Matematiikan kielentäminen Matematiikan kielentäminen I

Hyvin monet opiskelijat tuntevat, etteivät kykene
milloinkaan ymmärtämään matematiikkaa, mutta
että he voivat oppia tarpeeksi pettääkseen
tenttijät luulemaan heidän ymmärtävän.
Matematiikan kielentäminen
He ovat kuin sanansaattaja, jonka on toistettava
lause hänelle tuntematonta kieltä - täynnä
huolta saada sanoma ilmoitetuksi, ennen kuin
muisti pettää.
Hän saattaa tehdä mitä kummallisempia
virheitä.
Matemaattisen ajattelun kehittämisen keinot –
koulutussarja 2011
Jorma Joutsenlahti
Tampereen yliopisto
luokanopettajakoulutus Hämeenlinna
Sellainen opiskelu on selvästi ajantuhlaamista.
Matemaattinen ajattelu on työkalu. (Sawyer
1958, 7-8)
JoJo / TaY
1
JoJo / TaY
2
Matematiikan kielentäminen
I Matematiikan kielentämisen
perusteet
JoJo / TaY
JoJo / TaY
3
4
Tuttua tunneilta …
Johdanto
Esimerkkejä
JoJo / TaY
Tuo on
ihan
hepreaa …
5
Todistus: x+sy=s(x+y) (A4)
1+sy=s(1+y) (L2)
1+s0=s(1+0) (L2)
x+0=x
(A3)
1+0=1
(L2)
1+s0=s1
(L1)
s0=1
(A1)
1+1=s1
(L1)
s1=2
(A2)
1+1=2
(L1)
JoJo / TaY
Mitä toi on
suomeksi
sanottuna …
6
1
Matematiikan kielentäminen
Kirjallinen työskentely
matematiikassa
JoJo / TaY
7
8
JoJo / TaY
PITKÄN MATEMATIIKAN YOKIRJOITUKSET KEVÄT 2009
Matematiikan kielentäminen
Lähteenä Aatos Lahtinen: Matematiikan
ylioppilaskirjoitus keväällä 2009 (DIMENSIO 6/2009)
kokeeseen osallistui 11 659 kokelasta
pakollisena kirjoitti 71% kokelaista
”tavanomainen”
JoJo / TaY
TEHTÄVÄ 6
9
TEHTÄVÄT 8 ja 9
(n=11 659)
Keskiarvo
Hajonta
Vastaus%
6
pistettä
0 pistettä
4,0
2,2
87
n. 50%
n. 14%
Tehtävä
Huom!
• Tyyppitehtävä vastaavassa kurssissa
10
(n=11 659)
Keskiarv
o
Hajont
a
Vastaus
%
6
pistettä
8
1,4
2,1
46
657 kpl
9
2,2
2,1
63
549 kpl
Huom!
• Lukiolaisille vaikeita osa-alueita: analyyttinen geometria 3ulotteisessa avaruudessa ja trigonometria
• ”Tyyppisuoritus oli liian niukka. Paperilla oli
vain kaava … ilman selityksiä”
JoJo / TaY
JoJo / TaY
• ”Turhan niukkaa esitystapaa. … YTL ei vieläkään ole
ajatustenlukija.”
11
JoJo / TaY
12
2
Tiedon
prosessoinnin
näkökulma
Antropologinen
näkökulma
Psykometrinen
näkökulma
Kielentämisen perusteet
Matemaattinen
ajattelu
Matematiikan
näkökulma
JoJo / TaY
13
21.4.2011
Pedagoginen
näkökulma
JoJo 2011
14
Tärkeitä jatko-opinnoissa
PISA
mittasi
Mathematical proficiency
Mathematical proficiency
(Kilpatrick, etc. 2002, 16)
JoJo / TaY
(Kilpatrick, etc. 2002, 16)
JoJo / TaY
15
Kieli
Matematiikan kielentäminen
• Matematiikan kielentämisellä tarkoitetaan
matemaattisen ajattelun ilmaisemista kielen
avulla pääsääntöisesti suullisesti tai kirjallisesti
(Joutsenlahti 2009, vrt. Høines 2000).
