programa detallado

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programa detallado

XXII Congreso de Ecuaciones Diferenciales y
Aplicaciones
XII Congreso de Matemática Aplicada
Palma de Mallorca, 5–9 septiembre de 2011
Programa y Resúmenes
Comité Organizador CEDYA2011
Departament de Matemàtiques i Informàtica
Ctra Valldemossa km 7.5 — 07122 Palma de Mallorca
http://cedya2011.uib.es
Índice general
Información General
5
Programa del Congreso
15
Conferencias plenarias
17
Sesiones especiales
18
Comunicaciones
21
Listado de comunicaciones
30
Resúmenes
44
44
Sesiones especiales
53
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
86
Ecuaciones en Derivadas Parciales
101
Análisis Numérico
142
Modelización y Aplicaciones a la Industria
187
Otros temas
203
3
6
Organización
Departament de Matemàticas i Informàtica
Sociedad Española de Matemática Aplicada
Universitat de les Illes Balears
Comité Organizador
Marı́a Jesús Álvarez Torres (Universitat de les Illes Balears)
Antonio Buades Capó (Universitat de les Illes Balears)
Marc Carbonell Huguet (Universitat de les Illes Balears)
Bartomeu Coll Vicens (Universitat de les Illes Balears)
José Luis Lisani Roca (Universitat de les Illes Balears)
Ana Belén Petro Balaguer (Universitat de les Illes Balears)
Rafel Prohens Sastre (Universitat de les Illes Balears)
Catalina Sbert Juan (Universitat de les Illes Balears)
Antonio E. Teruel Aguilar (Universitat de les Illes Balears)
Comité Cientı́fico
Douglas Arnold (Minnesota Univ.)
Francisco Balibrea (Univ. de Murcia)
Nicola Bellomo (Politecnico di Torino)
Manuel González Burgos (Univ. de Sevilla)
Fernando Casas (Univ. de Castellón)
Manuel Castro (Univ. de Málaga)
Carmen Coll (Univ. de Valencia)
José Durany (Univ. de Vigo)
Marı́a J. Esteban (CNRS and Univ. Paris Dauphine)
Henar Herrero (Univ. de Castilla La Mancha)
Jaume Llibre (Univ. Autónoma de Barcelona)
Froilán Martı́nez (Univ. Carlos III)
Carmen Núñez (Univ. de Valladolid)
Marı́a Eugenia Pérez (Univ. de Cantabria)
Rafel Prohens (Universitat de les Illes Balears)
Ángel Ramos (Univ. Complutense de Madrid)
Alberto Ruiz (Univ. Autónoma de Madrid)
XXII CEDYA / XII CMA
7
Lugar de celebración y planos
Edifici Gaspar Melchor de Jovellanos
Universitat de les Illes Balears. Ctra Valldemossa km 7.5
Palma de Mallorca
Registro
La inscripción tendrá lugar en el edificio Gaspar Melchor de Jovellanos. En este
edificio se llevarán a cabo todas las actividades relacionadas con el Congreso
Copisterı́a
El servicio de copisterı́a se encuentra en el mismo edificio, su horario es de 9.00
a 20.00h ininterrumpidamente.
Acceso a Internet
Todos los edificios del campus disponen de conexión wifi. Los participantes pueden acceder utilizando un usuario y clave exclusivos para el congreso. Consulte
los paneles informativos o pregunte al personal de la secretarı́a.
Equipamiento de las aulas
Todas las aulas están equipadas con ordenador y cañón proyector. Si tiene alguna duda o necesidad especial, dirı́jase al personal de la secretarı́a técnica con
suficiente antelación.
Ubicación de los almuerzos
Todos los almuerzos se sirven en el restaurante situado en la planta baja del
edificio.
8
Plano de la Universidad
9
Recepción de bienvenida (lunes 5 de septiembre)
19:30 Campus → Recepción en el Castillo de Bellver
22:00 Castillo de Bellver → Hoteles
- Primera parada en los hoteles Isla de Mallorca y Armadams
- Segunda parada en los hoteles JHM Jaime IIII y Almudaina
- Tercera parada Hotel Tryp Palma
Visita turı́stica (Miércoles, 7 de septiembre)
15:45 Campus → Valldemossa → Son Marroig → Sóller → Raixa (cóctel
ofrecido por la organización)
22:00 (aproximadamente, regreso: Raixa → Hotels)
- Primera parada en los hoteles Isla de Mallorca y Armadams
- Segunda parada en los hoteles JHM Jaime IIII y Almudaina
- Tercera parada Hotel Tryp Palma
Cena de clausura
Cena de clausura el jueves, 8 de septiembre, a las 21:00 se organiza en el Hotel
Meliá Palas Atenea:
Paseo Marı́timo, 29
07014 Palma De Mallorca
Telf: (+34) 971 281 400
La organización no ofrece el resto de traslados. Consulte la información sobre
el transporte público de la ciudad.
Emergencia y asistencia médica
En caso de emergencia, llame al 112.
Hospitales próximos al campus:
Hospital Universitario Son Espases
Carretera de Valldemossa 07010 Palma de Mallorca
Telf: 34 871 20 50 00
USP Clı́nica Palma Planas
Camı́ dels Reis 07010 Palma de Mallorca
Telf: +34 971 918 000
Farmacia:
Farmacia CAMPUS UIB
De lunes a viernes de 9.30 a 13.30 y de16.30 a 20.00
Sábados y domingos cerrado
+34 971172083
10
TRANSPORTE DESDE PALMA AL CAMPUS
El campus de la UIB es de fácil acceso desde el centro de la ciudad.
En Bus
Desde los hoteles a Plaça d’Espanya:
Lı́nea 3 (Pont d’Inca- Illetes) enlazar con el metro en la estación Intermodal
de Plaça d’Espanya.
Lı́nea 5 (Rafal Nou- Son Dureta) enlazar con el metro en la estación Intermodal de Plaça d’Espanya.
Lı́nea 46 (Gènova- Sant Agustı́) enlazar con el metro en la estación Intermodal de Plaça d’Espanya.
Desde Plaça d’Espanya al campus de la UIB
Lı́nea 19 (Universitat) parada más próxima a la sede del congreso edificio
Beatriu de Pinós. (frecuencia 15 min).
En metro
La estación de metro Intermodal se encuentra en la Plaça d’Espanya. Existe
una sola lı́nea que conecta el centro de Palma con el campus universitario.
11
Plano del Edificio
12
Plano del Edificio
13
Plano del Edificio
14
Agradecimientos
16
Horario
17
H. Byrne
Moving boundary problems associated with biological tissue growth
Lunes, 10:30, Aula Magna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A. Quarteroni
Complexity Reduction in Partial Differential Equations: Models, Simulations, Applications
Martes, 9:30, Aula Magna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
F. Dumortier
Limit Cycles in Liénard equations
Martes, 10:30, Aula Magna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
F. Otto
Optimal error estimates in stochastic homogenization
Miércoles, 9:30, Aula Magna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
J.M Coron
Feedback stabilization: Results and design tools
Miércoles, 10:30, Aula Magna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
V. Caselles
Exemplar-Based Image Inpainting and Applications
Jueves, 9:30, Aula Magna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
L. Snoha
Minimal dynamical systems – a survey, recent results, open problems
Jueves, 10:30, Aula Magna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
M. P. Calvo
Markov Chain Monte Carlo simulations. A quantitative comparison
Viernes, 9:30, Aula Magna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
R. Bru
Preconditioning techniques based on inverse approximation
Viernes, 12:00, Aula Magna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
18
Sesiones especiales
Análisis Matricial y Aplicaciones: inversas generalizadas, subespacios
invariantes y sistemas singulares de control
Organizada por N. Thome y B. Cantó
MARTES
Autor
N. Castro
A. Compta
N. Thome
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
15:30
Aula AB11
Tı́tulo
Algunos resultados recientes relativos a inversas generalizadas
Contribución al estudio de los subespacios invariantes
Sistemas singulares de control positivos
Comportamiento dinámico en sistemas lineales a trozos con continuidad:
analogias con el caso diferenciable
Organizada por V. Carmona, F. Férnandez y A. Teruel
MARTES
Autor
A. Teruel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
15:30
Aula AB12
Tı́tulo
Trayectorias canard en sistemas diferenciales lineales a trozos
en R3
E. Garcı́a
Órbitas Periódicas en Sistemas Tridimensionales Lineales a
Trozos
S. Fernández
Órbitas con Tangencia Transversal en Sistemas Tridimensionales Lineales a Trozos
Problemas de difusión no local
Organizada por J. Rossi y J. Mazón
MARTES
Autor
E. Chasseigne
A. de Pablo
J. Toledo
P. Arias
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
15:30
Aula AB13
Tı́tulo
A nonlocal one phase Stefan problem that develops mushy regions
Nonlinear nonlocal diffusion: A fractional porous medium equation
Nonlocal p-laplacian type operators with Dirichlet boundary
conditions
A Variational Framework for Exemplar-Based Image Inpainting
Horario
19
Homogeneización y Perturbaciones Espectrales
Organizada por M. Eugenia Perez
MARTES
Autor
K. Ruotsalainen
S. A. Nazarov
A. Gaudiello
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
15:30
Aula AB14
Tı́tulo
Computation of the spectrum for some elliptic operators on periodic waveguide
Asymptotic structure of the spectrum in the thin Dirichlet ladder
Asymptotic Analysis of the Eigenvalues of an Elliptic Problem
in an Anisotropic Thin Multidomain
Modelos numéricos para estudios regionales de clima
Organizada por R. Bermejo
MARTES
Autor
R. Bermejo
M.L. Córdoba
M. Kimmritz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
17:30
Aula AB11
Tı́tulo
PROMES-MOSLEF: An atmosphere-ocean coupled regional
model for climate studies of the Mediterranean region
Paralelización eficiente de un modelo oceánico regional del Mediterráneo (Climar)
Discretization of the hydrostatic Stokes system by stabilized nite
elements of equal order
Ecuaciones no lineales con crecimiento natural en el gradiente.
Organizada por J. Carmona, P.J. Martı́nez-Aparicio y S. Segura
MARTES
Autor
I. Peral
J. Mazón
L. Orsina
17:30
. . . . . . . . . . 74
Aula AB12
Tı́tulo
Some Mathematical Models on Growth Problems and Nonlinear
Elliptic Equations
The Dirichlet problem for a singular elliptic equation arising in
the level set formulation of the inverse mean curvature flow
Quasilinear singular elliptic equations
Modelos matemáticos en el procesamiento imágenes
Organizada por B. Coll
MARTES
Autor
Gloria Haro
Pantaleón David
Romero Sánchez
R. Donat
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
17:30
Aula AB13
Tı́tulo
Shape from Silhouette Consensus
Modelos de deconvolución fraccionaria de imágenes con conservación del color
Algoritmos de compresión con control de error máximo. Aplicación a la compresión de Regiones de Interés
20
Homogeneización y Perturbaciones Espectrales II
Organizada por M. Eugenia Perez
MARTES
Autor
R. Orive
D. Gómez
M.E. Pérez
José M. Arrieta
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
17:30
Aula AB14
Tı́tulo
Homogenization of non self-adjoint problems with large drift
and potential
Spectral stiff problems in domains surrounded by thin stiff and
heavy bands
A nonlinear boundary homogenization problem for a perforated
domains along a manifold
Thin domains with oscillatory boundaries
Horario
21
Comunicaciones
LUNES
Hora
12:00
Autor
Jose Carlos Bellido
12:20
M. González-Burgos
12:40
C. Rodrı́guez
LUNES
Hora
12:00
Autor
V. Domı́nguez
12:20
Isaı́as Alonso Mallo
12:40
G. Tierra
13:00
C. Rodrigo
13:20
M.T. Capilla
LUNES
Hora
12:00
Autor
Tommaso Leonori
12:20
P. Kyriazopoulos
12:40
Salomón Alarcón
Araneda
Pedro J.
Martı́nez-Aparicio
13:00
LUNES
Hora
12:00
Autor
F. Maestre
12:20
Maria Luz Gandarias
12:40
M.S. Bruzon
12:00–13:20
Aula AB11
Tı́tulo
A computational method for an optimal design problem in uniform torsion under local stress constraints
Controllability of some systems of parabolic equations
Sobre el diseño óptimo de escalas de peces
12:00–13:20
Página
152
154
157
160
165
Página
116
118
128
132
Aula AB03
Tı́tulo
Homogeneización de la ecuación de ondas
para coeficientes BV en tiempo
Conservation laws for second order approximation equation of KdV type
Travelling wave solutions for a Generalized
Dullin-Gottwald-Holm equation
208
Aula AB04
Tı́tulo
Lipschitz solutions of elliptic problems with
singularity at the boundary and applications
On a elliptic system related to desertification studies
Blow-up rate of large solutions for some
semilinear elliptic equations
Continua of solutions for quasilinear elliptic problems
12:00–13:20
227
Aula AB02
Tı́tulo
Estabilidad y convergencia del método
LDG para problemas de contorno con condiciones mixtas para la ecuación de Helmholtz
Estabilidad de discretizaciones espaciales
de la ecuación de ondas con condiciones
de frontera absorbentes
Study of linear schemes for a Cahn Hilliard Diffuse Interface Model
Full-Multigrid (FMG): the most efficient
multigrid algorithm
Reconstrucción de los flujos Runge-Kutta
en esquemas centrados de alto orden que
resuelven sistemas hiperbólicos no homogéneos
12:00–13:20
Página
226
Página
130
137
139
22
LUNES
Hora
15:30
Autor
L. Ferragut
15:50
Tomás P. Barrios
16:10
M.V. Redondo Neble
16:10
F.J. Gaspar
LUNES
Hora
15:30
Autor
Joanna M. Chrobak
15:50
16:10
Manuel Malaver de la
Fuente
M. Vela-Pérez
16:30
Alejandro Luque
16:50
M. Olle
LUNES
Hora
15:30
Autor
Enrique Fernández-Cara
15:50
L.M. Hervella-Nieto
16:10
Sergio Amat
16:30
J.F. Garamendi
LUNES
Hora
15:30
15:50
Autor
Miguel E.
Vázquez-Méndez
J. Durany
16:10
Benjamin Ivorra
16:30
G. Narbona-Reina
15:30–17:10
Aula AB08
Tı́tulo
A parallel algorithm for solving a multilayer Convection-Difussion Problem
A posteriori error estimators based on Ritz
projection for the augmented mixed FEM
in plane linear elasticity
Optimal error estimates for a viscositysplitting scheme in time and finite elements in space for the three-dimensional
Navier-Stokes equations
Efficient multigrid finite element methods
on semi-structured grids
15:30–17:10
159
Página
87
89
90
96
100
Página
162
181
145
166
Aula AB13
Tı́tulo
Contaminación atmosférica: una aplicación del control multi-objetivo de EDPs
Aplicación de modelos termohidrodinámicos de lubricación para cojinetes de máquinas rotativas: análisis de flujos laminares
y turbulentos
Modeling, Simulation and Optimization of
a Polluted Water Pumping Process in
Open Sea.
Desarrollo de modelos bicapa acoplando
flujos de tipo Reynolds y aguas someras
151
Aula AA13
Tı́tulo
Un modelo de control óptimo para quimioterapia
Optimización de una capa de material absorbente para un problema acústico
Aproximación de ecuaciones diferenciales
usando un método variacional
Staggered Discretization for Dual Minimization in Image Processing
15:30–17:10
150
Aula AB07
Tı́tulo
Mathematical model of lymphoma as a failure in maintanance of naı̈ve T cell repertoire
Un modelo de Estrella Anisótropa con densidad variable en Relatividad General
Geodesic paths in simple graphs for some
social insects
Dinámica de cargas en campos magnéticos creados por espiras de corriente con simetrı́a
Ionization dynamics of the hydrogen atom
in a circularly polarized microwave field
15:30–17:10
Página
149
Página
188
189
190
192
Horario
LUNES
Hora
15:30
Autor
M. A. Rojas-Medar
15:50
Igor Kondrashuk
16:10
J.F. Padial
16:30
Simon J.
LUNES
Hora
17:30
17:50
Autor
Cristian
Morales-Rodrigo
Antonio Suárez
18:10
Hélia Serrano
18:30
José Valero
LUNES
Hora
17:30
Autor
Antonio Miguel
Márquez-Durán
17:50
L. Friz
18:10
Marı́a Anguiano
18:30
Luis Friz
23
15:30–17:10
Aula AB12
Tı́tulo
Existencia y unicidad de soluciones fuertes
para fluidos no homogeneos asimétricos vı́a
operadores de evolución
Stationary fluids in Symmetric Bounded
Domains and Hodge Operator
On a Bernoulli-type evolution problem
with a unknown Radon measure data
Desigualdades para un fluido confinado en
un recinto
17:30–19:10
133
141
Página
127
129
106
113
Aula AB13
Tı́tulo
Convergencia de las ecuaciones de NavierStokes Globalmente Modificadas con retardos a las ecuaciones de Navier-Stokes
Flujo a través de un medio granular poroso
isotrópico. Existencia de soluciones reproductivas
Existencia del atractor pullback para la
ecuación de reacción-difusión sin unicidad
de solución
Existencia de Solución Reproductiva de un
Sistema de Fluidos en Medios Porosos no
Consolidados
122
Aula AB12
Tı́tulo
Anti-angiogenic therapy targeting receptors: Model and Analysis I
Estudio teórico de algunos modelos de terapias anti-angiogénicas
Homogeneización de un problema magnetostático con periodicidades a distintas escalas
Un principio débil de comparación para
sistemas de reacció n-difusión
17:30–19:10
Página
121
Página
103
108
104
126
24
LUNES
Hora
17:30
Autor
M. José Legaz
17:50
Juan Vicente Gutiérrez
Santacreu
18:10
Rommel Bustinza
18:30
Francisco Pla
18:50
Diego Souza
LUNES
Hora
17:30
Autor
V. J. Garcı́a-Garrido
17:50
C. F. Talavera
18:10
Macarena Gómez
Mármol
18:30
Isabel Sánchez Muñoz
18:50
L. Ferragut
MARTES
Hora
12:00
Autor
E. Corbacho
12:20
Antonio G. Garcı́a
12:40
Pino Caballero Gil
MARTES
Hora
12:00
Autor
Set Pérez-González
12:20
Juan L.G. Guirao
12:40
Javier Ros
13:00
Susanna Maza
17:30–19:10
Aula AB07
Tı́tulo
Extrapolación polinómica recı́proca vs. extrapolación de Richardson
Convergence to weak solutions for the
Navier-Stokes equations of a stabilized finite element approximation with dynamic
subsales
Una formulación Galerkin discontinua estabilizada para el problema de Stokes en velocidad y pseudo-esfuerzo
El método de elementos de bases reducidas
aplicado a un problema de bifurcaciones de
Rayleigh-Bénard
Numerical null controllability of the 2D
Stokes equations
17:30–19:10
175
183
Página
142
158
178
179
170
Página
203
213
225
Aula AB07
Tı́tulo
Global study of the Bogdanov-Takens bifurcation curve
Periodic structure of smooth self–maps
with all their periodic orbits hyperbolic
An algebraically computable piecewise linear planar oscillator
Centers on a center manifold in R3 and
inverse Jacobi last multipliers
167
Aula AB11
Tı́tulo
The degree of uniform approximation by
radical functions
Muestero generalizado en subespacios invariantes por traslación de L2 (Rd )
Generación de secuencias criptográficas
mediante ecuaciones en diferencias
12:00–13:20
155
Aula AB08
Tı́tulo
Numerical simulations of rotating drops
with BEM
Application of a nodal collocation approximation for the multidimensional PL equation to the three-dimensional Takeda benchmarks.
Un método estabilizado término a término
de alto orden para flujos incompresibles estacionarios.
Análisis numérico de una familia de métodos estabilizados para las ecuaciones primitivas del océano
Asimilación de Datos en un Modelo de Simulación de Incendios
12:00–13:20
Página
144
Página
91
93
95
98
Horario
MARTES
Hora
12:00
Autor
Marı́a Teresa González
Montesinos
12:20
Carlos Quesada
12:40
Salvador Moll
13:00
Francesco Petitta
MARTES
Hora
12:00
Autor
Nuria Reguera
12:20
A. Arjona Almodóvar
MARTES
Hora
12:00
Autor
Nadia Smith
12:20
González-Pintor, S.
12:40
J. Jesús Cendán
13:00
Roberto Font
13:20
José Alberto Murillo
MIÉRCOLES
Hora
12:00
Autor
M. Santágueda
12:20
12:40
Victoria Martı́n
Márquez
P. Jodrá
13:00
Gerardo Pérez Villalón
25
12:00–13:20
Aula AB04
Tı́tulo
Un sistema elı́ptico–parabólico para la descripción del proceso industrial del calentamiento de una barra de acero
Perturbación y regularización para algunas
ecuaciones parabólicas lineales de cuarto
orden
Large Solutions for Parabolic Equations
Without Absorption.
Nonlinear parabolic equations with absorption terms and measure data
12:00–13:20
140
Página
163
182
Página
193
194
196
195
197
Aula AA12
Tı́tulo
The Weighted-Powerp mean and interpolatory subdivision schemes.
Approximation methods for convex feasibility problems
An improved algorithm for computing the
median of the Erlang distribution
Recuperación de Splines a partir de Medias
Locales
138
Aula AB13
Tı́tulo
Dimensional Analysis and simplifications
of a Mathematical Model describing HighPressure Food Processes
Método de las Direcciones Alternadas para
el cálculo del autovalor dominante de un
Reactor Nuclear
Técnicas de refinamiento y multimalla para la simulación de dispositivos de lectura
magnética
A mathematical model for the analysis and
control of ballast tank blowing and venting
operations in manned submarines
Controllability of a mathematical model for
blowing and venting operations in submarines
12:00–13:20
115
Aula AB05
Tı́tulo
Aislamiento de estructuras coherentes para la ecuación BBM discretizada mediante
elementos finitos
Numerical modeling of volcanic ground deformation
12:00–13:40
Página
111
Página
214
215
220
221
26
MIÉRCOLES
Hora
12:00
Autor
Francisco Javier
Suárez-Grau
12:20
Felipe Rivero
12:40
Alfonso C. Casal
13:00
F. Garcia
MIÉRCOLES
Hora
12:00
12:20
Autor
Juan A. Aledo
Luz de Teresa
JUEVES
Hora
12:00
Autor
Daniel Franco Coronil
12:20
L. Portero
12:40
Anna Martı́nez Gavara
13:00
A. Arrarás
JUEVES
Hora
12:00
12:20
12:40
13:00
Autor
Silvia Sastre Gómez
Francisco G. Morillas
Jurado
Giancarlo Breschi
Lucı́a Belén Gamboa
Salazar
12:00–13:20
Aula AA11
Tı́tulo
Ecuación de Reynolds para un fluido viscoso en un dominio delgado con una frontera
ligeramente rugosa
Perturbaciones no autónomas y atractores
pullback
Some bifurcation results for delayed complex Ginzburg-Landau equations
Dinámica supercrı́tica en la convección
térmica de un fluido en geometrı́a esférica en rotación
12:00–13:20
120
123
Página
102
136
Aula AA06
Tı́tulo
Una aproximación continua de un método
FETI-DP mortero aplicado al problema de
Stokes
Multirate methods with smooth partitions
for hyperbolic conservation laws
Estudio de la reducción de la dimensión del
espacio de multiplicadores en un método
de descomposición de dominios para problemas elı́pticos
Métodos miméticos de descomposición de
dominios para problemas de reacción–
difusión
12:00–13:20
109
Aula AA13
Tı́tulo
On the Affine Maximal Surfaces Equation
Control frontera de ecuaciones hiperbólicas
acopladas
12:00–13:20
Página
125
Página
173
185
180
184
Aula AA13
Tı́tulo
Sobre algunos problemas lineales no locales
Algunos problemas con difusión no local.
Página
114
119
Selfsimilar solution of the second kind representing gelation in finite time for the
Smoluchowski equation.
Study of existence, uniqueness, regularity
and asymptotic behaviour of solutions for
Poisson-Boltzmann Equation
110
117
Horario
JUEVES
Hora
12:00
12:20
Autor
A. Martı́n
D. F. Yáñez
12:40
Juan Belmonte-Beitia
JUEVES
Hora
12:00
Autor
Leila Lebtahi
12:20
C. Coll
12:40
E. Sánchez
13:00
B. Cantó
13:20
A.M. Urbano
JUEVES
Hora
15:30
15:50
Autor
Esperanza Santamarı́a
Martı́n
J.C. Jara
16:10
Rosa Pardo
16:30
Julia Garcı́a-Luengo
JUEVES
Hora
15:30
Autor
Manuel Zamora
15:50
Roberto Barrio
16:10
Pedro J.Pagola
16:30
Isaac A. Garcı́a
16:50
Adrian C. Murza
27
12:00–13:20
Aula AA12
Tı́tulo
Medical Images Rician Based Denoising
Generalized wavelets operators design
using kernel statistical methods. Application to compression of signals and
images
Un modelo matematico para tumores cerebrales
12:00–13:40
206
205
207
209
Página
131
134
135
105
Aula AB12
Tı́tulo
Existencia de una solución para un problema de Dirichlet asociado a una ecuación de segundo orden con singularidades:
método de sub y super soluciones
Techniques for temporal dynamics of neuronal systems: the Hindmarsh-Rose model
Olver’s asymptotic theory, Green’s functions and fixed point theorems.
The perturbed symmetric Euler top and its
periodic solutions
Patterns of periodic solutions in discrete
tori of FHN systems
Página
204
Aula AA11
Tı́tulo
Semihiperbolicidad, shadowing y distancia
de atractores
Descomposición de Morse en el caso aleatorio
Infinitos cambios de estabilidad en ramas
de soluciones a un lado del autovalor principal
Acotación en H 2 de los atractores pullback
para las ecuaciones de Navier-Stokes 2D
no-autónomas
15:30–17:10
223
Aula AA05
Tı́tulo
Optimización de un problema del valor
propio inverso para cierta clase de matrices
Identificabilidad de parámetros en sistemas
estructurados
Perturbaciones estructuradas en la identificación de sistemas lineales
Algoritmo para obtener un modelo reducido de un sistema generalizado con retardos
Factorización de Cholesky de matrices singulares
15:30–17:10
Página
218
222
Página
88
92
94
97
99
28
JUEVES
Hora
15:30
Autor
Marı́a Charco
15:50
C. Garcı́a Vázquez
16:10
C. Vázquez
16:30
Angel Manuel Ramos
JUEVES
Hora
15:30
Autor
F. Guillén González
15:50
Virginia Selgas
JUEVES
Hora
15:30
Autor
B. Ricarte
15:50
R. Cantó
16:10
J.M. Peña
16:30
16:50
Manuel F. Abad
Ginestar D.
JUEVES
Hora
17:30
Autor
S. Busquier
17:50
E. Martı́nez
18:10
Juan R. Torregrosa
18:30
J.C.Trillo
15:30–17:10
Aula AB13
Tı́tulo
Modelización de deformaciones del terreno
en zonas volcánicas mediante el método de
elementos finitos: una aplicación al Teide
Modelado de los efectos termomecánicos
en una barra de acero: aplicación al sector de la automoción
Modelos de valoración de negocios basados
en EDPs y su resolución numérica
Mathematical modeling for real epidemics
situations. The case of classical swine fever virus
15:30–17:10
202
Página
161
171
Página
210
211
148
216
164
Aula AA11
Tı́tulo
On the intersection of curves using third
order geometric iterative methods
Métodos iterativos óptimos para ecuaciones no lineales usando aproximantes de
Padé
Métodos iterativos óptimos para la resolución de ecuaciones no lineales
Comparison among multiresolution schemes with and without error control strategies.
201
Aula AA05
Tı́tulo
Los sistemas de control en la elaboración
de un plan de aprovechamiento cinegético
Algunas aplicaciones de un resultado de
Brauer
Recent advances on the computation with
matrices with special bidiagonal factorizations
Producto Hadamard de B-matrices
Actualización Adaptativa de un Precondicionador para la resolución de la ecuación
de la difusión neutrónica dependiente del
tiempo
17:30–19:10
199
Aula AA06
Tı́tulo
Linear second order schemes for liquid
crystals models
Un método numérico nuevo para un problema de interacción fluido–sólido lineal
15:30–17:10
Página
198
Página
147
156
176
186
Horario
JUEVES
Hora
17:30
17:50
Autor
M.Carmen Martı́ Raga
R. Rodrı́guez Galván
18:10
Boal, N.
JUEVES
Hora
17:30
Autor
S. Segura de León
17:50
18:10
Julio D. Rossi
Mayte Pérez-Llanos
18:30
T. Mingazzini
JUEVES
Hora
17:30
Autor
Froilán Martı́nez Dopico
17:50
A. Devesa
18:10
Julio Moro
18:30
J. Cerdán
18:50
Sergio Romero-Vivo
19:10
Ion Zaballa
29
17:30–19:10
Aula AA06
Tı́tulo
Esquemas WENO de orden máximo
Aproximación del problema de Stokes hidrostático en mallas no estructuradas
Finite difference approximation for poroelastic waves
17:30–19:10
Página
101
107
112
124
Aula AA05
Tı́tulo
Consistency and efficient solution of the
Sylvester equation for ⋆-congruence: AX +
X⋆B = C
Construction of turbo codes of rate 1/n
with maximum effective free distance from
linear system point of view
Structured perturbation of purely imaginary eigenvalues of Hamiltonian matrices
Actualizaciones de precondicionadores tipo
BIF
Estudio del ı́ndice de alcanzabilidad para
un tipo particular de sistemas 2-D positivos
A Schur-like form for quadratic matrix
polynomials
172
Aula AA12
Tı́tulo
Comportamiento de las soluciones del problema de Neumann para el p–laplaciano
cuando p tiende a 1
Tug-of-War games and PDEs
Models for growth of heterogeneous sandpiles via Mosco convergence
On an optimal control problem involving
the location of a free boundary
17:30–19:30
Página
153
169
Página
217
219
224
228
229
230
30
Listado de comunicaciones por secciones
Joanna M. Chrobak, Henar Herrero
Mathematical model of lymphoma as a failure in maintanance of naı̈ve T
cell repertoire
Lunes, 15:30, Aula AB07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Manuel Zamora, Robert Hakl
Existencia de una solución para un problema de Dirichlet asociado a una
ecuación de segundo orden con singularidades: método de sub y super soluciones
Jueves, 15:30, Aula AB12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Manuel Malaver de la Fuente, Marı́a Esculpi
Un modelo de Estrella Anisótropa con densidad variable en Relatividad
General
Lunes, 15:50, Aula AB07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
M. Vela-Pérez, M. A. Fontelos and J. J. L. Velázquez
Geodesic paths in simple graphs for some social insects
Lunes, 16:10, Aula AB07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Set Pérez-González, Armengol Gasull, Joan Torregrosa, Héctor Giacomini
Global study of the Bogdanov-Takens bifurcation curve
Martes, 12:00, Aula AB07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Roberto Barrio, Andrey Shilnikov
Techniques for temporal dynamics of neuronal systems: the HindmarshRose model
Jueves, 15:50, Aula AB12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Juan L.G. Guirao, Jaume Llibre
Periodic structure of smooth self–maps with all their periodic orbits hyperbolic
Martes, 12:20, Aula AB07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Pedro J.Pagola, José Luis López
Olver’s asymptotic theory, Green’s functions and fixed point theorems.
Jueves, 16:10, Aula AB12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Enrique Ponce, Javier Ros and Elı́sabet Vela
An algebraically computable piecewise linear planar oscillator
Martes, 12:40, Aula AB07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Alejandro Luque, Jacobo Aguirre, Daniel Peralta-Salas
Dinámica de cargas en campos magnéticos creados por espiras de corriente
con simetrı́a
Lunes, 16:30, Aula AB07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Listado de Comunicaciones
31
Adriana Buică, Isaac A. Garcı́a
The perturbed symmetric Euler top and its periodic solutions
Jueves, 16:30, Aula AB12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Adriana Buică, Isaac A. Garcı́a, Susanna Maza
Centers on a center manifold in R3 and inverse Jacobi last multipliers
Martes, 13:00, Aula AB07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Adrian C. Murza, Isabel Salgado Labouriau
Patterns of periodic solutions in discrete tori of FHN systems
Jueves, 16:50, Aula AB12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
M. Olle, E. Barrabés, F. Borondo, D. Farrelly, J. M. Mondelo
Ionization dynamics of the hydrogen atom in a circularly polarized microwave field
Lunes, 16:50, Aula AB07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
S. Segura de León, A. Mercaldo, C. Trombetti, J. D. Rossi
Comportamiento de las soluciones del problema de Neumann para el p–
laplaciano cuando p tiende a 1
Jueves, 17:30, Aula AA12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Juan A. Aledo, Antonio Martı́nez, Francisco Milán
Miércoles, 12:00, Aula AA13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Antonio Miguel Márquez-Durán, Pedro Marı́n-Rubio & José Real
Convergencia de las ecuaciones de Navier-Stokes Globalmente Modificadas
con retardos a las ecuaciones de Navier-Stokes
Lunes, 17:30, Aula AB13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Marı́a Anguiano, Tomás Caraballo, José Real, José Valero
Existencia del atractor pullback para la ecuación de reacción-difusión sin
unicidad de solución
Lunes, 18:10, Aula AB13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Julia Garcı́a-Luengo, Pedro Marı́n-Rubio, José Real
Acotación en H 2 de los atractores pullback para las ecuaciones de NavierStokes 2D no-autónomas
Jueves, 16:30, Aula AA11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Hélia Serrano
Homogeneización de un problema magnetostático con periodicidades a distintas escalas
Lunes, 18:10, Aula AB12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Julio D. Rossi
Jueves, 17:50, Aula AA12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
32
L. Friz, M. A. Rojas-Medar, E. J. Villamizar-Roa
Flujo a través de un medio granular poroso isotrópico. Existencia de soluciones reproductivas
Lunes, 17:50, Aula AB13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Felipe Rivero
Perturbaciones no autónomas y atractores pullback
Giancarlo Breschi, Marco Antonio Fontelos
Selfsimilar solution of the second kind representing gelation in finite time
for the Smoluchowski equation.
Jueves, 12:40, Aula AA13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Marı́a Teresa González Montesinos, Francisco Ortegón Gallego
Un sistema elı́ptico–parabólico para la descripción del proceso industrial
del calentamiento de una barra de acero
Martes, 12:00, Aula AB04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
M. Bocea,, M. Mihăilescu, Mayte Pérez-Llanos, J. D. Rossi
Models for growth of heterogeneous sandpiles via Mosco convergence
Jueves, 18:10, Aula AA12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
José Valero
Un principio débil de comparación para sistemas de reacció n-difusión
Lunes, 18:30, Aula AB12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Anı́bal Rodrı́guez-Bernal, Silvia Sastre Gómez
Jueves, 12:00, Aula AA13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Carlos Quesada, Anı́bal Rodrı́guez Bernal
Perturbación y regularización para algunas ecuaciones parabólicas lineales
de cuarto orden
Martes, 12:20, Aula AB04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Tommaso Leonori, Alessio Porretta
Lipschitz solutions of elliptic problems with singularity at the boundary
and applications
Lunes, 12:00, Aula AB04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Lucı́a Belén Gamboa Salazar, Marco Antonio Fontelos López
Study of existence, uniqueness, regularity and asymptotic behaviour of solutions for Poisson-Boltzmann Equation
Jueves, 13:00, Aula AA13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
P. Kyriazopoulos , J.I. Diaz
On a elliptic system related to desertification studies
Lunes, 12:20, Aula AB04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Francisco G. Morillas Jurado, José Valero Cuadra
Jueves, 12:20, Aula AA13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
33
Alfonso C. Casal, Jesús I. Dı́az, Michael Stich, José Manuel Vegas
Some bifurcation results for delayed complex Ginzburg-Landau equations
M. A. Rojas-Medar, P. Braz e Silva, E.J. Villamizar-Roa
Existencia y unicidad de soluciones fuertes para fluidos no homogeneos
asimétricos vı́a operadores de evolución
Lunes, 15:30, Aula AB12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Igor Kondrashuk, Eduardo A. Notte-Cuello, Marko A. Rojas-Medar
Stationary fluids in Symmetric Bounded Domains and Hodge Operator
Lunes, 15:50, Aula AB12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
F. Garcia, M. Net, J. Sánchez
Dinámica supercrı́tica en la convección térmica de un fluido en geometrı́a
esférica en rotación
J.I. Dı́az, T. Mingazzini, A. M. Ramos
On the optimal control of a free boundary problem related to desalination
plants
Jueves, 18:30, Aula AA12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Juan Casado-Dı́az, Manuel Luna-Laynez, Francisco Javier Suárez-Grau
Ecuación de Reynolds para un fluido viscoso en un dominio delgado con
una frontera ligeramente rugosa
Luis Friz, M. A. Rojas-Medar, E.J. Villamizar-Roa
Existencia de Solución Reproductiva de un Sistema de Fluidos en Medios
Porosos no Consolidados
Lunes, 18:30, Aula AB13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Cristian Morales-Rodrigo, Manuel Delgado, Antonio Suárez
Anti-angiogenic therapy targeting receptors: Model and Analysis I
Lunes, 17:30, Aula AB12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Salomón Alarcón Araneda
Blow-up rate of large solutions for some semilinear elliptic equations
Lunes, 12:40, Aula AB04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Manuel Delgado, Cristian Morales-Rodrigo, Antonio Suárez
Estudio teórico de algunos modelos de terapias anti-angiogénicas
Lunes, 17:50, Aula AB12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
J. Casado Dı́az, J. Couce Calvo, F. Maestre , J.D. Martı́n Gómez
Homogeneización de la ecuación de ondas para coeficientes BV en tiempo
Lunes, 12:00, Aula AB03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Esperanza Santamarı́a Martı́n, Jose M. Arrieta
Semihiperbolicidad, shadowing
y distancia de atractores
Jueves, 15:30, Aula AA11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
34
Pedro J. Martı́nez-Aparicio, David Arcoya, José Carmona
Continua of solutions for quasilinear elliptic problems
Lunes, 13:00, Aula AB04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
J.F. Padial
On a Bernoulli-type evolution problem with a unknown Radon measure
data
Lunes, 16:10, Aula AB12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
T. Caraballo, J.C. Jara, J.A. Langa
Jueves, 15:50, Aula AA11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Rosa Pardo, Alfonso Castro
Infinitos cambios de estabilidad en ramas de soluciones a un lado del autovalor principal
Jueves, 16:10, Aula AA11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Luz de Teresa, S. Avdonin, A. Choque
Control frontera de ecuaciones hiperbólicas acopladas
Maria Luz Gandarias, Maria Santos Bruzon
Conservation laws for second order approximation equation of KdV type
Lunes, 12:20, Aula AB03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Salvador Moll, Francesco Petitta
Large Solutions for Parabolic Equations Without Absorption.
Martes, 12:40, Aula AB04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
M.S. Bruzon, M.L. Gandarias
Travelling wave solutions for a Generalized Dullin-Gottwald-Holm equation
Lunes, 12:40, Aula AB03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Francesco Petitta, Augusto C. Ponce, Alessio Porretta
Nonlinear parabolic equations with absorption terms and measure data
Martes, 13:00, Aula AB04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Simon J.
Desigualdades para un fluido confinado en un recinto
Lunes, 16:30, Aula AB12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
V. J. Garcı́a-Garrido, M. A. Fontelos, U. Kindelán
Numerical simulations of rotating drops with BEM
Lunes, 17:30, Aula AB08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
J. R. Fernández, M.C. Muñiz
Análisis numérico de un problema con surfactantes utilizando la isoterma
de Henry
Lunes, 15:30, Aula AB08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
35
M. José Legaz, Sergio Amat, Sonia Busquier, Fernando Manzano
Extrapolación polinómica recı́proca vs. extrapolación de Richardson
Lunes, 17:30, Aula AB07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Sergio Amat, M. José Legaz, Pablo Pedregal
Aproximación de ecuaciones diferenciales usando un método variacional
Lunes, 16:10, Aula AA13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
S. Amat, S. Busquier, J.M. Gutiérrez
On the intersection of curves using third order geometric iterative methods
Jueves, 17:30, Aula AA11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
J.M. Peña
Recent advances on the computation with matrices with special bidiagonal
factorizations
Jueves, 16:10, Aula AA05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
L. Ferragut,M.I. Asensio, J. M. Cascón, D. Prieto
A parallel algorithm for solving a multi-layer Convection-Difussion Problem
Lunes, 15:30, Aula AB08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Tomás P. Barrios, Edwin M. Behrens, Marı́a González
A posteriori error estimators based on Ritz projection for the augmented
mixed FEM in plane linear elasticity
Lunes, 15:50, Aula AB08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
M.V. Redondo Neble, F. Guillén González
Optimal error estimates for a viscosity-splitting scheme in time and finite
elements in space for the three-dimensional Navier-Stokes equations
Lunes, 16:10, Aula AB08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
V. Domı́nguez, T.P. Barrios, R. Bustinza
Estabilidad y convergencia del método LDG para problemas de contorno
con condiciones mixtas para la ecuación de Helmholtz
Lunes, 12:00, Aula AB02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
M.Carmen Martı́ Raga, Pep Mulet Mestre
Jueves, 17:30, Aula AA06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Isaı́as Alonso Mallo, , Ana M. Portillo
Estabilidad de discretizaciones espaciales de la ecuación de ondas con condiciones de frontera absorbentes
Lunes, 12:20, Aula AB02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Santiago Badia, Juan Vicente Gutiérrez Santacreu
Convergence to weak solutions for the Navier-Stokes equations of a stabilized finite element approximation with dynamic subsales
Lunes, 17:50, Aula AB07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
E. Martı́nez, A. Cordero, J.L. Hueso, J.R. Torregrosa
Métodos iterativos óptimos para ecuaciones no lineales usando aproximantes de Padé
Jueves, 17:50, Aula AA11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
36
G. Tierra, F. Guillén-González
Study of linear schemes for a Cahn Hilliard Diffuse Interface Model
Lunes, 12:40, Aula AB02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
M. T. Capilla, C. F. Talavera, D. Ginestar, G. Verdú
Application of a nodal collocation approximation for the multidimensional
PL equation to the three-dimensional Takeda benchmarks.
Lunes, 17:50, Aula AB08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
F.J. Gaspar, F.J. Lisbona, C. Rodrigo
Efficient multigrid finite element methods on semi-structured grids
Lunes, 16:50, Aula AB08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
C. Rodrigo, F.J. Gaspar, C.W. Oosterlee, I. Yavneh
Full-Multigrid (FMG): the most efficient multigrid algorithm
Lunes, 13:00, Aula AB02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Linear second order schemes for liquid crystals models
Jueves, 15:30, Aula AA06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Enrique Fernández-Cara, Gema Camacho, M. Carmen Calzada, Mercedes Marı́n
Un modelo de control óptimo para quimioterapia
Lunes, 15:30, Aula AA13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Nuria Reguera, Isaı́as Alonso-Mallo, Ángel Durán
Aislamiento de estructuras coherentes para la ecuación BBM discretizada
mediante elementos finitos
Martes, 12:00, Aula AB05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
González-Pintor, S., Verdú, G., Ginestar D.
Actualización Adaptativa de un Precondicionador para la resolución de la
ecuación de la difusión neutrónica dependiente del tiempo
Jueves, 16:50, Aula AA05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
M.T. Capilla, A. Balaguer-Beser, Ll. Gascón
Reconstrucción de los flujos Runge-Kutta en esquemas centrados de alto
orden que resuelven sistemas hiperbólicos no homogéneos
Lunes, 13:20, Aula AB02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
J.F. Garamendi1, F.J. Gaspar2 , N. Malpica3 , E. Schiavi4
Staggered Discretization for Dual Minimization in Image Processing
Lunes, 16:30, Aula AA13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Rommel Bustinza, Tomás P. Barrios
Una formulación Galerkin discontinua estabilizada para el problema de
Stokes en velocidad y pseudo-esfuerzo
Lunes, 18:10, Aula AB07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
R. Rodrı́guez Galván, F. Guillén González
Aproximación del problema de Stokes hidrostático en mallas no estructuradas
Jueves, 17:50, Aula AA06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
37
J. M. Cascón, M. I. Asensio, L. Ferragut, D. Prieto
Asimilación de Datos en un Modelo de Simulación de Incendios
Lunes, 18:50, Aula AB08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Marı́a González Taboada, Virginia Selgas
Un método numérico nuevo para un problema de interacción fluido–sólido
lineal
Jueves, 15:50, Aula AA06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
BOAL, N., GASPAR, F.J., LISBONA, F.J., VABISHCHEVICH, P.N.
Finite difference approximation for poroelastic waves
Jueves, 18:10, Aula AA06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Daniel Franco Coronil, Eliseo Chacón Vera, Anna Martı́nez Gavara
Una aproximación continua de un método FETI-DP mortero aplicado al
problema de Stokes
Jueves, 12:00, Aula AA06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Francisco Pla, Henar Herrero, Yvon Maday
El método de elementos de bases reducidas aplicado a un problema de
bifurcaciones de Rayleigh-Bénard
Lunes, 18:30, Aula AB07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Juan R. Torregrosa, Alicia Cordero, José L. Hueso, Eulalia martı́nez
Métodos iterativos óptimos para la resolución de ecuaciones no lineales
Jueves, 18:10, Aula AA11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Macarena Gómez Mármol, Tomás Chacón Rebollo, Isabel Sánchez
Muñoz
Un método estabilizado término a término de alto orden para flujos incompresibles estacionarios.
Lunes, 18:10, Aula AB08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Isabel Sánchez Muñoz, Tomás Chacón Rebollo, Macarena Gómez Mármol
Análisis numérico de una familia de métodos estabilizados para las ecuaciones primitivas del océano
Lunes, 18:30, Aula AB08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Anna Martı́nez Gavara, Eliseo Chacón Vera
Estudio de la reducción de la dimensión del espacio de multiplicadores en
un método de descomposición de dominios para problemas elı́pticos
Jueves, 12:40, Aula AA06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
L.M. Hervella-Nieto, X. Sagartzazu
Optimización de una capa de material absorbente para un problema acústico
Lunes, 15:50, Aula AA13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
A. Arjona Almodóvar, M. Gómez Marmol, T. Chacón Rebollo
Numerical modeling of volcanic ground deformation
Martes, 12:20, Aula AB05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
38
Enrique Fernández-Cara, Arnaud Münch, Diego Souza
Numerical null controllability of the 2D Stokes equations
Lunes, 18:50, Aula AB07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
A. Arrarás, L. Portero, J.C. Jorge
Métodos miméticos de descomposición de dominios para problemas de
reacción–difusión
Jueves, 13:00, Aula AA06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
L. Portero, A. Arrarás
Multirate methods with smooth partitions for hyperbolic conservation laws
Jueves, 12:20, Aula AA06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
S.Amat, B. Marı́a Dolores, J.C.Trillo
Comparison among multiresolution schemes with and without error control
strategies.
Jueves, 18:30, Aula AA11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
R.Castedo, C.Paredes
Modelo semi-explı́cito estocástico de erosión costera en zonas acantiladas
Lunes, 15:30, Aula AB13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Lino J. Alvarez-Vázquez, Aurea Martı́nez, Néstor Garcı́a-Chan,
Miguel E. Vázquez Méndez
Contaminación atmosférica: una aplicación del control multi-objetivo de
EDPs
Lunes, 15:50, Aula AB13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
J. Durany, J. Pereira–Pérez, F. Varas
Aplicación de modelos termohidrodinámicos de lubricación para cojinetes
de máquinas rotativas: análisis de flujos laminares y turbulentos
Lunes, 16:10, Aula AB13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Benjamin Ivorra, Angel Manuel Ramos, Susana Gomez, Roland Glowinski
Modeling, Simulation and Optimization of a Polluted Water Pumping Process in Open Sea.
Lunes, 16:30, Aula AB13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
G. Narbona-Reina, E.D. Fernández-Nieto, J.d.D. Zabsonré
Desarrollo de modelos bicapa acoplando flujos de tipo Reynolds y aguas
someras
Lunes, 16:50, Aula AB13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Nadia Smith, Ángel Manuel Ramos, Sarah Mitchell
Dimensional Analysis and simplifications of a Mathematical Model describing High-Pressure Food Processes
Martes, 12:00, Aula AB13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
39
González-Pintor, S., Verdú, G., Ginestar D.
Método de las Direcciones Alternadas para el cálculo del autovalor dominante de un Reactor Nuclear
Martes, 12:20, Aula AB13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Roberto Font, José Alberto Murillo, Javier Garcı́a
A mathematical model for the analysis and control of ballast tank blowing
and venting operations in manned submarines
Martes, 13:00, Aula AB13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Iñigo Arregui, J. Jesús Cendán, Carlos Vázquez
Técnicas de refinamiento y multimalla para la simulación de dispositivos
de lectura magnética
Martes, 12:40, Aula AB13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Roberto Font, José Alberto Murillo, Francisco Periago, Javier Garcı́a
Controllability of a mathematical model for blowing and venting operations
in submarines
Martes, 13:20, Aula AB13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Marı́a Charco, Pedro Galán del Sastre
Modelización de deformaciones del terreno en zonas volcánicas mediante
el método de elementos finitos: una aplicación al Teide
Jueves, 15:30, Aula AB13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
J. M. Dı́az Moreno, C. Garcı́a Vázquez, F. Ortegón Gallego,
G. Viglialoro, M. T. González Montesinos
Modelado de los efectos termomecánicos en una barra de acero: aplicación
al sector de la automoción
Jueves, 15:50, Aula AB13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
D. Castillo, A. Ferreiro, J. A. Garcı́a, C. Vázquez
Modelos de valoración de negocios basados en EDPs y su resolución numérica
Jueves, 16:10, Aula AB13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Angel Manuel Ramos, Benjamin Ivorra, Beatriz Martı́nez-López,
José Manuel Sánchez-Vizcaı́no
Mathematical modeling for real epidemics situations. The case of classical
swine fever virus
Jueves, 16:30, Aula AB13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Otros Temas
E. Corbacho
The degree of uniform approximation by radical functions
Martes, 12:00, Aula AB11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Leila Lebtahi, Néstor Thome
Optimización de un problema del valor propio inverso para cierta clase de
matrices
Jueves, 12:00, Aula AA05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
40
B. Cantó, C. Coll, E. Sánchez
Perturbaciones estructuradas en la identificación de sistemas lineales
Jueves, 12:40, Aula AA05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Identificabilidad de parámetros en sistemas estructurados
Jueves, 12:20, Aula AA05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Algoritmo para obtener un modelo reducido de un sistema generalizado
con retardos
Jueves, 13:00, Aula AA05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
L. J. Álvarez Vázquez, A. Martı́nez, J. J. Júdice, C. Rodrı́guez, M. E.
Vázquez Méndez, M. A. Vilar
Lunes, 12:40, Aula AB11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
R. Cantó, B. Ricarte, A.M. Urbano
Jueves, 13:20, Aula AA05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Los sistemas de control en la elaboración de un plan de aprovechamiento
cinegético
Jueves, 15:30, Aula AA05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
R. Bru, R. Cantó, A.M. Urbano
Algunas aplicaciones de un resultado de Brauer
Jueves, 15:50, Aula AA05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Antonio G. Garcı́a, Héctor R. Fernández-Morales, Gerardo PérezVillalón
Muestero generalizado en subespacios invariantes por traslación de L2 (Rd )
Martes, 12:20, Aula AB11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
F. Aràndiga, R. Donat, M. Santágueda
The Weighted-Powerp mean and interpolatory subdivision schemes.
Victoria Martı́n Márquez
Approximation methods for convex feasibility problems
Manuel F. Abad, Marı́a T. Gassó, Juan R. Torregrosa.
Jueves, 16:30, Aula AA05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Froilán Martı́nez Dopico, Fernando De Terán Vergara
Consistency and efficient solution of the Sylvester equation for ⋆-congruence:
AX + X ⋆ B = C
Jueves, 17:30, Aula AA05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
41
A. Martı́n1 , J.F. Garamendi2, A. G. Seco de Herrera3 , E. Schiavi4
Jueves, 12:00, Aula AA12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
P. Campillo, A. Devesa, V. Herranz, C. Perea
Construction of turbo codes of rate 1/n with maximum effective free distance from linear system point of view
Jueves, 17:50, Aula AA05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
P. Jodrá
An improved algorithm for computing the median of the Erlang distribution
Gerardo Pérez Villalón, Antonio Garcı́a Garcı́a
Recuperación de Splines a partir de Medias Locales
D. F. Yáñez, F. Aràndiga
Generalized wavelets operators design using kernel statistical methods. Application to compression of signals and images
Jueves, 12:20, Aula AA12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Juan Belmonte-Beitia, Vı́ctor M. Pérez-Garcı́a, David Diego Castro,
Gabriel Fernandez, Luis Pérez-Romasanta
Jueves, 12:40, Aula AA12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Julio Moro, Rafikul Alam, Shreemayee Bora, Michael Karow, Volker Mehrmann
Structured perturbation of purely imaginary eigenvalues of Hamiltonian
matrices
Jueves, 18:10, Aula AA05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Amparo Fúster Sabater, Pino Caballero Gil
Generación de secuencias criptográficas mediante ecuaciones en diferencias
Martes, 12:40, Aula AB11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Ernesto Aranda, Jose Carlos Bellido, Alberto Donoso
A computational method for an optimal design problem in uniform torsion
under local stress constraints
Lunes, 12:00, Aula AB11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
F. Ammar-Khodja, A. Benabdallah, M. González-Burgos,
L. de Teresa
Controllability of some systems of parabolic equations
Lunes, 12:20, Aula AB11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
J. Cerdán, J. Marı́n, J. Mas
Actualizaciones de precondicionadores tipo BIF
Jueves, 18:30, Aula AA05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
42
Sergio Romero-Vivo , Esteban Bailo, Josep Gelonch
Estudio del ı́ndice de alcanzabilidad para un tipo particular de sistemas
2-D positivos
Jueves, 18:50, Aula AA05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Ion Zaballa, Françoise Tisseur
A Schur-like form for quadratic matrix polynomials
Jueves, 19:10, Aula AA05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Resúmenes
Moving boundary problems associated with
biological tissue growth
H. Byrne
Oxford Centre for Collaborative Applied Mathematics, Mathematical
Institute, 24-29 St Giles, Oxford OX1 3LB
[email protected]
Resumen
A characteristic feature of many biological tissues is that they are continually
adapting to a variety of biomechanical and biochemical stimuli. Such remodelling may lead to changes in the overall size and composition of the tissue. For
example, muscle mass increases in response to exercise. When developing mathematical models of such systems, it is important to determine how the size
and structure of the tissue of interest evolve: as the domain on which the resulting models are formulated changes over time, they may be termed moving
boundary problems. In this talk I will focus on three examples which illustrate the different types of moving boundary problems that can arise in biology
when domain growth is regulated by diffusible growth factors. The problems of
interest are concerned with the growth of avascular tumour spheroids, in vitro
tissue engineering and diurnal variations in the length of photoreceptor cells in
the eye.
45
Complexity Reduction in Partial Differential
Equations: Models, Simulations, Applications
A. Quarteroni
Ecole Polytechnique de Federale de Lausanne, Switzerland y Politecnico di
Milano, Italy
Resumen
Mathematical models of complex physical problems can be based on heterogeneous partial differential equations (PDEs), i.e. on boundary-value problems
of different kind in different subregions of the computational domain. In different
circumstances, especially in control and optimization problems for parametrized
PDEs, reduced order models such as the reduced basis method can be used to
alleviate the computational complexity.
After introducing some illustrative examples, in this presentation several
solution algorithms will be proposed and a few representative applications to
blood flow modeling, sports design, and the environment will be addressed.
46
Limit Cycles in Liénard equations
F. Dumortier
Universiteit Hasselt, Belgium
[email protected]
Resumen
Liénard equations come from second order scalar differential equations ẍ +
f (x)ẋ + g(x) = 0 and can be represented in a so-called phase plane as ẋ = y,
ẏ = −g(x) − f (x)y and in a so-called Liénard plane as ẋ = y − F (x), ẏ = −g(x),
Rx
where F (x) = f (s)ds. We will only deal with polynomial Liénard equations,
0
for which f and g are polynomials of respective degree m and n. Such Liénard
equations with m = 1 are also called classical Liénard equations.
Polynomial Liénard equations show up in a natural way in different domains.
They might also be the simplest equations presenting nice theoretical challenges. Methods that are initially conceived in the study of polynomial Liénard
equations can often easily been transferred to more general systems in the plane or even on surfaces.
A very serious problem concerns the study of the limit cycles (the isolated periodic solutions). Smale’s 13th problem (a specification of Hilbert’s 16th problem)
asks for the number of limit cycles of classical Liénard equations.
In this talk we will present a survey of recent results about limit cycles of polynomial Liénard equations.
47
Optimal error estimates in stochastic
homogenization
Felix Otto
Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences, Leipzig, Germany
[email protected]
Resumen
In applications like water flow through a porous medium, one has to solve
an elliptic equation −∇·(a(x)∇u) = f with heterogeneous coefficients a(x) that
vary on a characteristic length scale ℓ much smaller than the domain size. The
coefficients a(x) are typically characterized in statistical terms: Their statistics
are assumed to be stationary (i. e. translation invariant) and to decorrelate over
distances large compared to ℓ. In this situation, it is known from the theory of
stochastic homogenization that the solution operator, i. e. the inverse of the
elliptic operator −∇ · a(x)∇, behaves – on scales large compared to ℓ – like the
inverse of −∇ · ahom ∇ with homogeneous, deterministic coefficients ahom . This
is a major reduction in complexity.
Hence the relation between the statistics of the heterogeneous coefficients
a(x) and the value of the homogenized coefficient ahom is of practical importance. Stochastic homogenization also provides a formula for ahom in terms
of the ensemble of a(x). It involves the solution of the “corrector problem”
−∇ · (a(x)(∇φξ + ξ)) = 0 in the whole space Rd for a given direction ξ. The
formula then is given by ahom ξ = ha(∇φξ + ξ)i, where h·i denotes the ensemble
average. Despite its simplicity, this formula has to be approximated in practise:
1) The corrector problem can only be solved for a small number of realizations of the coefficients a(x). Thus, appealing to ergodicity, the ensemble
average has to be replaced by a spatial average over a region of large
diameter L.
2) The corrector problem can only be solved in a finite domain of large
diameter L, thereby introducing some artificial boundary conditions.
In this talk, we present optimal estimates on both errors for the simplest
possible model problem: We consider a discrete elliptic equation on the ddimensional lattice Zd with random coefficients a, which are identically distributed and independent from edge to edge. This makes a connection with
the area of “random walks in random environments”. We establish the optimal
scaling of both errors in the ratio L/ℓ ≫ 1 (where the correlation length ℓ is
unity in our model problem). It turns out that the scaling is the same as in the
case of coefficients a(x) that are very close to the identity (where the corrector
problem can be linearized). Hence with respect to the error scaling, the highly
nonlinear relation between a(x) and ahom behaves like the linearized one.
Our methods involve spectral gap estimates and estimates on the Green’s
function which only depend on the ellipticity ratio λ of a.
This is joint work with Antoine Gloria, INRIA Lille.
48
Feedback stabilization: Results and design tools
J.M. Coron
Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, France
[email protected]
Resumen
We first present general results on the stabilization of control systems. Then
we describe various tools to design stabilizing feedback laws. This includes control Lyapunov functions, damping, backstepping, averaging and phantom tracking. Applications will be presented to spacial mechanics, quantum systems and
fluid mechanics.
49
Exemplar-Based Image Inpainting and
Applications
V. Caselles
Departament de Tecnologies de la Informació i les Comunicacions, Universitat
Pompeu-Fabra, Barcelona, Spain
[email protected]
Resumen
Image inpainting consists in recovering the missing or corrupted parts of an
image so that the reconstructed image looks natural. The purpose of this talk
will be to give an overview of recent techniques in non-local exemplar-based
image inpainting and its applications in video and cinema post-production.
Non-local methods for image denoising and inpainting have gained considerable attention in recent years. This is due to their superior performance in
textured images, a known weakness of purely local methods. Local methods on
the other hand have shown to be very appropriate for the recovering of geometric structure such as image edges. The synthesis of both types of methods
is a trend in current research. Variational analysis in particular is an appropriate tool for a unified treatment of local and non-local methods. We present
a general variational framework for the problem of non-local image inpainting,
from which some previous inpainting schemes can be derived, in addition to
leading to novel ones. We give also an statistical mechanics interpretation of
the proposed framework.
We show applications of image inpainting to different problems: interpolation
of sparsely sampled images, the replacement of objects in video sequences, and
to the post-production of depth-enhanced imagery.
Bibliografı́a
[1] P. Arias, V. Caselles, G. Facciolo, and G. Sapiro. Variational Framework for ExemplarBased Image Inpainting. To appear at Int. J. Computer Vision, 2011.
[2] P. Arias, V. Caselles, and G. Sapiro. A variational framework for non-local image
inpainting. Proc. of the 7th Int. Conf. on Energy Minimization Methods in Computer
Vision and Pattern Recognition EMMCVPR, Springer LNCS, Bonn, August 2009.
[3] G. Facciolo, P. Arias, V. Caselles, and G. Sapiro. Exemplar-Based Interpolation of Sparsely Sampled Images, Proce. of the 7th Int. Conf. on Energy Minimization Methods in
Computer Vision and Pattern Recognition, EMMCVPR, Springer LNCS Bonn, August
2009.
50
Minimal dynamical systems – a survey, recent
results, open problems
L. Snoha
Department of Mathematics, Matej Bel University, Slovakia
[email protected]
Resumen
A dynamical system is minimal if all orbits are dense. Such systems are
often considered to be the most fundamental ones. We will mostly deal with
discrete dynamical systems given by a continuous map on a topological (usually
compact metrizable) space. One situation when a minimal discrete dynamical
system appears is when we consider the time t-map of a minimal flow (for an
appropriate t ∈ R).
We will present a survey of some known facts on minimality, including those
on topological properties of minimal maps and on noninvertible minimal maps.
A special attention will be paid to the problem of the topological structure of
so called minimal sets (in particular, it will be discussed which spaces admit
minimal maps and which do not). Some recent results as well as some open
problems will also be presented.
51
Markov Chain Monte Carlo simulations. A
quantitative comparison
M.P. Calvo, I. Rodrigo and J.M. Sanz-Serna
Resumen
Markov Chain Monte Carlo methods are a class of algorithms for sampling
from a given probability distribution. They are based on the construction of
a Markov chain that has the desired distribution as its invariant distribution.
Many of these methods move around the equilibrium distribution with small
steps that lead to very long time simulations in order to explore all the space.
In this talk we describe different Markov Chain Monte Carlo algorithms and
compare their performance and efficiency.
52
Preconditioning techniques based on inverse
approximation
R. Bru
Institut de Matemàtica Multidisciplinar. Departament de Matemàtica
Aplicada. Universitat Politècnica de València, Spain
[email protected]
Resumen
In this talk we deal with the solution of general sparse matrix problems
in large-scale applications, focusing in the field of preconditioning techniques
when using Krylov subspace solvers. First, we are interested in the study of an
approximate inverse preconditioner. With such preconditioner an approximate
factorization of the inverse of A is computed and stored explicitly for general
sparse matrices. Second, we present a new incomplete factorization of a square
matrix into triangular factors in which we get direct LU or LDLT factors and
the inverse factors at the same time. The above two preconditioners are derived
from the approach based on the Sherman-Morrison formula for inverses and
the relationship between both factorizations are presented. The symmetric and
nonsymmetric case are studied and numerical experiments illustrate their application. Finally, some ideas are given when the second preconditioner is applied
to least squares problems.
Sesiones especiales
53
Some recent results concerning generalized
inverses
N. Castro-González
Facultad de Informática, Universidad Politécnica de Madrid, 28660 Boadilla
del Monte, Madrid, Spain (ALAMA)
[email protected]
Resumen
We shall comment on some recent results concerning generalized inverses for
matrices and for elements of a ring. Some topics in this area such as the study of
additive properties, formulas for expressing generalized inverses of partitioned
matrices in terms of generalized inverses of matrices of lower order, and laws for
generalized inverses of products of matrices will be considered. Special attention
will be paid to the Drazin inverse, which has applications to singular differential
equations and Markov chains.
This talk will be partly focussed on the works cited and will be illustrated
with numerical examples.
Acknowledgements: The research is partially supported by Project MTM201018057, ‘Ministerio de Ciencia e Innovación of Spain.
Bibliografı́a
[1] C-G, Martı́nez-Serrano, Drazin inverse of partitioned matrices in terms of BanachiewiczSchur forms, Linear Algebra Appl. 432, (2010) 1691-1702.
[2] C-G, Mendes-Araujo, Patricio, Generalized inverses of a sum in rings, Bull. Aust. Math.
Soc. 82, (2010), 156-164.
[3] C-G, Robles, Vélez-Cerrada, Characterization of a class of matrices and perturbation
of the Drazin inverse, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 30 (2) (2008) 882-897.
54
Sesiones especiales
Contribución al estudio de los subespacios
invariantes
Albert Compta Creus, Josep Ferrer Llop
Departament de Matemàtica Aplicada I, Universitat Politècnica de Catalunya
(ALAMA)
[email protected], [email protected]
Resumen
Dada una matriz A ∈ Mn (K) se dice que un subespacio F ⊂ K n es Ainvariante si A(F ) ⊂ F . Dado un par de matrices (A, B) ∈ Mn (K) × Mn,m (K)
se dice que un subespacio F ⊂ K n es (A, B)-invariante si A(F ) ⊂ F + ImB.
Nuestro grupo ha estudiado desde un punto de vista geométrico diversas cuestiones relacionadas con ellos, tales como el estudio de unos subespacios invariantes particulares de especial interés (los llamados marcados), perturbaciones
del subespacio o de las matrices, estructura diferenciable de los conjuntos de
subespacios invariantes, etc.
En este momento estamos aplicando esas mismas técnicas en el problema
abierto de la clasificación de los subespacios invariantes. Concretamente, técnicas ligadas a las sucesiones de Littlewood-Richardson que en [2] usamos para
relacionar las caracterı́sticas de Segre de la matriz, de la restricción y del cociente. En la exposición intentaremos dar una visión general de las cuestiones
estudiadas y una más detallada del estudio actual.
Bibliografı́a
[1] A. Compta and J. Ferrer, On (A, B)t -invariant subspaces having extendible Brunovsky
bases, Linear Algebra Appl., 255 (1997), 185–201.
[2] A. Compta; J. Ferrer, A Geometric Approach to the Carlson Problem, SIAM Journal
on Matrix Analysis Appl. Vol. 22, n. 1(2000), 258-275.
[3] A. Compta; J. Ferrer, Matricial Realizations of the Solutions of the Carlson Problem,
Linear Algebra Appl., 353 (2002), 197–206.
[4] A. Compta, J. Ferrer, Marta Peña, Dimension of the orbit of marked subspaces, Linear
Algebra Appl., 379 (2004), 239–248.
[5] A. Compta, U. Helmke, Marta Peña, X. Puerta, Simultaneous versal deformations of
endomorphims and invariant subspaces, Linear Algebra Appl., 413 (2006), 303–318.
[6] I. Gohberg; P. Lancaster; L. Rodman, Invariant Subspaces of Matrices with Applications. Wiley, New York (1986).
Sesiones especiales
55
Sistemas singulares de control positivos
A. Herrero, N. Thome
Instituto de Matemática Multidisciplinar, Universitat Politècnica de València
(ALAMA)
[email protected],[email protected]
Resumen
Un sistema singular de control lineal discreto e invariante en el tiempo es un
modelo de la forma:
(
Ex(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
y(k) = Cx(k)
donde E, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rp×n , k ∈ Z. En esta representación el
vector x(k) ∈ Rn es el vector de estados, u(k) ∈ Rm es el vector de controles
e y(k) ∈ Rp es el vector de salidas. Un análisis profundo y actual de este tipo
de sistemas se puede encontrar en el libro de Duan [3] en el que se recogen
además de sus propiedades estructurales, un estudio sobre la regularización y
la asignación de polos.
Los sistemas singulares han sido aplicados en una gran variedad de áreas como, por ejemplo, para el diseño y control de circuitos eléctricos, procesos quı́micos, económicos, etc. [1, 5]. En algunas de estas situaciones surge la necesidad
de que las variables del sistema tomen valores positivos (o no negativos). Por
ejemplo, cuando representan poblaciones, probabilidades, consumo de bienes,
densidades de sustancias quı́micas, etc. El desarrollo de modelos teóricos que
tengan en cuenta este requerimiento de positividad se conoce como el estudio de
sistemas singulares positivos de control. En concreto, este tipo de sistemas garantiza salidas positivas ante estados y controles positivos. En relación al análisis
de la positividad, una caracterización se puede encontrar en [2]. Posteriormente,
en [4], se han presentado otro tipo de condiciones necesarias y suficientes para
matrices de ı́ndice 1. En este caso se hace uso de una descomposición en bloques
de las matrices del sistema lo que puede reducir considerablemente el tamaño del
problema. En este trabajo se utilizará la técnica de descomposición en bloques
para obtener condiciones que permitan garantizar la positividad del sistema
cuando las matrices consideradas tengan ı́ndice superior a 1 completando ası́ el
estudio previo.
Agradecimientos: Este trabajo ha sido parcialmente subvencionado por
DGI MTM2010-18228 and grant Universidad Politécnica de Valencia, PAID06-09, Ref.: 2659.
Bibliografı́a
[1] R. Bru, J.M. Carrasco, L.C. Paraı́ba, Unsteady state fugacity model by a dynamic
control system, Applied Mathematical Modelling, 22 (1998), 484-494.
[2] B. Cantó, C. Coll, E. Sánchez, Positive solutions of a discrete-time descriptor system,
International Journal of Systems Science, 39, 1 (2008), 81-88.
56
Sesiones especiales
[3] G.R. Duan, Analysis and design of descriptor linear systems, Springer, 2010.
[4] A. Herrero, A. Ramı́rez, N. Thome, An algorithm to check the nonnegativity of singular
systems, Applied Mathematics and Computations, 189 (2007), 355-365.
[5] J. Hofbauer, K. Sigmund, Evolutionary games and population dynamics, Cambridge
University Press, 1998.
Sesiones especiales
57
Trayectorias canard en sistemas diferenciales
lineales a trozos en R3 .
Antonio E. Teruel, Rafel Prohens
Dpto. de Matemáticas e Informàtica, Universitat de Illes Balears
Resumen
Movimientos oscilatorios en los que aparecen diferentes escalas de tiempo
son muy frecuentes en las aplicaciones. Por ejemplo este comportamiento se
observa en la dinámica de ciertas reacciones quı́micas, redes neuronales o circuitos eléctricos [6]. Estos comportamientos se caracterizan porque las variables
implicadas en la dinámica se pueden agrupar en dos grupos que evolucionan
con velocidades muy diferentes entre si. Para modelar estos comportamientos,
usualmente se recurre a sistemas diferenciales singularmente perturbados
(
u̇ = g(u, v, ε),
εv̇ = f (u, v, ε),
con 0 < ε ≪ 1, u ∈ Rl y v ∈ Rr , también conocidos como sistemas lento-rápido.
Los trabajos de Fenichel [2, 3] describen, bajo ciertas condiciones de diferenciabilidad y de hiperbolicidad, el comportamiento del sistema perturbado como
combinación de las dinámicas de los sistemas no perturbados (ε = 0).
Diversos autores han analizado el comportamiento dinámico de los sistemas
singularmente perturbados al eliminar la condición de hiperbolicidad, ver por
ejemplo [1, 4]. La existencia de trayectorias canard en estos casos es uno de los
comportamientos más destacables, y es a su vez, la motivación fundamental de
múltiples trabajos [5, 7].
En nuestro trabajo analizamos el comportamiento dinámico de los sistemas
singularmente perturbados cuando eliminamos simultaneamente las condiciones
de hiperbolicidad y de diferenciabilidad.
Bibliografı́a
[1] Dumortier, F. and Roussarie, R., Canards cycles and center manifolds, Mem. Amer.
Math. Soc., 557, 1996.
[2] N. Fenichel, Presistence and smoothness of invariant manifolds, Indiana Univ. Math.
J. 21, (1971), 193–226.
[3] N. Fenichel, Geometric singular perturbation theory, J. Differential Equations 31,
(1979), 53–98.
[4] Krupa, M. and Szmolyan, P.,Extending geometric singular perturbation theory to
nonhyperbolic points-fold and canard points in two dimensions., SIAM J. Math. Anal.,
33, (2001), 286–314.
[5] P. Szmolyan and M. Wechselberger, Canards in R3 , J. Differential Equations 177,
(2001), 419–453.
[6] B. Van der Pol, A theory of the amplitude of free and forced triode vibrations, Radio
Review. 1, (1920), 701–710,754–762.
[7] M. Wechselberger, Existence and bifurcation of canards in R3 in the case of a folded
node, SIAM J. Appl. Dyn. Sys., 4 (2005), 101–139.
58
Sesiones especiales
Órbitas con Tangencia Transversal en Sistemas
Tridimensionales Lineales a Trozos
Soledad Fernández Garcı́a, Elisabeth Garcı́a Medina
Dpto. de Matemática Aplicada II, Universidad de Sevilla
Resumen
En esta comunicación nos centramos en el estudio de las órbitas periódicas
reversibles en el sistema lineal a trozos


