Dali och Larsson i matematikundervisningen - Ncm

Marianne Rönnbom
Dali och Larsson i
matematikundervisningen
I denna artikel behandlas hur vi kan utveckla språket och bygga upp
begreppsförståelse i matematik med hjälp av konst. I olika situationer får
eleverna kommunicera kring matematik och lära sig använda adekvata ord.
Med hjälp av bilder skapas förståelse.
Hon hejdar sig uppe på krönet av kullen. Snöret, som håller fast den tunglastade
kälken med hö, skär in i handen, och hon lossar lite på det och böjer sig fram
för att kunna se bättre.
Bakom henne sluter sig granarnas skuggor hemlighetsfullt, och gryningsljuset
lindar in den snötäckta marken i ett grått dis.
På andra sidan av den lilla gläntan ser hon fåren. De står längst bort i hagen
tätt hoptryckta med bakarna utåt, som om något nyligen skrämt dem.
(Ur Vargatider av Bisse Falk)
Har författaren med sina ord målat upp en bild i ditt inre? Har hon också förmedlat en sinnesstämning med sin skildring? Har du till och med bestämt hur
gammal ”hon” är och hur hon är klädd?
Med det skrivna ordet överför författaren bilder till läsaren, som utifrån sin
tidigare referensram skapar inre bilder. Hur är det då med de textuppgifter i
matematik som eleverna möter, dessa komprimerade, begreppstyngda texter?
Läser eleverna det som står och skapar sina inre bilder, eller letar de bara efter
siffror, nyckelord och kodord?
Gudrun Malmer återkommer ofta till att språket spelar en mycket stor roll
för begreppsbildningen i matematik, och att det därför är viktigt att barnen
tidigt får språklig stimulans (se t ex Malmer 2002). Öppningsföreläsningen på
Matematikbiennetten i Malmö 2003 inledde hon med följande ord:
Språket är nyckeln, och det måste vi öva på många olika sätt. Eleverna har kanske
en massa ord, men det är inte säkert att de har den rätta sortens ord.
Som lärare måste vi ständigt låta eleverna öva språket på många olika sätt och
använda relevanta ord och uttryck. Lev Vygotskij menar att det är när vi använder språket som vi utvecklar tankar och begrepp.
Min erfarenhet är att ett stimulerande och utvecklande sätt att arbeta är
att låta eleverna två och två beskriva bilder. Använder man då konstbilder som
inte alltid överensstämmer med elevernas verklighet, är orden och beskrivningarna viktiga.
Nämnaren nr 1 • 2009
49
En aktivitet där elevernas påverkan på hur lektionen kommer att utveckla sig
är stor, kan se ut på följande sätt:
I ett mörklagt klassrum sitter eleverna parvis mitt emot varandra. Den ene
har ansiktet vänt mot projektionsduken och den andre sitter med ryggen mot,
så att han eller hon inte ser bilden. Då bilden tänds försöker betraktaren att
göra en noggrann beskrivning för sin kamrat. Efter fyra, fem minuter, beroende på tavlans innehåll, får båda eleverna tillsammans titta på bilden. När den
”inre bilden” möter den yttre bilden kommer en diskussion igång där elevernas
språk och förståelse för begrepp utvecklas samtidigt som det är eleverna som
ställer frågorna. Läraren går naturligtvis runt och tar del av beskrivningarna för
att senare lyfta det som behöver klarläggas och utvecklas.
Ibland kallar eleverna läraren till sig och vill ha hjälp med ett ord.
– Hur är det nu? Säger man att dom där nötterna är på eller över eller ovanför
persikorna?
Eleverna beskriver ett stilleben av en 1600-talsmålare,
med ett överdåd av frukter och
andra föremål som konstnären
har placerat på ett bord. För att
med ord beskriva denna målning för någon som inte själv ser
den, behöver de använda många
lägesord och då är det viktigt att
använda rätt ord.
Skolverkets rapport (2003)
visar att en viktig faktor för
elevernas lust att lära matematik är en varierad undervisning. Arbetssättet med att
van Rabel: Stilleben
beskriva bilder är omväxlande
och utvecklande. Eleverna får under en längre tid beskriva något utan att bli
avbrutna. När en elev ser en bild och beskriver den för en kamrat och kamraten lyssnar och skapar sin inre bild utvecklas, förutom förmågan att beskriva
och att använda adekvata ord och uttryck, förmågan att skapa en inre, tankens,
bild. Språket utvecklas också i samtalet då den inre bilden och den yttre bilden möts.
I undervisningen måste vi sträva efter att alla elever får komma till tals.
Ovanstående aktivitet låter alla elever få talutrymme och de får vara aktiva och
delaktiga i lektionen. Det finns också stor möjlighet att individualisera. Elever
som har svårigheter med det svenska språket, kan ha en lärare sittande bredvid,
kanske en modersmålslärare eller lärare i svenska som andra språk.
Det finns också stora möjligheter att integrera med andra ämnen än svenska.
Samma bild kan i ett senare sammanhang användas i t ex religion, historia,
hemkunskap eller samhälls- och naturkunskap. Jag har även använt bilder på
detta sätt i engelskundervisningen.
Naturligtvis använder man den teknik klassrummet har tillgång till. När jag
började med detta på 80-talet, hade jag tillgång till ett episkop och varje klassrum hade en diaprojektor. Nu är tillgången till internet stor och i klassrummen börjar finnas datorkanoner, som vi kan använda förutom overhead- och
diaprojektorer.
50
Nämnaren nr 1 • 2009
Carl Larsson: Gamla Anna © Foto: Nationalmuseum
Linus frågar: Vad är det en sån kallas, en sån man ritar när man ritar en dörr som
är lite öppen? Läraren svarar: Beskriv med dina egna ord så länge, så tar vi upp det
tillsammans sedan.
Linus försöker beskriva att när man ritar en dörr ritar man en rektangel,
men om den är lite öppen måste man rita en parallelltrapets. Han har ännu inte
införlivat ordet parallelltrapets och det har säkerligen inte heller flera andra
elever. Då är det viktigt att tala om dessa ord gemensamt i klassen. På ett blädderblock kan man skriva upp nya ord eller ord som eleverna är osäkra på. Då
finns dessa ord synliga och tillgängliga vid nästa tillfälle eleven behöver dem.
– Du, hur säger man, när man vill tala om hur mycket dörren är öppen? Hur
mycket kan man öppna en dörr?
Detta var ett ypperligt tillfälle att låta eleverna möta vinkelbegreppet. Det
står lite snett … hänger lite snett … Hur kan man beskriva hur mycket snett något
är? Vad är det snett utifrån? Centralt är här lärarens sätt att ställa frågor som
utmanar tänkandet. Vad är egentligen en vinkel? Hur kan vi förklara det?
Hur definieras den? 1 Lev Vygotskij anser att barnet bara kan utvecklas i samspel med en vuxen som introducerar nya krav och förhoppningar. Han menar
att om barn utmanas och uppmuntras kan de överträffa sig själva och ta steg
framåt i utvecklingen (se t ex Lindqvist, 1999). Detta är viktigt att ta fasta på.
1
För definition av matematiska termer hänvisas till den nyutkomna Matematiktermer för
skolan, (Kiselman & Mouwitz, 2008).
Nämnaren nr 1 • 2009
51
Många, mycket och del av
Är det mycket eller många aprikoser? Kan vi säga på båda sätten? Betyder det
samma sak, eller kan vi mena olika? Många handlar om antal och mycket
används inom volym och tyngd. Vi kan även titta på halvorna. På vilka andra
sätt kan vi dela? Med utgångspunkt
i bilden kan vi diskutera symmetri
och kärnans placering, vi kan titta
på olika förhållanden och fundera
över hur stor del av aprikosen som
kärnan utgör.
Moillon: Korg med aprikoser
Hur stor är arean av ett citronskal?
Kan vi platta ut ett apelsin- eller citronskal och mäta arean av det? Kan vi täcka en
cirkel med skalet om vi skalar frukten så som på bilden?
Hur ska vi kunna beräkna
arean av skalet?
Via skalets form kan vi
leda in samtalet på olika spiraler. Vi kan också undersöka
andra typer av spiraler och
studera snäckor. Sedan är steget inte långt till gyllene snittet. Med äldre elever kan vi
tala om logaritmiska spiraler.
deHeem: Stilleben med frukt och hummer (detalj)
Cirklar och andra runda figurer
Hur ser hjulet ut från olika håll? Visa eller rita ur fem olika synvinklar? Vad heter
dessa geometriska figurer? Vad är namnet på den längsta sträckan genom hjulet? Kan du ställa dig så att du ser detta avstånd bara som ett streck? Hur kan du
ta reda på hur långt det är runt om hjulet? Finns det flera sätt att göra det på?
En tavla med en tunna, en tamburin och ett glas eller ett foto på ett pariserhjul, en rockring och ett cykelhjul kan användas för att diskutera innebörden
av t ex rund, oval, cirkel, ellips, diameter och periferi.
Naturligtvis är även den egna digitalkameran ypperlig att använda. Förutom cyklar och pariserhjul är trafikmärken, fönster, dörrar och takåsar användbara att
diskutera utifrån. Kyrkor har många intressanta objekt
såsom portar, valv och altarskåp som kan utgöra underlag
för att upptäcka relationer och undersöka former. Några
exempel på det har tidigare presenterats i Nämnaren, bl a
från Nidarosdomen i Trondheim (Rønning, 2003) och
Varnhems klosterkyrka (Nämnaren, 2004).
52
Nämnaren nr 1 • 2009
Studera några konstnärer
Många elever tycker att det är spännande med målningar av Salvador Dali
och då t ex alla hans lådor i människorna. Dessa bilder kan inspirera till att
gömma saker i askar och lådor och i olika rum, och vara som introduktion till
algebra. Man kan hitta på olika händelser som översätts till en ekvation. Detta
kan utmynna i att synliggöra ekvationslösning, som på annat sätt är beskrivet i Algebra för alla (s 64) och i Uppslagsboken (s 72). Dalis speciella ”upplösande” eller ”flytande” klockor är också fängslande att diskutera tidsbegreppet
utifrån. Underlag för att diskutera skalbegreppet samt ”nära och långt borta”
finns i många av hans målningar. Det finns en målning av Dali, Cygnes réfléchis
en élephants, där svanar speglas till elefanter. I den finns fantastiska exempel på
symmetrier.
Speciellt intressanta är även Andy Warhol, vars likartade målningar uppsatta
i rutnät kan inspirera till hur man tecknar multiplikation, Oscar Reutersvärd
och hans ”omöjliga figurer”, Piet Mondrians konst som består av linjer och fält,
Victor Vasarelys fantasifulla optiska villor samt Paul Klees arbeten med linjer,
punkter och kurvor, vilka kan uppmuntra till tolkningar av grafer.
Hela Carl Larssons produktion innehåller enormt mycket att använda.
Inredningen är rik på vinklar och vrår och geometriska former. Detaljrike­
domen är stor. Det finns många olika kärl att fundera kring volym utifrån. Även
gamla mått blir ett naturligt inslag.
I hans målning ovan kan man också finna underlag för att arbeta med tals
uppdelning och prealgebra. Vi kan tänka oss att några sitter på stolarna och
väntar på sin tur och om vi samtalar om det får vi använda ordningstalen. Hur
ligger mattorna på golvet? Det kan ge upphov till diskussion om parallellt och
vinkelrätt, och om olika vinklar. Trasmattornas randning kan vara underlag
för arbete med mönster och symmetrier. Tavlan heter Gamla Anna – vågar vi
också prata om vad ”gamla” Anna innebär?
Det är vad läraren planerar att eleverna ska utveckla som avgör vilken bild
som ska väljas. Hur läraren sen formulerar sina frågor och vilka möjligheter
eleverna får att kommunicera matematik är viktiga faktorer och centralt i detta
sätt att arbeta.
Litteratur
Kiselman, C. & Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan NCM,
Göteborgs universitet.
Lindqvist, G. (1999). Vygotskij och skolan. Lund: Studentlitteratur.
Malmer, G. (2002). Bra matematik för alla. Lund: Studentlitteratur.
Malmer, G. (2003, 4 mars). Öppningsföreläsning. Matematikbiennetten i
Malmö.
Nämnaren (2004). Matematik i Varnhems klosterkyrka. Nämnaren 31(2).
NämnarenTema: Algebra för alla. (1997). NCM, Göteborgs universitet.
NämnarenTema: Uppslagsboken. (2001). NCM, Göteborgs universitet.
Rönnbom, M. (1993). Magritte och Dali på mellanstadiet. Svenska i skolan, nr 3.
Rønning, F. (2003). En katedral för lärande i geometri. Nämnaren 30(4), s 3-8.
Myndigheten för skolutveckling (2008). Mer än matematik. Stockholm: Liber
distribution. Tillgänglig på Skolverkets webbplats, www.skolverket.se
Skolverket (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Rapport nr 221.
Tillgänglig på Skolverkets webbplats, www.skolverket.se
Nämnaren nr 1 • 2009
53