• Matemaattisella ajattelulla tarkoitetaan
matemaattisen tiedon (konseptuaalisen,
proseduraalisen tai strategisen) prosessointia,
jota ohjaavat ajattelijan metakognitiot
(Joutsenlahti 2005, Sternberg 1996).
JoJo / TaY
16
Kieli sisältää puhutun ja
kirjoitetun kielen lisäksi kuvat,
ilmeet, eleet sekä mm.
matematiikan symbolikielen.
Kieli on mukana kognitiivisissa
kehitysprosesseissa. Kieltä ja
ajattelua ei voi erottaa toisistaan
kouluikäisillä. (Vygotski)
17
JoJo / TaY
18
3
Saat opiskelijan puhumaan –
saat opiskelijan ajattelemaan.
Matematiikan kieli, luonnollinen kieli ja kuviokieli
Lyhentein merkityt alueet ovat
matematiikan luonnollinen kieli
(MLK),
matematiikan symbolikieli (MSK) ja
matematiikan kuviokieli (MKK)
Saat opiskelijan puhumaan
matematiikasta –
saat opiskelijan ajattelemaan
matematiikkaa.
JoJo / TaY
(Joutsenlahti & Kulju 2010).
19
JoJo / TaY
20
Koulutusjärjestelmän
mukainen tarkastelu
Opetussuunnitelmat ja
ohjeistukset
Esiopetus Alkuopetus Peruskoulu luokat 3-9 Lukio Korkeakoulu
JoJo / TaY
22
Perusopetuksen matematiikan
ops:n perusteet 2004 (lk 1-2)
Esiopetuksen OPS
Opetuksen ydintehtäviä mm.:
• Esiopetuksessa on tärkeää kehittää lapsen
• matemaattisen ajattelun kehittäminen
keskittymistä, kuuntelemista, kommunikointia
Tavoitteita:
ja ajattelun taitoja. Matemaattisen ajattelun
• Käsitteiden muodostusprosessissa keskeisiä ovat
kehittymisessä on tärkeää, että lapsi oppii
puhuttu ja kirjoitettu kieli
tarkkailemaan myös omaa ajattelemistaan.
• Oppilas oppii perustelemaan ratkaisujaan ja
Lasta on kannustettava kertomaan, mitä hän
päätelmiään konkreettisin mallein ja välinein,
ajattelee tai miten hän ajatteli.
JoJo / TaY
JoJo / TaY
21
kuvin, kirjallisesti tai suullisesti
23
JoJo / TaY
24
4
Perusopetuksen matematiikan
ops:n perusteet 2004 (lk 3-5)
Perusopetuksen matematiikan ops:n
perusteet 2004 (lk 6-9)
• ilmaisemaan ajatuksensa yksiselitteisesti
Opetuksen ydintehtäviä mm.
ja perustelemaan toimintaansa ja
• matemaattisen ajattelun kehittämisen...
päätelmiään
Tavoitteita:
• Oppilas oppii perustelemaan toimintaansa
• esittämään kysymyksiä ja päätelmiä
ja päätelmiään sekä esittämään
havaintojen perusteella
ratkaisujaan muille
JoJo / TaY
25
JoJo / TaY
YTL:n matematiikan kokeen
ohjeet (2006)
Lukion ops:n perusteet (2003)
• Matematiikan opetuksen tehtävänä on tutustuttaa
• …suositeltavia ovat standardoidut ja
opiskelija matemaattisen ajattelun malleihin sekä
oppikirjoissa esiintyvät loogiset merkit,
matematiikan perusideoihin ja rakenteisiin, opettaa
käyttämään puhuttua ja kirjoitettua matematiikan
samoin ainakin muutaman sanan
kieltä sekä kehittää laskemisen ja ongelmien
mittaiset selitykset tai perustelut sekä
ratkaisemisen taitoja.
piirrokset ja näihin perustuvat
• … laatimaan perusteluja sekä arvioimaan perustelujen
huomautukset.
pätevyyttä ja tulosten yleistettävyyttä.
