POLINOMIOS DE LEGENDRE. 1. DEFINICIÓN.

POLINOMIOS DE LEGENDRE.
1. DEFINICIÓN.
Se definen los polinomios de Legendre por
la cual es llamada fórmula de Rodrígues. De aquí, se obtiene
De acuerdo con el desarrollo binomial, se tiene que
por lo que, al sustituir en (1), queda
y, como
resulta que
2. FUNCIÓN
GENERADORA.
La función
es llamada función
generadora de los polinomios de Legendre, ya que
En efecto:
Usando la conocida fórmula
queda
y como
•
se tiene que
2
1+
"f 1 . 3 . 5 ...
(2~, - 1) tn(2.T - tt
n=l
2 n.
1
1·3
1·3·5
'
3
1 + --, t(2x - t) + -2-' t2(2x - t)2 +
3 , t (2x - t)3
2· 1.
2 2.
2 3.
+
n
+ 1·3·5·
.. (2n - 3) tn-1(2x _ tt-1
2n-l(n - 1)!
1 . 3 . 5 ... (2n - 1) n
+-----'
__
nt (2x
n
+
- tt
2 n!
+
+
.
Llamando a.; (x) al coeficiente de t" ,se verá a continuación que a., (x) =
Pn(x):
.. (2n - 3) (n - 1) (2x)n-2 +
2n-l(n - 1)!
1!
_1_·3_·_5_·
_.. ~(2_n_,
----=-1)
(2x)n _ 1·3·5·
2nn!
+ 1·3·5·
.. (217,- 5) (n - 2)(n - 3) (2xt-4
2n-2(n - 2)!
2!
+ .....
_
Usando la identidad
(2n)!
.. (2n - 1) = - n
2 n!
1·3·5·
resulta que
(2n)!
, ,x
2n n.n.
+ 2n2!(n
n
(2n - 2)!
- 2n 1.'( ti
-
n-2
9)'. x
1)'.( n - ~
(2n - 4)!
- 2)!(n _ 4)!x
n-4
-
+
+
.
Pn(x)
Tomando x = 1 en (4), se tiene
00
L Pn(1)tn
1
= (1 - 2t + t2)-1/2 = 1_ t =
~O
00
L i"
n~
•
de donde
P,,(l) = 1
3
(5)
Similarmente, para x = -1 se obtiene
(6)
Se observa que
00
(1
+ 2xt + t2)-1/2 =
[1 - 2( -x)t
= L Pn( -x)tn
+ er1/2
n=O
00
[1 - 2x( -t)
+ (_t)2rl/2
= L Pn(x)( _t)n
n=O
00
L(-ltPn(x)tn
n=O
y, al comparar ambos resultados, se obtiene que
(7)
La fórmula (7) dice que Pn (x) es una función par si n es par y una función
impar cuando ti es impar.
3. FÓRMULAS DE RECURRENCIA.
Derivando la función generadora w(x, t) respecto a t, se tiene
aw
at
de donde se obtiene
(1 - 2xt
aw
+ t2)a¡ + (t
- x)w = O
En términos de las series, queda
00
00
(1 - 2xt + t2) L nPn(x)tn-1
n=O
+ (t
- x) L Pn(x)tn = O
11=0
•
Igualando a cero el coeficiente de i"; se tiene
(71
+ 1)Pn+1(x)
- 2xnPn(x)
+ (n
- l)P"_l(:r)
4
+ P"-l(X)
- xPn(x)
=O
+ n(n + l)y
(1- X2)y" - 2xy'
O
(14)
+ n(n + l)y
[(1 - X2)y,],
la cual se conoce como ecuación
O
de Legendre.
5. REPRESENTACIÓN
Es conocido que
INTEGRAL.
r
de
Jo 1 + A cos
e
Tomando
A = _ tvx2
- 1
1- tx
'
se tiene que
r
1r(1 - tx)
(1 - tx)de
Jo 1 - t(x + vx2 - 1 cos e)
t'
de
Jo 1- t(x
+ VX2
CXJ
Usando el resultado
l~z
=
VI -
-lcose)
¿
zn
n=O
(1
z
1<
2xt
+ t2
1) Y la función generadora,
queda
Igualando los coeficientes de t", resulta
Pn(X)=:;Jo 1
r (x+vx2-1cose
6
•
)7l de
(15)
6. ORTOGONALIDAD.
De acuerdo con (14), se tiene que
y
Multiplicando en la primera ecuación por Pm(x), en la segunda por Pn(x)
y restando luego, queda
+(n - m)(n
+ m + l)Pm(x)Pn(x)
=
O
Integrando entre -1 y 1, se tiene que
Luego, si m
#- n
(16)
lo cual indica que el conjunto Pn (x) (n = O,1, 2, ... ) de polinomios de Legendre es ortogonal en el intervalo (-1, 1).
