Antología EMAT2

Ma. Guadalupe Flores Barrera
Andrés Rivera Díaz
Contenido
EMAT-HIDALGO
I
III
1
Introducción
Organización de la Antología EMAT-Hidalgo
Programación Segundo Grado, EMAT-Hidalgo
7
9
Septiembre
Sirven para algo los números con signo? (57)
Sumas, restas, multiplicaciones y / o divisiones de números con signo (Actividad
didáctica)
Trazo de una paralela (76-77)
Suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero (Actividad didáctica)
11
12
13
14
Octubre
Variación proporcional 3 (58)
Analizando el crecimiento del perímetro y el área (Actividad didáctica)
Programación de una expresión II (68)
Jugando con dados de tres caras (136-137)
4
5
16
18
19
20
Noviembre
Reducción de términos semejantes y Valor numérico (Actividad didáctica)
Ecuaciones equivalentes (91)
1) Manipular el archivo Rotcubo.fig y 2) Construcción de un paralelepípedo (Actividad
didáctica)
Construcción de tablas para el cálculo de superficies y volúmenes de prismas y pirámides
(Actividad didáctica)
22
26
Diciembre
¿Sabes qué es una razón? (66-67) Otro tipo de razones (68-69)
El problema del cumpleaños (108-109)
28
29
30
31
Enero
Patrones numéricos y geométricos (Actividad didáctica)
Método de acotación de la solución de una ecuación de 1er Grado (Actividad didáctica)
Números perdidos (88)
Variación lineal 3 (82-83)
33
34
38
40
Febrero
Dado cualquier polígono, deducir la suma de ángulos interiores (Actividad didáctica)
Recubrimiento del plano con polígonos regulares (106-109)
Recubrimiento del plano con combinaciones de polígonos regulares (110-111)
Analizando gráficas de rectas (Actividad didáctica)
41
42
44
47
48
51
Marzo y Abril
Los más grandes y los más pequeños (Actividad didáctica)
Bisectriz, altura, mediana y mediatriz de un triángulo cualquiera (82-83)
Construyendo dados (105-107)
Construyendo una moneda y un dado (Actividad didáctica)
Apuestas (144-146)
Edades y Estaturas en tu grupo (Actividad didáctica)
52
53
56
63
Mayo
Comprobación de los métodos de solución de un SE 2x2 (Actividad didáctica)
Sistema de dos ecuaciones (124-126)
Unidad 10. Razón y proporción: 1-6 (85-91)
Traslación, rotación y reflexión (Actividad didáctica)
64
65
66
68
72
Junio
Dividiendo un cuadrado en dos (Actividad didáctica)
Construcción de mosaicos (Actividad didáctica)
Simulación con el modelo de urna 1 (131-132)
Unidad 16. Carrera de Tortugas (145-148)
Bibliografía
INTRODUCCIÓN
Las Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC) suponen un revolucionario
avance en nuestra sociedad. Presenciamos a una era de cambio y de modificaciones
constantes que influyen significativamente en nuestras vidas.
Mantenernos expectantes o tomar las riendas de emergentes procesos de cambio que
nos pueden ayudar a construir un mundo sin barreras, un mundo mejor, es una elección a
realizar de forma particular por cada uno de nosotros.
En el ámbito educativo las TIC pueden suponer una importantísima ayuda como medio
de acceder al currículum, así como también favorecer los aprendizajes escolares,
particularmente de las matemáticas, como un reforzador didáctico, un medio para la enseñanza
individualizada y, una herramienta fundamental de trabajo para el profesor.
En definitiva pudiéramos preguntarnos, ¿Qué aspectos caracterizan a las TIC que las
hacen tan especial en la educación matemática? Una reflexión alrededor de esta pregunta
nos podría conducir a definir un grupo de aspectos que lo podrían caracterizar:
1. Aprendizaje continuo, por parte del alumno y del profesor, pues éste tendrá que estar
actualizado para planificar con éxito las tareas docentes que realizarán los estudiantes.
2. Las TIC no solo pueden ser objeto de estudio sino que éstas deben pasar a ser
herramienta indispensable para el alumno, tienen que ser integradas al entorno
educativo.
3. Garantiza el desarrollo de una enseñanza significativa y facilita de antemano una
educación integral.
4. Dinamiza el papel del profesor y del alumno, este último, de sujeto pasivo dentro del
proceso pasa a ser protagonista del mismo junto al profesor, el cual tendrá como
función rectora la orientación en el uso de las herramientas tecnológicas que sean
utilizadas en el proceso.
5. Humaniza el trabajo de los profesores, pues ellos desarrollarán sus actividades con el
apoyo de las tecnologías, economizando tiempo y energía.
Además de estas ventajas que nos proporcionan las Tecnologías Educativas en el
proceso de enseñanza, es bueno destacar que también permiten lograr una mejor
interdisciplinaridad, o sea podemos relacionar el contenido matemático con el de otras
asignaturas que contribuyan a una formación más eficiente y de carácter integral de nuestros
estudiantes hidalguenses.
Por lo anterior, la Dirección General de Educación Básica del Estado de Hidalgo, ha
implementado el proyecto:
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología, propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo)
A través de la Coordinación Estatal de los profesores: Ma. Guadalupe Flores Barrera y
Andrés Rivera Díaz, quienes imparten un curso-taller programado, un día al mes, durante el
ciclo escolar, al equipo de Coordinadores de las Zonas Escolares del Estado, de cada
modalidad de Educación Secundaria, para que a la vez ellos lo multipliquen con sus profesores
que imparten matemáticas de sus zonas correspondientes, en un día al mes también.
I
Las reuniones mensuales son un espacio de formación y actualización docente para el
intercambio de experiencias, metodologías y conocimientos sobre las cuatro herramientas
tecnológicas: Hoja electrónica de Cálculo, Calculadora TI-92, Geometría Dinámica y
Programación computacional, las cuales son propuestas originales de la Subsecretaría de
Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública (SEP), en colaboración con
el Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE). Como producto de ello se ha
diseñado y compilado una Antología EMAT-Hidalgo, para cada grado escolar de educación
secundaria.
Por último, sabedores de que contamos con una comunidad educativa comprometida,
aplicaremos esta Antología de Segundo Grado, EMAT-Hidalgo, por el bienestar de nuestros
alumnos hidalguenses.
Mtro. Pablo Moreno Calva
Director General de Educación Básica
SEP, Estado de Hidalgo
II
Organización de la Antología
PRESENTACIÓN
La Antología Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación
Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), es una compilación y diseño de actividades
didácticas que contemplan el uso de cuatro piezas de tecnología estrechamente relacionadas,
cada una con las áreas específicas de la geometría, el álgebra, la aritmética, la resolución de
problemas y la modelación matemática. La Antología cumple, en forma paralela, con los planes
y programas de estudio vigentes de matemáticas, para las modalidades de Educación
Secundaria (General, Técnica y Telesecundaria).
En la mayoría de las actividades seleccionadas, la construcción y el uso de estas cuatro
piezas de tecnología cuentan con un sustento teórico y/o empírico, respectivamente, que
respaldan su valor como herramientas mediadoras del aprendizaje en lo cognitivo y en lo
epistemológico.
La propuesta Hidalgo, es trabajar una sesión a la semana en el aula de medios o
espacio asignado con equipos de cómputo, complementando las sesiones previas en el salón
de clase. Esto implica que desde el inicio de curso escolar, los directivos deben elaborar los
horarios, asignando en forma explícita, la sesión EMAT-Hidalgo a cada grupo.
En la Antología, se incluye el uso de software de geometría dinámica para temas de
geometría euclidiana; la calculadora TI-92 para la introducción a la sintaxis algebraica y a la
resolución de problemas; el software de LOGO, lenguaje de programación con representación
geométrica, al igual que la hoja electrónica de cálculo, para la enseñanza del álgebra, la
resolución de problemas aritmético-algebraicos, y temas de probabilidad y de tratamiento de la
información.
En el espacio para desarrollar el proyecto EMAT-Hidalgo, el profesor guía a los
estudiantes en su trabajo con el ambiente computacional y con las hojas de actividades
didácticas programadas semanalmente en la Antología.
Con las actividades se pretende que los alumnos alcancen cada vez mayores niveles de
conceptualización matemática, para ello la programación de las actividades es de la siguiente
manera:
MES DE OCTUBRE
Semana
1ra BLOQUE UNO
3.
Herramienta
Resuelvan problemas de conteo mediante cálculos numéricos. Hoja de cálculo III
Actividad
Variación proporcional 3 (58) Pág.
11 En general, en el espacio EMAT-Hidalgo el profesor debe motivar a los alumnos a:
¾ Explorar.
¾ Formular y validar hipótesis.
¾ Expresar y debatir ideas.
¾ Aprender comenzando con el análisis de sus propios errores.
Las sesiones EMAT-Hidalgo, se organizan a partir de actividades didácticas en las cuales
los alumnos reflexionan sobre lo que han realizado con la computadora, y lo sintetizan para
comunicarlo; por otro lado, estas actividades ya contestadas proporcionan información al
profesor acerca de la comprensión que los alumnos tienen de los conceptos matemáticos
involucrados.
Finalmente, una reflexión:
La educación es la base del progreso en cualquier parte del mundo y en la medida que el
compromiso de los profesores se haga más expreso y se recupere la vocación profesional,
podremos tener aspiraciones de superación sustentadas en hechos y no en sueños.
Los autores: Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz
Coordinadores Estatales de EMAT-Hidalgo
IV
PROGRAMACIÓN SEGUNDO GRADO
Sem. BLOQUE UNO
1ra 1.
MES DE SEPTIEMBRE Resuelvan problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y / o divisiones de números con signo 2da 3ra 2.
Justifiquen la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero Sem. 1ra BLOQUE UNO
Calculadora Sirven para algo los números con signo? (57) 4
Sumas, restas, multiplicaciones y / o divisiones de números con signo (Actividad didáctica) Trazo de una paralela (76‐
77) 5
Geometría Dinámica Geometría Dinámica Herramienta
Resuelvan problemas de conteo mediante cálculos numéricos. 5.
Resuelvan problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de cantidades. Hoja de cálculo Geometría Dinámica Calculadora 6.
Interpreten y construyan polígonos de frecuencia. Hoja de cálculo Suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero (Actividad didáctica) 7
9
Actividad Variación proporcional 3 (58) Pág.
11
Analizando el crecimiento del perímetro y el área (Actividad didáctica) Programación de una expresión II (68) Jugando con dados de tres caras (136‐137) 12
13
14
MES DE NOVIEMBRE Sem. BLOQUE DOS
1ra 1. Evalúen, con calculadora o sin ella, expresiones numéricas con paréntesis y expresiones algebraicas, dados los valores de las literales. 2da 2. Resuelvan problemas que impliquen operar o expresar resultados mediante expresiones algebraicas. 3ra 3. Anticipen diferentes vistas de un cuerpo geométrico. 4ta Pág.