 ẋ = y,
(1)
ẏ = z,


2
ż = 1 − y − λ(1 + λ )|x|,
donde λ > 0, que puede ser considerado como una versión lineal a trozos del
conocido sistema de Michelson [?].
En el trabajo [1] se prueba la existencia de una familia de órbitas periódicas reversibles que intersecan el plano de separación {x = 0} en dos puntos.
Dicha familia termina en un punto de tangencia transversal (cúbica) en cuyo
estudio nos centraremos. Esta tangencia es fundamental para la aparición de la
bifurcación noose [2].
En esta charla se prueba, de una forma alternativa, que en el sistema (1)
existe una órbita periódica reversible de dos cortes con el plano de separación,
uno de los cuales se produce de forma tangencial y que dicha tangencia conduce
a la existencia de órbitas periódicas reversibles de cuatro cortes con dicho plano.
Sección en el CEDYA 2011: EDO. Sección especial
Bibliografı́a
[1] E. Garcı́a-Medina, Conexiones Globales y Comportamientos Periódicos en Sistemas
Dinámicos Lineales a Trozos, Tesis Doctoral, Universidad de Sevilla (2011).
[2] P. Kent and J. Elgin, Noose Bifurcation of Periodic Orbits, Nonlinearity 4 (1991),
1045–1061.
[3] D. Michelson, Steady solutions of the Kuramoto–Sivashinsky equation. Phys. D 19
(1986) 89–111.
Sesiones especiales
59
Órbitas Periódicas en Sistemas Tridimensionales
Lineales a Trozos
Elisabeth Garcı́a Medina, Soledad Fernández Garcı́a
Dpto. de Matemática Aplicada II, Universidad de Sevilla
Resumen
En esta comunicación nos centramos en el estudio de las órbitas periódicas
reversibles en el sistema lineal a trozos


 ẋ = y,
(2)
ẏ = z,


2
ż = 1 − y − λ(1 + λ )|x|,
donde λ > 0, que puede ser considerado como una versión lineal a trozos del
conocido sistema de Michelson [3]. Focalizamos nuestro análisis en las orbitas
periódicas reversibles que intersecan al plano de separación {x = 0} en exactamente dos puntos. Llamaremos RP2-órbita a una óbita de esta clase y para
ellas presentamos el siguiente resultad o.
Teorema 1 Existen dos valores 0 < λC < λF para los que se satisfacen las
siguientes condiciones:
1. Si λ ∈ (0, λC ), entonces el sistema (2) tiene una única RP2-órbita con periodo
menor que 4π.
2. Para λ = λC , el sistema (2) posee exactamente dos RP2-órbitas con periodos
menor que 4π. Además, sus periodos son diferentes y la que tiene mayor
periodo cruza el plano de separación {x = 0} de forma tan gencial.
3. Si λ ∈ (λC , λF ), el sistema (2) posee exactamente dos RP2-órbitas con periodo menor que 4π.
4. Para λ = λF , el sistema (2) tiene una única RP2-órbita con periodo menor
que 4π.
5. Si λ > λF , entonces el sistema (2) no posee RP2-órbitas con periodo menor
que 4π.
Algunas de estas órbitas periódicas están relacionadas con conexiones globales cuya existencia se ha probado en los trabajos [1, 2].
Bibliografı́a
[1] V. Carmona, F. Fernández-Sánchez y A. E. Teruel, Existence of a reversible T-point
heteroclinic cycle in a piecewise linear version of the Michelson system. SIAM J. Appl.
Dyn. Syst. 7 (2008) 1032–1048.
[2] V. Carmona, E. Garcı́a-Medina, F. Fernández-Sánchez y A.E. Teruel. Existence of homoclinic connections in continuous piecewise linear systems, Chaos 20, 013124 (2010).
[3] D. Michelson, Steady solutions of the Kuramoto–Sivashinsky equation. Phys. D 19
(1986) 89–111.
60
Sesiones especiales
A nonlocal one phase Stefan problem that
develops mushy regions
E. Chasseigne
Univ. de Tours
[email protected]
Resumen
We study a nonlocal version of the Stefan problem which develops mushy
regions, even if they were not present initially, a model which can be of interest
at the mesoscopic scale. The model involves a convolution with a compactly
supported kernel. The created mushy regions have the size of the support of
this kernel. If the kernel is suitably rescaled, such regions disappear and the
solution converges to the usual local version of the one-phase Stefan problem.
We prove that the model is well posed, and give several qualitative properties.
Moreover, the long-time behaviour is identified by means of a nonlocal mesa,
solving an obstacle problem.
Sesiones especiales
61
Nonlinear nonlocal diffusion: A fractional
porous medium equation
A. de Pablo1
Univ. Carlos III, Madrid
[email protected]
Resumen
We develop a theory of existence and uniqueness for the following porous
medium equation with fractional diffusion,

 ∂u + (−∆)σ/2 (|u|m−1 u) = 0,
x ∈ RN , t > 0,
∂t

u(x, 0) = f (x),
x ∈ RN ,
with data f ∈ L1 (RN ) and exponents 0 < σ < 2, m > m∗ = (N − σ)+ /N . An
L1 -contraction semigroup is constructed. Nonnegative solutions are proved to
be continuous and strictly positive for all x ∈ RN , t > 0. We explore the range
0 < m ≤ m∗ by requiring f ∈ L1 (RN ) ∩ Lp (RN ) for some p(m) > 1.
62
Sesiones especiales
Nonlocal p-laplacian type operators with
Dirichlet boundary conditions
J. M. Mazón, J. D. Rossi, J. Toledo
Dept. d’Anàlisi Matemàtica, Universitat de València
[email protected]
Resumen
Let Ω be a bounded domain, 1 < p < +∞ and J : RN → R a radial,
continuousR function, strictly positive in B(0, 1), vanishing in RN \ B(0, 1) and
such that RN J(z) dz = 1. For ψ : RN \ Ω → R such that |ψ|p−1 ∈ L1 (RN \ Ω)
J
we define in L1 (Ω) the operator Bp,ψ
by
J
Bp,ψ
(u)(x)
=−
Z
J(x − y)|u(y) − u(x)|p−2 (u(y) − u(x)) dy
Z
−
J(x − y)|ψ(y) − u(x)|p−2 (ψ(y) − u(x)) dy,
Ω
x ∈ Ω.
ΩJ \Ω
A nonlocal version of the p-laplacian diffusion problem with Dirichlet boundary
conditions is
J
ut (x, t) + Bp,ψ
(u)(x, t) = f (x, t),
p
u(0) = u0 ∈ L (Ω).
x ∈ Ω, 0 < t < T,
(3)
We present some results, obtained in [1] (see also the monography [2]), concerning existence and uniqueness of strong solutions
up,JRof (3). We also show
C
J xε , C1 = 21 RN J(z)|zN |p dz, thethat, rescaling the kernel by Jp,ε (x) = εp+N
se up,Jε converge, as ε → 0, to the solution of the p-laplacian evolution problem
with non-homogeneous Dirichlet boundary conditions.
Letting p → +∞ we show that up,Jε converge to the function that describes
the amount of sand of an evolving sandpile with source f and Dirichlet boundary condition ψ. With this limit we describe a large scale sandpile model that
approaches the local model of Prigozhin ([4]).
Jε
Finally we show that taking limit as p → +∞ to the solution of Bp,ψ
u = 0 we
obtain an adequate absolutely minimizing Lipschit extension of ψ in Ω w.r.t.a
discrete distance that counts the number of steps ([3]).
Bibliografı́a
[1] F. Andreu, J. M. Mazón, J. D. Rossi and J. Toledo. A nonlocal p–Laplacian evolution
equation with nonhomogeneous Dirichlet boundary conditions. SIAM J. Math. Anal. 40
(2008/09), 1815–1851.
[2] F. Andreu, J. M. Mazón, J. D. Rossi and J. Toledo. Nonlocal Diffusion Problems. AMS
Mathematical Surveys and Monographs, vol. 165, 2010.
[3] J. M. Mazón, J. D. Rossi and J. Toledo. On the best lipschitz extension problem for a
discrete disance and the discrete ∞-lapalcian. Preprint.
[4] L. Prigozhin. Variational models of sandpile growth, Europ. J. Appl. Math., 7 (1996),
pp 225-236.
Sesiones especiales
63
A Variational Framework for Exemplar-Based
Image Inpainting
P.Arias
Univ. Pompeu Fabra
[email protected]
Resumen
Non-local methods for image denoising and inpainting have gained considerable attention in recent years. This is in part due to their superior performance
in textured images, a known weakness of purely local methods. Local methods
on the other hand have demonstrated to be very appropriate for the recovering
of geometric structures such as image edges. The synthesis of both types of
methods is a trend in current research. Variational analysis in particular is an
appropriate tool for a unified treatment of local and non-local methods. In this
work we propose a general variational framework for non-local image inpainting, from which important and representative previous inpainting schemes can
be derived, in addition to leading to novel ones. We explicitly study some of
these, relating them to previous work and showing results on synthetic and real
images.
The proposed formulation is rather general and different inpainting schemes
can be derived naturally from it, via the selection of the appropriate patch
similarity criterion. In this work we present four of them, corresponding to
similarity criteria based on L2 - and L1 -norms between patches or their gradients.
Gradient-based methods, combine the exemplar-based interpolation with
PDE-based diffusion schemes. This results in a smoother continuation of the
information across the boundary and inside the inpainting domain, and in a
better propagation of structures. Furthermore, the inclusion of gradients in the
patch similarity criterion allows to handle additive brightness changes.
The results obtained yield a partition of the inpainting domain into arbitrarily shaped segments which show an exact copy (of image or gradient values) of
some region in the hole’s complement. Transitions between the copied segments
take place in a band around the boundary between the segments. The width of
the band is the size of the patch. The four inpainting schemes differ in the way
this blending is done (and in the partition found). We provide a comprehensive
empirical comparison on real and synthetic problems, showing the benefits and
limitations of each variation of the proposed formalism.
This is joint work with Gabriele Facciolo, Vicent Caselles and Guillermo
Sapiro.
64
Sesiones especiales
Computation of the spectrum for some elliptic
operators on periodic waveguides
Ruotsalainen, Keijo
Division of Mathematics, University of Oulu
Resumen
In this paper we shall study the numerical method for computing the spectrum of some elliptic operators. It will be shown that the spectrum of an elliptic
operator in an infinite periodic waveguide the essential spectrum may contain
gaps. Moreover, we construct examples where the number of band-gaps can be
made arbitrarily large. Finally, we present some numerical examples by using the
finite element method. The theoretical tool to accomplish this task is provided
by the Krein-Birman- Vishik theory. Using the Gelfand transform we formulate
the spectral problem for a quadratic pencil of formally self-adjoint operators
on the periodicity cell. For fixed Gelfand parameter the model problem in the
periodicity cell admits increasing sequence of real and non-negative eigenvalues.
We approximate these eigenvalues using the mixed finite element method using
for the approximation of the eigenfunctions.
Sesiones especiales
65
Asymptotic structure of the spectrum in the
thin Dirichlet ladder.
Sergei A. Nazarov
Institute of Problems in Mechanical Engineering, Russian Academy of
Sciences. St.-Peterburg. RUSSIA
Resumen
A two-dimensional Dirichlet ladder is composed from two infinite parallel
vertical thin strips and infinite number of periodically posed thin treads. The
main goal being to describe asymptotically the band-gap structure of the essential spectrum in the Dirichlet problem with the Laplace operator, the starting
point becomes to investigate the discrete spectrum of the model problem [2]
about the Dirichlet problem in the junction ΞH of the unit strip and a halfstrip of width H. It is proved that there exists an absolute constant H∗ ∈ (1, 2)
such that in the case H ≥ H∗ the discrete spectrum in ΞH is empty but in
the case H ∈ (0, H∗ ) it consist of the only eigenvalue. Based on this result [2]
the position and length of some gaps in the essential spectrum are described
asymptotically (and justified), while specific examples of embedded eigenvalues
and eigenvalues in the discrete spectrum are presented using variation of widths
of several treads. Homogenization procedure for the thin Dirichlet ladder of a
finite height is discussed as well.
Acknowledgements: partially supported by MICINN, MTM2009-12628
Bibliografı́a
[1] A. Compta and J. Ferrer, On (A, B)t -invariant subspaces having extendible Brunovsky
bases, Linear Algebra Appl., 255 (1997), 185–201.
[2] Nazarov S.A, Trapped modes in a T-shaped waveguide, Acoustical Physics. 2010. V. 56,
N. 6. P. 1004–1015.
66
Sesiones especiales
Asymptotic Analysis of the Eigenvalues of an
Elliptic Problem in an Anisotropic Thin
Multidomain
Antonio Gaudiello
2
DAEIMI, Università degli Studi di Cassino, via G. Di Biasio 43, 03043 Cassino
(FR), Italia
[email protected]
Resumen
For every n ∈ N, let Ωn ⊂ RN be a thin multidomain consisting of two
vertical cylinders, one placed upon the other: the first one with height 1 and
small cross section rn ω, the second one with small thickness hn and cross section
ω, where ω is a bounded open connected regular subset of RN −1 containing the
origin of RN −1 , and rn and hn are two vanishing positive parameters. Precisely,
[
Ωn = (rn ω × [0, 1[) (ω×] − hn , 0[) .
In Ωn we consider the following eigenvalue problem:

−div (An (x)DUn ) = λUn in Ωn ,






Un = 0 on Γn = (rn ω × {1}) ∪ (∂ω×] − hn , 0[),






An (x)DUn ν = 0 on ∂Ωn \ Γn ,
(4)
where ν denotes the exterior unit normal to Ωn , rn ω × {1} is the top of the
upper cylinder, ∂ω×] − hn , 0[ is the lateral surface of the lower one, and
 ′
x


A
a.e. in Ωan = rn ω×]0, 1[,
, xN


rn

An (x′ , xN ) =
(5)


xN

′
b

 A x,
a.e. in Ωn = ω×] − hn , 0[,
hn
A(x) = (aij (x))i,j=1,··· ,N being a measurable, bounded,uniformly elliptic and
symmetric matrix valued function defined in ω×] − 1, 1[. Remark that assumption (5) allows to consider different types of materials in Ωn . For instance, one
can consider a homogeneous isotropic material, or a homogeneous anisotropic
material, or a non-homogeneous anisotropic material where the matrix is independent of x′ in Ωan and independent of xN in Ωbn , or a cylinder Ωan composed
of two materials: a cylindrical hearth enveloped by a cylindrical shell made by
a different material, etc.
It is well known that, for every n ∈ N, there exist an increasing diverging
sequence of positive numbers {λn,k }k∈N and a L2 (Ωn )-Hilbert orthonormal basis
{Un,k }k∈N , such that {λn,k }k∈N forms the set of all the eigenvalues of Problem
(4) and, for every k ∈ N, Un,k ∈ Vn = V ∈ H 1 (Ωn ) : V = 0 on Γn is an
Sesiones especiales
67
n 1
o
−
eigenvector of (4) with eigenvalue λn,k . Moreover, λn,k2 Un,k
k∈N
is a Vn -Hilbert
orthonormal
basis, by equipping Vn with the inner product: (U, V ) ∈ Vn × Vn →
Z
An DU DV dx.
Ωn
The aim of this work is to study the asymptotic behavior, as n diverges, of
the sequences {(λn,k , Un,k )}n∈N , for every k ∈ N, when hn ≃ rnN −1 , for obtaining
a more ”handling.eigenvalue problem for the 1D -(N − 1)D limit domains.
68
Sesiones especiales
PROMES-MOSLEF: An atmosphere-ocean
coupled regional model for climate studies of
the Mediterranean region
Bermejo, R.(1) , Gálán, P.(2) , Patiño, E.(2)
(1) Universidad Politécnica de Madrid, Dpto. de Matemática Aplicada a la
Ingenierı́a Industrial, ETSII
(2) Universidad Politécnica de Madrid, Dpto. de Matemática Aplicada a la
Arquitectura, ETSAM
[email protected], [email protected], [email protected]
Gallardo, C.
Universidad de Castilla-La Mancha, Instituto de Ciencias Ambientales
Resumen
The Mediterranean basin is characterized by complex coastlines and strong
topographical features such as the Alpine, the Apennine, the Pyrenees and the
Balkan mountain chains, the Italian and Hellenic peninsulas and large islands
(Balearic, Sicily, Sardinia, Corsica, Crete and Cyprus). All together contribute
to the existence of strong air-sea interactions in the region, the influence of them
on the Mediterranean ocean circulation is very strong. The Mediterranean sea
is a semi-enclosed and evaporative water body in which a wide range of oceanic
processes of global and regional interest take place. It is composed of two basins, namely a Western and Eastern basins connected by the Strait of Sicily. The
Western basin is connected with the North Atlantic ocean through the strait
of Gibraltar, which is a narrow, shallow and short passage characterized by the
surface inflow of fresh Atlantic water into the Mediterranean sea to replace the
evaporated water plus the denser and saltier Mediterranean water flowing out at
depth. The Eastern basin is connected to the Black Sea, which is an inland sea,
through the Bosphorus channel. The general circulation of the Mediterranean
sea is characterized by the presence of sub-basin scale gyres, strong boundary
currents and mesoscale variability and the formation of three water masses. The
Levantine Intermediate Water (LIW) can be formed in the North-East of the
Eastern basin and frequently in the Rhodes area. The eastern deep water, called Easter Mediterranean Deep Water (EMDW), is formed in the Adriatic Sea.
The western deep water, called Western Mediterranean Deep Water (WMDW)
is formed in the Gulf of Lions. Also in the Eastern basin is formed the so called
Aegean Water (also known as Cretean Intermediate water) in the Aagean Sea
and can be found between 500 and 1200 m. All these water masses are formed
during extreme winter time conditions characterized by strong surface cooling
and evaporation due to outbreaks of cold and dry air. Interannual variability
is also observed and most of it is directly related to interannual variability at
atmospheric forcings. It is clear now that the relevant features of the dynamics of the Mediterranean are driven by strong air-sea interactions and they
occur at fine spatial scales. Different studies using only ocean models have been
conducted in order to explain such features. The conclusion to be drawn from
Sesiones especiales
69
these attempts is that large scale features driven by large scale climatological
atmospheric forcing, and the seasonal variability are represented quite well by a
relatively coarse mesh resolution, however to simulate the mesoscale and the internal variabilities a mesh fine enough is needed to properly resolve the Rossby
radius. ¿From these ocean only experiments it is clear that to simulate adequately the two way air-sea interaction one needs a coupled model with a fine
resolution ocean model. In order to explicitly resolve the two-way interaction at
the atmosphere-ocean interface in the Mediterranean region, Somot at el. (2008)
coupled the global atmosphere model ARPEGE with a regional ocean model
called OPAMED (Somot et al., 2006). From these experiments it became clear
that a high resolution Atmospheric-Ocean Regional Coupled Model (AORCM)
is the necessary tool for accurate simulation of past, present and future climate
of the Mediterranean region. It is in this direction that the PROTHEUS group
has launched his AORCM model, Artale et al. (2010), and we have developed
our coupled model PROMES-MOSLEF to perform high resolution experiments
in order to contribute to the accurate estimations of the components of Mediterranean Sea Water Budget (MSWB), and so to the improvement of the 21
Century climate predictions of the Mediterranean and adjacent regions.
PROMES-MOSLEF is a parallel coupled high resolution atmosphere-ocean
model developed as a joint project by researchers of the universities of CastillaLa Mancha and Politécnica de Madrid, Gallardo et al. (2010). The atmospheric
model PROMES is a limited area 3-d hydrostatic model that uses the conic
Lambert projection to deal with the horizontal coordinates and a s-vertical
coordinate, see Castro et al. (1993). The model employs the Arakawa-C grid for
discretization in the horizontal plane with a resolution of 50 or 25 km and 37
levels for the vertical discretization, the advective terms are upwinded and their
values are calculated by a cubic spline; the time discretization is performed
by a split-explicit scheme combined with an explicit fourth order scheme to
discretize the horizontal diffusion terms. The lateral boundary conditions are
updated every 6 hours with ERA-interim data or data supplied by a GCM. The
physical parameterization module is composed by: (1) a radiation module; (2)
a 1.5 closure turbulence scheme; (3) the ORCHIDEE module to account for
the land surface-vegetation-atmosphere interchanges; and (4) the cloud module
using the scheme of Hsie , for clouds whose scales are resolved by the grid,
and the scheme proposed in Kain and Fritsch for clouds whose scaled are not
resolved by the grid.
The ocean model MOSLEF (SFEOM) is a fractional step semi-Lagrangian
finite element model which integrates the 3-d hydrostatic primitive equations
with rigid lid at the ocean surface, see Dorado´s Ph.D. thesis (2009) . The
semi-Lagrangian scheme permits the use of large time steps regardless the size
of the spatial mesh. MOSLEF uses P2 finite elements for the components of
the horizontal velocity, temperature and salinity, and P1 finite elements for the
vertical component of the velocity and the surface pressure. The mesh is composed of tetrahedra stocked by levels covering the ocean basin. The advantages
of tetrahedral meshes with respect to hexahedral meshes (the meshes used in
finite difference models) are the following: (1) variable resolution, this property
allows us to refine the mesh in selected regions in order to resolve the small
scale dynamics (Rossby radius) and strong topographical gradients; and (2) a
70
Sesiones especiales
better representation of the topographic features of the ocean basin. In this way,
we can incorporate the Black Sea into the Mediterranean system and discretize
very finely the Strait of Gibraltar and the Strait of Sicily.
The coupling between PROMES and MOSLEF is carried out by OASIS3
coupler. In addition to the synchronization of the models, OASIS develops two
more tasks, namely, (1) to interpolate the coupling fields (wind stress, T, heat
fluxes, radiation) from a source to a target mesh which in our model has different
resolution and topology in both the ocean and the atmosphere, and (2) to act as
translator of coding languages because PROMES is written in FORTRAN and
MOSLEF in C. The synchronization technique is CLIM/MPI1. PROMES use
the box partition type of OASIS (each process has the same number of points
and send and receives data), whereas MOSLEF uses the type of sequential
partition of OASIS with a master process and various slaves.
Bibliografı́a
[1] Castro, M., Fernández, C., Gaertner, M. A. Description of a mesoscale atmospheric
numerical model. In Dı́az J.I., J.L. Lions (Eds). Mathematics, climate and environment.
Rech. Math. Appl. Ser. Mason, pp: 230-253, 1993.
[2] Dorado, E. Estudio de las soluciones numéricas de largo plazo de los modelos de las
ecuaciones primitivas de la circulación general del océano. Tesis Doctoral. ( Dir. R.
Bermejo) Departamento de Matemática Aplicada, Facultad de CC. Matemáticas. Universidad Complutense de Madrid. 2009.
[3] Gallardo-Andrés, C., Galán, P., Bermejo, R. PROMES-MOSLEF: An atmosphere-ocean
coupled regional model. Coupling and preliminary results over the Mediterranean basin.
4th HYMeX Workshop. 2010.
[4] Artale, V., Calmanti, S., Carillo, A., Dell’Aquila, A., Herrman, M., Pisacane, G., Ruti.
P. M., Sannino, G., Struglia, M.V., Giorgi, F., Bi, X., Pal, J.S., Rausher, S. The PROTHEUS Group An atmosphere-ocean regional climate model of the Mediterranean area:
assessment of a present climate simulation. Clim. Dyn., 35: pp. 721.740 2010.
[5] Somot, S., Sevault, F., Déqué, F. Transient climate change scenario simulation of the
Mediterranean Sea for the 21st century using a high resolution ocean circulation model.,
Clim. Dyn. 27: pp. 851-879, 2006.
[6] Somot, S., Sevault, F., Déqué, M., Crépon, M. 21st century climate change scenario
for the Mediterranean using a coupled atmosphere-ocean regional climate model. Glob.
Plant. Change, 63 (2-3): pp. 112-126, 2008.
Sesiones especiales
71
Paralelización eficiente de un modelo oceánico
regional del Mediterráneo (Climar)
Garcı́a Dopico, A., Garcı́a, M.I., Rosales F., Arnáiz, J.,
Córdoba, M.L.
Dpto. de Arquitectura y Tecnologı́a de Sistemas Informáticos, UPM
{dopico, mgarcia, f rosal, mcordoba} @f i.upm.es, [email protected]
Bermejo, R., Gálán, P.
Dpto. de Matemática Aplicada a la Ingenierı́a Industrial, UPM
Resumen
Sección en el CEDYA 2011: Otros temas (Cálculo Cientı́fico y Computación)
El cambio climático y sus posibles consecuencias constituyen un tema de
gran interés actual en la comunidad cientı́fica investigadora. La amenaza de las
consecuencias del cambio climático en la economı́a, población y entorno natural
promueve cada vez más estudios y aprendizaje sobre los procesos que afectan al
clima. Existen desde hace décadas modelos climáticos que pretenden reproducir
el comportamiento del clima para poder predecir los efectos del cambio climático. A lo largo de la historia de los modelos climáticos, han ido progresando a
modelos cada vez más complejos, con mayor grado de representatividad realista
de los procesos fı́sicos y quı́micos que tienen lugar en los diferentes componentes del sistema climático: atmósfera, hidrosfera, geosfera y biosfera, ası́ como el
intercambio de masa y energı́a entre ellos. Las simulaciones realizadas en estos
modelos suelen abarcar varias décadas: tanto para predecir el cambio de clima futuro, como para validar los propios modelos comparando sus resultados
con datos reales de los últimos años. Otro indicador importante en los modelos climáticos es la resolución del área modelada, puesto que cuanto mayor sea
ésta, mayor es el realismo y grado de detalle de los procesos fı́sicos simulados.
Siempre ha existido un compromiso entre la resolución de la malla para obtener
una simulación más realista y el tiempo de ejecución necesario, que debe ser
razonable. La tendencia de los modelos climáticos actuales es hacia modelos
acoplados en los que los diversos modelos intercambian resultados cada cierto
tiempo. Esto añade la complejidad de tener que sincronizar tanto en tiempo
como en espacio de mallado los diversos modelos, que de por sı́ suelen tener
diferentes demandas de tiempo de ejecución y complejidad.
La complejidad de los algoritmos simulados, los largos periodos de tiempo
simulados, y los requisitos de nivel de resolución para un modelado más realista
hacen que los modelos climáticos constituyan aplicaciones computacionalmente
muy costosas, por lo que siempre han ido de la mano de las limitaciones tecnológicas de los supercomputadores más avanzados del momento [1] [2]. Siempre
se ha tenido que tomar una decisión de compromiso entre estos tres fatores: complejidad de los algoritmos, resolución, y periodo de tiempo simulado, pudiendo
mejorar alguno de estos aspectos sólo cuando la tecnologı́a de supercomputación
lo permitı́a, y con soluciones especı́ficas y concretas para cada tipo de arquitectura de computador.
72
Sesiones especiales
Los autores han adaptado un modelo oceánico regional de la cuenca del Mediterráneo para realizar simulaciones climáticas con muy alta resolución para
su ejecución eficiente en arquitecturas paralelas de diferentes tipos: memoria
compartida y/o memoria distribuida, bajo estándares de paralelización y comunicación que facilitan su escalabilidad y ejecución con alto número de procesadores (masivamete paralelos), y ası́ hacer posible su acoplamiento a un modelo
climático atmosférico. Con este objetivo se ha realizado el estudio de dicha aplicación del modelo climatico y se han plantearon posibles paralelizaciones. El
propósito de estas paralalizaciones es poder explotar al máximo los recursos de
cualquier máquina, desde un gran cluster hasta un computador doméstico, de
forma que se reduzca al mı́nimo el tiempo de ejecución. En la comunicación se
presentarán los resultados obtenidos con diversas estrategias de paralelización y
bajo diferentes plataformas de computación: desde el supercomputador Magerit
del Centro de Supercomputación y Visualización de Madrid (CesViMa) hasta
clusters de computadores, o computadores personales, llegando a alcanzar no
sólo importantes ganancias en el tiempo de ejecución, sino también una alta
escalabilidad.
Bibliografı́a
[1] Washington, Warren M. and Buja, Lawrence and Craig, Anthony. The computational
future for climate and Earth system models: on the path to petaflop and beyonds, Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering
Sciences, pg 833–846, 2009.
[2] Arthur A. Mirin and William B. Sawyer. A Scalable Implementation of a Finite-Volume
Dynamical Core in the Community Atmosphere Model. Int. J. High Perform. Comput.
Appl. 19, 3. 2005.
Sesiones especiales
73
Discretization of the hydrostatic Stokes system
by stabilized nite elements of equal order
Kimmritz. M,
Mathematisches Seminar, Christian-Albrechts Universitaet zu Kiel
[email protected] − kiel.de
Resumen
The hydrostatic approximation is a widely used approximation of the 3D
incompressible Navier-Stokes equations in flat domains, as e.g. applied in ocean
simulation. This approximation is based on reducing the momentum equation in
vertical direction to a simple hydrostatic balance between the pressure gradient
and gravitational forces. As a consequence, the dynamically relevant pressure
becomes two- dimensional and the vertical component of the velocity field can
be eliminated from the dynamical system. This allows a substantial reduction of
the underlying algebraic equations. Since the pressure is only two-dimensional
whereas the velocity field remains three-dimensional this approximate system
can be considered as a 2.5-dimensional approximation of Navier-Stokes.
Similar to the incompressible Navier-Stokes equations, the choice of discretization of the pressure and the velocity field should be taken carefully in order
to fulfill an inf-sup condition (e.g. staggered grids), or alternatively, stabilization terms should be introduced into the discrete equations. In this talk, we
focus on stabilized equal-order finite element discretizations of this hydrostatic
approximation. In particular, we show the correspondence of stability in the
2D case for this 2.5D case. Under relative moderate assumptions on the threedimensional grid, we prove stability and give an a priori error estimate of a
wide class of stabilized schemes, e.g. pressure stabilized Petrov-Galerkin, local
projection, continuous interior penalty and Galerkin-Least-squares methods. Finally, we show the effect of this hydrostatic approximation in some numerical
simulations and support our theoretical results by presentation of appropriate
numerical results.
74
Sesiones especiales
Some Mathematical Models on Growth
Problems and Nonlinear Elliptic Equations
Ireneo Peral
Departamento de Matemáticas, UAM, Madrid, Spain
[email protected]
Resumen
Epitaxial growth is characterized by the deposition of new material on existing layers of the same material under high vacuum conditions.
We will assume that the height function obeys a gradient flow equation with
a forcing term
p
δJ (u)
2
+ f (x, t) .
(6)
ut = 1 + (∇u) −
δu
The functional J denotes a potential which describes the microscopic properties
of the interface and, at the macroscopic scale, it is assumed that it can be
expressed as a function of the surface mean curvature only [3]
Z
p
F (H) 1 + (∇u)2 dx,
J (u) =
(7)
Ω
where the presence of the square root terms models growth along the normal
to the surface, H denotes the mean curvature and F is an unknown function of
H.
We focalize the study on the stationary problem where some borderline cases
appear by studying problem of existence of solution. The central model in this
work is given by the following elliptic equation,
(
∆2 u = det D2 u + λf x ∈ Ω ⊂ R2
boundary
conditions.
There are many related problems, starting with the evolution problem associated to this elliptic problem.
Bibliografı́a
[1] R. Coifman, P. L. Lions, Y. Meyer, and S. Semmes, Compensated compactness and Hardy
spaces, J.Math. Pures Appl. 72 (1993) 247-286.
[2] C. Escudero and I. Peral, A stationary variational model of epitaxial growth, preprint.
[3] M. Marsili, A. Maritan, F. Toigo, and J. R. Banavar, Stochastic growth equations and
reparametrization invariance, Rev. Mod. Phys. 68 (1996) 963-983.
[4] S. Müller, Det=det. A remark on the distributional determinant, C. R. Acad. Sci. Paris,
Série I 311 (1990) 13-17.
Sesiones especiales
75
The Dirichlet problem for a singular elliptic
equation arising in the level set formulation of
the inverse mean curvature flow
J.M. Mazón, S. Segura de León
Dpto. Anàlisi matemàtica, Universitat de València
Resumen
In this lecture we consider the Dirichlet problem associated with a nonlinear
singular elliptic equation arising in the level set formulation of the inverse mean
curvature flow; namely,
Du
−div
+ |Du| = f .
|Du|
We introduce a suitable concept of weak solution, for which we prove existence
and uniqueness of the homogeneous Dirichlet problem in a bounded open set of
RN , in the case 0 ≤ f ∈ Lq (Ω), q > N .
The inverse mean curvature flow is a one-parameter family of hypersurfaces
{Γt }t≥0 ⊂ RN (N ≥ 2) whose normal velocity Vn (t) at each time t equals the
inverse of its mean curvature H(t). If we let Γt := F (Γ0 , t), then the parametric
description of the inverse mean curvature flow is to find F : Γ0 × [0, T ] → RN
such that
ν
∂F
= ,
t ≥ 0,
(8)
∂t
H
where ν denotes the unit outward normal to Γt .
Huisken and Ilmanen in [1] propose a level set formulation for the inverse
mean curvature flow (8), and by means of their existence and uniqueness results
about this formulation of the inverse mean curvature flow, they then give a proof
of a conjecture from the black hole theory known as Penrose Inequality. The
level set formulation propose in [1] is the following. Assume that the flow is
giving by level set of a function u : RN → R via
Γt = ∂Et ,
Et := {x ∈ RN : u(x) < t}.
Wherever u is smooth with ∇u 6= 0, equation (8) is equivalent to
∇u
= |∇u|.
div
|∇u|
Our approach is different to that introduced in [1] and follows the ideas
developed to study the Dirichlet problem for the total variation flow (see [2]).
Bibliografı́a
[1] G. Huisken and T. Ilmanen, The Inverse Mean Curvature Flow and the Riemannian
Penrose Inequality, J. Differential Geom. 59 (2001) 353–438.
[2] F. Andreu, C. Ballester, V. Caselles and J.M. Mazón, The Dirichlet Problem for the
Total Variational Flow, J. Funct. Anal. 180 (2001), 347–403.
76
Sesiones especiales
Quasilinear singular elliptic equations
Luigi Orsina
Dpto. di Matematica, “Sapienza”, Università di Roma
[email protected]
Resumen
We are going to deal with following quasilinear singular (model) problem,
studied in [1] and in [2]:

