Todo sobre los patrones - Lower Hudson Regional Information Center

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Todo sobre los patrones
Matemáticas en
la vida diaria
Un árbol genealógico Aunque una abeja obrera tiene dos progenitores, los zánganos
sólo tienen un progenitor hembra. El árbol genealógico de un zángano revela un
patrón de números interesante.
M
1 zángano
H
1 progenitor
H
M
H
M
2 “abuelos”
M
H
H M H
H
H
M
M
H
3 “bisabuelos”
H
H M H
5 “tatarabuelos”
8 “antepasados”
El número de abejas de las generaciones: 1, 1, 2, 3, 5, 8,
y así sucesivamente, forman una lista de números
famosa, conocida como sucesión de Fibonacci.
Piensa al respecto ¿Puedes hallar un patrón en
el árbol genealógico o en la lista de números
que te ayude a encontrar los dos o tres números
siguientes de la sucesión de Fibonacci?
Carta a la familia
Estimados alumno(a) y familiares:
Nuestra clase de matemáticas comienza un año muy emocionante. No se
preocupen, las matemáticas son más que sumar y restar números y han sido
llamadas "la ciencia de los patrones". Una herramienta importante en
matemáticas es el aprender a reconocer, describir y usar patrones para hacer
predicciones.
Primero, veamos el patrón que sigue el triángulo de Pascal, un número de
triángulos que contiene muchos patrones.
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
¿Pueden describir algún patrón en el triángulo? ¿Pueden predecir los
números de la siguiente fila del triángulo? No se preocupen si no pueden
identificar ningún patrón porque vamos a aprender muchas cosas acerca de
este triángulo en las siguientes clases.
También aprenderemos a identificar patrones de figuras. Por ejemplo, la
superficie del panal que se observa como fondo de esta página, está formada por un patrón de hexágonos sin yuxtaposiciones entre ellos. ¿Pueden
formar un patrón similar con cuadrados o con triángulos?
Vocabulario Aprenderán acerca de estos términos nuevos:
ángulo
polígono cóncavo
simetría lineal
orden de las operaciones
polígono
polígono regular
sucesión
término
desigualdad del triángulo
vértice
¿Qué pueden hacer en el hogar?
Durante las siguientes semanas, es posible que su hijo(a) muestre interés
en patrones y reglas. Háganle preguntas sobre patrones y reglas que puede
encontrar en su vida cotidiana, como por ejemplo, el cálculo de la distancia
a la que ocurre un rayo: Cuenten el número de segundos que transcurren
entre el momento en que se ve el rayo y el momento en que ocurre el
trueno, y dividan el resultado entre 5.
impactmath.com/family_letter
3
Busca patrones
¡Hay patrones por doquier! Puedes verlos en el papel tapiz, en telas, en
edificios, en flores y en insectos. Puedes oírlos en la música y en las letras de
canciones y aun en el sonido de la voz de una persona. Puedes seguirlos para
tomar un autobús o un tren o para ubicar una tienda con cierta dirección.
Los patrones forman una parte importante de las matemáticas. Los ves cada
vez que lees un número, ejecutas una operación matemática, interpretas una
gráfica o identificas una figura. En esta lección vas a buscar, describir y
extender varios patrones.
Explora
En este diagrama, debes empezar
en el “Comienzo” y trazar una
senda a cualquiera de las letras
guiándote por las flechas.
Comienzo
A
C
¿Cuántas sendas distintas hay
entre el Comienzo y A?
Descríbelas.
¿Cuántas sendas distintas hay
entre el Comienzo y D?
Descríbelas.
F
J
B
D
G
K
E
H
L
I
M
N
¿Cuántas sendas distintas hay entre el Comienzo y G? Descríbelas.
Hay cuatro sendas entre el Comienzo y K. Descríbelas.
Agrega otra fila de círculos a una copia de este diagrama, guiándote por
el patrón de flechas y letras. ¿Cuántas sendas distintas hay entre el
Comienzo y S? Descríbelas.
En otra copia del diagrama, sustituye cada letra por el número de sendas
entre el Comienzo y dicha letra. Por ejemplo, reemplaza A por 1 y K
por 4.
El triángulo de números que acabas de obtener es bastante conocido. En la
Investigación 1, vas a aprender más sobre él y los patrones que contiene.
4 CAPÍTULO 1
Investigación 1
El triángulo de Pascal
y las sucesiones
El triángulo numérico que obtuviste en la actividad Explora ha fascinado a los
matemáticos durante siglos debido a los numerosos patrones que contiene.
Los matemáticos chinos y musulmanes lo estudiaron ya en 1100 d.C. Blaise
Pascal, un matemático francés que lo estudió en 1653, lo llamó triángulo
aritmético. En su honor, ahora se conoce como el triángulo de Pascal.
Serie de problemas
A
A continuación se muestra una copia del diagrama que obtuviste en la actividad Explora. Se ha sustituido la palabra “Comienzo” por el número 1 y se
han vuelto a rotular las filas.
1
El triángulo numérico tal como
aparece en El precioso espejo
de los cuatro elementos escrito
por el matemático chino Chu
Shih-Chieh en 1303.
1
1
1
1
1
3
4
5
1
2
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
Fila 0
Fila 1
Fila 2
Fila 3
Fila 4
Fila 5
Este triángulo contiene numerosos patrones. Por ejemplo, da lo mismo si una
fila se lee de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.
1.
Describe tantos patrones de este triángulo como te sea posible.
2.
Para añadir más filas al triángulo, podrías contar sendas como lo hiciste
en la actividad, pero esto tomaría mucho tiempo. Más bien, usa algunos
de los patrones que hallaste en el Ejercicio 1 para dar con la fila 7. Tal
vez no puedas deducir todos los números, pero completa todos los que
puedas.
3.
Una manera de agregar más filas al triángulo es considerando la
relación entre cada número y los dos sobre él, a la izquierda y a la
derecha. Examina los números de las filas 3 y 4. Encuentra una regla
que te permita hallar los números de la fila 4, a partir de los de la fila 3.
¿Funciona la regla para otras filas del triángulo?
4.
Usa la regla del Ejercicio 3 para completar el triángulo hasta la fila 9.
LECCIÓN 1.1
Busca patrones 5
El triángulo de Pascal posee muchos patrones interesantes. Tal vez hayas
trabajado con otros patrones en forma de acertijos como los siguientes:
Completa lo siguiente.
Acertijo A: 2, 5, 8, 11, __, __, __
Acertijo B: 16, 8, 4, 2, __, __, __
Acertijo C: 3, 2, 3, 2, __, __, __
Acertijo D: ★, ✻, ★, ✻, __, __, __
V O C A B U L A R I O
sucesión
término
Para resolver estos acertijos, necesitas hallar un patrón en la parte conocida
de la lista y luego usarlo en la deducción de los términos siguientes. Listas
ordenadas como éstas se llaman sucesiones y cada artículo en una sucesión se
llama término. A los términos también se les llama etapas.
&
Piensa comenta
Considera el Acertijo A. Describe una regla que puedas usar para ir de
un término al siguiente.
2, 5, 8, 11, __, __, __
Según tu regla, ¿cuáles son los tres términos siguientes?
Ahora estudia el Acertijo B. Describe el patrón que halles.
16, 8, 4, 2, __, __, __
Según tu patrón, ¿cuáles son los tres términos siguientes?
¿Qué patrón ves en el Acertijo C: 3, 2, 3, 2, __, __, __?
Según tu patrón, ¿cuáles son los tres términos siguientes?
Las sucesiones no siempre son numéricas. Examina, por ejemplo, el
Acertijo D.
★, ✻, ★, ✻, __, __, __
Describe el patrón y obtén los tres términos siguientes.
En los Acertijos A y B, cada término se halla aplicando una regla al término
anterior. En los Acertijos C y D, los términos siguen un patrón repetitivo. En
el siguiente problema, vas a estudiar sucesiones de ambos tipos.
6 CAPÍTULO 1
M AT E R I A L E S
• mondadientes
(opcional)
• fichas (opcional)
Serie de problemas
1.
B
Las sucesiones de las Partes a hasta la e siguen un patrón repetitivo.
Halla los tres términos, o etapas, siguientes de cada sucesión.
a.
b.
3, 6, 9, 3, 6, 9, 3, 6, . . .
c.
d.
7, 1, 1, 7, 1, 1, 7, 1, 1, . . .
1 2 1 2 1 2
e. 2, 3, 2, 3, 2, 3,
2.
...
En las Partes a hasta la e, cada término de la sucesión se halla aplicando
una regla al término anterior. Halla los tres términos siguientes de cada
sucesión.
a.
3, 6, 9, 12, . . .
b.
c.
100, 98.5, 97, . . .
d.
3, 5, 8, 12, . . .
1 1 1 1
e. 2, 3, 4, 5,
...
LECCIÓN 1.1
Busca patrones 7
3.
A continuación se dan dos sucesiones, una construida con mondadientes
y la otra con fichas. Tú y tu compañero deben elegir una de las
sucesiones. Responde las Partes a hasta la c por tu cuenta, usando la
sucesión que elegiste.
Sucesión A
Sucesión B
4.
5.
Datos
de
Halla o dibuja los tres términos siguientes de tu sucesión.
b.
¿Cuántos mondadientes o fichas habrá en el décimo término?
Compruébalo hallando o dibujando este término.
c.
Encuentra una sucesión numérica que dé el número de mondadientes
o fichas en cada término de tu patrón.
d.
Compara tus respuestas a las partes anteriores con las de tu compañero. ¿En qué se parecen? ¿En qué difieren?
Describe el patrón de cada sucesión numérica y úsalo para completar los
términos que faltan.
a.
5, 12, 19, 26, __, __, __
b.
0, 9, 18, 27, __, __, __
c.
125, 250, __, 1,000, __, __, 8,000
d.
1, 0.1, __, 0.001, __, 0.00001, __
e.
4, 6, 9, 11, 14, 16, 19, __, __, __
Considera esta sucesión de símbolos:
, , , , , , , , , , , , , , , . . .
interés
Los símbolos del
Ejercicio 5 son letras
del alfabeto griego. es la letra delta y es la letra omega. Las
letras griegas se usan
con frecuencia en física
y en matemática
avanzada.
8 CAPÍTULO 1
a.
a.
Si este patrón repetitivo continúa indefinidamente, ¿cuáles son los
seis términos siguientes?
b.
¿Cuál es el trigésimo término?
c.
¿Cómo podrías hallar el centésimo término sin tener que dibujar 100
símbolos? ¿Cuál es dicho término?
6.
Datos
de
interés
Los números de
Fibonacci (es decir, los
números de la sucesión) pueden verse en
la disposición de hojas
y flores de algunas
plantas y en las escamas de los conos y en
las piñas.
La siguiente sucesión se conoce con el nombre de sucesión de
Fibonacci en honor del matemático que la descubrió. Es una sucesión
interesante porque se manifiesta a menudo en la naturaleza y en
productos manufacturados.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .
a.
Estudia esta sucesión detenidamente para ver si puedes descubrir su
patrón. Da los tres términos siguientes.
b.
Da instrucciones para continuar la sucesión de Fibonacci.
&
Comparte
resume
1. A
continuación se muestra nuevamente el diagrama de la actividad
Explora de la página 4. ¿Cómo se relacionan los números del triángulo de Pascal con el número de sendas entre el Comienzo y cada una
de las letras?
Comienzo
A
C
F
J
B
D
G
K
E
H
L
I
M
N
2. Ya
descubriste que cada número del triángulo de Pascal es la suma
de los dos números encima de él. Explica lo que esto significa en
términos del número de sendas que terminan en una letra dada del
diagrama anterior.
3. Describe
algunas estrategias que usas al buscar un patrón en una
sucesión.
LECCIÓN 1.1
Busca patrones 9
Ejercicios por tu cuenta
&
aplica
Practica
1.
He aquí algunas de las primeras filas del triángulo de Pascal:
1
1
1
1
2.
Fila 0
Fila 1
Fila 2
Fila 3
1
2
3
1
3
1
a.
¿Cuántos números hay en cada fila?
b.
¿Cuántos hay en la fila 4? ¿En la 5? ¿En la 6?
c.
Si te dan el número de una fila, ¿cómo puedes determinar cuántos
números hay en ella?
d.
En algunas filas cada número aparece dos veces. Otras poseen un
número central que sólo aparece una vez. ¿Tendrá número central la
décima fila? ¿La novena? ¿Cómo lo sabes?
El número central de cierta fila del triángulo de Pascal es 252 y el
número a su derecha es 210.
...
?
?
?
?
252
210
?
?
?
...
a.
¿Cuál es el número a la izquierda del número central? ¿Cómo lo sabes?
b.
¿Cuál es el número central dos filas más abajo? ¿Cómo lo sabes?
Describe el patrón de cada sucesión y úsalo para hallar sus tres términos
siguientes.
3.
3, 12, 48, 192, __, __, __
4.
0.1, 0.4, 0.7, 1.0, __, __, __
5.
2, 5, 4, 7, 6, 9, __, __, __
6.
, , , , , , , , , __, __, __
7.
5, 4, 3, 2,
8.
a, c, e, g, __, __, __
__, __, __
Datos
de
interés
En matemáticas, el
símbolo denota
cuánto cambia una
cantidad, mientras
que denota infinito.
10 C A P Í T U L O 1
impactmath.com/self_check_quiz
&
amplía
Conecta
9.
Algunos patrones del triángulo de Pascal aparecen de improviso.
Examina, por ejemplo, el patrón de las sumas de las filas.
1
1 1 4
1 5 10.
1
3
10
1
1
4 1
5 1
Fila 0
Fila 1
Fila 2
suma 1
suma 2
suma 4
a.
Halla la suma de cada fila que se muestra en el Ejercicio 9.
b.
Describe el patrón de las sumas de las filas.
El siguiente patrón supone dos filas de números. Si se continuase el
patrón, ¿qué número aparecería a la derecha de 98? Explica cómo lo
sabes.
1
11.
1
3
10
1
2
6
3
2
4
6
5
7
9
8
12
11
10
13
15
14
16
18
17
Examina este patrón de números. Si se continuara, ¿qué número
aparecería debajo de 100?
10
5
11
2
6
12
1
3
7
13
4
8
14
9
15
LECCIÓN 1.1
16
Busca patrones 11
12.
Tal vez necesites trazar estas figuras en papel cuadriculado.
a.
Halla el término siguiente de esta sucesión.
Término 1
b.
Cuadrados en
la fila inferior
1
3
c.
Estudia detenidamente tu tabla. Describe el patrón de números en la
segunda columna y úsalo para extender y mostrar el número de
cuadrados en las filas inferiores de los términos quinto y sexto.
d.
Estima el número de cuadrados en la fila inferior del trigésimo
término.
e.
Ahora haz una tabla en que muestres el número total de cuadrados en
cada uno de los cinco primeros términos.
Término
1
2
3
4
5
En t u s
propias
palabras
Término 3
Esta tabla muestra el número de cuadrados en las filas inferiores de
los dos primeros términos. Copia y completa la tabla para mostrar el
número de cuadrados en las filas inferiores de los dos términos
siguientes.
Término
1
2
3
4
¿Qué son los
patrones? ¿Tiene
patrón cada
sucesión numérica?
¿Es toda sucesión
de figuras un
patrón? Explica.
Término 2
f.
Número total de cuadrados
1
4
Busca un patrón en la tabla anterior y úsalo para estimar el número
total de cuadrados del décimo término.
13.
Imagina que hay una hormiga parada en el cuadrado marcado con
la A en este cuadriculado. La hormiga puede moverse horizontal o
verticalmente, un cuadrado a la vez.
A
Repaso
mixto
Recuerda
Escribir un número
en forma estándar
significa escribirlo
usando dígitos. Por
ejemplo, la forma
estándar de diecisiete
es 17.
a.
En una copia de este cuadriculado, colorea cada cuadrado, salvo el
central, según el número mínimo de cuadrados que necesite la
hormiga para llegar a él. Usa un color para los cuadrados que están
a un cuadrado de distancia, otro color para los que se hallan a dos
cuadrados de distancia, etc.
b.
¿Qué figuras forman los cuadrados del mismo color? ¿Cuántos
cuadrados del mismo color hay? ¿Qué otros patrones notas?
Halla cada suma o resta sin calculadora.
14.
5,853 788
17.
Escribe treinta y dos mil quinientos sesenta y tres en forma estándar.
18.
Escribe catorce millones trescientos dos mil dos en forma estándar.
19.
Escribe 324 en palabras.
15.
1,054 1,492
20.
16.
47,745 2,943
Escribe 12,640 en palabras.
21. Geometría
Imagina que tienes
12 mosaicos cuadrados, con lados de
una pulgada de largo cada uno.
a.
1 pulg
¿De cuántas maneras distintas
puedes usar los 12 mosaicos para
hacer un rectángulo? Bosquéjalos
todos.
1 pulg
b.
¿Cuál de estos rectángulos tiene el máximo perímetro? ¿Cuál es este
perímetro?
c.
¿Cuál de estos rectángulos tiene el mínimo perímetro? ¿Cuál es este
perímetro?
Recuerda
El perímetro de una
figura es la longitud
de su contorno.
LECCIÓN 1.1
Busca patrones 13
Sigue las reglas
Jing trazó un rectángulo y escribió una regla para generar una sucesión de
figuras que comienzan con su rectángulo.
Rectángulo inicial:
Regla: Traza un rectángulo cuyo tamaño sea el doble del anterior.
Siguiendo la regla, Caroline trazó esta sucesión:
Jahmal siguió la regla y obtuvo esta sucesión:
&
Piensa comenta
¿Pueden ser correctas las dos sucesiones? Explica.
Rosita también siguió la regla de Jing, pero su sucesión fue diferente a
la de Caroline y a la de Jahmal. ¿A qué pudiera parecerse la sucesión
de Rosita?
Reescribe la regla de modo que la sucesión de Caroline sea la correcta,
pero no la de Jahmal. Trata de que tu regla sea lo más específica posible
de manera que cualquiera que la siga obtenga la sucesión que obtuvo
Caroline.
Investigación 1
Sucesiones y reglas
Ya has visto cómo tres alumnos siguieron la misma regla y, sin embargo,
obtuvieron tres sucesiones distintas. Esto se debe a la ambigüedad de la regla
de Jing, la cual se puede interpretar de diversas maneras. Tanto en matemáticas
como en la vida cotidiana, a menudo es importante estipular las reglas de
modo que todos obtengan el mismo resultado.
Serie de problemas
A
1.
Inventa una sucesión de figuras en que cada una de ellas pueda obtenerse
aplicando una regla a la figura anterior. Traza la primera figura de la
sucesión en una hoja de papel en blanco y escribe la regla. Trata de que
ésta sea lo más específica posible de manera que cualquiera que la siga
obtenga la sucesión que tienes en mente.
2. Intercambia figuras y reglas con tu compañero(a). Sigue su regla y traza
las tres figuras siguientes de la sucesión.
3. Compara la sucesión que trazaste en el ejercicio 2 con la sucesión
original de tu compañero. ¿Son iguales? Si no es así, describe sus
diferencias y por qué son diferentes. Si es ambigua tu regla o la de tu
compañero(a), trabajen juntos para hacerlas más específicas.
A menudo se usan reglas para describir la relación entre dos cantidades. Por
ejemplo, cierta regla pudiera indicarte cómo calcular una cantidad a partir
de otra.
E J E M P L O
La dosis de adulto de un remedio para el resfrío es de 2 onzas. La dosis
para un niño menor de 12 años puede calcularse usando esta regla:
Divida la edad del niño entre 12 y multiplique el resultado por 2 onzas.
Esta regla te indica la relación entre la dosis infantil y la edad del niño.
Si conoces la edad del niño, puedes usar la regla para calcular la dosis.
Por ejemplo, la dosis para un niño de 3 años es:
dosis 3 12 2 onzas
0.25 2 onzas
0.5 onzas
LECCIÓN 1.2
Sigue las reglas 15
En la siguiente Serie de problemas vas a estudiar algunas reglas comunes para
hallar una cantidad a partir de otra.
Serie de problemas
1.
B
Puedes usar esta regla para estimar la distancia en millas al lugar en que
cayó un rayo.
Cuenta los segundos entre ver el resplandor del relámpago y oír el
trueno y luego divide entre 5.
Usa esta regla para estimar la distancia al lugar en que cayó un rayo si
contaste 15 segundos entre el resplandor y el trueno.
2.
Datos
de
La abuela de Hannah usa la siguiente receta para calcular las cucharadas
de té que debe poner en su tetera:
Use una cucharada por persona y luego añada una cucharada.
interés
Se cree que se comenzó
a beber té hace más de
5000 años en China. El
té helado se introdujo
sólo en 1904, en la
feria mundial de St.
Louis, cuando un inglés
llamado Richard
Blechynden le puso
hielo al ver que nadie
se lo compraba.
3.
a.
¿Cuántas cucharadas de té debe usar la abuela de Hannah para cuatro
personas?
b.
El abuelo de Hannah piensa que esta receta produce un té muy fuerte.
Halla una receta que le guste.
c.
Usando la receta de la Parte b,
¿cuántas cucharadas de té se
necesitan para cuatro personas?
d.
A Amy, una prima de Hannah, le
gusta el té aun más cargado de lo
que le gusta a la abuela de
Hannah. Halla una receta que le
pudiera gustar a Amy y úsala para
calcular las cucharadas de té que
se necesitan para cuatro personas.
En un recetario aparece la siguiente receta para cocinar carne de res:
Cocínese por 20 minutos a 475°F. Luego bájese el fuego a 375°F y cocínese durante 15 minutos por libra. Si le gusta la carne poco asada,
retírela del horno. Si le gusta a punto, cocínela por 7 minutos más. Si le
gusta bien cocida, cocínela por 14 minutos más.
Si la carne te gusta a punto, ¿cuál es el tiempo de cocción total de un
rosbif de 4 libras?
Las reglas de la Serie de problemas B son muy sencillas. Muchas reglas
hacen uso de cálculos más complicados. Si no necesitas un valor exacto, a
veces puedes usar una regla más sencilla en las estimaciones.
Serie de problemas
1.
C
Con la siguiente regla puedes convertir temperaturas en grados
centígrados (°C) a grados Fahrenheit (°F):
Multiplica los grados centígrados por 1.8 y suma 32.
212°F
100°C
194
90
176
80
158
70
140
60
122
50
104
40
86
30
68
20
50
10
32°F
0°C
14
10
Copia y completa
esta tabla en que
mostrarás las temperaturas en grados
centígrados y sus
equivalentes en
Fahrenheit.
2.
Grados
centígrados
0
10
20
30
40
50
Grados
Fahrenheit
32
50
La familia López pasó sus vacaciones de verano en Canadá. La Sra.
López usó esta regla para convertir grados centígrados en grados
Fahrenheit.
Multiplica los grados centígrados por 1.8 y suma 32.
Esta regla facilita los cálculos mentales, pero sólo proporciona una
aproximación a los grados Fahrenheit mismos.
a.
Completa esta
tabla que da las
temperaturas
aproximadas en
grados Fahrenheit
para las temperaturas en grados
centígrados
dadas.
Grados
centígrados
0
10
20
30
40
50
Grados
Fahrenheit
aproximados
30
50
b.
¿En qué temperatura en grados centígrados coinciden las dos reglas
anteriores?
c.
¿Para cuál temperatura de la tabla, en grados centígrados, la regla de
la Sra. López da una temperatura en Fahrenheit que es demasiado
alta?
LECCIÓN 1.2
Sigue las reglas 17
3.
4.
Un día la familia López voló de Toronto, cuya temperatura era de 37°C,
a Winnipeg, donde la temperatura era de 23°C.
a.
Usa la regla del Ejercicio 1 para calcular las temperaturas exactas
en Fahrenheit de ambas ciudades.
b.
Usa la regla de la Sra. López (Ejercicio 2) para calcular las
temperaturas aproximadas en Fahrenheit de ambas ciudades.
c.
¿Para cuál de las ciudades fue más precisa la regla de la Sra. López?
Lee nuevamente las respuestas a los Ejercicios 2 y 3. ¿Qué pasa con la
aproximación conforme aumentan los grados centígrados?
Toronto, capital de la
provincia de Ontario.
&
Comparte
resume
1. A
continuación se muestran el primer término y la regla de una
sucesión.
Primer término: 20
Regla: Escribe el número que, en la recta numérica, está a dos
unidades del anterior.
a.
Da los primeros términos de dos sucesiones que cumplen con
esta regla.
b. Reescribe la regla de modo que sólo una de estas sucesiones sea
la correcta.
2. En
el mercado de la esquina venden bananas a 49¢ la libra. Escribe
una regla para calcular lo que cuesta un racimo de bananas.
Investigación 2
El orden de las operaciones
Una convención es una regla que se ha decidido aceptar porque es útil o conveniente hacerlo así. Son convenciones las reglas “Al manejar, manténgase a
la derecha” y “En el supermercado, haga cola para pagar”.
Datos
de
interés
Las convenciones no
son inmutables, como
lo es la ley física “Al
soltar un objeto, éste
cae al suelo”. La gente
puede ponerse de
acuerdo para cambiar
una convención y hacer
algo diferente.
La lectura de una página de izquierda a derecha es una convención que los
hispanohablantes han adoptado. Cuando lees la oración “el perro muerde al
niño”, sabes que primero debes leer “el perro”, luego “muerde” y luego “al
niño”, en vez de “el niño muerde al perro”. No todos los lenguajes siguen esta
convención. El hebreo, por ejemplo, se lee de derecha a izquierda y el japonés
se lee de arriba abajo de izquierda a derecha.
Para trabajar en matemáticas, debes saber cómo leer las expresiones
matemáticas. Por ejemplo, ¿cómo leerías esta expresión?
537
Hay varias posibilidades:
• De izquierda a derecha: Suma 5 y 3, lo que da 8, y luego multiplica
por 7, lo que da 56.
• De derecha a izquierda: Multiplica 7 por 3, lo que da 21, y luego
suma 5, lo que da 26.
• Multiplica y luego suma: Multiplica 3 por 7, lo que da 21, y luego
suma 5, lo que da 26.
orden de las
operaciones
Para poder comunicarse en matemática, la gente sigue una convención en la
lectura y evaluación de expresiones. Dicha convención, llamada orden de las
operaciones nos indica que las expresiones deben evaluarse en el siguiente
orden:
• Evalúa las expresiones en paréntesis.
• Multiplica y divide de izquierda a derecha.
• Suma y resta de izquierda a derecha.
Para evaluar 5 3 7, primero multiplicas y luego sumas:
Recuerda
Evaluar una expresión
matemática significa
calcular su valor.
5 3 7 5 21 26
Si quieres indicar que la suma debe hacerse primero, debes usar paréntesis:
(5 3) 7 8 7 56
LECCIÓN 1.2
Sigue las reglas 19
E J E M P L O
Estos cálculos siguen el orden de las operaciones:
15 3 4 15 12 3
1 4 (2 3) 1 4 5 1 20 21
3621331615
Otra convención matemática guarda relación con los símbolos que se usan
para indicar multiplicación. Ya conoces el símbolo . Un asterisco o un punto
pequeño entre dos números también indica esta operación. Así, cada una de
las siguientes expresiones significa “tres por cuatro”:
34
34
Serie de problemas
3*4
D
Usa el orden de las operaciones en los Ejercicios 1 al 4 para averiguar si las
expresiones son iguales.
1.
846
(8 4) 6
8 (4 6)
2.
2846
(2 8) (4 6)
2 (8 4) 6
3.
(10 4) 2
10 (4 * 2)
10 4 * 2
4.
24 6 * 2
(24 6) 2
24 (6 2)
5.
Inventa una expresión matemática con un mínimo de tres operaciones
y calcula su valor. Luego escríbela en una hoja de papel aparte e
intercambia expresiones con tu compañero. Evalúa la expresión de
tu compañero y haz que éste revise tu resultado.
6.
La mayoría de las calculadoras modernas siguen el orden de las
operaciones.
a.
Usa tu calculadora para calcular 2 3 4. ¿Cuál es el resultado?
¿Siguió tu calculadora el orden de las operaciones?
b.
Usa tu calculadora para calcular 1 4 2 3. ¿Cuál es el
resultado? ¿Siguió tu calculadora el orden de las operaciones?
Serie de problemas
E
El Sr. Conte es usuario de electricidad y gas de la Smallville Power Company.
La empresa usa la siguiente regla para calcular la cuenta de un cliente:
Cóbrese 12.05 centavos por kilovatio-hora (kvh) de electricidad consumido y
65.7 centavos por termia de gas usada.
1.
Este mes la casa del Sr. Conte consumió 726 unidades de electricidad
y 51.7 unidades de gas. ¿Cuánto es el monto de su cuenta? Da tu
respuesta en dólares y centavos.
2.
Al descomponerse el sistema de computadoras Smallville Power, los
empleados tuvieron que usar calculadoras para determinar los montos de
las cuentas. Las calculadoras no usan el orden de las operaciones, sino
que evalúan las operaciones en el orden en que éstas se ingresan. Para
calcular el monto de la cuenta del Sr. Conte, el empleado ingresó la
expresión siguiente. ¿Dará esto el resultado correcto? ¿Dará menos?
¿Más? Explica.
726 12.05 51.7 65.7
3.
Supón que, en cambio, el empleado ingresó la expresión siguiente.
¿Dará esto el resultado correcto? ¿Dará más? ¿Menos? Explica.
12.05 726 65.7 51.7
LECCIÓN 1.2
Sigue las reglas 21
La barra de fracciones se usa para indicar división. Por ejemplo, las siguientes
expresiones significan “divide 10 entre 2” o “10 dividido entre 2”:
120
10 2
La barra de fracciones se usa a veces en expresiones más complicadas:
2 3
44
En expresiones como ésta, la barra no sólo significa “divide”, sino que
también sirve de símbolo de agrupamiento, agrupando los números y
operaciones encima de la barra y los que están debajo de ella. Es como si las
expresiones encima y debajo de la barra estuvieran encerradas en paréntesis.
2 3
La expresión 4 4 significa “Suma 2 y 3, luego suma 4 y 4 y divide los
resultados”, de modo que la expresión es 58, ó 0.625.
Esta lista más completa del orden de las operaciones incluye la barra de
fracciones:
• Evalúa las expresiones dentro de paréntesis, así como las que aparecen
encima y debajo de barras de fracciones.
• Multiplica y divide de izquierda a derecha.
• Suma y resta de izquierda a derecha.
Serie de problemas
F
Calcula el valor de cada expresión.
2 2
1. 11
3.
2.
2
2
11
Tu calculadora no tiene la barra de fracciones como símbolo de
agrupamiento, así que debes tener cuidado al ingresar expresiones
2 2
como 1 1.
a.
b.
¿Qué resultado da tu calculadora si ingresas 2 2/1 1 (ó
2 2 1 1)? ¿Puedes explicar por qué obtuviste tal resultado?
2 2
¿Qué deberías ingresar para evaluar 1 1?
&
Comparte
resume
¿Por qué es importante aprender las convenciones matemáticas como, por
ejemplo, el orden de las operaciones?
&
aplica
Practica
Usa el primer término y la regla dada para generar una sucesión. Determina si
tu sucesión es la única posible. Si no es así, da otra sucesión que cumpla con
la regla.
1.
Primer término: 40
Regla: Divide el término anterior entre 2.
2.
Primer término:
Regla: Dibuja una figura con un lado más que los de la anterior.
3.
Comenzando con una figura geométrica cerrada cuyos lados son
segmentos de recta, puedes usar esta regla para crear un diseño.
Ubica el punto medio (punto central) de cada lado de la figura. Únelos
consecutivamente, obteniendo así una nueva figura. (Tendrá la misma
forma que la original, sólo que más pequeña.)
a.
Copia este cuadrado y aplica la regla tres veces, empezando cada vez
con la figura anterior.
b.
Copia este triángulo y aplica la regla tres veces, empezando cada vez
con la figura anterior.
c.
Dibuja una figura y aplica tres veces la regla.
4. Medición
Luis está preparando un postre que requiere tres huevos por
taza de harina.
a.
¿Cuántos huevos necesita para tres tazas de harina?
b.
Para una fiesta Luis preparó una tanda grande de su postre en que usó
una docena de huevos. ¿Cuánta harina usó?
LECCIÓN 1.2
Sigue las reglas 23
5. Economía
Althea usa esta regla para calcular lo que cobra por cuidar
niños:
Cobro $5 por hora por un niño, más $2 por hora por cada niño adicional.
a.
El sábado pasado cuidó a los mellizos Newsome durante 3 horas.
¿Cuánto dinero ganó? Explica cómo calculaste la respuesta.
b.
La Sra. Foster la empleó para que cuidara a sus tres niños durante 2
horas. ¿Cuánto va a cobrarle Althea?
c.
¿En qué caso gana más Althea, en cuidar dos niños durante 3 horas o
tres niños durante 2 horas?
d.
Althea espera ganar $25 el fin de semana venidero para comprarle un
regalo de cumpleaños a su hermana. Describe dos maneras de que
ganase por lo menos $25 cuidando niños.
6. Medición
Puedes convertir las velocidades de kilómetros por hora a
millas por hora usando esta regla:
Multiplica por 0.62 el número de kilómetros por hora.
a.
Convierte en millas por hora cada velocidad de la siguiente tabla.
Kilómetros
por hora
50
60
70
80
90
100
110
120
b.
Millas por
hora
Como parte de su trabajo, el Sr. López debe manejar mucho en
Canadá. Él usa la siguiente regla para aproximar la velocidad en millas
por hora a partir de una velocidad dada en kilómetros por hora.
Divídase el número de kilómetros por hora entre 2 y súmese 10.
Usa esta regla para convertir en millas por hora aproximadas cada
velocidad de la tabla anterior.
c.
¿Para cuáles valores en kilómetros por hora de las tablas están más
cercanos los resultados de ambas reglas?
d.
¿Para cuáles valores en kilómetros por hora de la tabla, la regla del
Sr. López da un valor demasiado elevado?
Evalúa cada expresión.
(3 3) (2 2)
7626
9. (3 3) 2 2
10. 11 5 2
Decide si se evaluó correctamente cada expresión al usar el orden de las
operaciones. Si no es así, da el resultado correcto.
7.
&
amplía
Conecta
3322
8.
11.
10 (1 5) 7 8
13.
(16 4 2) (14 2) 5 14. 100 33 2 (4 8) 22
15.
Se puede producir una sucesión numérica al aplicar la siguiente regla:
12.
54 27 3 45
Si el número es par, obtén el número siguiente dividiendo entre 2. Si el
número es impar, obtén el número siguiente multiplicando por 3 y luego
sumando 1.
a.
Usa esta regla para producir una sucesión cuyo primer término sea 1.
Describe el patrón de la misma.
b.
Ahora usa la regla para producir una sucesión cuyo primer término
sea 8. Sigue hallando nuevos términos hasta que veas un patrón en la
sucesión. Describe lo que pasa.
c.
Usa la regla para generar dos sucesiones más. Sigue hallando nuevos
términos hasta que veas un patrón.
d.
Usando tu calculadora y la regla, produce una sucesión cuyo primer
término sea 331. Nuevamente, sigue hallando nuevos términos hasta
que veas un patrón.
e.
Describe lo que descubriste en las Partes a hasta la d.
LECCIÓN 1.2
Sigue las reglas 25
16. Medición
Una milla equivale a unos 1.6 kilómetros.
a.
¿Cuál es la distancia mayor, 1 milla ó 1 kilómetro?
b.
Los Ángeles y Nueva York están separadas por unas 2460 millas.
¿Cuánto es esto en kilómetros?
c.
Si la velocidad máxima de una carretera en Canadá es de 50 kilómetros por hora, ¿cuánto es esto en millas por hora?
d.
En la Investigación 2 aprendiste que un rayo está a 1 milla de
distancia por cada 5 segundos que cuentas entre su resplandor y el
trueno. ¿Cuánto se tarda el trueno en llegar a tus oídos si un rayo
cae a 1 kilómetro de distancia?
17. Economía
Las llamadas desde un
teléfono público se pagan según esta
regla:
Cóbrese 25 centavos por llamada
por los tres primeros minutos, más
10 centavos por cada 3 minutos o
fracción adicionales.
a.
¿Cuánto te costaría hacer una
llamada de 10 minutos?
b.
Si tienes $1.15 en monedas,
¿cuánto tiempo puedes hablar en
una sola llamada?
En los Ejercicios 18 al 21, decide si cada regla es
• una convención o
• una norma que no puede cambiarse.
En t u s
propias
palabras
Explica la convención matemática
que te permite leer
un número entero
de tres dígitos
como 645 y saber
que es distinto
de un número
como 546.
18.
Nueve por un número es igual a la diferencia entre 10 veces el número
menos el número.
19.
En una expresión sin paréntesis, como 2 3 4 5 6, que sólo
tiene sumas y productos, empieza multiplicando.
20.
437
21.
Usa un punto decimal para separar las partes entera y fraccionaria de un
número.
22.
Este cálculo da el mismo resultado, ya sea que se ejecute correctamente
(según el orden de las operaciones) o de izquierda a derecha.
16 6 2 15 5
Repaso
mixto
a.
Calcula el valor de la expresión de ambas maneras, mostrando así
que los resultados son los mismos.
b.
Inventa otro expresión que no deba evaluarse de izquierda a derecha,
pero que dé el resultado correcto si se evalúa de dicha manera.
Calcula cada suma o resta sin calculadora.
23.
73.97 12.43
24.
4.642 2.1
25.
37.13 16.4
26.
194.5 73.94
27.
54.32 45.68
28.
73.7654 5
29.
Lucita dibujó este cuadriculado:
30.
a.
¿Qué fracción de los cuadrados tiene puntos?
b.
¿Qué porcentaje de los cuadrados tiene rayas?
c.
¿Qué fracción de los cuadrados tiene corazones?
d.
Describe cómo podría Lucita llenar los cuadrados en blanco para
crear un cuadriculado en que el 50% de los cuadrados tenga puntos,
1 tenga corazones y un 25% tenga rayas.
4
e.
Describe cómo podría Lucita llenar los cuadrados en blanco para
crear un cuadriculado en que 23 de los cuadrados tenga el mismo
patrón.
¿Qué número en la recta numérica equidista entre 1.8 y 3.2?
LECCIÓN 1.2
Sigue las reglas 27
Escribe reglas
para patrones
Los números de página de los periódicos siguen un patrón. Esta actividad te
ayudará a descubrirlo.
M AT E R I A L E S
una sección de
un periódico
Explora
Cada persona de tu grupo debe elegir una hoja de la misma sección de
un periódico.
Observa que tu hoja contiene cuatro páginas impresas en ambos lados.
Anota el par de números de página en un lado de la hoja y el otro par en
el otro lado.
Compara los dos números de página de un lado de tu hoja con los dos
del otro lado. Describe cualquier patrón que observes.
Ahora compara tus dos pares de números con los de otros alumnos
de tu grupo. Describe cualquier patrón que satisfaga todos los pares
de números.
Ahora trabaja en grupo para resolver este problema.
Una sección de un periódico tiene 48 páginas (numeradas del 1 al 48).
¿Cuánto suman todos los números de página de la sección?
Explica cómo calculaste la respuesta. (Trata de encontrarla sin sumar los
números.)
Investigación 1
Descubre reglas
Una forma entretenida de practicar cómo identificar patrones es el juego
¿Cuál es mi regla? En éste, uno de los jugadores piensa una regla numérica y
los otros tratan de adivinarla.
E J E M P L O
Hannah, Jahmal y Miguel jugaban a ¿Cuál es mi regla?
Ok, yo tengo mi
regla. Dame un
número, Jahmal.
La regla es
"suma 3."
2 da 5.
2
Ok, Miguel, con tu
regla, ¿qué resultado daría 11?
11 da 14.
Yo sé la
regla.
¡No! Con mi
regla, 11 da
23! Inténtalo de nuevo.
¡Lo tengo!
¿Qué resultado da 4?
9
Bueno, ¿qué daría
6 con tu regla,
Jahmal?
Multiplica por
¡SÍ! entonces,
¿cuál es mi regla? 2 y suma 1.
?!
Bien. Mi regla
es duplica y
suma 1: lo
mismo
6 da 13.
Ahora tendrás oportunidad de jugar a ¿Cuál es mi regla? A medida que vayas
jugando, trata de idear estrategias para descubrirla rápidamente.
LECCIÓN 1.3
Escribe reglas para patrones 29
Serie de problemas
1.
A
Con tu grupo, juega a ¿Cuál es mi regla? por lo menos seis veces.
Túrnense para escribir reglas y hagan lo siguiente en cada turno:
• Anoten el nombre de la persona que ideó la regla.
• Hagan una tabla que muestre cada número que los alumnos dan y el
resultado que da la regla para tales números.
• Anota la regla una vez que un jugador haya dado con ella.
2.
Trabaja en grupo para escribir una lista de estrategias para el juego
¿Cuál es mi regla?
En este juego se trata de adivinar una regla que ideó otro alumno. Ahora vas a
jugarlo solo.
Para esto, imagina que una máquina ha recibido ciertos números de entrada,
ha aplicado una regla a cada uno de ellos y te ha dado ciertos números de
salida. Tu tarea consiste en adivinar la regla que usó la máquina.
Salida
Entrada
Regla
&
Piensa comenta
He aquí las salidas que una máquina dio para las entradas 6, 3, 10 y 11.
¿Cuál es la regla?
20
6
11
3
?
?
32
10
?
35
11
?
Serie de problemas
B
Cada tabla muestra las salidas que cierta máquina produjo para las entradas
dadas. Descubre una regla que la máquina puede haber usado. Comprueba
que tu regla funciona con todas las entradas dadas.
1.
Entrada
Salida
3
2
5
4
8
7
4
3
1
0
2.
Entrada
Salida
4
2
7
3.5
10
5
3
1.5
0
0
3.
Entrada
Salida
10
23
6
15
3
9
4
11
0
3
100
203
&
Comparte
resume
1. En
un juego de ¿Cuál es mi regla?, la primera clave fue “2 da 4”.
Escribe por lo menos dos reglas que satisfagan esta clave.
2. La
siguiente clave del mismo juego fue “3 da 9”. Escribe por lo
menos dos reglas que satisfagan esta clave. ¿Funciona también para
esta clave alguna de las reglas que anotaste para la primera?
3. La
tercera clave fue “10 da 100”. Da una regla que satisfaga las tres
claves. ¿Cómo la hallaste?
4.
Describe algunas estrategias para encontrar la regla de una tabla de
entrada/salida.
LECCIÓN 1.3
Investigación 2
Relaciona números
En la Investigación 1, encontraste reglas que relacionan números de entrada y
de salida. Ahora vas a escribir reglas que relacionan pares de números en un
patrón hecho de mondadientes. Descubrirás que una regla te permite calcular
el número de mondadientes en cualquier parte del patrón, sin necesidad de
tener que generar cada paso anterior.
C
M AT E R I A L E S
Serie de problemas
mondadientes
(opcional)
Examina esta sucesión de figuras hechas con mondadientes.
Término 1
Término 2
Término 3
En esta sucesión, hay 4 mondadientes en
el primer término, 7 en el segundo y 10
en el tercero.
Término 4
Término Mondadientes
1
4
2
7
3
10
1.
¿Cuántos mondadientes hay en el
cuarto término? Si continuase este
patrón, ¿cuántos mondadientes
necesitarías en el quinto término? ¿En el sexto? ¿En el décimo?
2.
Tomaría mucho tiempo hacer o dibujar el centésimo término. Describe
un atajo para calcular el número de mondadientes en dicho término.
3.
¿Podrías usar un atajo para calcular el número de mondadientes en
cualquier término de la sucesión? Escribe una regla para calcular el
número de mondadientes en un término cualquiera y explica por qué
funciona. (Ayuda: No basta mostrar que tu regla funciona en algunos
casos particulares. Trata de explicar por qué funciona basándote en la
forma en que se construyen los términos.)
La Srta. Washington les pidió a sus alumnos que escribieran informes sobre
su solución de la Serie de problemas C.
E J E M P L O
He aquí el informe de Rosita, Conor y Marcus.
Informe de Rosita, Conor y Marcus
El primer término es un cuadrado con 4 mondadientes. Se agregan tres
mondadientes más a cada término, formando otro cuadrado. Así, el
segundo término tiene 4 más un grupo de 3 y el tercer término tiene
4 más dos grupos de 3, etc.
Término 1
Término 2
Término 3
Comprobamos nuestra regla con el octavo término: Debe tener
4 mondadientes más 7 grupos de 3, es decir, 4 + 7 x 3 = 25
mondadientes en total. Al dibujarla, la figura tiene 25 mondadientes.
Término 8
Dimos con dos maneras de escribir nuestra regla.
Una es:
Para calcular el número de mondadientes en cualquier término,
comiéncese con 4 mondadientes y añádase el índice del término
menos 1, por 3.
Una forma más breve es:
número de mondadientes = 4 + (índice del término – 1) x 3
LECCIÓN 1.3
Otro grupo halló su regla de otra forma.
E J E M P L O
He aquí el informe de Luke, Althea y Miguel.
Informe de Luke, Althea y Miguel.
Hicimos una tabla en que mostramos el número de mondadientes en cada término.
1
4
2
7
3
10
4
13
La sucesión de la segunda columna es 4, 7, 10, 13, . . . . De un término al siguiente,
los números aumentan en 3, pero llevaría mucho tiempo hacer esto hasta el
centésimo término, así que buscamos una relación entre el índice del término y el
número de mondadientes.
Supusimos que la regla era “agréguese 3 al índice del término”, pero eso sólo
funciona en la primera fila (1 + 3 = 4), no funciona en la segunda (2 + 3 = 7).
Entonces notamos que la regla “multiplíquese el índice del término por 3
y súmese 1” funciona para los dos primeras filas y lo comprobamos para
las otras dos.
Trazamos esquemas para mostrar por qué funciona:
Término 1 Término 2
Término 3
Término 4
Podemos ver que nuestra regla funciona con cualquier término porque cada
nuevo término añade 3 mondadientes más y sobra siempre un mondadientes.
En la Serie de problemas D vas a practicar cómo escribir reglas de sucesiones
y a explicar por qué funcionan. Tal vez te sea útil construir los patrones con
mondadientes.
D
M AT E R I A L E S
Serie de problemas
mondadientes
(opcional)
Haz las Partes a hasta la d para cada sucesión de figuras.
a.
Calcula el número de mondadientes
en cada uno de los cinco primeros
términos. Anota tus resultados en
una tabla.
b.
Determina el número de mondadientes
en el centésimo término.
c.
Escribe una regla que relacione el
número de mondadientes con el índice
del término. Usa tu regla para predecir el número de mondadientes en
los términos sexto y séptimo, y compruébala construyendo o dibujando
dichos términos. Si tu regla no funciona, revísala hasta que funcione.
d.
Explica por qué tu regla funcionará con cualquier índice.
1
2
3
4
5
1.
Término 1
Término 2
Término 3
2.
Término 1
Término 2
Término 3
3.
Término 1
Término 2
Término 3
&
Comparte
resume
Caroline preguntó: “¿Cómo puedo saber si una regla de una sucesión
de mondadientes es la correcta a menos que la compruebe para cada
término?” Escribe una o dos oraciones para responderle a Caroline.
LECCIÓN 1.3
&
aplica
Practica
Encuentra una regla que funcione para todos los pares de cada tabla de
entrada/salida y úsala para hallar las salidas que faltan.
1.
Entrada
Salida
0
4
1
5
2
6
5
9
8
12
2.
Entrada
Salida
3
1
24
8
36
12
12
4
45
60
3.
Entrada
Salida
2
0
10
4
16
7
22
10
32
44
4.
Entrada
Salida
1
9
2
19
3
29
4
39
6
10
5.
Considera esta sucesión de figuras.
Término 1
Término 3
a.
Bosqueja los dos términos siguientes de la sucesión.
b.
Completa esta tabla que muestra el número de mondadientes en
cada término.
Término
Mondadientes
c.
Término 2
1
6
2
3
4
5
Predice el número de mondadientes en el centésimo término.
6.
Tanto Conor como Althea dieron con una regla para predecir el número
de mondadientes en cada término de esta sucesión:
Término 1
Término 2
Término 3
La regla de Conor fue “Súmese 1 al índice del término y luego
multiplíquese por 5 lo que se obtenga”.
La regla de Althea fue “Multiplíquese por 5 el índice del término y
luego súmese 5”.
7.
a.
¿Cumplen ambas reglas con los tres términos dados?
b.
Usa ambas reglas para predecir el número de mondadientes del
centésimo término. ¿Dan ambas el mismo resultado?
c.
Escoge una de las reglas y explica por qué funciona.
Esta sucesión de figuras está hecha de estrellas:
✮✮
✮✮
✮✮
✮✮
✮✮
✮✮
Término 1 Término 2 Término 3
✮✮
✮✮
✮✮
✮✮
Término 4
a.
Calcula el número de estrellas en cada uno de los cinco primeros términos y anota tus resultados en una tabla.
b.
¿Cuántas estrellas hay en el centésimo término?
c.
Escribe una regla que relacione el número de estrellas con el índice
del término. Úsala para predecir el número de estrellas en los
términos sexto y séptimo, y comprueba tus predicciones
construyendo o dibujando dichos términos. Si tu regla no funciona,
revísala hasta que funcione.
d.
Explica por qué tu regla funciona para cualquier índice.
LECCIÓN 1.3
8.
&
amplía
Conecta
9.
Esta sucesión de figuras está hecha de flores:
Término 2
Término 3
Calcula el número de flores en cada uno de los cinco primeros
términos y anota tus resultados en una tabla.
b.
¿Cuántas flores hay en el centésimo término?
c.
Escribe una regla que relacione el número de flores con el índice del
término. Úsala para predecir el número de flores en los términos
sexto y séptimo, y comprueba tus predicciones construyendo o dibujando dichos términos. Si tu regla no funciona, revísala hasta que
funcione.
d.
Explica por qué tu regla funciona para cualquier índice.
No todas las tablas entrada/salida constan de números. En esta tabla,
las entradas son palabras y las salidas son letras.
Alice
i
Justin
s
Kiran
r
Marcus
r
Jimmy
Sarah
a.
Completa las dos últimas columnas de la tabla.
b.
¿Cuál es la salida de tu nombre?
c.
Describe una regla para hallar la letra de salida de cualquier palabra
de entrada.
d.
¿Hay palabras de entrada que no poseen salidas? Explica.
En esta tabla de entrada/salida, las entradas son números y las salidas
son letras.
Entrada
Salida
Término 1
a.
Entrada
Salida
10.
❀❀
❀❀
❀❀❀
❀❀❀
❀❀❀
❀❀❀❀
❀❀❀❀
❀❀❀❀
❀❀❀❀
1
O
2
T
3
T
4
F
5
F
6
S
a.
¿Cuáles serían las salidas de las entradas 7 y 8?
b.
Describe una regla para hallar la letra de salida de cualquier número
de entrada.
11.
Datos
de
interés
Un anagrama es una
palabra o frase que se
obtiene al transponer
las letras de otra
palabra o frase. Los
anagramas estuvieron
muy en boga en la
Francia del siglo
XVII. El rey Luis XIII
tenía incluso un
anagramatista real
de jornada completa
que los inventaba para
entretener al rey y
a sus invitados.
Rosita estaba tratando de hallar una relación entre el número de letras
de una palabra y el de las distintas maneras de disponer sus letras. Sólo
consideró palabras en que todas las letras son diferentes.
Número de
letras
1
2
3
a.
Encuentra el número de arreglos de una palabra de cuatro letras
distintas. (Como ejemplo podrías usar MATH, ya que tiene cuatro
letras distintas.)
b. Desafío
Predice el número de arreglos de cinco letras distintas.
Explica cómo hallaste tu respuesta.
12. Ciencia biológica
Los gansos vuelan a menudo en configuraciones
en forma de V. Aquí se muestra una sucesión de dichos patrones.
Término 1
Datos
de
interés
Ejemplo
A
OF
CAT
Número de
arreglos
1 (A)
2 (OF, FO)
6 (CAT, CTA, ACT, ATC, TAC, TCA)
Término 2
Término 3
a.
Dibuja los términos cuarto y quinto. Usa puntos u otras figuras para
representar cada ave.
b.
¿Cuántos gansos hay en el centésimo término?
c.
Busca una regla que relacione el número de gansos con el índice.
d.
¿Puede una de estas configuraciones tener exactamente 41,390,132
gansos? Explica.
El volar en una configuración en forma de V es
una manera eficiente de
desplazarse. Conforme
cada ganso bate sus
alas, genera una “fuerza
de levantamiento” para
las aves detrás suyo.
Cuando el ganso líder
se cansa, abandona su
posición, permitiendo
que otra ave tome su
lugar.
LECCIÓN 1.3
13.
Considera esta sucesión de estrellas:
En t u s
propias
palabras
En las dos primeras
lecciones de este
capítulo, estudiaste numerosos
patrones. En esta
lección, jugaste
¿En qué se parece
el buscar la regla
de un patrón de
mondadientes a la
búsqueda de una
regla en el juego
✮✮
✮✮
✮✮
✮✮
Término 1 Término 2 Término 3
Término 4
¿Podría esta sucesión tener un término con 12,239 estrellas? Explica.
14.
Puedes generar una sucesión de cuadrados de tamaño creciente al
disponer copias idénticas de un cuadradito. Aquí se muestran los tres
primeros términos de tal sucesión:
Término 1
15.
Término 2
Término 3
a.
Dibuja los dos términos siguientes.
b.
El número de cuadraditos en cada término de esta sucesión se llama
número cuadrado. El primero es 1, el segundo es 4, y así sucesivamente. Da los números cuadrados tercero, cuarto y quinto.
c.
Sin trazar figura alguna, halla el número cuadrado vigésimo quinto.
d.
Escribe una regla para calcular el número cuadrado de cualquier término de la sucesión.
Puedes generar una sucesión de triángulos de tamaño creciente al
disponer copias idénticas de un triangulito. Aquí se muestran los tres
primeros términos de tal sucesión:
Término 1
✮✮
✮✮
✮✮
✮✮
✮✮
✮✮
Término 2
Término 3
Datos
de
interés
Los números triangulares aparecen en una
de las diagonales del
triángulo de Pascal.
¿Puedes descubrirlos?
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
Dibuja los dos términos siguientes.
b.
¿Cuántos triangulitos negros y blancos hay en el primer término?
¿En el segundo? ¿En el tercero?
c.
Compara el número de triangulitos en cada término de esta sucesión
con el del número de cuadrados en cada término de la sucesión del
Ejercicio 14. ¿Qué observas?
d.
El número de triangulitos blancos en los términos de esta sucesión se
llaman números triangulares. El primero es 1, el segundo es 3, etc.
¿Cuáles son los números triangulares tercero, cuarto y quinto?
e.
Trata de calcular el vigésimo número triangular sin trazar figura
alguna.
f. Reto
Escribe una regla para encontrar el número triangular de
cualquier término de la sucesión.
1
4
a.
1
Repaso
mixto
Calcula cada suma o resta.
3
1
13
13
1
1
1
6
16. 17. 18. 7
7
32
32
2
4
4
32
9
6
1
2
5
2
3
1
1
19. 20. 21. 5
5
15
7
7
7
15
15
Ciencia terrestre Los símbolos en los Ejercicios 22 al 24 se usan en
meteorología, el estudio del estado del tiempo. Copia cada símbolo y traza
sus ejes de simetría.
22.
aguaceros torrenciales
23.
24.
cellisca
huracán
Recuerda
Un eje de simetría o
una línea de reflexión
divide una figura en
dos mitades de imágenes especulares. Si
doblas una figura
siguiendo un eje de
simetría, las dos
mitades se corresponden exactamente.
25.
14 12 2
26.
5 10 5 2
27.
16 16 4 32
Da los cuatro términos siguientes de cada sucesión.
28.
64, 32, 16, 8, . . .
29.
LECCIÓN 1.3
4, 6, 5, 7, 6, 8, 7, . . .
Patrones
geométricos
Has examinado patrones a lo largo de todo este capítulo. Los has visto en el
triángulo de Pascal, en sucesiones, en diseños con mondadientes y en la vida
cotidiana. Ahora los vas a estudiar en geometría.
Explora
¿Cuántos cuadrados hay en este diseño?
(Ayuda: ¡Hay más de 16!)
Investigación 1
polígono
Polígonos
Los polígonos son figuras geométricas planas (bidimensionales) que cumplen
con lo siguiente:
• Están compuestos de segmentos de recta.
• Cada segmento interseca exactamente otros dos segmentos y sólo en
sus extremos.
Estas figuras son polígonos:
Éstas no lo son:
&
Piensa comenta
Mira las figuras anteriores que no son polígonos. Explica por qué cada
una de éstas no cumple con la definición de polígono.
Datos
de
interés
En griego, poli significa
“mucho”, “numeroso” y
gono, “ángulo”. Salvo en
el caso de cuadrilátero,
que en latín significa
“cuatro lados”, los
nombres de los
polígonos indican el
número de ángulos.
Por ejemplo, pentágono
significa “cinco ángulos”
y octágono significa
“ocho ángulos”.
Los polígonos se clasifican según el número de lados que tienen. Es probable
que ya hayas oído muchos de estos nombres.
Nombre
Lados
Triángulo
3
Cuadrilátero
4
Pentágono
5
Hexágono
6
Heptágono
7
Octágono
8
Enágono
9
Decágono
10
Ejemplos
LECCIÓN 1.4
Patrones geométricos 43
Los polígonos con más de 10 lados no llevan nombres especiales, salvo el de
12 lados que se llama dodecágono. Un polígono de 11 lados se llama 11ágono, un polígono de 13 lados es un 13-ágono, etc. Cada uno de estos polígonos es un 17-ágono.
vértice
Cada esquina de un polígono, donde dos lados se intersecan, se llama vértice.
Éstos se rotulan con letras mayúsculas para facilitar su identificación.
E J E M P L O
Esta figura contiene dos triángulos y un cuadrilátero:
B
C
A
D
Para identificar cada uno de los polígonos de la figura, enumera sus
vértices a medida que te mueves en torno a él en dirección de las
manecillas del reloj o en dirección opuesta. Uno de los nombres del
triángulo verde es ABC. Otros nombres son también posibles, como
BCA y ACB. Uno de los nombres del triángulo blanco es ADC.
Al cuadrilátero de la figura se le podría dar el nombre de cuadrilátero
ABCD, BCDA, DCBA o DABC. Todos estos nombres enumeran los
vértices conforme te mueves en torno al cuadrilátero. Pero el nombre
ACBD es incorrecto.
Serie de problemas
A
Ahora vas a buscar polígonos contenidos en figuras dadas. Cada figura tiene
un puntaje total que se calcula sumando
• 3 puntos por cada triángulo,
• 4 puntos por cada cuadrilátero,
• 5 puntos por cada pentágono y
• 6 puntos por cada hexágono.
A medida que avances, trata de hallar una manera sistemática para enumerar
todos los polígonos de cada figura. Asegúrate de darle un solo nombre a cada
polígono.
Anota tus resultados para cada ejercicio en una tabla como la siguiente,
correspondiente al Ejercicio 1.
Polígono
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Nombres
ABC, ADC
Puntaje
6
Puntaje total
1. B
C
2. X
Y
V
A
3. M
S
L
5.
D
P
Q
R
N
W
4. R
U
S
V
T
O
Z
Q
W
T
Inventa ahora tu propia figura, con un puntaje mínimo de 30 puntos.
Rotula sus vértices y enumera los triángulos, cuadriláteros, pentágonos
y hexágonos en ella.
LECCIÓN 1.4
&
Comparte
resume
1. Traza
dos polígonos y dos figuras que no lo sean. Explica por qué
las figuras que no lo son no cumplen con la definición de polígono.
2.
Investigación 2
En la Serie de problemas A tenías que hallar formas de enumerar todos
los polígonos en una figura sin repetirlos. Describe la estrategia que
usaste.
Ángulos
Tal vez ya tengas una buena idea de lo que es un ángulo. Puedes imaginarlo
como una rotación (o vuelta) en torno a un punto, como un brazo que se
dobla por el codo o dos tableros asegurados con bisagras que se cierran al
comienzo de una escena en las películas.
También podrías imaginar un ángulo como dos lados que se intersecan en un
punto, como las agujas de un reloj o las aspas de un molino de viento.
O puedes imaginártelo como una cuña, como un pedazo de queso o una tajada de pizza.
ángulo
Matemáticamente, un ángulo se define como dos rayos con un extremo
común. Un rayo es recto, como las rectas. Tiene un extremo en donde
comienza y se extiende indefinidamente en la otra dirección.
R
o
ay
2
Rayo 1
Los ángulos se pueden medir en grados. A continuación se dan algunos ángulos, cuyas medidas quizás conozcas.
Rayo 2
• El ángulo de uno de los vértices de un cuadrado mide 90°. Puedes
imaginarlo como una rotación de 14 de círculo.
90º
Rayo 1
Datos
de
interés
En el snowboarding, el
monopatín y otros
deportes, el término
“360” se usa para
indicar una vuelta
completa y “180”
para indicar una
media vuelta.
• Dos rayos que apuntan en direcciones opuestas forman un ángulo de
180°. Éste es una rotación de 12 de círculo.
180º
Rayo 2
Rayo 1
• Un ángulo de 360° es una rotación completa alrededor de un círculo.
En dicho ángulo, los rayos apuntan en la misma dirección.
360º
Rayo 1, Rayo 2
Puedes usar los ángulos de 90°, 180° y 360° para estimar la medida de otros
ángulos. Por ejemplo, el ángulo siguiente mide alrededor de un tercio de un
ángulo de 90°, de modo que su medida es de unos 30°.
LECCIÓN 1.4
&
Piensa comenta
Algunas copias del polígono de la derecha
se han dispuesto en forma de estrella.
¿Cuánto mide el ángulo marcado en la estrella? ¿Cómo lo sabes?
Serie de problemas
M AT E R I A L E S
polígonos de papel o
bloques de patrones
B
Se te darán varias copias de cada uno de estos polígonos. Tu tarea consiste en
calcular las medidas de los ángulos de cada polígono.
W
F
X
G
E
D
C
A
V
B
U
Y
T
O
L
N
R
M
S
K
H
J
Q
I
P
Para hacer esto, puedes usar los ángulos de 90°, 180° y 360° como guía y
comparar los ángulos de un polígono con los de otro.
Tus respuestas consistirán en anotar cada vértice, del A al Y, junto con la
medida del ángulo correspondiente. (Observa que en muchos de los polígonos,
uno o más ángulos son idénticos, así que sólo necesitas calcular la medida de
uno de ellos.)
Luego usarás las medidas angulares que encontraste en este problema para
estimar las de otros ángulos.
Serie de problemas
C
Estima cada medida angular. Para lograr esto, puedes comparar los ángulos de
90°, 180° y 360° con los ángulos de los polígonos de la Serie de problemas B,
explicando cómo obtuviste cada estimación.
1.
2.
5.
3.
6.
4.
7.
&
Comparte
resume
1. Describe
2.
cómo puedes estimar la medida de un ángulo.
Marcus sostiene que estos ángulos miden lo mismo. Hannah afirma
que el ángulo 2 es mayor que el ángulo 1. ¿Quién tiene razón? Explica.
Ángulo 1
Ángulo 2
LECCIÓN 1.4
Investigación 3
Clasifica polígonos
Los polígonos pueden dividirse en grupos con ciertas propiedades.
polígono cóncavo
En los polígonos cóncavos, parece como si por lo menos uno de sus lados se
hubiera “desmoronado”, o tuviera una “abolladura”. Es cóncavo cualquier
polígono que posee un ángulo mayor que 180°. Estos son cóncavos:
Estos polígonos no son cóncavos. A veces, tales polígonos se llaman
polígonos convexos.
polígono regular
Los polígonos regulares tienen lados que tienen la misma longitud y ángulos
del igual tamaño. Estos polígonos son regulares:
Estos polígonos no son regulares. A veces se les llama irregulares.
eje de simetría
Un polígono tiene simetría lineal o de reflexión si se puede doblar por la
mitad a lo largo de una recta de modo que ambas mitades se correspondan
exactamente. La “línea del doblez” se llama eje de simetría.
Los siguientes polígonos exhiben simetría lineal. Los ejes de simetría se
muestran mediante líneas discontinuas. Observa que tres de los polígonos
poseen más de un eje de simetría.
Estos polígonos no poseen simetría lineal alguna:
&
Piensa comenta
Considera estos polígonos.
W
X
Z
Y
Este esquema muestra cómo estos cuatro polígonos pueden agruparse
bajo las categorías cóncavo y no cóncavo:
W
Z
Y
X
Cóncavo
No cóncavo
Ahora haz un esquema en que muestres cómo pueden estos polígonos
agruparse bajo las categorías con simetría lineal y no cóncavo. Usa un
círculo para representar cada categoría.
LECCIÓN 1.4
D
M AT E R I A L E S
Serie de problemas
• conjunto de
polígonos y rótulos
de categorías
• diagrama de Venn
Ahora vas a jugar en grupo un juego de clasificación de polígonos. Tu grupo
necesitará un conjunto de polígonos, rótulos de categorías y un diagrama de
tres círculos grandes.
Estos son los polígonos a usarse en el juego:
A
B
F
G
K
L
C
H
M
Q
P
D
E
I
J
N
O
R
Estos son los rótulos de las categorías:
Regular
Irregular
Cuadrilátero
No es un cuadrilátero
Con simetría lineal
Cóncavo
No cóncavo
Pentágono
No es un pentágono
Sin simetría lineal
Y éste es el diagrama de Venn:
Recuerda
Un diagrama de Venn
usa círculos para
representar relaciones
entre conjuntos de
objetos.
Triángulo
No es un triángulo
Hexágono
No es un hexágono
1.
Como preparación para el juego, coloca los rótulos Regular, Cóncavo y
Triángulo al lado de cada círculo del diagrama (uno por círculo).
Trabaja en grupo para situar cada polígono en la región correcta del diagrama.
Para llevar la cuenta de tu trabajo, bosqueja el diagrama de tres círculos,
rotula cada círculo y anota los polígonos que situaste en cada región del
diagrama. (Sólo anota las letras; no necesitas trazar los polígonos.)
2.
• El líder elige tres tarjetas de las categorías y las mira sin mostrárselas
a los otros miembros del grupo.
Datos
de
• El líder usa las tarjetas para rotular las regiones, colocando una de
ellas boca abajo al lado de cada círculo.
interés
Los diagramas de Venn
se llaman así en honor
de John Venn
(1834–1923), un inglés,
que los introdujo por
primera vez. Venn,
párroco e historiador,
publicó dos libros sobre
lógica en la década
de 1880.
Ahora estás listo para jugar. Escoge un alumno que haga de líder de tu
grupo y sigue estas reglas:
• Los otros miembros del grupo se turnan en la selección de polígonos
y el líder coloca el polígono seleccionado en la región correcta del
diagrama.
• Una vez que el polígono de un jugador haya sido situado en el
diagrama, ése puede tratar de adivinar cuáles son los rótulos. El
primero que adivine correctamente los tres rótulos es el ganador.
Al terminar cada juego, trabaja en grupo para colocar el resto de los
polígonos y luego copiar el diagrama final. Túrnense en ser líder del
grupo hasta que cada miembro haya tenido oportunidad de serlo.
3.
Trabaja en grupo para crear un diagrama en que no haya polígonos en
el traslapo de cualquier par de regiones (o sea, ningún polígono debe
pertenecer a más de una categoría).
4.
Trabaja en grupo para crear un diagrama en que todos los polígonos
aparezcan ya sea en regiones de traslapo o fuera de los círculos (o sea,
ningún polígono pertenece a una única categoría).
LECCIÓN 1.4
&
Comparte
resume
1. Determina
los rótulos a usarse en este diagrama. Usa las categorías de
la Serie de problemas D.
Rótulo 2
Rótulo 3
Rótulo 1
2. Explica
por qué no hay polígonos en el traslape del círculo de rótulo 1
y del círculo de rótulo 2.
3. Explica
por qué no hay polígonos en el círculo de rótulo 3 que no
estén también en uno de los otros círculos.
Investigación 4
Triángulos
En más de un sentido, los triángulos son los polígonos más simples. Son los
polígonos con el número mínimo de lados y cualquier polígono puede
descomponerse en triángulos. A esto se debe que su estudio te facilitará el
estudio de otros polígonos.
En el siguiente problema vas a construir triángulos con tiras de enganche.
Dichos triángulos tendrán el aspecto del de la figura. Los lados de este
triángulo miden 2, 3 y 4 unidades de largo. Observa que una unidad es el
espacio entre dos agujeros.
1 unidad
¿Crees que tres segmentos cualesquiera puedan unirse para formar un
triángulo? En el problema siguiente vas a examinar esta cuestión.
M AT E R I A L E S
tiras de enganche
y tachuelas
Serie de problemas
1.
E
Copia la siguiente tabla y luego haz lo siguiente en cada fila:
• Trata de construir un triángulo cuyos lados tengan las medidas dadas.
• En la columna “¿Triángulo?”, escribe “sí” si se puede construir y “no”
si no se puede.
• Si pudiste hacer un triángulo, trata de construir otro distinto con las
mismas medidas. (Para que dos triángulos sean distintos, deben tener
formas distintas.) En la columna “¿Otro triángulo?”, escribe “sí” si fue
posible construirlo y “no” si no fue posible.
Lado 1
Lado 2
Lado 3
4 unidades
4 unidades
4 unidades
4 unidades
4 unidades
4 unidades
3 unidades
3 unidades
3 unidades
3 unidades
3 unidades
4 unidades
4 unidades
4 unidades
4 unidades
3 unidades
2 unidades
3 unidades
3 unidades
2 unidades
2 unidades
1 unidades
4 unidades
3 unidades
2 unidades
1 unidades
1 unidades
2 unidades
3 unidades
1 unidades
2 unidades
1 unidades
1 unidades
LECCIÓN 1.4
¿Triángulo
¿Triángulo? diferente?
desigualdad del
triángulo
2.
¿Crees que se pueda construir un triángulo de segmentos 4, 4 y
10 unidades de largo? Explica.
3.
¿Crees que se pueda construir un triángulo de segmentos 10, 15 y
16 unidades de largo? Explica.
4.
Describe una regla que puedas usar para determinar si tres segmentos
dados formarán un triángulo. Prueba tu regla en algunos casos distintos
de los de la tabla hasta que te convenzas que estás en lo correcto.
5.
¿Crees que se pueda construir más de un triángulo con el mismo
conjunto de medidas de lados? Explica.
Tu trabajo en el problema anterior te puede permitir entender una propiedad
matemática conocida, la llamada desigualdad del triángulo.
Desigualdad del triángulo
La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es
mayor que la longitud del tercer lado.
&
Piensa comenta
La desigualdad del triángulo afirma que la suma de las longitudes de dos
lados cualesquiera de un triángulo es mayor que la longitud del tercer
lado. Para determinar, sin embargo, si tres segmentos dados formarán un
triángulo, sólo necesitas comparar la suma de las longitudes de los dos
segmentos más cortos con la longitud del segmento más largo. Explica
por qué.
Caroline dijo: “Sé que tres segmentos cualesquiera de la misma longitud
formarán un triángulo. Ni siquiera necesito comprobarlo”. ¿Tiene razón
Caroline? Explica.
La palabra triángulo significa “tres ángulos”. Puedes ver que cualquier
triángulo tiene tres ángulos, uno en cada vértice.
En el siguiente problema vas a buscar una regla que relacione las medidas de
los ángulos de un triángulo.
M AT E R I A L E S
regla
Serie de problemas
F
1.
Traza tu propio triángulo. Aquí se muestra uno, pero el tuyo no tiene
que parecerse a éste. Usa una regla o cualquier otro objeto con un borde
recto de modo que tu triángulo esté bien hecho.
2.
Arranca los tres vértices de tu triángulo. Es importante que los
arranques sin cortarlos, de modo que puedas saber a qué vértice
corresponde cada trozo.
Ordena los tres vértices como se muestra. ¿Cuánto mide el ángulo
que forman?
3.
Compara tu respuesta al Ejercicio 2 con las de otros en tu clase.
¿Obtuvieron todos el mismo resultado?
4.
¿Cuál crees que sea la relación de las medidas de los ángulos de un
triángulo?
&
Comparte
resume
1. Da
las medidas de tres segmentos que, a ciencia cierta, sabes que
no formarán un triángulo. Explica cómo sabes que tu respuesta es
correcta.
2. Da
las medidas de tres segmentos que, a ciencia cierta, sabes que
formarán un triángulo. Explica cómo sabes que tu respuesta es
correcta.
3. Supón
que un triángulo tiene vértices A, B y C. ¿Cuál es la suma de
las medidas de los ángulos en estos vértices?
LECCIÓN 1.4
Investigación
De polígonos a
poliedros
de laboratorio
M AT E R I A L E S
• polígonos de papel
• cinta pegante
Hasta ahora has trabajado con figuras planas. En esta investigación de laboratorio, vas a estudiar algunas figuras tridimensionales.
Un poliedro es una figura tridimensional cerrada hecha de polígonos. Los
cuerpos siguientes son poliedros. Tal vez ya hayas visto algunos de ellos.
Prisma
hexagonal
Pirámide
cuadrada
Los polígonos que componen un poliedro
se llaman caras. Los segmentos donde las
caras se intersecan se llaman aristas. Las
esquinas se llaman vértices.
Prisma
rectangular
Cubo
Arista
Vértice
Cara
Recuerda
Un polígono regular
tiene lados que tienen
la misma longitud y
ángulos del mismo
tamaño.
En un poliedro regular, las caras son polígonos regulares idénticos y el mismo
número de caras concurren en cada vértice. El cubo anterior es un poliedro
regular. Tiene caras cuadradas idénticas y tres de ellas concurren en cada vértice. Ninguno de los otros cuerpos anteriores son poliedros regulares. ¿Se te
ocurre por qué?
Hay un número infinito de polígonos regulares, siempre puedes hallar uno
con más lados. Hay, sin embargo, sólo un número reducido de poliedros
regulares. En esta investigación de laboratorio vas a encontrarlos todos.
Construye los poliedros
1.
Comienza con triángulos equiláteros, siguiendo estos pasos.
Paso 1: Asegura con cinta pegante tres triángulos alrededor de un vértice, tal como se muestra.
Vértice
Paso 2: Une los dos triángulos exteriores y asegúralos con cinta
pegante, obteniendo una figura tridimensional.
Datos
de
Vértice
interés
La palabra griega edro
significa “cara”, “plano”,
de modo que un poliedro
es un cuerpo con
“muchas caras”. Los
poliedros se identifican
por el número de caras
que tengan. Un cubo,
por ejemplo, también se
llama hexaedro, es decir,
“seis caras”.
Paso 3: Observa que en uno de los vértices concurren tres triángulos.
En los otros vértices sólo concurren dos triángulos. En uno de estos
vértices, añade otro triángulo de modo que ahora concurran tres
triángulos en ese vértice. Luego decide si puedes construir un cuerpo
cerrado con tres triángulos en cada vértice. Si no se puede, sigue
agregando triángulos hasta que obtengas un cuerpo cerrado.
2.
Repite el proceso del Ejercicio 1, pero ahora empieza con cuatro
triángulos con un vértice común. Añade triángulos hasta que obtengas
un cuerpo cerrado con cuatro triángulos concurriendo en cada vértice.
Vértice
Vértice
3.
Vuelve a repetir el proceso, comenzando con cinco triángulos con
un vértice común.
4.
Repite el proceso nuevamente, empezando con seis triángulos con
un vértice común. ¿Qué ocurre?
5.
Ahora usa cuadrados. Construye un poliedro con tres cuadrados
concurriendo en cada vértice. ¿Qué poliedro construiste?
6.
Trata de construir un poliedro con cuatro cuadrados concurriendo en
cada vértice. ¿Qué sucede?
7.
Ahora usa pentágonos. Trata de construir un poliedro con tres
pentágonos regulares concurriendo en cada vértice. ¿Se puede hacer?
8.
Trata de construir un poliedro con cuatro pentágonos regulares
concurriendo en cada vértice. ¿Qué pasa?
9.
Ahora usa hexágonos. Trata de construir un poliedro con tres
hexágonos regulares concurriendo en cada vértice. ¿Qué ocurre?
10.
¿Qué sucede al tratar de construir un poliedro con heptágonos
regulares?
LECCIÓN 1.4
Acabas de construir todos los poliedros regulares.
Tetraedro
Octaedro
Icosaedro
Cubo
(Hexaedro)
Dodecaedro
Existe un patrón interesante que relaciona el número de caras, aristas y
vértices de todos los poliedros. Para hallar dicho patrón, te puede ser útil
examinar los poliedros regulares que construiste.
Descubre el patrón
Datos
de
11.
interés
Los poliedros regulares
también se llaman
sólidos platónicos
en honor del filósofo
griego Platón, quien
creía que eran los
componentes básicos
de la naturaleza.
Pensaba que el fuego
estaba hecho de
tetraedros, la tierra
de cubos, el aire de
octaedros, el agua
de icosaedros y los
planetas y estrellas
de dodecaedros.
En cada uno de los poliedros, cuenta el número de caras, de vértices y
de aristas. ¡Esto puede requerir una enumeración muy hábil! Anota tus
resultados en la tabla
Poliedro
Tetraedro
Octaedro
Icosaedro
Cubo
Dodecaedro
12.
Caras
Vértices
Aristas
¿Puedes descubrir una manera de relacionar el número de caras y
vértices con el número de aristas?
¿Qué aprendiste?
13.
Usa lo que aprendiste al construir los poliedros para explicar por qué
hay sólo cinco poliedros regulares.
&
aplica
Practica
1.
¿Cuántos triángulos hay en esta figura? (¡No basta contar sólo los
triangulitos!)
2.
Observa la figura del Ejercicio 1.
a.
Cópiala y rotula cada vértice con una letra mayúscula.
b.
En tu figura, ubica al menos uno de los siguientes polígonos:
• cuadrilátero
• pentágono
• hexágono
Usa tus rótulos de los vértices para identificar cada figura.
c.
3.
Calcula en la figura el polígono de mayor número de lados.
Usa tus rótulos de vértices para identificarlo.
Enumera todos los polígonos en la siguiente figura. Calcula su puntaje
sumando:
• 3 puntos por cada triángulo
D
• 4 puntos por cada cuadrilátero
E
C
F
• 5 puntos por cada pentágono
A
• 6 puntos por cada hexágono.
G
B
Anota tu trabajo en una tabla como ésta.
Polígono
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Nombres
Puntaje
Puntaje total
LECCIÓN 1.4
En los Ejercicios 4 al 7, hay varios ángulos idénticos que tienen un vértice
común. Calcula la medida del ángulo señalado y explica cómo la calculaste.
4.
5.
6.
7.
8.
Un ángulo de 180° a veces se llama ángulo llano. Explica por qué
esto tiene sentido.
9.
Ya sabes que una rotación en 360° es una rotación completa en círculo.
Calcula la medida en grados de cada una de estas rotaciones.
a.
media rotación
b.
dos rotaciones completas
1
c. 12
rotaciones
10.
Traza dos ángulos cuya medida sea mayor que 90°. Explica cómo sabes
que miden más de 90°.
11.
Traza dos ángulos cuya medida sea menor que 90°. Explica cómo sabes
que miden menos de 90°.
12.
Este diagrama muestra el resultado de una vuelta del juego de la Serie
de problemas D.
Rótulo 2
Rótulo 3
Rótulo 1
a.
Usando las categorías de la Serie de problemas D, deduce de qué
rótulos se trata.
b.
¿Dónde situarías cada una de estas figuras?
A
F
E
En los Ejercicios 13 al 16, traza, en lo posible, un polígono que cumpla con la
descripción dada. Indica si no es posible.
13.
un polígono regular de cuatro lados
14.
un polígono cóncavo con un eje de simetría
15.
un triángulo cóncavo
16.
un triángulo con un único eje de simetría
Determina si se puede construir un triángulo cuyos lados tengan las medidas
dadas.
17.
1, 1, 1
18.
1, 1, 2
19.
3, 4, 5
20.
25, 25, 200
LECCIÓN 1.4
Decide si las medidas dadas podrían ser las medidas de los ángulos de un
triángulo.
21.
10°, 30°, 30°
22.
90°, 90°, 90°
23.
60°, 90°, 30°
24.
45°, 45°, 45°
25.
72°, 72°, 36°
26.
45°, 55°, 80°
Si las medidas dadas pueden ser las medidas de dos ángulos de un triángulo,
da la medida del tercer ángulo. Si no es así, explica por qué.
&
amplía
Conecta
27.
10°, 30°
28.
90°, 90°
29.
60°, 60°
30.
45°, 45°
31.
Una diagonal de un polígono es un segmento que une dos de sus
vértices, pero que no es un lado del polígono. En cada uno de estos
polígonos, el segmento discontinuo es una de las diagonales.
El número de diagonales que puedes trazar desde un vértice de un
polígono depende del número de vértices que tenga el polígono.
a.
Copia cada uno de estos polígonos regulares. En cada uno de ellos
escoge un vértice y traza todas las diagonales desde dicho vértice.
b.
Copia y completa esta tabla.
Polígono
Vértices
3
Diagonales trazadas
desde un vértice
Cuadrilátero
5
Hexágono
Heptágono
Octágono
7
c.
Da una regla que relacione el número de vértices de un polígono con
el número de diagonales que se pueden trazar desde cada vértice.
d.
Explica cómo sabes que tu regla funcionará para cualquier polígono,
sea cual sea su número de vértices.
e. Reto
Describe una regla para predecir el número
total de diagonales que puedes dibujar, si conoces
el número de vértices del polígono y explica cómo
diste con tu regla. Para ordenar tus ideas, añade una
columna a tu tabla.
32.
Busca polígonos en tu casa, escuela o libros de otras
asignaturas. Describe por lo menos tres polígonos
distintos que hayas hallado y di dónde los encontraste.
33.
Busca en tu casa o escuela tres ángulos que midan
90°, tres que midan menos de 90° y tres que midan
más de 90°. Indica dónde hallaste cada ángulo.
34.
Ordena estos ángulos de menor a mayor.
Número
total de
diagonales
0
2
b
c
d
e
a
LECCIÓN 1.4
35. Estadística
En una encuesta para el
anuario escolar, se les pidió a los alumnos
que nombraran su asignatura favorita.
Conor hizo una gráfica circular, pero
olvidó rotular sus sectores.
a.
Un 13 de los alumnos encuestados
dijo que lo que más les gustaba era la
matemática. ¿Qué sector corresponde a
estos alumnos? ¿Cuál es su medida angular?
b.
Un 14 de los alumnos, aproximadamente, dijo que su asignatura
favorita era la clase de lengua extranjera. ¿Qué sector corresponde a
estos alumnos? ¿Cuál es su medida angular?
c.
Conor recuerda que usó azul claro para representar a los alumnos que
dijeron que lo que más les gustaba era la ciencia. ¿Qué fracción de
los encuestados escogió la ciencia como asignatura favorita?
d.
Teatro e inglés empataron con 18 de los alumnos prefiriendo cada uno
de ellos. ¿Qué sectores corresponden a teatro e inglés? ¿Cuánto es la
medida angular de cada uno?
En los Ejercicios 36-38, describe una regla para obtener cada figura basándose
en la anterior. Traza luego las dos figuras siguientes de la sucesión.
36.
37.
38.
39.
Los diagramas de círculos, como los que usaste para clasificar polígonos,
se emplean a veces para resolver acertijos lógicos como éste:
La colonia de verano Poison Oaks ofrece dos deportes, fútbol y
natación. De 30 campistas, 24 juegan fútbol, 20 nadan y 4 no juegan
deporte alguno. ¿Cuántos campistas juegan fútbol y nadan?
Este diagrama muestra dos círculos, uno por deporte. El 4 fuera de los
círculos representa los cuatro campistas que no juegan deporte alguno.
Usa este diagrama para resolver este acertijo lógico.
Juegan fútbol
Nadan
4
40.
D
Considera estos triángulos.
A
Z
Lado 2
Lado 3
Lado 3
Lado 1
Lado 2
Y
Lado 2
O
B
En t u s
propias
palabras
Explica el significado
de estas palabras
y da por lo menos
dos hechos
relacionados con
cada palabra:
• polígono
• ángulo
• triángulo
Lado 1
C
X
Lado 3
Lado 1
G
a.
En cada triángulo, indica el lado más largo y el ángulo de mayor
medida.
b.
En otro triángulo, el PQR, el ángulo del vértice R tiene la medida
mayor. ¿Dónde está el lado más largo? Responde en palabras o con
un dibujo.
Supón que el CAT posee dos ángulos de 80°, uno en el vértice C y otro en el vértice T. ¿Dónde está el lado más largo del triángulo? Explica. Tal vez ayude el trazar un dibujo.
c. Reto
LECCIÓN 1.4
41.
Datos
de
En la introducción a la Investigación 4 se afirmó que todo polígono
puede dividirse en triángulos.
a.
Copia cada uno de estos polígonos y averigua si los puedes dividir en
triángulos.
b.
Dibuja dos polígonos que hayas ideado y muestra cómo dividirlos en
triángulos.
interés
Los triángulos son los
únicos polígonos que
son rígidos en la
manera descrita en el
Ejercicio 42. Si usas
tiras de enganche para
construir un polígono
de más de tres lados,
puedes obtener un
número infinito de
figuras al presionar en
los lados o vértices.
Repaso
mixto
42.
En la Serie de problemas E descubriste que al construir un triángulo no
podías presionar o jalar de sus lados o vértices para convertirlo en otro
triángulo. A esto se debe que los triángulos se usan a menudo como
soporte en edificios, puentes y otras construcciones. Busca en tu casa
y vecindario ejemplos de triángulos que se empleen como soporte,
describiendo por lo menos dos ejemplos que halles.
Escribe cada decimal como fracción.
43.
0.25
44.
0.017
45.
0.040
46.
0.10203
Calcula cada cantidad.
1
47. 5
de 200
2
48. 6
de 120
3
49. 4
de 28
1
50. 4
de 0.4
1
51. 2
de 1
1
52. 2
de 12
1
53. 2
de 14
1
54. 2
de 18
55. Economía
Jing y Caroline almorzaron en un restaurante. Esto fue lo
que pagaron.
a.
Jing calcula la propina duplicando
el impuesto. Calcúlala con esta regla.
b.
Caroline la calcula moviendo el
punto decimal del total parcial un
lugar hacia la izquierda, duplicando
luego el resultado. Calcula la
propina con esta regla.
c.
Las chicas decidieron usar la regla
de Caroline, para calcular cuánto
debía pagar cada una de ellas,
sumaron la propina al total y
dividieron el resultado por la mitad.
¿Cuánto pagó cada una?
Cuenta
Sándwich de atún $3.95
Sándwich club
vegetariano
3.00
Leche
0.80
Jugo de naranjas
1.25
Total parcial
8% de impuesto
$9.00
0.72
Total
$9.72
Capítulo 1
Repaso&
autoevaluación
Resumen del capítulo
ángulo
polígono cóncavo
simetría lineal
orden de las
operaciones
polígono
polígono regular
sucesión
término
desigualdad del
triángulo
vértice
En este capítulo, estudiaste patrones y reglas. Comenzaste buscando patrones
en el triángulo de Pascal y en sucesiones, y hallando maneras de describir y
extender los patrones.
Luego seguiste reglas comunes, así como reglas para generar sucesiones, y
escribiste reglas para que otros las siguieran. También aprendiste el orden de las
operaciones, una convención para evaluar y escribir expresiones matemáticas.
Luego te concentraste en la escritura de reglas que relacionan dos cantidades,
como el índice del término y el número de mondadientes del término, además
de las entradas y salidas del juego ¿Cuál es mi regla?
Finalmente, estudiaste patrones geométricos, aprendiendo a identificar,
nombrar y clasificar polígonos. Descubriste asimismo algunas propiedades
importantes sobre las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos
de los triángulos.
Estrategias y aplicaciones
Las preguntas de esta sección te ayudarán a repasar y a aplicar las ideas y
estrategias importantes desarrolladas en este capítulo.
Identifica, describe y extiende patrones
1.
Usa tu calculadora para completar esta tabla.
Número de 3
1
2
3
4
5
6
7
8
Expresión
3
33
333
3333
33333
333333
3333333
33333333
Producto
3
9
a.
Examina la cifra de las unidades de los productos. ¿Qué patrón ves?
b.
Predice la cifra de las unidades del producto de nueve 3 y de diez 3.
para comprobar, usa tu calculadora.
c.
¿Cuál es la cifra de las unidades del producto de veinticinco 3?
Explica cómo diste con la respuesta.
Repaso y autoevaluación 69
Sigue reglas comunes y reglas de sucesiones
2.
Lakita trabaja como procesadora de texto. Cobra según esta regla:
Cobro $7.50 por trabajo más $2 por página.
a.
Kashi la empleó para que procesara el texto de un artículo de
8 páginas. ¿Cuánto le cobró Lakita?
b.
La Srta. Thompson la empleó para que procesara el texto de un
informe de negocios. Lakita le cobró $67.50 por el trabajo. ¿Cuántas
páginas tenía el informe?
c.
Lakita cree que tendría más clientes si no cobrara la cuota fija de
$7.50. Decide entonces usar esta nueva regla:
Cobro $2.50 por página.
¿Cuánto de más o de menos les hubiera cobrado a Kashi y a la Srta.
Thompson si Lakita hubiese usado esta regla?
3.
Considera este primer término y regla:
Primer término: ▲
Regla: Añade tres triángulos al término anterior.
a.
Da los primeros cuatro términos de dos sucesiones que cumplen con
esta regla.
b.
Reescríbela de modo que sólo una de tus sucesiones sea la correcta.
Aplica el orden de las operaciones
4.
Empieza con esta serie de números.
3
4
6
2
4
3
a.
Copia la serie y escribe una expresión matemática insertando los
símbolos de las operaciones (, , , ) y paréntesis entre
números. Evalúa la expresión.
b.
Copia la serie dos veces más. Escribe y evalúa dos expresiones
matemáticas más de modo que cada una de tus tres expresiones
dé un resultado distinto.
Escribe reglas que relacionan dos cantidades
5.
He aquí los tres primeros términos de una sucesión hecha con cuadrados.
Término 1
Término 2
Término 3
a.
Calcula el número de cuadrados en cada uno de los cinco primero
términos y anota tus resultados en una tabla.
b.
¿Cuántos cuadrados se necesitan en el centésimo término?
c.
Escribe una regla que relacione el número de cuadrados con el índice
del término y úsala para predecir el número de cuadrados en los
términos sexto y séptimo. Comprueba tus predicciones trazando
dichos términos. Si tu regla no funciona, revísala hasta que funcione.
d.
Explica por qué tu regla funcionará con cualquier índice.
Identifica y clasifica polígonos
Decide cuáles de estas figuras son polígonos. De no ser polígonos, explica
por qué.
6.
7.
8.
Traza, si es posible, un polígono que cumpla con la descripción dada. Si no es
posible, indica que no es posible.
9.
un hexágono cóncavo con simetría lineal
10.
un cuadrilátero regular sin simetría lineal
11.
un pentágono cóncavo sin simetría lineal
Entiende y aplica las propiedades de los triángulos
12.
Explica cómo puedes determinar si tres segmentos formarán los lados
de un triángulo. Da las longitudes de tres segmentos que formen un
triángulo y de tres que no formen un triángulo.
13.
Si conoces las medidas de dos ángulos de un triángulo, ¿cómo puedes
calcular la medida del tercer ángulo? Explica por qué funciona tu
método.
Demuestra tus destrezas
Describe una regla que genere cada sucesión y da los tres términos siguientes.
14.
2, 5, 8, 11, 14, . . .
15.
1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, . . .
16.
512, 256, 128, 64, . . .
17.
1, 4, 2, 5, 3, 6, 4, . . .
19.
5 * (4 5) 3
21.
2*32*32
23.
32332
18.
6455
7 4
52
20.
2
22.
15 12 3 9
Usa esta figura para las Preguntas 24 a la 26.
C
A
B
D
G
F
E
24.
Identifica todos los triángulos de la figura.
25.
Identifica todos los cuadriláteros de la figura.
26.
Identifica todos los pentágonos de la figura.
En las Preguntas 27 a la 32, indica los términos que describen cada polígono.
Enumera todos los términos pertinentes.
triángulo
cuadrilátero
pentágono
hexágono
cóncavo
regular
simetría lineal
27.
28.
29.
30.
31.
32.
Estima la medida de cada ángulo.
33.
34.
35.
Decide si se puede formar un triángulo con estas longitudes.
36.
5, 6, 7
37.
38.
11, 4, 15
21, 14, 11
Indica si las medidas dadas corresponden a las de los ángulos de un triángulo.
39.
45°, 45°, 45°
40.
80°, 40°, 80°
41.
54°, 66°, 60°

Todo sobre los patrones - Lower Hudson Regional Information Center

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