MES DE OCTUBRE 4.
3ra 4ta Actividad Calculadora 4ta 2da Herramienta
4. Resuelvan problemas en los que sea necesario calcular cualquiera de los términos de las fórmulas para obtener el volumen de prismas y pirámides rectos. Establezcan relaciones de variación entre dichos términos. Calculadora
Geometría Dinámica Hoja de Cálculo 1
Herramienta
Calculadora
Actividad Reducción de términos semejantes y Valor numérico (Actividad didáctica) Ecuaciones equivalentes (91) Pág.
16
1) Manipular el archivo
Rotcubo.fig 2) Construcción de un paralelepípedo (Actividad didáctica) Construcción de tablas para el cálculo de superficies y volúmenes de prismas y pirámides (Actividad didáctica) 19
18
20
Sem. 1ra 2da BLOQUE DOS
Resuelvan problemas que implican comparar o igualar dos o más razones. 6.
Resuelvan problemas que implican calcular e interpretar las medidas de tendencia central. Hoja de Cálculo Hoja de Cálculo
Sem. 2da Herramienta
5.
1ra MES DE DICIEMBRE Herramienta
Elaboren sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. 2.
3ra Resuelvan problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax + b = cx + d; donde los coeficientes son números enteros o fraccionarios, positivos o negativos. 4ta 3.
1ra 2da 22
26
Hoja de Cálculo Calculadora Hoja de Cálculo
Actividad Pág.
Patrones numéricos y geométricos (Actividad didáctica) Método de acotación de la solución de una ecuación de 1er Grado (Actividad didáctica) Números perdidos (88)
28
Variación lineal 3 (82‐83) 29
30
31
MES DE FEBRERO BLOQUE TRES
Herramienta
4.
Establezcan y justifiquen la suma de los ángulos internos de cualquier polígono. Geometría Dinámica 5.
Argumenten las razones por las cuales una figura geométrica sirve como modelo para recubrir un plano. Geometría Dinámica 3ra 4ta Expresen mediante una función lineal la relación de dependencia entre dos conjuntos de cantidades Hoja de Cálculo Sem. Pág.
MES DE ENERO BLOQUE TRES
1.
Actividad ¿Sabes qué es una razón? (66‐67) Otro tipo de razones (68‐69) El problema del cumpleaños (108‐109) Geometría Dinámica 6.
Identifiquen los efectos de los parámetros m y b de la función y = mx + b, en la gráfica que corresponde. 2
Geometría Dinámica Actividad Pág.
Dado cualquier polígono, deducir la suma de ángulos interiores (Actividad didáctica) Recubrimiento del plano
con polígonos regulares (106‐109) Recubrimiento del plano con combinaciones de polígonos regulares (110‐111) Analizando gráficas de rectas (Actividad didáctica) 33
34
38
40
Sem. 1ra 1.
2da 2.
3ra 3.
4ta 4.
5ta 6ta 5.
Sem. 1ra MESES DE MARZO ABRIL BLOQUE CUATRO
Resuelvan problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica. Resuelvan problemas geométricos que implican el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos. Interpreten y relacionen la información proporcionada por dos o más gráficas de línea que representan diferentes características de un fenómeno o situación. Resuelvan problemas que implican calcular la probabilidad de dos eventos independientes. Relacionen adecuadamente el desarrollo de un fenómeno con su representación gráfica formada por segmentos de recta. 1.
2.
Hoja de Cálculo
Hoja de Cálculo
Hoja de Cálculo
BLOQUE CINCO
Resuelvan problemas que implican el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Herramienta
Hoja de Cálculo
Determinen el tipo de transformación (traslación, rotación o simetría) que se aplica a una figura para obtener la figura transformada. LOGO
Geometría Dinámica 3.
Pág.
41
Construyendo una moneda y un dado (Actividad didáctica) Apuestas (144‐146) Edades y Estaturas en tu grupo (Actividad didáctica) 47
42
44
48
51
Actividad Comprobación de los métodos de solución de un SE 2x2 (Actividad didáctica) Sistema de dos ecuaciones (124‐126) Unidad 10. Razón y proporción: 1‐6 (85‐91) Traslación, rotación y reflexión (Actividad didáctica) Pág.
52
53
56
63
MES DE JUNIO BLOQUE CINCO
Identifiquen y ejecuten simetrías axiales y centrales y caractericen sus efectos sobre las figuras. Herramienta
Geometría Dinámica Geometría Dinámica 4.
Actividad Los más grandes y los más pequeños (Actividad didáctica) Bisectriz, altura, mediana y mediatriz de un triángulo cualquiera (82‐83) Construyendo dados
(105‐107) MES DE MAYO 2da 3ra Hoja de Cálculo
Hoja de Cálculo
4ta Sem. 1ra Geometría Dinámica 2da 3ra Herramienta
Calculadora
Resuelvan problemas que implican calcular la probabilidad de dos eventos que son mutuamente excluyentes. Hoja de Cálculo
4ta LOGO
3
Actividad Dividiendo un cuadrado en dos (Actividad didáctica) Construcción de mosaicos (Actividad didáctica) Simulación con el modelo de urna 1 (131‐132) Unidad 16. Carrera de Tortugas (145‐148) Pág.
64
65
66
68
¿Sirven para algo los números con signo?
1. Escribe una suma de números con signo que corresponda a cada una de las siguientes situaciones. a) En una ciudad la temperatura a las 10 de la noche era de 16°C. A partir de esa hora la temperatura disminuyó 1.5°C cada 10 minutos. ¿Cuál era la temperatura a las 5:00 AM del día siguiente? ____________________________________________________________________ b) Un equipo de fútbol americano perdió 2 yardas en la primera oportunidad, en la segunda oportunidad ganó 7 yardas, en la tercera logró cero yardas, y en la última perdió 9 yardas. ¿Cuál fue el resultado de sus intentos en las cuatro oportunidades? ____________________________ c) Colón descubrió América en 1492. Roma fue fundada 2 275 años antes. ¿En qué año tuvo lugar la fundación de Roma? __________________________________________________________ d) Completa el siguiente cuadrado escribiendo en cada espacio uno de los siguientes números: ‐7, ‐9, ‐11, ‐2, ‐4, ‐6, 3, 1, ‐1. La condición que debe cumplir tu cuadrado mágico es que cualesquiera tres números colocados en línea recta deben sumar lo mismo. -4
4
Sumas, restas, multiplicaciones y / o divisiones de
números con signo Reglas Importantes para Resolver
Operaciones Aritméticas:
1. Primero resolver todo lo que esté dentro
de símbolos de agrupación.
2. Evaluar las expresiones exponenciales.
3. Hacer todas las multiplicaciones y
divisiones en orden de izquierda a
derecha.
4. Hacer todas las sumas y restas en orden
de izquierda a derecha.
Reglas de los Signos:
1. En suma de números con signos
iguales, se suman los números y el
resultado lleva el mismo signo. Si los
números tienen signos diferentes, se
restan y el resultado lleva el signo del
mayor.
2. En resta de signos iguales el resultado
lleva el signo del mayor. Si se restan
signos diferentes, se suman los
números y el resultado lleva el signo del
mayor.
3. En multiplicación y división de números
con signos iguales el resultado es
positivo. Si los números son signos
opuestos, el resultado es negativo.
Con el uso de la TI-92:
1. Resuelve las siguientes operaciones
a) (+4) ⋅ (+15) =
b) (−10) ⋅ (+8) =
k)
c) (+5) ⋅ (−7) =
d ) (−5) ⋅ (−8) =
e) (+2) ⋅ (−4) ⋅ (−8) =
f ) 2 ⋅ (−7) ⋅ (−4) =
g ) (−5) ⋅ (+2) ⋅ (−4) =
m)
h) (−2) ⋅ (+3) ⋅ (−6) =
i)
(+28)
=
(+4)
j)
(−21)
=
(−3)
(− 3)
=
(− 3)
30
=
l)
(−6)
( + 35 )
=
(−7 )
(−8)
=
n)
(−4)
( − 36 )
(−6)
=
(+2)
o)
( + 40 )
( − 10 )
=
(−2)
p)
5
2. Efectúa las siguientes operaciones. Recuerda el orden de operaciones (paréntesis y
corchetes - multiplicación y división - suma y resta.)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
(+18)
− (−8) =
(−3)
24 6
14 − + =
3 2
(50 − 20)
=
80 −
5
(4 − 8) (9 − 12)
−
=
2
3
150
=
(7 − 12)
(20 − 12)
=
(−2)
(35 − 15)
=
(5 − 8)
(6 − 2 − 10)
=
(5 − 11)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
80
=
[25 − (+3) + (−2)]
[(−5) − (−15)] =
[(+6) − (−8)]
27 16 8
−
+ =
9
4 2
3 ⋅ [4 − 2 ⋅ (5 − 11)] − 18 =
(+2) ⋅ (−7) − 8 ⋅ (−4) − (−5) ⋅ (−2) =
30 − (−2) ⋅ ( −10) + (−5) ⋅ (+8) =
18 + 2 ⋅ (5 − 9) − 3 ⋅ (10 − 7) =
(+2) ⋅ (−3) + (−5) ⋅ (−3) − (−2) ⋅ (+7) =
(−3) ⋅ [(+7) + (−2)] =
(+5) ⋅ [(−3) + (−7)] =
s ) (−2) ⋅ [8 − (+4) − (−10)] =
t ) [(−6) − (−3)] ⋅ [( +5) − ( −2)] =
u ) (−5) ⋅ [3 + (−2)] + (−5) =
v) (2 + 3 − 6) ⋅ (3 − 5 + 4) =
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES (Recuerda que “:” es división)
1)
2)
3)
4)
5)
6
T rraazzoo ddee uunnaa ppaarraalleellaa…
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
….. Trazos geométrico y Figuras básicas Propósito: Proponer una construcción para trazar la paralela a una recta por un
punto exterior a ella.
Arriba aparece una recta m y un punto P. ¿Cómo podría trazarse una recta paralela
a m que pase por P? Hazlo a continuación.
ACTIVIDAD
7
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..SSeegguunnddoo ggrraaddoo El dibujo de arriba muestra una construcción que da respuesta a la pregunta
anterior. Verifica que la recta que pasa por los puntos P, Q, es paralela a la recta m. La
construcción sigue los mismos pasos que se requieren para formar un paralelogramo, cuyos
vértices son ABPQ, dos puntos cualesquiera sobre la recta m y el punto P.
Reproduce el _____________________________________________________________ dibujo anterior y describe a _____________________________________________________________ continuación los pasos que _____________________________________________________________ seguiste.