−∆u + |∇u|2 = f in Ω,
uγ

u=0
on ∂Ω.
Here Ω is a bounded open subset of RN , N ≥ 2, γ > 0, and f ≥ 0 belongs to some Lebesgue space. We will give existence and nonexistence results (depending
on the values of γ). Links with critical points for functionals like
Z
Z
1
f v,
[a(x) + |v|θ ]|∇v|2 −
J(v) =
2 Ω
Ω
with θ > 0, and 0 < α ≤ a(x) ≤ β, will also be discussed.
Bibliografı́a
[1] D. Arcoya, J. Carmona, T. Leonori, P. Martı́nez-Aparicio, L. Orsina and F. Petitta,
Existence and nonexistence of solutions for singular quadratic quasilinear equations, J.
Diff. Eq. 246 (2009), 4006–4042.
[2] L. Boccardo, Dirichlet problems with singular and quadratic gradient lower order terms,
ESAIM Control Optim. Calc. Var. 14 (2008), 411–426.
Sesiones especiales
77
Shape from Silhouette Consensus
Gloria Haro
Dept. de Tecnologies de la Informació i les Comunicacions,
Universitat Pompeu Fabra
[email protected]
Resumen
Many applications in computer vision require the 3D reconstruction of a shape
from its different views. When the available information in the images is just a
binary mask segmenting the object, the problem is called shape from silhouette
(SfS). As first proposed by Baumgart [1], the shape is usually computed as the
maximum volume consistent with the given set of silhouettes. This is called
visual hull, a term coined by Laurentini [2] who also studied its theoretical
aspects.
In real multi-view applications, silhouette masks are extracted from the different views by background subtraction techniques that segment foreground
objects. These silhouettes often contain errors due to noise, calibration inaccuracies or background subtraction errors (false alarms and miss-detections) derived from occlusions, illumination changes, moving background or similar colors
in the foreground and background. In those cases, when the shape is computed
with the visual hull, as the intersection of the back-projected silhouettes in the
3D space, the resulting shapes are incomplete.
We propose a shape-from-silhouette algorithm that is robust to inconsistent
and incomplete silhouettes. The recovery of the shape that best fits the available
data (silhouettes) is formulated as a continuous energy minimization problem.
The energy is based on the error between the silhouettes and the shape plus
a regularization term. Thanks to the characterization of the visible surface in
each view, we consider the error in the volume space. As a result, we obtain an
iterative volume-based algorithm that evolves the initial shape to the shape that
is in general agreement with the silhouettes, thus being robust to errors in the
silhouettes. This work is a reformulation in the continuous case of our previous
work [3] and which is more adapted to be implemented in a multi-processor
computer architecture such as a graphics processing unit (GPU).
Bibliografı́a
[1] B. G. Baumgart, Geometric modeling for computer vision, PhD Thesis, CS Departmnet,
Stanford University, 1974.
[2] A. Laurentini, The Visual Hull Concept for Silhouette-Based Image Understanding,
IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence, 16 (2) (1994), 150-162.
[3] G. Haro and M. Pardàs, Shape from incomplete silhouettes based on the reprojection
error, Image and Vision Computing, 28 (9) (2010), 1354-1368.
78
Sesiones especiales
Modelos de deconvolución fraccionaria3 de
imágenes con conservación del color
Pantaleón David Romero Sánchez
†
†
Departamento de Ciencias Fı́sicas, Matemáticas y de la computación,
Universidad CEU-Cardenal Herrera,
C/ San Bartolomé 55, 46115, Alfara del Patriaca, Valencia
[email protected],
http://maphysco.ceuuch.es/ pantaleon
Vicente F. Candela Pomares
Departamento de Matemática Aplicada, Universidad de Valencia,
C/ Vicente Andrés Estellés, 2, 46100, Burjassot, Valencia
[email protected]
Resumen
La deconvolución de imágenes o señales es uno de los ejemplos de problemas
mal puestos dentro de la modelización matemática. Elegir la solución adecuada
para cada problema requiere un proceso de regularización de la señal, que puede
provenir de una formulación variacional. Una dificultad a la hora de resolver este
tipo de problemas es establecer criterios objetivos que nos permitan obtener
parámetros para la estimación del error en cada paso.
Los modelos de deconvolución de imágenes deben no sólo garantizar soluciones aceptables, sino ser computacionalmente manejables, de modo que su
resolución pueda ser obenida sin excesivo coste. En este sentido, proponemos
métodos iterativos de resolución que nos aseguren buena calidad en pocos pasos.
Para elegir un buen modelo, es importante conocer el tipo de correlación
entre los canales. En este trabajo, proponemos un modelo basado en la potencia fraccionaria del operador laplaciano([1, 2, 3]), que evita los artefactos
que pueden aparecer debidos al color, y la recuperación de las caracterı́sticas
geométricas de la imagen original.
Bibliografı́a
[1] P.D. Romero, V.F. Candela, Blind deconvolution models regularized by fractional powers of the Laplacian, J. Math Imaging Vis., 32, 181-191 (2008).
[2] P.D. Romero, V.F. Candela, Mathematical models for restoration of Baroque paintings,
Lecture Notes in Computer Sciences, 4179, 24-34 (2006).
[3] Pantaleón D Romero Sánchez, V.F. Candela. Modelos de deconvolución ciega fraccionaria. Aplicaciones a la restauración de obras pictóricas. Servici de Publicacions de la
Universitat de Valéncia, 2009, ISBN: 978-84-370-7562-4.
[4] R. Hilfer (ed.), Applications of fractional calculus in physics, World Scientific, River
Edge (2000).
[5] A. Carasso, Direct blind deconvolution, SIAM J. Numer. Anal., 61, 1980-2007 (2001).
3 Supported
by a grant GVA PRE 2010/066 and MTM 2088-03597
Sesiones especiales
79
[6] L. He, A. Marquina, S. Osher, Blind deconvolution using TV regularization and Bregman iteration. Int. J. Imag. Systems and Techn., 15, 74-83 (2005).
[7] F. Catté, P.L. Lions, J.M. Morel, T. Coll, Image selective smoothing and edge detection
by nonlinear diffusion, SIAM J. Numer. Anal., 29, 182-193 (1992).
[8] J. Schanda, Colorimetry: Understanding the CIE system, John Wiley & Sons, Inc. Publ.
(2007).
[9] Color Vision: from genes to perception, K.R. Gegenfurner, L.T. Sharpe, eds., Cambridge
University Press (1999).
80
Sesiones especiales
Algoritmos de compresión con control de error
máximo. Aplicación a la compresión de
Regiones de Interés.
P. Arándiga† , R. Donat† , P. Mulet† , V. Renau†
†
Dpto. de Matemática Aplicada, Univ. de Valencia.
Resumen
Ser capaz de controlar la calidad de los datos descomprimidos en lugar de la
tasa de compresión es adecuado para ciertas aplicaciones. En esta presentación
se presenta unos algoritmos de compresión que garantizan a priori una determinada estimación del error medida en la norma máximo entre el original y la
imagen decodificada.
El objetivo de esta charla es mostrar algunas de los las ventajas de esta
familia de transformaciones cuando se usan como técnica de compresión ”sin
perdida çasi sin perdida”. También veremos como este algoritmo puede ser utilizado para darle una tratamiento diferencial a algunas zonas llamadas regiones
de interés. Este tratamiento diferencial consiste en poder obtener más calidad
o resolución de esa región en la imagen reconstruida.
2
Sesiones especiales
81
Spectral stiff problems in domains surrounded
by thin stiff and heavy bands
D. Gómez
Departamento de Matemáticas, Estadı́stica y Computación, Universidad de
Cantabria, Spain
[email protected]
Resumen
Let Ω be a bounded domain of R2 with a smooth boundary Γ and let (ν, τ )
be the natural orthogonal curvilinear coordinates in a neighborhood of Γ: τ
is the arc length and ν the distance along the outer normal to Γ. Let also ℓ
denote the length of Γ and κ(τ ) the curvature of the curve Γ at the point τ .
We assume that the domain Ω is surrounded by a curvilinear strip defined by
ωε = {x : 0 < ν < εh(τ )} where ε > 0 is a small parameter and h a strictly
positive function of the τ variable, ℓ-periodic, h ∈ C ∞ (Sℓ ) where Sℓ stands for
the circumference of length ℓ. Let Ωε be the domain Ωε = Ω ∪ ωε ∪ Γ and Γε
the boundary of Ωε .
We consider the spectral Neumann problem in Ωε for a second order differential operator with piecewise constants coefficients:

−A∆x U ε = λε U ε
in Ω,





−t
ε
ε
−t−m
ε

u in ωε ,
 −aε ∆x u = λ ε


U ε = uε
on Γ,
(9)



ε
−t
ε

A∂ν U = aε ∂ν u
on Γ,




 −t
aε ∂n uε = 0
on Γε .
Here, A and a are two positive constants while ∂ν and ∂n denote the derivatives
along the outward normal vectors ν and n to the curves Γ and Γε , respectively.
We consider t ≥ 0 and m ≥ 0, and assume additionally that either t > 0 or
m > 0. We study the asymptotic behavior, as ε → 0, of the eigenvalues λε of
problem (9) and of their corresponding eigenfunctions {U ε , uε }. Depending on
the parameters t and m, and the function h, we highlight local effects for the
eigenfunctions associated with certain range of frequencies. We also consider
the case where ωε is defined by ωε = {x : 0 < ν < εhε (τ )} with hε (τ ) = h(τ /ε)
and h a periodic function. See [1] and [2] for further descriptions of the problem.
This a joint work with S. A. Nazarov (Russian Academy of Sciences, St. Peterburg) and E. Pérez (Universidad de Cantabria, Santander)
Bibliografı́a
[1] D. Gómez, S. A. Nazarov and E. Pérez. Spectral stiff problems in domains with strongly
oscillating boundary. Integral Methods in Science and Engineering, Birkhäuser, 2011.
[2] D. Gómez, S. A. Nazarov and E. Pérez. Spectral stiff problems in domains surrounded
by thin stiff and heavy bands: local effects for the eigenfunctions. Networks and heterogeneous media, 6, 1–35, 2011.
82
Sesiones especiales
Homogenization of non self-adjoint problems
with large drift and potential
Rafael Orive
Instituto de Ciencias Matemáticas, CSIC-UAM-UC3M- UCM, C. Nicólas
Cabrera 13-15, Campus de Cantoblanco-UAM, 28049 Madrid, y Dpto. de
Matemáticas, Universitat Autónoma de Madrid, 28049 Madrid.
[email protected]
Resumen
We consider the homogenization of both the parabolic and eigenvalue problems for a singularly perturbed convection-diffusion equation in a periodic
medium. All coefficients of the equation may vary both on the macroscopic scale and on the periodic microscopic scale. Denoting by ε the period, the potential
or zero-order term is scaled as ε−2 and the drift or first-order term is scaled as
ε−1 . Under a structural hypothesis on the first cell eigenvalue, which is assumed to admit a unique minimum in the domain with non-degenerate quadratic
behavior, we prove an exponential localization at this minimum point. The homogenized problem features a diffusion equation with quadratic potential in the
whole space.
Sesiones especiales
83
A nonlinear boundary homogenization problem
for a perforated domains along a manifold
M.E. Pérez
Departamento de Matemática Aplicada y Ciencias de la Computación.
U. Cantabria. Avenida de las Castros s/n. 39005 Santander, Spain
[email protected]
Resumen
Let Ω be a bounded domain in Rn , n ≥ 3, with smooth boundary Ω. Assume
that γ = Ω ∩ {x1 = 0} 6= ∅ is a domain on the hyperplane {x1 = 0}. We denote
by G0 the ball of radius 1 with its center in the origin of coordinates. We set
[
[
fε =
Gjε ,
(aε G0 + εz) =
G
z∈Z′
j∈Z′
′
where Z is the set of vectors in form z = (0, z2 , . . . , zn ) with integer components
zi , i = 2, . . . , n; aε = C0 εα , α =≥ 1, C0 is a positive number, ε is a small positive
parameter that we shall make to go to zero.
fε , such that
We define the perforations Gε as the union of sets Gjε ⊂ G
j
j
Gε ⊂ Ω and ρ(Ω, Gε ) ≥ 2ε. Then, we set
Ωε = Ω \ Gε , Sε = Gε , Ωε = Ω ∪ Sε .
Let ωn denote the area of the unit sphere in Rn and κ denote a positive
parameter depending on α and n. In particular, here we consider
n−1
n−1
for κ = (α − 1)(n − 1) , and, α >
for κ ∈ R.
α ∈ 1,
n−2
n−2
Let us consider σ(x, u) a continuously differentiable function of variables
(x, u) ∈ Ω × R satisfying: σ(x, 0) = 0, and there exist two constants k1 > 0 and
k2 > 0 such that k1 ≤ σu (x, u) ≤ k2 , x ∈ Ω, u ∈ R.
In Ωε we consider the following boundary-value problem


in Ωε ,

 −∆ε uε = f
∂uε
−κ
+ ε σ(x, uε ) = 0 on Sε ,


 ∂ν
uε = 0
on Ω,
where ν denotes the unit outer normal vector to Sε .
84
Sesiones especiales
We study the asymptotic behavior of the solution uε , as ε → 0, for the difn−1
ferent values of α, namely α ∈ [1, n−1
n−2 ) and α > n−2 . The intermediate case,
n−1
α = κ = n−2 , for which we have a so-called critical size of the perforations, has
been considered in [1]. In this connection, we also refer to [2] for the homogenization of variational inequalities and to [3] for the homogenization of linear
boundary conditions.
This a joint work with M. Lobo (Universidad de Cantabria, Santander) and
T. A. Shaposhnikova (Moscow State University, Moscow, Russia).
Acknowledgements: partially supported by MICINN, MTM2009-12628.
Bibliografı́a
[1] M. Lobo, M.E. Perez, V.V. Sukharev, T.A. Shaposhnikova. Averaging of boundary-value
problem in domain perforated along (n − 1)-dimensional manifold with nonlinear third
type boundary conditions on the boundary of cavities, Dokl. Math. 83(2011) 34–38
[2] D. Gómez, M. Lobo, M.E. Pérez, T.A. Shaposhnikova. Averaging in variational inequalities with nonlinear restrictions along manifolds. Submitted to referee.
[3] M. Lobo, O.A. Oleinik, M.E. Perez, T.A. Shaposhnikova. On homogenization of solutions of boundary value problem in domains, perforated along manifolds, Ann. Scuola
Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. Ser. 4, 25 (1997) 611–629.
Sesiones especiales
85
Thin domains with oscillatory boundaries
José M. Arrieta
Dpto. de Matemática Aplicada, Universidad Complutense de Madrid
[email protected]
Resumen
We consider the behavior of the solutions of the Laplace equation with Neumann boundary conditions in a thin domain which presents a highly oscillatory
behavior at its boundary. The general thin domain that we consider is
Rǫ = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < ǫGǫ (x)}
where the function Gǫ is of the type Gǫ (x) = G(x, x/ǫα ) for some α > 0 and with
the function G periodic in the second variable. We will analyze the behavior of
the solutions as ǫ → 0 and explore the dependence of the limit operator in terms
of the value α. Observe that if α = 1 we have a very resonant problem, where
the height of the thin domain, the amplitude and period of the oscillations are
of the same order ǫ. If α < 1 the boundary presents a slowly oscillatory behavior
while if α > 1, the boundary presents a very rapidly oscillatory behavior. We
will also present some possible extensions allowing both boundaries of the thin
domain (top and bottom) to oscillate, maybe with different values of α.
Bibliografı́a
[1] J.M. Arrieta, M. C. Pereira, Homogenization in a thin domain with an oscillatory
boundary, Journal des Mathematiques Pures et Appliquees, (To appear)
[2] J.M. Arrieta, M. C. Pereira, Thin domains with a very rapidly oscillatory boundary,
(submmitted).
86
Comunicaciones
Mathematical model of lymphoma as a failure in
maintanance of naı̈ve T cell repertoire
Joanna M. Chrobak, Henar Herrero
Dpto. de Matemáticas, Facultad de Quı́micas, Universidad de Castilla - La
Mancha, Avda. Camilo José Cela No. 3, 13071 Ciudad Real, Spain
Resumen
We introduce a stochastic model of lymphoma based on the model of the
competitive exclusion between different clonotypes in the maintenance of the
naı̈ve T cell repertoire [1, 2]. Two clonotypes of T cells compete with each other
and with other clonotypes for survival stimuli provided by professional cells
(APCs) [3, 4]. We assume that one of the clonotypes is normal and the other
is tumorous. We model the competition as a continuous-time bivariate Markov
process [5]. To model the evolution of the tumorous clonotype we include a
rate of influx of new naı̈ve T cells from the thymus. We obtain a deterministic
approximation to the stochastic model using Van Kampen’s large N expansion
technique [6] and analyse four cases of competition between the two clonotypes
of T cells.
We obtain two possible scenarios, depending on the values of parameters:
either both clonotypes survive in the repertoire or the clonotype of the normal
T cells becomes extinct, meanwhile the clonotype of the tumorous T cells is
maintained, after achieving some maximum level of growth. We show that if
the income of the new T cells (descendants of mutated precursor cells) from the
thymus is augmented, then the tumorous clonotype, which is very competitive,
would never be removed from the repertoire; meanwhile the normal clonotype
could become extinct if it was not specialized enough to compete effectively
for survival stimuli. This result supports the hypothesis of mutated precursor
cells as the origin of cancer, in particular lymphoma. Any of these cells might
initiate an outbreak of the illness, so as long as we do not entirely get rid of all
the mutated stem cells, we can not successfully defeat lymphoma.
Sección en el CEDYA 2011: EDO, AN
Bibliografı́a
[1] E. R. Stirk, C. Molina-Parı́s and H. A. van den Berg. Stochastic niche structure and diversity maintenance in the T cell repertoire. Journal of Theoretical Biology, 255 (2008),
237-249.
[2] E. R. Stirk, G. Lythe, H. A. van den Berg and C. Molina-Parı́s. Stochastic competitive
exclusion in the maintenance of the naı̈ve T cell repertoire. Journal of Theoretical
Biology, 265 (2010), 396-410.
[3] R. J.De Boer and A. S. Perelson. T cell repertoires and competitive exclusion. Journal
of Theoretical Biology, 169 (1994), 375-390.
[4] A. W. Goldrath and M. J. Bevan. Selecting and maintining a diverse t-cell repertoire.
Nature, 402 (1999), 255-262.
87
[5] L. J. S. Allen. An introduction to stochastic processes with applications to biology.
Prentice Hall, 2003.
[6] N. G. Van Kampen. Stochastic processes in physics and chemistry. North-Holland Personal Library, 2007.
88
Comunicaciones
Existencia de una solución para un problema de
Dirichlet asociado a una ecuación de segundo
orden con singularidades: método de sub y
super soluciones
Manuel Zamora
Dpto. de Matemática Aplicada, Universidad de Granada
[email protected]
Robert Hakl
Institute of Mathematics AS CR, Czech Republic
[email protected]
Resumen
Consideramos el problema de Dirichlet
u′′ = f (t, u, u′ )
u(a+) = 0,
u(b−) = 1
(10)
(11)
donde f ∈ Car((a, b) × (0, 1) × R; R). El objetivo de este trabajo es estudiar la
existencia de una solución definida en (a, b) con valores en (0, 1) del problema
(10), (11). Para ello proponemos una definición análoga a la clásica de sub y
super soluciones y demostramos un teorema principal donde bajo ciertas condiciones adicionales si existen sub y super soluciones bien ordenadas se puede
garantizar la existencia de solución del problema. La dificultad de este trabajo aparece en el número de singularidades que puede presentar la función f ,
en principio puede tener hasta cuatro, dos en la variable temporal (t = a y
t = b) y otras dos en la espacial (x = 0 y x = 1). Los antecedentes relacionados con problemas de tipo Dirichlet son frecuentes en la literatura cuando
no existen singularidades o solamente se presentan en la variable temporal.
Si suponemos la posibilidad de que en (10) aparezca una singularidad en la
variable espacial, por ejemplo en x = 0, podemos encontrar en la literatura
resultados parciales, la mayorı́a de ellos suponiendo signo constante en f o bien
f (t, x, y) = f1 (t, x) + f2 (t, x)y. En este trabajo además de estudiar por primera
vez el problema (10), (11) en la situación más general obteniendo resultados
interesantes, se presentan condiciones efectivas para asegurar la existencia de
solución en problemas frecuentemente llegados de la Ciencia Aplicada, como
u′′ =
p(t)
,
− u)ν
uλ (1
u′′ =
h(t)
g(t)
−
λ
u
(1 − u)ν
donde λ, ν ∈ R+ , h, g ∈ Lloc ((a, b); R+ ) y p ∈ Lloc ((a, b); R); junto con las
condiciones de contorno dadas por (11).
Sección en el CEDYA 2011: EDO
89
Un modelo de Estrella Anisótropa con densidad
variable en Relatividad General
Manuel Malaver de la Fuente
Universidad Marı́tima del Caribe, Catia la Mar, Estado Vargas, Venezuela.
mmf [email protected]
Marı́a Esculpi
Universidad Central de Venezuela, Departamento de Fı́sica Aplicada, Facultad
de Ingenierı́a, Caracas, Venezuela.
[email protected]
Resumen
En la presente investigación se ha encontrado una nueva familia de soluciones de estrellas anisótropas con densidad variable que dependen de dos parámetros ajustables C y α, relacionados al grado de anisotropı́a del fluido. En este
modelo se ha considerado que la densidad de materia corresponde a la solución
isótropa del modelo de Tolman VI, por lo que se resuelve la ecuación de TolmanOppenheimer-Volkof con presencia de anisotropı́a en las presiones y se obtiene
una ecuación diferencial de Riccati cuya solución presenta una dependencia de
la presión radial con el grado de anisotropı́a de la estrella. Se encuentra que
un aumento del factor de anisotropı́a producirá un decrecimiento de la presión
radial para un valor dado del parámetro α. Para valores especı́ficos de α, se
obtienen distintos factores de anisotropı́a C donde el cociente presión-densidad
en el centro de la estrella es Pρcc = 1, que representa un valor lı́mite natural
para la ecuación de estado en el centro de la estrella. Este comportamiento es
distinto al observado en el modelo de Cosenza, Herrera, Esculpi y Witten donde
este cociente se hace igual a la unidad para un solo factor de anisotropı́a C.
Sección en el CEDYA 2011: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - EDO
Bibliografı́a
[1] K. Schwarzschild, Math.Phys.Tech., 424-434 (1916)
[2] M. Cosenza, L. Herrera, M. Esculpi y L. Witten, J.Math.Phys., 22(1), 118 (1981).
[3] M. Esculpi, M. Malaver y E. Alomá., Gen.Relat.Grav., 39, 633 (2007).
90
Comunicaciones
Geodesic paths in simple graphs for some social
insects
M. Vela-Pérez
Departamento de Arquitectura, IE University
mvp [email protected]
M. A. Fontelos and J. J. L. Velázquez
Instituto de Ciencias Matemáticas, (ICMAT, CSIC-UAM-UC3M-UCM)
[email protected], jj [email protected]
Resumen
Social insects are an important example of complex collective behavior. In
particular, ant colonies develop different tasks as foraging, building and allocation [1]. While they search for food they deposit a pheromone that it is considered as a crucial element in the mechanism for finding minimal paths. The
experimental observations suggest that the model should include the presence of pheromone and the persistence (tendency to follow straight paths in the
absence of other effects).
In our study [2], we will consider ants as random walkers where the probability to move in one or another direction is influenced by the concentration of
pheromone near them (reinforced random walks). We are mainly interested not
in an individual random walker but rather on a large number of random walkers, their collective behavior, and the possibility for them to aggregate forming
geodesic paths between two points in some simple networks.
We investigate the behavior of ants in a two node network and in a three
node network (with and without directionality constraint). Our analytical and
computational results show that in order for the ants to follow shortest paths
between nest and food, it is necessary to superimpose to the ants’ random walk
the chemotactic reinforcement. It is also needed a certain degree of persistence
so that ants tend to move preferably without changing their direction much.
Another important fact is the number of ants, since we will show that the speed
for finding minimal paths increases very fast with it.
Bibliografı́a
[1] B. Holldobler and K. Wilson. The ants, Berlin: Springer, 1990
[2] M. Vela-Pérez, M. A. Fontelos and J. J. L. Velázquez. Ant foraging and minimal paths
in simple graphs, Submitted for publication
91
Global study of the Bogdanov-Takens
bifurcation curve
Set Pérez-González, Armengol Gasull, Joan Torregrosa
Dpto. de Matemáticas, Univ. Autónoma de Barcelona
[email protected],[email protected],[email protected]
Héctor Giacomini
Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique, Université de Tours
[email protected]
Resumen
The bifurcation curve of the homoclinic connection that appears in the
Bogdanov-Takens normal form system
x′ = y,
y ′ = −n + by + x2 + xy,
is usually restricted to a local study near the critical point. The aim of this work
is to obtain a global knowledge of this curve in the parameter space.
It is well known that for small n > 0 there exists a value b∗√
(n) such that
the system√has an unique limit cycle if and only if b∗ (n) < b < n. Moreover
b∗ (n) = 57 n + . . .. In [3] the quadratic differential equation is considered in
the whole space and it is proved that b∗ (n) is analytic and that the previous
inequalities are satisfied for all n > 0. A detailed study of the curve b∗ (n) for
n small enough is presented in [2]. This previous work is based on an algebraic
method for the location of bifurcation curves.
In our work, see [1], we adapt this procedure to the global study of the
Bogdanov-Takens bifurcation. That is, we obtain explicit curves such that bl (n) <
b∗ (n) < bu (n) for all n > 0. With this result we proved a Perko’s conjecture,
see [3], that predicts the behaviour of this curve when the
√ parameters goes to
infinity. In fact, we proved that b∗ (n) goes to infinity as n − 1.
Bibliografı́a
[1] A. Gasull, H. Giacomini, S. Pérez-González, J. Torregrosa, Global study of the BogdanovTakens bifurcation curve, 2011 (work in progress).
[2] A. Gasull, H. Giacomini, J. Torregrosa, Some results on homoclinic and heteroclinic
connections in planar systems, Nonlinearity, 23, (2010), 2977-3001.
[3] L. M. Perko, A global analysis of the Bogdanov-Takens system SIAM J. Appl. Math.,
52, (1992), 1172-92.
92
Comunicaciones
Techniques for temporal dynamics of neuronal
systems: the Hindmarsh-Rose model
Roberto Barrio
Dpto. de Matemática Aplicada and IUMA,Universidad de Zaragoza, E-50009,
Zaragoza, Spain
[email protected]
Andrey Shilnikov
Neuroscience Institute and Department of Mathematics and Statistics,
Georgia State University, Atlanta 30303, USA
[email protected]
Abstract
A phenomenological system of ODEs proposed by Hindmarsh and Rose [2]
for modeling bursting and spiking oscillatory activities in isolated neurons is
given by:
ẋ = y − ax3 + bx2 − z + I,
(12)
ẏ = c − dx2 − y,
ż = ε(s(x − x0 ) − z);
here, x is treated as the membrane potential, while y and z describe some fast
and slow gating variables for ionic currents, respectively. Slow “activation.of z
is due to the small parameter 0 < ε ≪ 1. The parameters in (12) are typically
set as follows a = 1, c = 1, d = 5, s = 4, x0 = −1,6 and ε = 0,01, so that regular
bursting oscillations in the model at an “applied current”I = 4, which belongs
to the square-wave type at b = 2,7, and transforms to a plateau-like bursting
at b = 2,52. Along with “intrinsic,”b, and “external,”I, bifurcation parameters
the dynamics of the model are sensitive to variations to other parameters: ε
being treated as a rate of activation for some current, and x0 being viewed as a
control parameter delaying and advancing the activation of the slow current in
the modeled neuron.
In this talk we analyze metamorphoses of oscillatory activities, such as
plateau-like and square-wave bursting in the Hindmarsh-Rose model by using
a complementary suite of computational tools developed for two-parameter
screening of dynamics in neuronal models [1]. The comparison involves “calculus”based tools for the evaluation of an entire spectrum of Lyapunov exponents
commonly employed in bifurcation studies, with neuroscience plausible techniques specifically tailored for the fast examination of temporal characteristics
of neural activities including spike counting, duty cycle of bursting, interspike
interval, etc.
Bibliografı́a
[1] R. Barrio and A. Shilnikov. Parameter-sweeping techniques for temporal dynamics of
neuronal systems: case study of Hindmarsh-Rose model. Preprint, (2011).
[2] JL. Hindmarsh and RM. Rose. A model of the nerve impulse using three coupled firstorder differential equations. Proc. Roy. Soc. Lond., B221 (1984), 87-102.
93
Periodic structure of smooth self–maps with all
their periodic orbits hyperbolic
Juan L.G. Guirao
Departamento de Matemática Aplicada y Estadı́stica. Universidad Politécnica
de Cartagena, Hospital de Marina, 30203-Cartagena, Región de Murcia, Spain
[email protected], http://www.dmae.upct.es/ jlguirao/
Jaume Llibre
Departament de Matemàtiques. Universitat Autònoma de Barcelona,
Bellaterra, 08193-Barcelona, Catalonia, Spain
[email protected], http://www.gsd.uab.es/personal/jllibre
Resumen
The aim of the present contribution is to study in its homological class the
periodic structure of the C 1 self–maps on the manifolds Sn (the n–dimensional
sphere), Sn ×Sm (the product space of the n–dimensional with the m–dimensional
spheres), CPn (the n–dimensional complex projective space) and HPn (the n–
dimensional quaternion projective space), having all their periodic orbits hyperbolic, for more information see [1].
Bibliografı́a
[1] J.L.G. Guirao and J. Llibre, C 1 self–maps on Sn , Sn × Sm , CPn and HPn with all their
periodic orbits hyperbolic, to appear in Taiwanese Journal of Mathematics.
94
Comunicaciones
Olver’s asymptotic theory, Green’s functions
and fixed point theorems.
Pedro J.Pagola, José Luis López
Dpto. de Ingenierı́a Matemática e Informàtica, Universidad Pública de Navarra
Resumen
We consider Olver’s asymptotic method for linear differential equations of
the second order with a large parameter Λ. When we add initial conditions to the
differential equation, we meet an initial value problem that may be formulated
in the following form: given a linear differential equation of the second order
L(y) = 0, find a solution y(x) of this equation in a certain space of functions
determined by the initial conditions. We show that this problem may be solved
by splitting the differential operator L into the difference of a ”main.operator
M and a rest N, that is, L = M − N. Then, using the Green function of the
operator M to compute its inverse, and a fixed point theorem, we show that
sequence yn+1 = M−1 Nyn converges to the unique solution of the problem. The
sequence yn is not only an asymptotic sequence for large Λ of a solution of the
differential equation (as in Olver’s expansion), but it has the additional property
of being convergent. Then, we can use this technique to obtain new asymptotic
as well as convergent expansions of special functions when they are solutions
of linear differential equations of the second order. Moreover, we can exploit
the power of this technique to extend its range of applicability to nonlinear
differential equations. (Painlevé equations for example).
95
An algebraically computable piecewise linear
planar oscillator
Enrique Ponce, Javier Ros and Elı́sabet Vela
Departamento de Matemática Aplicada II, Universidad de Sevilla.
Escuela Técnica Superior de Ingenierı́a, Camino de los Descubrimientos s/n.
41092 Sevilla, Spain
Abstract A piecewise linear oscillator whose oscillation can be completely characterized by algebraic methods is studied. It represents up to the best of authors’s knowledge, the first example where all the oscillation properties can be
determined for all the values of the bifurcation parameter, being not a perturbation of the harmonic oscillator. In fact, algebraic expressions for coordinates of
representative points, period and characteristic multiplier of the corresponding
periodic orbit are provided. Thus, the studied oscillator deserves to be considered an excellent benchmark for testing approximate methods of analysis in
nonlinear oscillation theory.
The analytical results obtained follow the point transformation method initiated
in [1], see also [6]. We use a canonical form proposed in [2] which corresponds
with a piecewise linear Liénard differential system. The basic idea facilitating
the algebraic computations lies in the consideration of proportional spectra for
the involved matrices and can be extended to higher dimension, see [7] and [8].
The oscillator studied has practical interest, as shown for an electronic circuit
modeling a Van der Pol oscillator, see [3], which is a simplification of another
circuit proposed by [5] modeling the conduction and nerve excitation [4].
Bibliografı́a
[1] Andronov, A.A., Vitt, A.A. and Khaikin, S.E., Theory of oscillators, Pergamon, 1966.
[2] Carmona, V., Freire, E., Ponce, E. and Torres, F., On Simplifying and Classifying
Piecewise-Linear Systems, IEEE Transactions on Circuits and Systems, Vol. 49, No. 5
(2002) 609–620.
[3] Freire, E., Ponce, E., Rodrigo, F. and Torres, F., A piecewise linear electronic circuit
with a multiplicity of bifurcations, International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol.
14, No. 11 (2004) 3871–3881.
[4] Hodgkin, A.L. and Huxley, A.F., A qualitative description of membrane current and
its application to conduction and excitation in nerve, J.Phys. 177, (1952) 500-544.
[5] Keener, J.P., Analog circuitry for the Van der Pol and Fitzhugh-Nagumo equations,
IEEE Trans. Syst. Man Cybern. 13, (1983) 1010–1014.
[6] Kovatch, G., A Method for the Computation of Self-Sustained Oscillations in Systems
with Piecewise Linear Elements, IEEE Transactions on Automatics Control 8 (1963)
358–365.
[7] Llibre, J., Ponce, E. and Ros, J., Algebraic determination of limit cycles in a family of
3-dimensional piecewise linear differential systems (Preprint submitted for publication,
2010).
[8] Ros, J., Estudio del comportamiento dinámico de sistemas autónomos tridimensionales
lineales a trozos. (Ph. D. dissertation, Universidad de Sevilla, 2003).
96
Comunicaciones
Dinámica de cargas en campos magnéticos
creados por espiras de corriente con simetrı́a
Alejandro Luque
Dpt. de Matemàtica Aplicada I, Universitat Politècnica de Catalunya
[email protected]
Jacobo Aguirre
Centro de Astrobiologı́a, CSIC-INTA
[email protected]
Daniel Peralta-Salas
Instituto de Ciencias Matemáticas, CSIC-UAM-UC3M-UCM
[email protected]
Resumen
El estudio del movimiento de partı́culas cargadas en campos magnéticos
es un problema de gran interés en diversas áreas de fı́sica. Para obtener resultados analı́ticos sobre tales sistemas, en gran parte de la literatura se hace
uso de aproximaciones adiabáticas tales como la aproximación “guiding center”
(véase [2]). Sin embargo, en muchos casos tales aproximaciones no son útiles,
como se muestra por ejemplo en [3].
El objetivo de esta charla es presentar algunos resultados, desde el punto de
vista de los Sistemas Dinámicos, sobre la dinámica de cargas en presencia de
campos magnéticos creados por espiras de corriente con simetrı́a (véase [1]). En
concreto discutiremos tres ejemplos: un filamento rectilı́neo infinito, una espira
circular y la unión de ambos.
En el primer caso resulta que las ecuaciones del movimiento son integrables
en el sentido de Liouville y podemos caracterizar completamente las trayectorias.
En presencia de la espira circular, podemos obtener algunas soluciones particulares e identificar una región de confinamiento similar a los cinturones de
van Allen de la atmósfera terrestre. Demostraremos la existencia de soluciones
casi-periódicas (toros KAM) en el interior de la región, como también de trayectorias de dispersión (scattering) fuera de la misma. Mostraremos también
algunos cálculos numéricos: secciones de Poincaré, exponentes de Lyapunov,
fracciones de estabilidad y cuencas fractales.
Si el tiempo lo permite, presentaremos una aplicación de “trampa magnética” basada en las configuraciones estudiadas.
Bibliografı́a
[1] J. Aguirre, A. Luque, D. Peralta-Salas, Motion of charged particles in magnetic fields
created by symmetric configurations of wires. Physica D, 239, 654–674, 2010.
[2] R.K. Varma, Classical and macroquantum dynamics of charged particles in a magnetic
field. Phys. Rep. 378 (2003) 301–434.
[3] G.E. Vekstein, N.A. Bobrova and S.V. Bulanov, On the motion of charged particles in
a sheared force-free magnetic field. J. Plasma Phys. 67 (2002) 215–221.
97
The perturbed symmetric Euler top and its
periodic solutions
Adriana Buică
Department of Applied Mathematics, Babeş-Bolyai University
[email protected]
Isaac A. Garcı́a
Departament de Matemàtica, Universitat de Lleida
http://www.ssd.udl.cat
Summary
Following [1], we study the problem of persistence of T –periodic solutions
of the celebrated symmetric Euler top when subjected to a small T –periodic
stimulus, that is,
ẋ = −yz + εp(t, x, y, z), ẏ = xz + εq(t, x, y, z), ż = εs(t, x, y, z),
(13)
where ε > 0 is small and the functions p, q, s : R × R3 → R are continuous
and T –periodic in their first variable, and sufficiently smooth in the last three
variables.
All solutions of the unperturbed system are periodic (of different periods,
including continua of equilibria). In the case that the perturbation depends also
on the three components of the angular momentum (the unknowns of the system) we provide bifurcation functions, see [4, 2], whose simple zeros correspond
to T –periodic solutions of the perturbed system.
Bibliografı́a
[1] A. Buică and I.A. Garcı́a, Periodic solutions of the perturbed symmetric Euler top.
Topol. Methods Nonlinear Anal. 36 (2010), 91-100.
[2] M.B.H. Rhouma and C. Chicone, On the continuation of periodic orbits, Methods Appl.
Anal. 7 (2000), 85-104.
[3] I.A. Garcı́a and B. Hernández–Bermejo, Perturbed Euler top and bifurcation of limit
cycles on invariant Casimir surfaces. Physica D 239 (2010), 1665–1669.
[4] I.G. Malkin, On Poincaré’s theory of periodic solutions. Akad. Nauk SSSR. Prikl. Mat.
Meh. 13 (1949), 633–646 (in Russian).
98
Comunicaciones
Centers on a center manifold in R3 and inverse
Jacobi last multipliers
Adriana Buică
Department of Applied Mathematics, Babeş-Bolyai University
[email protected]
Isaac A. Garcı́a
[email protected]
Susanna Maza
http://www.ssd.udl.cat
Summary
In this paper we study the nondegenerate center problem on a center manifold of an analytic, autonomous differential system in R3 . Thus, in some linear
coordinates and reescaling the time if necessary, we consider systems in the form
ẋ = −y + F1 (x, y, z) , ẏ = x + F2 (x, y, z) , ż = λz + F3 (x, y, z),
where the eigenvalue λ ∈ R\{0} and the functions Fi are analytic near the
origin with order at least two.
Our approach is different from the classical one in the sense that we do
not compute the Poincaré–Liapunov constants of the reduced system to the 2–
dimensional center manifold W c (0) at the origin. Instead, we study the center
problem (to decide if all the orbits on W c (0) near the origin are periodic or if
they spiral around it) with the help of the called inverse Jacobi last multiplier
V (x, y, z), see [1]. More precisely, first we study the relationship between W c (0)
and the zero set V −1 (0) of an inverse Jacobi last multiplier defined near the
origin. Finally, we associate to this inverse Jacobi last multiplier an inverse
integrating factor (see [2] and [3] for details) of the planar reduced vector field
on W c (0). This approach is used to give a positive answer to a conjecture
formulated in the paper [4] about the classification of centers in the Lü system.
Bibliografı́a
[1] L.R. Berrone and H. Giacomini, Inverse Jacobi multipliers, Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 52 (2003), 77–130.
[2] I.A. Garcı́a and M. Grau, A survey on the inverse integrating factor, Qual. Theory
Dyn. Syst. 9 (2010), 115-166.
[3] I.A. Garcı́a and S. Maza, A new approach to center conditions for simple analytic
monodromic singularities, J. Differential Equations 248 (2010) 363-380.
[4] L. F. Mello and S. F. Coelho, Degenerate Hopf bifurcations in the Lü system, Phys.
Lett. A 373 (2009), 1116–1120.
99
Patterns of periodic solutions in discrete tori of
FHN systems
Adrian C. Murza, Isabel Salgado Labouriau
Centro de Matemática da Universidade do Porto.
Rua do Campo Alegre 687, 4169-007 Porto, Portugal
Resumen
We analyze the dynamics of a network of modified FitzHugh-Nagumo oscillators. The network building-block architecture is a bidimensional squared
array shaped as a discrete torus, with linear and unidirectional nearest neighbor couplings. Isotypic decomposition is performed and the dynamics of the
whole network is reduced and analyzed at the isotypic components. Linear approximation about the origin of a torus, reveals that the array is able to oscillate
via a Hopf bifurcation, controlled by the coupling constants. Group theoretic
analysis of the dynamics of one torus leads to discrete rotating waves moving
diagonally in the squared array under the influence of the direct product group
ZN × ZN × S1 .
Bibliografı́a
[1] M. Golubitsky, J. Stewart, Singularities and groups in bifurcation theory II, M. Golubitsky, I. Stewart, D. G. Schaeffer, eds., Applied mathematical sciences 69, SpringerVerlag, (1988), 388–399.
[2] D. Gillis and M. Golubitsky, Patterns in square arrays of coupled cells, J. Math. An.
Appl. 208, (1997), 487–509.
[3] N. Filipsky, M. Golubitsky, The Abelian Hopf H mod K Theorem, SIAM J. Appl.
Dynam. Sys. 9, (2010), 283–291.
100
Comunicaciones
Ionization dynamics of the hydrogen atom in a
circularly polarized microwave field
M. Olle
Dept. de Matemàtica Aplicada I. Universitat Politècnica de Catalunya,
Diagonal 647, 08028 Barcelona, Spain
[email protected]
E. Barrabés
Dept. Informàtica i Matemàtica Aplicada, Universitat de Girona, Avda. Lluı́s
Santaló s/n, 17071 Girona, Spain
[email protected]
F. Borondo
Departamento de Quı́mica, and Instituto Mixto de Ciencias Matemáticas
CSIC–UAM–UC3M-UCM, Universidad Autónoma de Madrid, Cantoblanco,
28049 Madrid, Spain
[email protected]
D. Farrelly
Dept. of Chemistry and Biochemistry, Utah State University, Logan, UT
84322-0300
[email protected]
J. M. Mondelo
IEEC & Dept. Matemàtiques. Universitat Autònoma de Barcelona, Edifici C,
08193 Bellaterra, Spain
[email protected]
Resumen
We consider the problem of the hydrogen atom interacting with a circularly
polarized microwave field, considered as a perturbed Kepler problem. A remarkable feature of this system is that the electron can follow what we term erratic
orbits before ionizing. In an erratic orbit the electron makes multiple large distance excursions from the nucleus with each excursion being followed by a close
approach to the nucleus, where the interaction is large. Here we are interested
in the mechanisms that explain this observation. We apply tools of dynamical
systems theory to this problem (tools also typically used in celestila mechanics
problems). We find that the manifolds associated with certain hyperbolic periodic orbits play an important role; however, in some respects, the dynamics
is almost Keplerian except during the close encounters with the nucleus. A systematic study of these objects is carried out as a function of varying system
parameters.
101
Comportamiento de las soluciones del problema
de Neumann para el p–laplaciano cuando p
tiende a 1
S. Segura de León
Dpto. d’Anàlisi Matemàtica, Universitat de València
[email protected]
A. Mercaldo, C. Trombetti
Dpto. di Matematica e Applicazioni “R. Caccioppoli”, Università di Napoli
“Federico II
J. D. Rossi
Dpto. de Análisis Matemático, Universidad de Alicante
[email protected]
Resumen
Consideramos, en un abierto acotado
Ω ⊂ RN , el problema de Neumann
p−2
para la ecuación −div |∇up | ∇up = 0, con 1 < p < ∞; donde la componente
normal del flujo a través de la frontera
viene dada por g ∈ L∞ (∂Ω), que verifica
R
N −1
= 0. Para obtener solución única
la condición de compatibilidad
R ∂Ω g dH
N −1
= 0.
imponemos la normalización ∂Ω up dH
Estudiamos el comportamiento de las soluciones up cuando p tiende a 1
mostrando que convergen a una función u y que los gradientes |∇up |p−2 ∇up
convergen a un campo vectorial z ∈ L∞ (Ω; RN ). Las propiedades de u dependen del tamaño de g en una norma determinada (que denotamos k . k∗ y es
equivalente a la norma k . k∞ ). Si kgk∗ ≤ 1, entonces u es una función de variación acotada (cuando kgk∗ < 1, vemos que u se anula idénticamente en Ω).
Si la norma de kgk∗ > 1, entonces u toma valores infinitos en un conjunto de
medida positiva.
En el primer caso, demostramos que u es una solución del problema lı́mite:

Du 

en Ω ,
 −div |Du| = 0,
Du



, ν = g,
sobre ∂Ω.
|Du|
El problema de Neumann homogéneo para este tipo de ecuaciones ha sido estudiado en [1], y extendido en [2] a una condición de frontera no lineal. Por lo
que sabemos, ésta es la primera vez que se considera el problema de Neumann
no homogéneo para el 1–laplaciano.
Sección en el CEDYA 2011: EDP
Bibliografı́a
[1] F. Andreu, C. Ballester, V, Caselles y J.M. Mazon. Minimizing Total Variation Flow.
Diff. Int. Eq., XIV (2001), 321–360.
[2] F. Andreu, J.M. Mazón y J.S. Moll. The total variation flow with nonlinear boundary
conditions. Asymptot. Anal., XLIII (2005), no. 1-2, 9–46.
102
Comunicaciones
Juan A. Aledo
Dpto. de Matemáticas, Universidad de Castilla-La Mancha
[email protected]
Antonio Martı́nez, francisco Milán
Departamento de Geometrı́a y Topologı́a, Universidad de Granada
Resumen
As Blaschke showed in 1923, the Euler-Lagrange equation of the equiaffine
area functional is the following fourth-order and nonlinear equation
−3/4
,
(14)
L[φ] := φyy ρxx − 2φxy ρxy + φxx ρyy = 0,
ρ = det ∇2 φ
∇2 φ > 0 being the positive definite Hessian matrix of φ. This equation is equivalent to the vanishing of the affine mean curvature, which along with the fact
that, for locally strongly convex surfaces, the second variation formula is always
negative led to the notion of affine maximal surfaces. Equation (14) has been
widely studied from a global point of view. For instance, Trudinger and Wang
proved that the entire convex solution of (14) are quadratic polynomials, answering in this way the so called Affine Bernstein Problem conjectured by Chern
in 1978. Another celebrated global result is the one characterizing the elliptic
paraboloid as the only affine complete affine maximal surface. Motivated by the
lack of global examples, as becomes clear in view of the results above, the study
of singularities of Equation (14) has lately received many contributions which
has revealed an interesting global theory for this class of surfaces.
The aim of this paper is to investigate the behavior of solutions of (14)
around isolated singularities. To be more precise, we shall consider the following
problem:
L[φ] = 0,
in a punctured domain U ⋆ = U \ {(0, 0)},
(15)
where U ⊆ R2 ia a planar domain containing the origin. We will also study global
solutions of (14) with some admissible singularities. We call such solutions affine
maximal maps.
Bibliografı́a
[1] J.A. Aledo, R. M.B. Chaves and J.A. Gálvez, The Cauchy problem for improper affine
spheres and the hessian one equation. Trans. Amer. Math. Soc. 359 (2007), 4183-4208.
[2] J.A. Aledo, A. Martı́nez and F. Milán, Non-removable singularities of a fourth order
nonlinear partial differential equation. J. Differential Equations 247 (2009), 331-343.
[3] J.A. Aledo, A. Martı́nez and F. Milán, The affine Cauchy problem. J. Math. Anal. Appl.
351 (2009), 70-83.
[4] J.A. Aledo, A. Martı́nez and F. Milán, Affine maximal surfaces with singularities. Results in Math. 56 (2009), 91-107.
[5] J.A. Aledo, A. Martı́nez and F. Milán, An Extension of the Affine Bernstein Problem.
Preprint
103
Convergencia de las ecuaciones de Navier-Stokes
Globalmente Modificadas con retardos a las
ecuaciones de Navier-Stokes
Antonio Miguel Márquez-Durán
Dpto. de Economı́a, Métodos Cuantitativos e Historia Económica, Universidad
Pablo de Olavide
[email protected]
Pedro Marı́n-Rubio & José Real
Dpto. de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico,
Universidad de Sevilla
La unicidad de solución para las ecuaciones de Navier-Stokes en dimensión tres es un conocido problema abierto. Para debilitar los efectos de la
no-linealidad, se han considerado distintas modificaciones apropiadas de estas
ecuaciones. Una de estas versiones, en el caso sin retardos, ha sido propuesta y
estudiada recientemente en Caraballo, Kloeden y Real [1] (ver también [2, 3]).
Sin embargo, existen situaciones en las que el modelo está mejor descrito si aparecen en las ecuaciones algunos términos conteniendo retardos. En este sentido,
la existencia, unicidad y el comportamiento asintótico de un modelo de este
último tipo han sido analizados en [4] y [5].
En esta comunicación demostramos que, bajo ciertas hipótesis, de una sucesión de soluciones del modelo Navier-Stokes Globalmente Modificado con retardos podemos extraer una subsucesión que converge en un sentido adecuado
a una solución débil del correspondiente modelo de Navier-Stokes en dimensión
tres (ver [6]).
Bibliografı́a
[1] T. Caraballo, P.E. Kloeden and J. Real, Unique strong solutions and V-attractors of a
three dimensional system of Globally Modified Navier-Stokes equations, Adv. Nonlinear
Stud. 6 (2006), 411-436.
[2] P.E. Kloeden, J.A. Langa and J. Real, Pullback V-attractors of the 3-dimensional globally modified Navier-Stokes equations, Commun. Pure Appl. Anal. 6 (2007), no. 4,
937-955.
[3] P. E. Kloeden, P. Marı́n-Rubio, and J. Real, Equivalence of Invariant measures and Stationary Statistical solutions for the autonomous globally modified Navier-Stokes equations, Commun. Pure Appl. Anal. 8 (2009), 785-802.
[4] T. Caraballo, A. M. Márquez-Durán, and J. Real, Three dimensional system of globally
modified Navier-Stokes equations with delay, Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg.
20 (2010), no. 9, 2869-2883.
[5] P. Marı́n-Rubio, A. M. Márquez-Durán, and J. Real, Three dimensional system of globally modified Navier-Stokes equations with infinite delays, Discrete and Continuous
Dynamical Systems. Series B 14 (2010), no. 2, 655-673.
[6] P. Marı́n-Rubio, A. M. Márquez-Durán, and J. Real, On the convergence of solutions
of Globally Modified Navier-Stokes equations with delays to solutions of Navier-Stokes
equations with delays, Adv. Nonlinear Stud. Por aparecer.
104
Comunicaciones
Existencia del atractor pullback para la ecuación
de reacción-difusión sin unicidad de solución
Marı́a Anguiano, Tomás Caraballo, José Real
Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, Universidad de Sevilla
José Valero
Dpto. Estadı́stica y Matemática Aplicada, Universidad Miguel Hernández
[email protected]
Resumen
Varios aspectos de la ecuación de reacción-difusión han sido analizados en
los últimos años, particularmente, su comportamiento asintótico.
El estudio de la ecuación de reacción-difusión sin unicidad de solución en el caso
autónomo en un dominio acotado o en el caso no autónomo pero con propiedades uniformemente fuertes en el término dependiente del tiempo, pueden ser
encontrados, por ejemplo, en [2], [3], [4], [5].
Nuestro objetivo es considerar un problema más general. Consideramos el
siguiente problema para una ecuación de reacción-difusión no autónoma con
condición Dirichlet en la frontera,

∂u


− △u = f (x, u) + h(t) in Ω × (τ, +∞),

∂t
(16)
u = 0 on ∂Ω × (τ, +∞),



u(x, τ ) = uτ (x), x ∈ Ω,
donde Ω ⊂ RN es un conjunto abierto no vacı́o, no necesariamente acotado, y
suponemos que Ω satisface la desigualdad de Poincaré. El término no autónomo
h toma valores en H −1 , y las hipótesis del término no lineal f no aseguran
unicidad de solución del problema.
Usando la teorı́a pullback para sistemas dinámicos no autónomos multivaluados,
se probará la existencia del atractor pullback para dicho problema.
Bibliografı́a
[1] T. Caraballo, G. Lukaszewicz & J. Real, Pullback attractors for asymptotically compact
non-autonomous dynamical systems. Nonlinear Anal., LXIV (2006), 484-498.
[2] G. Iovane and A.V. Kapustyan, Global attractor for impulsive reaction-diffusion equation. Nonlinear Oscillations, VIII (2005), 318-328.
[3] A.V. Kapustyan, Global attractors of a nonautonomous reaction-diffusion equation.
Diff. Uravnenya, XXXVIII (2002), 1378-1381 (English translation in Differential Equations, XXXVIII (2002), 1467-1471).
[4] R. Rossi, A. Segatti and U. Stefanelli, Attractors for gradient flows of non convex
functionals and appplications. Arch. Rational Mech. Anal., CLXXXVII (2008), 91-135.
[5] J. Valero, Attractors of parabolic equations without uniqueness. J. Dynamics Differential
Equations, XIII (2001), 711-744.
105
Acotación en H 2 de los atractores pullback para
las ecuaciones de Navier-Stokes 2D
no-autónomas
Julia Garcı́a-Luengo, Pedro Marı́n-Rubio, José Real
Dpto. de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico,
Resumen
En esta comunicación presentamos un resultado que garantiza la acotación
en (H 2 (Ω))2 ∩ V de familias de subconjuntos acotados de H invariantes con respecto al proceso de evolución asociado a las ecuaciones de Navier-Stokes 2D noautónomas en un dominio acotado Ω de R2 . Como una consecuencia inmediata,
obtendremos que, bajo determinadas hipótesis, cualquier atractor pullback para
dichas ecuaciones se encuentra acotado no sólo en V , sino también en (H 2 (Ω))2 .
Bibliografı́a
[1] M. Anguiano, T. Caraballo, and J. Real, H 2 -boundedness of the pullback attractor for
a non-autonomous reaction-diffusion equation, Nonlinear Anal. 72 (2010), 876–880.
[2] J. Garcı́a-Luengo, P. Marı́n-Rubio, and J. Real, H 2 -boundedness of the pullback attractors for non-autonomous 2D-Navier-Stokes equations in bounded domains, sometido a
publicación.
[3] J. Garcı́a-Luengo, P. Marı́n-Rubio, and J. Real, Pullback attractors in V for nonautonomous 2D-Navier-Stokes equations and their tempered behaviour, sometido a publicación.
[4] C. Guillopé, Comportement à l’infini des solutions des équations de Navier-Stokes et
propriété des ensembles fonctionnels invariants (ou attracteurs), Ann. Inst. Fourier
(Grenoble), 32 (1982), 1–37.
[5] P. Marı́n-Rubio and J. Real, On the relation between two different concepts of pullback
attractors for non-autonomous dynamical systems, Nonlinear Anal. 71 (2009), 3956–
3963.
106
Comunicaciones
Homogeneización de un problema
magnetostático con periodicidades a distintas
escalas
Hélia Serrano
Dpto. de Matemáticas, Universidad de Castilla-La Mancha
[email protected]
Resumen
Dada una familia de ecuaciones de Maxwell estacionarias con coeficientes
periódicos a distintas escalas, que describen las propiedades magnéticas de un
material compuesto anisótropo no homogéneo con una microestructura periódica de tamaño relativo ε, estudiamos el comportamiento asintótico, cuando el
parámetro ε tiende a 0, de sus soluciones desde una perspectiva variacional.
En concreto, presentamos una caracterización de los coeficientes efectivos del
problema homogeneizado obtenida a través del estudio de la familia de energı́as
asociadas a este tipo de ecuaciones.
Bibliografı́a
[1] A. Bensoussan, J. L. Lions, G. Papanicolaou, Asymptotic Analysis for Periodic Structures, North-Holland P.C., 1978.
[2] A. Braides, I. Fonseca, G. Leoni. A-quasiconvexity: relaxation and homogenization.
ESAIM Control Optim. Calc. Var. 5 (2000), 539-577.
[3] G. Duvaut, J.-L. Lions, Les Inéquations en Mécanique et en Physique, Dunod, 1972.
[4] J.-F. Gerbeau, C. Le Bris. Comparison between two numerical methods for a magnetostatic problem. Calcolo. 37 (2000), 1-20.
107
Julio D. Rossi
Departamento de Análisis Matemático, Universidad de Alicante, Ap. correos
99, 03080 Alicante, Spain.
[email protected]
Abstract
In this talk we review some recent results concerning Tug-of-War games and
their relation to some well known PDEs, see [1, 2, 4, 3]. In particular, we will
show that solutions to certain PDEs, like the p−Laplacian and the parabolic
p−Laplacian can be obtained as limits of values of Tug-of-War games when
the parameter that controls the length of the possible movements goes to zero.
Since the equations under study are nonlinear and not in divergence form we
will make extensive use of the concept of viscosity solutions.
Seccion en el CEDYA 2011: EDP
Bibliografı́a
[1] J. J. Manfredi, M. Parviainen and J. D. Rossi. An asymptotic mean value characterization for a class of nonlinear parabolic equations related to tug-of-war games. SIAM
Journal of Mathematical Analysis. Vol. 42(5), 2058–2081, (2010).
[2] J. J. Manfredi, M. Parviainen and J. D. Rossi. On the definition and properties of pharmonious functions. To appear in Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa,
Clase di Scienze.
[3] Y. Peres, O. Schramm, S. Sheffield and D. Wilson, Tug-of-war and the infinity Laplacian, J. Amer. Math. Soc. 22 (2009), 167-210.
[4] Y. Peres, S. Sheffield, Tug-of-war with noise: a game theoretic view of the p-Laplacian.
Duke Math. J. 145(1) (2008), 91–120.
108
Comunicaciones
Flujo a través de un medio granular poroso
isotrópico. Existencia de soluciones
reproductivas
L. Friz, M. A. Rojas-Medar
Grupo de Matemática Aplicada, Dpto. de Ciencias Básicas, Facultad de
Ciencias, Universidad del Bı́o-Bı́o, Campus Fernando May, Casilla 447,
Chillán, Chile.
E. J. Villamizar-Roa
Escuela de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellı́n,
A.A. 3840, Medellı́n, Colombia.
[email protected]
Resumen
En este trabajo consideramos un modelo generalizado de Navier-Stokes desarrollado por Prieur Du Plessis and Masliyah [2] para describir el movimiento
de un fluido laminar, viscoso e incompresible a través de un medio granular,
poroso (no consolidado) e isotrópico de permeabilidad espacial variable.

 ρut − µ∆u + ρu · ∇( u ) + η∇p + µF (η)u = ρηg, t ∈ (0, T ), x ∈ Ω,
η
(17)

div u = 0, t ∈ (0, T ), x ∈ Ω.
Aquı́, Ω ⊆ Rn , n = 2 or 3, es un dominio acotado. Las incógnitas u y p denotan
la velocidad y presión del fluido respectivamente. η es la porosidad y F (η) es la
fuerza de porosidad. Finalmente, g representa las fuerzas de cuerpo, las cuales
vamos a suponer que dependen tanto de x ∈ Ω como de t ∈ [0, T ].
En este trabajo se prueba la existencia de solución reproductiva del problema
(17), vale decir, una solución de (17), con las condiciones adicionales:
(
u(x, t) = 0, t ∈ (0, T ), x ∈ ∂Ω,
(18)
u(x, 0) = u(x, T ), x ∈ Ω.
Bibliografı́a
[1] A. Bourchtein, L. Bourchtein, J.P. Lukaszczyk, Numerical simulation of incompressible
flows through granular porous media. Applied Numerical Mathematics, 40 (2002) 291306.
[2] P.J. DuPlessis, J.H. Masliyah, Flow through isotropic granular porous media. Transport
in Porous Media, 6 (1991) 207-221.
[3] S. Kaniel, M. Shinbrot, A reproductive property of Navier-Stokes equations Arch. Rational Mech. Anal. 24 (1967) 362-369.
109
Perturbaciones no autónomas y atractores
pullback
Felipe Rivero
Dpto. de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, Universidad de Sevilla
[email protected]
Resumen
El estudio de los sistemas dinámicos autónomos ha desarrollado una teorı́a,
la cual puede ser considerada ya como una teorı́a clásica (ver [4, 5, 6, 7, 8]),
dentro del marco de los semigrupos, donde el estudio del atractor global tiene
una gran importancia en la dinámica asintótica de estos sistemas. A pesar de
la existencia de una teorı́a de existencia de atractores pullback para problemas
no autónomos y de resultados de continuidad para éstos a través del estudio
de las propiedades de los procesos de evolución asociados, en las aplicaciones
solemos encontrar que la naturaleza no autónoma del problema viene dada por
una pequeña perturbación de un problema autónomo ([2]) o se busca que el
atractor tenga una atracción exponencial uniforme ([3]). En esta presentación
se mostrarán ejemplos para estos casos, concluyendo con ejemplos no triviales
que no necesitan estar cerca de ningún problema autónomo ([1]).
Bibliografı́a
[1] T. Caraballo, A.N. Carvalho, J.A. Langa, F. Rivero, A non-autonomous strongly damped wave equation: Existence and continuity of the pullback attractor, Nonlinear Analysis, 74, (2011) 2272–2283.
[2] A.N. Carvalho, J.A. Langa, Non-autonomous perturbation of autonomous semilinear
differential equations: Continuity of local stable and unstable manifolds, J. Differential
Equations, 233, (2007) 622–653.
[3] M. Efendiev, A. Miranville, S. Zelik, Infinite dimensional exponential attractors for a
nonautonomous reaction-diffusion system, Math. Nachr., 248/249, (2003) 72–96.
[4] J.K. Hale. Asymptotic Behavior of Dissipative System, American Mathematical Society
(1989).
[5] O. Ladyzhenskaya, Attractors for semigroups and evolution equations. Lezioni Lincee.
[Lincei Lectures] Cambridge University Press, Cambridge, (1991).
[6] G. Raugel, Global Attractor in Partial Differential Equations, Handbook of dynamical
systems, 2, (2002) 885–982, North-Holland, Amsterdam.
[7] J.C. Robinson, Infinite-Dimensional Dynamical System. An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors. Cambridge Text in Applied
Mathematics (2001).
[8] R. Temam, Infinite-Dimensional Dynamical System in Mechanics and Physics. SpringerVerlag (1988).
110
Comunicaciones
Selfsimilar solution of the second kind
representing gelation in finite time for the
Smoluchowski equation.
Giancarlo Breschi, Marco Antonio Fontelos
Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT, CSIC-UAM-UC3M-UCM),
C/ Nicolás Cabrera 15, 28049 Madrid, Spain.
Resumen
Smoluchowski’s equation (19) has its origin in physical chemistry and represents a fundamental mean-field model describing the formation of clusters by
aggregation of particles. Let c (x, t) denote the density of particles with mass
number x ∈ R+ at time t ≥ 0; then the evolution of c (x, t) satisfies
Z
Z
1
∂
K (x − y, y) c (x − y, t) c (y, t) dy − c (x, t) K (x, y) c (y, t) dy
c (x, t) =
∂t
2
R+
[0,x]
(19)
In this talk, I will present the result we obtained studing the selfsimilar solution
for the Smoluchowski’s equation with kernel K (x, y) = x1+ε y 1+ε for ε < 0
and |ε| ≪ 1. We proved that by choosing the similarity exponents as suitable
functions of ε, the selfsimilar solutions present correct behaviors at the origin
and at infinity, maintaining their 72 -th moment bounded. This characterizes the
selfsimilar solution found as being of the second kind in the notation introduced
by Barenblatt.
111
Un sistema elı́ptico–parabólico para la
descripción del proceso industrial del
calentamiento de una barra de acero
Marı́a Teresa González Montesinos
Departamento de Matemática Aplicada I, Universidad de Sevilla
[email protected]
Francisco Ortegón Gallego
Departamento de Matemáticas, Universidad de Cádiz
[email protected]
Resumen
En este trabajo se analiza la existencia de solución de un sistema parabólico–
elı́ptico, acoplado y no lineal, que modela el proceso industrial de calentamiento
de una barra de acero mediante conducción e inducción electromagnética de
alta frecuencia. Las incógnitas son el vector potencial magnético, A, el potencial
eléctrico, ϕ, y la temperatura, θ. Como las corrientes alternas generan campos
electromagnéticos que varı́an de forma sinusoidal con el tiempo, se introduce el
régimen armónico. En tal situación, el sistema se escribe como sigue ([1, 2]).
∇ · (σ(θ)∇ϕ) = 0 en Ω × (0, T ),
(20)
∂ϕ
∂ϕ
σ(θ)
= j sobre Γ × (0, T ),
(21)
= 0 sobre ∂Ω × (0, T ),
σ(θ)
∂n
∂ν Γ
1
∇ × A − δ∇(∇ · A) + σ0 (θ)∇ϕ = 0 en D × (0, T ),
iωσ0 (θ)A + ∇ ×
µ
(22)
A = 0 on ∂D × (0, T ),
θ,t − ∇ · (κ(θ)∇θ) =
κ(θ)
σ(θ)
|iωA + ∇ϕ|2 + G en Ω × (0, T ),
2
∂θ
= 0 sobre ∂Ω × (0, T ),
∂n
θ(·, 0) = θ0 en Ω,
(23)
(24)
(25)
donde Ω, D ⊂ RN , N = 2 o 3, son dominios acotados y conexos, suficientemente
regulares, tales que Ω̄ ⊂ D, σ y κ son las conductividades eléctrica y térmica,
respectivamente, µ la permeabilidad magnética, jS la fuente externa de densidad
de corriente y G es un término que modela el aporte de calor debido a las
transiciones de fase del acero y las deformaciones.
Bibliografı́a
[1] D. Hömberg, A mathematical model for induction hardening including mechanical effects. Nonlinear Anal., 5 (2004), 55–90.
[2] J. M. Dı́az Moreno, C. Garcı́a Vázquez, M. T. González Montesinos, F. Ortegón Gallego,
On an electrothermomechanical model arising in steel heat treating. Numerical Simulation in Physics and Engineering. Proceedings of the XIV Spanish-French Jacques-Louis
Lions School, A Coruña 2010, 265-281.
112
Comunicaciones
Models for growth of heterogeneous sandpiles
via Mosco convergence
M. Bocea,
Department of Mathematics, North Dakota State University
[email protected]
M. Mihăilescu
Department of Mathematics, University of Craiova, Romania
[email protected]
Mayte Pérez-Llanos
Dpto. de Matemáticas, Universidad Autónoma de Madrid
[email protected]
J. D. Rossi
Dpto.de Análisis Matemático, Universidad de Alicante
[email protected]
Resumen
In this paper we study the asymptotic behavior of several classes of power-law
functionals involving variable exponents pn (·) → ∞, via Mosco convergence. In
the particular case pn (·) = np(·), we show that the sequence {Hn } of
functionals Hn : L2 (RN ) → [0, +∞] given by
 Z
λ(x)n

|∇u(x)|np(x) dx if u ∈ L2 (RN ) ∩ W 1,np(·) (RN )
Hn (u) =
RN np(x)

+∞
otherwise,
converges in the sense of Mosco to a functional which vanishes on the set
o
n
u ∈ L2 (RN ) : λ(x)|∇u|p(x) ≤ 1 a.e. x ∈ RN
and is infinite in its complement. We also provide an example of a sequence of
functionals whose Mosco limit cannot be described in terms of the
characteristic function of a subset of L2 (RN ).
As an application of our results we obtain a model for the growth of a sandpile
in which the allowed slope of the sand depends explicitly on the position in
the sample.
EDP:
Bibliografı́a
[1] H. I. Ekeland and R. Temam, Convex Analysis and Variational Problems, NorthHolland, 1972.
[2] L. C. Evans, M. Feldman and R. F. Gariepy, Fast/slow diffusion and collapsing sandpiles, J. Differential Equations 137 (1997), 166–209.
[3] U. Mosco, Approximation of the solutions of some variational inequalities, Ann. Sc.
Norm. Super. Pisa Cl. Sci. 21 (1967), 373–394.
[4] U. Mosco, Convergence of convex sets and solutions of variational inequalities, Adv.
Math 3 (1969), 510–585.
113
Un principio débil de comparación para sistemas
de reacción-difusión
José Valero
Centro de Investigación Operativa, Universidad Miguel Hernández
[email protected]
Resumen
En este trabajo probamos un principio de comparación débil para un sistema de reacción-difusión sin unicidad de solución del problema de Cauchy. Más
concretamente, consideramos el sistema

 ∂u
− a∆u + f (t, u) = h(t, x), (t, x) ∈ (τ, T ) × Ω,
(26)
∂t
 u|
= 0, u|
= u (x),
x∈∂Ω
t=τ
τ
donde τ, T ∈ R, T > τ , x ∈ Ω ⊂ RN (un subconjunto
abierto y acotado
de frontera suave ∂Ω), u = u1 (t, x) , ..., ud (t, x) , f = f 1 , ..., f d , a es una
a + at
matriz real de orden d × d con parte simétrica positiva
≥ βI, β > 0, y
2
d
h ∈ L2 (τ, T ; L2 (Ω) ). Además, f = f 1 (t, u), ..., f d (t, u) es continua y
d
X
i=1
pi
|f i (t, u)| pi −1 ≤ C1 (1 +
(f (t, u), u) ≥ α
d
X
i=1
d
X
i=1
|ui |pi ),
|ui |pi − C2 ,
donde pi ≥ 2, α, C1 , C2 > 0.
El principio de comparación débil dice básicamente que si u1τ ≤ u2τ , entonces
existen dos soluciones u1 , u2 del problema (26) tales que u1 (τ ) = u1τ , u2 (τ ) =
u2τ , y
u1 (t) ≤ u2 (t) , ∀t ∈ [τ, T ].
Este resultado se aplica a varios modelos: al sistema de Lotka-Volterra con
difusión, a una ecuación logı́stica generalizada y a un modelo de autocatálisis.
Además, en el caso de la ecuación de Lotka-Volterra se establece un principio
débil del máximo, ası́ como una cota en el espacio de las funciones esencialmente
acotadas L∞ para al menos una solución del problema.
114
Comunicaciones
Anı́bal Rodrı́guez-Bernal, Silvia Sastre Gómez
El objetivo principal de este trabajo será estudiar la existencia,
unicidad y comportamiento asintótico de las soluciones de los problemas lineales no locales con núcleos lo más generales posible.
Para ello, introduciremos el tipo de problemas no locales que estamos
considerando. Sea Ω un abierto de RN , y J una función definida en
Ω × Ω, y consideramos el problema
ut (x, t) = K(u)(x, t) − h(x)u(x, t),
(27)
Z
J(x, y)u(y, t)dy, y h(x) una función acotada.
siendo K(u)(x, t) =
Ω
Esta formulación incluye problemas con condiciones de contorno de
tipo Dirichlet y Neumann no locales, conocidas en la literatura, ver
[1, 4, 3].
Analizaremos en términos de propiedades de J, la solubilidad de los
problemas de valor inicial para datos iniciales en espacios de Lebesgue Lp (Ω), estudiaremos el decaimiento exponencial de las soluciones,
y su regularización asintótica.
Sección en el CEDYA 2011: Ecuaciones en Derivadas Parciales.
Bibliografı́a
[1] ANDREU F., MAZON J.M., ROSSI J. D., TOLEDO J., The Neumann problem for
nonlocal nonlinear diffusion equations, Journal of Evolution Equations. Vol. 8(1), 189215, (2008).
[2] BREZIS, H., Análisis Funcional. Teorı́a y Aplicaciones, Alianza Editorial, (1984).
[3] CHASSEIGNE, E., CHAVES, M., ROSSI, J.D., Asymptotic behavior for nonlocal diffusion equations, J. Math. Pures Appl., 86, 271-291, (2006).
[4] CORTAZAR C., ELGUETA M., ROSSI J.D., WOLANSKI N., How to approximate
the heat equation with Neumann boundary conditions by nonlocal diffusion problems.
Archive for Rational Mechanics and Analysis. Vol. 187(1), 137-156, (2008).
[5] DUNFORD, N., SCHWARTZ, J.T., Linear Operators Part I: General Theory, Interscience publishers, Inc., New York.
[6] HALE J. K., Asymptotic behavior of dissipative systems, AMS, (1989).
[7] HENRY, D., Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Springer-Verlag,
(1981).
[8] TAKÁC̆ P., A short elementary proof of the Kreı̆n-Rutman Theorem, Houston Journal
of Mathematics, vol. 20, No. 1, (1994).
115
Perturbación y regularización para algunas
ecuaciones parabólicas lineales de cuarto orden
Carlos Quesada, Anı́bal Rodrı́guez Bernal
Departamento de Matemática Aplicada
Universidad Complutense de Madrid,
Madrid 28040
Instituto de Ciencias Matemáticas
CSIC-UAM-UC3M-UCM
Resumen
Introducimos una aproximación para problemas de cuarto orden, con clases
muy generales de perturbaciones. En primer lugar, utilizando una construcción
general de escalas de espacios para operadores sectoriales descrita por Amann
en [1], obtendremos soluciones para el problema:
(
ut + ∆2 u = 0
x ∈ RN , t > 0
u(0) = u0 ∈ X,
donde X puede ser un espacio de Bessel o Lebesgue. Las soluciones generan un
semigrupo analı́tico.
En segundo lugar, usamos unos resultados de [2] con los cuales obtenemos
las soluciones para el problema perturbado
(
PJ
ut + ∆2 u + j=0 Pj u = 0
x ∈ RN , t > 0, j = 1, ..., J
u(0) = u0 ∈ X,
donde Pj son familias muy amplias de perturbaciones, por ejemplo, Pj u =
Da (d(x)Db u), con a + b = 3 y un d(x) en el espacio uniforme LpU (RN ) formado
por las funciones d(x) ∈ Lploc (RN ) tales que
Z
|d(x)|p ≤ C.
∀x ∈ RN ,
B(x0 ,1)
Las soluciones vienen dadas por un semigrupo analı́tico que es fuertemente
continuo y con buenas propiedades regularizantes.
Bibliografı́a
[1] H. Amann, Linear and Quasilinear Parabolic Problems, Birhäuser, 1995.
[2] A. Rodrı́guez Bernal. Perturbation of analytic semigroups in scales of banach spaces
and applications to parabolic equations with low regularity data. Prepublicaciones del
Departamento de matemática aplicada de la UCM, 2010.
116
Comunicaciones
Lipschitz solutions of elliptic problems with
singularity at the boundary and applications
Tommaso Leonori
Departamento de Análisis Matemático, Facultad de Ciencias, Campus
Fuentenueva S/N Universidad de Granada, 18071 Granada, España
[email protected]
Alessio Porretta
Dipartimento di Matematica, Università di Roma “Tor Vergata”, Via della
Ricerca Scientifica 1, 00133 Roma, Italia
[email protected]
Resumen
Let Ω be a bounded smooth domain in RN , N ≥ 2, and let us denote by
d(x) = dist(x, ∂Ω). We study a class of singular Hamilton-Jacobi equations,
arising from stochastic control problems with state constraint (see [1] and [2]),
whose simplest model is
−α∆u + u +
∇u · B(x)
+ c(x)|∇u|2 = f (x)
d(x)
in Ω,
1,∞
where f belongs to Wloc
(Ω) and is (possibly) singular at ∂Ω, c ∈ W 1,∞ (Ω)
(with no sign condition) and the field B ∈ W 1,∞ (Ω)N has the outward direction
and satisfies B · ν ≥ α at ∂Ω (ν is the outward normal). Despite the singularity
in the equation, we prove gradient bounds up to the boundary and the existence
of a (globally) Lipschitz solution. In some cases, we show that this is the unique
bounded solution. We also study the stability of such estimates with respect
to α, as α vanishes, obtaining Lipschitz solutions for first order problems with
similar features. Moreover we discuss, both in the first order and the second
order equations, the boundary behavior of the solutions. The main tool is a
refined weighted version of the classical Bernstein’s method (see [5], [4] and
[3] for instance) to get gradient bounds; the key role is played here by the
orthogonal transport component of the Hamiltonian.
Bibliografı́a
[1] J.-M. Lasry, P.-L. Lions, Nonlinear elliptic equations with singular boundary conditions
and stochastic control with state constraints. I. The model problem, Math. Ann., 283
(1989), 583–630.
[2] T. Leonori, A. Porretta, The boundary behaviour of blow–up solutions related to a state
constraint problem, SIAM Math. Anal., 39 (2008), 1295–1327.
[3] P.-L. Lions, Résolution de problèmes elliptiques quasilinéaires, Arch. Rat. Mech. An.,
74 (1980), 234–254.
[4] P.-L. Lions, Quelques remarques sur les problémes elliptiques quasilinèaires du second
ordre, J. Anal. Math., 45 (1985), 335–353.
[5] J. Serrin, The problem of Dirichlet for quasilinear elliptic differential equations with
many independent variables Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A, 264 (1969) 413–
496.
117
Study of existence, uniqueness, regularity and
asymptotic behaviour of solutions for
Poisson-Boltzmann Equation
Lucı́a Belén Gamboa Salazar, Marco Antonio Fontelos López
CSIC-UAM-UCM-UC3M
Resumen
We study the solutions of the Poisson-Boltzmann equation:
u
u
e− ε
eε
− N (x) Z
in Ω∗
∆u = M (x) Z
u
u
eε
e− ε
Ω
u = 0 in ∂Ω
Ω
∗
where M (x) and N (x) are nonnegative functions such that M (x) = M in Ω,
M (x) = 0 in Ω∗ \Ω, N (x) = N in Ω, N (x) = 0 in Ω∗ \Ω.
We prove the existence and uniqueness of variational solutions and study the
regularity as well as the asymptotic behavior as x tends to ∂Ω. We prove that the
solution can be described in terms of a boundary layer of O (ε) thickness locally
near the boundary and described analytically. Our results are also validated
with numerical solutions computed by means of an adaptive Finite Element
Method.
Poisson-Boltzmann equation describes the distribution of charges in an electrolyte fluid solution that occupies the domain Ω. Such a distribution modifies
the conductive behavior of the fluid solution in Ω and therefore its evolution
when an electric field is applied. We will also discuss this issue based on the
solution for the boundary layer in Poisson-Boltzmann equation coupled with
Stokes system for the fluid by means of a boundary element method.
118
Comunicaciones
On a elliptic system related to desertification
studies
P. Kyriazopoulos , J.I. Diaz
In this communication we consider the nonlinear system

1
−

 −δb ∆b + b = g(x)e 2(1+ηb)2 wb(1 − b)

q

1

 −δw ∆w + g(x)e− 2(1+ηb)2 bw + ν(1 − βb)w = b+ c h
b+q
q
b+ c
2


 −δh ∆h + b+q h = p


 ∂b
∂w
∂h
∂n = ∂n = ∂n = 0
on Ω,
on Ω,
on Ω,
in ∂Ω,
which is a stationary localized simplification of a more general nonlocal transient
model introduced in the context of desertification (Gilad, von Hardenberg, Provenzale, Shachak and Meron (2007); see also Goto, Hilhorst, Meron and Temam
(2011) for the case of Dirichlet boundary conditions). After suitable nondimensional arguments b represents the biomass, w the soil-water content and h the
surface-water height. The key parameter is the (averaged) precipitation p and
among other positive parameters the more relevant ones are the infiltration contrast constant, c > 1, and the root augmentation parameter, η > 1. Function
g(x) is here assumed to be given such that g ≤ g(x) ≤ g a.e. x ∈ Ω for some
0 < g ≤ g.
In a first part of the presentation we shall consider the case in which Ω is
taken in a small scale to study the persistence of a reduced vegetation set of
plants (which justify to assume the precipitation p taken as a constant). We
shall show some rigorous multiplicity results for the spacial case of δw = δh = 0,
leading to S-shaped type bifurcation diagrams in terms of parameter p.
In a second part we shall consider the case of an idealized oasis ω ⊂⊂ Ω
and so in a larger spatial scale than in the precedent case. We assume now that
the precipitation is not homogeneous but it takes the form of p(x) = p0 χω ,
i.e. with p(x) = p0 in ω and p(x) = 0 in Ω − ω. We study the transition of the
surface-water height in a neighborhood of the oasis by showing that now h(x)
vanishes far away from ω and estimating such transition zone in terms of the
parameters c and η.
Acknowledgements. The research of both authors has received funding
from the ITN ”FIRST.of the Seventh Framework Programme of the European
Community (grant agreement number 2008-238702).
119
Francisco G. Morillas Jurado, José Valero Cuadra
Dpto. de Economı́a Aplicada, Universitat de València
Resumen
En este trabajo se presentan varios modelos discretos con difusión no local para
los cuales se estudian algunas propiedades de las soluciones. El primer modelo considerado puede interpretarse como la aproximación discreta del modelo
introducido en [2]. La ecuación discreta tiene la forma
d
ui (t) = Jˆ ∗d u − u (t) , i ∈ Z, t > 0,
dt
i
i
h
P
donde Jˆ ∗d u − u (t) = r Jî−r ur (t) − ui (t). El segundo modelo considei
rado es una modificación del estudiado en [1] y [3], el cual modeliza el comportamiento de un fluido no newtoniano en un dominio no acotado. La modificación
consiste de nuevo en considerar difusión no local. De esta manera las ecuaciones
del modelo modificado son las siguientes:
dph
= Fh (ph ) , ph (0) = p0h ∈ l1 .
dt
y dónde
(Fh (ph ))i := −Dh (ph ) (Ah ph )i −
1
Dh (ph ) i
χZ\[−2n1 ,2n1 ] (i) pi +
δc ,
T0
α
con
(Ah ph )i =
P
r∈Z ji−r pr
h2
− pi
, y dónde p se puede interpretar como función de probabilidad.
Bibliografı́a
[1] E. Cancés, I. Catto and Y. Gati, Mathematical Analysis of a nonlinear parabolic equation arising inthe modelling of non-newtonian flows, SIAM J. Math. Anal., 37 (2005),
No. 1, 60-82.
[2] C. Cortazar, M. Elgueta and J.D. Rossi, NonLocal Diffusion problems that approximate
the heat equation with Dirichlet Boundary Conditions, Israel Journal of Mathematics,
170 (2009),53-60.
[3] J. Amigó, A. Giménez, F. MOrillas and J. Valero, Attractors for a lattice dynamical
system generated by non-newtonian fluids modelling ssupensions, I.J. Bifurcations and
Chaos, 20 (2010),1-20.
120
Comunicaciones
Some bifurcation results for delayed complex
Ginzburg-Landau equations
Alfonso C. Casal
Dpto. de Matemática Aplicada, ETSAM, Universidad Politécnica de Madrid
[email protected]
Jesús I. Dı́az
Dpto. de Matemática Aplicada, ETSAM, Universidad Complutense de Madrid
ji [email protected]
Michael Stich
Centro de Astrobiologı́a, CSIC-INTA
[email protected]
José Manuel Vegas
Dpto. de Matemática Aplicada, ETSAM, Universidad Complutense de Madrid
jm [email protected]
We consider the complex Ginzburg-Landau equation with feedback
control given by some delayed linear terms (possibly dependent of
the past spatial average of the solution). We prove several
bifurcation results by using the delay as parameter. We start
proving a Hopf bifurcation result for the equation without diffusion
(the so-called Stuart-Landau equation) when the amplitude of the
delayed term is suitably chosen. The diffusion case is considered first
in the case of the whole space and later on a bounded domain with
periodicity conditions. In the first case a linear stability analysis is
made with the help of computational arguments (showing evidence
of the fulfillment of the delicate transversality condition). In the last
section the bifurcation takes place starting from an uniform
oscillation and originates a path over a torus. This is obtained by
the application of an abstract result over suitable functional spaces.
Bibliografı́a
[1] Casal, A.C., Dı́az, J.I., On the complex Ginzburg-Landau equation with a delayed feedback. Math. Mod. Meth. App. Sci. 16, 1–17 (2006).
[2] Casal, A.C., Dı́az, J.I., Stich, M.: On some delayed nonlinear parabolic equations modeling CO oxidation. Dyn. Contin. Discret. Impuls. Syst. A 13 (Supp S), 413–426
(2006).
121
Existencia y unicidad de soluciones fuertes para
fluidos no homogeneos asimétricos vı́a
operadores de evolución
M. A. Rojas-Medar
GMA, Departamento de Ciencias Básicas, Facultad de Ciencias, Universidad
del Bı́o-Bı́o, Campus Fernando May, Chillán, Chile.
[email protected]
P. Braz e Silva
Dpto. de Matemáticas, Universidade Federal de Pernambuco, Recife,
50740-540, PE, Brasil
[email protected]
E.J. Villamizar-Roa
Dpto. de Matemáticas, Universidad Industrial de Santander, Bucaramangá,
Colombia
[email protected]
Resumen
El objetivo del presente trabajo es estudiar la existencia y unicidad de soluciones fuertes de las ecuaciones de evolución que describen el movimiento de
un fluido incompresible no homogeneo en un dominio Ω ⊂ R3 que posee una
frontera de clase C 1,1 . Para lograr nuestro objetivo usaremos operadores de
evolución.
Agradecimientos: Al proyecto Nro. MTM2009-12927, Ministerio de Ciencia e Innovación, España y al proyecto Nro. 1080628, Fondecyt-Chile.
Bibliografı́a
[1] Boldrini, J.L., Rojas-Medar, M.A., Fernández-Cara, E., Semi-Galerkin approximation
and strong solutions to the equations of the nonhomogeneous asymmetric fluids. J.
Math. Pures Appl. 2003; 82 (11):1499-1525.
[2] Braz e Silva, P., Fernández-Cara, E., Rojas-Medar, M.A., Vanishing viscosity for nonhomogeneous asymmetric fluids in R3 . Journal of Mathematical Analysis and Applications 2007, 332: 833-845.
[3] Conca, C., Gormaz, R., Ortega-Torres, E., Rojas-Medar, M., Existence and uniqueness of a strong solution for nonhomogeneous micropolar fluids. In Nonlinear partial
differential equations and their applications. Collège de France Seminar, VOL. XIV
(Paris, 1997/1998), volume 31 of Stud. Math. Appl., pages 213-241, Amsterdam, 2002.
North-Holland.
[4] Lukaszewicz, G., Micropolar Fluids: Theory and Applications. Birkhäuser, Berlin (1998).
[5] Okamoto, H., On the equation of nonstationary stratified fluid motion: uniqueness and
existence of the solutions, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 1984; 30 (3): 615-643.
[6] Simon, J., Nonhomogeneous viscous incompressible fluids: existence of velocity, density,
and pressure, SIAM J. Math. Anal. 1990, 21: 1073–1117.
122
Comunicaciones
Stationary fluids in Symmetric Bounded
Domains and Hodge Operator
Igor Kondrashuk
[email protected]
Eduardo A. Notte-Cuello
Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad de La
Serena, Benavente 980, La Serena, Chile
[email protected]
Marko A. Rojas-Medar
[email protected]
Abstract
In this work we study a boundary value problem for a system of equations
modeling the stationary flow of a incompressible fluid. Based on methods of
Clifford analysis, we write the system of fluid in the hypercomplex formulation and find out its exact solution in Clifford and Hodge operator terms for
symmetric bounded domains.
Agradecimienots: I. Kondrashuk was supported by Fondecyt (Chile) grants
1040368, 1050512 and by DIUBB grant (UBB, Chile) 102609. E.A. Notte-Cuello
was supported by Dirección de Investigación de la Universidad de La Serena,
DIULS CD091501. M. Rojas-Medar is supported by project Nro. MTM200912927, Ministerio de Ciencia e Innovación, España and by project Nro. 1080628,
Fondecyt-Chile.
Bibliografı́a
[1] Igor Kondrashuk, Eduardo A. Notte-Cuello and Marko A. Rojas-Medar, Magnetohydrodynamics’s type equations over Clifford Algebras, Journal of Nonlinear Mathematical Physics 17 (2010) 337-347
[2] Igor Kondrashuk, Eduardo A. Notte-Cuello and Marko A. Rojas-Medar, Stationary
asymmetric fluids and Hodge operator, Boletı́n de la Sociedad Española de Matemática
Aplicada 47 (2009) 99-106
[3] Igor Kondrashuk, Eduardo A. Notte-Cuello and Marko A. Rojas-Medar, Hodge operator and asymmetric fluid in unbounded domains, Revista Integración, Escuela de
Matemáticas, Universidad Industrial de Santander, Vol. 27, No.1 (2009) 1-13.
123
Dinámica supercrı́tica en la convección térmica
de un fluido en geometrı́a esférica en rotación
F. Garcia, M. Net, J. Sánchez
Departament de Fı́sica Aplicada, Universitat Politècnica de Catalunya
Resumen
El estudio de la convección térmica en geometrı́a esférica en rotación es fundamental para explicar muchos fenómenos geofı́sicos y astrofı́sicos, tales como
la generación de campos magnéticos, o la rotación diferencial observada en la
atmósfera de los planetas mayores. Las dificultades asociadas con los estudios
experimentales hacen que las simulaciones numéricas tridimensionales sean una
herramienta muy importante en este campo.
Para la obtención de las ecuaciones de evolución, se aplica la aproximación
de Boussinesq a las ecuaciones de conservación de la masa, la cantidad de movimiento y la energı́a, y se reescriben en función de los potenciales toroidal y
poloidal. Los potenciales y la temperatura se desarrollan, sobre la esfera, en
armónicos esféricos y en la variable radial se usa colocación. Para la integración
se utilizan esquemas semi-implı́citos, que en nuestro caso, estan basados en las
fórmulas de diferenciación regresiva (IMEX-BDF), que se han implementado
con control de orden y de paso [1].
En este trabajo se explora exhaustivamente la dinámica nolineal, mediante
evoluciones temporales, describiendo el tipo de soluciones obtenidas para un
dominio de razón de radios η = 0,35, número de Prandtl σ = 0,1, Ekman
E = 10−4 y un rango de números de Rayleigh Ra ∈ [2 × 105 , 4 × 105 ] por
encima del crı́tico (Rac = 1,856 × 105 ).
En la exploración se encuentran soluciones periódicas (ondas viajeras) bifurcadas del estado conductivo y soluciones quasiperiódicas (ondas viajeras de
amplitud modulada), con diferente número de celdas convectivas azimutales
(m = 4, 5, 6), tanto estables como inestables. Se obtienen soluciones quasiperiódicas de dos, tres y hasta quatro frecuencias independientes. En el caso de
soluciones con 2 frecuencias, se identifican algunas resonancias. Finalmente se
encuentran soluciones que alternan el número de celdas convectivas como, por
ejemplo, soluciones que conectan una órbita periódica de 4 celdas con una orbita
quasiperiódica de 5 celdas.
Sección en el CEDYA 2011: EDP, AN
Bibliografı́a
[1] Garcia F., Net M., Garcı́a-Archilla B., & Sánchez J. 2010 A comparison of highorder time integrators for the Boussinesq Navier-Stokes equations in rotating spherical
shells. J. Comp. Phys., 229(20):7997-8010, 2010.
124
Comunicaciones
On the optimal control of a free boundary
problem related to desalination plants
J.I. Dı́az, T. Mingazzini, A. M. Ramos
Universidad Complutense de Madrid
This communication deals with several optimal control problems related to
desalination plants. To fix ideas, we mention that the kind of state equations
are given mainly by

p−1
∂y

y = uχω on Ω × (0, T ),
 ρ( ∂t + v·∇y) − ∆y + λ |y|
y=0
in ∂Ω × (0, T ),


y(0, x) = y0 (x)
on Ω,
where y(t, x) denotes the main chemical solute in the brine discharges (for instance cooper sulfate in some tests) and the velocity of the surrounding fluid
v(t, x) is here assumed to be given (for instance, as solution of the NavierStokes system uncoupled with the state equation for y). Here p ∈ [0, 1) is the
order of the chemical reaction produced in the brine discharges to seawater and
we suppose that y0 ∈ L∞ (Ω), y0 ≥ 0 and that u ∈ L∞ (0, t : L∞ (ω)) with
u ≥ u(t, x) ≥ u > 0 for some u and u expressing the technical limitations of
the plant). Since the chemical reaction is less than one it is well known that
some free boundary is formed corresponding to the boundary of the support of
y(t, . : u) (which we shall denote by P (y(t, .; u)) and corresponds to the plume
discharges zone). Very often, the brine discharges (depending on the control
brine flux u(t, .) on a small open subregion of the spatial domain Ω) must obey
to some regulations protecting some given subregion B of Ω (corresponding, for
instances to some beach or protected zones in the sea). Moreover, in the raining
period of the year the water production is less appreciated in the market and
since the discharge is proportional to the production, a suitable governing policy
of the desalination plants leads to the minimization of a functional cost of the
form
Z TZ
Z TZ
θ(t)
dxdt,
J(u) =
χP (u(t,.))∩B dxdt +
G(u(t,
x))
0
Ω
0
Ω
where B ⊂ Ω represents the protected sea zone (we suppose that u is big enough
as to have ∪t∈[0,T ] |P (y(t, .; u)) ∩ B| > 0), G is a given real continuous increasing
function, with G(u) > 0, representing the economic loss and the given weight
function, θ(t) ∈ (0, 1], attaints its maximum in the dry period of the year.
We mention that this is a nonstandard control problem with some nontrivial
aspects: the nonlinear term of the state equation is not Lipschitz continuous
and the cost involves the free boundary. Some previous study (the approximate
controllability) was carried out in Dı́az and Ramos (1995). One of our main
tools is to prove previously the continuous dependence of the free boundary
with respect to the control u. This is done by improving several results on
nondegeneracy solutions near the free boundary. Some numerical simulations
will be also presented. The associate stationary problem (with θ ≡ 1) is also
considered.
Acknowledgements. The research of the authors has received funding from
the ITN ”FIRST.of the Seventh Framework Programme of the European Community (grant agreement number 238702).
125
Ecuación de Reynolds para un fluido viscoso en
un dominio delgado con una frontera
ligeramente rugosa
Juan Casado-Dı́az, Manuel Luna-Laynez
Francisco Javier Suárez-Grau
Dpto. de Matemáticas, Universidad de Huelva
[email protected]
Resumen
En este trabajo estudiamos el comportamiento de las soluciones del sistema de Navier-Stokes en un dominio delgado Ωε de altura hε , suponiendo la
condición de Navier sobre una porción de la frontera Γε ⊂ ∂Ωε , cubierta por
rugosidades dispuestas periódicamente con periodo ε y amplitud δε , tales que
δε ≪ ε ≪ h ε .
Probamos que
√ el comportamiento lı́mite cuando ε tiende a cero depende del
lı́mite λ de (δε hε )/ε3/2 . Más concretamente, probamos que si λ = +∞, la
rugosidad es tan fuerte que el fluido se comporta como si hubieramos impuesto
la condición de adherencia sobre Γε . Si λ = 0, la rugosidad es tan débil que
el fluido se comporta como si Γε fuera plana. Finalmente, si λ ∈ (0, +∞), la
rugosidad es lo suficientemente fuerte para hacer aparecer un nuevo término de
fricción en el lı́mite.
Gracias a las condiciones frontera en el problema lı́mite acorde al valor de
λ, obtenemos una ecuación de Reynolds para la presión lı́mite p en cada caso.
Bibliografı́a
[1] Casado-Dı́az J., Fernández-Cara E., Simon J., Why viscous fluids adhere to rugose
walls: A mathematical explanation. J. Differential Equations, 189, 2 (2003), 526-537.
[2] Casado-Dı́az J., Luna-Laynez M., Suárez-Grau F.J., Asymptotic behavior of a viscous
fluid with slip boundary conditions on a slightly rough wall, Math. Mod. Meth. Appl.
Sci. 20 (2010), 121-156.
[3] Casado-Dı́az J., Luna-Laynez M., Suárez-Grau F.J., A viscous fluid in a thin domain
satisfying the slip condition on a slightly rough boundary, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I
348 (2010), 967-971.
126
Comunicaciones
Existencia de Solución Reproductiva de un
Sistema de Fluidos en Medios Porosos no
Consolidados
Luis Friz, M. A. Rojas-Medar
[email protected]
[email protected]
E.J. Villamizar-Roa
Dpto. de Matemáticas, Universidad Industrial de Santander, Bucaramangá,
Colombia
[email protected]
Resumen
En este trabajo probamos la existencia de soluciones reproductivas débiles
para un modelo, relacionado con el sistema de Navier-Stokes, propuesto por
Prieur du Plessis and Masliyah para describir fluidos viscosos incompresibles a
través de un medio granular poroso.
Agradecimientos: A los proyectos Fondecyt-Chile 1080628 y FondecytChile 1090510.
Bibliografı́a
[1] J.L. Boldrini, J.P. Lukaszczyk, Isotropic granular (non consolidated) porous media,
Resenhas IME-USP, 3 (1997) 25-44.
[2] A. Bourchtein, L. Bourchtein, J.P. Lukaszczyk, bNumerical simulation of incompressible
flows through granular porous media, Applied Numerical Mathematics, 40 (2002) 291306.
[3] B. Climent-Ezquerra, F. Guillén-González, M.A. Rojas-Medar, A review on reproductivity and time periodicity for incompressible fluids, Bul. Soc. Esp. Mat. Apl. 41 (2007),
101-116.
[4] P.J. DuPlessis, J.H. Masliyah, Flow through isotropic granular porous media, Transport
in Porous Media, 6 (1991) 207-221.
[5] S. Kaniel, M. Shinbrot. A reproductive property of Navier-Stokes equations, Arch. Rational Mech. Anal. 24 (1967) 362-369.
[6] J.L. Lions, Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites non Linares,
Dunod, Paris, 1969.
[7] J.P. Lukaszczyk, Fluxos incompressı́veis em meios porosos não consolidados. Ph.Thesis.
Unicamp, 1996, Brazil.
[8] R. Temam, Navier-Stokes Equations. Theory and Numerical Analysis, North-Holland.
Amsterdam, 1979.
127
Anti-angiogenic therapy targeting receptors:
Model and Analysis I
Cristian Morales-Rodrigo, Manuel Delgado, Antonio Suárez
Dpto. de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, Universidad de Sevilla,
C Tarfia s/n 41012, Sevilla
Resumen
This talk is devoted to a nonlinear system of partial differential equations modeling the effect of an anti-angiogenic therapy based on an agent that binds
specific receptors of the endothelial cells. The talk is divided in two parts. In
the first part we will propose the model using some basic biological knowledge.
During the second part we will show global well-posedness.
Bibliografı́a
[1] M. Delgado, C. Morales-Rodrigo and A. Suárez Anti-angiogenic therapy targeting receptors, work in progress.
[2] N.V. Mantzaris, S. Webb and H.G. Othmer. Mathematical modeling of tumor-induced
angiogenesis, J. Math. Biol. 49 (2004), 111-187.
128
Comunicaciones
Blow-up rate of large solutions for some
semilinear elliptic equations
Salomón Alarcón Araneda
Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa Marı́a,
Casilla 110-V, Valparaı́so, Chile.
[email protected]
Resumen
In this communication we extend the study about the asymptotic behavior near
the boundary of solutions of problem
(
∆u = f (u) in Ω,
(28)
u(x) → ∞ as dist(x, ∂Ω) → 0,
where Ω is a bounded smooth domain in RN , N > 1, and f verifies the wellknown Keller-Osserman condition
Z ∞
1
p
ds < ∞,
F (s)
Rt
where F (t) = 0 f (s) ds. Specifically, for the nonlinearity f (u) = u logq (u +
1), q > 4, we find blow-up rate at the boundary for solutions of (28) by a
construction of suitable sub- and super-solutions. This result, to the best of
our knowledge, has not yet been considered in literature, because all known
additional assumptions on f , which have been used in other works with the aim
of finding the blow-up rate at the boundary of solutions of (28), are not verified
by this nonlinearity.
Bibliografı́a
[1] S. Alarcón, G. Dı́az, J.M. Rey, Asymptotic behavior of large solutions for a semilinear
elliptic equation: the blow-up rate revisited, preprint (2011).
[2] C. Bandle, M. Essén, On the solutions of quasilinear elliptic problems with boundary
blow-up, Symposia Mathematica 35 (1994), 93-111.
[3] C. Bandle, M. Marcus, Large solutions of semilinear elliptic equations: existence, uniqueness and asymptotic behaviour, J. Anal. Math. 58 (1992) 9-24.
[4] C. Bandle, M. Marcus, Asymptotic behaviour of solutions and their derivatives, for
semilinear elliptic problems with blowup on the boundary, Ann. Inst. H. Poincaré Anal.
Non Linéaire 12 (1995), 155-171.
[5] J. Garcı́a-Melián, Uniqueness of positive solutions for a boundary blow-up problem, J.
Math. Anal. Appl. 360 (2009) 530-536.
129
Estudio teórico de algunos modelos de terapias
anti-angiogénicas
Manuel Delgado, Cristian Morales-Rodrigo, Antonio Suárez
C Tarfia s/n 41012, Sevilla
Resumen
La angiogénesis es una paso fundamental en el crecimiento de tumores. En este
trabajo presentamos un estudio teórico de un modelo que pretende modelizar
una terapia anti-angiogénica. En concreto, el modelo se basa en la anulación de
receptores de las células endoteliales. El modelo consiste en tres ecuaciones en
derivadas parciales no lineales, incluyendo términos de chemotaxis.
Bibliografı́a
[1] M. Delgado, C. Morales-Rodrigo and A. Suárez Anti-angiogenic therapy targeting receptors, work in progress.
[2] N.V. Mantzaris, S. Webb and H.G. Othmer. Mathematical modeling of tumor-induced
angiogenesis, J. Math. Biol. 49 (2004), 111-187.
130
Comunicaciones
Homogeneización de la ecuación de ondas para
coeficientes BV en tiempo
J. Casado Dı́az, J. Couce Calvo, F. Maestre , J.D. Martı́n Gómez
Dpto. de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
[email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
Resumen
En este trabajo analizamos la homogeneización de la ecuación de ondas con
coeficientes dependientes de la variable temporal. Es precisamente esta dependencia la que introduce las principales dificultades. De hecho, para la existencia
de solución del problema


