
m3 g
K 12
K 23
K 03
K 21   K 12
17
18
3
2015-09-14
Exempel 1.4
Lösning 1.4
19
20
Lösning 2.1
Exempel 2.1
mg P A C H D B V rh h f N d 22
21
Frilagd kranarm
F : ( R, A), (ma g, G ), ( FC , C ), (ml g , E )
y
R  i H  jV
23
ma g  j (ma g )
FC  i FC cos   j FC sin 
ml g  j ( ml g )
24
4
2015-09-14
Problem 3/77
Lösning 3/77
F : ( S1 , A), ( S2 , B), ( S3 , C ), (m g, G )
y
25
26
27
28
Frilagd bom
Sammanfattning (Friläggning)
F y : ( S AB , A), ( SCD , C ), ( R, O), (k ( F ), E )

Vilken är frågeställningen?

Frilägg en för frågeställningen lämplig delkropp och rita en frikroppsfigur.

Beskriv det system av yttre krafter och moment som verkar på delkroppen.

Ställ upp jämviktsvillkoren.

Kontrollera antalet ekvationer och antalet obekanta.

Lös ekvationssystemet, om möjligt.

Om antalet obekanta är fler än antalet ekvationer tvingas man frilägga
ytterligare en delkropp.

Välj en ny delkropp. Detta bör vara en kropp som står i mekanisk kontakt
med den förra.

Genomför ovanstående punkter för denna delkropp.

Om nu antalet obekanta och antalet ekvationer överensstämmer kan
ekvationssystemet ha en entydig lösning. Om inte så fortsätter man
proceduren enligt ovan!
Observera att man under ovanstående process kan komma fram till att de kraftsystem
som uppträder är statiskt obestämda. Problemet har då ingen entydig lösning!
29
30
5
2015-09-14
Strukturer, fackverk och ramar
Fackverk (Trusses)
31
32
Fackverk
Exempel 3.1
Fackverk byggs upp av följande element
(i) Raka stångelement som karakteriseras av sin längd. Man försummar stångelementets
massa.
Exempel 3.1 Ett fackverk består av sju likadana stänger (stångelement) vardera med längden L. Det
stöder mot ett fundament enligt nedanstående figur. Fackverket belastas med punktkrafterna
(e y ( 2P ), D ) och (e y (  P ), E ) . Bestäm krafterna i stängerna AB, AE och EB.
(ii) Knutpunkter, som betraktas som punktformiga.
2P
(iii) I knutpunkterna kopplas stångelementen ihop via glatta leder.
P
Belastningen på ett fackverk ges av ett system av yttre krafter bestående av
E
D
(iv) Punktkrafter som angriper i fackverkets knutpunkter. Inga yttre krafter verkar på stångelementen.
2P
P
A
E
D

C
B
Ej tillåten kraft
L
A
C
B
33
34
L
Frilagt fackverk
Stångkrafter
E
S EA
S EA
SEA
E
E
2P
P
S AE mg
E
D
mg
A
A
S AE HA A
VA
B
L
S AE A
SEA
S AE C
VC
nAE 
rAE
L
S AE  nAE (  S AE )
Stångkraften sägs vara tryckande om S AE  0 och dragande om S AE  0 . 35
36
6
2015-09-14
Frilagda knutpunkter
Nollsystem bestående av två punktkrafter
F:
( F1 , P1 ), ( F2 , P2 )
P
E
S ED
2P
S EB S AE
P
30
E
D
A
B
C
L
S AE
60
A
F2   F1
( rP1  rP2 )  F1  0  rP2 P1  F1
VA
S AB
37
38
Dragande eller tryckande
Dragande eller tryckande
med vektorer
med referensriktningar
S AE  nAE (  S )
S 0
S 0
S  0  dragande
S  0  tryckande
S  0  tryckande
S  0  dragande
39
Exempel 3.2
40
Frilagt fackverk
41
42
7
2015-09-14
Sammanfattning fackverk
Ett fackverk består av raka, lätta stångelement som kopplas samman i sina
ändpunkter via friktionsfria leder (knutpunkter). Fackverket belastas med yttre
krafter som angriper i knutpunkterna. Ett fackverk kan analyseras med
Frilagd höger del av fackverket
a) Knutpunktsmetoden som innebär
(i)
(ii)
Friläggning av hela fackverket för bestämning av stödreaktionerna
Friläggning av lämplig knutpunkt (knutpunkter) för bestämning av
efterfrågade stångkrafter.
b) Snittmetoden som innebär
(i)
Friläggning av hela fackverket för bestämning av stödreaktionerna
(ii)
Friläggning av en del av fackverket genom att snitta lämpliga
stänger.
43
44
Exempel 3.3
Frilagt ramverk
Exempel 3.3: Ett ramverk, enligt nedanstående figur, belastas med en tyngd med massan m  400kg
. Det antas att hjulen vid D och F är friktionsfritt lagrat på axlar. Hjulet vid F har radien r  0.5m .
Bestäm de krafter som verkar som verkar mellan balkelementen i punkterna A, B, C, D, E och F.
g  9.81ms 2 .
g
45
46
Sammanfattning ramverk
En ett ramverk består av stela, lätta, ej nödvändigtvis raka, balkelement som förenas
med friktionsfria (glatta) leder. Föreningen behöver ej ske i balkarnas ändpunkter och
den yttre lasten är ej nödvändigtvis anbringad i balkarnas ändpunkter. Ett ramverk
analyseras genom
Frilagda delar i ramverket
g
47
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Friläggning av hela fackverket för bestämning av stödreaktionerna.
Friläggning av delkroppar för bestämning av inre reaktionskrafter.
Lösning av jämviktsekvationerna.
Kontroll av lösningen till ekvationssystemet. Utförs på den ’sista
delkroppen’.
48
8