JoJo / TaY
26
27
JoJo / TaY
28
Käsite
(Kouki 2010, 37)
Käsite, käsitteen oppiminen ja
ilmaiseminen
JoJo / TaY
29
JoJo / TaY
30
5
Käsitteen sisältö
Käsite
- assosiaatiot, uskomukset
-mielipiteet
-aikaisemmat tiedot
-havainnot
(Kouki 2010, 38)
viittaa
Ulkoinen tarkoite
esittää
-toimintamateriaali
-esine, asia, ilmiö
- ominaisuus tms.
JoJo2006
JoJo / TaY
31
Summa summarum …
JoJo / TaY
32
Matematiikan kielentäminen
Kielentämisen tarkoituksena on
• luoda oppijalle itselleen merkityksiä
matematiikan käsitteistä ja toiminnoista
oman mielen maisemaan (ymmärtäminen).
• oppia ilmaisemaan matemaattista
ajattelua muille ymmärrettävästi
(esittäminen).
JoJo / TaY
33
JoJo / TaY
34
35
JoJo / TaY
36
II Suullinen kielentämisen
JoJo / TaY
6
Kommunikaatio
Matematiikan kielentäminen
• Latinan communicare ”tehdä yleiseksi”,
”jakaa”
• Käsitteiden merkitysten rakentaminen ei
ole luokassa kunkin oppilaan yksityinen oma
prosessi, vaan luokan yhteinen prosessi.
Kommunikoinnin avulla tietoa ei siirretä
vaan rakennetaan yhdessä. (Sfard 2000,
2001)
JoJo / TaY
OPETTAJA
RYHMÄ
OPISKELIJA
37
JoJo / TaY
38
Matematiikan kielentämisessä
opiskelija
Matematiikan
kielentäminen
• jäsentää omaa matemaattista ajatteluaan
puhuessaan (kirjoittaessaan)
• uskaltaa ilmaista itseään omin sanoin virheitä
pelkäämättä
( Joutsenlahti 2003, Joutsenlahti & Kulju 2010)
JoJo / TaY
39
Matematiikan kielentämisessä
opiskelija
40
Opiskelijan matematiikan
kielentämisestä opettaja
• näkee
kielentämisen hyötynä sen, että muiden
opiskelijoiden on helpompi seurata oman ratkaisun
kulkua, kun esittämisessä hyödynnetään monipuolisesti
ja tarkoituksenmukaisesti kieliä ts. matematiikan
symbolikieltä, luonnollista kieltä, ja kuviokieltä.
