Tarea 7

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Tarea 7
1. Encontrar el Hamiltoniano para el sistema
x˙ = − cos x sin y ,
y˙ = cos y sin x ;
dibujar el retrato fase.
2. Para el potencial
V (x, µ) =
1+µ 2 µ 3 1 4
x − x − x ,
2
3
4
donde −1 < µ < 1, analizar el sistema sistema conservativo correspondiente para todos los valores
posibles de µ. Mostrar numéricamente ejemplos del retrato fase.
3. Sea el sistema
x˙ = y ,
y˙ = − (x − µ) (1 − x) (1 + ν + x) ;
analizar las distintas bifurcaciones que ocurren variando los parámetros µ y ν.
4. Sea la ecuación
x
¨ + x˙ 2 + g(x) = 0 .
(1)
a) Hacer el cambio de variable q = x y p = q˙ exp(2q) y encontrar el Hamiltoniano de (1).
b) Dibujar numéricamente el retrato fase para g(x) = xm y al menos tres valores de m ∈ N \ {0}.
c) ¿Cómo es el retrato fase de (1) si m = 3/2?
5. Sean α, β, δ, γ ∈ R+ . Para el sistema
(2a)
x˙ = x(1 − x)(α − βy) ,
(2b)
y˙ = −y(1 − y)(δ − γx) .
Hacer el cambio de variable
x=
eq
,
1 + eq
y=
ep
,
1 + ep
encontrar el Hamiltoniano de (2) y discutir las bifurcaciones que ocurran al variar los parámetros.
6. Explorar detalladamente el retrato fase del sistema gradiente de la función
1
1
f (x, y, λ1 , λ2 , λ3 ) = y 3 − x2 y + λ1 x + λ2 y + λ3 x2 + y 2 .
6
2
7. Sea 0 < ε 1 y la ecuación de reacción-difusión inhomogénea de una componente
(3)
ut = ε2 uxx + f (x)u2 − u ,
donde f (x) es una función positiva de clase C 1 . Suponer que (3) tiene una solución del tipo pulso
viajero, donde el máximo de u está en x0 . Hacer el cambio de variable y = ε−1 (x − x0 ), τ = ε2 t y
expandir u asintóticamente en potencias de ε. Mostrar que, a primer orden, si u → 0 cuando |y| → ∞,
u(0) > 0 y uy (0) = 0, existe una única solución homoclínica donde f (x0 ) controla la amplitud del
pulso.
1
8. Dada la ecuación de reacción-difusión de una componente
ut = uxx + uq+1 (1 − uq ) ,
(4)
donde q > 0.
a) Probar que existe una solución exacta del tipo onda viajera.
Ayuda: Buscar soluciones de la forma
u(t, x) = U (ξ) =
1
σ ,
(1 + δeβξ )
ξ = x − ct ,
donde c es la rapidez de la onda viajera y β, σ > 0. Determinar los valores únicos de c, β y σ
en términos de q. Elegir el valor de δ de tal manera que la magnitud del gradiente de la onda
alcance su máximo en ξ = 0.
b) Sea q = 1 y considerar las condiciones de frontera U (−∞) = 1 y U (∞) = 0 para una rapidez de
onda c = ε−1/2 , donde 0 < ε 1. Hacer el cambio de variable y = ε1/2 ξ y U (ξ) = u
˜(y) y probar
que la solución asintótica a orden O(1) satisface que u
˜(0) = 1/2 y la ecuación
1
1−u
˜(y)
y = −2 +
.
+ log
u
˜(y)
u
˜(y)
c) Hacer un bosquejo del retrato fase para el sistema de ecuaciones diferenciales a partir de (4),
donde V = Uy .
d ) Sea φ = ε−1/2 V , encontrar la solución asintótica para φ hasta orden O(ε) y mostrar que para el
valor de y = y0 donde U (y0 ) = 1/2,
1
1
Uy (y0 ) = −
1 + 2 + t.o.s.
8c
4c
Ayuda: Expander φ = ε−1/2 V = ε−1/2 Uy asintóticamente en potencias de ε.
9. Sea w(x) ≥ 0 en I = [α, β]. Mostrar que
Zβ
hu1 , u2 iw :=
u1 (x)u2 (x)w(x) dx ,
α
es un producto interno.
10. Mostrar que los polinomios de Tchebysheff definidos por
T0 (x) = 1 ,
Tn (x) =
1
2n−1
cos (n arcos x) ,
n = 1, 2, . . . ,
forman un conjunto ortogonal con respecto a la función de peso w(x) = 1 − x2
I = [−1, 1].
−1/2
en el intervalo
11. Sea I = [α, β] y las funciones a0 (x), a1 (x), a2 (x) ∈ C 0 (I). Para el operador L : C 2 → C 0 , definido por
Lϕ := a0 (x)ϕ00 + a1 (x)ϕ0 + a2 (x)ϕ, mostrar que:
2
a) Si a1 (x) = a00 (x), L es autoadjunto.
b) Si L no es autoadjunto, entonces multiplicando por
Z
1
a1 (x)
dx ,
a0 (x)
a0 (x)
para a0 (x) 6= 0, L es transformado en un operador autoadjunto.
12. Sea f : [0, 1] → R una función continua y λn = nπ con n ∈ Z. Determinar las condiciones para f (x)
en las cuales el problema de Sturm–Liouville
u00 + λ2n u = f ,
u(0) = u(1) = 0 ,
tiene solución y exhibir dicha solución.
13. Sea u(t, x) el desplazamiento de una cuerda de violín de longitud L al tiempo t ≥ 0 en el punto
0 ≤ x ≤ L. Como consecuencia de la 3◦ Ley de Newton, la ecuación diferencial parcial lineal de
segundo orden
utt = c2 uxx ,
u(t, 0) = u(t, L) = 0 ,
t ≥ 0,
denominada como la ecuación de onda unidimensional, con deformación inicial u(0, x) = f (x) y
rapidez inicial ut (0, x) = 0 para 0 ≤ x ≤ L, gobierna el movimiento de la cuerda de violín. Suponer
que la solución está dada por el producto de una función T = T (t) y una función X = X(x) y resolver
los problemas de Sturm–Liouville y de condiciones iniciales resultantes al sustituir este producto.
Determinar la solución para u en términos de una serie de Fourier.
3