_______________________________________________________
Arrastra la recta m para comprobar si tu construcción es adecuada. 8
Suma de los ángulos internos de cualquier triángulo
o cuadrilátero
En esta actividad se hará uso de Cabri, para ir comprobando lo que se describe en forma
teórica, pero aprovechando la geometría dinámica que este ambiente proporciona,
puedas generalizar.
PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO
ÁNGULOS INTERNOS: α,
β, γ
La suma de los ángulos internos es : _____
La suma de los ángulos externos es : ____
ÁNGULOS EXTERNOS:
Un ángulo externo es igual a la suma de los dos
ángulos internos no adyacentes a él.
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Clasificación según sus lados (a, b, c)
Equilátero:
Todos los lados iguales
a=b=c
Isósceles:
Dos lados iguales
Ejemplo: a
Escaleno:
Todos los lados desiguales
a≠b,a≠c,b≠c
Clasificación según sus ángulos interiores: α,
=b
β, γ
Acutángulo:
Tres ángulos agudos
α, β, γ < 90°
Rectángulo:
Un ángulo recto
Ejemplo: α = 90°
Obtusángulo: Un ángulo obtuso
Ejemplo: α > 90°
9
C
UADRILÁTERO ES UN TIPO DE POLÍGONO
(O FIGURA PLANA CERRADA) QUE TIENE CUATRO LADOS.
Clasificación de cuadriláteros:
Paralelogramos
Trapecios
Trapezoides
Vértices : A, B, C, D
Lados : a, b, c, d
Ángulos :
Diagonales : e, f
CLASIFICACIÓN PARALELOGRAMOS: TIPOS
FIGURA: Dos pares de lados paralelos (a y c) (b y d)
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
CLASIFICACIÓN TRAPECIOS: TIPOS : Un par de lados paralelos (a y d)
Trapecio isósceles:
Trapecio escaleno:
Distintos medidas en los lados no paralelos Igual medida en los lados no paralelos (b =
(b ≠ c)
c)
Trapecio rectangular:
Un lado no paralelo perpendicular a la base
CLASIFICACIÓN TRAPEZOIDES: TIPOS Sin lados paralelos
Trapezoide asimétrico:
Trapezoide: (deltoide)
Cuatro lados desiguales
Posee dos pares de lados iguales pero no
paralelos.
10
V aarriiaacciióónn pprrooppoorrcciioonnaall ((33)) …
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
….. Aritmética Si una embarcación puede navegar 360 millas con 16 galones de combustible diesel, ¿qué distancia recorrerá con 300 galones? _____________________________________________________ Construye una hoja de cálculo como la siguiente para relacionar los galones con las millas recorridas. Para responder la pregunta, conviene preguntarnos cuántas millas puede navegar la embarcación con un solo galón. Escribe una fórmula en B3 para relacionar las cantidades de A2 y B2. A B 1 2 GALONES 16 MILLAS 360 3 1 ? 4 ¿Cuál es el factor de proporcionalidad en el ejemplo anterior? __________________________________ Ahora contesta la pregunta original. Inserta el número 300 en la celda A4 y escribe una fórmula en B4 que calcule la cantidad de millas correspondiente. ¿Qué distancia recorrerá entonces con 300 galones? __________________________________________ Usa tu hoja de cálculo para responder las siguientes preguntas: ¿Qué distancia recorrería la embarcación con 200 galones? ____________________________________ ¿Qué distancia recorrería la embarcación con 80 galones? _____________________________________ ¿Cuántos galones necesitará para recorrer 1 000 millas? _______________________________________ Construye ahora una hoja de cálculo para resolver las siguientes situaciones: Si un frasco de café de 400 gramos cuesta $12.50, ¿cuánto debería costar uno de 250 gramos? ________ Si se determinó que el precio de un frasco de café es de $10, ¿cuántos gramos contiene? _____________ 11
A
NALIZANDO EL CRECIMIENTO DEL PERÍMETRO Y EL ÁREA
La intensión de esta hoja de trabajo es ver geométricamente el concepto de
variabilidad, mediante dos construcciones en el ambiente de Cabri
Construye y manipula: observa y contesta
1)
Se cuenta con un cordón de 20 cm., construir un rectángulo de
dimensiones variables y calcular su área.
¿Cómo es el comportamiento del perímetro? ___________________________
¿Cuál es el comportamiento del área? ___________________________
¿Cuál es el área mayor y cuáles las dimensiones del rectángulo? _______________
2)
Si se sabe que el área de un rectángulo es de 25 cm2, construir
todos los posibles rectángulos de dimensiones variables y
calcular su perímetro.
¿Cómo es el comportamiento del perímetro? ___________________________
¿Cuál es el comportamiento del área? ___________________________
¿Cuál es el perímetro menor y cuáles las dimensiones del rectángulo? __________
___________________________________________________________________
12
Programación de una expresión II . . . . . . . En mi calculadora escribí un programa que hace lo siguiente: Número de entrada 1
3
5
7 9 Número de salida 2
10
26
50 82 1. ¿Qué resultado me va a dar la calculadora si escribo en mi programa el número 4? `___________ ¿Y si escribo el número 6? `__________ ¿Si escribo el número 17? `_______________________ ¿Qué operaciones hiciste para obtener esos resultados? `_________________ ________________________ 2. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga lo mismo que la mía? Escribe tu programa en el cuadro de abajo. 3. Usa el programa que hiciste para encontrar los números que faltan en la tabla. Número de entrada 59.83 117.18 136.1 200.79 Número de salida 551 653.38 4. ¿Qué operaciones hiciste para obtener los valores asociados a 551 y 653.38? `___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 5. ¿Cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 653.38 es el correcto? `__________________________________ ________________________________________ 13
J uuggaannddoo ccoonn ddaaddooss…
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
….. Probabilidad ddee ttrreess ccaarraass Tira 10 veces un dado y escribe tus resultados en la segunda columna de la siguiente tabla (los primeros cuatro tiros están ya incluidos como ejemplo): NÚMERO DE TIROS RESULTADO CONTEO PORCENTAJE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5
4
1
4
0
1
1
2
0% 50% 33.33%
50% En la tercera columna se va registrando la cantidad de veces en la que aparece un número. En este caso el 4 ha aparecido dos veces (como en el primer tiro no salió el 4, el conteo es de 0; en cambio, en el segundo tiro sí apareció este número y se registró el 1; en el tercer tiro tampoco salió el 4, así que el conteo siguió siendo de 1). Usando tus resultados, completa la columna correspondiente. Para calcular el porcentaje de cuatros que vayas obteniendo, divide el “Conteo” entre el “Número de tiro” y multiplícalo por 100. Termina de completar la tabla y discute con tus compañeros y maestro que se debe esperar con este porcentaje después de muchos tiros. Abre el archivo leygrnu5.xls. Esta hoja está organizada de la misma forma en la anterior que se experimentó con el lanzamiento de un dado. 14
…
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
….. Jugando Con dados de tres caras
¿Por qué tus resultados no coinciden con los de la hoja anterior? ________________________________ _____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________ Revisa que los valores de las columnas “Conteo” y “Porcentaje” están calculados correctamente. Observa el valor del porcentaje para 100 tiros. ¿Cuál es? _______________________________________ Si extendieras las cuatro columnas de la hoja hasta los 10000 tiros (fila 10006) podrías leer los siguientes valores: NÚMERO DE TIROS PORCENTAJES 2000 4000 6000 8000 10000 Considera la fracción; escribe su forma decimal y su forma como porcentaje (multiplicando la forma decimal por 100). Compara este valor con tus valores de la tabla anterior y con los de tus compañeros. Explica por qué son casi iguales. __________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________ 15
R
EDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Y VALOR NUMÉRICO
Haciendo uso de la calculadora TI-92 y de su manipulación simbólica, comprenderemos
el tema de reducción de términos semejantes
1.- Calcula el perímetro de las siguientes figuras:
Al realizar los cálculos con los conocimientos de geometría encuentra que los perímetros son:
P = ______
P = _______
P = __________________=_________
Ahora verifica cada respuesta empleando la calculadora y se encuentra que los perímetros son:
__________________
, ___________________
y
__________________
¿Qué es lo que hace la calculadora? _______________________________________________
¿Son iguales o no los dos miembros de la igualdad? __________________________________
16
Calcula el perímetro de las figuras geométricas empleando la calculadora y después obtén el
valor numérico:
Perímetro
P= ____________
Si x=3.5 cm.
P= ______________
Perímetro
P= _____________
Si x=8.3 km.
P= ___________
Perímetro
P= ___________
Si x=
3
m.
4
P= _____________
Perímetro
P= _____________
Si x=
π
cm.
P= _____________
¿Qué operación realiza la calculadora para obtener el valor numérico del perímetro de las
figuras?_________________________________________________________________
17
Ecuaciones equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. A las ecuaciones que tienen la misma solución se les llama ecuaciones equivalentes. Por ejemplo, las ecuaciones 7 ∙ y – 5 = 51 y 5 ∙ m + 3 = 43 son equivalentes porque ambas tienen la misma solución. ¿Cuál es? ` ___________________________________________ 2. De las siguientes ecuaciones encuentra las que son equivalentes. Justifica tus respuestas. a) 4 (x + 12) + 7 = 87 b) 7 ∙ 5 – 3 = 32 c) 12 + 4 ∙ a = 14 d) 15 + 6 ∙ y = 18 e) 2 ∙ m + 11 = 15 f) 5 ∙ b – 1 = 44 g) 8 – 5 ∙ p = 3 h) 23 – 12 ∙ r = 17 i) 21 + 8 ∙ k = 25 j) 3 ∙ y + 1 = 0 k) 20 – 2 ∙ m = 2 l) 42 + 4 ∙ n = 62 3. Unos alumnos resolvieron las ecuaciones que se muestran a continuación. Revisa sus respuestas, si encuentras algunas incorrectas, corrígelas y escríbelas. a) 3 • a + 5 = 41,
d) 20 =
5
,
k
a = 12 k =4 g) (b + 3) • 2 − 4 = 8,
b = 3 j) ( 2 • b + 3) • 5 − 1 = 34, b = 3 b) 4 • p − 2 = 20,
p=7 c) 16 − r = 0,
e) 2 • n + 5 = 5,
n=0 f) 2 • a +1
= 3,
5
3• y +1
,
4
y = 9 i) 4 • a −1
= 9,
3
l) 2 • x −1
= 5,
4−x
h) 7 =
k) ( 2 + 3 • x ) • 4 = 20,
18
x = 1 r = 16 a=7 a = 27 x = 3 C
onstrucción de un paralelepípedo
Como actividad de exploración, desde el ambiente de Cabri, carga el archivo Rotcubo.fig,
Y como actividad práctica:
Con una lámina rectangular, se hace una caja sin tapa cortando un cuadrado de dicho material
en cada esquina y doblando los lados hacia arriba, como se muestra en la figura
1) En el ambiente de Cabri, abre el archivo Volúmen Máximo_Caja_Isometrico.fig, y mueve
el punto P
2) ¿De las medidas, cuáles son constantes y cuáles variables?