(presentaatio –näkökulma)
• oppii lopulta ilmaisemaan itseään täsmällisesti
matematiikan käsitteitä käyttäen
( Joutsenlahti 2003, Joutsenlahti & Kulju 2010)
JoJo / TaY
JoJo / TaY
• voi arvioida opiskelijan
oppimisprosessia (mm. käsitteiden
ymmärtämistä sekä algoritmien
hallintaa)
• ohjata keskustelua opetuksen
tavoitteiden suunnassa
(Joutsenlahti 2003, 2009)
41
JoJo / TaY
42
7
Opiskelijan matematiikan
kielentämisestä opettaja
Suulliseen kielentämiseen
ohjaaminen luokassa
1.Koko luokan keskustelu (WholeClass Discussion)
2.Pienryhmä keskustelu (Small-Group
Discussion)
3.Parikeskustelu (Partner Talk)
(Chapin, O’Connor & Anderson 2009)
• suunnitella
uusia yksilöllisiä
opetusjärjestelyjä (tukiopetus,
eriyttäminen, erityisopetus) lyhyellä
aikavälillä
• suunnitella ryhmän
opetusjärjestelyjä pitkällä aikavälillä
• oppii olemaan kuuntelija
(Joutsenlahti 2003, 2009)
JoJo / TaY
43
Suulliseen kielentämiseen
ohjaaminen luokassa
44
Matematiikan kielentämisessä
muu ryhmä • reflektoi omaa matemaattista
ajatteluaan suhteessa ilmaistuun
ajatteluun ja rakentaa siten omaa
matemaattista ymmärrystään
• voi ymmärtää opiskeltavia
käsitteitä yms. uudella tavalla
vertaisryhmän kielen kautta
• arvioi esitetyn ratkaisun
oikeellisuutta ja oppii
keskustelemaan eri
ratkaisuvaihtoehdoista
Keskustelun ohjaamisen keinoja:
1. Uudelleen kertominen: opiskelija sanoo itse uudelleen
eri sanoin (Revoicing)
2. Toistaminen: toinen opiskelija kertoo omin sanoin miten
ymmärsi toisen opiskelijan
päättelyn tms. (Repeating)
3. Päättely: opiskelija vertaa omaa päättelyään toisen
opiskelijan päättelyyn. (Reasoning)
4. Lisääminen: opiskelijoita kehotetaan jatkamaan toisen
opiskelijan esitystä. (Adding on)
5. Odottaminen: opettaja määrää yhteisen tuumaustauon
(Waiting)
(Chapin, O’Connor & Anderson 2009)
JoJo / TaY
JoJo / TaY
45
JoJo / TaY
46
Matematiikan kielentäminen
JoJo / TaY
47
JoJo / TaY
48
8
Taustaa
• Oppilaan monipuolinen kirjoittaminen
matemaattisten tehtävien ratkaisuissa
edistää matematiikan oppimista,
III Kirjallinen kielentäminen
kehittää matemaattista ymmärtämistä,
parantaa oppilaiden asenteita
matematiikkaa kohtaan ja helpottaa
opettajan arviointityötä. (Candia Morgan
2001, 233–235)
JoJo / TaY
49
JoJo / TaY
50
Matematiikan kieli, luonnollinen kieli ja kuviokieli, kun
rekisterinä on matematiikan sanallisten tehtävien
ratkaisun esittäminen.
Taustaa
• Oppilaan luonnollisen kielen käyttö
Lyhentein merkityt alueet ovat matematiikan luonnollinen kieli (MLK),
matematiikan symbolikieli (MSK) ja matematiikan kuviokieli (MKK)
ongelmien pohdinnassa ja ratkaisujen
(Joutsenlahti & Kulju 2010).
hahmottamisessa niin puhuttuna kuin
kirjoitettunakin auttaa häntä
jäsentämään ajatteluaan itselleen ja
toisaalta muille oppilaille.
(Joutsenlahti 2003; Fuson, Kalchman &
Bransford 2005).
JoJo / TaY
51
JoJo / TaY
52
JoJo / TaY
53
JoJo / TaY
54
9
Jaakkola et. al. (2001) KOLMIO
matematiikan tietokirja Tammi, s.
118.
Pitkä
matematiikka
Funktiot ja
Yhtälöt 2
(Kangasaho, Mäkinen,
Oikkonen, Paasonen,
Salmela 2000, WSOY.
S.66)
Luonnollisen kielen käytön
mahdollisuus ratkaisussa?
JoJo / TaY
55
JoJo / TaY
56
Kirjallisen kielentämisen
malleja
Matematiikan kieli
(Joutsenlahti 2009, 2010)
(Tuhattaituri 6, s.16)
Standardi -malli
JoJo / TaY
57
JoJo / TaY
58
JoJo / TaY
60
Kielennys
ratkaisuun
"Kertomus"-malli
Luonnollinen kieli
Mieti, mitä
Matematiikan kieli
kirjoittasit
Luonnollinen kieli
kullekin riville?