7
•
A continuación se calculará la integral J2] P~(x)dx :
Primeramente, se reemplaza n por n - 1 en la ecuación (8) y se multiplica luego por (2n + 1) Pn(x). Si a la ecuación que resulta se le resta (8)
multiplicada por (2n - 1)Pn-1(x), se obtiene
n(2n+ 1)P~(x )+(n-1)
(2n+ 1)Pn-2(x )Pn(x) - (n+ 1) (2n-1 )Pn-l (x )Pn+l (x)-
-n(2n
- l)pLl(X)
=O
(n=2,3,
...)
en (-1, 1) Y aplicando la propiedad
Integrando
queda
1
1
-1
P~(x)dx =
2n - 1
2n + 1
Aplicando repetidamente
de ortogonalidad
1 P~-l (x)dx
(16),
1
(n=2,3,
... )
-1
la fórmula anterior, se observa que
1 P~ 2(x)dx
(2n - 3) (2n - 5) 1 P~ 3(x)dx
(2n + 1) (2n - 3)
(2n - 1) (2n - 3)
(2n + 1) (2n - 1)
1
-1
-
1
-1
-
1 P;(x)dx
1
2n
3
+1
-1
de donde
2
1
1
(n
P~(x)dx = 2
1
-1
n+
=
2,3,· .. )
Nótese que la expresión anterior es válida también para n = O Y n = 1:
1
1
2
2
1
1
Po (x)dx = 2 = ').
O 1
-1
~
+
')
PI2(x)dx = ~ = ---
-1
3
2·1
2
+
1
•
Luego, resulta
1
1
-1
')
P,~(x)dx
=--
2n
2
+1
8
(n=O,1,2,
.. ·)
(17)
7. SERIES DE FOURIER-LEGENDRE.
Supóngase que f (x) tiene un desarrollo convergente de la forma
00
f(x)
=
L CnPn(x)
(18)
-1<::c<1
n=O
Multiplicando en (18) por Pm(x) (m fijo) e integrando entre -1
(suponiendo la integración término a término de la serie), se tiene que
y
1
de donde, al aplicar la ortogonalidad (16), resulta que
e _ J21 f(x)Pn(x)dx
n -
Cn
=
2n
+1
2
J21 P;(x)dx
JI f(x)Pn(x)dx
(n =
o , 1, 2, ...
)
(19)
-1
Si f y f' son seccionalmente contínuas en el intevalo (-1, 1),
la serie de Fourier-Legendre (18) con coeficientes (19) converge a f(x) en
cualquier punto x donde f es contínua. Si x es lID punto de discontinuidad,
la serie converge al valor ~[j(x+) + f(x- )].
Del comportamiento de Pn(x) establecido en la ecuación (7), se deducen
dos casos particulares de la serie de Fourier-Legendre:
a) Si f es una función par, entonces C2n+1 = O, Y queda
Teorema.
00
f(x)
LC
P (X)
2n 2n
n=O
(20)
(n=0,1,2,···)
•
b) Cuando f es impar, C2n = OY se tiene
9
00
f(x)
-
L C2n+lP2n+l(X)
n=O
(21 )
(n =
Ejemplo. Hallar el desarrollo de Fourier-Legendre
f(X)={
O, 1 , 2 , ... )
de la función
O,-l<x<a
1, a < x < 1
Solución.
00
f(x)
L CnPn(x)
n=O
2n
+
2
11
1
C; = 2n
f(x)Pn(x)dx
-1
+
2
11
1
Pn(x)dx
a
De acuerdo con (12), se tiene que
(n=1,2,···)
Luego,
Puesto que Pn (1) = 1, queda
(n=1,2,···)
y así
10
•
(n=1,2,"')
Para n = O:
1
Co
= -11
2
= -1
Po(x)dx
2
a
j'1 dx
=
a
1 - a)
-(1
2
Finalmente, resulta
1
f(x)
=
1
2(1 -
00
2 ¿ [Pn-1(a)
a) +
- Pn+1(a)] Pn(x)
n=1
8. TEMPERATURAS
ESTACIONARIAS EN UNA ESFERA.
Considérese el problema de determinar la temperatura u en el interior de
una esfera de radio r = a, tal que u toma valores prescritos en la superficie
de la espera y u es independiente de la coordenada cp.
En este caso, el problema de contorno a resolver es el siguiente:
(O < r < a,O < e < K)
u(a, e)
=
F(e)
(22)
(23)
Ahora, la eco (22) también puede escribirse como
1
fj2
r or2 (ru) +
sene
o [
oe
2
(1 - cos
1
OU]
e) sene oe =
O
De esta manera, haciendo
x
o
o
Selle ae
1
= cos e=}- = - --~x
las ecs. (22) y (23) quedan
2
r 0 (TU)
01'2
+~
OX
[(1 -
x2)
ou]
OX
=
O
(O < r < a, -1 < x < 1)
u(a, :1:) = f(x)
11
(24)
(25)
•
Se; determinará
producto:
la solución de este problema usando el clásico método del
U(T, x) = R(T)Y(X)
Sustituyendo
(26)
en (24), se tiene
02
r or2 [TR(T)Y(X)]
TY(X) [TR"(r)
a
+ ox
+ 2R'(r)] + R(T)
(1- x2)YI/(x) - 2xY/(x)
Y(x)
--'---------------
I
[(1- x2)R(T)Y(X)]
[(1- x2)yl/(x)
= -
T2R"(r)
=o
- 2xY/(x)]
+ 2rR'(T) =
R(T)
=
o
-A
Luego:
(1 - x2)yl/(x)
T2 R"(r)
+ AY (x)
- 2xY/(x)
+ 2r R'(r)
=O
- AR(T) = O
(27)
(28)
De acuerdo con la Sección 4, si se toman los valores
An
la eco (27) corresponde
ciones particulares
=
n(n + 1)
(n
=
0,1,2,'
... )
a una ecuación de Legendre, la cual tiene las solu-
(n=0,1,2,····)
La eco (28)
r2 R"(r)
+ 2TR'(r)
- n(n
+ l)R(r) =
O
es una ecuación de tipo Cauchy, cuya solución general es de la forma
12
•
PllF;StOque para r = O la temperatura u debe ser finita, se deduce
C2 = r) y, aparte del factor constante, se tiene que
que
(71, = 0,1,2,···)
Así, se tiene que la sucesión de funciones
(71,=0,1,2,"')
satisface la ecuación diferencial (24) y, de acuerdo con el principio de superposición, la función
2:: c;» Pn(x)
00
u(r, x) =
(29)
n=ü
también la satisface.
La condición (25), u(a, x) = j(x),
exige que
2:: c;« Pn(x)
00
j(x)
=
n=ü
de donde
(71,=0,1,2,··
.)
Luego,
u(r,x)
1
= "2 ~
00
[(271, + 1)
[1j(X)Pn(X)dX]
1
(
)n Pn(X)
(30)
)n Pn(cose)
(31)
~
y, finalmente
u(r,e)
=-2:: [(271,+1)!
1
00
2 n=ü
1
j(X)Pn(X)dX]
-1
(
!:..
a
•
13
EJERCICIOS
1. Demostrar:
a)
¡11 Pn(x)dx
b) P2n(O) = (_1)"1.
I
d)
J
(n = 1,2",,)
=O
2n(n
2
x Pn+l(X)Pn-l(X)dx
-1
= (Zti
,
Sol.
u(r,O)
+ 1)
1)(2n + 1)( 2n + 3)
-
2. Hallar la distribución
de tcmpcrauuas
esfera sólida de radio r = 1 si
u( 1
P2n+1(0) = O
~: ~: ~..(.2.n~~ 1)
estaciouarias
11,('-, O) en una
O) = { 1, O < e < íf /2
O, íf/2<0<íf
= ~+~
f [P2n(0)
- P2n+2(0)]r2n+lP2n+l(COSO)
n==O
3. Hallar las temperaturas estacionarias en tilla esfera hueca (a ::; r ::;b)
cuando u(a,e) = ¡(cose) y u(b,e) = O (O < e < íT)
b2n+1 -r 2n+l
= ~ C"b211+1 _ a2n+1
00
Sol.
u(r,e)
donde
e; = 2n 2+ 1
JI ¡(X)
-1
(
a)11+1
-;:
.
Pn(cose)
P X ) dx
lI (
4. Si u(x, t) representa las temperaturas en una barra aislada no homogénea -1 ::; x ::; 1 él. lo largo del eje de las :1.:, en In que la conductividad
térmica es proporcional a 1 - 3;'2, la ecuación de calor torna la forma
donde b > O. Los extremos x = ±1 están aislados porque allí la conductividad
se hace cero. Si u(x,O) = f(x) (-1 < x < 1), deducir la fórmula de las
temperaturas u(x, t).
Sol.
u(x, t) = :21 ~00 [(2n + 1)
5. Cuando f(x)
11
1
f(x)Pn(x)dx
]
e-n(n+l)bt Pn(X)
= x2 (-1 < x < 1) en el problema anterior, demostrar
que
u(x,t) = ~ +
(X2 _~)
15
e-6bt
BIBLIOGRAFÍA
1. N.N. Lebedev: SPECIAL FUNCTIO:'\S A~D THEIR APPLICATIONS. Dover Publications, Inc.
2. W.W. Bell: SPECIAL F"C\'CTIONS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS. D. Van Nostrand Company, Ltd.
3. R.V. Churchill: SERIES DE FOURIER y PROBLEMAS DE CONTOR:t\O. Me Graw-Hill.
•
16