______________________________________________________________
3) Con la herramienta de Calcular, multiplica las medidas proporcionadas en la figura
recortada, para obtener el volumen de la caja. Arrastra el resultado a la pantalla principal.
4) Vuelve a mover el punto P y determina el volumen máximo V= ______________
5) Mueve el punto C hasta el punto medio del segmento AB.
6) Vuelve a mover el punto P y determina el volumen máximo V= ______________
19
C
onstrucción de tablas para el cálculo de superficies y volúmenes
de prismas y pirámides
De los recipientes que se encuentran en casa como envases de productos varios, en
nuestro entorno- están los prismas y pirámides, cuya característica común es que todas
sus caras son planas.
Prismas Recordarás que los prismas están constituidos por dos caras planas paralelas, una
llamada base y la otra denominada tapa, además sus caras laterales son rectángulos si el
prisma es recto, esto es, si las caras laterales están en planos perpendiculares a la base. Abre
el archivo “Volumen de prismas y pirámides.xls” y en la hoja de Prismas modifica los
valores de la fila 4:
a)
Prisma pentagonal cuya longitud del lado es de 6 cm y de altura
1
m.
4
Superficie=____________
Volumen=_____________
b) Prisma triangular cuya altura es de 40 cm y una superficie de 80 cm2
Longitud de lado= _________
Volumen= ________
c) Prisma cuadrangular cuya longitud del lado es 7 cm y su volumen es de 946 mililitros
Altura= _________
Superficie = __________
20
Ahora pulsa en la hoja de Pirámides y explora
Pirámides Recordarás que las pirámides tienen una base y una cúspide o punta –que está
fuera del plano de la base- donde remata el cuerpo. La base es un polígono y las caras laterales
son triángulos. Una pirámide se llama regular si las aristas que unen la cúspide con cada uno
de los vértices del polígono de la base son iguales. Abre la hoja de Pirámides
a) Pirámide hexagonal cuya longitud del lado es de 6.5 cm y de altura 15 cm.
Superficie=____________
Volumen=_____________
b) Pirámide cuadrangular cuya altura es de 35 cm y una superficie de 450 cm2
Longitud de lado= _________
Volumen= ________
c) Pirámide triangular cuya longitud del lado es 10 cm y su volumen es de
1
litro
2
Altura= _________
Superficie = __________
21
¿ SSaabbeess qquuee eess uunnaa rraazzóónn??…
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
….. Aritmética Una razón es una relación entre dos cantidades. Por ejemplo:
6 de cada 10 humanos viven en el continente asiático.
3
partes de la superficie terrestre están cubiertas por agua.
5
Como se ve, la relación se establece entre una parte y el todo.
Esta actividad te ayudará a entender para qué sirven las razones. Para esto, piensa en la
situación siguiente.
Un jugador de basquetbol entrena desde la línea de tiro, durante la semana anterior a la
temporada de juegos. Los resultados que obtuvo están registrados en la siguiente tabla:
DÍA
TIROS
CANASTAS
1
50
20
2
100
52
3
150
90
4
200
110
5
250
175
6
200
152
7
250
170
CANASTAS/TIROS
Observa que en cada día se da la razón de canastas con respecto al total de tiros (20 de
50, 52 de 100, 90 de 150…) Para poder comparar estas razones conviene expresarlas
como fracciones de la siguiente manera:
canastas
razón como fracción =
total de tiros
Construye una hoja de cálculo con la información de la tabla. En la cuarta columna
calcula la razón como fracción para que puedas observar el progreso del jugador durante
su entrenamiento.
22
………………………………….¿Sabes qué es una razón?
Los porcentajes son una manera muy común de expresar razones. Los ejemplos del
principio pueden expresarse como sigue:
60% de la población humana vive en el continente asiático.
60% de la superficie terrestre está cubierta por agua.
Agrega una quinta columna a tu hoja y calcula el porcentaje de canastas (esto es, multiplica
la cuarta columna por 100).
¿Cuál fue el mejor día del jugador en su entrenamiento?
¿Qué porcentaje de tiros encestó ese día?
La tabla siguiente muestra las cantidades de tiros y canastas de dos jugadores,
considerando los primeros 5 juegos de la temporada regular. Usa tu hoja de cálculo para
completar la tabla de abajo y de acuerdo con los resultados decide quién jugó mejor.
PRIMER JUGADOR SEGUNDO JUGADOR JUEGO TIROS CANASTAS
FRACCIÓN
TIROS
CANASTAS FRACCIÓN
1 24 8 18 7 2 13 6 16 6 3 21
8
15
6 4 30 9 9 5 5 17 7 6 3 ¿Quién fue el mejor? _______________________________________________________
Discute tu respuesta con otros compañeros.
¿Qué significa, en beisbol, que un jugador tenga 320 de porcentaje de bateo?___________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
23
O ttrroo ttiippoo ddee rraazzoonneess…
……
……
……
……
……
……
……
…..…
……
……
……
……
……
……
……
……
….. Aritmética Las razones no sólo relacionan una parte con el todo. También se usan para establecer relaciones entre dos cantidades distintas. Por ejemplo, cuando decimos que 100 g de cacahuates cuestan 6 pesos estamos expresando una razón de este último tipo. Otro ejemplo de razón entre dos cantidades distintas es el consumo de gasolina de un coche; por ejemplo: Con 40 litros de combustible se llena el tanque de un auto y puede recorrer 480 kilómetros. Estas razones, al igual que las que relacionan una parte con el todo, pueden ser expresadas con un solo número: Los cacahuates cuestan 60 pesos por kilo. El rendimiento del auto es de 12 kilómetros por litro. Una expresión como 80 kilómetros por hora es también una razón de este tipo. Da otro ejemplo de razones de este tipo. ___________________________________________________ _____________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________ Analiza la tabla siguiente usando razones. Introduce dicha información en la hoja de cálculo Cal/gr.xls. ALIMENTOS GRAMOS CARBOHIDRATOS
PROTEINAS LÍPIDOS Jugo de naranja 200 9 0 0 Huevo 50 3 10 10 Leche de vaca 240 12 8 8 Pan blanco 35 64 1 1 Arroz 100 80 1 1 Carne de res 90 0 18 18 Pescado 50 0 2 2 Frijoles 120 61 2 2 Tortillas 25 15 1 1 Chocolate 100 60 25 25 24
…
……
……
……
……
……
…0tro tipo de razones Como puedes ver, la cantidad de gramos de cada alimento es diferente y por lo tanto no pueden hacerse comparaciones entre ellos. Es necesario obtener las razones de estas cantidades por gramo. Para esto añade tres columnas a tu hoja de cálculo: una que calcule los carbohidratos por gramo, otra las proteínas por gramo y la tercera los lípidos por gramo de cada alimento. ¿Qué alimento de la lista contiene mayor cantidad de carbohidratos por gramo? ____________________ _____________________________________________________________________________________ ¿Qué cantidad tiene? ___________________________________________________________________ ¿Qué alimento de la lista contiene mayor cantidad de proteínas por gramo?________________________ _____________________________________________________________________________________ ¿Qué cantidad tiene? ___________________________________________________________________ ¿Qué alimento de la lista contiene mayor cantidad de lípidos por gramo?__________________________ _____________________________________________________________________________________ ¿Qué cantidad tiene? ___________________________________________________________________ Para calcular ahora la cantidad de calorías que cada alimento proporciona por gramo, agrega otra columna a tu hoja con la cantidad de calorías por gramo que cada alimento contiene; usa la fórmula siguiente: (caloría/g) = 4 * (carbohidratos/g) + 4 * (proteínas/g) + 9 * (lípidos/g) ¿Qué alimento de la lista contiene más calorías por gramo? ____________________________________ _____________________________________________________________________________________ ¿Qué cantidad tiene? ___________________________________________________________________ Finalmente crea otra columna con la cantidad de calorías que tendrían 100 g de cada alimento. En las siguientes líneas ordena los alimentos de mayor a menor según su cantidad de calorías en 100 g. ALIMENTO CAL/100 G. ALIMENTO CAL/100 G. 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10 25 E ll pprroobblleem
maa ddeell ccuum
mpplleeaaññooss …
……
…..…
……
……
……
……
……
……
……
……
……
…..Probabilidad Hay un problema muy famoso cuyo resultado sorprende a todos. ¿Cuál es la probabilidad de que en un salón de clase de 40 niños se encuentren dos cuya fecha de cumpleaños coincida? ¿Crees que la probabilidad sea pequeña o grande? Para encontrar la respuesta analiza primero una situación similar. ¿Cuál será la posibilidad de que en un grupo de seis niños coincida el mes del cumpleaños de dos de ellos? Se podría inferir que si hay 6 niños y 12 meses, la probabilidad debería ser de un medio. ¿Será cierto? Usa una hoja de cálculo para simular esta situación, toma en cuenta que es parecido a la de un dado. Primero es necesario que en la celda A4 aparezca uno de 12 números, representando los meses en forma aleatoria (=entero(aleatorio()*12) + 1). Para esto, arrastra la fórmula de la celda cinco lugares más: Comprueba que en las celdas A4 y F4 aparecen ahora los números del 1 al 12 al apretar la tecla F9. Como tenemos un grupo de seis niños, debemos tener seis de estos números al azar. A continuación realiza este experimento. Aprieta la tecla F9 100 veces. Para cada una, registra en la tabla de abajo cuando no coincidan ninguno de los seis meses o cuando sí haya coincidencia. LOS SEIS MESES No coinciden Coinciden dos o más CONTEO (MARCA UNA DIAGONAL / DONDE CORRESPONDE TOTALES ¿Qué es más probable? _________________________________________________________________ 26
…
……
…..…
……
……
……
……
……
……
……
……
……
…..El problema del cumpleaños En teoría, en casi el 80% de los casos se encontrará coincidencia entre algunos de los meses. ¿Es esto más o menos lo que tú encontraste? En el problema original del día de cumpleaños, se puede calcular que en aproximadamente 90% de los salones con 40 niños se encontrarán dos niños con el misma fecha de cumpleaños. Si no lo crees es muy fácil de comprobarlo. Visita algunos salones de aproximadamente 40 niños y comprueba que en 9 de cada 10 casos la afirmación anterior se confirma (si estás en una escuela con salones más chicos, la probabilidad de encontrar coincidencia en salones de alrededor de 25 niños es de aproximadamente 60%). 27
Patrones numéricos y geométricos
En una hoja de cálculo y dadas las siguientes actividades, determina
la expresión correspondiente para crear sucesiones numéricas:
a) Todo polígono regular puede triangularse mediante diagonales que no se interceptan,
por ejemplo:
…
¿Cuántos triángulos tiene inscritos un polígono regular de 36 lados? _________________
Tomando en cuenta que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es de 180ª
¿Determinar la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono regular y escribe una
regla?
____________________________________________________________________________
b) Tomando en cuenta que una diagonal es la unión de dos vértices no consecutivos, por
ejemplo:
¿Cuántas diagonales tiene un polígono regular de 27 lados? _________________
c) Observa el siguiente arreglo geométrico, tomando en cuenta que cada figura es un nivel:
…
¿Cuántos cuadritos tiene la figura del nivel 100? _______________
28
Método de acotación de la solución de una ecuación
de Primer Grado
En una hoja de cálculo, elabora tabulaciones tomando en cuenta las condiciones que
indican cada uno de los problemas y de esa manera obtener la solución.
1) Números. Encontrar tres números consecutivos cuya suma sea 60.
2) Dimensiones. Encuentra las dimensiones de un rectángulo que tiene 66 cm de perímetro y
su base mide 3 cm más que el doble de la altura.
3) Precio de boletos. Un concierto musical produjo $45,520.00 por la venta de 800 entradas.
Si el precio de las entradas eran de 35 y 65 pesos respectivamente ¿cuántos boletos de
cada precio se vendieron?
4) Número de habitaciones. En una casa de huéspedes, de tres pisos, hay 63 habitaciones.
Si las habitaciones del segundo piso son el doble de las del tercero, y las del segundo son la
mitad de las del primero. ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso?
29
Números perdidos. . . . . . . . . . . . . . . . . 1. ¿Puedes encontrar las soluciones de las siguientes ecuaciones? El objetivo consiste en que ninguna de tus respuestas sea incorrecta. Verifica los resultados usando tu calculadora. a) 2 • a −
1
= 1 3
b) 18 = 5 • a + 3 c) 27 = 18 • a + 9 a = a = a = d) 5
1
−b = 7
4
e) 3.4 = c + 1.2 f) d • 4 −
1 7
= 8 8
c = b = d = g) 356 + 2 • x = 376 h) 457 = 25 + 2 • y i) 18 + 3 •
x = y = y = y = 45 2. ¿Encontraste un método para resolver las ecuaciones anteriores? Descríbelo de manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender. ________________________________________________________________________ 3. Auxíliate de la calculadora para encontrar los números que faltan y comprobar que tus respuestas sean correctas. Anota en cada espacio las operaciones que hiciste. a) 2 + 3 m = 2 m +7 m = c) 120 + 5 p = 10 p + 85
p = e) b3 –120 = 5 b = 5 g) 5x = 3125 x = 5 b) 25 + 3 y = 8 y + 5 y = d) 18 q – 1 = 0
q = f) b3 + 2 × b = 12 b = 2 h) 2x = 64
x = 6 30
V aarriiaacciióónn lliinneeaall ((33)) …
……
……
……
……
…....…
……
……
…..Algebra ……
……
……
……
……
…....…
…..…
……
……
……
Recuerda que la propiedad de las relaciones lineales es la siguiente: Si una variable se incrementa de una manera constante, la otra variable cambiará también en forma constante. En esta actividad aprovecharás esta propiedad para determinar si una relación es lineal o no y dar su ecuación. Observa la siguiente tabla: x y 0
4
2
9
4
14
6
19
8 24 10
29
Debido a que x se incrementa de 2 en 2 (0, 2, 4…) y el valor de y se incrementa de 5 en 5 (4, 9, 14…) ésta es una relación lineal. Si ahora queremos descubrir la ecuación que satisface la tabla anterior, tenemos que deducir los valores de a y b en la fórmula: y = a * x + b La constante a representa el cambio de la variable y en relación con el cambio que experimenta x (de 1 en 1). En la tabla anterior notamos que al incrementarse x de 2 en 2, y se incrementa de 5 en 5. Esto quiere decir que al incrementarse x de 1 en 1, y aumentará de 2.5 en 2.5. Así, el valor de la constante a para este caso debe ser de 2.5; esto es: a = 2.5 La constante b representa el valor de y cuando x = 0. En la tabla anterior observamos que este valor es de 4. Así, b = 4. Por lo tanto, la ecuación que estábamos buscando es: y = 2.5 * x + 4 Escribe esta fórmula en una hoja de cálculo como se muestra a continuación para verificar que se obtienen los mismos valores de la tabla de arriba. 31
…
……
…..…
……
……
……
……
……
……
……
……
……
…..Variación lineal (3) Trabaja ahora junto con un compañero. Abran una nueva hoja de cálculo. En la celda A1 escriban x, en la celda B1 escriban y, y en la celda A2 escriban cualquier número. Después, uno de ustedes, debe escribir en la celda B2 una fórmula del tipo: = 3 * A2 + 7 ( el 3 y el 7 son sólo ejemplos, ya que puedes poner los números que quieras) para que el otro la adivine variando como quiera el número en la celda A2. Después, quien adivine la fórmula debe escribirla en la forma: y = a * x + b A x 0 1 2 1 2 3 4 B y =2.5*A2+4
Copia hacia abajo la formula Intercambien ahora papeles, y al final discutan con el grupo cuál es la mejor estrategia para obtener la fórmula de sus datos numéricos. Con la misma hoja del ejercicio anterior, repitan la actividad, pero ahora escriban en la celda B2 fórmulas lineales o de otro tipo. Primero uno de ustedes debe verificar si la relación es efectivamente lineal, usando la propiedad enunciada al principio de esta actividad, es decir, al cambiar x en forma constante, y también cambiará en forma constante. Si es lineal, ¿cuál es su fórmula? ________________ _____________________________________________________________________________________ 32
Dado cualquier polígono, deducir la suma de ángulos
interiores
Haciendo uso de Cabri y, de la
herramienta de Polígono regular,
construye un Pentágono y construye
un triángulo desde el centro a dos
vértices adyacentes. Calcula las
medidas del ángulo central y un
ángulo interior del polígono.
Realiza lo mismo para los siguientes polígonos y completa la tabla:
Polígono
Ángulo central
Ángulo Interior
Suma de
central e
interior
72°
108°
180°
Suma de los
ángulos
Interiores
Triángulo
Cuadrado
Pentágono
540°
Hexágono
Decágono
Dodecágono
Completa la siguiente tabla evaluando las expresiones (Puedes apoyarte de Excel):
¿Cuál es la fórmula general para
determinar el
Ángulo central?
Número
de lados
(n)
360° ⎞
⎛
n * ⎜180° −
⎟
n ⎠
⎝
180° * (n − 2)
3
Fórmula: ___________
4
5
Ángulo interior?
Fórmula: ___________
6
10
12
¿Cómo son las fórmulas? ___________
33
R eeccuubbrriim
….. Ángulos entre paralelas miieennttoo ddeell ppllaannoo ccoonn…
……
……
……
……
……
……
……
ppoollííggoonnooss rreegguullaarreess Propósito: Descubrir con qué polígonos regulares se cubre un plano. Seguramente has observado pisos que están recubiertos por polígonos regulares. Sin embargo, combinando éstos forman otros que no son regulares. ¿A qué se debe esto? En la figura anterior, primero se trazó el cuadrado del centro, y utilizando el comando SIMETRÍA AXIAL se construyeron los que parten de los lados del cuadrado central; con el mismo comando y usando ahora estos últimos cuadrados como base, se trazaron los cuadrados que coinciden con los vértices del cuadrado central. ¿Podrías construir nuevos cuadrados utilizando dicho comando? Si tu respuesta fue afirmativa, hazlo y verifica la figura arrastrando cualquier vértice del cuadrado inicial. Si te ubicas en cualquier vértice del cuadrado central, ¿cuántos cuadrados concurren en dicho vértice? ______________________________________________________________________________ ¿Cuánto mide el ángulo de cada cuadrado en ese vértice? ______________________________________ Entonces, ¿cuál es el resultado de la suma de los ángulos de los cuadrados que concurren en el vértice donde te ubicaste?______________________________________________________________________ Por tal motivo, llenan completamente la parte del plano alrededor del vértice elegido. 34
.. …
……
……
……
……
……
……
……
……
……
…..…
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
…SSeegguunnddoo ggrraaddoo Veamos lo que ocurriría, si el polígono regular elegido fuera un triángulo equilátero. En este nuevo dibujo, el triángulo equilátero de en medio fue el principio de toda la figura. Primero se trazaron todos los triángulos sin rellenar y posteriormente se les asignó en la pantalla un color para distinguirlos. ¿Podrías agregar más triángulos equiláteros a la figura anterior? Si tu respuesta fue afirmativa hazlo y verifica la figura arrastrando cualquier vértice del triángulo equilátero inicial. Ahora elige un vértice de un triángulo equilátero que esté rodeado de triángulos equiláteros de diferentes colores. ¿Cuántos triángulos equiláteros concurren allí? ______________________________ ¿Cuánto mide el ángulo interior de cualquier triángulo equilátero?_______________________________ ¿Cuál es el resultado de la suma de los ángulos interiores de los triángulos equiláteros que concurren en el vértice elegido? ______________________________________________________________________ Por ello, alrededor del vértice elegido los triángulos equiláteros llenan completamente al plano sin encimarse. 35
Ángulos entre paralelas
…………………………………………………………………………………………………………………….
Hasta ahora, parece que cualquier polígono regular que se elija llenará el plano alrededor de un punto sin encimarse, pero veamos que sucede si elegimos un pentágono regular. A
En el dibujo, el pentágono regular inicial fue el de abajo, donde un vértice es el punto A; alrededor de A se construyeron pentágonos regulares, utilizando el comando SIMETRÍA AXIAL y como consecuencia el cuarto pentágono regular que construimos se encimó sobre el primero. ¿Podrías explicar por qué? 36
…
……
……
……
……
……
……
……
……
……
…..…
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
…SSeegguunnddoo ggrraaddoo Si construimos polígonos regulares de seis, siete, ocho, nueve y diez lados, respectivamente, ¿con cuáles se llena completamente el plano alrededor de un vértice sin que los polígonos se encimen? Describe lo ocurrido para cada caso. 37
R eeccuubbrriim
miieennttoo ddeell ppllaannoo ccoonn…
……
……
……
……
……
……
……
….. Ángulos entre paralelas ccoom
mbbiinnaacciioonneess ddee ppoollííggoonnooss rreegguullaarreess Propósito: Cubrir el plano combinando polígonos regulares. En el dibujo, el espacio que está alrededor del punto Z se llenó completamente con triángulos equiláteros y cuadrados, sin que ninguno de ellos se encimara. Construye la figura anterior y describe cómo la hiciste. Observa que en este caso se usaron dos tipos de polígonos regulares para llenar el espacio alrededor del punto Z. ¿Consideras que ésta es la única manera de acomodarlos? ¿Podrías proponer otro acomodo?, ¿cómo? 38
…
……
……
……
……
……
……
……
……
……
…..…
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
…SSeegguunnddoo ggrraaddoo Discute tu propuesta con tus compañeros y recuerda que los polígonos regulares que se combinan tienen lados iguales. Verifica cada una de las combinaciones que se propongan. ¿Qué otras combinaciones, distintas a la anterior, son posibles? (de manera que alrededor de un vértice se llene completamente el plano sin que los polígonos regulares se encimen). Discute tu propuesta con tus compañeros y recuerda que los polígonos regulares que se combinan tienen lados iguales. Verifica cada una de las combinaciones que se propongan. 39
Analizando gráficas de rectas
Con el ambiente
de Cabri, abre el
archivo “Rectas
en el plano.fig” y
podrás entender
el
comportamiento
de la expresión:
y = mx + b
1) Para poder observar el efecto de el valor de “b”, pulsa el parámetro“1,5” dos veces y
aparecerán flechas de direccionamiento que te permitirán hacer crecer o disminuir el valor
pulsándolas.
¿Cómo son las rectas entre sí, si variamos “b” y dejando constante “m”?
___________________________
2) Regresa al valor “b” a “1,5” y ahora modifica el valor de “m” (0,5)
¿Qué particularidad tienen las rectas si es variable “m” y constante “b”?
_____________________________________
3) ¿Qué comportamiento tiene si “m” es igual a cero? _______________________
4) De las líneas punteadas de color verde podrás desplazarlas moviendo el punto que está
sobre el eje X y observa.
¿Cambian las longitudes de los lados verdes continuos? _______
5) Si divides la longitud vertical entre la horizontal
¿A que coeficiente de la ecuación de la recta es igual? ________
6) Compara también la ordenada del punto que intercepta la recta con el eje Y
¿A que coeficiente de la ecuación de la recta es igual? ________
40
Los muy grandes y los muy pequeños
UNA NUEVA CONVENIENCIA DEL DIEZ
Antes de los ejemplos comprueba, con la calculadora, la equivalencia de la siguiente tabla:
Izquierda a derecha
Derecha a izquierda
1000000 =
100000 =
10000 =
1000 =
100 =
10 =
1=
106
105
104
103
102
101
100
10-1 =
10-2 =
10-3 =
10-4 =
10-5 =
10-6 =
0.1
0.01
0.001
0.0001
0.00001
0.000001
Una de las razones que obligaron a los científicos a usar los exponentes fue la
frecuencia con que los encontraron necesarios para trabajar con cifras muy grandes y muy
pequeñas.
a)
La masa del globo terráqueo tiene alrededor de
b)
El átomo de hidrógeno tiene alrededor de 0.00000000000000000000000166
6,000,000,000,000,000,000,000,000,000 de gramos. (6 * 1027)
gramos. (1.66 * 10-24)
Como puede observarse, es muy fácil perderse en los ceros. Tratando de simplificar la tarea,
los científicos usan una forma de expresión de los números que es en parte, la ordinaria y, en
parte, la exponencial.
Con la ayuda de la calculadora completa la siguiente igualdad para que sea equivalente:
3200 = 32 * 10 ^ __ =
0.32 * 10 ^ ___ =
3 * 10 ^ __ + 2 * 10 ^ ___
OTROS NÚMEROS A PARTE DEL DIEZ
1) Curiosidad de potencias
102 + 112 + 122 + 132 + 142
= ____
365
2) Tere va a repartir dulces a varios niños. Al primero le da un dulce, al
segundo le da dos, al tercero le da el doble de dulces que le dio al segundo
y así sucesivamente, al siguiente le dará el doble que al anterior. Si Tere
tiene 2008 dulces, ¿cuál es el mínimo número de dulces que le faltan para
poderlos repartir de esta manera?
(Corroborar que 20 + 21 + 22 + 23 + … + 2n = 2n+1 – 1)
41
B iisseeccttrriizz,, aallttuurraa,, m
meeddiiaannaa yy m
meeddiiaattrriizz …
……
……
……
… TTrazos geométricos ddee uunn ttrriiáánngguulloo ccuuaallqquuiieerraa figuras básicas Propósito: Reafirmar lo que se entiende por bisectriz, altura, mediana y mediatriz para un triángulo cualquiera. La siguiente figura muestra la bisectriz, la altura y la mediana, trazadas desde el mismo vértice de un triángulo; aparece también la mediatriz en el lado opuesto del vértice mencionado. n l r m Bisectriz
l Mediatriz
m n Mediana
r Altura
Reproduce el dibujo. Anota los pasos que seguiste para realizar el ejercicio anterior. 42
…
……
……
……
……
……
……
……
……
……
…..…
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
…SSeegguunnddoo ggrraaddoo Mueve los vértices del triángulo y verifica si las propiedades de cada una de las rectas se conservan. Si sigues moviendo Los vértices, ¿habrá un momento en que concurran las cuatro rectas? ¿En qué triángulo coinciden las cuatro rectas? 43
C oonnssttrruuyyeennddoo ddaaddooss …
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
… Probabilidad Abre una hoja de cálculo y escribe en la celda B1 la fórmula: = ALEATORIO( ). Esta función escoge al azar un número entre cero y uno. ¿Qué número te dio? ______________ Aprieta varias veces la tecla F9 y observa que cada vez te da otro número con esta propiedad. Escribe en la celda B2 la fórmula: = B1 * 6. ¿En qué rango caen los números de esta celda? ______________________________________________ _____________________________________________________________________________________ Escribe ahora en la celda B3 la fórmula: = ENTERO (B2). Esta función quita la parte decimal del número en B2 y deja sólo su parte entera. ¿Cuáles son los seis números diferentes que se pueden obtener en esta celda? _____________________ _____________________________________________________________________________________ ¿Son los que tiene un dado? _____________________________________________________________ Por último, escribe en la celda B4 la fórmula: = B3 + 1 ¿Cuáles son los seis números diferentes que se pueden obtener en esta celda? _____________________ _____________________________________________________________________________________ ¿Son los que tiene un dado? _____________________________________________________________ Ya tienes construido un dado en la celda B4 (destaca la celda con algún color, centra el número y dale un tamaño más grande). Realiza ahora el siguiente experimento. Aprieta la tecla F9 120 veces. Para cada una, registra en la tabla de abajo el resultado de la celda B4. VALOR DADO CONTEO (MARCA UNA DIAGONAL/DONDE CORRESPONDA TOTALES 1 2 3 4 5 6 44
Construyendo dados …………………………………………………………………………………………………………………………………. Analiza estos resultados y responde las siguientes preguntas: ¿A qué se debe que las cantidades no sean iguales? ___________________________________________ _____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________ ¿Crees que cada valor debería haber aparecido exactamente 20 veces?___________________________ _____________________________________________________________________________________ ¿Crees que un dado real se comportaría de la misma manera? __________________________________ _____________________________________________________________________________________ ¿Por qué decimos entonces que cada cara de un dado tiene la misma probabilidad de salir y que ésta es de un sexto? __________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ Discute con el grupo estas preguntas. A continuación usa la misma hoja de cálculo y sigue para la columna D los mismos pasos que en la columna B, para que tengas simultáneamente dos dados. Realiza ahora el siguiente experimento. Aprieta la tecla F9 120 veces. Para cada una, registra en la tabla de abajo la suma de los resultados de las celdas B4 y D4. SUMA DE LOS DADOS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CONTEO (MARCA UNA DIAGONAL/DONDE CORRESPONDA TOTALES 45 …………………………………………………………………………………………………………………………………………..Probabilidad Analiza estos resultados y responde las siguientes preguntas. ¿Tienen todos los valores la misma probabilidad de aparecer? ___________________________________ ¿Qué valor es más probable? _____________________________________________________________ ¿Qué valor es menos probable? ___________________________________________________________ Compara tus resultados con otros equipos. Considera ahora la siguiente pregunta: ¿En qué proporción cae un doble cuando se tira un par de dados muchas veces? (Recuerda que un doble sucede cuando en los dos dados sale el mismo número)_______ _____________________________________________________________________________________ Para responder aprieta la tecla F9 100 veces y registra en la tabla de abajo si los valores de las celdas B4 y D4 coinciden o no. LOS DOS DADOS CONTEO (MARCA UNA DIAGONAL/DONDE CORRESPONDA TOTALES No coinciden Coinciden Divide ahora los totales para que obtengas esta proporción. ¿Cuál es? _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ Por cada doble que sale, debe ocurrir que los dados no coincidan cinco veces. Dicho de otra manera, un doble aparece en promedio, una de cada seis veces. ¿Éste es el resultado que obtuviste? ________________________________________________________ ¿Por qué fue diferente? _________________________________________________________________ 46
SIMULACIÓN DEL AZAR Construyendo una moneda y un dado
A partir de la actividad de la semana anterior, construye en una hoja de cálculo la
simulación del lanzamiento de un dado y de una moneda.