 ∂t (ρn (t, x)∂t un ) − divx (An (t, x)∇x un ) = Fn in (0, T ) × Ω
(29)
un = 0 on (0, T ) × ∂Ω


0
1
in Ω,
un (0, x) = un (x), (ρn ∂t un ) (0, x) = ϑn (x)
es necesaria cierta regularidad en tiempo (ver e.g. [4], [5]). En nuestro caso,
consideramos coeficientes de variación acotada en t (en particular pueden ser
discontinuos en tiempo), lo que nos garantiza la existencia y unicidad de solución.
Probamos que la solución un de (29) converge ∗-débil en L∞ (0, T ; H01 (Ω)) a
la solución de un problem similar donde ρn es remplazado por su lı́mite ∗-débil
en L∞ ((0, T ) × Ω) y An por su H-lı́mite (ver [3] para el caso de coeficientes
Lipschitz). En el caso de coeficientes con derivada equicontinua en tiempo generalizamos además el resultado de corrector que aparece en [1] para coeficientes
independientes de t. Mostramos sin embargo que esto no es cierto incluso en el
caso de coeficientes uniformemente Lipschitz con respecto a t.
Sección en el CEDYA 2011: EDP.
Bibliografı́a
[1] S. Brahim-Otsmane, G.A. Francfort, F. Murat. “Correctors for the homogenization
of the wave and heat equations”. J. Math. Pures Appl. 71 (1992), 197-231.
[2] J. Casado-Dı́az et al. “Homogenization and corrector for the wave equation with discontinuous coefficients in time”, J. Math. Appl. (2011), doi: 10.1016/j.jmaa.2011.01.054.
[3] F. Colombini, S. Spagnolo. “On the convergence of solutions of hyperbolic equations”.
Comm. Partial Differential Equations 3 (1978), 77-103.
[4] F. Colombini, S. Spagnolo. “Hyperbolic equations with coefficients rapidly oscillating
in time: a result of nonstability”. J. Differential Equations 52 (1984), 24-38.
[5] F. Colombini, S. Spagnolo. “Some examples of hyperbolic equations without local
solvability”. Ann. Sci. École Norm. Sup. 22 (1989), 109-125.
131
Semihiperbolicidad, shadowing
y distancia de atractores
Esperanza Santamarı́a Martı́n, Jose M. Arrieta
Departamento de Matemática Aplicada, Facultad de Matemáticas
Universidad Complutense de Madrid, 28040 Madrid
Resumen
Consideramos una familia de sistemas dinámicos en un espacio de Banach X
que vienen generados como la iteración de aplicaciones Tǫ : X → X. Estas
aplicaciones podrı́an ser por ejemplo, las aplicaciones a un tiempo finito dado
de una ecuación en derivadas parciales de evolución. Suponemos además que
Tǫ → T uniformemente en acotados de X y que se tiene una estimación del
tipo kTǫ − T k ≤ Cǫ. Si los sistemas son disipativos y tienen una cierta
compacidad, se prueba la existencia de atractores Aǫ para cada ǫ ≥ 0. Si
además el sistema lı́mite tiene una estructura gradiente con una cantidad
finita de puntos de equilibrio todos ellos hiperbólicos es sabido que se puede
probar la continuidad de los atractores y se puede llegar a dar una estimación
de la distancia de los atractores del orden de ǫβ para algun β < 1, ver [4, 5].
Pero en general no se puede probar la estimación para β = 1, que resultarı́a lo
esperable pues es la estimación de la distancia de las aplicaciones que genera el
sistema dinámico.
En este trabajo estudiamos técnicas relacionadas con los conceptos de
semihiperbolicidad y shadowing [1, 3, 2] que permite obtener en algunos casos
una estimación del orden de ǫ, es decir β = 1, para la distancia de los
atractores.
Bibliografı́a
[1] P. Diamond, P. Kloeden, V. Kozyakin, A. Pokrovskii, Semi-Hyperbolicity and Bi-Shadowing.
Preprint 2011.
[2] V. S. Kolezhuk, Sergei Yu. Pilyugin, Rates of Convergence of Approximate Attractors
for Parabolic Equations. Journal of Mathematical Sciences, Vol. 143, No. 2, 2007.
[3] Sergei Yu. Pilyugin, Shadowing in Dynamical Systems. Lecture Notes in Mathematics,
1999.
[4] A. V. Babin, M. I. Vishik, Attractors of Evolution Equations. Studies in Mathematics
and its applications, Vol. 25, 1992.
[5] J. K. Hale, G. Raugel, Lower Semicontinuity of Attractors of Gradient Systems and
Applications. Annali di Matematica pura ed applicata, Vol. 154, 1989.
132
Comunicaciones
Continua of solutions for quasilinear elliptic
problems
Pedro J. Martı́nez-Aparicio, David Arcoya
Dpto. de Análisis Matemático, Universidad de Granada
José Carmona
Dpto. de Álgebra y Análisis Matemático, Universidad de Almerı́a
[email protected]
Abstract
We realize a brief summary of recent results for the following parameter
boundary value problem

−∆u + g(u)|∇u|2 = λf (u) + f0 (x) in Ω,
(30)

u=0
on ∂Ω,
where Ω is an open and bounded set in RN (N ≥ 3). Specifically, in [2] it is
2N
+2
studied the case in which 0 ≤ f0 ∈ L N +2 (Ω) and f (u) = up with 0 ≤ p < N
N −2 .
In addition to the natural growth in the gradient of the quasilinear elliptic
differential operator in (30), in some cases, we may also have a singularity
at zero, since it is only assumed the continuity of the function g : (0, +∞) →
[0, +∞). We study the range of values for the parameter λ, such that (30) admits
a positive solution. Combining the results in [1, 4, 5] for λ = 0 with topological
methods we give sufficient conditions to have that this range is bounded or
unbounded. It is shown that some differences with the semilinear case (g ≡ 0)
are due not only to the natural growth but also to the behavior of g. On the
other hand, in the case in which f0 ≡ 0, under appropriate conditions of g and
f it is proved in [3] that the maximal set of λ for which the problem has at
least one solution is a closed interval [0, λ∗ ], λ∗ > 0, and there exists a minimal
regular solution for every λ ∈ [0, λ∗ ). The case of radial solutions in which Ω is
the unit ball is also studied.
Section CEDYA 2011: EDP
Bibliografı́a
[1] D. Arcoya, J. Carmona, T. Leonori, P.J. Martı́nez-Aparicio, L. Orsina and F. Petitta,
Existence and nonexistence of solutions for singular quadratic quasilinear equations.
J. Differential Equations. 246, 4006–4042, 2009.
[2] D. Arcoya, J. Carmona and P.J. Martı́nez-Aparicio, Bifurcation for Quasilinear Elliptic
Singular BVP. Comm. Partial Differential Equations, 36, 670–692, 2011.
[3] D. Arcoya, J. Carmona and P.J. Martı́nez-Aparicio, Gelfand type quasilinear elliptic
problems. Preprint 2011.
[4] D. Arcoya and S. Segura de León, Uniqueness of solutions for some elliptic equations
with a quadratic gradient term. ESAIM Control Optim. Calc. Var. 16, no. 2, 327–336,
2010.
[5] L. Boccardo, Dirichlet problems with singular and quadratic gradient lower order terms.
ESAIM Control Optim. Calc. Var. 14, 411–426, 2008.
133
On a Bernoulli-type evolution problem with a
unknown Radon measure data
J.F. Padial
Dpto. de Matemática Aplicada, E.T.S. de Arquitectura (U.P.M.)
[email protected]
Resumen
Our aim is to study the existence of solutions for a nonlinear Bernoulli-type
free boundary problem for the evolution case with a unknown measure data
[2].The problem arises in several nonlinear flow laws and physical situation.
The elliptic problem was studied in [1]. We introduce a semi-implicit time differencing in order to obtain a family of elliptic problems. For each one of this
problems, we will apply a general mountain pass principle due to GhoussoubPreiss in order to find a weak solution for a sequence of approximate nonsingular
problems. Finally, passing to the limit thanks to some a priori estimates, we obtain the solution, first for each elliptic problem that comes that semi-implicit
schema, and later, passing to the limit, we obtain a weak solution for the original
parabolic problem.
Bibliografı́a
[1] J.I. Dı́az, J.F. Padial and J.M. Rakotoson, On some Bernoulli free boundary type problems for general elliptic operators. Proceedings of the Royai Society of Edinburgh,
137A (2007), 895-911.
[2] J.F. Padial and J.M. Rakotoson, In preparation.
134
Comunicaciones
T. Caraballo, J.C. Jara, J.A. Langa
Resumen
El objetivo de esta comunicación es mostrar cómo se extienden los resultados
deterministas desarrollados en el trabajo de Conley [1] al caso estocástico (tratado ya por Liu en [2], [3] y [4]). Un aspecto interesante de las descomposiciones
de Morse es que se consigue describir la estructura de los atractores. Se comienza definiendo los pares atractores-repulsores dentro del atractor de un sistema
dinámico aleatorio, y una vez definidos los conjuntos de Morse se puede ver
que toda solución global “sale”de un conjunto de Morse y “llega”hasta otro.
Los resultados teóricos se ilustran con aplicaciones prácticas, complementando
la teorı́a existente hasta el momento y sirviendo de ejemplos canónicos para el
desarrollo de la misma.
Bibliografı́a
[1] Conley, Isolated Invariant sets and the Morse, Conf. Board Math, Sci. vol 38.
[2] Z. Liu, The random case of Conley’s theorem, Nonlinearty 20 (2007) 277-291.
[3] Z. Liu, The random case of Conley’s theorem: II. The complete Lyapunov function,
Nonlinearty 20 (2007) 1017-1030.
[4] Z. Liu, The random case of Conley’s theorem: III. Random semiflow case and Morse
decomposition, Nonlinearty 20 (2007) 2773-2791.
[5] F. Flandoli, B. Schmalfuß, Random attractors for the 3D stochastic Navier-Stokes equation with multiplicative noise. Stochastics Stochastics Rep. 59, 21-45.
[6] H. Crauel, F. Flandoli, Attractors for random dynamical systems Prob. Th. Rel. Fields
100 (1994) 365-393.
[7] H. Crauel, A. Debussche, F. Flandoli, Random Attractors J. Dyn. Diff. Eq. 9, No. 2,
307-341.
[8] K. R. Schenk-Hoppé, Random Attractors: General properties, existence and applications
to stochastic theory Discrete and continuous dynamical systems Volume 4, Number 1,
January (1998) 99-130.
135
Infinitos cambios de estabilidad en ramas de
soluciones a un lado del autovalor principal
Rosa Pardo
Depto. de Matemática Aplicada, Univ. Complutense de Madrid, Madrid
28040, Spain
http://www.mat.ucm.es/ rpardo/
Alfonso Castro
Department of Mathematics, Harvey Mudd College, Claremont, CA 91711,
USA
http://www.math.hmc.edu/ castro/
Resumen
Consideramos un problema parabólico ut − ∆u + u = 0 con condición de
frontera no lineal dependiendo de un parámetro del tipo ∂u
∂n = λu+g(λ, x, u) con
una no-linealidad sublineal y oscilatoria. Demostramos la existencia de infinitos
puntos de retroceso, incluso en ausencia de soluciones resonantes, [4].
En [1] se demuestra que este tipo de problemas tiene ramas de soluciones
(λ, uλ ) no acotadas cuando λ converge hacia un autovalor de Steklov. Este
fenómeno se conoce como bifurcación desde infinito.
Una solution (λ∗ , u∗ ) en una rama de soluciones es un punto de retroceso
si no hay soluciones (λ, uλ ) ≈ (λ∗ , u∗ ) para λ > λ∗ , (o bien no hay soluciones
próximas para λ < λ∗ ). Cuando la no-linealidad es monótona, las soluciones
estables son subcrı́ticas (a la izquierda del autovalor) y las soluciones inestables
son supercrı́ticas (a la derecha). En el caso oscilatorio, existen ramas de soluciones subcrı́ticas y que presentan infinitos cambios de estabilidad. Además, puede
no haber ninguna solución resonante.
En [2] establecemos condiciones suficientes que garantizan la estabilidad de
las ramas no acotadas de soluciones. En [3] establecemos condiciones suficientes
para garantizar la existencia de soluciones resonantes.
Bibliografı́a
[1] J.M. Arrieta, R. Pardo, A.Rodrı́guez–Bernal, “Bifurcation and stability of equilibria
with asymptotically linear boundary conditions at infinity”. Proc. Roy. Soc. of Edinburg,
Vol. 137, A, No. 2, 225-252,(2007).
[2] J.M. Arrieta, R. Pardo, A.Rodrı́guez–Bernal, “Equilibria and global dynamics of a problem with bifurcation from infinity”. Journal of Differential Equations, Vol. 246 (2009)
2055-2080.
[3] J.M. Arrieta, R. Pardo, A.Rodrı́guez–Bernal, “Infinite resonant solutions and turning
points in a problem with unbounded bifurcation”. International Journal of Bifurcation
and Chaos, Vol. 20, No.9., (2010), 2885-2896.
[4] A. Castro, R. Pardo, “Infinitely many stability switches in a problem with sublinear
oscillatory boundary conditions”. Preprint.
136
Comunicaciones
Control frontera de ecuaciones hiperbólicas
acopladas
Luz de Teresa
Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México
[email protected]
S. Avdonin
Department of Mathematical Sciences, University of Alaska Fairbanks
[email protected]
A. Choque
Instituto de Fı́sica y Matemáticas, Universidad Michoacana de San Nicolás de
Hidalgo
[email protected]
Resumen
En los últimos años ha habido un gran número de publicaciones sobre el control
de varias ecuaciones parabólicas acopladas. Ver, entre otros, [4], [2], [3], [6].
Sin embargo, en el caso de ecuaciones hiperbólicas hay fundamentalmente dos
resultados publicados: el resultado de Alabau [1] que es sobre control frontera de
dos ecuaciones en varias dimensiones y el de Liu y Rao [5] sobre control frontera
de dos ecuaciones en dimensión uno. En [1] es necesario que el parámetro de
acoplamiento sea pequeño y en [5] que el coeficiente de difusión sea distinto en
cada ecuación.
En esta charla, utilizando el método de momentos, presentaremos en dimensión uno dos resultados para dos ecuaciones hiperbólicas uno-dimensionales
acopladas. En el primer caso veremos un resultado de control exacto para dos
ecuaciones en “cascada”. El segundo resultado será para una generalización del
acoplamiento dado en [1].
Bibliografı́a
[1] F. Alabau-Boussouira, A two-level energy method for indirect boundary observability
and controllability of weakly coupled hyperbolic systems, SIAM J. Control Optim. 42
(2003), no. 3, 871–906.
[2] F. Ammar-Khodja, A. Benabdallah, C. Dupaix, M. González-Burgos, A Kalman
rank condition for the localized distributed controllability of a class of linear parabolic
systems, J. Evol. Equ. 9 (2009), no. 2, 267–291, http://hal.archives-ouvertes.fr/hal00290867/fr/..
[3] F. Ammar-Khodja, A. Benabdallah, M. González-Burgos, L. de Teresa, The Kalman condition for the boundary controllability of coupled parabolic systems. Bounds on
biorthogonal families to complex matrix exponentials,http://hal.archives-ouvertes.fr/hal00539825/fr/
[4] M. González-Burgos, L. de Teresa, Controllability results for cascade systems of m
coupled parabolic PDEs by one control force, Port. Math. 67 (2010), no. 1, 91–113.
[5] Z. Liu, B. Rao A spectral approach to the indirect boundary control of a system of
weakly coupled wave equations, DCDS 23 (2009) No. 1& 2, 399–414.
[6] O. Kavian, L. de Teresa, Unique continuation principle for systems of parabolic equations, ESAIM Control Optim. Calc. Var. 16 (2010), no. 2, 247–274.
137
Conservation laws for second order
approximation equation of KdV type
Maria Luz Gandarias, Maria Santos Bruzon
The classical KdV equation models weakly nonlinear unidirectional long waves,
and arises in various physical contexts. The higher order wave equations of
KdV type model strongly nonlinear long wavelength and the short amplitude
waves. In a recent paper two nonlinear equations that represent second and third
order approximation of long wavelength, small amplitude waves of inviscid, and
incompressible fluids have been studied by Marinakis [?]. The author presents
two integrable cases for the third order approximation. The first was recently
identified, as been equivalent to an integrable equation recently appeared in the
literature [?], while the second appears to be new. However his study fails to
reveal any integrable cases for the second order approximation. If one allows the
appearance of second-order terms a more complicated equation than the KdV
equation is obtained,
ut + kux + αuux + βuxxx + α2 ρ1 u2 ux + αβ(ρ2 uuxxx + ρ3 ux uxx ) = 0.
(31)
This equation is non-integrable but still admits some special wave solutions
[?]. In this work we study this second order wave equations of KdV type from
the point of view of the theory of symmetry reductions in partial differential
equations. We obtain the classical symmetries admitted by the equation. In
[3] a general theorem on conservation laws for arbitrary differential equation
which does not require the existence of Lagrangians has been proved by N.H.
Ibragimov. This new theorem is based on the concept of adjoint equations for
non-linear equations. By using a general theorem on conservation laws proved
by Nail Ibragimov we find conservation laws for some of these partial differential
equations without classical Lagrangians.
138
Comunicaciones
Large Solutions for Parabolic Equations
Without Absorption.
Salvador Moll, Francesco Petitta
Dpto. de Análisis Matemático, Universitat de València
Resumen
In this talk I will present some recent results about some parabolic problems
without an absorption term whose model is the parabolic p-laplacian; i.e.

p−2

 ut = div(|∇u| ∇u) in QT := Ω × [0, T ],
(P )
u = u0
on {0} × Ω,


u = +∞
on (0, T ) × ∂Ω,
where u0 ∈ L1loc (Ω) is a nonnegative function, Ω is a bounded open Lipschitz
subset of RN .
In the range p ≥ 2, there is no option for such a large solution to exist.
However, for the case 1 < p < 2, some a priori local estimates exist and we can
give a suitable notion of large solution (namely we will call it Entropy Large
Solution) and prove existence and uniqueness of such a solution for problem (P)
with merely locally integrable data. If p = 1, the Total Variation Flow case, we
obtain existence and uniqueness of entropy large solutions for L1 -initial data.
139
Travelling wave solutions for a Generalized
Dullin-Gottwald-Holm equation
M.S. Bruzon, M.L. Gandarias
In [3] Dullin, Gottwald and Holm derived the 1+1 unidirectional nonlinear
wave equation
(
mt + 2ωux + 3uux + γuxxx = α2 (2ux uxx + uuxxx), t > 0, x ∈ R,
u(0, x) = u0 (x)
x ∈ R,
where m = u − α2 uxx . This equation combines the linear dispersion of the
Korteweg-deVries equation with the nonlinear/nonlocal dispersion of the CamassaHolm equation. This equation is one order more accurate in asymptotic approximation beyond Korteweg-deVries, yet it still preserves complete integrability
via the inverse scattering transform method.
Recently, in [5] Liu and Yi considered the Generalized Dullin-Gottwald-Holm
equation
′
g (u) 2
ut − utxx + (h(u))x + buxxx = a
ux + g(u)uxx , t > 0, x ∈ R,
2
x
(32)
where a = α1 and b = αγ3 . By using Kato’s theory they established local wellposedness and proved the orbital stability of the peakon solitary waves.
In the last years a great progress is being made in the development of methods and their applications to PDE for finding exact solutions [1, 2, 4]. In
this paper we study the functional forms g(u) and h(u) for which equation
(32) admits the classical symmetry group. By using the symmetry reductions,
as a basis for deriving new exact solutions that are invariant with respect to
the symmetries, we obtain exact solutions which are of considerable interest in
mathematical physics.
Bibliografı́a
[1] M.S. Bruzón, M.L. Gandarias and J.C. Camacho, Symmetry for a Family of BBM
Equations, J. Nonl. Math. Phys. 15 (2008) 81-90.
[2] M.S. Bruzón and M.L. Gandarias, Traveling wave solutions of the K(m, n) equation
with generalized evolution, Math. Meth. Appl. Sci. (2010) DOI: 10.1002/mma.1339.
[3] H.R. Dullin, G.A. Gottwald, D.D. Holm, An integrable shallow water equation with
linear and nonlinear dispersion, Phys. Rev. Lett. 87 (2001) 1945-1948.
[4] N.A. Kudryashov and N.B. Loguinova, Extended simplest equation method for nonlinear
differential equations, Appl. Math. and Comput. 205 (2008) 396-402.
[5] X. Li, Z. Yin, Local well-posedness and stability of peakons for a generalized DullinGottwald-Holm equation, Nonlinear Analysis 74 (2011) 2497-2507
140
Comunicaciones
Nonlinear parabolic equations with absorption
terms and measure data
Francesco Petitta
Departamento de Análisis Matemático, Universitat de Valencia, Spain
[email protected]
Augusto C. Ponce
Université catholique de Louvain, Belgium
[email protected]
Alessio Porretta
Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata, Italy
[email protected]
Let Ω ⊆ RN a bounded open set, N ≥ 2, and let p > 1; we will consider
nonlinear evolution problems whose model is



ut − ∆p u + h(u) = µ in (0, T ) × Ω,
u(0, x) = u0
in Ω,



u(t, x) = 0
on (0, T ) × ∂Ω,
where T > 0 is any positive constant, µ ∈ M (Q) is any measure with bounded
variation over Q = (0, T ) × Ω, u0 ∈ L1 (Ω), h is continuous, and −∆p u =
−div(|∇u|p−2 ∇u) is the usual p-laplacian.
We will try to describe the new difficulties (with respect to the elliptic
case) arising from the use of parabolic capacity by showing some recent results
obtained in collaboration with Augusto C. Ponce and Alessio Porretta.
Resumen
Bibliografı́a
[1] F. Petitta, A. Ponce and A. Porretta, Diffuse measures and nonlinear parabolic equations, to appear
141
Desigualdades para un fluido confinado en un
recinto
Simon J.
CNRS, Laboratoire J.-A. Dieudonné, Université de Nice
http://math.unice.fr/~jsimon
Resumen
Mostraremos que cada fluido confinado en un dominio acotado satisface
kukL2 ≤ cΩ k∇ukL2 .
Basta con que el fluido no sale, es decir, u · n = 0 sobre ∂Ω (siendo este lipschitzeana, y u siendo H 1 ). No es necesario que el fluido se adhiere a ∂Ω o que
es incompresible o que cumple una edp.
Por otra parte mostraremos que, sobre la frontera, el producto de la velocidad por “la rugosidad.esta acotado. Más precisamente, siendo K la matriz de
curvatura de ∂Ω,
1/2
kKukL2(∂Ω) ≤ c kKkL∞(∂Ω) k∇ukL2(Ω)
con c independiente de las Ω que satisfacen la propriedad del cono para un cono
fijo (salvo un desplazamiento) y que se incluyen en una bola fija.
142
Comunicaciones
Numerical simulations of rotating drops with
BEM
V. J. Garcı́a-Garrido, M. A. Fontelos
Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC - UAM - UC3M - UCM). C/Nicolás
Cabrera, 13-15, Campus de Cantoblanco, 28049 Madrid, Spain.
[email protected] , [email protected]
U. Kindelán
Departamento de Matemática Aplicada y Met. Inf., Universidad Politécnica de
Madrid, Alenza 4, 28003 Madrid, Spain.
[email protected]
Resumen
Studies of rotating drops date back to the original experiments performed by
the belgian physicist J. Plateau [4]. These experiments, which have been recently
conducted under zero gravity conditions during the flight of Spacelab 3 and at
JPL [6], play an important role in many industrial processes such as polymer
manufacturing and spinning drop tensiometry techniques [5]. In this communication we will present a detailed description of the rotating drop problem,
modelled by the Stokes system under low Reynolds number and low Ekman
number assumptions, by means of the boundary element method (BEM). We
analyze the evolution of viscous fluid drops rotating about a fixed axis at constant angular speed Ω or constant angular momentum L, paying special attention
to the stability/instability of equilibrium shapes [1] and the possible formation
of singularities representing a change in the topology of the fluid domain. In
particular, we show that these singularities usually appear as the asymptotic
limit of self-similar solutions for a certain range of values of Ω and L. We will
give full details of this breakup mechanism. In the case of evolution at constant
Ω, and depending on its value, results in the line of those recently obtained by
Howell et al. [3] will be also discussed.
Sección en el CEDYA 2011: AN (Análisis Numérico y Simulación Numérica).
Bibliografı́a
[1] R. A. Brown, L. E. Scriven, The shape and stability of rotating liquid drops. Proc. R.
Soc. Lond. A 371 (1980), 331-357.
[2] M. A. Fontelos, V. J. Garcı́a-Garrido, U. Kindelán, Evolution and breakup of viscous
rotating drops, Submitted.
[3] P. D. Howell, B. Scheid, H. A. Stone, Newtonian pizza: spinning a viscous sheet, J.
Fluid Mech., vol. 659 (2010), 1-23.
[4] J. Plateau, Mémoire sur les phénomènes que présente une masse liquide libre et soustraite à l’action de la pesanteur, Rev. Univ. Brux., 16 (1843), 1-35.
[5] H. M. Princen, I. Y. Z. Zia, S. G. Mason, Measurement of Interfacial Tension from the
Shape of a Rotating Drop, Journal of Colloid and Interface Science 23 (1967), 99-107.
[6] T. G. Wang, E. H. Trinh, A. P. Croonquist, D. D. Ellemant, Shapes of rotating free
drops: Spacelab experimental results. Phys. Rev. Lett. 56 (1986), 452-455.
143
Análisis numérico de un problema con
surfactantes utilizando la isoterma de Henry
J. R. Fernández
Dpto. de Matemática Aplicada I, Universidade de Vigo
[email protected]
M.C. Muñiz
Dpto. de Matemática Aplicada, Universidade de Santiago de Compostela
[email protected]
Resumen
Sección en el CEDYA 2011: AN
En este trabajo se considera el comportamiento de un surfactante en la interfaz aire-agua, utilizando la ecuación en derivadas parciales de difusión y la
llamada isoterma de Henry para modelar la relación entre las concentraciones
de la superficie y la subsuperficie (véase la clásica referencia [1]) del compuesto.
La existencia y unicidad de solución para este problema se obtiene utilizando
algunos resultados de [2]. El objetivo de esta presentación se centra en el análisis
numérico de este problema. En primer lugar, se introduce un esquema completamente discreto utilizando el método de los elementos finitos para aproximar
la derivada espacial y el esquema de Euler implı́cito para discretizar las derivadas temporales. Se demuestra un resultado general de estimaciones del error a
priori del que, bajo condiciones de regularidad adicionales sobre la solución del
problema continuo, se deduce la convergencia lineal del algoritmo. Finalmente, se presentan algunos resultados numéricos que demuestran la eficacia de la
aproximación estudiada y el comportamiento de la solución.
Bibliografı́a
[1] C.H. Chang y E.I. Franses. Adsorption dynamics of surfactants at the air/water interface: a critical review of mathematical models, data and mechanisms. Colloids and
Surfaces 100 (1995), 1–45.
[2] K.L. Kuttler y M. Shillor. Set-valued pseudomonotone maps and degenerate evolution
inclusions. Commun. Contemp. Math. 1(1) (1999), 87–123.
144
Comunicaciones
Extrapolación polinómica recı́proca vs.
extrapolación de Richardson
M. José Legaz, Sergio Amat, Sonia Busquier, Fernando Manzano
de Cartagena (Spain).
Resumen
La extrapolación polinómica recı́proca fue introducida en [1] para ecuaciones
diferenciales escalares rı́gidas. Fue presentada como una alternativa a la extrapolación clásica de Richardson. Se estudió tanto sus propiedades de estabilidad
como su orden de exactitud. En el presente trabajo se realiza una comparación
entre la extrapolación polinómica recı́proca y la extrapolación de Richardson,
aplicadas a problemas tipo pertenecientes tanto a sistemas de ecuaciones diferenciales rı́gidos [2] como a problemas frontera singulares perturbados [3]. La
extrapolación polinómica recı́proca obtiene mejores resultados que la extrapolación de Richardson cuando la discretización está cerca de la región inestable
del método extrapolado. Con la extrapolación polinómica recı́proca se aprecia
una mejorı́a tanto en el error como en las propiedades de estabilidad. Además
parece que reproduce mejor las propiedades cualitativas de la solución del problema. Una explicación teórica de las mejoras se obtiene viendo la extrapolación
polinómica recı́proca como la extrapolación de Richardson más un cambio especı́fico de variables. Finalmente, destacar que ambas extrapolaciones tienen un
coste computacional similar.
Agradecimientos: Investigación subvencionada en parte por MTM 2010-17508 y
08662/PI/08.
Bibliografı́a
[1] S. Amat, S. Busquier and V. Candela, Reciprocal Polynomial Extrapolation, Journal
Computational Mathematics, 22(1), (2004), 1-10.
[2] E. Hairer and G. Warner , Solving Ordinary Differential Equations II. Springer-Verlag
Berlin Heidelberg 1991.
[3] R. Vulanovic, D. Herceg and N. Petrovic, On the extrapolation for a singularly perturbed
boundary value problem, Computing 36 (1986), 69-79.
145
Aproximación de ecuaciones diferenciales
usando un método variacional
Sergio Amat, M. José Legaz
de Cartagena (Spain).
Pablo Pedregal
E.T.S. Ingenieros Industriales. Universidad de Castilla La Mancha. Campus de
Ciudad Real (Spain).
[email protected]
Resumen
En este trabajo proponemos el uso de técnicas variacionales para la aproximación de ecuaciones diferenciales. A partir de un problema dado, construiremos
un funcional de error que nos permitirá el análisis tanto teórico como numérico
del problema original. Una caracterı́stica muy importante es la no existencia
de mı́nimos locales en el funcional. En particular, asegurando que los métodos de descenso siempre encontrarán el mı́nimo global que, por otra parte,
será la solución buscada. Se tratarán diversos tipos de problemas rı́gidos como por ejemplo: sistemas de ecuaciones diferenciales, sistemas de ecuaciones
algebraico-diferenciables o sistemas diferenciales con retardo. Para todos ellos
se presentará una comparativa con otras aproximaciones numéricas no variacionales viendo las ventajas de la nueva prespectiva.
Bibliografı́a
[1] S. Amat and P. Pedregal, A variational approach to implicit ODEs and differential
inclusions, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 15(1), (2009),
139-148.
[2] S. Amat, D.J. López and P. Pedregal, Numerical approximation to ODEs using a variational approach, aparecerá en Optimization.
146
Comunicaciones
Accurate solution of the least squares problems
via rank-revealing decomposition
Johan A. Ceballos, Froilán M. Dopico and Juan M. Molera
Departamento. de Matemáticas , Universidad Carlos III de Madrid
[email protected],[email protected] and [email protected]
Resumen
Least squares problems Ax ≈ b where the matrix A has some particular
structure tend to arise frequently in applications. Very often structured matrices have huge condition numbers κ(A) = kA−1 k kAk and, therefore, standard
algorithms fail to compute accurate solutions of Ax ≈ b. In this work, we introduce a framework that allows us to solve accurately many classes of structured
least squares problems independently of the condition number of A and with
cost O(n3 ). The approach in this work relies on computing first an accurate rank-revealing decomposition of A, an idea that has been widely used in
the last decades to compute singular value and eigenvalue decompositions of
structured matrices with high relative accuracy, and more recently, to compute accurate solution of structured linear systems [1]. Among others, it can be
applied to Cauchy and Vandermonde matrices, with any distribution of nodes,
i.e., without requiring A to be totally positive, and Graded matrices, diagonal
scalings of a well-conditioned matrix.
Bibliografı́a
[1] Froilán M. Dopico and Juan M. Molera, Accurate solution of structured linear systems,
submitted, 2010.
147
On the intersection of curves using third order
geometric iterative methods
S. Amat, S. Busquier, J.M. Gutiérrez
Departamento de Matemática Aplicada y Estadı́stica
Universidad Politécnica de Cartagena.
Paseo de Alfonso XIII, 52
30203 Cartagena (Murcia), Spain
[email protected]
Resumen
The geometrical interpretation of a family of third order iterative methods
to solve nonlinear scalar equations was presented in [1]. This family includes, as
particular cases, some of the most well known third order methods: Chebyshev,
Halley, Super-Halley, C-methods or Newton-type two-step methods. In the standard way for solving nonlinear equations, a new guess is computed by solving
an approximation of the problem at the current guess. A similar, very effective
strategy was proposed in [2] for solving geometric problems on parametric curves. To compute a new guess, solve an elementary geometric approximation of
the problem at the current guess. The aim of the present talk is to generalize
the family studied in [1], following [2], to find the intersection of two curves.
Bibliografı́a
[1] Amat, S., Busquier, S., Gutiérrez, J. M., Geometric constructions of iterative functions to
solve nonlinear equations. Journal Computational Applied Mathematics, 157(1), (2003),
197-205.
[2] Kallay M., A geometric Newton-Raphson strategy. Computer Aided Geometric Design,
18, (2001), 797-803.
148
Comunicaciones
Recent advances on the computation with
matrices with special bidiagonal factorizations
J.M. Peña
Dpto. de Matemática Aplicada, Universidad de Zaragoza
[email protected]
Resumen
Bidiagonal factorization has played a crucial role for nonsingular totally
nonnegative matrices (matrices with all their minors nonnegative). Important
theoretical properties of these matrices can be deduced from this factorization.
Moreover, the bidiagonal factorization allows us to perform accurately many
computations with these matrices (see [1]). There are other classes of matrices admitting a bidiagonal factorization. For instance, the class of strictly sign
regular matrices, where the factorization can differ from that of totally nonnegative matrices. Here we present some recent advances on the computation with
matrices with special bidiagonal factorizations.
Bibliografı́a
[1] P. Koev. Accurate computations with totally nonnegative matrices. SIAM J. Matrix
Anal. Appl. 29 (2007), 731-751.
149
A parallel algorithm for solving a multi-layer
Convection-Difussion Problem
L. Ferragut,M.I. Asensio
Instituto de Fı́sica Fundamental y Matemáticas y Departamento de
Matemática Aplicada, Universidad de Salamanca
J. M. Cascón
Instituto de Fı́sica Fundamental y Matemáticas y Departamento de Economı́a
e Historia Económica, Universidad de Salamanca
[email protected]
D. Prieto
Departamento de Matemática Aplicada, Universidad de Salamanca
[email protected]
Abstract
We apply the general theory of splitting algorithms to the construcction of
a multi-layer convection-diffusion model and its numerical approximation based
on a combination of the Adaptive Finite Element Method with characteristics
in the horizontal directions and Finite Differences in the vertical direction. We
present a parallel version of the algorithm. We show the parallel efficiency of
the algorithms through several examples.
Bibliografı́a
[1] G.I. Marchuck Splitting and Alternating Direction Methods, in Handbook of Numerical
Analysis, P.G. Ciarlet and J.L. Lions, Editors. North Holland, 1990.
[2] M.Ortiz, P.M. Pinsky, R.L. Taylor, Unconditionally Stable Element-by-Element Algorithms for Dynamic Problems. Comp. Methods Applied Mec.Engineering, 36, (1983),
223-239.
150
Comunicaciones
A posteriori error estimators based on Ritz
projection for the augmented mixed FEM
in plane linear elasticity
Tomás P. Barrios, Edwin M. Behrens
Facultad de Ingenierı́a, Universidad Católica de la Santı́sima Concepción,
Chile
Marı́a González
Dpto. de Matemáticas, Universidad de A Coruña
[email protected]
Resumen
We considered the augmented mixed finite element method for the linear elasticity problem, in the cases of homogeneous and nonhomogeneous Dirichlet boundary conditions, and deduced an unusual a posteriori error estimator based on a
Ritz projection of the error. We proof efficiency and reliability of the estimator
for homogeneous Dirichlet boundary conditions. However, the presence of the
nonhomogeneous Dirichlet boundary conditions implies that these estimators
contains a non-local term, so we propose modifications of it that lead to reliable
estimators that are locally efficient except in those elements with a node or a
side on the boundary. Numerical experiments illustrating the performance of
the a posteriori error estimators are provided.
Bibliografı́a
[1] T.P. Barrios, G.N. Gatica. An augmented mixed finite element method with Lagrange
multipliers: A priori and a posteriori error analyses. Journal of Computational and
Applied Mathematics, vol. 200, 2, (2007), pp. 653-676,
[2] T.P. Barrios, G.N. Gatica, M. González, N. Heuer. A residual based a posteriori error
estimator for an augmented mixed finite element method in linear elasticity, ESAIM:
Mathematical Modelling and Numerical Analysis, vol. 40, 5, (2006), pp. 843-869.
[3] T.P. Barrios, E. M. Behrens, M. González. A posteriori error analysis of an augmented
mixed formulation in linear elasticity with mixed and Dirichlet boundary conditions.
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 200, (2011), pp. 101113.
151
Optimal error estimates for a viscosity-splitting
scheme in time and finite elements in space for
the three-dimensional Navier-Stokes equations
M.V. Redondo Neble
Dpto. de Matemáticas. Universidad de Cádiz
[email protected]
Dpto. EDAN. Universidad de Sevilla
[email protected]
Resumen
This work is devoted to obtain optimal error estimates (for the velocity and
the pressure) for a first-order time discrete splitting scheme (using decomposition of the viscosity) and finite elements in space, for solving the incompressible
Navier-Stokes equations in three-dimensional domains.
This scheme has been previously studied by other authors [1, 2] but the
main novelty now is to establish optimal error estimates for the pressure. This
behavior had been numerically observed, but never hitherto proved. Moreover,
owing to the introduction of a weight for the initial steps, these optimal error
estimates are obtained without imposing either constraints on the time step or
global compatibility conditions for the pressure at the initial time (related to
further regularity hypotheses on the exact solution). The main results of this
work were announced (without proofs) in [3], but imposing regularity hypothesis
related to non-local compatibility conditions on the data.
In [4] optimal first order error estimates (for velocity and pressure) for the
corresponding time discrete scheme were obtained. Now, the extension to fullydiscrete schemes by using C 0 finite element approximations is treated. We will
use the time discrete scheme as an auxiliary problem to study the fully discrete
finite element scheme, obtaining first order error estimates for the velocity and
pressure in the norms of H 1 (Ω) and L2 (Ω) respectively, under the constraint
h ≤ C k, where k and h are the time step and the mesh size, respectively.
Bibliografı́a
[1] J. Blasco, R. Codina, A. Huerta A fractional-step method for the incompressible NavierStokes equations related to a predictor-multicorrector algorithm. Int. J. Num. Meth. in
Fluids, 28 (1997), 1391-1419.
[2] J. Blasco, R Codina. Error estimates for an operator-splitting method for incompressible
flows. Appl. Num. Math., 51 (2004), 1-17.
[3] F. Guillén-González, M.V. Redondo-Neble. Sharp error estimates for a fractional-step
method applied to the 3D Navier-Stokes equations C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345
(2007), 359-362.
[4] F. Guillen-Gonzalez, M.V. Redondo-Neble. New error estimates for a viscosity-splitting
scheme for the three-dimensional Navier-Stokes equations. IMA Journal of Numerical
Analysis Advance Access published on January 31, 2010. doi:10.1093/imanum/drp039.
152
Comunicaciones
Estabilidad y convergencia del método LDG
para problemas de contorno con condiciones
mixtas para la ecuación de Helmholtz
V. Domı́nguez
Dpto. de Ingenierı́a Matemática e Informática, Universidad Pública de Navarra
[email protected]
T.P. Barrios
Dpto. de Matemática y Fı́sica Aplicadas, Universidad Católica de la Santı́sima
Concepción, Concepción, Chile
[email protected]
R. Bustinza
Departamento de Ingenierı́a Matemática, Universidad de Concepción,
Concepción, Chile
[email protected]
Resumen
En este trabajo estudiamos la resolución numérica de problemas de contorno
con condiciones mixtas para la ecuación de Helmholtz mediante el método LDG
(local discontinuous Galerkin)[1, 2]. El problema continuo no es coercivo lo que
conlleva que la formulación del método, con sus normas discretas asociadas,
den lugar a formas bilineales no coercivas. Por tanto probar la estabilidad del
método, o incluso la propia existencia de solución numérica, no se puede derivar
mediante la clásica fórmula de elipticidad + propiedad de aproximación de los
espacios discretos.
La técnica para probar la estabilidad es distinta y es una modificación de
las ideas expuestas en el trabajo pionero [3]. Ası́ mostramos que bajo ciertos
requisitos de regularidad para el problema adjunto, problema que toma datos de
frontera homogéneos y términos fuente en L2 , el método LDG tiene una única
solución para un tamaño de la malla suficiente pequeño, tamaño que depende
del número de onda. Esta dependencia se da en dos formas distintas, la propia
magnitud del número de onda y la proximidad de éste a los valores propios
del laplaciano para el mismo problema de contorno. Además, para soluciones
suficientemente regulares, deducimos una estimación del orden de convergencia
que es esencialmente el esperado de las propiedades de aproximación de los
espacios discretos utilizados.
Bibliografı́a
[1] R. Bustinza and G.N. Gatica: A local discontinuous Galerkin method for nonlinear
diffusion problems with mixed boundary conditions. SIAM Journal on Scientific Computing, 26 (2004), 152-177, .
[2] P. Castillo, B. Cockburn, I. Perugia and D. Schötzau: An a priori error analysis of the
local discontinuous Galerkin method for elliptic problems. SIAM Journal on Numerical
Analysis, 38 (2000) 1676-1706.
[3] A.H. Schatz: An observation concerning Ritz-Galerkin methods with indefinite bilinear
forms. Mathematics of Computation, 128 (1974), 959-962.
153
M.Carmen Martı́ Raga, Pep Mulet Mestre
Dptm. de Matemàtica Aplicada, Universitat de València
Resumen
Liu, Osher y Chan introdujeron las reconstrucciones WENO en [6] para mejorar el orden de precisión de las reconstrucciones ENO introducidas por Harten
y coautores en [4] para la obtención de esquemas de captura de ondas de choque de alta resolución (HRSC). En [1], Aràndiga y otros utilizaron la estructura
caracterı́stica de los indicadores de suavidad de Jiang y Shu, propuestos en [5],
para demostrar que, con una elección adecuada de los parámetros involucrados
y para cualquier r ≥ 2, el orden de la reconstrucción WENO, calculada a partir
de un stencil de 2r − 1 nodos, es 2r − 1 en las regiones suaves, incluso cerca
de extremos, mientras que el orden es r, el mismo que obtenemos con la reconstrucción ENO, si la función tiene una discontinuidad en el stencil de 2r − 1
nodos pero es suave al menos en uno de sus substencils.
Borges y otros en [3] y Yamaleev y Carpenter en [7] han desarrollado nuevos
pesos a partir de los indicadores de suavidad de Jiang y Shu con los que se
obtiene también orden máximo y resultan ser menos disipativos y de mayor
resolución que los esquemas WENO clásicos.
En este trabajo usaremos las herramientas desarrolladas en [1, 2] para analizar distintas propuestas de pesos e indicadores de suavidad para obtener esquemas para leyes de conservación de orden máximo.
Sección en el CEDYA 2011: AN: Análisis Numérico y Simulación Numérica
Bibliografı́a
[1] F. Aràndiga, A. Baeza, A. M. Belda and P. Mulet, Analysis of WENO schemes for full
and global accuracy, 2011, aceptado en SINUM.
[2] F. Aràndiga, A. M. Belda, and P. Mulet, Point-Value WENO Multiresolution Applications to Stable Image Compression. J. Sci. Comp., 43(2) (2010), 158-182.
[3] R. Borges, M. Carmona, B. Costa and W.S. Don, An improved weighted essentially
non-oscillatory scheme for hyperbolic conservation laws. J. Comput. Phys., 227 (2008),
3191-3211.
[4] A. Harten, B. Engquist, S. Osher and S. Chakravarthy, Uniformly high-order accurate
essentially nonoscillatory schemes. III. J. Comput. Phys., 71(2) (1987), 231-303.
[5] G.-S. Jiang and C.-W. Shu, Efficient implementation of weighted ENO schemes. J.
Comput. Phys., 126(1) (1996), 202-228.
[6] X.-D. Liu, S.Osher and T. Chan, Weighted essentially non-oscillatory schemes. J. Comput. Phys., 115(1) (1994), 200-212.
[7] N.K. Yamaleev and M.H. Carpenter, A systematic methodology for constructing highorder energy stable WENO schemes. J. Comput. Phys., 228 (2009), 4248-4272.
154
Comunicaciones
Estabilidad de discretizaciones espaciales de la
ecuación de ondas con condiciones de frontera
absorbentes
Isaı́as Alonso Mallo,
Dpto. de Matemática Aplicada, Universidad de Valladolid
[email protected]
Ana M. Portillo
[email protected]
Resumen
El problema puro de valor inicial para la ecuación de ondas aparece frecuentemente en muchos campos de la Matemática Aplicada. Para obtener una aproximación numérica en un dominio acotado, deben añadirse condiciones de contorno adecuadas.
Para ello existen varias posibilidades [3]. En este trabajo consideramos condiciones de frontera absorbentes, que permiten pequeños reflejos hacia el interior
del dominio computacional a cambio de facilidades de implementación y menor
costo computacional.
Las aproximaciones discretas de los problemas ası́ obtenidos pueden estar
mal puestas [5]. Para el caso de ecuaciones de tipo Schrödinger, este tema ha
sido estudiado en [1, 2], mostrando que los problemas semidiscretos en espacio
sufren de una inestabilidad débil que se incrementa con el orden de absorción.
Probamos ahora que un resultado similar es cierto para ecuaciones de ondas
discretizadas en espacio, aunque con mejor comportamiento que el observado
en [1, 2]. Obtenemos los resultados para las condiciones de frontera absorbentes
introducidas en [4], para norma euclı́dea y normas de energı́a. Incluimos órdenes
de absorción hasta 5, con la única restricción de que los problemas sigan siendo
de orden 2 en tiempo.
Bibliografı́a
[1] I. Alonso-Mallo, N. Reguera, Weak Ill-posedness of spatial Discretizations of Absorbing
Boundary Conditions for Schrödinger-type Equations, SIAM J. Numer. Anal. 40 (2002),
134-158.
[2] I. Alonso-Mallo, N. Reguera, Discrete Absorbing Boundary Conditions for Schrödingertype Equations. Construction and Error Analysis, SIAM J. Numer. Anal. 41 (2003),
1824-1850.
[3] T. Hagstrom, New results on absorbing layers and radiation boundary conditions. Topics in computational wave propagation, 1–42, Lect. Notes Comput. Sci. Eng., 31, Springer, Berlin, 2003.
[4] L. Halpern, Absorbing Boundary Conditions for the Discretization Schemes of the OneDimensional Wave Equation, Math. Comput. Volume 38 (1982), 415–429.
[5] L. N. Trefethen, L. Halpern, Well-posedness of one-way wave equations and absorbing
boundary conditions, Math. Comput. 47 (1986), no. 176, 421–435.
155
Convergence to weak solutions for the
Navier-Stokes equations of a stabilized finite
element approximation with dynamic subsales
Santiago Badia
Centre Internacional de Mètodes Numérics en Enginyeria (CIMNE)
[email protected]
Juan Vicente Gutiérrez Santacreu
Dpto. de Matemática Aplicada I, Universidad de Sevilla
[email protected]
Resumen
Even though residual-based stabilized finite element formulations of the (Navier)Stokes equations are typically used in the applied finite element community,
their numerical analysis has been restricted to stability estimates and a priori
error estimates for smooth solutions (see [4]).
These methods are based on the decomposition of the fluid velocity into a
resolvable finite element component plus a modeled sub-grid scale component.
We have analyzed two different sub-grid models. On one hand, we consider
the classical variational multiscale model proposed by Hughes in [5]. Then, we
consider the modification proposed in [2], forcing the sub-grid component to
be L2 -orthogonal to the finite element space. Furthermore, in both cases we
consider a dynamic model for the sub-grid scale (see [3]).
The compactness results in [?, 1] allow us to prove that one can recover a
weak solution of the Navier-Stokes in the sense of Leray and Hopf under minimal
requirements on the initial condition, forcing terms, and domain. Finally, we
investigate if such a solution satisfies an energy estimate.
Bibliografı́a
[1] P. Azèrad, F. Guillén-González. Mathematical justification of the hidrostatic approximation in the primitive equations of geophysical fluid dynamics. SIAM J. Math. Anal.
33 (2001), no. 4, 847-859.
[2] R. Codina. Stabilized finite element approximation of transient incompressible flows
using orthogonal subscales. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 191 (2002), no. 39-40,
4295-4321.
[3] R. Codina, J. Principe, O. Guasch, S. Badia. Time dependent subscales in the stabilized
finite element approximation of incompressible flow problems. Comput. Methods Appl.
Mech. Eng. 196 (2007), 2413-2430.
[4] P. Hansbo, A. Szepessy. A velocity-pressure streamline diffusion finite element method
for the incompressible Navier-Stokes equations, Comput. Methods Appl. Mech. Eng.,
84 (1990), 175-192.
[5] T. J. R. Hughes. Multiscale phenomena: Green’s functions, the Dirichlet-to-Neumann
formulation, subgrid scale models, bubbles and the origins of stabilized methods. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 127 (1995), no. 1-4, 387-401.
[6] J. Simon. Compact sets in Lp (0, T ; B). Ann. Mat. Pura Appl., ser. IV, CXLVI (1987),
65-96.
156
Comunicaciones
Métodos iterativos óptimos para ecuaciones no
lineales usando aproximantes de Padé
E. Martı́nez, A. Cordero, J.L. Hueso, J.R. Torregrosa
Instituto de Matemática Multidisciplinar,
Instituto de Matemática Pura y Aplicada,
Universitat Politècnica de València
[email protected],
Resumen
En este artı́culo, presentamos una nueva familia de métodos iterativos para
la resolución de una ecuación no lineal, f (x) = 0, utilizando aproximantes de
Padé. Partimos de un método óptimo de orden 8, (véase [1]),
zn
=
un
=
wn
=
f (xn ) f (xn ) − f (yn )
,
f ′ (xn ) f (xn ) − 2f (yn )
2
f (zn )
f (xn ) − f (yn )
1
f (zn )
,
+
zn − ′
f (xn ) f (xn ) − 2f (yn ) 2 f (yn ) − 2f (zn )
f (zn )
3(β2 + β3 )(un − zn )
un − ′
,
f (xn ) β1 (un − zn ) + β2 (yn − xn ) + β3 (zn − xn )
xn −
donde yn es un paso de Newton, β1 ∈ R y β2 + β3 6= 0.
Mejoramos esta aproximación del siguiente modo:
vn = wn −
f (wn )
,
f ′ (wn )
(33)
obteniendo una familia de métodos de orden 16. Para mantener la optimalidad
la idea es sustituir la derivada f ′ (wn ) por un aproximante de Padé que sólo
utilice valores ya calculados de las funciones. Ésta tiene la forma
m(t) =
a + b(t − xn ) + c(t − xn )2 + d(t − xn )3
,
1 + e(t − xn )
donde los coeficientes se determinan según la siguientes condiciones:
m(xn ) = f (xn ), m′ (xn ) = f ′ (xn ), m(yn ) = f (yn ), m(zn ) = f (zn ), m(wn ) = f (wn ).
Tomando m′ (wn ) como aproximación de f ′ (wn ) en (33), demostramos que la
familia de métodos iterativos tiene orden de convergencia 16 y realiza 5 evaluaciones funcionales. Por lo tanto, son óptimos en el sentido que conjeturan Kung
y Traub, [2], alcanzando un ı́ndice de eficiencia de 1,7411.
Bibliografı́a
[1] A. Cordero, J. R. Torregrosa, M. P. Vassileva, Three-step iterative methods with optimal
eighth-order convergence, JCAM, In Press, doi:10.1016/j.cam.2011.01.004.
[2] H.T. Kung, J.F. Traub, Optimal order of one-point and multi-point iteration, Applied
Mathematics and Computation, 21 (1974) 643-651.
157
Study of linear schemes for a Cahn Hilliard
Diffuse Interface Model
G. Tierra, F. Guillén-González
Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, Universidad
de Sevilla
Resumen
d
Let Ω ∈ R , d = 2, 3 a bounded domain with boundary ∂Ω. The Cahn-Hilliard
model reads,

1 ′


 φt = ∆w, w = −∆φ + 2 F (φ) in Ω × (0, T )
ε

∂w
∂φ


= 0,
=0
in ∂Ω
∂n
∂n
where F (φ) is a of double well potential and ε is a small parameter known as
’interaction length’. This problem verifies the following energy law
Z
Z
Z
d 1
1
|∇w|2 = 0
F
(φ)
+
|∇φ|2 +
2
dt 2 Ω
Ω
Ω ε
and was originally introduced by Cahn and Hilliard to describe the complicated
phase separation and coarsening phenomena in a solid where only two different
concentration phases can exist stably.
This work is devoted to comparing different linear schemes to approximate
the model when we consider the polynomial potential F (φ) = 14 (φ2 − 1)2 . We
have developed two new linear schemes, where the first one is based on introducing a Lagrange multiplier in order to obtain a unconditionally stable linear
scheme. This idea has been previously introduced in [1] to deal with nematic
liquid crystal flows.
Meanwhile, in the second one we have developed a second-order in time
approximation of the potential term following the ideas introduced in [2]. This
scheme is not unconditionally stable in general, but it has been designed in
order to obtain an approximation of the discrete energy law with an error of
order O(k 2 ), where k denotes the time step. A variant of this scheme is also
considered where a numerical dissipation term of order O(k 2 ) is introduced,
preserving the second order approximation in time.
We also present the results of some numerical simulations that we have carried out using these two new schemes and other commonly used linear schemes.
Bibliografı́a
[1] S. Badia, F. Guillén-González, J.V. Gutiérrez-Santacreu Finite element approximation
of nematic liquid crystal flows using a saddle-point structure, Journal of Computational
Physics (2011)
[2] H. Gomez , Thomas J.R. Hughes Provably Unconditionally Stable, Second-order Timeaccurate, Mixed Variational Methods for Phase-field Models, Submitted.
158
Comunicaciones
Application of a nodal collocation approximation
for the multidimensional PL equation to the
three-dimensional Takeda benchmarks.
M. T. Capilla, C. F. Talavera, D. Ginestar
Dpto. de Matemática Aplicada, Univ. Politécnica de Valencia
G. Verdú
Dpto. de Ingenierı́a Quı́mica y Nuclear, Univ. Politécnica de Valencia
[email protected]
Resumen
For the analysis of reactors with complex fuel assemblies or fine mesh applications as pin by pin neutron flux reconstruction, the usual approximation of the
neutron transport equation by the multigroup diffusion equation does not provide good results. A classical approach to solve the neutron transport equation
is to apply the spherical harmonics method obtaining a finite approximation
known as the PL equations.
We review the derivation of the PL equations for multidimensional geometries [1, 2] and we develop a nodal collocation method (NCM) to discretize these
equations on a rectangular mesh based on the expansion of the neutronic fluxes
in terms of orthogonal Legendre polynomials.
In a previous work [2], the performance of the method and the dominant
transport Lambda Modes were obtained for some two-dimensional benchmark
problems. In the present work we compute the dominant transport Lambda
modes for the three-dimensional neutron transport Takeda benchmarks
The following Table shows the keff predictions of the NCM code, for different
angular PL approximations, compared to MCNP4C estimates for the Takeda
benchmark problems 1 and 2. In the NCM code, a fixed mesh size of 5 cm, a
spatial order M = 4 for the expansion in terms of orthogonal Legendre polynomials, and the serendipity approximation were taken for the computations.
Code
NCM P1
NCM P3
NCM P5
MCNP4C
Problem 1
Case 1
Case 2
0.92895 0.93245
0.97224 0.96013
0.97601 0.96115
0.97763 0.96221
Problem 2
Case 1
Case 2
0.96819 0.95351
0.97240 0.95831
0.97247 0.95843
0.97362 0.95985
Bibliografı́a
[1] A. Hébert. Development of the nodal collocation method for solving the neutron diffusion
equation. Ann. Nucl. Energ., 14(10) (1987), 527–541.
[2] M. Capilla, C. F. Talavera, D. Ginestar, G. Verdú. A nodal collocation approximation
for the multidimensional PL equations–2D applications. Ann. Nucl. Energ. 35 (2008),
1820–1830.
159
Efficient multigrid finite element methods on
semi-structured grids
F.J. Gaspar, F.J. Lisbona
Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Zaragoza
C. Rodrigo
Centro Universitario de la Defensa. Universidad de Zaragoza
[email protected]
Abstract
Finite element methods are one of the most popular techniques for solving
numerically elliptic partial differential equations (PDEs), because their flexibility to handle unstructured meshes. By other hand, geometric multigrid algorithms are among the most efficient methods for solving large algebraic systems
arising from discretizations of PDEs, with optimal computational complexity,
taking advantage of the regularity of structured meshes. Thus, our interest lies
in the combination of these techniques by using semi-structured grids which offer a suitable framework for the application of both. Therefore, we are interested
in the design of efficient geometric multigrid methods on semi-structured triangular grids. Assuming that the coarsest grid is rough enough in order to fit the
geometry of the domain, a hierarchy of globally unstructured grids is generated.
Moreover, since the good performance of the method depends on the particular
choice of the components of the algorithm for an individual problem, the local
Fourier analysis on triangular grids, see [1], is used to predict convergence rates
and thus to design suitable components.
This research has been funded by DGA and project MTM 2010-16917.
Bibliografı́a
[1] F.J. Gaspar, J.L. Gracia and F.J. Lisbona, Fourier analysis for multigrid methods on
triangular grids, SIAM J. Sci. Comput., 31 (2009), 2081–2102.
160
Comunicaciones
Full-Multigrid (FMG): the most efficient
multigrid algorithm
C. Rodrigo
Centro Universitario de la Defensa. Universidad de Zaragoza
[email protected]
F.J. Gaspar, C.W. Oosterlee, I. Yavneh
Abstract
In order to accelerate iterative solution procedures, the use of hierarchies
of computational grids of various resolutions is a well-known technique. Multigrid algorithms are among this kind of methods, and they have become one of
the most efficient numerical techniques for solving the algebraic linear equation
systems arising from the discretization of PDEs. By other hand, the obtention of a good initial approximation can benefit the performance of iterative
methods. The construction of such an approximation by means of inexpensive
computations on coarser grids is known as nested iteration. The combination of
nested iteration and multigrid computational techniques yields the so-called full
multigrid algorithm. FMG is the most efficient approach to multigrid methods,
since it is considered to be asymptotically optimal, that is, the number of arithmetic operations required is proportional to the number of grid points, with
only a small constant of proportionality. The goal of the FMG algorithm should
be to yield a numerical solution whose error is comparable to the discretization
error. Typically, the common lore states that one or two multigrid cycles are
sufficient to reach such discretization accuracy. However, the key question then
is whether the solution obtained by this algorithm is “sufficiently accurate”, and
in practice, it may be quite difficult to assess whether the FMG solution indeed
yields discretization-level accuracy. This notion was formalized in [1] by defining
a worst-case relative accuracy measure, denoted EFℓ MG , which compares the total error of the ℓ-level FMG solution against the inherent discretization error.
This measure can be used for tuning algorithmic components so as to obtain
discretization-level accuracy. In this work, local Fourier analysis framework for
FMG is also developed for estimating EFℓ MG , resulting in a tool which yields,
a-priori, valuable insights into the various components of the FMG algorithm
and their effect on the final relative accuracy.
Bibliografı́a
[1] C. Rodrigo, F.J. Gaspar, C.W. Oosterlee, and I. Yavneh Accuracy Measures and Fourier
Analysis for the Full Multigrid Algorithm. SIAM J. Sci. Comput., 32 (2010), 3108-3129.
161
Linear second order schemes for liquid crystals
models
Dpto. EDAN. Universidad de Sevilla. Aptdo. 1160, 41080 Sevilla (Spain)
[email protected]
Resumen
Liquid crystal are intermediate phases between liquids and solids, where there
exists a partial order in the molecules. Then, the macroscopic-microscopic interaction is modeled by the velocity-pressure formulation of incompressible fluids
for the macroscopic part plus a vectorial gradient flow formulation verified by
the so-called order parameter for the microscopic part. The fully coupled model
verifies a dissipative energy law.
This work is devoted to study a second-order in time linear schemes and
finite elements in space, for solving nematic and smectic liquid crystal models.
These scheme are conditionally stable (verifying a discrete energy law) with a
residual also of second order in time.
Other schemes have been previously studied, either first-order schemes [2,
3, 1] or second order one [4, 1]. We will compare our new scheme with these
previous ones, from the analytical and numerical points of view.
Bibliografı́a
[1] S. Badia, F. Guillén-González, J.V. Gutiérrez-Santacreu Finite element approximation
of nematic liquid crystal flows using a saddle-point structure. Journal of Computational
Physics 230 (2011) 1686-1706.
[2] R. Becker, X. Feng, A. Prohl Finite element approximations of the Ericksen-Leslie
model for nematic liquid crystal flow. SIAM J. Numer. Anal. 46 (2008), no. 4, 17041731.
[3] F. Guillén-González, J.V. Gutiérrez-Santacreu. A linear mixed finite element scheme
for a nematic Ericksen-Leslie liquid crystal model. Submitted.
[4] P. Lin, C. Liu. Simulations of singularity dynamics in liquid crystal flows: A C 0 finite
element approach. Journal of Computational Physics 215 (2006) No 2, 1411-1427.
162
Comunicaciones
Un modelo de control óptimo para
quimioterapia
Enrique Fernández-Cara, Gema Camacho
M. Carmen Calzada, Mercedes Marı́n
Dpto. de Informática y Análisis Numérico, Universidad de Córdoba
Resumen
En los últimos años han aparecido diferentes modelos que simulan la administración de terapias en el tratamiento de tumores. La mayorı́a de ellos
vienen descritos por ecuaciones diferenciales ordinarias ya que se supone que
los fenómenos implicados son homogéneos en espacio [2].
En [1] los autores presentan la resolución numérica de un modelo que simula
el crecimiento de un tumor necrótico en fase avascular-vascular y que se formula
como un problema de frontera libre expresado mediante ecuaciones en derivadas
parciales.
En esta comunicación mostramos cómo puede incorporarse a dicho modelo
la acción de un agente quimioterapeútico que actúa eliminando las células tumorales. A partir de aquı́, se plantea y se resuelve un problema de control óptimo
para determinar qué dosificación de la terapia administrada consigue minimizar el tamaño final del tumor. Primero se plantea el problema considerando un
número dado de ciclos de tratamiento en tiempos previamente fijados, en este
caso la variable de control viene dada por la velocidad con que se administra
el medicamento. Posteriormente, se plantea un nuevo problema en el que los
tiempos de administración son variables.
En ambos casos se consideran restricciones con objeto de minimizar los efectos tóxicos que el tratamiento puede producir en el paciente.
Se presentan resultados obtenidos simulando la administración de diferentes
agentes quimioterapeúticos.
Bibliografı́a
[1] M.C. Calzada, G. Camacho. E. Fernández-Cara, M. Marı́n, Fictitious domains and level
sets for moving boundary problems. Applications to the numerical simulation of tumor
growth. Journal of Computational Physics, 230(4), (2011), 1335-1358.
[2] M. Engelhart, D. Lebiedz, S. Sager, Optimal control for selected cancer chemotherapy
ODE models: A view on the potential of optimal schedules and choice of objective
function. Mathematical Biosciences, 229 (2011) 123-134.
163
Aislamiento de estructuras coherentes para la
ecuación BBM discretizada mediante elementos
finitos
Nuria Reguera
Dpto. de Matemática y Computación, Universidad de Burgos
[email protected]
Isaı́as Alonso-Mallo, Ángel Durán
Resumen
Nos ocupamos, desde un punto de vista numérico, de la generación y persistencia bajo perturbaciones de estructuras coherentes asociadas a ciertas ecuaciones en derivadas parciales que aparecen en muchos modelos de fluidos y plasmas
[5].
Un punto importante es la posibilidad de analizar en detalle las estructuras
que emergen bajo perturbaciones de perfiles iniciales y que están sometidas a
pequeñas turbulencias, en forma de colas dispersivas, estructuras no lineales
menores, ruido aleatorio, etc. Las técnicas numéricas de aislamiento del perfil
utilizadas en [4, 3] tienen en cuenta el carácter local de la base utilizada en la
discretización en espacio. En este trabajo, establecemos un diseño más dinámico
del proceso, que tenga en cuenta la formación de las estructuras para seleccionar
el momento en que se inicie la limpieza de las turbulencias y la amplitud del
intervalo de limpieza.
Consideramos el caso de la ecuación BBM con condiciones de frontera periódicas. La discretización espacial elegida está basada en elementos finitos cúbicos
de Hermite [1, 2]. Nuestros experimentos numéricos confirman que se obtienen
buenos resultados tanto para el caso de un solitón inicial perturbado como para
el caso de dos solitones iniciales con velocidades distintas que se cruzan al cabo
de cierto tiempo.
Bibliografı́a
[1] I. Alonso-Mallo, A, Durán & N. Reguera Simulation of coherent structures in nonlinear
Schrödinger-type equations J. Comput. Phys. 229 (2010), no. 21, 8180-8198
[2] I. Alonso-Mallo & N. Reguera, A high order finite element discretization with local
absorbing boundary conditions of the linear Schrödinger equation, J. Comput. Phys.
220, 2006, no. 1, 409–421.
[3] J. Bona, V. Dougalis & D. Mitsotakis, Numerical solution of KdV-KdV systems of
Boussinesq equations: I. The numerical scheme and generalized solitary waves, Mat.
Comp. Simul., 74(2007), 214-228.
[4] V. Dougalis, A. Durán, M. A. López-Marcos, D. Mitsotakis, A numerical study of the
stability of solitary waves of the Bona-Smith family of Boussinesq systems, J. Nonlinear
Sci, 17 (2007), 569-607.
[5] A. Scott, Nonlinear Science, Emergence and Dynamics of Coherent Structures, Oxford
University Press, Oxford, 1999.
164
Comunicaciones
Actualización Adaptativa de un
Precondicionador para la resolución de la
ecuación de la difusión neutrónica dependiente
del tiempo
González-Pintor, S., Verdú, G.
Dpto. de Ingnierı́a Quı́mica y Nuclear, Universidad Politécnica de Valencia
Ginestar D.
Dpto. de Matemática Aplicada, Universidad Politécnica de Valencia
[email protected]
Resumen
Existen determinadas circunstancias en las que surge de forma natural el
problema de resolver una secuencia de sistemas lineales del tipo
A(i) x(i) = b(i) ,
i = 1, . . . ,
(34)
donde las matrices de coeficientes del sistema están próximas. Un caso particular
de este problema surge en la integración de ecuaciones en derivadas parciales,
como la ecuación de la difusión neutrónica dependiente del tiempo. Tras la
discretización de la parte espacial y temporal de las ecuaciones, se obtiene una
serie de sistemas de ecuaciones que deben ser resueltos. Estos sistemas tienen
una matriz de coeficientes que, para muchos transitorios de interés, varı́a de
forma continua con el tiempo y la matriz de coeficientes de un sistema dado
está muy cerca de la matriz que se utiliza para resolver el sistema siguiente.
Debido al gran coste computacional de construir un precondicionador, a veces es
interesante una estrategia que opte por actualizar un precondicionador existente
calculado anteriormente.
En este trabajo se comparan diferentes estrategias para actualizar un precondicionador cuando la matriz del sistema a resolver está cerca de la matriz
para la cual se construyó el precondicionador. Además, esto se hará de forma
que para resolver el sistema no se disponga de la matriz de forma explı́cita, pero
si el resultado del producto matriz-vector. Esto es útil cuando la contrucción
explı́cita de la matriz puede ser prohibitivo desde el punto de vista computacional y del consumo de memoria.
La comparación de las distintas estrategias estudiadas se realizará para un
transitorio tipico asociado a un reactor nuclear de tipo VVER.
Sección en el CEDYA 2011: ALAMA
Bibliografı́a
[1] ML. Parks, E. de Sturler, G. Mackey, DD. Johnson, S. Maiti , Recycling Krylov Subspaces for Sequences of Linear Systems SIAM J. Sci. Comput. 28, (2007) 1651-1674.
[2] L. Giraud, S. Gratton, E. Martin, Incremental spectral preconditioners for sequences of
linear systems, Applied Numerical Mathematics, 57 (11-12), (2007), 1164-1180.
[3] J. Simon. Compact sets in Lp(0,T;B). Ann. Mat. Pura Appl., ser. IV, CXLVI (1987),
65-96.
165
Reconstrucción de los flujos Runge-Kutta en
esquemas centrados de alto orden que resuelven
sistemas hiperbólicos no homogéneos
M.T. Capilla, A. Balaguer-Beser, Ll. Gascón
Resumen
La principal dificultad que aparece en la resolución de los sistemas de leyes
de conservación hiperbólica se encuentra en la reconstrucción de las discontinuidades que aparecen en la solución, incluso cuando las condiciones iniciales son
funciones continuas. En Balaguer y Conde [1] se presenta un nuevo algoritmo
de reconstrucción de orden 4 que puede ser aplicado tanto en los esquemas tipo
upwind como en los esquemas de tipo centrado, los cuales usan un desarrollo en
serie de Taylor para aproximar las integrales respecto a la variable tiempo. La
extensión desde una sóla ecuación a sistemas en esquemas tipo upwind requiere
el conocimiento de la estructura del sistema. En el caso de los esquemas centrados la extensión puede realizarse componente a componente usando un método
Runge-Kutta con una extensión natural continua.
En este trabajo se presenta una extensión de los esquemas desarrollados en
[1] para resolver sistemas hiperbólicos con término fuente. En dicha extensión
se han usado las ideas que Gascón y Corberán [3] desarrollaron para esquemas
upwind de orden inferior a 4. En el caso de los esquemas centrados, la metodologı́a desarrollada en [3] se aplica en la reconstrucción de los flujos Runge-Kutta
para el cálculo de la solución en instantes intermedios. Se han comparado los
resultados obtenidos mediante esquemas upwind y centrados de orden 4 en la
resolución de algunos problemas basados en las ecuaciones de aguas someras
con fondo no plano, como los descritos en Capilla y Balaguer-Beser [2]. Se ha
analizado el orden del esquema ası́ como sus propiedades no oscilatorias y preservación de estados estacionarios, comparando los resultados numéricos con los
obtenidos usando los esquemas decritos en [2].
Agradecimientos: Universidad Politécnica de Valencia (PAID-06-10).
Bibliografı́a
[1] A. Balaguer, C. Conde, “Fourth-Order Nonoscilatory Upwind and Central Schemes for
Hyperbolic Conservation Laws”, SIAM Journal on Numerical Analysis, 43 (2), 455-473,
2006.
[2] M.T. Capilla, A. Balaguer-Beser, “High-Order Non-Oscillatory Central Schemes for
Shallow Water Equations”, en B.H.V. Topping, J.M. Adam, F.J. Pallarés, R. Bru, M.L.
Romero, (editores), ”Proceedings of the Seventh International Conference on Engineering Computational Technology”, Civil-Comp Press, Stirlingshire, UK, Paper 165, 2010.
doi:10.4203/ccp.94.165.
[3] Ll. Gascón, J.M. Corberán, “Construction of second-order TVD schemes for nonhomogeneous hyperbolic conservation laws”, Journal of computational physics, 172, 261-297,
2001.
166
Comunicaciones
Staggered Discretization for Dual Minimization
in Image Processing
J.F. Garamendi1 , F.J. Gaspar2 , N. Malpica3 , E. Schiavi4
1
Centro de Tecnologı́a Biomédica. Universidad Politécnica de Madrid
2
Dpto. de Matemática Aplicada, Universidad de Zaragoza
3
Dpto. de Tecnologı́a Electrónica. Universidad Rey Juan Carlos
4
Dpto. de Matemática Aplicada. Universidad Rey Juan Carlos
[email protected]
Resumen
The well known Rudin-Osher-Fatemi (ROF) model for image processing is naturally extended to vector valued images, by Bresson et al. [1], as follows:
Z
Z
1
2
¯
|Dū| +
inf J(ū) :=
|ū − f | dx
(35)
ū
2λ Ω
Ω
where f¯ ∈ L∞ (Ω; IRM ), f¯ := (f1 , .., fM ) is the given (noisy) vector valued
image, Ω ⊂ IRd is an open, bounded domain (usually a hyper-cube) and M
is the number of channels. If the dual formulation of the VTV norm of the
variational model is considered as in [1], following calculus of variations, the
Euler-Lagrange system of equation that provide the necessary condition for
optimality is
∇ λ∇ · p − f¯ − ∇(λ∇ · p − f¯) p = 0
(36)
where p=(p̄1 , p̄2 , ..., p̄M )T is a matrix with p̄i = (pi1 , .., pid ), i = 1..M , denoting
the different channels and ū = f¯ − λ∇·p, ∇· is the divergence operator and ∇
is the gradient operator.
In this dual framework, see [1], a semi-implicit gradient descent scheme is
proposed to solve the parabolic partial differential equation associated to (36).
Although this numerical scheme is straightforward to implement and faster than
primal approximations, it inherits the disadvantages of descent methods.
In this talk we will discuss non-staggered and staggered discretizations of
the partial differential system of equations (36). The computational issues are
compared to the descent method proposed in [1]. Finally, we show examples in
real images from medical imaging problems.
This research has been funded by the Proyect TEC2009-14587-C03-03 and
by the Alztools I+D proyect funded by the Ministerio de Industria, Turismo y
Comercio dentro del Plan de Investigación Cientı́fica, Desarrollo e Innovación
Tecnológica 2008-2011 y el Fondo de Desarrollo Regional FEDER.
Bibliografı́a
[1] Xavier Bresson, Tony F. Chan. Fast dual minimization of the vectorial total variation norm and applications to color image processing, Inverse Problems and Imaging.
2(2008), 455-484.
167
Una formulación Galerkin discontinua
estabilizada para el problema de Stokes en
velocidad y pseudo-esfuerzo
Rommel Bustinza
Dpto. de Ingenierı́a Matemática, Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas,
Universidad de Concepción, Casilla 160-C, Concepción, Chile
[email protected]
Tomás P. Barrios
Dpto. de Matemática y Fı́sica Aplicadas, Universidad Católica de la Santı́sima
Concepción, Casilla 297, Concepción, Chile
[email protected]
Resumen
En este trabajo presentamos una formulación de Galerkin discontinua (ver
[1] para una descripción general del método) estabilizada para el problema de
Stokes estacionario, siguiendo las ideas dadas en [2] y [3]. Para ello, en vez
de analizar la clásica formulación velocidad-presión, procedemos como en [4]
(ver también [5]), y “eliminamos” la incógnita presión del modelo, expresándola
en términos de otra incógnita auxiliar: el pseudo-esfuerzo. De esta manera es
posible obtener una formulación de Galerkin discontinua en velocidad y pseudoesfuerzo, que después es aumentada con términos de mı́nimos cuadrados, con
el fin de tener más libertad en la elección de los espacios de aproximación.
El análisis respectivo permite garantizar existencia y unicidad de la solución
del esquema discreto, ası́ como la convergencia del método con el orden óptimo (respecto a la versión h). Para finalizar, mostramos una serie de ejemplos
numéricos que exhiben el cumplimiento de los resultados establecidos. Además,
proponemos un postproceso barato para recuperar aproximaciones tanto para
la presión como para el gradiente de velocidad, las cuales se observan convergen
con la tasa esperada.
Bibliografı́a
[1] D.N. Arnold, F. Brezzi, B. Cockburn, L.D. Marini: Unified analysis of dicontinuous
Galerkin methods for elliptic problems. SIAM Journal on Numerical Analysis, vol. 39,
5, pp. 1749-1779, (2001).
[2] T.P. Barrios and R. Bustinza: A priori and a posteriori error analyses of an augmented discontinuous Galerkin formulation. IMA Journal of Numerical Analysis, vol
30, 4, pp. 987-1008, (2010).
[3] T.P. Barrios and R. Bustinza: An a posteriori error analysis of an augmented discontinuous Galerkin formulation for Darcy flow. Preprint 08-18, Departamento de Ingenierı́a Matemática, Universidad de Concepción, (2008).
[4] Z. Cai, C. Tong, P.S. Vassilevski, and C. Wang. Mixed finite element methods
for incompressible flow: Stationary Stokes equations. Numerical Methods for Partial
Differential Equations, vol. 26, pp. 957-978, (2010).
[5] G.N. Gatica, A. Márquez, and M.A. Sánchez: Analysis of a velocity-pressure-pseudostress
formulation for the stationary Stokes equations. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 199, 17-20, pp. 1064-1079, (2010).
168
Comunicaciones
Solidificación de aleaciones metálicas bajo la
influencia de campos magnéticos
R. C. Cabrales
Grupo de Matemáticas Aplicadas,
Departamento de Ciencias Básicas, Facultad de Ciencias,
Universidad del Bı́o-Bı́o, Campus Fernando May S/N,
Chillán, Chile.
[email protected]
Resumen
El concepto de macrosegregación hace referencia a variaciones espaciales en la
composición de una aleación metálica. Talas variaciones traen consecuencias
no deseadas en las propiedades y respuestas del material obtenido mediante
solidificación. Por lo tanto, es necesario su estudio y comprensión, para encontrar mecanı́smos que la eviten, o al menos, la mantengan en un nivel tolerado
por el diseño industrial. Uno de tales mecanismos es la aplicación de campos
magnéticos.
En este trabajo, presentamos un algoritmo numérico basado en elementos
finitos para estudiar la evolución de la solidificación de aleaciones metálicas, al
ser sometidas a la acción de un campo magnético. Las ecuaciones que modelan
este fenómeno están basadas en ecuaciones promediadas de conservación de momento, calor y de masa, junto varias relaciones termodinámicas que completan
el sistema de ecuaciones. Son presentados diversos experimentos numéricos para
comprobar la implementación del método y explorar su capacidad de resolver
problemas de interés práctico.
Bibliografı́a
[1] N. Ahmad, H. Combeau, J.-L. Desbiolles, T. Jalanti, G. Lesoult, J. Rappaz, M. Rappaz and C. Stomp- Numerical Simulation of macrosegregation: a comparison between
finite volume method and finite element method predictions and a confrontation with
experiments. Metallurgical and materials transactions A. 29A (1998) 617-630.
[2] D. Samantha, N. Zabaras, Control of macrosegregation during the solidification of alloys
using magnetic fields. International Journal of Heat and mass transfer 49 (2006) 48504866.
[3] Y. Safa, M. Flueck, J. Rappaz, Numerical simulation of thermal problems coupled with
magnetohydrodynamic effects in aluminium cell. Applied Mathematical Modelling 33
(2009) 1479-1492.
169
Aproximación del problema de Stokes
hidrostático en mallas no estructuradas
R. Rodrı́guez Galván
Dpto. de Matemáticas, Universidad de Cádiz
[email protected]
[email protected]
Resumen
La dinámica de fluidos en dominios oceánicos, donde la razón entre su longitud vertical y sus medidas horizontales es pequeña, ε, se puede describir por las
ecuaciones de Stokes anisótropas [1], que reescritas en un dominio adimensional convergen cuando ε → 0 al problema de Stokes con restricción hidrostática
∂z p = 0.
Este sistema de EDP se suele transformar en un problema integro-diferencial
denominado Ecuaciones Primitivas del Océano que presenta dos ventajas: la
presión se reduce a una variable N − 1 dimensional (definida en la superficie,
S) y la velocidad vertical puede calcularse de forma explı́cita. Sin embargo,
su aproximación en espacio mediante elementos finitos no es sencilla, salvo en
mallas que tengan una fuerte estructura en la variable vertical [2].
En este trabajo se presentan algunos esquemas que permiten resolver directamente el problema de Navier-Stokes Hidrostático en mallas no estructuradas,
basados en la introducción, en la discretización espacial, de un multiplicador de
Lagrange asociado a la restricción hidrostática. Esta discretización se conjuga
tanto con aproximaciones en tiempo por diferencias finitas tipo Euler como con
esquemas splitting basados en métodos de proyección incremental.
Los experimentos numéricos realizados nos permiten extraer conclusiones de
estabilidad y de estimación numérica del orden de aproximación.
Bibliografı́a
[1] O. Besson, M.R. Laydi. Some estimates for the anisotropic navier-stokes equations and
for the hydrostatic approximation, Math. Mod. and Num. Anal, Vol. 26(7):855–865,
1992.
[2] T. Chacón Rebollo, F. Guillén González. An intrinsic analysis of the hydrostatic approximation of navier-stokes equations, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I(330):841–846,
2000.
170
Comunicaciones
Asimilación de Datos en un Modelo de
Simulación de Incendios
J. M. Cascón
Dpto. de Economı́a e Historia Económica, Universidad de Salamanca
[email protected]
M. I. Asensio, L. Ferragut, D. Prieto
Dpto. de Matemática Aplicada, Universidad de Salamanca
Resumen
En este trabajo incorporamos técnicas de asimilación de datos, basadas en el
Filtro de Kalman, a los modelos de incendios forestales desarrollados por nuestro
grupo. Para la integración de los datos con el correspondiente modelo no-lineal
usamos la variante conjuntista del Filtro de Kalman (Ensembled Kalman Filter).
Los datos asimilados corresponden a mediciones de temperatura y combustible
en determinados instantes de tiempo y posiciones del dominio. Los ejemplos
numéricos muestran que este procedimiento permite corregir las aproximaciones obtenidas por el módelo proporcionando simulaciones mas realistas, incluso
cuando existen importantes errores en la localización del foco inicial. El proceso
es implementado de forma eficiente utilizando técnicas de cálculo paralelo.
Bibliografı́a
[1] M. I. Asensio, L. Ferragut, On a Widland fire model with radiation. Int. J. Num. Methods Eng. 54 (2002), 137-157.
[2] G. Evensen. Data assimilation, The Ensemble Kalman Filter. Springer, 2009.
[3] J. Mandel, L. Beneethum, J. Beezley, J. Coen, C. Douglas, M. Kim, A. Vodacek. A
Wildfire Model with Data Assimilation. Math. Comput. Simulation 79 (2008), no. 3,
584-606.
171
Un método numérico nuevo para
un problema de interacción fluido–sólido lineal
Marı́a González Taboada, Virginia Selgas
Resumen
Consideramos el problema de interacción fluido–sólido lineal estudiado en
[1], que consiste en las ecuaciones de Stokes transitorias acopladas con las de
la elastodinámica. Suponemos que el dominio fluido y el sólido tienen una frontera común de medida no nula que permanece fija; además, asumimos que la
velocidad y las tensiones normales son continuas a través de esta interfaz.
Siguiendo las ideas de [2], deducimos una nueva formulación para este problema, escrita en términos de la velocidad (tanto en el fluido como en el sólido) y
de la presión en el fluido. Para la dicretización en tiempo, utilizamos el método
de Euler implı́cito. Para la discretización espacial, es posible emplear cualquier
par estable para el problema de Stokes en el fluido y elementos finitos compatibles en el sólido. Los desplazamientos en el fluido pueden recuperarse a partir de
la velocidad estructural mediante una fórmula de cuadratura. El nuevo esquema
es fácil de implementar y permite obtener órdenes de convergencia óptimos.
Presentaremos resultados numéricos para el caso en que se emplea el minielemento en el dominio fluido y elementos continuos y afines a trozos en el
dominio sólido. Estos resultados permiten constatar las buenas propiedades de
convergencia de este nuevo esquema.
Bibliografı́a
[1] Q. Du, M.D. Gunzburger, L.S. Hou and J. Lee, Semidiscrete finite element approximations of a linear fluid–structure interaction problem, SIAM J. Numer. Anal., vol. 42
(2004), 1-29.
[2] O. Kayser–Herold and H.G. Matthies, A unified least–squares formulation for fluid–
structure interaction problems, Computers and Structures, vol. 85 (2007), 998-1011.
172
Comunicaciones
Finite difference approximation for poroelastic
waves
BOAL, N., GASPAR, F.J., LISBONA, F.J.
Dpto. de Matemática Aplicada, Univ. de Zaragoza
VABISHCHEVICH, P.N.
Keldysh Institute of Applied Mathematics, Moscow, Russia
[email protected]
Resumen
The mathematical equations governing the dynamic behavior of fully saturated
porous media were provided in 1956 by M. A. Biot [1] as a simple extension of
his earlier work on quasi-static case, using as variables the displacements of the
solid phase and the fluid displacement relative to the solid phase. However, for
problems in which high-frequency components are absent a simple and economical formulation based on the displacements of the solid phase u(x, t) and the
poro pressure p(x, t) as the essential variables was formulated by Zienkiewicz et
al [2]. This model is called u − p formulation. Let Ω be a domain in Rn , n ≤ 3,
occupied by an elastic, porous and permeable matrix of density ρ, saturated
by a viscous and slightly compressible fluid. The governing equations are then
given by the system of equations
ρ
∂ 2u
− µ∆u − (λ + µ)∇(∇ · u) + α ∇ p = g(x, t),
∂t2
∂
κ
(γ p + α∇ · u) − ∇ ·
∇p
= f (x, t),
∂t
η
x ∈ Ω, 0 < t < T,
where λ and µ are the Lamé coefficients; γ = nγ̃, with n the porosity and γ̃
the compressibility coefficient of the fluid; κ is the permeability of the porous
medium, η is the viscosity of the fluid and α is the Biot-Willis constant.
For the numerical approximation of this mixed hyperbolic-parabolic system
we propose a family of three-level finite-difference schemes on staggered grids for
space. A priori estimates in discrete composed norms are obtained, convergence
results are given and numerical experiments confirming the theoretical results
are presented.
Sección en el CEDYA 2011:AN
Bibliografı́a
[1] Biot M., General solutions of the equation of elasticity and consolidation for a porous
material, J. Appl. Mech. 78 (1956), 91-96.
[2] Zienkiewicz O.C., Chang C.T., and Bettes P., Drained undrained consolidating and
dynamic behaviour assumptions in soils, Geotechnique 30 4 (1980), 385-395.
173
Una aproximación continua de un método
FETI-DP mortero aplicado al problema de
Stokes
Daniel Franco Coronil, Eliseo Chacón Vera
Dpto. de Estadı́stica e Investigación Operativa, Universidad de Valencia
[email protected]
Resumen
En este trabajo presentamos un método FETI-DP mortero aplicado a las
ecuaciones de Stokes para un fluido incompresible. Los flujos normales a través
de las interfaces se sustituyen por la correspondiente representación canónica de
Riesz isométrica; pasando a ser los multiplicadores de Lagrange asociados a la
restricción del salto nulo a traves de las mismas de la solución. Por otro lado el
1/2
mortero se realiza utilizando el producto escalar H00 (Γ) para cada interfaz Γ.
Presentamos una formulación continua que incluye todos estos elementos y que
se demuestra que está bien planteada. Las estimaciones continuas se mantienen
a nivel discreto y no se necesitan términos de estabilización. En este contexto,
resolvemos un problema dual mediante Gradiente Conjugado que tiene un número de condición independiente de la talla de la discretización. Cada problema
dual necesita la resolución de un problema primal que muestran el acoplamiento
entre subdominios vecinos; estos problemas acoplados son resueltos utilizando
Gradiente Conjugado con precondicionamiento. Se puede observar que tomando el precondicionador adecuado son posibles aún cálculos independientes para
cada subdominio y se recupera la estimación estándar optimal en términos de
log(H/h) sólo cuando los puntos de cruce esán presentes. Este trabajo extiende
las ideas introducidas recientemente en [2] y [1] para problemas elı́pticos. Para
validar el método se presentan algunos test numéricos y resultados que avalan
su buena escalabilidad numérica.
Bibliografı́a
[1] C. Bernardi, T. Chacón Rebollo and E. Chacón Vera, A FETI method with a mesh
independent condition number for the iteration matrix. ComputerMethods in Applied
Mechanics and Engineering, Vol. 197/13 − 16 (2008), 1410-1429.
[2] E. Chacón Vera. A continuous framework for FETI-DP with a mesh independent condition number for the dual problem. Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering, Vol. 198/30 − 32 (2009 ), 2470-2483.
174
Comunicaciones
El método de elementos de bases reducidas
aplicado a un problema de bifurcaciones de
Rayleigh-Bénard
Francisco Pla, Henar Herrero
Dpto. de Matemáticas. Facultad de Ciencias Quı́micas, Universidad de
Castilla-La Mancha
Yvon Maday
Laboratoire Jacques-Louis Lions, Analyse Numerique, Université Pierre et
Marie Curie, Paris 6
[email protected]
Resumen
El método de bases reducidas es un método de discretización numérico
idóneo para resolver problemas que dependen de parámetros y juega un papel importante en diversas áreas, de la fı́sica, ingenierı́a o de la mecánica dado
que permite acelerar los cálculos computacionales con bastante precisión. Este
método consiste en aproximar la solución φ(µ) de un problema P(φ(µ); µ) = 0
con parámetro µ, mediante una combinación lineal de soluciones apropiadas ya
calculadas φ(µi ) tal que µi , i = 1, 2, ..., N son parámetros obtenidos mediante
un proceso iterativo de minimización de medidas de Kolmogorov n-with [1, 2].
En este trabajo, se aplica el método de bases reducidas a un problema de
convección de tipo Rayleigh-Bénard en una celda dos dimensional (2D) con
viscosidad constante en el que se consideran las ecuaciones incompresibles de
Bousinesq Navier-Stokes con la ecuación de calor,
0 =
1
(∂t~v + ~v · ∇~v ) =
Pr
∂t θ + ~v · ∇θ =
∇ · ~v ,
R θe~3 − ∇P + ν∆~v ,
∆θ.
Para cada relación de aspecto se presentan múltiples soluciones estables para
diferentes números de Rayleigh que coexisten para mismos valores de parámetros geofı́sicos [3]. El objetivo, es calcular una aproximación a la solución en los
puntos de bifurcación para números de Rayleigh crı́ticos, φ(Rc ). El problema
se resuelve numéricamente mediante el método variacional de Galerkin sobre
expansiones de Chebyshev y se usa el método
de bases reducidas para obtener
PN
las soluciones φ(Ri ) tales que φ(Rc ) ∼ i=1 φ(Ri ).
Sección en el CEDYA 2011: EDP, AN
175
Bibliografı́a
[1] Y. Maday, A.T. Patera andG. Turinici. Convergence theory for reduced-basis approximations of single-parameter elliptic partial differential equations, J. Sci. Comput. 17
(2002), no. 1-4, 437-446.
[2] C. Prud’homme, D.V. Rovas, K. Veroy, L. Machiels, Y. Maday, A.T. Patera and G. Turinici. Reliable real-time solution of parametrized partial differential equations: Reducedbasis output bound methods. Journal of Fluids Engineering, 124 (1) (2002), 70-80.
[3] F. Pla, A.M. Mancho and H.Herrero. Bifurcation phenomena in a convection problem
with temperature dependent viscosity at low aspect ratio. Physica D 238 (2009), 572-580.
176
Comunicaciones
Métodos iterativos óptimos para la resolución
de ecuaciones no lineales
Juan R. Torregrosa, Alicia Cordero, José L. Hueso
Eulalia martı́nez
Instituto de Matemática Pura y Aplicada, Universitat Politècnica de València
[email protected]
Resumen
En este trabajo describimos una familia de métodos óptimos de orden 4
para la resolución de ecuaciones no lineales. Partiendo de la familia de métodos
Chebyshev-Halley (véase [1]), cuya expresión iterativa es:
1 Lf (xk )
f (xk )
f (xk )f ′′ (xk )
xk+1 = xk − 1 +
,
,
donde
L
(x
)
=
f
k
2 1 − βLf (xk ) f ′ (xk )
f ′ (xk )2
y aplicando desarrollos de Taylor para obtener la aproximación de la segunda
derivada
2f (yk )f ′ (xk )2
f ′′ (xk ) ≈
,
f (xk )2
donde yk es la iteración de Newton, obtenemos una familia de métodos de orden
4 cuya expresión viene dada por:
xk+1 = xk −
f (xk ) + (1 − 2β)f (yk ) f (xk )
f (xk ) − 2βf (yk ) f ′ (xk )
Esta familia contiene al conocido método de Ostrowski ([2]) para el caso particular de β = 1. Además, los métodos diseñados son óptimos en el sentido de la
conjetura de Kung-Traub (véase [3]).
Bibliografı́a
[1] I.K. Argyros, Convergence and applications of Newton-type iterations. Springer, Nueva
York 2008.
[2] A.M. Ostrowski, Solutions of equations and systems of equations, Academic Press, New
York-London, 1966.
177
Métodos iterativos óptimos para la resolución
de ecuaciones no lineales
Juan R. Torregrosa, Alicia Cordero, José L. Hueso
Eulalia martı́nez
Instituto de Matemática Pura y Aplicada, Universitat Politècnica de València
[email protected]
Resumen
En este trabajo describimos una familia de métodos óptimos de orden 4
para la resolución de ecuaciones no lineales. Partiendo de la familia de métodos
Chebyshev-Halley (véase [1]), cuya expresión iterativa es:
1 Lf (xk )
f (xk )
f (xk )f ′′ (xk )
xk+1 = xk − 1 +
,
,
donde
L
(x
)
=
f
k
2 1 − βLf (xk ) f ′ (xk )
f ′ (xk )2
y aplicando desarrollos de Taylor para obtener la aproximación de la segunda
derivada
2f (yk )f ′ (xk )2
f ′′ (xk ) ≈
,
f (xk )2
donde yk es la iteración de Newton, obtenemos una familia de métodos de orden
4 cuya expresión viene dada por:
xk+1 = xk −
f (xk ) + (1 − 2β)f (yk ) f (xk )
f (xk ) − 2βf (yk ) f ′ (xk )
Esta familia contiene al conocido método de Ostrowski ([2]) para el caso particular de β = 1. Además, los métodos diseñados son óptimos en el sentido de la
conjetura de Kung-Traub (véase [3]).
Bibliografı́a
[1] I.K. Argyros, Convergence and applications of Newton-type iterations. Springer, Nueva
York 2008.
[2] A.M. Ostrowski, Solutions of equations and systems of equations, Academic Press, New
York-London, 1966.
178
Comunicaciones
Un método estabilizado término a término de
alto orden para flujos incompresibles
estacionarios.
Macarena Gómez Mármol, Tomás Chacón Rebollo
[email protected]
Resumen
En este trabajo presentamos un esquema para la resolución numérica de flujos
de fluidos incompresibles estacionarios. El esquema tiene alto orden y bajo coste
computacional.
Como es bien conocido la resolución de este tipo de flujos presenta problemas de estabilidad en la presión, y en la velocidad debido a efectos de la
convección y eventualmente a otros efectos como puede ser la fuerza de Coriolis. El esquema que consideramos es un esquema estabilizado que se obtiene
básicamente añadiendo un término por cada efecto que queremos estabilizar a
la formulación de Galerkin estándar.
Para este esquema, hemos probado estabilidad y estimaciones de error óptimas para soluciones regulares. La estabilidad está basada en un condición de
tipo inf-sup especı́fica. Esta condición permite reducir el número de grados de
libertad necesario en estos términos frente a otros esquemas estabilizados del
mismo tipo, y en ese sentido es en el que decimos que el esquema es de bajo
orden computacional.
Finalmente, presentamos algunos tests numéricos que confirman nuestras
predicciones teóricas.
Bibliografı́a
[1] T. Chacón Rebollo , A term by term stabilization algorithm for finite element solution
of incompressible flow problems.. Numerische Mathematik, 79 (1998), 283-319.
179
Análisis numérico de una familia de métodos
estabilizados para las ecuaciones primitivas del
océano
[email protected]
Tomás Chacón Rebollo, Macarena Gómez Mármol
Resumen
Las ecuaciones primitivas del océano son un modelo matemático para la circulación oceánica a grandes escalas de espacio y de tiempo. Se trata de un sistema
de ecuaciones en derivadas parciales para la velocidad horizontal y la presión
hidrostática, obtenido a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes para flujos
incompresibles junto con las hipótesis de techo rı́gido y presión hidrostática. La
velocidad vertical se obtiene integrando la divergencia de la velocidad horizontal. Esto provoca que cuando aproximamos soluciones débiles, con regularidad
H 1 en espacio para la velocidad horizontal, la velocidad vertical sólo tiene regularidad L2 y en consecuencia, la presión únicamente tiene regularidad L3/2 .
La resolución numérica de estos flujos se enfrenta además a la dificultad
de controlar las inestabilidades provocadas por la convección dominante y la
presión. Los métodos estabilizados consiguen salvar estas dificultades con un
menor coste computacional que los métodos mixtos clásicos, aportando además
una precisión de alto orden y una reducción de la difusión numérica en el caso de los métodos estabilizados VMS (Variational Multi-Scale, Cf. [3]) y OSS
(Orthogonal Sub-Scale, Cf. [2]).
En este trabajo, estudiamos la resolución numérica de las ecuaciones primitivas del océano estacionarias en 3D mediante una familia de métodos estabilizados que engloba métodos VMS y OSS. Realizamos el análisis numérico de
la estabilidad y convergencia del esquema propuesto y obtenemos estimaciones
de error óptimas. Este análisis se hace mediante una adaptación del análisis
unificado de métodos estabilizados y métodos mixtos realizado en [1]. Nuestra principal aportación es la obtención de una condición inf-sup que permite
estimar la presión en norma L3/2 .
Bibliografı́a
[1] T. Chacón. An analysis technique for stabilized finite element solution of incompressible
flows. Módel. Math. Anal. Númer., 35 1, (2001), 57–89.
[2] R. Codina. Stabilization of incompressibility and convection through orthogonal subscales in finite element methods. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 190 (2000),
1579–1599.
[3] T.J.R. Hugues, G.R. Feijoo, L. Mazei, J.B. Quincy. The Variational Multiscale Method:
A paradigm for computational mechanics. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 166,
(1998), 3–24.
180
Comunicaciones
Estudio de la reducción de la dimensión del
espacio de multiplicadores en un método de
descomposición de dominios para problemas
elı́pticos
Dpto. de Estadı́stica e Investigación Operativa, Universidad de Valencia
[email protected]
Eliseo Chacón Vera
[email protected]
Resumen
En la resolución de un problema elı́ptico utilizando técnicas de descomposición de dominios sin solapamiento, un procedimiento estándar es la aplicación de
la eliminación por bloques a la discretización de elementos finitos del problema.
La dimensión de estos sistemas está determinada por el número de incógnitas
en las interfaces entre subdominios adyacentes, el cual, puede resultar grande para mallas finas en los subdominios. Sin embargo, el acoplamiento entre
subdominios se puede aproximar con suficiente exactitud en un subespacio de
dimensión mucho menor que el número de incógnitas impuesto en las interfaces
por las mallas de los subdominios. En [2], los autores describen el uso de los
multiplicadores de Lagrange con este objetivo. Los multiplicadores de Lagrange
son funciones definidas en las interfaces entre subdominios adyacentes, y permiten que el acoplamiento entre subdominios esté incluida de forma explı́cita
en la formulación variacional continua y discreta. Debido a que las funciones
de bases de los subdominios y los multiplicadores de Lagrange en las interfaces están representados independientemente en estas formulaciones, tenemos la
oportunidad de resolver este acoplamiento entre subdominios en un espacio de
dimensión finita de menor dimensión.
Este trabajo es una extensión de [2], introduciendo el control sobre los saltos
y la continuidad débil en los puntos de cruce. Calculamos la acción de los multiplicadores de Lagrange utilizando el producto escalar natural que viene dado
1/2
por el espacio H0 0 , tal y cómo se propone en [1]. Presentaremos las ventajas
prácticas de esta aproximación e ilustraremos las principales ideas con ejemplos
numéricos.
Bibliografı́a
[1] E. Chacón Vera. A continuous framework for FETI-DP with a mesh independent condition number for the dual problem. Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering, Vol. 198/30 − 32 (2009), 2470-2483.
[2] M. Dorr, Domain Descomposition via Lagrange Multipliers, UCRL 98532, Lawrence
Livermore National Laboratory, Livermore, CA (1988)
181
Optimización de una capa de material
absorbente para un problema acústico
L.M. Hervella-Nieto
Dpto. de Matemáticas, Universidade da Coruña
[email protected]
X. Sagartzazu
IKERLAN, Centro de Investigaciones Tecnológicas
[email protected]
Resumen
Partiendo de la ecuación de Helmholtz en un dominio acotado (que modeliza las ecuaciones de propagación acústica con datos armónicos en el tiempo,
tomando la presión como variable primal) puede simularse la existencia de una
capa de material absorbente en parte de su frontera exterior mediante una
condición de frontera tipo Robin con coeficientes complejos (véase [2]).
Pretendemos optimizar esta capa en un subconjunto fijo de la frontera, es
decir, minimizar la cantidad de material absorbente utilizado manteniendo una
reducción importante de alguna de las magnitudes acústicamente significativas (presión sonora en un dominio prefijado, radiación sonora, etc.). Para ello
utilizaremos técnicas clásicas de optimización (véase, por ejemplo, [3]).
Compararemos los resultados ası́ obtenidos con otros provenientes de técnicas semi-empı́ricas, como las explicadas en [1].
Se pretende hacer una extensión de esta técnica a un problema acoplado
placa-fluido con una capa a optimizar de material absorbente entre ambos medios (véase [2]).
Sección en el CEDYA 2011: Análisis Numérico y Simulación Numérica (AN)
Bibliografı́a
[1] Q.Q. Liang, G.P. Steven, A performance-based optimization method for topology design
of continuum structures with mean compliance constraints. Comput. Methods Appl.
Mech. Engrg. 191 (2002) 1471-1489.
[2] X. Sagartzazu, L.M. Hervella-Nieto, J.M. Pagalday, Numerical Computation of the
Acoustic Pressure in a Coupled Covered Plate/Fluid Problem: Experimental Validation . Acta Acustica united with Acustica 96 (2010), 317-327.
[3] B. Samet, S. Amstutz, M. Masmudi. The topological asymptotic for the Helmholtz equation. SIAM J. Control Optim. 42 (2003), 1523-1544.
182
Comunicaciones
Numerical modeling of volcanic ground
deformation
A. Arjona Almodóvar, M. Gómez Marmol, T. Chacón Rebollo
Sevilla
Resumen
The aim of this work is to study natural processes which take place within the
Earth crust and have connections with volcanic activity. When focusing on geological risk associated to volcanoes, it is known that the ground deformation
and gravity changes are two indicators of volcanic activity, furthermore precursors of eruptions (see [2] and [3]). The modeling of the interaction between
displacements and gravity change due to internal sources has been developed
by several authors. This model is a coupled system of linear parabolic (for the
deformations) and elliptic PD equations (for potential gravity change) (see for
instance [4], [5] and [1]).
We present the numerical approximation of such a coupled model by means
of the finite element method. We present the numerical analysis of the steady
model so as some numerical tests in meaningful situations.
Bibliografı́a
[1] Battaglia, M. , Segall, P., The interpretation of gravity changes and crustal deformation
in active volcanic areas, Pure appl. geophys. Bulletin of Volcanology, 161,1453-1467,
2004.
[2] Fernández, J., Carrasco, J.M., Rundle, J.B., Araña,V., Geodetic methods for detecting
volcanic unrest: a theoretical approach, Bulletin of Volcanology, 60,534-544, 1999.
[3] Fernández, J., Charco, M., Tiampo, K.F., Jentzsch, G., Rundle, J.B., Joint interpretation of displacement and gravity data in volcanic areas. A test example: Long Valley
Caldera, California, J.Volcanology and Geothermal Research, 28,1063-1066, 2001.
[4] Rundle, J.B., Static elastic-gravitational deformation of a layared half space by point
couple sources, J. Geophys.Res.,85, 5355-5363, 1980.
[5] Rundle J.B., Deformation, gravity and potential changes due to volcanic loading of the
crust, J. Geophys.R, 87,10,729-10,744, 1982.
183
Numerical null controllability of the 2D Stokes
equations
Enrique Fernández-Cara
Dpto. de Ecuaciones Diferenciales y Analisis Numerico, Universidad de Sevilla
[email protected]
Arnaud Münch
Laboratoire de Mathématiques, Université Blaise Pascal (Clermont-Ferrand 2)
[email protected]
Diego Souza
Dpto. de Matemática, Universidade Federal da Paraı́ba
daraujo [email protected]
Abstract
The aim of this talk is to present a new strategy to solve numerically the null
controllability problem for the 2D Stokes equations. The main idea is to adapt
the Fursikov-Imanuvilov’s formulation, see [2]; this strategy has been applied
recently to the heat equation by the first two authors. In practice, this needs
the solution of a differential problem in the three variables x1 , x2 and t that is
second order in time and fourth order in space. The approximation is performed
with mixed finite Lagrangian C 0 elements, see [1]. In this talk we describe the
method and we present some numerical experiments.
Bibliografı́a
[1] P.G. Ciarlet, The finite element method for elliptic problems, Studies in Mathematics
and its Applications, Vol. 4 North-Holland Publishing Co. 1978.
[2] Fursikov, A. V., Imanuvilov, O. Yu., Controllability of Evolutions Equations, Lectures
Notes Series, Vol. 34, Seoul National University, (1996).
184
Comunicaciones
Métodos miméticos de descomposición de
dominios para problemas de reacción–difusión
A. Arrarás, L. Portero, J.C. Jorge
Departamento de Ingenierı́a Matemática e Informática
Universidad Pública de Navarra
{andres.arraras,laura.portero,jcjorge}@unavarra.es
Resumen
En el presente trabajo, se describe una familia de métodos computacionalmente eficientes para la resolución numérica de problemas de reacción–difusión
no estacionarios. En particular, consideramos ecuaciones de tipo parabólico que
incluyen un término difusivo lineal y un término reactivo no lineal. La discretización del problema original combina un integrador temporal de tipo pasos
fraccionarios con un método de diferencias finitas miméticas planteado sobre
mallas bidimensionales compuestas por cuadriláteros convexos.
Con el fin de definir el esquema totalmente discreto, introducimos en primer
lugar una descomposición del dominio espacial Ω ⊂ R2 en un conjunto de subdominios solapados {Ωk }qk=1 . Cada subdominio Ωk está formado a su vez por
qk componentes conexas disjuntas. Dicha descomposición nos permite construir
una familia de funciones no negativas {χk (x, y)}qk=1 , que conforman una partición de la unidad suficientemente suave. Mediante tales funciones, es posible
descomponer tanto el operador de difusión como el término fuente del problema
continuo en una suma de q términos. Utilizando esta descomposición, consideramos como integrador temporal un método Runge–Kutta de pasos fraccionarios
linealmente implı́cito (basado en [2]), que permite reducir el problema parabólico semilineal a un problema elı́ptico lineal por etapa interna (restringido a uno
de los subdominios Ωk ).
La aproximación espacial de tales problemas mediante un esquema de diferencias finitas miméticas (véase [1]), aplicado localmente a cada subdominio, da
lugar a un sistema de ecuaciones lineales en cada etapa interna. Dado que el
subdominio Ωk contiene qk componentes disjuntas, cada uno de dichos sistemas
consta de qk subsistemas desacoplados y fácilmente paralelizables. El esquema
totalmente discreto ası́ obtenido es convergente de orden 2 en tiempo y espacio
e incondicionalmente estable.
Para finalizar, se incluyen varios experimentos numéricos que ilustran el
comportamiento de la familia de métodos propuesta sobre distintas tipologı́as
de mallas rectangulares lógicas.
Bibliografı́a
[1] A. Cangiani, G. Manzini and A. Russo, Convergence analysis of the mimetic finite
difference method for elliptic problems. SIAM J. Numer. Anal., 47 (2009), 2612–2637.
[2] L. Portero and J.C. Jorge, A new class of second order linearly implicit fractional step
methods. J. Comput. Appl. Math., 218 (2008), 603–615.
185
Multirate methods with smooth partitions for
hyperbolic conservation laws
L. Portero, A. Arrarás
Departamento de Ingenierı́a Matemática e Informática
Universidad Pública de Navarra
Abstract
Multirate time integration methods have been shown to be suitable for numerically solving hyperbolic conservation laws (cf. [1, 2]). In this work, we consider a decomposition of the spatial domain into a number of overlapping regions,
where different time steps are allowed. In this framework, consistency and monotonicity properties of some celebrated multirate methods are investigated. To
conclude, we discuss some numerical experiments which illustrate the numerical
behaviour of the proposed algorithms.
Bibliografı́a
[1] E.M. Constantinescu and A. Sandu, Multirate timestepping methods for hyperbolic conservation laws, J. Sci. Comput, 33 (2007), 239–278.
[2] W. Hundsdorfer, A. Mozartova and V. Savcenco, Analysis of explicit multirate and partitioned Runge–Kutta schemes for conservation laws. CWI Report, MAS-E0715 (2007).
186
Comunicaciones
Comparison among multiresolution schemes
with and without error control strategies.
S.Amat, B. Marı́a Dolores, J.C.Trillo
Department of Applied Mathematics and Statistics, Universidad Politécnica
de Cartagena, Spain
[email protected], [email protected],[email protected]
Resumen
Multiresolution representations of data are widely used nowadays in several
applications. Nonlinear methods are appropriate to deal with data containing
singularities. The stability of nonlinear schemes is usually difficult to check.
Thus, one can make use of error control algorithms to ensure it. Other approaches to study the stability of multiresolution schemes are studied in [2] and
[1]. In [2] the authors compare Harten error control algorithms ([3]) with the
syncronization strategy proposed by Sweldens ([4]). In [1] another possible modification of the Harten error control algorithms is proposed. In this work we
analyze the advantages and disadvantages of the different approaches to control
the error in comparison with the application of the schemes without any error
control strategy.
Bibliografı́a
[1] S.Amat, J.Ruiz, and J.C.Trillo, Improving the relation compression ratio versus L1 approximation error in Cell-Average Error-Control Algorithms, Submitted, (2010).
[2] F. Aràndiga and R. Donat, Stability through synchronization in nonlinear multiscale
transformations, SIAM J. Sci. Comput., 29(1) (2007), pp. 265–289.
[3] A.Harten, Multiresolution representation of data II, SIAM J. Numer. Anal., 33(3) (1996),
pp. 1205–1256.
[4] W. Sweldens, The lifting scheme: a construction of second generation wavelets, SIAM
Journal on Mathematical Analysis, 29(2) (1998), pp. 511–546.
187
Modelo semi-explı́cito estocástico de erosión
costera en zonas acantiladas
R.Castedo, C.Paredes
D.M.A.M.I., E.T.S.I. Minas, U.P.M, C/ Alenza 4, C.P. 28003, Madrid
Resumen
El retroceso de las costas acantiladas es un fenómeno extendido sobre los litorales rocosos expuestos a la incidencia de los procesos marinos y meteorológicos.
Aunque el conocimiento de los riesgos de erosión resulta de vital importancia
para la correcta gestión de la costa, su predicción es compleja. Los modelos de
predicción desarrollados son escasos: estocásticos [2] eventos futuros se basan en
distribuciones de probabilidad extraı́das de catálogos históricos; semi-explı́citos
[3], estabilidad y propagación del error inexplorada; y en EDPs [1], computacionalmente costosos y poco exactos.
En este trabajo se presenta un modelo 2D combinado semi-explı́cito estocástico que incorpora un balance de fuerzas de los mecanismos que actúan
sobre el proceso erosivo en el frente del acantilado. Se plantea el cálculo de la
evolución de la función perfil del acantilado y(z, t) ∈ C 1 ([zmin , zmax ] × [0, tf in ])
que verifique:

−1
13/4 3/2 
Hb T b
∂y(z, t)
∂y(z, t)


pw (z, t); ∀z ∈ [zmin , zmax ], t ∈]0, tf in ]
=


∂t
Kσc (z)
∂z
(37)

C.I. : y(z, 0) = pf (z); ∀z ∈ [zmin , zmax ];



C.C. : y(z
min , t) = ymin , y(zmax , t) = ymax ; t ∈ [0, tf in ].
para unas C.I. del perfil del acantilado conocido pf (z), y unas C.C. ymin e
ymax , que permanecen constantes a lo largo del tiempo de acción erosiva. Siendo
además (∂y(z, t)/∂z)−1 el inverso de la pendiente local, pw (z, t) la función de
forma erosiva, Hb y Tb parámetros marinos, σc (z) la resistencia a compresión
del macizo rocoso y K un parámetro que recoge constantes hidrodinámicas.
Para el modelo propuesto se han estudiado, a partir de soluciones exactas,
los errores cometidos en la discretización espacial y temporal utilizada para
diferentes técnicas numéricas de aproximación. Los resultados obtenidos han
permitido justificar las discretizaciones que minimizan el error y su propagación
a lo largo de la simulación, ası́ como los métodos de aproximación numérica más
apropiados para simulaciones a mesoescala (tf in : centenares de años).
Sección en el CEDYA 2011: MAI
Bibliografı́a
[1] A.P. Belov, P. Davies, A.T. Williams. Mathematical modeling of basal coastal cliff erosion in uniform strata: a theoretical approach. J. Geol., 107, (1998), 99-109.
[2] J.W. Hall, I.C. Meadowcroft, E.M. Lee, P.H.A.J.M. Van Gelder. Stochastic simulation
of episodic soft coastal cliff recession. Coastal Eng. 46(3), (2002), 159-174.
[3] M.J.A. Walkden, J.W. Hall. A predictive mesoscale model of the erosion and profile
development on soft rock shores. Coastal Eng. 52, (2005), 535-563.
188
Comunicaciones
Contaminación atmosférica: una aplicación del
control multi-objetivo de EDPs
Lino J. Alvarez-Vázquez, Aurea Martı́nez
Dpto. Matemática Aplicada II, Universidad de Vigo, España
Néstor Garcı́a-Chan
Dpto. Fı́sica, Universidad de Guadalajara, México
netog [email protected]
Miguel E. Vázquez-Méndez
Dpto. Matemática Aplicada, Universidad de Santiago de Compostela, España
[email protected]
Resumen
La modelización matemática basada en EDPs es ya una herramienta básica en el control de la contaminación ambiental. Los trabajos sobre simulación
numérica de dispersión de contaminantes son muy numerosos, y existe gran
cantidad de software (tanto libre como comercial) dedicado a este fin. La simulación numérica es la base para la aplicación de técnicas de control óptimo y,
consecuentemente, el número de trabajos sobre control óptimo en gestión medioambiental ha ido también en aumento. No obstante, y a pesar de que este tipo
de problemas involucran aspectos tanto económicos como ecológicos, la mayorı́a
de los trabajos publicados hasta el momento abordan problemas con un único
funcional objetivo. Por ejemplo, en [1] se formula el problema de la ubicación
óptima de una nueva planta industrial, pero atendiendo únicamente a criterios
ecológicos. En [2] se estudia un problema similar en contaminación marina, pero
a pesar de que se analizan aspectos económicos y ecológicos, la priorización de
estos últimos lleva a una formulación en términos de minimización (con restricciones) de un único objetivo. En el marco de la contaminación atmosférica, en
este trabajo estudiamos la problemática derivada de la construcción de una nueva planta industrial. Buscando no sólo la ubicación más adecuada de la planta,
sino también la gestión óptima de sus emisiones contaminantes, formulamos el
problema como un problema de control óptimo multi-objetivo, distinguiendo
claramente los objetivos ecológicos de los puramente económicos. Desde una
óptica cooperativa, buscamos caracterizar todas las soluciones óptimo-Pareto
del problema y desarrollar un método que nos permita, a partir de la obtención
del frente Pareto, asesorar al responsable en la toma final de decisiones.
Bibliografı́a
[1] Y.N. Skiba, D. Parra-Guevara, V.D. Belitskaya, Air quality assessment and control of
emission rates. Environ. Monit. Assess., 111 (2005), 89–112.
[2] L.J. Alvarez-Vázquez, A. Martı́nez, C. Rodrı́guez, M.E. Vázquez-Méndez, Mathematical
analysis of the optimal location of wastewater outfalls. IMA J. Appl. Math., 67 (2002),
23–39.
189
Aplicación de modelos termohidrodinámicos de
lubricación para cojinetes de máquinas rotativas:
análisis de flujos laminares y turbulentos
J. Durany, J. Pereira–Pérez, F. Varas
Dep. de Matemática Aplicada II, Universidad de Vigo. 36310-Vigo (Spain)
{durany, pereira, curro}@dma.uvigo.es
Resumen
En la modelización de problemas de lubricación hidrodinámica de cojinetes mecánicos es habitual considerar fluidos isotermos. Sin embargo, cuando el
dispositivo trabaja con altas velocidades de rotación y cargas considerables, la
energı́a disipada por efectos térmicos es muy importante y produce aumentos de
temperatura que disminuyen la viscosidad del lubricante. En algunos trabajos
previos (ver Durany–Pereira–Varas [2] y sus referencias) los autores han presentado modelos termohidrodinámicos para el fluido lubricante, incluyendo el
intercambio térmico con el eje y el cojinete y, en caso de regı́menes transitorios,
el análisis de la estabilidad dinámica del par. Para la resolución numérica de
estos modelos acoplados, donde intervienen problemas de frontera libre o móvil
(cavitación en la ecuación hidrodinámica de Reynolds) y términos no lineales
de generación térmica, se proponen métodos de elementos finitos, volúmenes
finitos y elementos de contorno para las discretizaciones espaciales de los subproblemas, combinados con distintos algoritmos para tratar las no linealidades.
La validación de modelos y métodos se ha realizado mediante la comparación
de resultados con soluciones analı́ticas de casos simples y verificando algunos
ejemplos expuestos en las normas ISO 7902 (cojinetes radiales) e ISO 12131
(cojinetes axiales).
La aplicación industrial que se presenta trata de analizar las condiciones
de operación de cojinetes radiales y axiales que soportan máquinas rotativas
de propulsión de barcos, con la dificultad adicional que comporta la pequeña
viscosidad del agua marina como fluido lubricante. Este efecto origina números
de Reynolds muy grandes que conducen a influencias de las fuerzas inerciales
y a la aparición de la turbulencia. Para tenerlo en cuenta , se propone un
modelo de Constantinescu- Galetuse [1], que define la viscosidad turbulenta
en cada punto de la pelı́cula lubricante en base al flujo dominante de Couette
promediando las velocidades. Con ello se pretende analizar el comportamiento
de los cojinetes (presiones, temperaturas, capacidades de carga, etc.) mediante
simulaciones numéricas tanto para flujos en régimen laminar como turbulento.
Sección en el CEDYA 2011: MAI Modelización y Aplicaciones a la Industria
Bibliografı́a
[1] V.N. Constantinescu, S. Galetuse. Operating characteristics of journal bearings in turbulent inertial flow. J. Lubrication Tech., 104 (1982), 173-179.
[2] J. Durany, J. Pereira–Pérez, F. Varas. Dynamical stability of journal–bearing devices
through numerical simulation of thermohydrodynamic models. Tribol. Int., 43 (2010),
1703-1718.
190
Comunicaciones
Modeling, Simulation and Optimization of a
Polluted Water Pumping Process in Open Sea.
Benjamin Ivorra, Angel Manuel Ramos
Departamento de Matemática Aplicada, Universidad Complutense de Madrid
Susana Gomez
Instituto de Matematicas Aplicadas y Sistemas, Univ. Nacional A. de Mexico
[email protected]
Roland Glowinski
Department of Mathematics, University of Houston
[email protected]
Resumen
The objective of this work is to find the optimal trajectory of a pumping
ship, used to clean oil spots in the open sea, in order to pump the maximum
quantity of pollutant during a fixed time interval.
We first introduce the model, described in detail in [1], used to simulate
the evolution of the oil spots concentration. We assume here that the oil spots
motion is due to the coupling of the diffusion effect, the transport from the wind,
sea currents and pumping process and the reaction generated by the extraction
of oil, implying that the mathematical model is of advection-reaction-diffusion
type.
Then, we formulate the optimization problem (see [2]) assuming that the
trajectory of the ship is directly modeled by considering a finite number of
interpolation points for cubic splines. This problem is solved by using a global
optimization algorithm based on the hybridization of a Genetic Algorithm with
a Semi-Deterministic Secant Method, to improve the population.
Finally, we check the efficiency of our approach by solving several numerical
examples based on realistic data.
Sección en el CEDYA 2011: MAI - Modelización y Aplicaciones a la Industria
Bibliografı́a
[1] C. Alavani, R. Glowinski, S. Gomez, B. Ivorra, P. Joshi, A.M. Ramos, Modelling and
simulation of a polluted water pumping process, Mathematical and Computer Modelling,
51 (2010), 461-472.
[2] S. Gomez, B. Ivorra, A.M. Ramos, Optimization of a pumping ship trajectory to clean oil
contamination in the open sea, accepted for publication in Mathematical and Computer
Modelling.
191
Modeling, Simulation and Optimization of a
Polluted Water Pumping Process in Open Sea.
Benjamin Ivorra, Angel Manuel Ramos
Susana Gomez
Instituto de Matematicas Aplicadas y Sistemas, Univ. Nacional A. de Mexico
[email protected]
Roland Glowinski
Department of Mathematics, University of Houston
[email protected]
Resumen
The objective of this work is to find the optimal trajectory of a pumping
ship, used to clean oil spots in the open sea, in order to pump the maximum
quantity of pollutant during a fixed time interval.
We first introduce the model, described in detail in [1], used to simulate
the evolution of the oil spots concentration. We assume here that the oil spots
motion is due to the coupling of the diffusion effect, the transport from the wind,
sea currents and pumping process and the reaction generated by the extraction
of oil, implying that the mathematical model is of advection-reaction-diffusion
type.
Then, we formulate the optimization problem (see [2]) assuming that the
trajectory of the ship is directly modeled by considering a finite number of
interpolation points for cubic splines. This problem is solved by using a global
optimization algorithm based on the hybridization of a Genetic Algorithm with
a Semi-Deterministic Secant Method, to improve the population.
Finally, we check the efficiency of our approach by solving several numerical
examples based on realistic data.
Sección en el CEDYA 2011: MAI - Modelización y Aplicaciones a la Industria
Bibliografı́a
[1] C. Alavani, R. Glowinski, S. Gomez, B. Ivorra, P. Joshi, A.M. Ramos, Modelling and
simulation of a polluted water pumping process, Mathematical and Computer Modelling,
51 (2010), 461-472.
[2] S. Gomez, B. Ivorra, A.M. Ramos, Optimization of a pumping ship trajectory to clean oil
contamination in the open sea, accepted for publication in Mathematical and Computer
Modelling.
192
Comunicaciones
Desarrollo de modelos bicapa acoplando flujos
de tipo Reynolds y aguas someras
G. Narbona-Reina, E.D. Fernández-Nieto
J.d.D. Zabsonré
Institut des sciences exactes et appliquées, Université polytechnique de
Bobo-Dioulasso, Burkina Faso
[email protected]
Resumen
En este trabajo se presentan dos tipos de modelos, con desarrollos a primer
y segundo orden en el análisis asintótico de las ecuaciones de Navier-Stokes (ver
[1]). La capa superior suponemos que es muy fina y de flujo lento, modelada
mediante las ecuaciones de Reynolds (ver [2]), que se acopla con una capa inferior de tipo aguas someras. En la capa superior los efectos de presión son más
importantes que los efectos convectivos. Esto implica que es necesario utilizar
diferentes adimensionalizaciones de las ecuaciones para cada una de las capas.
Los modelos finales tienen en cuenta efectos de viscosidad, fricción entre capas
y capilaridad.
Finalmente, presentaremos la discretización de los modelos utilizando técnicas de volúmenes finitos y diferentes tests numéricos.
Bibliografı́a
[1] G. Narbona-Reina, J.D. Zabsonré, E.D. Fernández-Nieto, D. Bresch, Derivation of a bilayer Shallow-Water model with viscosity. Numerical validation. CMES, 43(1), (2009),
27-71.
[2] A. Oron, S. H. Davis, S. G. Bankoff. Long scale evolution of thin films. Rev. Mod.
Phys., Vol 69, No. 3 (1997).1
193
Dimensional Analysis and simplifications of a
Mathematical Model describing High-Pressure
Food Processes
Nadia Smith, Ángel Manuel Ramos
[email protected], http://www.mat.ucm.es/~aramosol
Sarah Mitchell
Department of Mathematics & Statistics, University of Limerick
http://www.staff.ul.ie/mitchells/index.html
Abstract
Nowadays, in industrialized countries, food products that are frequently consumed are processed in order to prolong their shelf life, to avoid as much as
possible their decomposition, and to maintain or even improve their natural
qualities such as flavor and color. Decomposition of food is mainly due to microorganisms and enzymes, since they are involved in the physical and chemical
processes of transformation of food substances. At present, consumers look for
minimally processed, additive-free food products that maintain their organoleptic properties. This has promoted the development of new technologies for
food processing. One emerging technology is High Hydrostatic Pressure, as it
has turned out to be very effective in prolonging the shelf life of foods without
losing its properties.
Recent works have been done on the modelling and simulation of the effect
of the combination of Thermal and High Pressure Processes, focusing on the
inactivation that occurs during the process of certain enzymes and microorganisms that are harmful to food, and various mathematical models that study
the behavior of these enzymes and microorganisms during and after the process
have been proposed. Such models need as an input the temperature and pressure profiles of the whole process. In this work we present some of the existent
two dimensional models to calculate the temperature profile for solid type foods
and we propose a simplification to a one dimensional model.
The temperature profile of the one dimensional model is calculated both
numerically and analytically, and the two of the solutions are compared to
the resulting temperature profile of the two dimensional model. In a similar
way, the temperature profiles are coupled with the enzymatic and microbial
inactivation models, and the results are compared in order to see if a similar
final enzymatic activity outcome is obtained with the simplified temperature
model. This dimensional reduction is reasonable to do in some cases, which are
specified in this work.
Bibliografı́a
[1] J. A. Infante, B. Ivorra, Á. M. Ramos and J. M. Rey, On the Modelling and Simulation
of High Pressure Processes and Inactivation of Enzymes in Food Engineering. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences (M3AS), Vol. 19, No. 12, (2009) pp.
2203–2229.
194
Comunicaciones
Método de las Direcciones Alternadas para el
cálculo del autovalor dominante de un Reactor
Nuclear
González-Pintor, S., Verdú, G.
Dpto. de Ingnierı́a Quı́mica y Nuclear, Universidad Politécnica de Valencia
Ginestar D.
[email protected]
Resumen
Un problema importante en la fı́sica de los reactores nucleares es el problema
diferencial de autovalores generalizado [1],[2],
1
MΦ ,
(38)
λ
donde L es el operador de pérdida neutrónica, M es el operador de producción
neutrónica, y Φ el flujo neutrónico. El autovalor dominante y su autofunción
asociada determinan el estado estacionario del sistema.
Diferentes métodos han sido utilizados hasta el momento para resolver este
problema de autovalores generalizado debido a que este procedimiento conlleva
un gran coste computacional. Estas aproximaciones van desde métodos tipo de
elementos finitos, los cuales aumentan el coste computacional a cambio de una
precisión mayor, a métodos basados en la integración transversal, los cuales
disminuyen el coste computacional a cambio de una mayor limitación de su
precisión.
En este trabajo se presenta un método basado en la descomposición de la
solución del problema como suma de funciones separables para cada una de
las direcciones espaciales. Esta descomposición simplifica los cálculos reduciendo el problema multidimensional a la resolución de un conjunto de problemas
unidimensionales, obteniendo ası́ una herramienta que permite incrementar la
precisión de la solución de forma dinámica. Este método combina las descomposición de la solución en funciones separables [3] con el método de Newton para
el cálculo de autovalores [4].
LΦ =
Bibliografı́a
[1] W.M. Stacey, Nuclear Reactor Physics, John Wiley & Sons Inc, New York 2001
[2] G. Verdu, D. Ginestar, V. Vidal, J.L. Munoz-Cobo, 3D λ-modes of the neutron-diffusion
equation, Annals of Nuclear Energy, 21 (7), (1994), 405-421.
[3] González, D., Ammar, A., Chinesta, F. and Cueto, E., Recent advances on the use of
separated representations. International Journal for Numerical Methods in Engineering,
81, (2010) 637-659.
[4] S. González-Pintor, D. Ginestar, G. Verdú. Updating the Lambda modes of a nuclear
power reactor, Mathematical and Computer Modelling, In Press, Corrected Proof, Available online 14 December 2010.
195
A mathematical model for the analysis and
control of ballast tank blowing and venting
operations in manned submarines
Roberto Font, José Alberto Murillo
Dpto. de Matemática Aplicada y Estadı́stica, Universidad Politécnica de
Cartagena
Javier Garcı́a
Departamento de Ingenierı́a, Navantia S.A.
[email protected]
Resumen
Ballast tanks are distributed along the length of the submarine. When filled
with water, they contribute with the submarine mass, allowing it to submerge.
During an unexpected event or emergence, air is blown into the ballast tanks
from very high pressure bottles, expelling the water out of the tanks. The submarine loss weight, its buoyancy is higher, and it can emerge quicker. To fill
the tanks with water again, air is vented out of the ballast tanks. Although
tanks are usually blown only on emergency situations, blowing and venting can
potentially be used as a suitable control mechanism for specific manoeuvres.
The aim of this work is to propose a mathematical model for both processes
that is coupled with a 6 degree-of-freedom model for the equations of motion [1]
and an optimal control scheme to explore the use of these processes as a control
mechanism.
The main applications of this work are: a) Assist designers during the preliminary state design of the submarine. The simulation results can be used to
tune the design (size and location of the tanks, valve and tube diameter, etc.)
to make the submarine meet the design specifications. b) Serve as a first step
towards the improvement of the manoeuvrability of future designs by the implementation of a control system based on the blowing and venting of ballast
tanks.
Focusing in this last idea, this paper, which continues the work initiated
in [2], presents simulation results obtained by the proposed optimal control
scheme in two different scenarios: a) An emergency rising manoeuvre where the
roll angle must be minimized. b) The depth keeping while snorting in rough
seas.
Bibliografı́a
[1] J. Feldman. Revised standard submarine equations of motion, David W. Taylor Naval
Ship Research and Development Center (1979) Washington DC, DTNSRDC/SPD-039309.
[2] R. Font, D. Ovalle and J. Garcı́a. Modelling and Simulating Ballast Tank Blowing
and Venting Operations in Manned Submarines. In 8th IFAC Conference on Control
Applications in Marine Systems, Rostock, Germany, 2010.
196
Comunicaciones
Técnicas de refinamiento y multimalla para la
simulación de dispositivos de lectura magnética
Iñigo Arregui, J. Jesús Cendán, Carlos Vázquez
Resumen
El comportamiento hidrodinámico de algunos dispositivos de lectura magnética, como el disco duro de ordenador, puede modelarse mediante la ecuación de
Reynolds compresible. En concreto, la presión p del aire, que actúa como lubricante entre el dispositivo de almacenamiento y la cabeza lectora, es solución de
la ecuación:
3
h p
∂
∇·
(V ph) , en Ω,
∇p = 6
η(p)
∂x1
donde h representa la separación entre la cabeza lectora y el dispositivo de almacenamiento, V es la velocidad de desplazamiento y η es la viscosidad efectiva.
La ecuación se completa con una condición de contorno de tipo Dirichlet, que
impone una presión atmosférica en los bordes del dominio.
En el trabajo previo [1] se propone un algoritmo para su resolución numérica,
que incluye una discretización mediante el método de caracterı́sticas combinado con elementos finitos, un algoritmo de dualidad para la difusión no lineal y
un esquema de punto fijo para el caso en que este problema se acople con un
modelo elástico.
Sin embargo, bajo ciertas condiciones operacionales y para geometrı́as especı́ficas del dispositivo se necesitan mallas muy finas con el objetivo de captar
los altos gradientes locales de presión. Además si la cabeza lectora presenta
ciertas ranuras (diseñadas en dispositivos reales para mejorar las condiciones de
lectura) una malla uniforme no es adecuada. Por ello, en este trabajo presentamos un esquema de elementos finitos adaptativos. En cada nivel se refinan
los elementos de la malla en los que el gradiente de presión es más elevado. La
resolución de los sistemas de ecuaciones lineales se efectúa mediante un algoritmo multimalla, basado en el propuesto por Hoppe [2] para problemas de tipo
obstáculo. Por último, presentamos algunos ejemplos numéricos que ilustran el
buen funcionamiento del algoritmo.
Bibliografı́a
[1] I. Arregui, J. J. Cendán, C. Vázquez, Numerical simulation of head/tape magnetic
reading devices by a new 2-D model, Finite Elements in Analysis and Design, 43 (2007)
311-320.
[2] R.W.H. Hoppe, Multigrid Methods for Variational Inequalities, SIAM Journal on Numerical Analysis, 24 (1987) 1046-1065.
197
Controllability of a mathematical model for
blowing and venting operations in submarines
Roberto Font, José Alberto Murillo, Francisco Periago
Dpto. de Matemática Aplicada y Estadı́stica , Universidad Politécnica de
Cartagena
[email protected] ,[email protected], [email protected]
Javier Garcı́a
Dpto. de Ingenierı́a, Navantia S.A.
[email protected]
Abstract
Although blowing operation is usually restricted to emergency situations
where the submarine has to emerge very quickly, combined with venting, they
can be used as a control mechanism for different manoeuvres, specially when
navigating near surface. In this communication we analyze the mathematical
model for blowing-venting operations proposed in [2] for manned submarines
with an arbitrary number N of ballast tanks and show that it is well-posed in
the sense that
1. For any admissible control u ∈ L∞ 0, T ; [0, 1]2N and any initial state x0 ,
there exits a solution of the state law
A(x(t))ẋ(t) = f (x(t), u(t))
(39)
starting from x0 , where A is a matrix-valued map.
2. There exists (at least) an admissible control minimizing the Bolza-type cost
functional
Z T
T
J(u) = φ(x(T ), x ) +
F (x(t)) dt
(40)
0
where xT is the desired final target and x(·) satisfies (39).
Finally we propose a numerical algorithm based on the gradient descent method to solve the optimal control problem and provide simulations for different
manoeuvres.
Bibliografı́a
[1] J. Feldman, Revised standard submarine equations of motion, David W. Taylor Naval
Ship Research and Development Center, Washington DC, DTNSRDC/SPD-0393-09,
1979.
[2] R. Font, D. Ovalle, J. Garcı́a, Modelling and Simulating Ballast Tank Blowing and Venting Operations in Manned Submarines, 8th IFAC Conference on Control Applications
in Marine Systems, Rostock, Germany, 2010.
[3] T. I. Fossen, Guidance and control of ocean vehicles, Wiley, 1994.
[4] J. Garcı́a, D. Ovalle, F. Periago, Nonlinear optimization tool for the analysis of the
manoeuvre capability of a submarine, submitted.
[5] E. Sontag, Mathematical control theory, Springer-Verlag, 1990.
198
Comunicaciones
Modelización de deformaciones del terreno en
zonas volcánicas mediante el método de
elementos finitos: una aplicación al Teide
Marı́a Charco
Instituto de Geociencias, Centro mixto del Consejo Superior de Investigaciones
Cientı́ficas y de la Universidad Complutense de Madrid
[email protected]
Pedro Galán del Sastre
Dpto. de Matemática Aplicada al Urbanismo, a la Edificación y al Medio
Ambiente, E.T.S.A., Universidad Politécnica de Madrid
[email protected]
Resumen
Las deformaciones y variaciones espacio-temporales del campo de gravedad
pueden ser fenómenos precursores de actividad volcánica por lo que el diseño de
sistemas de vigilancia en zonas volcánicas deberı́a contemplar el estudio de este
tipo de fenómenos geofı́sicos. En este sentido, los modelos matemáticos utilizados para la interpretación de señales geofı́sicas son una herramienta clave. No
obstante, la distribución de esfuerzos en zonas volcánicas y las correspondientes
deformaciones observadas en superficie constituyen un sistema fı́sico de cierta
complejidad. Ası́, para obtener formulaciones matemáticas con las que representar dichos fenómenos se recurre habitualmente a hipótesis simplificadoras que
requieren un número reducido de parámetros caracterı́sticos. De esta manera,
el estudio de los estadios previos a una erupción volcánica se realiza desde el
punto de vista elasto-estático. En este trabajo se estudia la respuesta elástica
de la Tierra a una carga interna que simula el efecto de una cámara magmática presurizada. En primer lugar, describiremos las ecuaciones que describen el
modelo matemático y la formulación variacional del problema. Esto permite
definir una herramienta numérica para el cálculo de deformaciones, esfuerzos
y variaciones de gravedad causadas por cámaras magmáticas presurizadas en
zonas volcánicas mediante el Método de Elementos Finitos. Su implementación
permite la consideración de:
Topografı́as realistas.
Cámaras magmáticas de diferentes formas y tamaños.
Heterogeneidades del medio a partir de modelos de densidad.
Caracterı́sticas estructurales, tales como fallas y fracturas.
Finalmente, se realizará una aplicación en el Teide (Tenerife, Islas Canarias)
con el fin de estudiar las deformaciones que producirı́a una intrusión de magma
en el sistema volcánico.
Sección en el CEDYA 2011: Modelización y Aplicaciones a la Industria
199
Modelado de los efectos termomecánicos en una
barra de acero: aplicación al sector de la
automoción
J. M. Dı́az Moreno, C. Garcı́a Vázquez, F. Ortegón Gallego,
G. Viglialoro
Dpto. de Matemáticas, Universidad de Cádiz
[email protected], [email protected],
M. T. González Montesinos
[email protected]
Resumen
La cremallera de dirección de un automóvil es una pieza cilı́ndrica de acero
mecanizada (con una zona dentada) de unos 50 cm de longitud y 22-25 mm de
diámetro. Es esencial en el sistema de dirección, por lo que el fabricante debe
garantizar una vida media de alrededor de veinte años de buen funcionamiento.
Durante su uso, la zona dentada está sometida a esfuerzos y tensiones al estar
en contacto con el piñón. Para evitar deformaciones, desgastes y fracturas indeseadas, es necesario aumentar su dureza manteniendo, al mismo tiempo, la
ductilidad en el resto de la pieza. Para ello, se somete la barra a un proceso de
austenización, a partir del calentamiento por conducción e inducción, seguido
de un enfriamiento brusco, mediante una ducha con una solución acuosa. De
este modo, se consigue controlar la aparición de nuevas fases en el acero, favoreciendo en la parte de los dientes la presencia de martensita (la que presenta
un mayor nivel de dureza) frente al resto de las estructuras cristalinas posibles
(perlita, bainita, etc). Sin embargo, las transformaciones de fase vienen acompañadas de deformaciones no deseadas en la geometrı́a original de la pieza, que
han corregirse posteriormente y, por tanto, que interesa controlar.
En este trabajo se presenta la simulación correspondiente a un modelo que
incluye las transformaciones de fases y las deformaciones.
Bibliografı́a
[1] K. Chelmiński, D. Hömberg, D. Kern. On a thermomechanical model of phase transitions in steel. Adv. Math. Sci. Appl. 18 (2008), no. 1, 119-140.
[2] J. M. Dı́az Moreno, C. Garcı́a Vázquez, M. T. González Montesinos, F. Ortegón Gallego.
Un modelo para la descripción de las transiciones de fases en una barra de acero,
CEDYA, 2007.
[3] J. M. Dı́az Moreno, C. Garcı́a Vázquez, M. T. González Montesinos, F. Ortegón Gallego. Descripción de las deformaciones de una barra de acero sometida a tratamiento
térmico, CEDYA, 2009.
[4] J. M. Dı́az Moreno, C. Garcı́a Vázquez, M. T. González Montesinos, F. Ortegón Gallego,
On an electrothermomechanical model arising in steel heat treating. Numerical Simulation in Physics and Engineering. Proceedings of the XIV Spanish-French Jacques-Louis
Lions School, A Coruña 2010, 265-281.
200
Comunicaciones
Dimensional Analysis and simplifications of a
Mathematical Model describing High-Pressure
Food Processes
Nadia Smith, Ángel Manuel Ramos
[email protected], http://www.mat.ucm.es/~aramosol
Sarah Mitchell
Department of Mathematics & Statistics, University of Limerick
http://www.staff.ul.ie/mitchells/index.html
Abstract
Nowadays, in industrialized countries, food products that are frequently consumed are processed in order to prolong their shelf life, to avoid as much as
possible their decomposition, and to maintain or even improve their natural
qualities such as flavor and color. Decomposition of food is mainly due to microorganisms and enzymes, since they are involved in the physical and chemical
processes of transformation of food substances. At present, consumers look for
minimally processed, additive-free food products that maintain their organoleptic properties. This has promoted the development of new technologies for
food processing. One emerging technology is High Hydrostatic Pressure, as it
has turned out to be very effective in prolonging the shelf life of foods without
losing its properties.
Recent works have been done on the modelling and simulation of the effect
of the combination of Thermal and High Pressure Processes, focusing on the
inactivation that occurs during the process of certain enzymes and microorganisms that are harmful to food, and various mathematical models that study
the behavior of these enzymes and microorganisms during and after the process
have been proposed. Such models need as an input the temperature and pressure profiles of the whole process. In this work we present some of the existent
two dimensional models to calculate the temperature profile for solid type foods
and we propose a simplification to a one dimensional model.
The temperature profile of the one dimensional model is calculated both
numerically and analytically, and the two of the solutions are compared to
the resulting temperature profile of the two dimensional model. In a similar
way, the temperature profiles are coupled with the enzymatic and microbial
inactivation models, and the results are compared in order to see if a similar
final enzymatic activity outcome is obtained with the simplified temperature
model. This dimensional reduction is reasonable to do in some cases, which are
specified in this work.
Bibliografı́a
[1] J. A. Infante, B. Ivorra, Á. M. Ramos and J. M. Rey, On the Modelling and Simulation
of High Pressure Processes and Inactivation of Enzymes in Food Engineering. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences (M3AS), Vol. 19, No. 12, (2009) pp.
2203–2229.
201
Modelos de valoración de negocios basados en
EDPs y su resolución numérica
D. Castillo, A. Ferreiro, J. A. Garcı́a, C. Vázquez
[email protected], [email protected], [email protected],
[email protected]
Resumen
En la literatura más clásica se modela el valor de un negocio como una
variable estocástica. Sin embargo, los parámetros de volatilidad y tendencia
son difı́ciles de observar directamente. Por ello, en [1] se proponen modelos en
los que el valor depende de la ganancia anual y el saldo o cuenta bancaria
de la compañı́a. Para la primera se supone un comportamiento estocástico de
tipo lognormal. Esta ganancia menos los gastos se capitalizan en una cuenta
bancaria, de modo que el valor de la empresa es función de ambos y del instante
de tiempo. Utilizando herramientas de valoración de opciones se obtiene una
ecuación de tipo Kolmogorov para el valor del negocio. El tipo problema y el
dominio de validez de dicha ecuación dependen del estado legal y del régimen de
responsabilidad de la empresa. Por ejemplo, pueden permitirse saldos negativos
en la cuenta corriente o imponerse que el valor del negocio sea superior a dicho
saldo (problema de frontera libre).
En el presente trabajo se estudian las condiciones de contorno necesarias para
que los distintos problemas estén bien planteados, se presentan resultados del
análisis matemático de los modelos y se plantean métodos numéricos eficientes
para su resolución. En concreto, utilizaremos una semidiscretización en tiempo
con el método de las caracterśticas en la dirección en la que el problema es de
transporte puro y diferencias finitas de segundo orden en la dirección en la que
hay difusión. Esta estrategia, parecida a la utilizada en [2], permite la resolución
en paralelo de los sistemas asociados a la dirección con difusión.
El buen comportamiento de los métodos numéricos se ilustra primeramente
sobre un problema con solución analı́tica y a continuación sobre los distintos
modelos, algunos de ellos con frontera libre. Para poner de manifiesto las ventajas de la paralelización se han implementado resoluciones en un cluster y en
GPUs, que se benefician de la estrategia numérica elegida.
Bibliografı́a
[1] M.Z. Apabhai, N.I. Georgikoppoulos, D. Hasnip, R.K.D. Jamie, M.Kim, P. Wilmott,
A model for the value of a business, some optimization problems in the operating procedures and the value of the deft, IMA Journal of Applied Mathematics, 59 (1997)
273-285.
[2] Y. d’Halluin, P.A. Forsyth, G. Labahn, A semi-lagrangian approach for American Asian
options under jump-diffusion, SIAM Journal on Scientific Computing, 27 (2005) 315345-1065.
202
Comunicaciones
Mathematical modeling for real epidemics
situations. The case of classical swine fever virus
Angel Manuel Ramos, Benjamin Ivorra
http://www.mat.ucm.es/~aramosol,http://www.mat.ucm.es/~ivorra
Beatriz Martı́nez-López, José Manuel Sánchez-Vizcaı́no
Departamento de Sanidad Animal, Universidad Complutense de Madrid
http://www.sanidadanimal.info
Abstract
A model to simulate the spread of within- and between- farm transmission
of Classical swine fever virus (CSFV), referred to as Be-FAST (Between Farm
Animal Spatial Transmission), has recently been described in [1]. It is a spatial
hybrid model, based on the combination of a stochastic individual based model for between-farm spread with a Susceptible-Infected model for within-farm
spread. An important characteristic of this model is the use as an input of the
information available in real databases (for instance, location of farms, number
and type of animals, transport data, etc.).
Model parameters and assumptions are provided and an illustration of the
model’s results is performed by using available data from the Spanish region of
Segovia.
The aim of this model is to quantify the magnitude and duration of potential
CSFV epidemics and, ultimately, to provide support for the decision making
process in future CSFV outbreaks.
In order to evaluate and fully understand the behaviour and performance of
the model, we checked that its structure and results are robust and consistent, by
performing an extensive verification and validation process. Parameters related
with the local spread and with the time from infection to detection of disease
were found to be the most influential in the model outputs.
Sección en el CEDYA 2011: MAI - Modelización y aplicaciones a la industria
Bibliografı́a
[1] B. Martı́nez-López, B. Ivorra, A. M. Ramos & J. M. Sánchez-Vizcaı́no. A novel spatial
and stochastic model to evaluate the within and between farm transmission of classical
swine fever virus: I. General concepts and description of the model. Veterinary Microbiology, Vol. 147, Issues 3–4 (2011) 300–309. DOI link:
http://dx.doi.org/10.1016/j.vetmic.2010.07.009
Otros Temas
203
The degree of uniform approximation by radical
functions
E. Corbacho
Department of Mathematics, University of Extremadura.
[email protected]
Abstract
The radical functions can be employed to approximating uniformly any continuous function defined on [a, b]. In this talk we will prove the following result.
Theorem Let f be a continuous function defined on the interval [a, b] and
let P = {x0 = a, x1 , ..., xn = b} be a partition of [a, b] with xi = x0 + b−a
n · i,
i = 0, ..., n. Then,
M −m
b−a
,
n≥2
kCn − f k ≤ √
+ω
n
n
where k k denotes the uniform norm, M and m are the maximum and minimum
of f on [a, b] respectively, ω (δ) its modulus of continuity and Cn (x) is defined
for all x ∈ [a, b] and n ∈ N by
Cn (x) = f (a) +
n
X
[f (xj ) − f (xj−1 )] ·
j=2
√
xj−1 − a +
p
2n+1
b − xj−1 +
2n+1
√
x − xj−1
√
2n+1
xj−1 − a
2n+1
In addition, we will compare this result with the degree of uniform approximation by arbitrary polynomials and Bernstein polynomials. We will also
ilustrate these remarks with some examples.
Sección en el CEDYA 2011: Teorı́a de Aproximación
Bibliografı́a
[1] E. W. Cheney, Introduction to approximation theory , Ams Chelsea Publishing, 1982.
[2] E. Corbacho, Teorı́a general de la aproximación mediante funciones radicales, Mérida
2006. ISBN 84-690-1149-9
[3] E. Corbacho, Uniform approximation by means of radical functions, I Jaen Conference
on Approximation Theory. July 4th-9th, 2010. Úbeda, Jaen. Spain.
[4] C. G. Esseen, Über die asymptotisch beste Approximation stetiger Funktionen mit Hilfe
von Bernstein-Polynomen, Number. Mat. 2 (1960), 206-213.
[5] G. G. Lorentz, Bernstein polynomials, Chelsea Publishing Company New York. 1986.
[6] P. C. Sikkema, Über den Grad der Approximation mit Bernstein-Polynomen, Number.
Mat. 1 (1959) 221-239.
[7] P. C. Sikkema, Der Wert einiger Konstanten in der Theorie der Approximation mit
Bernstein-Polynomen, Number. Mat. 3 (1961) 107-116.
204
Comunicaciones
Optimización de un problema del valor propio
inverso para cierta clase de matrices
Leila Lebtahi, Néstor Thome
Instituto Universitario de Matemática Multidisciplinar, Universitat Politècnica
de València (ALAMA)
Resumen
El problema de encontrar una matriz A ∈ Cn×n tal que AX = XD se llama
problema del valor propio inverso. En este caso la matriz X ∈ Cn×m y la matriz
diagonal D ∈ Cm×m son conocidas. En la literatura se ha realizado el estudio
del problema del valor propio inverso suponiendo diferentes condiciones sobre
la matriz incógnita A. En particular, en [3], se ha resuelto el caso en el que A es
hermı́tica y anti-reflexiva. Además, en [1], se ha analizado el caso en que A es
una matriz singular reflexiva o anti-reflexiva con respecto a una matriz hermı́tica
tripotente. También, en [2], se ha tratado el problema en el caso en que A es una
matriz hermı́tica reflexiva con respecto a una matriz {k + 1}-potente y normal.
En este trabajo se estudia el problema de optimización relativo a la última clase
de matrices mencionadas.
Bibliografı́a
[1] L. Lebtahi, and N. Thome, The inverse eigenvalue problem for Hermitian reflexive
(anti-reflexive) matrices with respect to a tripotent Hermitian matrix, en las Actas del
Segundo Encuentro de Álgebra Lineal, Análisis Matricial y Aplicaciones, Universidad
Politécnica de Valencia, España, (2010), 1-6.
[2] L. Lebtahi, and N. Thome, El problema del valor propio inverso para cierta clase de
matrices, en las Actas del III Congreso sobre Matemática Aplicada, Computacional e
Industrial, Argentina, (2011).
[3] Zhen-Yun Peng, The inverse eigenvalue problem for Hermitian anti-reflexive matrices
and its approximation, Applied Mathematics and Computation, 162, (2005), pp. 13771389.
Otros Temas
205
Perturbaciones estructuradas en la identificación
de sistemas lineales
Institut de Matemàtica Multidisciplinar, Universitat Politècnica de València
(ALAMA)
{bcanto,mccoll,esanchezj}@mat.upv.es
Resumen
En el diseño de experimentos y la identificación de sistemas un paso importante es el análisis de la identificabilidad estructural. El término estructural del
sistema se refiere a la manera en la que sus componentes están interconectadas.
Normalmente se asume que tanto el sistema como su estructura son conocidos,
salvo un número finito de parámetros que se pretenden determinar. El problema
de identificabilidad estructural consiste en asegurar si los parámetros desconocidos del modelo pueden ser identificados de forma única a partir del experimento
considerado.
En general para la identificabilidad de los parámetros de un sistema lineal es
necesario conocer el comportamiento entra-salida del modelo. Para estudiar la
identificabilidad de los parámetros se utiliza como herramienta los parámetros
de Markov, que juegan un papel fundamental en la teorı́a de control y que nos
servirán para establecer una caracterización de esta propiedad. Un sistema es
estructuralmente identificable si y sólo si, dados dos vectores paramétricos p y
q tales que producen el mismo comportamiento entrada salida, es(p) = es(q)
entonces p = q.
Además, en modelos reales aparecen ciertas perturbaciones que afectan a
las propiedades del modelo. Por lo tanto, es interesante analizar el efecto de
algunos tipos de perturbaciones en el modelo planteado.
En este trabajo se pretende estudiar el comportamiento del modelo sujeto
a ciertas clases de perturbaciones. Para realizar este estudio se enfatiza en la
importancia de la estructura de la perturbación para describir la incertidumbre
que aparece en el modelo estructurado, puesto que el modelo final será consecuencia de la interacción de la perturbación con las componentes del sistema.
En particular, en nuestro estudio consideramos perturbaciones del tipo de realimentación de estados. Cuando se considera que el sistema está sometido a una
realimentación de estados, la matriz de coeficientes de estado se altera dando lugar a la nueva matriz perturbada. Cuando se está modelizando un determinado
proceso, es importante que esta perturbación no altere la estructura inicial de
las matrices del sistema. Por ello, el primer paso que nos planteamos es analizar
que tipo de perturbación se puede considerar para que preserve la estructura
del sistema. Una vez establecido el tipo de perturbación se estudia si el sistema perturbado sigue siendo identificable. Además de esta propiedad también
es interesante ver como afecta la perturbación a otro tipo de propiedades del
sistema. Por ejemplo, las propiedades estructurales y la estabilidad.
Parcialmente subvencionado por PAID-05-10-003-295 y MTM2010-18228
206
Comunicaciones
Identificabilidad de parámetros en sistemas
estructurados
(ALAMA)
Resumen
Los modelos matemáticos son extensamente utilizados en diferentes procesos
técnicos y cientı́ficos. La construcción de un modelo matemático, a partir de observaciones o resultados experimentales, que simule el comportamiento real de
un proceso es una técnica habitual que proporciona ventajas a la hora de analizar
dicho proceso. Por ejemplo, con esos modelos se pretende controlar o predecir
el comportamiento del sistema. Por lo tanto, estos modelos se pueden construir
utilizando diferentes técnicas y con mayor o menor complejidad, pero tendrán
en común que pueden ser usados para predecir el comportamiento del sistema
inicial. Por lo general, el modelo se diseña usando algunas de las propiedades
del sistema y realizando algunas modificaciones en los parámetros ajustables,
pero en muchas ocasiones el modelo tiene que mantener una estructura prefijada y las ecuaciones que lo determinan involucran parámetros desconocidos, por
ejemplo, si estimamos ciertos parámetros que no pueden medirse directamente desde las observaciones que consideramos. En este caso es muy interesante
determinar si dichos parámetros se pueden obtener de forma única manteniendo la estructura del modelo. Por lo tanto, dado un modelo espacio-estado con
parámetros y que mantenga cierta estructura, identificabilidad estructural se
refiere a si los parámetros desconocidos en el modelo puede ser identificados de
forma única a partir del experimento considerado. Ası́, el análisis de identificabilidad estructural es un paso importante en el proceso de modelado y es un
requisito teórico previo necesario para el diseño de experimentos y la identificación del sistema, es decir, para estimar los parámetros desconocidos del modelo
con datos experimentales.
En este trabajo se consideran sistemas lineales paramétricos cuyas matrices
guardan una determinada estructura, por ejemplo, la que se obtiene a través
del método de discretización en diferencias finitas para resolver problemas de
ecuaciones diferenciales o de ecuaciones en derivadas parciales. Se estudian las
propiedades estructurales del modelo, y se obtienen condiciones que garantizan
la existencia de una única solución para los parámetros del sistema. En el estudio
del problema de identificabilidad se utilizan dos enfoques, primero se analiza
sobre la base de la matriz de transferencia y después se analiza utilizando la
estructura de los parámetros de Markov asociados al sistema. Estas dos técnicas
son útiles y podemos aplicarlas en otro tipo de sistemas estructurados. Además,
se construye un algoritmo que nos permite obtener los parámetros del modelo.
Otros Temas
207
Algoritmo para obtener un modelo reducido de
un sistema generalizado con retardos
(ALAMA)
Resumen
La obtención de modelos reducidos a partir de un sistema es una potente
herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el que
estén involucradas muchas magnitudes fı́sicas. A partir de estos modelos reducidos se obtiene información sobre lo que ocurre en el sistema inicial, gracias a
que los resultados obtenidos en el modelo reducido son válidos para el sistema.
Es por ello que esta técnica es muy utilizada en la teorı́a de control.
El estudio de los sistemas generalizados viene motivado por el hecho de
poder representar algunos fenómenos fı́sicos que aparecen en ingenierı́a eléctrica
o mecánica. Estos sistemas pueden verse afectados por retardos, que pueden, por
ejemplo, proceder del tratamiento informático de los datos, de la transmisión
de la información, de la conversión de analógica a digital, etc..
Los sistemas generalizados tienen, en general un estructura no causal, debido
a que los impulsos son causados por la estructura singular de estos sistemas o
que las condiciones iniciales son inconsistentes. Esto hace que sea importante
estudiar el concepto de causalidad para un sistema generalizado con retardos.
La propiedad de causalidad puede definirse como la propiedad en que los
valores de la salida del sistema causal depende sólo de los valores presentes y
pasados de la entrada al mismo, y no están afectados por los valores futuros;
es decir, que el efecto no puede preceder la causa. La causalidad de sistemas
dinámicos viene siendo estudiada desde hace mucho tiempo ya que su concepto
y sus propiedades juegan un importante papel en la solución de los problemas
de realización, control óptimo o teorı́a de la estabilidad.
El objetivo de este trabajo es construir un algoritmo que obtenga un modelo reducido a partir de un sistema generalizado con retardos. De este modo
se analizará el problema de causalidad usando este modelo reducido asociado. Además se testará la propiedad de causalidad para el sistema generalizado
con retardos y se obtendrán algunas condiciones que aseguren la propiedad de
causalidad via la realimentación de estados, esto es, se estudiará la propiedad
de Y–controlabilidad de este tipo de sistemas.
208
Comunicaciones
L. J. Álvarez Vázquez, A. Martı́nez
Dpto. de Matemática Aplicada II, Universidade de Vigo
J. J. Júdice
Dpto. de Matemática, Universidade de Coimbra
[email protected]
C. Rodrı́guez, M. E. Vázquez Méndez, M. A. Vilar
Dpto. de Matemática Aplicada, Universidade de Santiago de Compostela
[email protected]
Resumen
Las escalas de peces son estructuras hidráulicas construidas en la red fluvial
con el objetivo de permitir a los peces superar los obstáculos que en ella se
encuentran (por ejemplo, presas de plantas hidroeléctricas), preservando ası́ la
migración natural entre agua dulce y agua salada. Los variados tipos de escalas utilizadas obedecen a diferentes situaciones (caracterı́sticas del medio donde
deben ser construidas y tipo de peces que por ellas deben pasar), pero todas
tienen un objetivo común: tratar de que la velocidad de la corriente de agua en
la escala sea lo más adecuada posible a las capacidades natatorias de los peces
que han de atravesarla. Las escalas de estanques sucesivos son las más utilizadas
debido a sus grandes posibilidades de uso. El diseño más sencillo de este tipo
de pasos consiste en una rampa inclinada con una serie de tabiques instalados
perpendiculares al flujo, configurando una serie de estanques escalonados. La
construcción de estos tabiques admite variantes dependiendo de cómo se desee
que se realice el paso de agua de un estanque a otro.
En este trabajo - completando las experiencias iniciadas ya en [1] - se presenta
un nuevo problema de diseño óptimo de una escala de peces en la que el paso de
agua de un estanque al siguiente se produce a través de hendiduras verticales
en los tabiques. Se tratará de controlar la velocidad de la corriente de agua por
medio de la localización y longitud de los tabiques mencionados. En esta comunicación se describe el problema fı́sico, se formula como un problema de control
óptimo de forma, y se aproxima por un problema de optimización discreta que se
resolverá utilizando dos métodos diferentes: el algoritmo de Nelder-Mead (que
no utiliza derivadas) y el método SPG (Spectral Projected-Gradient). Finalmente, se presentan y comparan los resultados numéricos obtenidos sobre una
escala estándar.
Sección en el CEDYA 2011: OTROS TEMAS (Control)
Bibliografı́a
[1] L.J. Alvarez-Vázquez, A. Martı́nez, C. Rodrı́guez, M.E. Vázquez-Méndez, M.A. Vilar.
Optimal shape design for fishways in rivers. Math. Comput. Simul., 76 (2007), 218-222.
Otros Temas
209
Institut de Matemàtica Multidisciplinar,
Universitat Politècnica de València (ALAMA),
E-46022 Valencia.
Resumen
Es conocido que una matriz A ∈ Rn×n simétrica definida positiva, admite
una única factorización de Cholesky A = LLT , donde L ∈ Rn×n es triangular
inferior con diagonal principal positiva. Cuando A es semidefinida positiva se
puede comprobar que, en general, la factorización no es única. En esta comunicación utilizando la factorización de matrices de rango completo y el método
de quasi-Gauss [1] demostramos la unicidad de la factorización de Cholesky de
rango completo para este tipo de matrices. Estos resultados pueden extenderse a matrices rectangulares A ∈ Rn×m con rank(A) = r < mı́n{n, m} para
obtener la factorización de Cholesky de rango completo de la matriz simétrica
semidefinida positiva AT A.
Este trabajo está financiado por el proyecto de la DGI MTM2010-18228 y
el Programa de Apoyo a la Investigación y Desarrollo (PAID-06-10) de la UPV.
Bibliografı́a
[1] R. Cantó, B. Ricarte and A. M. Urbano. Full rank factorization and the Flanders
theorem. Electronic Journal of Linear Algebra, vol. 18 (2009), 352-363.
210
Comunicaciones
Los sistemas de control en la elaboración de un
plan de aprovechamiento cinegético
E-46022 Valencia.
Resumen
La caza constituye uno de los aprovechamientos forestales de mayor importancia socioeconómica de todos los existentes en la Comunidad Valenciana.
Con un número de cazadores superior a 100.000, genera un considerable flujo
económico y empleo en el medio rural.
El principal objetivo de este trabajo es modelizar la dinámica de crecimiento
de ciertas poblaciones presentes en una reserva con aprovechamiento cinegético
mediante un sistema lineal de control [1], [2], [3]. Se pretende que el modelo pueda predecir la evolución en el tiempo que experimentará la población en estudio
debido a sus caracterı́sticas intrı́nsecas (tasa de reproducción y supervivencia)
ası́ como el efecto de la caza. La idea es poder estimar la caza anual a la que
puede verse sometida la población de manera que se consiga llevar y mantener
alrededor de la capacidad de carga de la reserva, garantizando la máxima eficiencia dentro de la sostenibilidad del medio natural. El modelo debe distinguir
entre grupos de edades y sexo, mantener la densidad poblacional ası́ como una
distribución determinada de individuos entre los distintos grupos.
Este trabajo está financiado por el proyecto MTM2010-18228 de la DGI y
Bibliografı́a
[1] H. Caswell. Matrix Population Models: construction, analysis and interpretation. Sinauer Associates, Inc. Publishers (2001), Sunderland, Massachusetts.
[2] E. Flipse and J. M. Veling. An application of the Leslie matrix model to the population
dynamics of the hooded seal, Cystophora cristata erxleben. Ecological Modelling, vol.
24 (1984), 43-59.
[3] G. Gauthier and J. D. Lebreton. Population models for greater snow geese: a comparison of different approaches to assess potential impacts of harvest. Animal Biodiversity
and Conservation, vol. 27.1 (2004), 503-514.
Otros Temas
211
Algunas aplicaciones de un resultado de Brauer
R. Bru, R. Cantó, A.M. Urbano
E-46022 Valencia.
Resumen
Brauer [1] en 1952 demuestró como cambiar un valor propio de una matriz
A a partir de una permutación de rango 1 sin modificar el resto de valores
propios de A. En este trabajo presentamos algunas aplicaciones que podemos
deducir del resultado. En particular, obtenemos que los polos de un sistema
de control en lazo cerrado pueden colocarse de forma arbitraria mediante un
feedback de estados, incluso en el caso en que el sistema no sea controlable.
Otras aplicaciones están relacionadas con la forma de Jordan de A, el método de
deflación de Wielandt para matrices arbitrarias y el de Hotelling para matrices
simétricas. In 1953, Perfect [2] presentó una extensión del teorema de Brauer
que permitı́a cambiar r valores propios λ1 , . . . , λr , r < n, de la matriz A de
orden n, mediante una perturbación de rango r sin cambiar el resto de sus
valores propios λr+1 , . . . , λn . También presentamos diversas aplicaciones que se
deducen de este resultado.
Este trabajo está financiado por el proyecto de la DGI MTM2010-18228 y
Bibliografı́a
[1] A. Brauer. Limits for the characteristic roots of matrices IV: Applications to stochastic
matrices. Duke Math. J., vol. 19 (1952), 75-91.
[2] H. Perfect. Methods of constructing certain stochastic matrices. Duke Math. J., vol. 20
(1953), 395-404.
212
Comunicaciones
Muestero generalizado en subespacios
invariantes por traslación de L2(Rd )
Antonio G. Garcı́a, Héctor R. Fernández-Morales
Dpto. de Matemáticas, Universidad Carlos III de Madrid
Gerardo Pérez-Villalón
Dpto. de Matemáticas EUITT, Universidad Politécnica de Madrid
[email protected]
Resumen
El clásico teorema de muestreo de Shannon nos dice que toda función de L2 (R)
cuya transformada de Fourier está soportada en el intervalo [−π, π], i.e., perteneciente al espacio de Paley-Wiener P Wπ , se puede recuperar mediante la
fórmula
∞
X
sin π(t − n)
, t ∈ R.
f (n)
f (t) =
π(t − n)
n=−∞
Este resultado teórico fundamental presenta, sin embargo, una serie de problemas desde el punto de vista de las aplicaciones como se pone de manifiesto en [7];
la más importante, el lento decaimiento a 0 de la función seno cardinal sin πt/πt
cuando |t| → ∞. Ello ha llevado, en los últimos años, a investigar el problema
de muestreo y reconstrucción en espacios invariantes por traslación, en donde el
generador sea una función con mejores propiedades que la función seno cardinal,
por ejemplo, los B-splines [6]. Véanse también las referencias [1, 4, 5].
En el presente trabajo suponemos que VΦ2 es el subespacio invariante por
traslación de L2 (Rd ) generado por el conjunto de funciones Φ := {ϕk }rk=1 ⊂
L2 (Rd ), de manera que
VΦ2 :=
r
n X X
α∈Zd k=1
o
dk (α) ϕk (t − α) : {dk (α)} ∈ ℓ2 (Zd ), k = 1, 2 . . . , r .
Supongamos que sobre el espacio VΦ2 actúan s sistemas de convolución (filtros en términos de ingenierı́a) Lj f := f ∗ hj , j = 1, 2, . . . , s , y que muestreamos cada función Lj f ∈ VΦ2 sobre el retı́culo M Zd , donde M denota una
matriz de entradas en Z con determinante positivo. Nos planteamos el problema de la recuperación estable de f ∈ VΦ2 a partir de la sucesión de muestras
{Lj f (M α)}α∈Zd , j=1,...,s . Es decir, buscamos s funciones Sj en VΦ2 de manera que la sucesión {Sj (t − M α)}α∈Zd , j=1,...,s forme un frame en el espacio de
Hilbert VΦ2 para el que se verifique el desarrollo:
f (t) =
s X
X
j=1 α∈Zd
Lj f (M α)Sj (t − M α) ,
Para lograr este objetivo se siguen los siguientes pasos:
t ∈ Rd .
(41)
Otros Temas
213
1. El espacio de Hilbert producto L2r [0, 1)d := L2 [0, 1)d × · · ·× L2 [0, 1)d (r veces)
se pone en correspondencia con el espacio VΦ2 mediante un cierto isomorfismo
TΦ .
2. Las muestras {Lj f (M α)}α∈Zd ,j=1,...,s se escriben, bajo ciertas hipótesis sobre
las funciones hj , como productos internos, con respecto a una cierta sucesión,
en el espacio L2r [0, 1)d .
3. Se caracteriza cuándo la sucesión del apartado anterior es un frame en L2r [0, 1)d
y se obtienen sus frames duales.
4. Mediante el isomorfismo TΦ se obtienen las funciones Sj ∈ VΦ2 para las que
la sucesión {Sj (t − M α)}α∈Zd , j=1,...,s es un frame de VΦ2 con el desarrollo
correspondiente (41).
Es importante resaltar que, necesariamente, se verifica que s ≥ r(det M ). Si se
da la igualdad, estamos en el caso de bases de Riesz y la fórmula (41) que se
obtiene es única. En el caso en que s > r(det M ), el denominado oversampling,
existen infinitas sucesiones {Sj (t − M α)}α∈Zd , j=1,...,s para las que la fórmula
(41) es válida; ésto abre la posibilidad de buscar funciones de reconstrucción
Sj con buenas propiedades prefijadas. Una fórmulas de muestreo (41) se implementa mediante un banco de filtros discretos.
Las técnicas matemáticas involucradas en el trabajo corresponden a espacios invariantes por traslación finitamente generados, a espacios de Hilbert con
núcleo reproductor y, fundamentamente, a la teorı́a de frames y bases de Riesz
en espacios de Hilbert (véase la referencia [3]).
Sección en el CEDYA 2011: Teorı́a de Aproximación
Bibliografı́a
[1] A. Aldroubi and M. Unser. Sampling procedures in function spaces and asymptotic
equivalence with Shannon’s sampling theory. Numer. Funct. Anal. Optimiz., 15(1):1–
21, 1994.
[2] A. Aldroubi, Q. Sun and W-S. Tang. Convolution, average sampling, and a Calderon
resolution of the identity for shift-invariant spaces. J. Fourier Anal. Appl., 11(2):215–
244, 2005.
[3] O. Christensen. An Introduction to Frames and Riesz Bases, Birkhäuser, Boston, 2003.
[4] A. G. Garcı́a, M. A. Hernández-Medina and G. Pérez-Villalón. Generalized sampling in
shift-invariant spaces with multiple stable generators. J. Math. Anal. Appl., 337 (2008),
69–84.
[5] A. G. Garcı́a and G. Pérez-Villalón. Multivariate generalized sampling in shift-invariant
spaces and its approximation properties. J. Math. Anal. Appl., 355 (2009), 397–413.
[6] M. Unser. Splines: A perfect fit for signal and image processing. IEEE Signal Process.
Mag., 16 (1999),22–38.
[7] M. Unser. Sampling 50 Years After Shannon. Proc. IEEE, 88 (2000), 569–587.
214
Comunicaciones
The Weighted-Powerp mean
and interpolatory subdivision schemes.
F. Aràndiga, R. Donat, M. Santágueda
Dept. de Matemàtica Aplicada, Universitat de València.
{arandiga, donat, maria.santagueda}@uv.es
Summary
Subdivision schemes are a powerful tool for the fast generation of curves and
surfaces in computer-aided geometric design. In such algorithms discrete data
are recursively generated from coarse to fine scale by means of local rules. The
stability and the convergence of such refinement processes, as well as the existence and smoothness properties of their limit functions have been the subject
of active research in recent years, [4, 5].
A. Marquina and S. Serna [6] introduced a new class of ENO reconstruction
techniques, called Power ENO methods, which were considered and analyzed in
the subdivision context by K. Dadourian in [3], introducing the so-called Powerp
subdivision schemes. In this work, we analyze a generalization of the Powerp
mean, based on a harmonic weighted mean, the Weighted-Powerp mean, instead
of the plain harmonic mean considered in [?]. Our development is motivated by
the more complicated analysis of WENO subdivision schemes [1, 2], and we shall
see that this newly defined mean can be of use in constructing nonlinear versions
of linear schemes, of higher order of approximation than the Powerp . We analyze
the convergence, the stability, the regularity and the order of approximation of
some of the resulting subdivision schemes.
Section in CEDYA 2011: Other topics.
Bibliografı́a
[1] Aràndiga F., A. M. Belda and P. Mulet, “Point-value WENO interpolation and multiresolution applications” . Technical report, group of numerical analysis, (2008).
[2] Cohen A., N. Dyn and B. Matei, “Quasilinear subdivision schemes with applications to
ENO interpolation”, Appl. Comput. Harmon. Anal. 15 89-116 (2003).
[3] Dadourian K., “Schémas de Subdivision, Analyses Multirésolutions non-linéaires. Applications” PhD Thesis, Université de Provence, (2008).
[4] Daubechies I. and J. Lagarias. “Two scale differences equation:I. Existence and global
regularity of solutions”. SIAM, J. Math. Anal, 22, 1388–1410,(1991).
[5] Daubechies I. and J. Lagarias. “Two scale differences equation:II. Local regularity,
infinite products of matrices and fractals”. SIAM, J. Math. Anal, 23, 1031–1079, (1992).
[6] Marquina A. and S. Serna, “Power ENO methods: a fifth order accurate Weighted
Power ENO method”. Journal of computational physics, 117:632-658, (2004).
Otros Temas
215
Approximation methods for convex feasibility
problems
Victoria Martı́n Márquez
Dpto. de Análisis Matemático, Universidad de Sevilla
[email protected]
Resumen
A common problem in diverse areas of mathematics and physical sciences
consists of trying to find a point in the intersection of convex sets, which is
referred to as the convex feasibility problem, CFP. The relevance of this problem
lies in its broad range of applications, for instance, in convex optimization,
partial differential equations, control theory, signal processing or computerized
tomography, among others (see [1, 3]).
The multiple-sets split feasibility problem, MSSFP, is based on finding a
point belonging to the intersection of a family of closed convex sets whose image
under a linear transformation is contained in the intersection of another family
of closed convex sets. It generalizes the CFP and other feasibility problems.
Some inverse problems where constraints are imposed on the solutions in the
domain as well as in the range of a linear operator can be formulated as a
MSSFP. In particular, the MSSFP was first investigated in order to model the
inverse problem of the Intensity-Modulated Radiation Therapy (see [2]).
The aim of this talk is to provide a theoretical background of algorithmic
developments and convergence results by means of optimization and fixed point
approaches for iteratively solving the MSSFP in the framework of Hilbert spaces
(see [4]).
Sección en el CEDYA 2011: OTROS TEMAS : Teorı́a de aproximación, Optimización
Bibliografı́a
[1] H. Bauschke and J. M. Borwein, On projection algorithms for solving convex feasibility
problems. SIAM Rev. 38 (1996), 367-426.
[2] Y. Censor, T. Elfving, N. Kopf and T. Bortfeld, The multiple-sets split feasibility problem and its applications for inverse problems. Inverse Problems 21 (2005), 2071-2084.
[3] P. L. Combettes, The convex feasibility problem in image recovery. Adv. Imaging Electron Phys. 95 (1996), 155-270.
[4] G. López, V. Martı́n-Márquez and H. K. Xu, Iterative algorithms for the multiplesets split feasibility problem Biomedical Mathematics: Promising Directions in Imaging,
Therapy Planning and Inverse Problems, Medical Physics Publishing, Madison, WI,
USA, 2010.
216
Comunicaciones
Manuel F. Abad, Marı́a T. Gassó, Juan R. Torregrosa.
Instituto de Matemática Multidisciplinar,
Universidad Politécnica de Valencia. (ALAMA)
[email protected], [email protected], [email protected].
Resumen
Una matriz real A = (aij ), de tamaño n × n, se dice que es una B-matriz si
para todo i = 1, 2, . . . , n, se cumple
!
n
n
X
1 X
aik > 0 y
aik > aij , ∀j 6= i.
n
k=1
k=1
Esta clase de matrices fue introducida por J.M Peña en [1] donde, además
de presentar algunas de sus propiedades, hizo énfasis en su aplicación para la
localización de valores propios reales de una matriz real.
En este trabajo vamos a estudiar cómo se comporta esta clase de matrices
bajo el producto Hadamard. Recordemos que dadas dos matrices del mismo
tamaño A = (aij ) y B = (bij ), se define el producto Hadamard (producto
elemento a elemento) como la matriz C = A ◦ B = (aij bij ). En general, el
producto Hadamard de B-matrices no es B-matriz, como podemos comprobar
con el ejemplo