Matematiikan kieli
5. lk:n ratkaisuja
Matematiikan
kieli kieli
Luonnollinen
Matematiikan kieli
(Mäclin & Nikula 2010)
Luonnollinen kieli
Matematiikan kieli
Luonnollinen kieli
JoJo / TaY
59
10
"Tiekartta"-malli
"Päiväkirja"-malli
Luonnollinen kieli
Matematiikan kieli
Luonnollinen kieli
Matematiikan kieli
Matematiikan kieli
Luonnollinen kieli
Luonnollinen kieli
JoJo / TaY
61
”Kommentti” –malli
JoJo / TaY
62
Missio:
(1. vsk Helsingin Luonnontiedelukio)
Sanallisiin tehtäviin erillinen vastaus kokonaisena
virkkeenä, koska
Matematiikan
symbolikieli
1. vastaukseen saadaan luontevasti (mitta)yksiköt
(”Ostokset maksoivat 45 euroa.”)
Luonnollinen kieli
/ Kuviokieli
2. oppilas vastaa siihen mitä kysytään (Oppilas
joutuu lukemaan tehtävän kysymyksen vielä
kerran.)
3. oppilas joutuu pohtimaan antamansa vastauksen
mielekkyyttä suhteessa tehtävän antoon (Arviointi,
kehittää oppilaan metakognitiivisia taitoja.)
JoJo / TaY
63
JoJo / TaY
64
Matematiikan kielentäminen
JoJo / TaY
65
JoJo / TaY
66
11
Kielentäminen ja
oppimateriaali
IV Tutkimuksia kielentämisestä
JoJo / TaY
67
JoJo / TaY
68
Avoimien tehtävien osuus osioittain kussakin
6. lk:n opettajan oppaassa (Pispa & Ranta)
Ohjaaminen sosiaaliseen interaktioon 6.
luokan opettajan oppaissa(Pispa &
Rantanen 2007, 118 )
100
90
91
90
80
83
70
60
50
40
Opettajan opas
30
Laskutaito
Prosentti
20
17
10
9
0
yksin
Matikkamatka
10
Tuhattaituri
(N=641
N=1014
N=425)
yhdessä
Sosiaalinen interaktio
69
JoJo / TaY
JoJo / TaY
70
Esim. Esiopetuksen tuloksia
(Korvenoja & Laaksonen)
Lukiolaisten ja
korkeakouluopiskelijoiden
näkemyksiä kielentämisestä
n=163
n=527
n=336
JoJo / TaY
71
JoJo / TaY
72
12
N=38
Kyllä
En
En osaa sanoa
TYTTÖ
8 (35 %)
4 (17%)
11 (48 %)
POIKA
4 (27 %)
3 (20%)
8 (53 %)
YHTEENSÄ
12 (32 %)
7 (17 %)
19 (50 %)
JoJo / TaY
N=39
KYLLÄ
EI
MUU
TYTTÖ
19 (82,6 %)
2 (8,7 %)
2 (8,7 %)
POIKA
12 (75,0 %)
2 (12,5 %)
2 (12,5 %)
YHTEENSÄ
31 (79,5 %)
4 (10,3 %)
4 (10,3 %)
73
TTY:n opiskelijoiden käsityksiä
kielentämisestä (Kirsi Silius, Seppo Pohjolainen,
JoJo / TaY
74
Sanan lasku -tutkimusprojekti
Jussi Kangas, Thumas Miilumäki, Jorma Joutsenlahti 2011)
n=160
Negative Positive
Solutions that have been divided into subsections by natural
language are easier to follow.
7.5 %
77.5 %
Short explanations to deductions and calculations should be
written in solution while solving mathematical problem.
16.9 %
65,0 %
Explaining the mathematical problem to myself using natural
language helps me to understand and to solve the problem.
16.9 %
60.6 %
I like to write explanations in my own words to my solutions
(of mathematical problems).
49.4 %
28.2 %
I am going to use natural language while solving
mathematical problems in the future.
18.8 %
43.8 %
The use of natural language helps others to understand how I
have solved the problem.
8.2 %
68.8 %
Sanan Lasku
JoJo / TaY
75
Tutkimusaiheina matematiikan
kielentäminen
JoJo / TaY
1. Matematiikan kielentäminen
varhaiskasvatuksessa
Esiopetuksessa
•
Saana Niittymäki (2010).
•
Kaikkien lasten kohdalla kielentämisestä oli apua
esimerkiksi siinä, että he huomasivat helpommin,
jos olivat tehneet laskussa virheen.
Parityöskentelyssä 5. luokalla
•
Matematiikan kielentämistä voidaan alkaa
harjoittelemaan jo päiväkodissa.
Kirjallisesti 3., 5. ja 7. luokalla
•
Kielentämisen perusteiden oppiminen esikoulussa
helpottaa siirtymistä koulumaailmaan ja siellä
puolestaan käyttää aktiivisesti kielentämistä osana
matematiikan opiskelua.
Alkuopetuksessa
Erityisopetuksessa
Kirjallisesti lukiossa
Kirjallisesti ja suullisesti korkeakoulussa
JoJo / TaY
76
77
JoJo / TaY
78
13
3. Viidennen luokan oppilaiden
matematiikan suullinen kielentäminen
parityöskentelyssä
2. Matematiikan kielentäminen
alkuopetuksessa
VILLE KESKINEN (2010): Pelaten ja leikkien – yhdessä kohti haluttua
päämäärää
• Jaana Mansikka-aho & Saara Sirén (2010): Mieti uudelleen ja
sano!
Toimintatutkimus matematiikan toiminnallisesta opetuksesta
alkuopetuksessa
• Suullisen kielentämisen avulla oppilaat voivat päästä yhdessä
pohtien ja reflektoiden oikeaan ratkaisuun.
• Kuului osana ”Matematiikkaa luonnossa” –hankkeeseen
(Hämeenlinnan Kulttuurikeskus ARX)
• Tytöt ja pojat kielentävät ajatuksiaan suullisesti suunnilleen
yhtä paljon, mutta tyttöjen yhteistyö tehtävien
ratkaisemiseksi on tiiviimpää.
• Oppiaineiden integrointia (ympäristökasvatusta, matematiikkaa)
• Suullinen kielentäminen onnistuu yleensä parhaiten sellaisilta
pareilta, joiden matematiikan taitotaso on lähellä toisiaan.
• Toiminnallinen opetus haastaa oppilaat kielentämään ja
selventämään ajatuksiaan
• Opettaja hyötyy paljon oppilaiden suullisesta kielentämisestä
ja voi sen avulla suunnitella ja eriyttää opetustaan
• Kielentämisen kolme dimensiota toteutuvat ja ilmenevät luontoopetuksessa
JoJo / TaY
79
JoJo / TaY
4. Kirjallinen kielentäminen 3., 5.
ja 7. luokalla
5. Matematiikan kielentäminen
erityisopetuksessa
• Mäclin & Nikula (2010): Matemaattisen ajattelun kirjallinen
kielentäminen matemaattisen ongelman ratkaisuvälineenä (Pro gradu)
• Anne-Mari Ruuska (2010): Matematiikan
kielentäminen erityisopetuksessa
• Tulokset antavat viitteitä siitä, että erityisesti keskitasoiset
matematiikan osaajat kokisivat hyötyvänsä matemaattisen ajattelun
kirjallisesta kielentämisestä.
• matemaattinen ajattelu jäsentyi ainakin matemaattisten käsitteiden käytössä
• Kirjoittamisen mieluisuus on merkitsevästi yhteydessä kirjallisen
kielentämisen hyödylliseksi kokemiseen matematiikassa
• toimintamateriaalin käytön kautta käyty keskustelu
toi parhaiten esille matemaattista ajattelua
• Suurimmaksi hyödyksi kirjallisessa kielentämisessä matematiikassa
nähtiin ajattelun jäsentäminen ja parempi matematiikan tehtävän
ymmärtäminen
• Soveltavat käytännön tehtävät soveltuivat oppilaille
• Opettajien kannalta kirjallinen kielentäminen matematiikassa koettiin
hyödylliseksi työvälineeksi oppilaita arvioidessa. Lisäksi tulosten mukaan
se mahdollistaa opettajille muun muassa kaikkien oppilaiden
matemaattisen ajattelun tarkastelun.
JoJo / TaY
• Tietokoneen käyttö tunneilla ei soveltunut hyvin
matematiikan kielentämiseen.
OPISKELIJAN
MATEMAATTISEN
AJATTELUN
JÄSENTYMINEN
KIRJALLINEN
KIELENTÄMINEN
MUIDEN
OPISKELIJOIDEN
YMMÄRTÄVÄ
SEURAAMINEN
- 5. lk parityöskentelyssä - 3., 5. ja 7. lk
OPETTAJA
ARVIJOIJANA JA
OPETUKSEN
SUUNNITTELIJANA
- esiopetus
- erityisopetus
82
Joitakin lähteitä:
Chapin S., O’Connor C. & Anderson N. (2009). Classroom discussions. Using math talk to help students learn. Sausalito
(California): Math Solutions.
Jaakkola M. (2010), Monistrateginen tutkimus 6.-luokkalaisten matemaattisesta minäkäsityksestä ja suhtautumisesta
matematiikan opiskeluun. Tampereen yliopisto , Opettajankoulutuslaitos (Hämeenlinna). Kasvatustieteen
kandidaatintutkielma
- 3., 5. ja 7. lk
- esiopetus
- erityisopetus
- luonto-opetus
(alkuopetus)
- 5. lk parityöskentelyssä
JoJo / TaY
JoJo / TaY
81
Katsaus matematiikan
kielentämisen tutkimustuloksiin
peruskoulussa
SUULLINEN
KIELENTÄMINEN
80
Joutsenlahti J. (2003). Kielentäminen matematiikan opiskelussa. Teoksessa Virta Arja & Marttila Outi (toim.) (toim.) Opettaja,
asiantuntijuus ja yhteiskunta (Ainedidaktinen symposium 7.2.2003). Turku: Turun opettajankoulutuslaitos, 188–196.
(Turun yliopiston kasvatustieteiden tiedekunnan julkaisuja B:72).
Joutsenlahti J. (2005). Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä. Tampere. (Acta Universitatis
Tamperensis 1061).
Joutsenlahti J. (2009). Matematiikan kielentäminen kirjallisessa työssä. Teoksessa Raimo Kaasila (toim.) Matematiikan ja
luonnontieteiden opetuksen tutkimuspäivät Rovaniemellä 7.-8.11.2008. Rovaniemi: Lapin yliopisto, 71–86. (Lapin
yliopiston kasvatustieteellisiä raportteja 9).
Joutsenlahti J & Kulju P. (2010). Kieliteoreettinen lähestymistapa koulumatematiikan sanallisiin tehtäviin ja niiden
kielennettyihin ratkaisuihin. Teoksessa Eero Ropo, Harry Silfverberg & Tiina Soini (toim.) Toisensa kohtaavat
ainedidaktiikat. Ainedidaktiikan symposiumi Tampereella 13.2.2009. Tampere: Tampereen yliopisto, 77–90.
(Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitoksen julkaisuja. A 31).
- 3., 5. ja 7. lk
Mäclin J. & Nikula M. (2010). Matemaattisen ajattelun kirjallinen kielentäminen matemaattisen ongelman ratkaisuvälineenä.
http://tutkielmat.uta.fi/pdf/gradu04498.pdf
83
JoJo / TaY
84
14
Huh! Kiitokset mielenkiinnosta!
[email protected]
http://www.Joutsenlahti.net
JoJo / TaY
85
15