Registra en el siguiente cuadro los resultados diferentes que vayas obteniendo
DADO\MONEDA
1
(
2
(
3
4
5
6
(
(
(
(
Sol
,
,
,
,
,
,
Águila
)
)
)
)
)
)
(
(
(
(
(
(
,
,
,
,
,
,
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener Águila y cinco? ________________
b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener Sol o tres? ________________
c) ¿Y la de obtener Águila o NÚMERO IMPAR? ________________
d) ¿Y la de obtener Sol y NÚMERO PAR? ________________
47 )
)
)
)
)
)
A ppuueessttaass …
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
…....…
……
……
……
……
……
……
……
… Probabilidad En esta actividad queremos averiguar las posibilidades de ganar en un juego. Supón que compras una tarjeta como la que se muestra en la tabla siguiente (comenzaremos con sólo dos partidos). En la columna del Resultado hay que escribir visitante (V), local (L) o empate (E) para indicar cuál equipo ganará o si habrá un empate. Llénala como quieras. ADIVINA ¿CUAL SERA EL GANADOR? Escriba visitante, local o empate PARTIDO VISITANTE LOCAL RESULTADO 1 Toluca Morelia 2 Pachuca Monterrey Ahora abre la hoja de cálculo Apuestas.xls para saber los resultados. ¿Tienes tus dos resultados correctos? ______________________________________________________ Tu profesor debe recolectar de alguna manera todos los Sí o No para analizarlos con el grupo. ¿Qué proporción de Sí se obtuvieron? 1 de cada: _____________________________________________ Veamos que se espera. En cada uno de los dos resultados hay tres posibles respuestas: V, L o E. Esto quiere decir que hay en total 3 X 3 = 9 combinaciones posibles. Escribe abajo estas nueve combinaciones (tres ya están dadas): COMBINACIONES POSIBLES Partido 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 V V V 2 V L E Así, si adivinamos al azar tenemos 1 de 9 posibilidades de acertar y ganar el juego. Entonces lo que esperamos es que 1 de cada 9 del grupo tenga la respuesta correcta. ¿Es esto lo que salió? ___________ _____________________________________________________________________________________ 48
…………………………………………………………………………………………………………………………………………..Apuesta Realiza el siguiente experimento: oprime 90 veces la tecla F9 y observa los resultados. ¿Cuántas veces aparece la combinación V y V en los dos partidos? ______________________________ ¿Cuántas veces debió haber aparecido? _____________________________________________________ Discute con el grupo la diferencia. Pasemos ahora a una situación con cuatro partidos en la tarjeta como la que aparece a continuación. Llénala indicando si crees que ganará el visitante, o el local o si habrá empate: ADIVINA ¿CUAL SERA EL GANADOR? Escriba visitante, local o empate PARTIDO VISITANTE LOCAL RESULTADO 1 Guadalajara América 2 Cruz Azul UNAM 3 Pachuca Puebla 4 Santos Atlas En la hoja de cálculo Apuestas.xls, escribe en Cantidad de partidos el número 4 para saber los resultados. ¿Tienes tus cuatro resultados correctos? ___________________________________________________ Tu profesor debe recolectar todos los Sí o No para analizarlos con el grupo. ¿Qué proporción de Sí se obtuvieron? ______________________________________________________ ¿Qué debemos esperar? ________________________________________________________________ En cada uno de los cuatro resultados hay tres posibles respuestas: V, L o E. Esto quiere decir que habrá en total 3 X 3 X 3 X 3 combinaciones posibles. ¿Qué posibilidades tienes de adivinar correctamente en este caso? ______________________________ Realiza el siguiente experimento: oprime 81 veces la tecla F9 y observa los resultados. Anota cuántas veces aparece la combinación V, V, V y V en los cuatro partidos. __________________________ ¿Cuántas veces debió haber aparecido? ______________________________________________ Discute con el grupo la diferencia. 49 Probabilidad ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… Repite el procedimiento para el caso de seis partidos. Llena la tabla con V, L o E: PARTIDO 1 2 3 4 5 6 RESULTADO En la hoja de cálculo Apuestas.xls, escribe en Cantidad de partidos el número 6 para saber los resultados. ¿Tienes tus seis resultados correctos? ____________________________________________ Casi seguro es que no, ¿verdad? ___________________________________________________________ ¿Qué debemos esperar? _________________________________________________________ ¿Qué posibilidades tienes de adivinar correctamente en este caso? ________________________ Si hubiera en la tarjeta 10 partidos, ¿qué debemos esperar? _____________________________ ¿Qué posibilidades tienes de adivinar correctamente en este caso?________________________ Proyecto: En la hoja de cálculo escribe un 3 en la Cantidad de partidos. Como ya sabemos, tendremos 1 de 27 posibilidades de adivinar correctamente. Escoge cualquier combinación. Observa en tu hoja la frecuencia con la que aparece la combinación que elegiste y compárala con las posibilidades mencionadas anteriormente (observa cuántas veces aparece la combinación que elegiste al oprimir 270 o 540 veces la tecla F9). 50
Edades y Estaturas en tu grupo
Para poder llevar a cabo la siguiente actividad, abre el archivo edestu.xls, y completa la
que se te solicita, de ti y cinco de tus compañeros.
a) Selecciona desde la celda C3 hasta D9 y con el Asistente para gráficos obtén la
gráfica de líneas
El eje horizontal (abscisas) representa: _____________
El eje vertical (ordenadas) representa: ______________
b) Selecciona desde la celda C3 hasta C9 y presionando Control selecciona desde la
celda E3 hasta E9, con el Asistente para gráficos obtén la gráfica de líneas
El eje horizontal (abscisas) representa: _____________
El eje vertical (ordenadas) representa: ______________
c) Selecciona desde la celda C3 hasta E9 y con el Asistente para gráficos obtén las
gráficas de dispersión
El eje horizontal (abscisas) representa: ___________________
El eje vertical (ordenadas) representa: ____________________
¿Corresponde esta última gráfica a los datos que tienes en tu tabla?
______________________________________________________
¿Por qué?________________________________________
51
Comprobación de los métodos de solución de un SE 2x2
Con el uso de la hoja de cálculo METODOS_SISTECUA.xls analiza cada
método, sólo cambiando los coeficientes de las ecuaciones
Métodos de resolución de sistemas
Método de sustitución
El método de sustitución consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones
y sustituir en la otra. Así, la ecuación sustituida, que se queda con una sola incógnita,
se resuelve, lo que permite averiguar esa incógnita. Finalmente, el valor de la otra
incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido.
Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema:
x = ______ y = ______
Método de igualación
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos
ecuaciones e igualar las expresiones resultantes. Así, nos queda una ecuación con una
sola incógnita. Ésta se resuelve y permite averiguar dicha incógnita. Finalmente, el valor
de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido.
Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema:
x = ______ y = ______
Método de reducción
El método de reducción consiste en obtener ecuaciones equivalentes a las iníciales, de
manera que al sumarlas, se obtenga una ecuación en la que se ha eliminado una de las
incógnitas. Así, nos queda una ecuación con una sola incógnita, que se resuelve,
permitiendo averiguar dicha incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se
obtiene sustituyendo el valor obtenido.
Resuelve por el método de reducción el siguiente sistema:
x = ______ y = ______
52
S iisstteem
……
……
……
……
… Algebra maa ddee eeccuuaacciioonneess ....…
……
……
……
……
…....…
……
……
……
¿Qué representa un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas? ¿Habrá siempre una solución? ¿Qué representa cada ecuación? En esta actividad resolverás estas y otras preguntas. Considera por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones: Ecuación 1: 2 x – 3 y = –13 Ecuación 2: 3 x + 2 y = 13 Abre la hoja de cálculo SistEcua.xls y encuentra estas ecuaciones. Notarás que hay también una segunda forma de cada ecuación seguida del símbolo =. Éstas son las ecuaciones que resultan cuando se despeja y. Despeja y de cada una de las ecuaciones anteriores y comprueba que son las mismas ecuaciones dadas en la hoja de cálculo. Ecuación 1: y = Ecuación 2: y = Cada ecuación de este tipo representa una recta, como se muestra a continuación. Calcula el valor de y para cada una de las ecuaciones anteriores, donde x = 1. Llamaremos a estos valores y1, y2, respectivamente: Para x = 1 y1 =_______ y2 =_______ Busca en la tabla de la hoja de cálculo los valores dados para x = 1, y verifica que son iguales a los tuyos. Encuentra estos valores en las gráficas que se proporcionan en la hoja. ¿Qué pasa en este punto (1,5)? _____________________________________________________ Haz lo mismo para: x = 2 y1 =_______ y2 =_______ Encuentra estos valores en las gráficas (toma en cuenta que los valores de la tabla están redondeados a un decimal). 53
……………………………………………………………………………………………………………………………..Sistema de ecuaciones Como puedes observar, este programa calcula ambos valores de y para valores de x entre –4 y 4. Estos valores son graficados para cada una de las ecuaciones, con lo que se obtienen las rectas que aparecen en el sistema de coordenadas. Para x = –2, los valores en la tabla son: y1 =_______ y2 =_______ Encuentra en las gráficas los dos puntos que representan estos valores. El punto de intersección de las dos rectas es la solución al sistema de ecuaciones original. Comprueba que estos valores satisfacen ambas ecuaciones: Ecuación 1: 2 x – 3 y = –13 2 ( 1 )–3 ( 5 ) = –13 Ecuación 2: 3 x + 2 y = 13 3 ( )+ 2 ( ) = 13 El programa no sería útil si sólo se pudiera trabajar con un sistema de ecuaciones. Las ecuaciones de este programa cambian en función de los coeficientes que se encuentran debajo de cada una de ellas. Analiza ahora el siguiente sistema de ecuaciones: Ecuación 1: 3 x – 2 y = –9 Ecuación 2: 3 x + 4 y = 0 Inserta sus coeficientes en el programa (no olvides los signos). Verifica que las ecuaciones que aparecen en el programa son iguales a las de arriba. ¿Cuál es la solución de este sistema? ________________________________________________ _______________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ x =_______ y =_______ Deja la primera ecuación igual y cambia la segunda a: Ecuación 1: 3 x – 2 y = –9 Ecuación 2: 6 x – 4 y = –2 ¿Tiene solución este sistema? ______________________________________________________ ¿Por qué? ______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ Cambia el –2 de la segunda ecuación a –18 y observa lo que pasa. ¿Tiene solución este sistema? ______________________________________________________ ¿Por qué? _____________________________________________________________________________ 54
Sistema de ecuaciones ……………………………………………………………………………………………………………………………
Observa lo que le ocurre a la gráfica y cambia ahora el –18 por –6, después por –10, después por –14 y otra vez por –18. Reflexiona sobre tus últimas dos respuestas. Considera el siguiente sistema de ecuaciones: Ecuación 1: x – 3 y = 20 Ecuación 2: 3 x + 4 y = 8 No olvides insertar los coeficientes en el programa. A veces el rango de x (entre –4 y 4) no es el más apropiado (fíjate en las celdas L1 y M1). Este programa te permite cambiar el primer valor (–4). El segundo valor (4) se ajusta automáticamente para tener siempre un rango de 8 unidades. Cambia el rango para que puedas observar en la gráfica la solución del sistema anterior. ¿Cuál es? ______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ x =_______ y =_______ Construye otra hoja de cálculo en la que haya seis celdas para introducir los coeficientes de las ecuaciones; la hoja debe calcular la solución del sistema usando las fórmulas que se tienen en el método de determinantes. 55
Casas y pueblos otra vez
Construye procedimientos para dibujar: letras, personas, familias y árboles. PARA MICASA AV 50 GD 60 AV 70 GD 60 AV 70 GD 60 AV 50 GD 90 AV 121 GD 90 FIN • En el procedimiento MICASA, ¿qué instrucciones corresponden a los lados? _____________________________________________________________________________________ • Dada MICASA, construye un pueblo con casas iguales de diferentes tamaños. • ¿Qué instrucciones cambian en MICASA al hacer una casa más grande? _____________________________________________________________________________________ • ¿Qué instrucciones no cambian? _____________________________________________________________________________________ 56
Figuras a escala • Escribe un procedimiento para dibujar una letra. Por ejemplo: • Luego edita tu procedimiento para multiplicar cada parte por una escala. • Intenta • ¿Qué sucede con la letra?_________________________________
• ¿Qué tan grande la puedes hacer?__________________________
• ¿Qué tan pequeña?______________________________________
• Como reto, realiza el procedimiento para elaborar la letra inicial de tu nombre
57
Letras •
Escribe un solo procedimiento para dibujar las letras E de abajo y otras de cualquier tamaño •
¿cuáles son los comandos que varían y cuáles los que permanecen iguales? ______________________________________________________________
______________________________________________________________ 58
•
Haz lo mismo para la letra Z •
¿qué entrada de la variable :ESCALA necesita para crear cada una de las letras? 59
Personas •
Con el procedimiento PERSONA crea personas con cabezas más grandes con piernas más o menos largas o como se le ocurra. 60
Familias •
Usando PERSONA y los otros procedimientos que creaste en la actividad anterior, crea familias y hasta una población. 61
Árboles • Diseña un solo procedimiento que dibuje estos árboles y otros de diferentes tamaños. •
Utiliza ARBOL para crear un bosque con árboles de diferentes tamaños. 62
Traslación, Rotación y Reflexión
En esta secuencia didáctica conocerás tres tipos de transformaciones:
traslación, rotación, y reflexión, haciendo uso del ambiente de Cabri
Una transformación que crea una imagen que es congruente con la
figura original se llama una transformación o isometría.
1. Una traslación desliza la figura a lo
largo de una trayectoria recta,
moviendo cada punto la misma
distancia en la misma dirección.
Puedes describir una traslación
usando un vector de traslación,
que especifica tanto la distancia
como la dirección.
2. Una rotación gira una figura alrededor de
un punto fijo, rotando cada punto el mismo
número de grados. Puedes describir una
rotación dando el punto central, el número
de grados, y la dirección (en el sentido de
las manecillas del reloj o en el sentido
opuesto). Cuando no se especifica una
dirección, se supone que la rotación se da
en el sentido opuesto a las manecillas del
reloj.
3. Una reflexión (Simetría axial)
voltea una figura sobre una recta,
creando el reflejo exacto de la
figura (como un espejo). Puedes
describir una reflexión
especificando la recta de reflexión.
63
Dividiendo un cuadrado en dos partes congruentes
Se parte de una construcción geométrica muy sencilla, tras recorrer distintos contenidos
matemáticos: geométricos, numéricos y algebraicos, se desemboca en la construcción y
estudio de mosaicos. En esta actividad se hará con la ayuda del programa Cabri.
Construcción
Dado un cuadrado, una forma de construir, dentro de él, un
polígono cuya área sea la mitad, consiste en tomar los puntos
medios de dos lados opuestos y unirlos con un segmento
Investiga también los siguientes procedimientos.
Tanto los dos de la izquierda como los dos de la derecha responden al mismo.
Si hay que dividir el cuadrado en dos partes iguales (cosa que ocurría en el ejemplo de la
primera construcción), se pueden utilizar varias líneas rectas ó curvas.
64
Construcción de mosaicos
Con la ayuda del programa Cabri, tomamos una línea que pase por el centro del
cuadrado, obtenemos un trapecio. Si hacemos que la recta pase por el centro y
por un punto del segmento del lado superior, podremos realizar la animación de
éste último y ver los sucesivos trapecios de los que tanto el primer rectángulo
como los dos triángulos rectángulos son casos particulares.
También podemos generalizar el procedimiento, si tomamos los puntos medios de los cuatro
lados, obtenemos en su interior un nuevo cuadrado, pero no es obligatorio que sean
exactamente esos puntos como se muestra en las figuras de abajo en las que llegamos a la
cometa, el trapecio isósceles o el paralelogramo, y en todas las figuras dejar elementos móviles
que permitan la animación.
Finalmente con el uso de Simetria axial, construye mosaicos, por ejemplo:
65
S imulación con el modelo …
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
… Probabilidad de urna (1) Un jugador de baloncesto encesta en promedio 80% de sus tiros libres y falla 20%. Supón que en su entrenamiento tira 20 veces. ¿Cuántos de estos tiros se espera que enceste?________________________________________ Una manera de simular (modelar) esta situación es poner en una bolsa (o urna) 8 pelotas blancas y 2 pelotas negras. Sacar una pelota de la bolsa representa un tiro del jugador. Extraer una pelota blanca significa que el jugador metió el tiro y una negra que lo falló. Si queremos simular otro tiro, debemos regresar la pelota que sacamos para que no se altere la proporción de pelotas blancas y negras. El archivo con el que vas a trabajar simula este tipo de situaciones en una hoja de cálculo. Abre ModeUrena.xls. Los colores y las cantidades apropiadas a la situación del jugador ya están puestos. La tabla muestra los resultados de extraer una pelota 20 veces (recuerda que cada vez se regresa la pelota extraída; a esto en matemáticas se le llama con reemplazo). La tercera columna va registrando cuántas pelotas blancas han salido hasta ese momento y la cuarta columna proporciona el porcentaje de pelotas blancas que han salido. Escribe abajo el “resultado” de las primeras cinco extracciones. _________________________________ _____________________________________________________________________________________ Explica qué significa esto en el caso del jugador del baloncesto. ¿La celda C11 indica la cantidad correcta? ___________________________________________________ ¿Cómo crees que se calculó el porcentaje en la celda D11? _____________________________________ _____________________________________________________________________________________ ¿Cuántas pelotas blancas salieron en total en las 20 extracciones? _______________________________ Como encesta 80% de los tiros, se espera que acierte 16 de estos 20 tiros. ¿El resultado que obtuviste es mayor o menor a las 16 esperadas?________________________________ Simula 10 veces los 20 tiros que realiza el jugar (oprimiendo la tecla F9) y en cada caso escribe el total de bolas blancas que salieron. _______________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ 66
Simulación con el modelo de urna …………………………………….………………………………………………………………………
Calcula el promedio de los 10 resultados que obtuviste y compáralo con el valor esperado (16). ¿Está cercano el promedio a este valor?_____________________________________________________ ¿Es posible encontrar una situación en la que el total de blancas sea de 19? Inténtalo. ¿Lo lograste? ____ _____________________________________________________________________________________ ¿Es posible encontrar una situación en la que el total de blancas sea de 13? Inténtalo. ¿Lo lograste?____ _____________________________________________________________________________________ ¿Es posible encontrar una situación en la que el total de blancas sea de 10 solamente? Inténtalo. ¿Lo lograste? _____________________________________________________________________________ La probabilidad de obtener 19, 13 o 10 es aproximadamente de 6%, 5% y 0.2% respectivamente (es decir, 6 en 100, 5 en 100 y 2 en 1000). Simula ahora la siguiente situación con el programa, cambiando los colores y las cantidades. En un hospital, la probabilidad de que nazca una niña (rosa) es de 60% y un niño (azul) es de 40%. Si diariamente nacen en el hospital 20 bebés, ¿cuál de las tres opciones que aparecen a continuación es la más probable? (vas a tener que hacer muchas simulaciones para obtener la respuesta y contar las veces que aparece cada opción). a) Que nazcan 14 niñas (6 niños): ¿Cuántas?____________________________________ (12.4%) b) Que nazcan 12 niñas (8 niños): ¿Cuántas? ____________________________________(18.0%) c) Que nazcan 10 niñas (10 niños): ¿Cuántas? ____________________________________(11.7%) 67
Carrera de tortuga • En el menú Fichero, selecciona el comando “Nuevo”. Luego carga el archivo CARRERAS.LOG y usa el procedimiento PREPARA y después CARRERA en el que compiten tres tortugas en una carrera. • Experimenta ejecutando CARRERA varias veces. • ¿Qué sucede? _____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________ 68
• Analiza el subprocedimiento REGLAS del programa CORRECARRERA y calcula la probabilidad que tiene de ganar cada tortuga. PARA REGLAS
HAZ “TIRADA AZAR 20
SI :TIRADA < 1 [ACTIVA 1 AV 10]
SI (O :TIRADA = 1 :TIRADA = 2) [ACTIVA 2 AV 10]
SI :TIRADA > 2 [ACTIVA 3 AV 10]
FIN
• Escribe cuáles son todos los posibles valores de TIRADA, si ésta es definida por AZAR 20. _____________________________________________________________________________________ • EL comando ACTIVA es el que indica a qué tortuga se le llama. Así, ACTIVA 1 da comandos a la tortuga 1, ACTIVA 2 a la tortuga 2, etcétera. ¿Cuáles son los valores de TIRADA que hacen avanzar a cada tortuga?
VALORES QUE LA NÚMERO TOTAL DE PROBABILIDAD DE HACEN AVANZAR POSIBLES VALORES AVANZAR TORTUGA 1 TORTUGA 2 TORTUGA 3 69
• Inicialmente, ¿qué tortuga tenía mayor probabilidad de ganar? _______________________________________________________________________________ • ¿Por qué la carrera era injusta? _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ • Modifica el subprocedimiento REGLAS del programa CORRECARRERA para que la carrera sea justa. Escribe tu nueva versión. 70
• ¿Qué modificaste para hacer la carrera justa? _______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________ • ¿Redefiniste TIRADA? Escribe cuáles son todos los posibles valores de TIRADA, si ésta es definida por AZAR _______________________ _______________________________________________________________________________ • ¿Cuáles son los valores de TIRADA que hacen avanzar a cada tortuga? VALORES QUE LA NÚMERO TOTAL DE PROBABILIDAD DE HACEN AVANZAR POSIBLES VALORES AVANZAR TORTUGA 1 TORTUGA 2 TORTUGA 3 • ¿Tiene ahora cada una de las tortugas la misma probabilidad de avanzar? _______________________________________________________________________________ • ¿Por qué? _______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________ 71
BIBLIOGRAFIA EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. Matemáticas con la hoja de cálculo. México: SEP. EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. Geometría dinámica. México SEP. EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. De los números al algebra en secundaria con el uso de la calculadora. México: SEP. EMAT. (2005). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. Programación computacional para matemáticas de secundarias. México: SEP. SEP. (2006). Programas de estudios 2006. Matemáticas. Educación básica. Secundaria. México: SEP. SEP. (2006). Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, 2a ed., México. SEP. (2006). Secuencia y organización de contenidos. Matemáticas Educación secundaria, 2a ed., México. SEP. (2006). Libro para el maestro. Matemáticas. Secundaria, México. 72
DIRECTORIO Dra. Rocío Ruiz de la Barrera
Secretaria de la S.E.P.H.
Lic. José Fermín Garrido Baños
Subsecretario de Educación Básica y Normal.
Mtro. Pablo Moreno Calva
Director General de Educación Básica
Profr. Francisco Torres Ferra
Subdirector de Secundarias Generales
Profra. Elvia Licona Mejía
Subdirectora de Telesecundarias
Profr. José Valdemar García Sánchez
Subdirector de Secundarias Técnicas
Profra. Ma. Guadalupe Flores Barrera y
Profr. Andrés Rivera Díaz
Coordinadores Estatales del Proyecto Enseñanza de las
Matemáticas con Tecnología, propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo)
Asesores externos
Dra. Teresa Rojano Ceballos
Coordinación General de Enseñanza de las Matemáticas con
Tecnología
Dra. Ana Isabel Sacristán Rock
Investigadora Titular del Departamento de Matemática Educativa
del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN