Introducción a la Optimización matemática

Introducción a la Optimización
matemática
Antonio H. Escobar Zuluaga
Universidad Tecnológica de Pereira - Colombia
2011
Que es Optimizar?
•
Es maximizar o minimizar recursos o
procesos.
•
Es hacer más con los mismos recursos.
•
Es hacer lo mismo con menos recursos.
•
Es cambiar recursos ineficientes por recursos
eficientes.
•
Es eliminar recursos existentes que afectan
negativamente el sistema.
Justificación de
la Optimización
El concepto de incertidumbre juega un rol importante en la investigación
de los problemas de ingeniería
Porque Optimizar en las organizaciones?
•
Porque existen recursos que no están siendo
aprovechados adecuadamente.
•
Porque no se alcanzan los resultados deseados con
los recursos disponibles.
•
Porque se tienen recursos ineficientes o que no se
necesitan y que frenan el desarrollo.
•
Porque se requiere aumentar la competividad a
costos eficientes de inversión, operación y
mantenimiento.
Porque existe una exigencia creciente de sistemas
y procedimientos más eficientes.
•
La optimización está
asociada a:
•
Nivel de conocimiento científico acumulado en
los grupos de desarrollo.
•
Nivel de tecnología que los miembros del grupo
dominan.
•
Nivel y calidad de los desarrollos realizados.
•
Costos de producción obtenidos.
•
Variabilidad de los aspectos que se pueden
resolver.
La optimización está
asociada a:
•
Desarrollo de la infraestructura tecnológica
que se usa.
•
Adecuada valoración de resultados.
•
Flujo de ideas entre los miembros del grupo.
•
Calidad de los insumos.
•
Nivel de desperdicio.
•
Estrategias utilizadas.
La optimización requiere de:
La optimización genera
nuevas exigencias:
Definición de optimización:
Se optimiza:
Se minimiza:
Se maximiza:
Áreas de aplicación:
Mínimos y máximos globales
y locales, puntos de inflexión:
Componentes de un problema
de optimización:
•
Función Objetivo: Medida de la efectividad buscada
expresada en función de las variables de decisión. Es lo
que se minimiza o se maximiza.
•
Decisiones cuantificables
sobre las que se ejerce control. Por ejemplo: calibre de un
conductor eléctrico que se usará en un diseño.
•
Restricciones:
Factores que limitan los valores que
pueden asumir las variables de decisión. Por ejemplo:
corriente máxima del conductor.
•
Parámetros:
Variables de decisión:
Datos o recursos que asumen valores
constantes y que forman los coeficientes de las variables.
Por ejemplo: resistencia del conductor por unidad de
longitud.
Que es el modelado?
•
Los procesos y sistemas en ingeniería son generalmente
complicados y deben ser simplificados mediante idealizaciones y
aproximaciones para poder resolver el problema planteado
•
El proceso de simplificación del problema, para que pueda ser
representado en términos de un sistema de ecuaciones (para el
análisis, diseño y optimización) es lo que se conoce como
modelado
Modelo matemático:
•
Un modelo matemático es uno que representa el desempeño y
comportamiento de un sistema dado en términos de ecuaciones
matemáticas, ofreciendo resultados cuantitativos
•
Los modelos matemáticos pueden estar basados en el
entendimiento físico de un sistema ó por construcción de modelos a
partir de datos (e.g., ajuste de curvas a datos experimentales).
•
Las ecuaciones que gobiernan el sistema pueden ser algebraicas,
ecuaciones diferenciales ordinarias y/o parciales, ecuaciones
integrales ó combinación de varias de ellas
Mundo Real
Mundo Real
Mundo Real
Min Σt Σj Σh CTt(GTjth)
Min Σt Σj Σh CTt(GTjth)
sujeto a:
sujeto a:
GDzth - ΣuεTN(z) LDuzth = 0
GDzth - ΣuεTN(z) LDuzth = 0
GDzth + GHAzth + DEFzth = DEMzth
GDzth + GHAzth + DEFzth = DEMzth
ENuth - ΣjεL1(u) GTEjuth
EN
- ΣjεL1(u) GTEjuth
- Σuth
vεL2(u) LLvuth = 0
- ΣvεL2(u) LLvuth = 0
Mundo Real
Mundo Virtual
Min
j Σh CTt(GTjth)
Min ΣΣt Σ
t Σj Σh CTt(GTjth)
sujeto
sujetoa:a:
- ΣuεTN(z) LDuzth = 0
GD
GDzth
zth - ΣuεTN(z) LDuzth = 0
GD
+ GHAzth + DEFzth = DEMzth
GDzth
zth + GHAzth + DEFzth = DEMzth
EN
- ΣjεL1(u) GTEjuth
ENuth
uth - ΣjεL1(u) GTEjuth
- -ΣΣvεL2(u) LL
vuth ==00
LL
vεL2(u)
vuth
Mundo Virtual
Inflación = 10%
Costo
de
transporte
Min
j Σh CTt(GTjth)
Min ΣΣt Σ
t Σj Σh CTt(GTjth)
sujeto
sujetoa:a:
PIB 5.2%
Costo de combustibles
GD
- ΣuεTN(z) LDuzth = 0
GDzth
zth - ΣuεTN(z) LDuzth = 0
GD
+ GHAzth + DEFzth = DEMzth
GDzth
zth + GHAzth + DEFzth = DEMzth
EN
- - ΣΣjεL1(u) GTE
ENuth
GTEjuth
juth
- -uth
ΣΣvεL2(u) jεL1(u)
LL
vuth ==00
LL
vεL2(u)
vuth
Devaluación 12%
Costo de oportunidad
Hidrología
Modelamiento matemático:
Representación matemática de
un problema de optimización:
Modelamiento matemático:
Ejemplo: Una empresa fabrica transformadores y motores eléctricos, para lo cual
requiere de tres tipos de materia prima: fleje de hierro, alambre aislado de cobre y
alambre aislado de aluminio, en la proporción que se muestra en la siguiente tabla:
Materia prima
Kilos de materia prima necesarias para construir
una unidad de:
transformador
Cantidad mensual máxima de
materia prima disponible (Kg):
motor
hierro
2
1
1500
cobre
1
1
1200
aluminio
1
0
500
Lucro líquido por
unidad fabricada
$ 15
$ 10
Cual debe ser la producción de transformadores y motores para maximizar el
lucro?
Variables de decisión:
x1
Materia prima
x2
Kilos de materia prima necesarias para construir
una unidad de:
transformador
Cantidad mensual máxima de
materia prima disponible (Kg):
motor
hierro
2
1
1500
cobre
1
1
1200
aluminio
1
0
500
Lucro líquido por
unidad fabricada
$ 15
$ 10
X 1 : cantidad de transformadores producidos
X 2 : cantidad de motores producidos
Modelamiento matemático:
2. Función Objetivo
Como existen muchas soluciones, debe
Definirse un objetivo, que se denomina
La función objetivo del problema.
Lucro = $15 x1 + $10 x2
Lucro ($) = 15 x1 + 10 x2
Modelamiento matemático:
3. Los recursos tienen restricciones
Materia prima
Cantidad mensual máxima de
materia prima disponible (Kg):
hierro
1500
cobre
1200
aluminio
500
Las restricciones de los recursos se relacionan con las
variables de decisión a través de ecuaciones
matemáticas algebráicas de igualdad o desigualdad.
Modelamiento matemático:
Forma matemática de las restricciones:
transformador
motor
hierro
2
1
Cantidad máxima
disponible
1500
cobre
1
1
1200
aluminio
1
0
500
La cantidad de recurso es positiva:
Modelamiento matemático:
Modelo matemático resultante
Dificultades de la optimización:
Dificultades de la optimización:
Técnicas de
modelamiento
Problema de la Vida
real
Modelo
Matemático de
la parte que
deseo controlar
Técnicas de
solución
Solución
Realimentación o ajustes
para la implementación
Matemática
Enfoques respecto a las
metodologías de solución:
Respecto a los
objetivos
Multiobjetivo
Mono-objetivo
Respecto a la
complejidad
Exacta
Sin incertidumbre
Respecto a los
datos
Con incertidumbre
Metaheurística
Metodologías de solución:
•
Optimización exacta
• Programación Lineal.
• Programación No Lineal
• Programación No lineal enteramixta
• Programación binaria
•
Procesos Estocásticos
• Probabilidad
• Estadística Clásica
• Estadística Bayesiana
• Series de Tiempo
• Estimación de Estado
• Econometría
• Teoría de Colas
• Inteligencia Artificial
• Redes Neuronales
• Búsqueda Tabú
• Algoritmos Genéticos
• GRASP
• Simulated Annealing
• Colonia de hormigas
• Scatter Search
• Lógica Difusa
• Sistemas Expertos
• Recocido simulado
• Teoría de juegos
• Técnicas Multiobjetivo
Solución del modelo matemático:
Modelo matemático resultante
Representación gráfica del modelo
matemático resultante
Solución óptima:
Función
Objetivo
Efecto del cambio de la función objetivo
Nueva solución óptima
Nueva
Función
Objetivo
Dualidad en optimización:
max 15*x1 + 10*x2 ;
s.a.
2*x1 + x2 <= 1500 -> 5
x1 + x2 <= 1200 -> 5
x1
<= 500 -> 0
Variables duales
(las entrega el PL)
X1 =
X2 =
300.0
900.0
Dualidad en optimización:
max 15*x1 + 10*x2 ;
X1 =
X2 =
301.0
899.0
s.a.
2*x1 + x2 <= 1501 -> 5
x1 + x2 <= 1200
x1
<= 500
F.O. pasa de 13500 a 13505 si la restricción 1 pasa de 1500 a 1501
Dualidad en optimización:
max 15*x1 + 10*x2 ;
X1 =
X2 =
209.0
902.0
s.a.
2*x1 + x2 <= 1500
x1 + x2 <= 1201 -> 5
x1
<= 500
F.O. pasa de 13500 a 13505 si la restricción 2 pasa de 1200 a 1201
Dualidad en optimización:
max 15*x1 + 10*x2 ;
X1 =
X2 =
300.0
900.0
s.a.
2*x1 + x2 <= 1500
x1 + x2 <= 1200
x1
<= 501 -> 0
F.O. no cambia si la restricción 3 pasa de 500 a 501
Multimodalidad:
Concavidad y convexidad en la
función objetivo:
Convexidad en la función
objetivo:
Función objetivo convexa
para un problema con dos
variables
Curvas de nivel
2
0
1.5
-5
1
-10
0.5
0
-15
-0.5
-20
2
-1
-1.5
0
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Convexidad y concavidad en la
función objetivo:
f ( x1 , x2 ) = x12 + 10 x22
Definida positiva
f ( x1 , x2 ) = − x12 + ( −10 ) x22
Definida negativa
Convexidad y concavidad en la
función objetivo:
si λi representa a los valores propios de la matriz Hessiana de la función
f(x), entonces:
a)
f (x) es definida positiva si y sólo si λi > 0 ∀ i
b)
f(x) es definida negativa si y sólo si λi < 0 ∀ i
c)
f(x) es semidefinida positiva si y sólo λi ≥ 0 ∀ i, siendo al menos un
λj = 0
d)
f(x) es semidefinida negativa si y sólo λi ≤ 0 ∀ i, siendo al menos un λj
=0
e)
f(x) es indefinida si y sólo si algún λi > 0 y algún λj < 0
Convexidad en el espacio de
soluciones:
Clasificación de los
problemas de Optimización
Clasificación de los problemas:
Clasificación de los problemas:
Clasificación de los problemas:
Clasificación de los problemas:
Clasificación de los problemas:
Clasificación de los problemas:
Ejemplos de problemas de
optimización:
Ejemplos de problemas de
optimización:
Ejemplos de problemas de
optimización:
Ejemplos de problemas de
optimización:
Ejemplos de problemas de
optimización:
Ejemplos de problemas de
optimización:
Características de los algoritmos
de optimización:
Cualidades deseables en todo
algoritmo de optimización: