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Índice general
2. Números reales
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . .
2.2. El sistema de los números reales
2.3. Ecuaciones lineales y cuadráticas
2.4. Orden en los números reales . . .
2.5. Valor absoluto . . . . . . . . . . .
2.6. Radicación . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .
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13
13
14
16
20
26
29
33
12
Capítulo 2
Números reales
En este capítulo estudiamos al Sistema de los Números Reales, existen dos métodos
principales para hacerlo. Uno de ellos comienza con el conjunto de los números naturales N
y a partir de él, por medio de una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construyen
sucesivamente los números enteros Z, los números racionales Q y finalmente los números
reales. En el segundo método se describe formalmente el sistema de los números reales,
por medio de un conjunto fundamental de axiomas de los cuales muchas otras propiedades
pueden deducirse.
2.1. Introducción
En esta introducción, presentamos intuitivamente al conjunto R de los números reales,
partiendo del conjunto N de los números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones
del mismo, atendiendo a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones, en las cuales los
conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la solución tales ecuaciones,
antes que a un desarrollo axiomático del mismo.
El conjunto de los números naturales, que se denota por N, comúnmente se presenta así
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .} .
Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen a los conjuntos numéricos. No hay un acuerdo acerca de la pertenencia o no del 0 al conjunto N, y
esta cuestión, en una aplicación particular, es tomada más bien como un tema de conveniencia. En todo caso, N lo supondremos como ha sido definido líneas arriba, mientras
que al conjunto {1, 2, 3, 4, 5, . . .} representado por Z+ lo llamaremos conjunto de los enteros
positivos.
El conjunto de los números enteros, que se denota por Z, se presenta así
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} .
Puede notarse que N ⊂ Z. En el conjunto de los números enteros, se pueden resolver
ecuaciones que no tienen solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 7 = 2,
cuya solución es x = −5.
El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente
manera
{m
}
Q=
: m, n son enteros y n ̸= 0
n
n
Notemos que todo entero n puede escribirse como el número racional
y, en consecuencia,
1
se puede concluir que Z ⊂ Q. La introducción de los números racionales responde al
problema de resolver la ecuación
ax = b, con a, b ∈ R, a ̸= 0.
Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso en que a sea un divisor de b.
En muchos temas, por ejemplo de geometría, se plantean problemas para cuya solución
el conjunto Q resulta insuficiente. Así, al considerar el problema de determinar el número
x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema
de Pitágoras permite establecer que x, satisface la ecuación x2 = 2. Puede demostrarse
fácilmente, que no existe x ∈ Q que verifique esta última ecuación. En general, una ecuación
de la forma xn = a, con a ∈ Q y n ∈ N, carece de solución en Q. Se hace por lo
tanto necesario, describir otro conjunto, en el cual, ecuaciones como las anteriores tengan
solución.
El conjunto de los números irracionales, que se representa por Q′ , está constituido
por los números
√ reales que no admiten representación decimal periódica. Ejemplos de estos
números son: 2, e (base del logaritmo natural), π, etc. En Q′ se pueden resolver ecuaciones
que no√tienen solución en Q, como sucede con la ecuación x2 = 2, cuyas soluciones son
x = ± 2, que no son números racionales.
La unión disjunta de Q y Q′ nos da el conjunto de los números reales, es decir
R = Q ∪ Q′ .
2.2. El sistema de los números reales
Llamaremos sistema de los números reales al conjunto R, provisto de una relación de
equivalencia: igualdad, de dos operaciones: adición y multiplicación, y de una relación de
orden: menor o igual que.
Axiomas de la igualdad
1. Propiedad reflexiva.
∀a ∈ R : a = a.
2. Propiedad de simetría.
∀a, b ∈ R : si a = b entonces b = a.
3. Propiedad transitiva.
∀a ∈ R : si a = b y b = c entonces a = c.
4. Principio de sustitución. Sea P (x) una función proposicional sobre el número real x. Si
P (a) es una proposición verdadera y a = b, entonces P (b) también es una proposición
verdadera.
Axiomas de la adición y multiplicación
En R tenemos dos operaciones, adición
+ : (a, b) ∈ R × R 7−→ a + b suma de a y b,
y multiplicación,
· : (a, b) ∈ R × R 7−→ a · b producto de a y b.
La adición y la multiplicación de números reales satisfacen los siguientes axiomas o leyes.
14
1. Ley de clausura.
∀ a , b ∈ R : a + b ∈ R y a · b ∈ R.
2. Ley conmutativa.
∀a, b ∈ R : a + b = b + a
y a · b = b · a.
3. Ley asociativa.
∀a, b, c ∈ R : (a + b) + c = a + (b + c)
y (a · b) · c = a · (b · c) .
4. Ley de existencia y unicidad del neutro aditivo y de la identidad multiplicativa.
∃!0 ∈ R, ∀a ∈ R : a + 0 = a,
∃!1 ∈ R − {0} , ∀a ∈ R : a · 1 = a.
5. Ley de existencia y unicidad del opuesto y del inverso.
∀a ∈ R, ∃! (−a) ∈ R : a + (−a) = 0,
∀a ∈ R − {0} , ∃! a−1 ∈ R : a · a−1 = 1.
6. Ley de distribución de la multiplicación respecto de la adición.
∀a, b, c ∈ R : a · (b + c) = a · b + a · c.
En R se cumplen propiedades que permiten manipular algebraicamente a los números
reales.
Teorema 2.1 (de monotonía y simplificación).
1. Si a = b, entonces a + c = b + c.
2. Si a + c = b + c, entonces a = b.
3. Si a = b, entonces ac = bc.
4. Si ac = bc y c ̸= 0, entonces a = b.
Teorema 2.2.
1. Para todo a ∈ R, a · 0 = 0.
2. Para todo a en R, −a = (−1) · a.
3. Para a y b en R cualesquiera, a · (−b) = − (ab) = (−a) · b.
4. Para todo a en R, − (−a) = a.
5. Para a y b en R cualesquiera, (−a) · (−b) = a · b.
6. Si a es un número real diferente de 0, entonces (a−1 )−1 = a.
7. Si a y b son números reales diferentes de 0, entonces (ab)−1 = a−1 · b−1 .
Hay otras dos operaciones sobre los números reales que no se incluyen explícitamente
en los axiomas, a saber, la sustracción y la división. Estas se definen como sigue.
15
Definición 2.3.
1. Para todo a y b en R, a − b := a + (−b).
2. Para todo a y b en R, con b diferente de cero,
a
:= a · b−1 .
b
Nótese que 0 no tiene inverso multiplicativo, y por tanto, la división por cero no está
definida. A continuación definimos la potenciación de exponente entero.
Definición 2.4. Si a ∈ R y n ∈ Z+ definimos
{
a1 = a,
an = an−1 a si n > 1,
además, si a ̸= 0 definimos
a0 = 1
y si −n ∈ Z− definimos
(
)n
a−n = a−1 .
Las propiedades de la potencia de exponente natural son enunciadas en el siguiente
teorema, cuya demostración se deja al lector.
Teorema 2.5. Si a, b ∈ R − {0} y m, n ∈ N, entonces
1. am an = am+n .
2. (am )n = amn .
3. (ab)m = am bm .
am
= am−n .
an
( a ) m am
5.
= m.
b
b
4.
2.3. Ecuaciones lineales y cuadráticas
En esta sección enunciaremos teoremas que permitirán resolver ecuaciones lineales y
cuadráticas. Para la ecuación lineal ax + b = 0 tenemos el teorema siguiente.
b
Teorema 2.6. Si a, b, x ∈ R y a ̸= 0, entonces ax + b = 0 si y sólo si x = − .
a
A continuación resolveremos algunas ecuaciones reducibles a lineales. Lo importante es
que se reemplaza la ecuación en forma sucesiva por otras ecuaciones equivalentes, es decir,
ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución.
Ejemplo 1. Resolver
5
2
3
−
=
.
2x − 4 x + 3
x−2
16
Solución. Observamos que −3 y 2 no son soluciones de la ecuación. Multiplicando ambos
miembros de la ecuación por 2(x − 2)(x + 3) resulta
3 (2x − 4) (x + 3) 10 (x − 2) (x + 3)
4 (x − 2) (x + 3)
−
=
2x − 4
x+3
x−2
y simplificando
3 (x + 3) − 10 (x − 2) = 4 (x + 3) .
(2.1)
Así pues,
x=
17
11
es la solución
{ } de la ecuación (2.1). Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación original
es CS = 17
11 .
Ejemplo 2. Resolver
3x
6
= 1+
.
x−2
x−2
Solución. Observemos que 2 no pertenece al conjunto solución de la ecuación, desde que
no está definida la división entre 0. Multiplicando ambos miembros de la ecuación por x − 2
obtenemos,
6 (x − 2)
3x (x − 2)
= (x − 2) +
,
x−2
x−2
y simplificando,
3x = x + 4
(2.2)
de donde,
x=2
es la solución de la ecuación (2.2). Por lo tanto, teniendo en cuenta la observación inicial,
el conjunto solución de la ecuación original es CS = ∅.1
La solución de una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 mediante factorización, se
basa en el siguiente teorema.
Teorema 2.7. a · b = 0 si y sólo si a = 0 o b = 0.
Demostración.
(⇒) Por hipótesis a · b = 0. Queremos demostrar que a = 0 o b = 0. Supongamos, por el
absurdo, que a ̸= 0 y b ̸= 0, entonces existe a−1 ̸= 0 en R tal que
a · a−1 = 1,
de donde
(
)
b = a−1 · a · b = a−1 · (a · b) = a−1 · 0 = 0,
y esto constituye una contradicción.
1 En
el proceso de resolución de una ecuación, se puede obtener, como posible solución, un número que no
es solución de la ecuación dada. A ese número se le llama solución extraña o raíz extraña de la ecuación.
17
(⇐) Por hipótesis a = 0 o b = 0. Por demostrar que a · b = 0.
Caso 1. Supongamos que a = 0, entonces
a · b = 0 · b = 0.
Caso 2. Si ahora suponemos que b = 0, tenemos
a·b = a·0 = 0
y esto completa a demostración.
Corolario 2.8. a · b ̸= 0 si y sólo si a ̸= 0 y b ̸= 0.
Ejemplo 3. Resolver la ecuación cuadrática
x2 − 3x + 2 = 0.
Solución. Factorizando el primer miembro de la ecuación encontramos que
x2 − 3x + 2 = (x − 2) (x − 1) .
Luego
(x − 2) (x − 1) = 0,
de donde
x−2 = 0 o
x − 1 = 0.
Así pues, 1 y 2 son soluciones y son las únicas soluciones de la ecuación x2 − 3x + 2 = 0;
por lo tanto CS = {1, 2}.
Cuando resolvemos una ecuación cuadrática completando el cuadrado, usamos el siguiente teorema.
Teorema 2.9. a2 = b2 si y sólo si a = b o a = −b.
Demostración. Sabemos que
a2 = b2 ⇔ a2 − b2 = 0, ⇔ (a + b) (a − b) = 0,
Además, por el teorema 2.7,
(a + b)(a − b) = 0 ⇔ a + b = 0 o a − b = 0 ⇔ a = −b o a = b,
lo que prueba el teorema.
Ejemplo 4. Resolver en R las siguientes ecuaciones:
(a) x2 − 4x + 1 = 0.
(b) 2x2 + 12x + 17 = 0.
(c) 3x2 − 12x + 17 = 0.
Solución.
18
(a) Completando el cuadrado en el primer miembro de la ecuación obtenemos
(
)
x2 − 4 x + 1 =
x2 − 4x + 4 + 1 − 4
= (x − 2)2 − 3
( √ )2
= (x − 2)2 −
3
(
)
√ (
√ )
=
x−2− 3 x−2+ 3 .
Luego
(
x−2−
√ )(
3
x−2+
√ )
3 =0
de donde
√
√
x − 2 − 3 = 0 o x − 2 + 3 = 0.
{
√
√ }
Así pues CS = 2 + 3, 2 − 3 .
(b) Análogamente a la parte (a),
2x2 + 12x + 17 = 2 (x + 3)2 − 1
]
[
1
= 2 (x + 3)2 −
2
(
√ )(
√ )
2
2
= 2 x+3+
x+3−
.
2
2
Luego
(
2x + 12x + 17 = 0 ⇔ 2
2
de donde
√ )(
2
x+3+
2
√ )
x+3−
√
2
2
=0
√
2
x = −3 −
2
{
√
√ }
2
Así, CS = −3 − 2 , −3 + 22 .
o
x = −3 +
2
.
2
(c) Análogamente
3x2 − 12x + 17 = 3(x − 2)2 + 5
de donde CS = ∅.
Ejemplo 5. Resolver
2x
5
36
+
= 2
.
x−3 x+3
x −9
Solución. Observando los denominadores vemos que −3 y 3 no son soluciones de la
ecuación. Multiplicando ambos miembros de la ecuación por (x − 3) (x + 3) resulta, después
de simplificar,
2x (x + 3) + 5 (x − 3) = 36
(2.3)
de donde
x=3 o x=−
17
2
{
}
son las soluciones de la ecuación (2.3). De la observación inicial, tenemos que CS = − 172 .
19
2.4. Orden en los números reales
Postularemos que existe un subconjunto de números reales, que llamaremos números
positivos, y que nos permitirá ordenar los números reales. Con respecto al conjunto de los
números positivos establecemos los siguientes axiomas de orden.
O1. Ley de tricotomía. Para cualquier número real a una y solamente una de las siguientes
afirmaciones se verifica
i. a es positivo, o
ii. −a es positivo, 0
iii. a es igual a cero.
O2. Ley de clausura de números positivos. Si a y b son positivos, entonces
a + b es positivo
y
a · b es positivo.
Definición 2.10. Decimos que el número real a es negativo si −a es positivo.
Definición 2.11. Si a y b son números reales cualesquiera, decimos que
1. a es menor que b, y escribimos a < b, si b − a es positivo
2. a es mayor que b, y escribimos a > b, si b es menor que a.
Es consecuencia de la definición 2.11 que
a > b ⇔ a − b es positivo.
Teorema 2.12.
1. a es positivo ⇔ a > 0, y
2. a es negativo ⇔ a < 0.
De la definición 2.11 y el teorema 2.12, resulta que
a < b ⇔ ∃ ! c > 0 : b = a + c.
Definición 2.13.
1. Los números a y b tienen signos iguales si ambos son positivos o ambos son negativos.
2. Los números a y b tienen signos diferentes si uno es positivo y el otro es negativo.
Debe ser claro que

 a>0 ∧ b>0
o
a y b tienen signos iguales ⇔

a < 0 ∧ b < 0;
y

 a>0 ∧ b<0
o
a y b tienen signos diferentes ⇔

a < 0 ∧ b > 0.
20
Teorema 2.14.
1. a · b > 0 ⇔ a y b tienen signos iguales, y
2. a · b < 0 ⇔ a y b tienen signos diferentes.
Corolario 2.15.
1. Para todo a ∈ R − {0} se cumple que a2 > 0, y
2. Para todo a ∈ R, a2 ≥ 0.
Teorema 2.16.
1. Si a, b y c son números reales tales que a < b y b < c, entonces a < c.
2. a < b ⇔ a + c < b + c.
3. a < b ∧ c < d ⇒ a + c < b + d.
4. a < b ∧ c > 0 ⇒ ac < bc.
5. a < b ∧ c < 0 ⇒ ac > bc.
6. 0 < a < b ∧ 0 < c < d ⇒ ac < bd.
7. Si a ∈ R − {0}, entonces a y a−1 tienen signos iguales.
8. ac < bc ∧ c > 0 ⇒ a < b.
9. ac < bc ∧ c < 0 ⇒ a > b.
10. 0 < a < b ⇒
1
1
< .
b
a
11. a < b < 0 ⇒
1
1
< .
b
a
Definición 2.17.
1. a ≤ b ⇔ a < b o a = b.
2. a ≥ b ⇔ a > b o a = b.
De la definición anterior, resulta que
a ≤ b ⇔ ∃ ! c ≥ 0 : b = a + c.
Es conveniente introducir las siguientes notaciones:
a<b<c⇔a<b ∧ b<c
a≤b≤c⇔a≤b ∧ b≤c
a<b≤c⇔a<b ∧ b≤c
a ≤ b < c ⇔ a ≤ b ∧ b < c.
Un axioma, que no enunciaremos explícitamente, cuya mención en este lugar sólo tiene
como objetivo indicar la necesidad de otro axioma que complete al conjunto de axiomas
del sistema de los números reales, es el axioma del supremo. El conjunto de los números
racionales satisface todos los axiomas estudiados, excepto el axioma del supremo. Es éste
el que nos garantiza que los números reales forman un conjunto diferente que incluyen a
los números racionales.
21
La Recta Real e Intervalos
Los números reales se pueden representar por medio de puntos de una recta, como se
muestra en la figura.
−xr
0r
1r
xr
Q
O
U
P
- L
La dirección positiva (hacia la derecha) se indica mediante una flecha. Elegimos un
punto de referencia arbitrario O, llamado origen que corresponde al número real 0. Dada
una unidad conveniente de medida, cada número positivo x se representa por el punto P
de la recta que se encuentra a x unidades a la derecha del origen y cada número negativo
−x se representa mediante el punto Q que se localiza x unidades a la izquierda del origen.
De esta manera, todo número real se representa por medio de un punto de la recta, y
todo punto de la recta corresponde exactamente a un número real, por lo que la recta se
denomina recta numérica real o simplemente recta real.
La correspondencia establecida permite interpretar geométricamente a la relación menor
que: a < b significa que a está a la izquierda de b. En consecuencia, a − b representa la
distancia dirigida de a hasta b; es decir, si a − b > 0 el número a está a a − b unidades a
la derecha de b y si a − b < 0 el número a está a b − a unidades a la izquierda de b.
Definiremos a continuación subconjuntos de la recta real que serán muy útiles en la
simplificación de las notaciones.
Definición 2.18. Si a, b ∈ R son tales que a ≤ b, llamaremos intervalo abierto de extremos
a y b al conjunto de números reales, que representamos por ]a, b[, y definimos por
]a, b[ = {x ∈ R : a < x < b} .
Nótese que si a = b, entonces ]a, b[ = ∅.
Definición 2.19. Si a, b ∈ R son tales que a ≤ b, llamaremos intervalo cerrado de extremos
a y b al conjunto de números reales que representamos por [a, b], y se define por
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} .
Definición 2.20. Si a, b ∈ R son tales que a ≤ b, llamaremos
1. intervalo abierto por la izquierda de extremos a y b al conjunto
]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} ,
2. intervalo abierto por la derecha de extremos a y b al conjunto
[a, b[ = {x ∈ R : a ≤ x < b} .
También usaremos los siguientes intervalos
1. Intervalo infinito abierto por la derecha en a
]−∞, a[ = {x ∈ R : x < a} .
2. Intervalo infinito cerrado por la derecha en a
]−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a} .
22
3. Intervalo infinito abierto por la izquierda en a
]a, +∞[ = {x ∈ R : x > a} .
4. Intervalo infinito cerrado por la izquierda en a
[a, +∞[ = {x ∈ R : x ≥ a} .
Ejemplo 6. Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones
]
[
1
5
5
(a) Si (5x + 1) ∈ ]−3, 2[ ⇒
∈ − ,−
.
2x − 2
8 18
(b) Si (2x − 3) ∈ ]−7, 12[ ⇒ (−3x + 5) ∈ ]−18, 8[.
[
]
x+3
3
(c) Si (2x − 3) ∈ ]−3, 1[ ⇒
∈
,3 .
3x + 1
7
Solución.
(a) De (5x + 1) ∈ ]−3, 2[ se sigue que
4
1
9
4
18
8
< x < ⇒ − < x − 1 < − ⇒ − < 2x − 2 < − ,
5
5
5
5
5
5
y como todas las cantidades son del mismo signo,
−3 < 5x + 1 < 2 ⇒ −
−
Es decir
5
1
5
<
<− .
8
2x − 2
18
[
]
1
5
, por lo que la afirmación es verdadera.
∈ − 85 , − 18
2x − 2
(b) Si (2x − 3) ∈ ]−7, 12[, entonces
15
45
35
⇒−
< −3x < 6 −
< −3x + 4 < 11.
2
2
2
]
[
] 35 [
Así se tiene que (−3x + 5) ∈ − 35
2 , 11 . Notar que − 2 , 11 no está contenido en
]−18, 8[, es decir, no siempre
(−3x + 5) ∈ ]−18, 8[
−7 < 2x − 3 < 12 ⇒ −2 < x <
por lo que la afirmación es falsa.
(c) Tenemos
8
1
x+3
= + 3 .
3x + 1
3 3x + 1
Por otro lado (2x − 3) ∈ ]−3, 1[ implica que 0 < x < 2. Por lo tanto
(1)
1
1
<
<1
7
3x + 1
y
8
8
8
< 3 < ,
21
3x + 1
3
así por (1)
5
1
8
x+3
1 8
= +
<
< + = 3.
7
3 21
3x + 1
3 3
[
]
x+3
3
En consecuencia
∈
, 3 , y la afirmación es verdadera.
3x + 1
7
23
Inecuaciones De Primer Grado o Inecuaciones Lineales
Al resolver inecuaciones se sigue básicamente el mismo procedimiento empleado para
la resolución de ecuaciones, teniendo cuidado de no multiplicar o dividir ambos miembros
de la inecuación por cantidades negativas.
Ejemplo 7. Resolver en R
6x − 3
8x + 1
− (2x + 5) ≤
.
4
3
Solución. Simplificando los miembros de la inecuación resulta
x 23
8x 1
− −
≤
+ .
2
4
3
3
Transponiendo términos, obtenemos
−
(
de donde
x≥
[
[
73
Así, CS = − , +∞ .
38
73
19x
≤
6
12
6
−
19
)(
73
12
)
=−
73
.
38
Ejemplo 8. Resolver en R
4
1
2x + 5
< (3 − x) ≤ (8x + 1) .
3
5
3
Solución. Tenemos que
4
1
2x + 5
4
4
1
2x + 5
< (3 − x) ≤ (8x + 1) ⇔
< (3 − x) ∧ (3 − x) ≤ (8x + 1) .
3
5
3
3
5
5
3
Resolvemos
2x + 5
4
1
< (3 − x) ⇔ 10x + 25 < 36 − 12x36 − 12x < 11 ⇔ x <
3
5
2
(1)
y
4
1
31
(3 − x) ≤ (8x + 1) ⇔ 36 − 12x < 40x + 5 ⇔ 31 < 52x ⇔
< x.
5
3
52
De (1) y (2) se concluye que CS = ∅.
Ejemplo 9. Resolver en R
(2)
2x − 3
< 3.
x−2
Solución. Transponiendo términos y simplificando, obtenemos
x−3
> 0.
x−2
Resolviendo, usando la definición 2.13 y el teorema 2.14,


x−3 > 0 ∧ x−2 > 0

 x>3 ∧ x>2
x−3
∨
∨
>0⇔
⇔
⇔x>3 ∨ x<2


x−2
x−3 < 0 ∧ x−2 < 0
x<3 ∧ x<2
entonces, CS = ]−∞, 2[ ∪ ]3, +∞[.
24
Inecuaciones De Segundo Grado o Inecuaciones Cuadráticas
Al resolver inecuaciones de segundo grado conviene tener presente que
a2 ≥ 0 ⇒ a ∈ R
a2 > 0 ⇒ a ∈ R − {0}
a2 ≤ 0 ⇒ a = 0
a2 < 0 ⇒ a no existe.
Ejemplo 10. Resolver en R las siguientes inecuaciones
(a) 9x2 + 6x + 1 ≥ 0.
(b) 2x2 − 8x + 8 > 0.
(c) x2 + 6x + 9 ≤ 0.
(d) x2 + 6x + 9 < 0.
Solución.
(a) Tenemos
2
1
9x + 6x + 1 ≥ 0 ⇔ x + x + ≥ 0 ⇔
3
9
2
2
(
1
x+
3
)2
≥ 0.
La última inecuación se cumple para toda x en R, es decir CS = R.
(b) Como
2x2 − 8x + 8 > 0 ⇔ 2(x − 2)2 > 0
y la última inecuación se cumple para toda x ̸= 2, tenemos que CS = R − {2}.
(c) Factorizando el primer miembro obtenemos
x2 + 6x + 9 ≤ 0 ⇔ (x + 3)2 ≤ 0.
La última inecuación se cumple solamente para x = −3, por lo tanto CS = {−3}.
(d) De la parte anterior, se concluye que CS = ∅.
Ejemplo 11. Resolver en R
1
6
+
≥ 2.
x+3 x−2
Solución. Transponiendo términos y simplificando, obtenemos
2 x2 − 5 x − 3
≤0
x2 + x − 6
]
]
1
de donde, resolviendo encontramos que CS = −3, −
∪ ]2, 3].
2
25
2.5. Valor absoluto
Definición 2.21. Se llamará valor absoluto del número real a al número representado por
|a|, y definido por
{
a si a ≥ 0
|a| =
−a si a < 0
El valor absoluto de la diferencia de dos números reales representa a la distancia entre
dichos números.
Teorema 2.22.
1. ∀a ∈ R : |a| ≥ 0.
2. |a| = 0 ⇔ a = 0.
3. |ab| = |a| |b|.
a |a|
4. =
si b ̸= 0.
|b|
b
5. |a|2 = a2 .
6. |a + b| ≤ |a| + |b|.
7. |a| = |b| ⇔ a = ±b.
8. Si b ≥ 0, entonces
9. Para todo b ∈ R tenemos
|a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b.
|a| ≥ b ⇔ a ≥ b o a ≤ −b.
Ejemplo 12. Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
(a) Si (3x + 1) ∈ ]4, 10[ ⇒ |2x − 5| < 1.
x+3 < 3.
(b) Si (2x − 3) ∈ ]−3, 1[ ⇒ 3x + 1 Solución.
(a) Como (3x + 1) ∈ ]4, 10[, entonces 1 < x < 3. Por lo tanto
−3 < 2x − 5 < 1,
de donde |2x − 5| < 3, y la afirmación es falsa.
(b) Tenemos
8
x+3
1
= + 3 .
3x + 1
3 3x + 1
Por otro lado (2x − 3) ∈ ]−3, 1[ implica que 0 < x < 2. Por lo tanto
1
1
<
< 1,
7
3x + 1
26
(1)
y
8
8
8
< 3 < ;
21
3x + 1
3
así por (1)
5
1
8
x+3
1 8
= +
<
< + = 3.
7
3 21
3x + 1
3 3
x+3 x+3
< 3 y la afirmación es verdadera. En consecuencia, −3 <
< 3. Así 3x + 1
3x + 1 x+1 2
1
< .
Ejemplo 13. Si ∈ ]−3, −1[, demostrar que x
x − 2 7
Solución. Como
1
1
∈ ]−3, −1[, tenemos −1 ≤ x ≤ − . Luego,
x
3
−1 ≤
de donde
−
x+1 2
< .
y por lo tanto x − 2 7
x−2
7
≤−
3
9
2
3
2
≤ 1+
≤0< ,
7
x−2
7
Ejemplo 14. Resolver la inecuación
2
x + 3 x ≥ 2 − x2 .
Solución. Por la propiedad 9 del teorema 2.22
2
x + 3x ≥ 2 − x2 ⇔ x2 + 3x ≥ 2 − x2
o
x2 + 3x ≤ −2 + x2
Pero
x2 + 3x ≥ 2 − x2 ⇔ x2 + 3x ≥ 2 − x2 ⇔ 2x2 + 3x − 2 ≤ 0 ⇔ (2x − 1) (x + 2) ≥ 0
por tanto
[
[
1
x ∈ ]−∞, −2] ∪ , +∞ .
2
(1)
Además,
]
]
2
2
x + 3x ≤ −2 + x ⇔ 3x ≤ −2 ⇔ x ≤ − ⇔ x ∈ −∞, − .
3
3
]
] [
[
2
1
De (1) y (2), x ∈ −∞, −
∪ , +∞ .
3
2
2
Ejemplo 15. Resolver
2
(2)
2
x − 6x + 8 ≤ 4 − x .
Solución. Es claro que si 4 − x < 0 o x > 4, el conjunto solución es ∅. ¿Por qué? De
ahí que debemos exigir que
4 − x ≥ 0 o x ≤ 4.
(1)
Por propiedad
27
2
x − 6x + 8 ≤ 4 − x ⇔ x − 4 ≤ x 2 − 6x + 8 ≤ 4 − x .
Pero
x − 4 ≤ x2 − 6x + 8 ≤ 4 − x ⇔ (x ≤ 3 o x ≥ 4)y1 ≤ x ≤ 4.
De (1) y (2) se concluye que x ∈ [1, 3] ∪ {4}.
(2)
Ejemplo 16. Hallar el menor valor real de k que verifica la siguiente condición:
2x + 1 1 si x ∈ [4, 7] entonces − ≤ k.
x−2
2
Solución. Simplificando se tiene
2x + 1 1
−
x−2
2
=
=
=
3x + 4
=
2(x − 2)
3x + 4
=
2(x − 2)
3
5
+
.
2 x−2
(
1
3+
2
(
1
3+
2
)
10
x−2
)
10
x−2
A partir de la condición x ∈ [4, 7] tenemos
4≤x≤7⇒1≤
5
5
5
5
≤ ⇒ ≤ 32 +
≤ 4.
x−2
2
2
x−2
3
5
≤ k, para todo k ≥ 4, por lo que el menor valor real de k es 4. De donde +
2 x − 2
Ejemplo 17. Resolver en R la inecuación
2
2
3
|x
−
3
|
+
x
+
5
≤
|
6
−
2
x|
+
x
+
6
.
Solución. Observamos que 3 |x − 3| + x2 + 5 > 0 y |6 − 2x| + x2 + 6 > 0, por lo que
3 |x − 3| + x2 + 5 = 3 |x − 3| + x2 + 5
y
|6 − 2x| + x2 + 6 = |6 − 2x| + x2 + 6.
Es decir, la inecuación puede ser expresada como
3 |x − 3| + x2 + 5 ≤ |6 − 2x| + x2 + 6.
Simplificando
3 |x − 3| ≤ |6 − 2x| + 1
y notando que
|6 − 2x| = |2x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3| ;
resulta que
3 |x − 3| ≤ 2 |x − 3| + 1 ⇔ |x − 3| ≤ 1 ⇔ 2 ≤ x ≤ 4.
Por lo tanto, CS = [2, 4]
28
2.6. Radicación
Aceptaremos sin demostración el siguiente teorema.
Teorema 2.23. Dados a positivo y n ∈ Z+ existe solamente un número real positivo b tal
que bn = a.
El teorema anterior permite defininir la radicación de índice entero positivo.
Definición 2.24. Dados a positivo y n ∈ Z+ , la raíz n-ésima de a, representada por
el único número real positivo b tal que bn = a. Así,
√
n
√
n
a, es
a = b ⇔ bn = a.
Proposición 2.25. Sean a, b ∈ R+ y n, m ∈ N+ , entonces
√
n
√ √
ab = n a n b
√
√
n
a
a
n
2.
= √
n
b
b
√
√
√
3. m n a = mn a
√
√
4. n am = np amp si p ∈ N.
1.
Definición 2.26 (Potenciación de exponente racional). Si
m
1
De este modo tenemos que a n =
√
n
an =
√
n
m
n
∈ Q+ y a ∈ R +
am .
a.
Teorema 2.27 (Raíz cuadrada y valor absoluto). Para todo a ∈ R se cumple que
|a| =
√
a2 .
El siguiente teorema es útil para la resolución de inecuaciones con radicales.
Teorema 2.28.
1. Si b ≥ 0, entonces
√
√
a2 ≤ b ⇔ − b ≤ a ≤ b.
2. Para todo b positivo tenemos
√
√
a2 ≥ b ⇔ a ≥ b o a ≤ − b.
√
Ejemplo 18. Resolver la inecuación 1 − x ≤ x.
Solución. Para que el número real x pertenezca al conjunto solución, debe cumplir las
siguientes condiciones: 1 − x ≥ 0 y x ≥ 0; es decir
0 ≤ x ≤ 1.
Elevando al cuadrado ambos miembros de la inecuación y transponiendo términos, obtenemos
x2 + x − 1 ≥ 0,
]
[
√ ] [
√
−1 − 5
−1 + 5
cuyo conjunto solución es −∞,
∪
, +∞ . Por lo tanto, atendiendo a
2
2
[
√ ]
−1 + 5
las condiciones, encontramos que CS =
,1 .
2
29
Ejemplo 19. Resolver la inecuación
√
x − 2 x2 < 1 + 2 x.
Solución. Se tienen las siguientes restricciones
x − 2x2 ≥ 0 y 1 + 2x > 0.
Resolviendo este sistema de inecuaciones, encontramos que
]
[
1
x ∈ 0,
.
2
(1)
Por otro lado, elevando al cuadrado y transponiendo términos, obtenemos
6x2 + 3x + 1 > 0
Completando el cuadrado
(
1
x+
4
)2
+
5
> 0.
48
La solución de esta última inecuación es
x ∈ R.
]
1
De (1) y (2) se tiene x ∈ 0, .
2
[
Ejemplo 20. Resolver
√
(2)
x+7 ≥
√
2 (x + 9) −
√
x−5
Solución. Restricciones
x+7 ≥ 0
∧
2 (x + 9) ≥ 0
∧
x−5 ≥ 0
de donde
x ∈ [5, +∞[ .
(1)
Antes de elevar al cuadrado, debe tenerse cuidado en que los dos miembros de la
inecuación sean no negativos, por lo que transponemos términos
√
√
√
x + 7 + x − 5 ≥ 2 (x + 9).
Ahora, elevando al cuadrado dos veces y simplificando tenemos
√
√
x + 7 x − 5 ≥ 8 ⇔ (x + 7) (x − 5) ≥ 64 ⇔ (x + 11) (x − 9) ≥ 0
de donde
x ∈ ]−∞, −11] ∪ [9, +∞[ .
De (1) y (2) resulta que CS = [9, +∞[.
Ejemplo 21. Resolver
√
(2)
x+2
>
x−1
√
30
x+6
.
x
Solución. Restricciones
x+2
x+6
≥ 0∧
≥ 0.
x−1
x
Así, utilizando puntos de referencia encontramos
CS ⊆ ]−∞, −6] ∪ ]1, +∞[ .
(1)
Elevando al cuadrado, transponiendo términos y simplificando
x+2
x+6
x+2 x+6
3x − 6
>
⇔
−
>0⇔
< 0,
x−1
x
x−1
x
x (x − 1)
de donde
x ∈ ]−∞, 0[ ∪ ]1, 2[ .
(2)
De (1) y (2) obtenemos que CS = ]−∞, −6] ∪ ]1, 2[.
Ejemplo 22. Si a y b son constantes reales fijas tales que 0 < a < b, demuestre que
(a) a <
(b) a <
√
ab < b.
a+b
< b.
2
Solución.
(a) De 0 < a < b multiplicando por a se tiene
a2 < ab ⇔
√
a2 <
√
ab ⇔ a = |a| <
√
ab.
(1)
ab < |b| = b.
(2)
Asimismo, multiplicando por b > 0
ab < b2 ⇔
De (1) y (2) se obtiene a <
√
√
ab <
√
b2 ⇔
√
ab < b.
(b) De a < b, sumando en ambos miembros a y b se obtienen,
2a < a + b ⇔ a <
a+b
2
y
a + b < 2b ⇔
respectivamente. De estas se obtiene que a <
Ejemplo 23. Resolver en R
√
a+b
<b
2
a+b
< b.
2
2x2 − x + 3 < 1 − 2x.
31
Solución. Las restricciones de la inecuación son las siguientes
2x2 − x + 3 ≥ 0
de donde
∧
1 − 2x > 0.
]
[
1
x ∈ −∞,
.
2
(1)
Ahora es posible elevar al cuadrado en la inecuación original
2x2 − x + 3 < (1 − 2x)2
y simplificando
(2x + 1)(x − 2) > 0
Tomando en cuenta en la recta real los puntos de referencia x = −
como solución
]
[
1
x ∈ −∞, − ∪ ]2, +∞[ .
2
]
[
1
Interceptando (1) y (2), se obtiene CS = −∞, − .
2
Ejemplo 24. Resolver
√
1
y x = 2, se obtiene
2
(2)
x2 + 2x − 3 ≥ x − 2.
Solución. Restricción x2 + 2x − 3 ≥ 0, de donde
x ∈ ]−∞, −3] ∪ [1, +∞[ .
(1)
Por otro lado, debemos tener cuidado con los signos de los dos miembros de la inecuación, por lo que analizaremos dos casos:
i. Cuando x − 2 ≥ 0, es decir, x ≥ 2. Entonces, elevando al cuadrado,
x2 + 2x − 3 ≥ x2 − 4x + 4
de donde
x ∈ [2, +∞[ .
ii. Cuando x − 2 < 0, es decir, x √< 2. Entonces, la inecuación se satisface para todo
x ∈ R para el que la expresión x2 + 2x − 3 está definida, es decir
x ∈ ]−∞, −3] ∪ [1, ∞[ .
Luego,
[
7
, +∞ ,
x ∈ ]−∞, −3] ∪
6
[
pero, teniendo en cuenta (1) resulta que CS = ]−∞ − 3)] ∪ [1, +∞[.
32
2.7. Ejercicios
El sistema de los números reales
1. Si a, b, c, d ∈ R con b ̸= 0, demostrar que
a
b
a
b)
b
a
c)
b
a)
c
⇔ ad = bc.
d
c
ad + bc
+ =
.
d
bd
c
ac
· =
.
d
bd
=
2. Pruebe los teoremas 2.1 y 2.2.
3. Demuestre que el opuesto aditivo de la suma de dos números reales es la suma de los
opuestos aditivos de dichos números.
Ecuaciones lineales y cuadráticas
1. Resolver
a)
b)
c)
d)
e)
3x + 1
2x + 5
=
,
6x − 2
4x − 13
2
7
+ 44x − 13 =
,
5
2x + 1
−2x + 7
2
− 32x − 5 = 2
,
2x + 1
4x − 25
2x
18
+ 5x − 4 = 2
,
x+3
x + 3x
1
−4
3x
+
= 2
.
x−2 x+2
x −4
2. ¿Para qué valor de c el número a es solución de la ecuación?
a) 4x + 1 + 2c = 5c − 3x + 6; a = −2.
b) 3x − 2 + 6c = 2c − 5x + 1; a = 4.
Orden en los reales
1. Demuestre que si a, b ∈ R+ , entonces a < b ⇔ a2 < b2 .
2. Pruebe que si a, b, c, > 0, entonces (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc.
3. Demuestre los teoremas 2.12 y 2.14, el corolario 2.15 y el teorema 2.16.
4. Demuestre que se cumplen las siguientes propiedades para a, b, c ∈ R,
a) a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c.
b) a ≤ b ∧ c ≥ 0 ⇒ ac ≤ bc.
c) a ≤ b ∧ c ≤ 0 ⇒ ac ≥ bc.
5. Dado el conjunto A = {x ∈ R : 3x − 1 ≤ 2x − 5 ≤ 4x + 13}, demuestre que si x ∈ A,
x+9
∈ [−5, 0].
entonces
x+3
33
6. Resolver en R las inecuaciones:
a) x2 + 2x + 2 > 0
b) 2x2 + 5x − 3 < 0
c) x2 − 8x + 4 ≥ 0
d) x2 − 8x + 4 ≤ 0
e) x2 + 8x + 20 > 0
(
)(
)
f) x2 + 1 6 + x − x2 ≥ 0
7. Para cual o cuáles valores de b ∈ R y para cual inecuación
x2 − bx + 18 ≥ 0
x2 − bx + 18 ≤ 0
[
√
√ ]
el conjunto solución es 6 − 3 2, 6 + 3 2 .
Valor absoluto
1. Resolver en R las siguientes ecuaciones
a) x2 + 2 = 2x + 1.
b) x2 − x − 6 = x + 2.
c) x2 − 9 + x2 − 4 = 5.
d) x2 + 3 = |2x + 1| .
e) ||x| − 5| = 2x − 3.
2. Demuestre que:
|5x + 4| − |x − 7|
.
x
|5x + 20| − |3x − 20|
b) x ∈ ]−3, 2[ y
.
x
a) x ∈ ]0, 3[ y
3. Resolver en R las siguientes inecuaciones:
a) ||x| + 2| ≤ x2 .
b) 2x2 − 3x − 9 ≤ 3 x2 − 2x − 3.
x+2 ≤ 2.
c) 1 ≤ 2x − 3 5 1 .
d) ≤
2x − 1 x − 2 1 x ≥
.
e) 2x + 3 3x + 7 x |x − 2|
> 2.
x−1
|x − 2| − |x|
≥ 0.
g)
2 − |x|
x+1
x + 1 2
> 0.
h) −2
x + 3
x + 3
f)
34
{
}
4. Si A = x ∈ R : ||x| + 2| ≤ |x|2 y B = {x ∈ R : |3x − 1| ≥ |3 − 3x|}, halle los conjuntos
A ∩ B y A − B.
{
}
5. Repita el ejercicio anterior con los conjuntos A = x ∈ R : |x − 2|2 − 3 |x − 2| − 4 > 0
{
}
1 y B= x∈R:
> 2 − |x − 2| .
x − 2
Radicación
1. Resolver en R las siguientes ecuaciones.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
√
x2 − x − 2 = 5 − x.
√
1 − x = 4 5 + x.
√
√
3x + 7 − x − 2 = 9.
√
√
√
√
2x + 3 + 3x − 2 − 2x + 5 = 3x.
√
√
x2 − 2x − x2 + 4x = 2.
√
32 − 2x √
= x − 5.
x+2
√
2. Resolver en R las siguientes inecuaciones.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
√
√
x + 2 − 1 − x ≤ 1.
√
x2 − 4x + 4 < 4.
√
|x|
+ 3 < x.
2
√
√
x−1+ x+2
√
√ ≤ 0.
9 − x2 − x
√
√
√
2 − 3 + x < x + 4.
√
(x − 4) x2 − 2x + 2
≥ 0.
x2 + 2
√
3. Si A es el conjunto solución de la inecuación x2 − 2x − 3 ≤ 3 + x y B es el conjunto
x+5
solución de la inecuación
≤ 0, halle A ∩ B.
3x + 2
4. Si a > 0 y b > 0, se definen la media geométrica y la media aritmética de a y b
mediante
√
a+b
MG = ab y MA =
.
2
Demuestre que MG ≤ MA .
35