F´ısica del Estado Sólido Práctico 1 Estructura Cristalina

F´ısica del Estado S´olido
Pr´actico 1
Estructura Cristalina
1.
a) Demuestre que una red puntual infinita s´olo puede tener simetr´ıas de rotaci´on de
orden 2, 3, 4 ´
o 6. Sugerencia: Considere que la traslaci´on no nula m´as peque˜
na de
la red es un cierto vector ~a. Para excluir los ´ordenes n con n > 6, muestre que el
vector ~a − ~a0 ser´ıa m´
as corto que ~a, siendo ~a0 el vector obtenido rotando ~a un ´angulo
2π/n. Para el orden 5, demuestre que el vector ~a0 + ~a00 es m´as corto que ~a, donde ~a00
se obtiene rotando ~a un ´
angulo −2π/5.
b) En dos dimensiones, encuentre las restricciones que impone un plano de simetr´ıa en
la red:
1) Considere primero un vector primitivo de translaci´on oblicuo al plano de simetr´ıa
(figura 1a) y estudie la celda formada por ´el y su imagen, muestre que en este
caso es posible definir una celda no primitiva, pero con vectores de translaci´on
perpendiculares (red rectangular centrada).
2) A continuaci´
on considere que se tiene un vector primitivo normal al plano (figura
1b), un segundo vector puede estar contenido en el plano de simetr´ıa o ser oblicuo
a ´el. En el segundo caso, muestre que existe s´olo una elecci´on del vector oblicuo
compatible con la traslaci´on primitiva normal al plano de simetr´ıa y que resulta
en la red rectangular centrada, por lo que s´olo importa el primer caso.
m
m
(a)
(b)
Figura 1
c) A partir de los resultados anteriores, enumere los tipos de redes de Bravais posibles
en el plano.
1
2. Considere el siguiente patr´
on, que se repite peri´odicamente en todas direcciones:
qp
db
qp
db
qp
db
qp
db
qp
db
qp
db
qp
db
qp
db
qp
db
qp
db
qp
db
qp
db
qp
Indique:
a) Una celda unitaria rectangular;
b) Una celda unitaria primitiva;
c) La base de letras que forman el contenido de cada tipo de celda unitaria.
3. ¿Cu´al es la red de Bravais formada por los puntos con coordenadas cartesianas (n1 n2 n3 )
si:
a) los ni son todos pares o todos impares?
b) la suma de los ni es par?
Sugerencia: dibuje los puntos de la red en cada plano con un valor fijo de n3 .
4. Red panal de abejas
a) Para la red triangular en la figura 2a, halle un par de vectores primitivos y una
celda primitiva. Dibuje la celda de Wigner-Seitz. Si la constante de red es a, halle la
densidad superficial de puntos de esta red en t´erminos de a.
b) La red panal de abejas en 2b no es de Bravais, pero puede ser escrita como una red
de Bravais m´
as una base. Halle esta descomposici´on.
NOTA: Est´
an dibujados puntos negros y blancos s´olo por claridad, es posible considerarlos iguales.
√
c) Muestre que la separaci´
on en la red panal de abejas es d = a/ 3.
d ) El grafeno es un arreglo de a´tomos de carbono en una red bidimensional panal de
abejas con d = 2,45˚
A. Halle la densidad del grafeno en g/cm2 .
d
a
(a) Red triangular
(b) Red panal de abejas
Figura 2
2
5. Considere las estructuras de la figura 3. En el NaCl (3a) los iones de Sodio y Cloro ocupan
los v´ertices de dos redes fcc entrelazadas (a = 5,64˚
A). En el CsCl (3b) los iones de Cesio y
Cloro forman redes sc entrelazadas (a = 4,12˚
A). En el ZnS (3c) los enlaces son tetra´edricos
con ´atomos de distinto tipo en el centro y en los v´ertices, formando una estructura del
tipo diamante (a = 5,42˚
A).
Represente cada uno de estos cristales como una red m´as una base adecuada.
(a) Cloruro de Sodio
(b) Cloruro de Cesio
(c) Zincblende
Figura 3: Estructuras cristalinas
6.
a) Muestre que una red bcc puede ser descompuesta en dos redes sc, A y B, con la
propiedad de que ninguno de los vecinos m´as pr´oximos de A quede en A, y similarmente para la red en B. Muestre que an´alogamente red sc puede descomponerse en
dos redes fcc y que una red fcc puede descomponerse en cuatro redes sc.
b) Muestre que entre los sitios de vecinos m´as pr´oximos de una red fcc hay grupos de
tres sitios de forma que cada sitio es un v´ertice de un tri´angulo equil´atero.
7. Estructura del diamante
a) ¿Cu´
antos ´
atomos hay en la celda primitiva del diamante?
b) ¿Cu´
al es la longitud en ˚
A de un vector primitivo de translaci´on? El par´ametro de
red del diamante es a = 3,567˚
A.
c) Demuestre que el ´
angulo entre los enlaces tetra´edricos en el diamante es de 109◦ 280 .
d ) ¿Cu´
antos ´
atomos hay en la celda c´
ubica unitaria convencional?
e) ¿Por qu´e el tetraedro elemental formado por cuatro ´atomos de carbono no es una
celda unidad primitiva?
8. Empaquetamiento compacto hexagonal (hcp)
Demuestre que la relaci´
on c/a para una estructura de empaquetamiento compacto hexagonal es:
c
=
a
r
8
' 1,633
3
Nota: Si c/a es significativamente mayor que este valor, la estructura cristalina puede considerarse como que est´
a compuesta por planos de ´atomos de empaquetamiento compacto,
estando apilados los planos en forma poco compacta.
3
´ bicas y hexagonal
9. Caracter´ısticas de las redes cu
Para las redes de Bravais c´
ubica simple (sc), c´
ubica centrada en el cuerpo (bcc), c´
ubica
centrada en las caras (fcc) y empaquetamiento compacto hexagonal (hcp) calcule, en
funci´on de los par´
ametros de red de la celda convencional:
a) Volumen de la celda convencional.
b) Puntos de la red por celda.
c) Volumen de la celda primitiva.
d ) Puntos de la red por unidad de volumen.
e) N´
umero de vecinos m´
as pr´
oximos.
f ) Distancia entre vecinos m´
as pr´oximos.
g) N´
umero de segundos vecinos.
h) Distancia entre segundos vecinos.
i ) Fracci´
on de empaquetamiento.
NOTA: Para el caso hcp puede ser de ayuda considerar primero el caso de una estructura
hexagonal simple y utilizar luego el resultado del ejercicio 8.
10. ´Indices de Miller en la Red Hexagonal
Demuestre que en el sistema de 4 ´ındices de Miller (h k i l) para estructuras hexagonales
como la de la figura 4, la suma de los tres primeros debe ser nula; o sea: h + k = −i.
Figura 4: Red hexagonal
11. Un cristal tiene una base de un ´atomo por punto de la red y un conjunto de vectores
primitivos de translaci´
on (dados en un sistema cartesiano, en unidades de ˚
A):
~a = 3ˆi
~b = 3ˆj
ˆ
~c = 1,5(ˆi + ˆj + k)
¿Cu´al es el tipo de red de Bravais de este cristal y cu´ales son los ´ındices de Miller del
conjunto de planos m´
as densamente poblados con ´atomos? Calcule el volumen de la celda
unitaria primitiva y convencional.
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