Ecuaciones. Inecuaciones. Sistemas. Problemas.

CURSO: 4º A E.S.O. MATERÍA: MATEMÁTICAS-A
CALIFICACIÓN
Nº 6 - TÍTULO: POLINOMIOS. ECUACIONES Y
SISTEMAS, INECUACIONES. PROBLEMAS.
(EX. SEGUNDA EVALUACIÓN)
FECHA: 17/03/15
NOMBRE: _____________________________________
APELLIDOS: __________________________________
1. Dados los polinomios P(x) = 4x4 – 8x2 + 4, Q(x) = x2 – 2x + 1 y R(x) = x – 1, realiza las
siguientes operaciones con polinomios:
a) P(x) : Q(x)
b) Determina si P(x) es múltiplo de R(x) justificándolo con la operación correcta.
(1 punto)
(0´5 puntos)
2. Resuelve las siguientes ecuaciones,
(1 punto)
b)
x2 – x4 = 0
c) (x2 – 3)2 = (x – 2)·(x + 2) + 1
(0´5 puntos)
(1 punto)
3. La edad de María es el triple que la de Ana. Hace cuatro años, la edad de María era el quíntuplo
de la de Ana. Escribe una ecuación que refleje la situación y resuélvela calculando las edades
actuales de María y Ana.
(1 punto)
4. Tenemos dos bolsas de caramelos: una tiene el triple de caramelos que la otra. Si quitamos cinco
caramelos de la bolsa con mayor número de caramelos y los introducimos en la bolsa con menos
caramelos, las bolsas pasan a tener el mismo número de caramelos. Escribe una ecuación o
sistema que refleje la situación y resuélvela calculando el número inicial de caramelos de cada
bolsa.
(1 punto)
5. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
(1 punto)
6. En un taller hay coches y motos. Vemos que en total, entre coches y motos hay un total de 50
vehículos de motor. Si el número de ruedas que juntan entre todos es 160, escribe un sistema de
ecuaciones que refleje la situación y resuélvelo calculando el número de coches y de motos que
hay en el taller.
(1 punto)
7. Resuelve la siguiente inecuación señalando el intervalo de soluciones.
(1 punto)
8. Resuelve por el método gráfico el sistema lineal,
(1 punto)
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FECHA: 17/03/15
Nº 6 - TÍTULO: POLINOMIOS. ECUACIONES Y SISTEMAS.
INECUACIONES. PROBLEMAS.
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DEL CONTROL Nº 6
1. Dados los polinomios P(x) = 4x4 – 8x2 + 4, Q(x) = x2 – 2x + 1 y R(x) = x – 1, realiza las
siguientes operaciones con polinomios:
a) P(x) : Q(x)
(1 punto)
b) Determina si P(x) es múltiplo de R(x) justificándolo con la operación correcta.
(0´5 puntos)
Solución.
a) P(x) : Q(x)
(1 punto)
Aplicamos el método general:
Luego el cociente es c(x) = 4x2 + 8x + 4 y el resto es r(x) = 0.
b) Determina si P(x) es múltiplo de R(x) justificándolo con la operación correcta.
(0´5 puntos)
Aplicamos el método de Ruffini:
Luego el cociente es c(x) = 4x3 +4x2 – 4x – 4 y el resto es r(x) = 0. Por lo tanto, P(x) es
múltiplo de R(x).
2
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FECHA: 17/03/15
Nº 6 - TÍTULO: POLINOMIOS. ECUACIONES Y SISTEMAS.
INECUACIONES. PROBLEMAS.
2. Resuelve las siguientes ecuaciones,
(1 punto)
b)
x2 – x4 = 0
(0´5 puntos)
c) (x2 – 3)2 = (x – 2)·(x + 2) + 1
(1 punto)
Solución.
a)
(1 punto)
Ponemos denominador común y ampliamos los numeradores,
Eliminamos los denominadores y los términos cuadrados:
Despejamos la incógnita:
Sacamos factor común,
Por lo tanto, las soluciones son x = 0, x = – 1 y x = 1
c) (x2 – 3)2 = (x – 2)·(x + 2) + 1
(1 punto)
Resolvemos los productos notables y simplificamos al máximo la ecuación.
(x2 – 3)2 = (x – 2)·(x + 2) + 1
x4 + 9 – 6x2 = x2 – 4 + 1
x4 – 7x2 + 12 = 0
Se trata de una ecuación bicuadrada. La resolvemos mediante el cambio de variable t = x2.
Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado:
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Nº 6 - TÍTULO: POLINOMIOS. ECUACIONES Y SISTEMAS.
INECUACIONES. PROBLEMAS.
Deshacemos el cambio de variable:
 Si t = 4 entonces como t = x2, entonces x2 = 4, y por lo tanto,
 Si t = 3 entonces como t = x2, entonces x2 = 3, y por lo tanto,
.
Por lo tanto, las soluciones son x = 2, x = – 2,
3. La edad de María es el triple que la de Ana. Hace cuatro años, la edad de María era el
quíntuplo de la de Ana. Escribe una ecuación que refleje la situación y resuélvela
calculando las edades actuales de María y Ana.
(1 punto)
Solución. Llamamos “x” a la edad de Ana. En este sentido tendremos que,
Edad actual
Hace cuatro años
Ana
x
x–4
María
3x
3x – 4
En ese caso, la ecuación se describe mediante a frase “Hace cuatro años, la edad de María era el
quíntuplo de la de Ana” que podemos escribir mediante,
5·(
Resolvemos:
5·(
Por lo tanto, Ana tiene 8 años y María tiene 24 años.
4
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Nº 6 - TÍTULO: POLINOMIOS. ECUACIONES Y SISTEMAS.
INECUACIONES. PROBLEMAS.
4. Tenemos dos bolsas de caramelos: una tiene el triple de caramelos que la otra. Si quitamos
cinco caramelos de la bolsa con mayor número de caramelos y los introducimos en la bolsa
con menos caramelos, las bolsas pasan a tener el mismo número de caramelos. Escribe una
ecuación que refleje la situación y resuélvela calculando el número inicial de caramelos de
cada bolsa.
(1 punto)
Solución. Llamamos x al número de caramelos de la bolsa con menos caramelos. Entonces la
otra bolsa tendrá 3x. En ese caso, si pasamos 4 caramelos de la bolsa con más caramelos a la que
menos, tendremos:
Bolsa con menos caramelos
Bolsa con más caramelos
Actualmente
x
3x
Si pasamos 5 de la más grande a la pequeña
x+5
3x – 5
La ecuación proviene de la frase “Si quitamos cinco caramelos de la bolsa con mayor número de
caramelos y los introducimos en la bolsa con menos caramelos, las bolsas pasan a tener el
mismo número de caramelos” que traducimos según:
x + 5 = 3x – 5
Resolvemos la ecuación:
x + 5 = 3x – 5
5 + 5 = 3x – x
10 = 2x
x=5
Por lo tanto, una bolsa tiene x = 5 caramelos y la otra tiene 3x = 15 caramelos.
5. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
(1 punto)
Solución. Aplicamos el método de sustitución despejando la incógnita “y” en la segunda
ecuación:
Sustituimos la variable despejada en la primera ecuación:
Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante:
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INECUACIONES. PROBLEMAS.
Sustituimos los valores calculados en la expresión despejada de x obteniendo el valor de la otra
variable:

Si x = 2, entonces como y = 5 – x2 tendremos que,

Si x = – 13/5, entonces como y = 5 – x2 tendremos que,
Por lo tanto, la solución del sistema es x = 2, y = 1 y también x = – 13/5, y = – 44/25 .
6. En un taller hay coches y motos. Vemos que, en total, entre coches y motos hay un total de
50 vehículos de motor. Si el número de ruedas que juntan entre todos es 160, escribe un
sistema de ecuaciones que refleje la situación y resuélvelo calculando el número de coches y
de motos que hay en el taller.
(1 punto)
Solución. Llamamos “x” al número de motos e “y” al número de coches. En ese caso, las
siguientes frases se traducen algebraicamente del siguiente modo:
entre coches y motos hay un total de 50 vehículos de motor
x + y = 50
el número de ruedas que juntan entre todos es 160
2x + 4y = 160
En ese caso, tenemos el sistema de ecuaciones lineal:
Aplicamos el método de reducción eliminando la incógnita “y”:
Por lo tanto, hay 30 coches y motos habrá, según la primera ecuación,
x = 50 – 30 = 20
x + 30 = 50
Concluimos que hay 20 motos y 30 coches.
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INECUACIONES. PROBLEMAS.
7. Resuelve la siguiente inecuación:
(1 punto)
Solución. Resolvemos la inecuación como si fuera una ecuación de primer grado:
Luego la solución es
8. Resuelve por el método gráfico el sistema lineal,
(1 punto)
Solución. Representamos la recta a la que da lugar la ecuación, 6x – y = 1. Para ello despejamos
la incógnita “y”.
Realizamos una tabla con dos valores (una recta
queda unívocamente determinada si conocemos
dos puntos).
x
Punto
0
(0, – 4)
2
(2, 8)
Representamos la recta 6x – y = 4, a partir de
estos dos puntos.
Representamos ahora la recta a la que da lugar la ecuación, – 3x + 2y = 13. Para ello
despejamos la incógnita “y”.
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Nº 6 - TÍTULO: POLINOMIOS. ECUACIONES Y SISTEMAS.
INECUACIONES. PROBLEMAS.
Realizamos una tabla con dos valores (una recta
queda unívocamente determinada si conocemos
dos puntos).
x
Punto
1
(1, 2)
3
(3, 5)
Representamos la recta – 3x + 2y = 1 a partir de
estos dos puntos en los mismos ejes cartesianos.
El punto de intersección de ambas rectas (1, 2) es la solución del sistema. Por lo tanto, la
solución del sistema es x = 1 y = 2.
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