4 −3 0


A =  0 1 0 .
0 0 1
A es una B-matriz, pero sin embargo A ◦ A no lo es.
En este trabajo analizamos bajo qué condiciones el producto Hadamard
de B-matrices es una B-matriz. Concretamente, demostramos que si las matrices son no negativas el producto Hadamard es estable dentro de la clase de
B-matrices. A partir de este resultado establecemos también una serie de restricciones a los patrones de signos que deben tener las B-matrices para que el
producto Hadamard siga estando en la misma clase.
Sección en el CEDYA 2011: OTROS TEMAS.
Bibliografı́a
[1] J. M. Peña, A class of P-Matrices with applications to the localization of the eigenvalues of a real matrix, Siam J. Matrix Anal. Appl. Vol. 22, No. 4, pp. 1027-1037,
2001.
Otros Temas
217
Consistency and efficient solution of the
Sylvester equation for ⋆-congruence:
AX + X ⋆ B = C
Froilán Martı́nez Dopico, Fernando De Terán Vergara
Dpto. de Matemáticas, Universidad Carlos III de Madrid (ALAMA)
Resumen
We consider the matrix equation AX + X ⋆ B = C , where the matrices A and B
have sizes m × n and n × m, respectively, the size of the unknown X is n × m,
and (·)⋆ denotes either the transpose or the conjugate transpose of a matrix. We
provide, first, a necessary and sufficient condition for the existence of solutions
in any field. This condition is in the spirit of the well-known Roth’s criterion
for the existence of solutions of the standard Sylvester equation. In addition, we
present, in the real or complex square case m = n, a generalized Schur algorithm
to solve the equation in O(n3 ) flops when the solution is unique. The equation
AX + X ⋆ B = C is connected with palindromic eigenvalue problems and some
particular cases in the complex field have attracted recently the attention of
several authors. Byers, Kressner, Schröder and Watkins have established for
the square case necessary and sufficient conditions for the existence of a unique
solution for every right-hand side, while De Terán and Dopico have solved the
homogeneous equations AX + X ⋆ A = 0 and studied their relationship with
orbits of matrices under the action of ⋆-congruence.
Sección en el CEDYA 2011: AN, Otros temas
218
Comunicaciones
A. Martı́n1 , J.F. Garamendi2 , A. G. Seco de Herrera3 , E. Schiavi4
Laboratorio de Analı́sis de Imagen Médica y Biometrı́a1
Laboratorio de Neuroimagen, Centro de Tenologı́a Biomédica2
General Electric Healthcare3 , Dpto. de Matemática Aplicada4 ,
Universidad Rey Juan Carlos
[email protected],[email protected],
Resumen
Medical image denoising and restoration are key steps for diagnosis and tracking of neurodegenerative processes such as Alzheimer and Parkinson diseases.
We consider here a Rician-based denoising model suitable for structural MRI
brain images. This model can be deduced using a Bayesian approach and it
represents a modification of the model recently proposed in [1] where a PeronaMalik type operator is considered. Here we consider to regularize using the Total
Variation operator. This provides a more robust mathematical and numerical
treatment of the problem because of the well known properties of the Total
Variation operator. The basic problem of this technique relies on the resolution
of the following variational minimization problem: Let Ω be a bounded, open
domain. Given f ∈ L∞ (Ω) find u ∈ BV (Ω) ∩ L∞ (Ω) such that u = min E(u),
E(u) = J(u) + λH(u, f ) where J(u) is the convex nonnegative total variation
regularization functional J(u) = |u|BV = |Du|(Ω) and |u|BV denotes the seminorm in the space BV (Ω). It is defined by the vectorial bounded Radon measure
given by the generalized gradient Du. More details in [2]. Finally, the (hyperparameter) λ controls the trade off between the energy terms. The likelihood
term H(u, f ) is the following fitting functional
Z 2
uf
u + f2
− log I0
dx
H(u, f ) =
2
2σ
σ2
Ω
where the parameter σ is the standard deviation of the noise and I0 is the
modified zeroth-order Bessel function of the first kind.
In this talk we shall present the numerical resolution of the variational problem and some preliminary results obtained with phantom and real brain images
kindly provided by the Hospital Fundación Reina Sofı́a of Madrid. This research
has been funded by the Project TEC2009-14587-C03-03.
Sección en el CEDYA 2011: OTROS TEMAS (Tratamiento de Imágenes)
Bibliografı́a
[1] S. Basu, T. Fletcher, and R. Whitaker, Rician noise removal in diffusion tensor MRI,ı̈n
Proc. of MICCAI’06, ser. LNCS 4190, M. Nielsen and J.Sporring, Eds. Springer, October 2006, pp. 117-125.
[2] L. Ambrosio, N. Fusco, D. Pallara, Functions of bounded variation and free discontinuity
problems. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University
Press, New York, 2000.
Otros Temas
219
Construction of turbo codes of rate 1/n with
maximum effective free distance from linear
system point of view
P. Campillo, A. Devesa, V. Herranz, C. Perea
Dpto. de Estadı́stica, Matemáticas e Informàtica, Universidad Miguel
Hernández
[email protected],[email protected], [email protected],
[email protected]
Resumen
A turbo encoder is formed by parallel concatenation of several recursive
systematic convolutional encoders separated by a random interleaver. Turbo
codes were first introduced in 1993 by Berrou, Glavieux, and Thitimajshima
[1]. Actually are one of the most effective methods of generating codes with
high error correction capability. Divsalar and McEliece [3] introduce and
establish some theoretical bounds for the effective free distance. In this paper,
using the input-state-output modelization of turbo codes introduced by
Campillo, Devesa, Herranz and Perea [2], we present a construction of tubo
code with rate 1/n and maximum effective free distance.
Sección en el CEDYA 2011: OTROS TEMAS
Bibliografı́a
[1] JC. Berrou, A. Glavieus and P. Thitimajshima. Near Shannon limit error-correcting
coding and decoding: turbo codes (1) . International Conference on Communication.
1064-1070 IEEE, Geneva, Switzerland, 1993.
[2] Modelization of Turbo Encoder from Linear System Point of View. Proceedings of the
10th International Conference on Computational and Mathematical Methods in Science
and Engineering, CMMSE 2010.
[3] D. Divsalar and R.J. McEliece. Effective freee distance of turbo codes. Electronics Letters Vol 32, No 5 445-446.
220
Comunicaciones
An improved algorithm for computing the
median of the Erlang distribution
P. Jodrá
Dpto. de Métodos Estadı́sticos, Universidad de Zaragoza, Spain
[email protected]
Resumen
Let Xn be a random variable having the Erlang distribution with shape
parameter n + 1 and scale parameter 1, that is, its cumulative distribution
function is
Z
1 x n −t
Fn (x) := P (Xn ≤ x) =
t e dt,
x ≥ 0 (n = 0, 1, 2, . . . ).
n! 0
The median λn of Xn is defined as the solution of the equation Fn (λn ) = 1/2.
Choi [2] gave a procedure for computing the following asymptotic expansion
of λn
r
2 X qi
1
,
(42)
λn = n + +
+O
3 i=1 ni
nr+1
where qi are rational coefficients, and he gave the first four terms. However,
from a computational point of view, Choi’s procedure is not efficient and only a
few terms can be obtained. Adell and Jodrá [1] gave the first seven coefficients
and proposed a method to obtain rational bounds for λn from expansion (42).
In this work, we develop an improved algorithm for computing a large number of terms in the asymptotic expansion of λn . In particular, we provide the
exact values of the first sixty coefficients in expansion (42) which allow us to
answer the following questions: (i) Does the series {|qi |}i≥1 converge to 0 such
as numerical results in [1] may be suggesting? (ii) Which is the partial sum in
(42) closest to the value of the median of Xn as well as the number of correct
significant digits?
This research has been funded by DGA (Grupo PDIE) and Vicerrectorado de
Investigación (Universidad de Zaragoza), project 226/128.
Bibliografı́a
[1] J.A. Adell, P. Jodrá. On a Ramanujan equation connected with the median of the gamma
distribution. Trans. Am. Math. Soc. 360 (2008) 3631-3644.
[2] K.P. Choi. On the medians of gamma distributions and an equation of Ramanujan. Proc.
Amer. Math. Soc. 121 (1994) 245-251.
Otros Temas
221
Recuperación de Splines a partir de Medias
Locales
Gerardo Pérez Villalón, Antonio Garcı́a Garcı́a
Dpto. de Matemáticas de la EUITT, Universidad Politécnica de Madrid
Resumen
Consideraremos el problema de aproximar una función y(t) a partir de una
sucesión de sus muestras tomadas en puntos equiespaciados yn := y(n). Una
técnica que se utilizada frecuentemente por sus ventajas computacionales y por
proporcionar una buena aproximación cuando y(t) es suave, es la interpolación
con splines cardinales. Consiste en encontrar la función f (t) perteneciente al
espacio de splines cardinales de grado l,
Sl,γ = f ∈ C l−1 (R) : f |(k,k+1) ∈ Πl , k ∈ Z, f (t) = O(|t|γ ) ,
(Πl denota a los polinomios de grado menor o igual a l) que interpole a las
muestras, f (n) = yn , y tomar esta función f (t) como la aproximación deseada.
Schoenberg [2] estudio la existencia y unicidad de la solución de este problema.
En ocasiones, debido a las caracterı́sticas de los mecanismos de adquisición
de las muestras, no es realista suponer el conocimiento de las muestras, sino de
medias ponderadas de la función,
Z ∞
yn = w ∗ y(n) =
y(n − t)w(t)dt
−∞
donde w(t) es una función que modeliza el mecanismo de medida, lo cual ha
motivado diversos estudios de la recuperación de splines de Sl,γ a partir de sus
medias ponderadas (véase [1, 3, 4]). En esta comunicación se trata la recuperación de splines f (t) de Sl,γ a partir de medias en el caso de que w(t) sea la
función caracterı́stica de un intervalo (−h, h), es decir la recuperación a partir
de las medias locales
Z n+h
f (t)dt,
n ∈ Z.
yn =
n−h
Sección en el CEDYA 2011: Teorı́a de la Aproximación.
Bibliografı́a
[1] A. G. Garcı́a and G. Pérez-Villalón., Dual frames in L2 (0, 1) connected with generalized
sampling in shift-invariant spaces, Appl. Comput. Harmon. Anal., 20 (3), pag. 422-433,
2006.
[2] I. J. Schoenberg, Cardinal Spline Interpolation, SIAM Regional Conference Series in
Appl. Math., 1973.
[3] W.C. Sun, X.W. Zhou, Average sampling in spline subspaces, Appl. Math. Lett. 15 (2),
pag. 233-237, 2002.
[4] J. Xian and D. Li, Reconstruction Algorithm of Signals from Special Samples in Spline
Spaces. Lectures Notes en Comput. Scin. 3516, pag. 325-348, 2006.
222
Comunicaciones
Generalized wavelets operators design using
kernel statistical methods. Application to
compression of signals and images
D. F. Yáñez
Dpto. Matemáticas, CC.NN. y CC.SS. aplicadas a la educación, Univ.
Católica de Valencia
[email protected]
F. Aràndiga
Dpto. de Matemática Aplicada, Univ. de Valencia
[email protected]
Resumen
Statistical learning plays a key role in many areas of science. The learning
problem consists on predict some data (output data set) from a training set
of data, f (X) ∈ Rn . For this we can use different methods. In order to design
a prediction operator in multiresolution context we use a class of regression
techniques that achieve flexibility in estimating the prediction function fˆ over
the domain Rn by fitting a different but simple model separately at each query
point x0 . This is done by using only those observations close to the target point
x0 to fit the simple model, and in such a way that the resulting estimated
function is smooth. The localization is achieved via a weighting function or
kernel Kλ (x0 , xi ), which assigns a weight to xi , based on its distance from x0 .
Therefore, if {(xj , fj )}nj=1 is the training set the prediction operator will be the
solution of the follow functional:
fˆ0 (x) = arg mı́n
n
X
z(x)∈Πr1 (R) j=1
Kλ (x0 , xj )L(fj , z(xj ))
where Πr1 (R) is the set of polynomial of degree r and L(x, y) is a loss function
which measures the distance between the real value and the approximation
result.
We use the method in the compression of digital images analyzing the results
depending on the different kernel and loss functions. We compare traditional
methods with this new method obtaining relevant and interesting results.
Bibliografı́a
[1] Aràndiga, F., Donat, R.: Nonlinear multiscale decompositions: The approach of A.
Harten, Numerical Algorithms, (2000) 23, 175–216
[2] Harten, A.: Multiresolution Representation of data: General framework, SIAM J. Numer. Anal. (1996), 33, 1205–1256
[3] Loader, C.: Local regression and likelihood, Springer, New York, 1999
[4] Hastie, T., Tibshirani R., Friedman, J.: The Elements of Statistical Learning: Data
Mining, Inference and Prediction, Springer, New York, 2009
[5] Yáñez, D. F.: Learning Multiresolution: Transformaciones Multiescala derivadas de la
Teorı́a estadı́stica de Aprendizaje, Phd. Thesis, University of Valencia (2010).
Otros Temas
223
Juan Belmonte-Beitia, Vı́ctor M. Pérez-Garcı́a, David Diego
Castro
Departamento de Matemáticas, E. T. S. I. Industriales e Instituto de
Matemática Aplicada a la Ciencia y la Ingenierı́a, Universidad de Castilla-La
Mancha, 13071 Ciudad Real, Spain.
Gabriel Fernandez
Departamento de Matemáticas, E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos e
Instituto de Matemática Aplicada a la Ciencia y la Ingenierı́a, Universidad de
Castilla-La Mancha, 13071 Ciudad Real, Spain.
[email protected]
Luis Pérez-Romasanta
Oncologı́a radioterápica, Hospital General de Ciudad Real, c/ Tomelloso, s/n,
13005 Ciudad Real, Spain
[email protected]
Resumen
En este trabajo, proponemos un modelo que consiste en un sistema de ecuaciones en derivadas parciales no lineal para describir la evolución de gliomas
(tumores cerebrales) de alto grado. El modelo incorpora la interacción de una
población (densidad) de células tumorales con su microentorno constituido por
células sanas y un núcleo necrótico en expansión.
Se ha llevado a cabo tanto un estudio teórico usando teorı́a cualitativa de
sistemas dinámicos como un estudio numérico en forma de simulaciones, y se han
obtenido soluciones explı́citas en los lı́mites relevantes del problema, obteniendo
soluciones onda viajera de tipo soliton brillante para la población de células
tumorales.
Sección en el CEDYA 2011: OTROS TEMAS: Biologı́a Matemática
Bibliografı́a
[1] Vı́ctor M. Pérez-Garcı́a, Juan Belmonte-Beitia, Gabriel Fernandez, David Diego Castro,Luis Pérez-Romasanta Bright solitons in malignant gliomas, preprint.
[2] J. Murray. Mathematical Biology Vols. I, II. Springer.
224
Comunicaciones
Structured perturbation of purely imaginary
eigenvalues of Hamiltonian matrices
Julio Moro
Dpto. de Matemáticas, Universidad Carlos III de Madrid
[email protected]
Rafikul Alam, Shreemayee Bora
Department of Mathematics, IIT Guwahati (India)
Michael Karow, Volker Mehrmann
Institut für Mathematik, Technische Universität Berlin (Alemania)
Resumen
In this talk we present some results regarding the following problem: given
a Hamiltonian matrix with purely imaginary eigenvalues, find Hamiltonian perturbation matrices of minimal size which expel all eigenvalues from the imaginary axis. Such a perturbation analysis is motivated by the so-called passivation
problem in Control Theory: given a non-passive control system (i.e., a system
which generates energy by itself), the problem consists in finding a reasonably
small perturbation which restores passivity to the system. The key to rephrase this problem in the context of Hamiltonian matrices is to connect the size
of the transfer function, evaluated on the imaginary axis, with the imaginary
eigenvalues of a certain auxiliary Hamiltonian matrix.
Working in the Hamiltonian context imposes strong restrictions on the behavior of the eigenvalues, e.g., a simple imaginary eigenvalue cannot leave the
imaginary axis unless it coalesces first with another eigenvalue. One of the key
ingredients to understand such constraints is the sign characteristic of purely
imaginary eigenvalues, a crucial invariant in the structured perturbation analysis. Taking this into account, we present a structured spectral perturbation
theory which, when appropriately combined with structure-preserving eigenvalue algorithms, leads to numerical algorithms for the passivation problem.
Otros Temas
225
Generación de secuencias criptográficas
mediante ecuaciones en diferencias
Amparo Fúster Sabater
Instituto de Fı́sica Aplicada, C.S.I.C.
[email protected]
Pino Caballero Gil
Dpto. DEIOC, Fac. C.C. Matemáticas, Universidad de La Laguna
[email protected]
Resumen
Actualmente el cifrado en flujo es el más rápido entre los procedimientos de
cifrado, de ahı́ que tenga numerosas aplicaciones prácticas como el cifrado de
tráfico en Internet (algoritmo RC4 [3]) o la protección de ficheros en el protocolo
de comunicaciones Bluetooth (función E0 [1]). A partir de una clave secreta y
un generador de secuencia conocido, el procedimiento de cifrado en flujo genera
una secuencia larga (secuencia cifrante) de bits pseudoaleatorios. En emisión,
la secuencia cifrante se suma bit a bit con el mensaje original para generar
el texto cifrado. En recepción, el texto cifrado se suma bit a bit con la misma secuencia cifrante para recuperar el mensaje original. La mayor parte de
los generadores de secuencia cifrante se basan en registros de desplazamiento
con realimentación lineal (Linear Feedback Shift Registers) [2] cuyas secuencias de salida, las PN-secuencias, se combinan no linealmente para producir las
secuencias pseudoaleatorias de aplicación criptográfica. Combinadores no lineales, filtros no lineales o generadores irregularmente decimados son algunos de los
ejemplos más conocidos de este tipo de generador. En este trabajo se muestra
que las secuencias generadas por un generador con decimación irregular (the
generalized self-shrinking generator ) son soluciones particulares de una clase de
ecuaciones lineales en diferencias. De esta forma, algunas propiedades de las
secuencias criptográficas (periodo, complejidad lineal o equilibrio entre número
de 1’s y 0’s) pueden estudiarse fácilmente en términos de soluciones de estas
ecuaciones lineales. Existen otras secuencias solución para este tipo de ecuaciones que no pertenecen a la familia generada por el generalized self-shrinking
generator pero que también presentan buenas propiedades criptográficas. En
resumen, el cálculo de las soluciones de un tipo particular de ecuaciones en diferencias proporcionan una buena herramienta para la generación de secuencias
binarias de uso en cifrado en flujo.
Bibliografı́a
[1] Bluetooth, Specifications of the Bluetooth system, see at http://www.bluetooth.com/
[2] S. Golomb, Shift-Register Sequences, Aegean Park Press, Laguna Hill, California, 1882.
[3] R.L. Rivest. The RC4 Encryption Algorithm. RSA Data Sec., Inc., March 98, available
at http://www.rsasecurity.com
226
Comunicaciones
A computational method for an optimal design
problem in uniform torsion under local stress
constraints
Ernesto Aranda, Jose Carlos Bellido, Alberto Donoso
Dpto. de Matemáticas, Universitad de Castilla-La Mancha
[email protected]
In this paper we explore the possibilities from both a computational and
numerical point of view of a relaxation method studied by the authors in
previous work for related problems. The model problem considered in this
paper for testing our computational method is the optimal design problem of
finding the optimal distribution of two elastic isotropic materials that
maximizes the torsional stiffness of a shaft of constant cross-section, while
keeping the stress below a certain tolerance value at any point. Further to
usual difficulties in optimal design problems, this last constraint is a local
constraint that makes the problem involved from a theoretical point of view
and heavy from a numerical one. The results obtained with our computational
method for this problem are quite satisfactory, getting optimal composite
designs fulfilling the local stress constraint. Our approach pushes forward in a
computational level the ideas in [2]. The material of this talk is contained in [1]
Bibliografı́a
[1] E. Aranda, J.C. Bellido, A. Donoso. A computational method for an optimal design
problem in uniform torsion under local stress constraints. 2011, Submitted.
[2] J.C. Bellido, A. Donoso, P. Pedregal. Optimal design in conductivity under locally constrained heat-flux. Arch. Ration. Mech. Anal., 195(1):333–351, 2010.
Otros Temas
227
Controllability of some systems of parabolic
equations
F. Ammar-Khodja, A. Benabdallah, M. González-Burgos,
L. de Teresa
Laboratoire de Mathématiques, Université de Franche-Comté,
Centre de Mathématiques et Informatique, Université Aix-Marseille 1,
Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México.
[email protected],[email protected],[email protected],
[email protected]
Resumen
In this talk we present some null controllability results for the system


 yt − ∆y = v1ω , qt − ∆q = y1O in Q = Ω × (0, T ),




y = 0 on Σ = ∂Ω × (0, T ),
q = 0 on Σ,
y(x, 0) = y0 (x) in Ω,
(43)
q(x, 0) = q0 (x) in Ω,
posed in a regular bounded domain Ω ⊂ RN . In (43), T > 0 is a final time,
1ω and 1O denote respectively the characteristic functions of the open subsets
ω ⊆ Ω and O ⊆ Ω, y0 , q0 ∈ L2 (Ω) are given, y = y(x, t) is the state and
v = v(x, t) is the control function (which acts only in the first equation).
When ω ∩ O =
6 ∅ it is by now well known that (43) is null controllable at
time T > 0 (see [5, 1, 3]), i.e., for every y0 , q0 ∈ L2 (Ω) there is v ∈ L2 (Q) such
that the solution to (43) satisfies y(·, T ) = q(·, T ) = 0 in Ω.
When ω∩O = ∅ it is also known that system (43) is approximate controllable
at time T > 0 (see [4]), i.e., for every y0 , q0 , yd , qd ∈ L2 (Ω) and ε > 0 there is
v ∈ L2 (Q) such that the solution to (43) satisfies
ky(·, T ) − yd kL2 (Ω) + kq(·, T ) − qd kL2 (Ω) ≤ ε.
In this talk we will present a recent result of null controllability at time T
of system (43) in the case N = 1 and ω ∩ O = ∅. To this end, we will use some
results from [2].
Bibliografı́a
[1] F. Ammar-Khodja, A. Benabdallah, C. Dupaix, I. Kostin, Null-controllability of some
systems of parabolic type by one control force, ESAIM Control Optim. Calc. Var. 11
(2005), no. 3, 426–448.
[2] E. Fernández-Cara, M. González-Burgos, L. de Teresa, Boundary controllability of parabolic coupled equations, J. Funct. Anal. 259 (2010), no. 7, 1720–1758.
[3] M. González-Burgos, R. Pérez-Garcı́a, Controllability results for some nonlinear coupled
parabolic systems by one control force, Asymptot. Anal. 46 (2006), no. 2, 123–162.
[4] O. Kavian, L. de Teresa, Unique continuation principle for systems of parabolic equations, ESAIM Control Optim. Calc. Var. 16 (2010), no. 2, 247–274.
[5] L. de Teresa, Insensitizing controls for a semilinear heat equation, Comm. Partial Differential Equations 25 (2000), no. 1-2, 39–72.
228
Comunicaciones
Actualizaciones de precondicionadores tipo BIF
J. Cerdán, J. Marı́n, J. Mas
Resumen
Sea Ax = b un sistema de ecuaciones lineales donde A es una matriz cuadrada, no simétrica, no singular de gran dimensión y vacia. Una solución aproximada se obtiene aplicando un método iterativo al sistema equivalente M Ax = M b,
donde M es la matriz precondicionadora o precondicionador. Sea B la matriz
obtenida tras aplicar una actualización de rango bajo a la matriz A, es decir,
B = A + P QT y rg(P QT ) = k << n. En este trabajo consideramos el problema
de actualizar un precondicionador previamente calculado para A con el objetivo
de resolver el sistema actualizado Bx = b.
En particular estudiamos la aplicación de precondicionadores tipo BIF [1].
Este método utiliza la propuesta basada en la descomposición ISM [2]. Este
tipo de precondicionadores calcula, al mismo tiempo, la factorización LDU y su
inversa. En el cálculo los factores directos e inversos influyen unos sobre otros
y esto permite utilizar estrategias adecuadas de vaciado que controlan el condicionamiento de los factores. Analizamos como utilizar la estrategia BIF en la
actualización del precondicionador. Veremos como introducir la nueva información en los factores ya calculados sin nececesidad de recalcularlos. Los resultados
de los experimentos numéricos realizados con diferentes tipos de problemas se
presentan al final del trabajo.
Bibliografı́a
[1] R. Bru, J. Marı́n, J. Mas and M. Tuma. Balanced incomplete factorization. SIAM J.
Sci. Comput., Vol. 30(5): 2302-2318, 2008.
[2] R. Bru, J. Cerdán, J. Marı́n, and J. Mas. Preconditioning sparse nonsymmetric linear
systems with the Sherman-Morrison formula. SIAM J. Sci. Comput., 25(2):701–715,
2003.
Otros Temas
229
Estudio del ı́ndice de alcanzabilidad para un
tipo particular de sistemas 2-D positivos
Sergio Romero-Vivo
[email protected]
Esteban Bailo, Josep Gelonch
Dept. de Matemática, Universidad de Lleida
Resumen
Según el modelo espacio-estado de Fornasini-Marchesini, un sistema 2-D
positivo viene descrito de la siguiente forma:
xi+1,j+1 = A1 xi,j+1 + A2 xi+1,j + B1 ui,j+1 + B2 ui+1,j
donde los estados locales n-dimensionales x·,· y los controles m-dimensionales
n×n
n×m
u·,· toman valores no negativos, A1 y A2 ∈ R+
, B1 y B2 ∈ R+
, y las
condiciones iniciales se dan especificando los valores no negativos de los vectores
de estado en el conjunto de separación C0 := {(h, −h) : h ∈ Z}.
Es de gran interés el estudio de varias propiedades estructurales (ver [6], [7],
[8]). Dentro de este análisis, nos centraremos en la propiedad de alcanzabilidad
local y más en particular, en la obtención del ı́ndice de alcanzabilidad de una
clase especial de sistemas 2-D positivos. Dicho ı́ndice ha sido estudiado anteriormente empleando diversas técnicas con el objetivo de obtener cotas superiores
sobre el mismo (ver [1], [3], [4], y [5]). Hasta ahora, la herramienta más efectiva
ha sido la tabla de composición (ver [2]) que permite utilizar elementos básicos
de geometrı́a y facilita la obtención de ejemplos interesantes.
Trabajo financiado por el programa PAID-05-09 número 4334 de la UPV y
por el proyecto MTM2010-18228 del Ministerio de Ciencia e Innovación.
Sección en el CEDYA 2011: OTROS TEMAS (Análisis Matricial y Aplicaciones)
Bibliografı́a
[1] E. Bailo, R. Bru, J. Gelonch y S. Romero. On the Reachability Index of Positive 2D
Systems. IEEE Trans. Circuits Syst. II:Express Briefs, 53-10 (2006), 997-1001.
[2] E. Bailo, R. Bru, J. Gelonch y S. Romero. Sobre el ı́ndice de alcanzabilidad de sistemas
2D positivos. In Cd-Rom Actas XIX CEDYA/IX CMA (2005), Leganés (España).
[3] E. Bailo, J. Gelonch y S. Romero. Additonal results on the reachability index of positive
2-D systems. Lecture Notes in Control and Information Sciences, 341 (2006), 73-80.
[4] E. Bailo, J. Gelonch y S. Romero-Vivo. Índice de alcanzabilidad: Sistemas 2D positivos
con 2 ciclos. In Cd-Rom Actas XX CEDYA/X CMA (2007), Sevilla (España).
[5] E. Bailo, J. Gelonch y S. Romero-Vivo. An upper bound on the reachability index for a
special class of positive 2-D systems. Electron. J. Linear Algebra, 18 (2009), 1-12.
[6] E. Fornasini y M. E. Valcher. Controllability and Reachability of 2-D Positive Systems:
a Graph Theoretic Approach. IEEE Trans. Circuits Syst. I, 52-3 (2005), 576-585.
[7] T. Kaczorek, Positive 1D and 2D Systems, Springer-Verlag, London, 2002.
[8] M. E. Valcher. Reachability Analysis for Different Classes of Positive Systems. Lecture
Notes in Control and Information Sciences, 389 (2009), 73-80.
230
Comunicaciones
A Schur-like form for quadratic matrix
polynomials
Ion Zaballa
Dpto. de Matemática Aplicada y EIO, Universitad del Paı́s Vasco/Euskal
Herriko Unibertsitatea
[email protected]
Françoise Tisseur
Department of Mathematics, University of Manchester, U.K.
[email protected]
Resumen
Quadratic matrix polynomials appear as mathematical models in many engineering applications. A major goal is the design of fast and reliable algorithms
that compute their eigenvalues. A new approach consists in reducing a given
quadratic matrix polynomial L(λ) = L2 λ2 + L1 λ + L0 to (quadratic) triangular
form by preserving its eigenstructure. It will be shown in this presentation that
every complex quadratic matrix polynomial admits a Schur-like triangular reduction where the role of the usual orthonormal eigenvectors is played by some
orthogonal cyclic invariant subspaces. Subspace iteration or Arnoldi methods
can then be applied to compute the dominant cyclic subspaces and consequent
eigenvalues.

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