VIII_ Praktische Fes..

Praktische
Festigkeitsberechnung
Konstruktionslehre
Studiengang Mechatronik
1. Semester
Prof. Dr.-Ing. M. Reichle
Inhaltsverzeichnis
-I-
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen der Festigkeitsberechnung ................................................... 1
2 Beanspruchungen und Lastfälle ............................................................... 4
2.1 Beanspruchungsarten: Zug, Druck, Biegung, Torsion, Schub ................ 4
2.2 Beanspruchungsart: Knickung.............................................................. 7
2.2.1 Elastische Knickung (Eulerfall) .................................................. 8
2.2.2 Unelastische Knickung (Tetmajerfall) ......................................... 9
2.3 Lastfälle ............................................................................................ 10
2.4 Statisch belastete Bauteile ................................................................ 10
2.5 Dynamisch belastete Bauteile ............................................................ 12
2.6 Vergleichsspannung .......................................................................... 14
2.6.1 Gestaltänderungs-Energie-Hypothese (GEH) ........................... 15
2.6.2 Normalspannungshypothese (NH)............................................ 16
2.6.3 Schubspannungshypothese (SH) ............................................. 16
3 Oberflächenpressung ............................................................................. 20
3.1 Flächenpessung ................................................................................ 20
3.2 Hertzsche Pressung .......................................................................... 21
Literatur ....................................................................................................... 23
Grundlagen der Festigkeitsberechnung
-1-
1 Grundlagen der Festigkeitsberechnung
Mit Hilfe der Festigkeitsberechnung werden Spannungen und Verformungen eines Bauteils ermittelt und geprüft, ob ein Versagen, d. h. Bruch, unzulässige
plastische oder elastische Verformung oder Instabilität (Knicken oder Beulen)
mit ausreichender Sicherheit ausgeschlossen werden kann. Aus wirtschaftlichen
Gesichtspunkten sollen die Sicherheiten gegen die Versagensgrenzen nicht unnötig hoch sein: den Werkstoff sinnvoll ausnutzen und eine sichere Funktion bei
minimalen Kosten gewährleisten.
Dazu werden möglichst genaue Angaben benötigt, die in einer umfassenden Anforderungsliste zusammengefasst werden:
1. Dimensionierung (Auslegungs-, Entwurfsrechnung)
-
Ermittlung der vom Bauteil zu übertragenden äußeren Kräfte, Momente, Leistungen, Drehzahlen, usw.; sonstigen Randbedingungen
siehe Bild 1.1.
-
Überschlägige Berechnung der Hauptabmessungen des Bauteils
aus einer zulässigen Nennspannung,
-
Entwurf, Konstruktion, Gestaltung des Bauteils.
2. Festigkeitsnachweis
-
Ermittlung der am Bauteil angreifenden äußeren Kräfte und Momente unter Berücksichtigung der Abmessungen,
-
Berechnung der inneren Kräfte und Momente in den gefährdete
Bauteilquerschnitten,
-
Berechnung der Beanspruchungen in den gefährdeten Bauteilquerschnitten,
-
Berechnung der Bauteilfestigkeit aus Werkstofffestigkeitswerten,
Bauteilabmessungen und Fertigungsdaten,
-
Nachweis der Sicherheit aus Festigkeit und Beanspruchung und
Vergleich mit der erforderlichen Mindestsicherheit und eventuell
Korrektur der ursprünglichen Auslegungsdaten um die gewünschte
Mindestsicherheit zu erreichen oder eine Überdimensionierung zu
vermeiden.
Grundlagen der Festigkeitsberechnung
-2-
Allgemeine Gesichtspunkte zum Erstellen der Anforderungsliste
Bild 1.1:
Zusammenfassend zeigt Bild 1.2 die 3 Parameter, von denen die Festigkeitsberechnung zur Erreichung der oben vorher genannten Ziele abhängt:
-
die vorgegebene äußere Belastung,
-
die festgelegte geometrische Gestalt (beanspruchungsgerecht),
-
der gewählte Werkstoff (werkstoffgerecht).
Grundlagen der Festigkeitsberechnung
Bild 1.2:
Festigkeitsberechnung
-3-
Beanspruchungen und Lastfälle
-4-
2 Beanspruchungen und Lastfälle
2.1 Beanspruchungsarten: Zug, Druck, Biegung, Torsion, Schub
Bild 2.1:
Zusammenstellung der wichtigsten Beanspruchungsarten
Beanspruchungen und Lastfälle
Bild 2.2:
Zusammenstellung der wichtigsten Beanspruchungsarten
(Fortsetzung)
-5-
Beanspruchungen und Lastfälle
Bild 2.3:
Zusammenstellung der wichtigsten Beanspruchungsarten
(Fortsetzung)
-6-
Beanspruchungen und Lastfälle
-7-
2.2 Beanspruchungsart: Knickung
Ist bei einer Beanspruchung auf Druck der Stab sehr schlank, d. h. die Stablänge „L“ im Verhältnis zum Querschnitt „A“ sehr groß, so besteht die Gefahr des
seitlichen Ausknickens. Dies kann geschehen, obwohl der Stab genau in Richtung seiner Achse belastet wird und die Druckspannung σ d noch unter der Proportionalitätsgrenze σ dp liegt.
Die Knickung ist somit kein Spannungsproblem, sondern ein Stabilitätsproblem.
Knickspannung :
FK
A
σK =
FK
= Knickkraft
A
= Querschnittsfläche
( 2.1 )
σ dvorh = Druckspannung im Stab
Sicherheit gegen Knicken :
σK
σ dvorh
SK =
( 2.2 )
S K ≈ 5 bis 8 im Maschinenbau
Beispiel:
Die Kolbenstange eines Zylinders besitzt eine Knickkraft von 20.000 N. Die
Knicksicherheit soll S K = 8 betragen. Wie groß darf die maximale Druckkraft
werden?
SK =
FK
F
20 000 N
⇒ F= K =
= 2 500 N
F
SK
8
Schlankheitsgrad:
λ=
s
s
i
( 2.3 )
= freie Knicklänge
kleinster Trägheitsradius
i=
J min
J min
A
= kleinstes Flächenträgheitsmoment
( 2.4 )
Beanspruchungen und Lastfälle
-8-
2.2.1 Elastische Knickung (Eulerfall)
E ⋅ Jmin ⋅ π2
FK =
s2
FK
( 2.5 )
= Knickkraft
Nach den Einspannbedingungen unterscheidet man 4 Knickfälle nach Euler.
Bild 2.4:
Knickfälle nach Euler
Wenn ein Bauteil ausgelegt werden soll, empfiehlt es sich meist die Gleichung
so umzustellen, dass das erforderliche Flächenträgheitsmoment berechnet werden kann.
Jerf = Jmin
SK ⋅ F ⋅ s 2
=
E ⋅ π2
( 2.6 )
S K = Sicherheitsfaktor
σK =
FK
J
1 E ⋅ π2
= E ⋅ π2 ⋅ min ⋅ 2 = 2
A
A s
λ
( 2.7 )
Die Gleichung der Knickspannung nach Euler gilt nur für:
σ K ≤ σ dp und λ > λ 0
( 2.8 )
Aus diesen Bedingungen lässt sich der Grenzschlankheitsgrad λ 0 berechnen.
λ=
E ⋅ π2
σK
⇒ λ0 =
E ⋅ π2
σdP
( 2.9 )
Beanspruchungen und Lastfälle
-9-
2.2.2 Unelastische Knickung (Tetmajerfall)
Da diesem Verfahren Knickspannungen σ K zugrunde liegen, die größer sind als
die Proportionalitätsgrenze σ dp , spricht man von unelastischer Knickung
(σ d > σ dp ).
Die Tetmajergleichungen sind Zahlenwertgleichungen. σ K hat immer die Einheit
Nmm -2 .
Bild 2.5:
Tetmajer-Diagramm
Fazit:
Die Knickspannung ist unabhängig von der Festigkeit des Werkstoffes. Sie ist
nur von E und J abhängig. Bei den meisten Stahlsorten ist E in etwa gleich.
Bild 2.6:
Grenzschlankheitsgrad
Beanspruchungen und Lastfälle
- 10 -
2.3 Lastfälle
Die Haltbarkeit eines Bauteils hängt maßgeblich vom zeitlichen Verlauf der Beanspruchung ab. Mit dem Begriff Lastfall werden die verschiedenen Änderungen
von Belastungsgrößen ausgedrückt (Bild 2.3).
Dabei werden 3 verschiedene Lastfälle unterschieden (C. J. v. Bach):
1. Ruhende Beanspruchung (Lastfall I) oder statische Beanspruchung,
2. Schwellende Beanspruchung (Lastfall II),
3. Wechselnde Beanspruchung (Lastfall III).
Bild 2.7:
Darstellung der Lastfälle (Spannung-Zeit-Diagramm)
2.4 Statisch belastete Bauteile
Für statische, oder überwiegend statisch belastete Bauteile ist bei duktilen
Werkstoffen (Stahl, Stahlguss, Aluminium und Al-Legierungen, Kupfer und CuLegierungen u. ä.) die Fließgrenze (bzw. die 0,2-Dehngrenze) und bei spröden
Werkstoffen (Grauguss, Keramik, usw.) die jeweilige Bruchfestigkeit maßgeblich
(Bild 2.10).
Beanspruchungen und Lastfälle
- 11 -
Allgemein gilt:
vorhandene Spannung ≤ zulässige Spannung =
Werkstoffg renzwert
Sicherheit
Für duktile Werkstoffe gilt (z. B. auf Zug):
σ z ≤ σ z,zul = R eN (Rp0,2N ) / SF min
( 2.10 )
Für spröde Werkstoffe gilt (z. B. auf Zug):
σ z ≤ σ z,zul = RmN / SB min
( 2.11 )
S Fmin = 1,2…1,8 erforderliche Mindestsicherheit gegen Fließen
S Bmin = 1,5…3
Bild 2.8:
erforderliche Mindestsicherheit gegen Bruch
Spannungs-Dehnungs-Diagramm (Zugversuch): a) Stähle mit ausgeprägter Fließgrenze, b) Stähle mit nicht ausgeprägter Fließgrenze.
Bild 2.9:
Statische Festigkeitswerte für die Überschlagberechnung (Näherungswerte)
Beanspruchungen und Lastfälle
- 12 -
Bild 2.10: Zulässige Spannung bei statischer Beanspruchung für die Entwurfs-
berechnung: a) duktile Werkstoffe, b) spröde Werkstoffe.
2.5 Dynamisch belastete Bauteile
Bei dynamischer Beanspruchung wirken sich Kerben besonders stark aus. Sind
bei einer Entwurfsberechnung Größe der Kerbwirkung, Oberflächenbeschaffenheit usw. noch nicht bekannt oder nicht erfassbar, können unter Annahme hoher
Sicherheiten die vorhandenen Spannungen mit den entsprechenden Dauerfestigkeitswerten verglichen werden.
σ ≤ σzul = σD / SD min
S Dmin = 3…4
bzw.
τ ≤ τzul = τD / SD min
( 2.12 )
erforderliche Mindestsicherheit gegen Dauerbruch
Werden Bauteile dynamisch belastet (schwellend oder wechselnd), so kann man
beobachten, dass diese Teile nach einer bestimmten Zeit versagen, obwohl die
statischen Festigkeitswerte nie erreicht wurden.
Bei Beanspruchungen unterhalb der Schadenslinie (??) erfolgt keine Vorschädigung des Werkstoffes.
Bild 2.11: Wöhler-Diagramm
Beanspruchungen und Lastfälle
- 13 -
Als Dauerfestigkeit wird diejenige Spannung bezeichnet, bei der kein Bruch
nach 10 6 Lastwechsel auftritt. Diese Werte werden an polierten, zylindrischen
Proben ermittelt.
Diese Grenze ist vom Werkstoff abhängig. Sie beträgt z. B. bei
2x 10 6 bis 10 7
•
Stahl :
•
Aluminium: 5x 10 7 bis 10 8
Ist das Bauteil nur auf Zeitfestigkeit auszulegen, d. h. das Teil hat nur eine begrenzte Lebensdauer und versagt nach Erreichen dieser Zeit, so kann eine höhere Spannung σ A angesetzt werden. Dies führt im Allgemeinen zu geringeren
Querschnitten und somit zu kleineren und leichteren Bauteilen.
Die maximal zulässige Spannung ist die Fließfestigkeit bzw. Bruchfestigkeit ermittelt bei statischer Beanspruchung. Diese Festigkeitskennwerte gelten auch
bei bis zu 1000 Lastwechsel bezogen auf die Einsatzzeit des Teiles.
Bild 2.12: Dauerfestigkeitsschaubild nach SMITH
Beanspruchungen und Lastfälle
- 14 -
Bild 2.13: Bestimmung der Gestaltausschlagfestigkeit im SMITH-Diagramm
2.6 Vergleichsspannung
Bauteile unterliegen gleichzeitig mehreren Beanspruchungen. Diese Beanspruchungen können gleichartige oder ungleichartige Spannungen hervorrufen.
Gleichartige Spannungen:
-
Zug, Druck, Biegung →Normalspannungen
-
Scherung, Torsion →Schubspannungen
Beanspruchungen und Lastfälle
- 15 -
Ungleichartige Spannungen:
-
Biegung und Torsion →Normal- und Schubspannungen
Um ein Kriterium für die Beanspruchung des Bauteiles im Vergleich zur Festigkeit des Werkstoffes zu gewinnen, müssen die Spannungen zusammengefasst
werden.
Gleichartige Spannungen:
•
Treten an einem Querschnitt mehrere gleichartige Spannungen auf, so
lassen sich diese algebraisch addieren. (Zug, Druck, Biegung)
•
Liegen die gleichartigen Spannungen nicht in derselben Wirkungslinie,
sind diese geometrisch zu addieren. (Schub in X- und Y-Richtung)
Ungleichartige Spannungen:
•
Bei gleichzeitiger Beanspruchung eines Bauteiles durch Normal- und
Schubspannung ist keine einfache Zusammensetzung der Spannungen
möglich.
•
Es wurden verschiedene Hypothesen aufgestellt, mit deren Hilfe es gelingt, einen mehrachsigen Spannungszustand, auf einen einachsigen zurückzuführen. Dies erfolgt durch Ermittlung einer ideellen Spannung, die
Vergleichsspannung genannt wird.
•
Von den drei Hypothesen ist die Gestaltänderungs-Energie-Hypothese für
die Anwendungen im Maschinenbau am besten geeignet.
2.6.1 Gestaltänderungs-Energie-Hypothese (GEH)
Vergleichspannung:
σ V = σb2 + 3 ⋅ (α 0 ⋅ τ t ) ≤ σ zul
2
σ V = Vergleichsspannung
σ b = Biegespannung (evtl. plus Zug- oder Druckspannung)
τ t = Torsionsspannung (evtl. plus Schubspannung)
α 0 = Anstrengungsverhältnis
( 2.13 )
Beanspruchungen und Lastfälle
- 16 -
α 0 = 0,7 wenn τ t ruhend oder schwellend und σ b wechselnd
α 0 = 1,0 wenn τ t und σ b im gleichen Belastungsfall vorliegen
σ zul = zulässige Spannung
Allgemeine Gleichung der GEH:
σV =
(σz + (σd ) + σb )2 + 3 ⋅ (α0 ⋅ τt )2
≤ σ zul
( 2.14 )
Bild 2.14: Überlagerung ungleicher Spannungen
Schubspannungen werden nicht berücksichtigt, da bei M b = max → τ = 0 ist.
2.6.2 Normalspannungshypothese (NH)
2
σ V = σmax
σ
⎛σ ⎞
= b + ⎜ b ⎟ + τ2t
2
⎝ 2⎠
( 2.15 )
Anwendung bei spröden Werkstoffen, die durch Trennbruch versagen.
2.6.3 Schubspannungshypothese (SH)
σ V = σb2 + 4 ⋅ τ2t
( 2.16 )
Anwendung bei zähen Werkstoffen, die durch Schiebung oder Abgleiten versagen.
Die GEH ist jedoch durch Experimente besser bestätigt als die SH.
Die durch eine dieser Hypothesen ermittelte Vergleichsspannung ermöglicht eine Beurteilung der Beanspruchung des Bauteiles. Diese kann nun mit den aus
den einachsigen Versuchen ermittelten Werkstoffkennwerten bzw. zulässigen
Spannungen verglichen werden.
Beanspruchungen und Lastfälle
- 17 -
Bild 2.15: Mechanismus der Bruchformen für den einachsigen Spannungszu-
stand
Beanspruchungen und Lastfälle
Bild 2.16: Gewaltbruch einer Keilwelle
Bild 2.17: Typische Dauerbrüche
Bild 2.18: Dauerbrüche: a) Ritzelwelle, b) Kurbelwelle
- 18 -
Beanspruchungen und Lastfälle
- 19 -
Bild 2.19: Die wichtigsten Festigkeitshypothesen für den einachsigen Span-
nungszustand
Oberflächenpressung
- 20 -
3 Oberflächenpressung
3.1 Flächenpessung
Außer den Spannungen im Innern eines Körpers können auch Spannungen an
der Oberfläche von Körpern auftreten und zwar dort, wo verschiedene Körper
Kräfte aufeinander ausüben.
In der Regel handelt es sich um Druckspannungen, es sind jedoch auch Zugspannungen, z. B. bei Klebeverbindungen denkbar.
Unter Flächenpressung versteht man die Druckspannungen, die an der Oberfläche zweier Körper herrschen, die sich in einer gemeinsamen Fläche berühren
und Druckkräfte aufeinander ausüben.
Zur Vereinfachung wird angenommen:
•
Die gemeinsame Fläche ist eben.
•
Die Körper sind im Bereich der Berührflächen starr.
•
Die Druckkraft verteilt sich gleichmäßig auf der Fläche.
Bild 3.1:
Flächenpressung an der ebenen Fläche
Eine besondere, in der Technik häufig vorkommende Form der Flächenpressung
ist der Leibungsdruck, auch Lochleibung genannt.
Bild 3.2:
Flächenpressung am Zylinder
Aus Vereinfachungsgründen wird mit gleichmäßiger Verteilung gerechnet.
Oberflächenpressung
Bild 3.3:
- 21 -
Flächenpressung am Zylinder
Die Summe ergibt
Σ ⏐dF⏐ =
π ⋅F
2
( 3.1 )
Die Fläche, auf die der Druck wirkt ist
A=
π⋅b ⋅d
2
( 3.2 )
d = Durchmesser
b = Breite
π
⋅F
F
F
2
p= =
=
= σd
A π ⋅b ⋅d b ⋅d
2
( 3.3 )
Mit der oben genannten Vereinfachung kann die Flächenpressung somit aus der
Projektionsfläche bestimmt werden.
Die zulässige Flächenpressung p zul hängt außer vom Werkstoff auch von der Art
der Belastung ab:
•
gleitende Flächen
•
nicht gleitende Flächen
•
ruhend, schwellend, stoßartig
Die Sicherheit ist wie beim Fließen anzusetzen. Nachzuprüfen ist jeweils der
weichere Werkstoff.
3.2 Hertzsche Pressung
Berühren sich zwei Bauteile nur linien- oder punktförmig, so entsteht in der Berührungszone eine Verformung (Abplattung). Diese Verformung ist bei Punktberührung kreisförmig bzw. elliptisch und bei Linienberührung rechteckförmig begrenzt.
Oberflächenpressung
Bild 3.4:
- 22 -
Hertzsche Pressung: a) Zahnräder, b) Wälzlager, c) Kettentrieb
Die Pressungsverteilung ist elliptisch und der Maximalwert kann mit der Theorie
von Hertz berechnet werden.
Bild 3.5:
Hertzsche Pressung p H bei Linienberührung
Maximale Pressungen für
1. Kugel gegen Kugel:
pH =
1 3 1,5 ⋅ FN ⋅ E2
⋅
π
ρ2
mit
1 1
1
= +
ρ ρ1 ρ2
mit
1 1 1
= +
ρ ρ1 ∞
mit
1 1 1
= +
ρ ρ1 ρ2
mit
1 1 1
= +
ρ ρ1 ∞
( 3.4 )
2. Kugel gegen Ebene:
1 3 1,5 ⋅ FN ⋅ E2
pH = ⋅
π
ρ2 ⋅
⇒
ρ = ρ1
( 3.5 )
3. Zylinder gegen Zylinder:
pH =
FN ⋅ E
2⋅ π⋅l⋅ρ
( 3.6 )
4. Zylinder gegen Ebene:
pH =
FN ⋅ E
2⋅ π⋅l⋅ρ
⇒
ρ = ρ1
( 3.7 )
Bei unterschiedlichen Werkstoffen:
1 1 ⎛ 1 − ν12 1 − ν 22 ⎞
2 ⋅ E1 ⋅ E2
⎟⎟ ⇒ E =
= ⋅ ⎜⎜
+
2
E 2 ⎝ E1
E2 ⎠
1 − ν1 ⋅ E2 + 1 − ν 22 ⋅ E1
(
)
(
mit υ = 0,3 und E = 210000 N/mm² für Stahl
)
( 3.8 )
Literatur
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Literatur
R OLOFF /M ATEK
Muhs,D; Wittel, H; Jannasch, D; Voßiek, J.:
Roloff/Matek, Maschinenelemente.
Vieweg-Verlag Wiesbaden, 18. Auflage, 2007
H ABERHAUER /
Haberhauer, H.; Bodenstein, F:
B ODENSTEIN
Maschinenelemente.
Springer-Verlag, Berlin, 11. Auflage, 2001
D ECKER
Decker, Karl-Heinz:
Maschinenelemente.
Carl-Hanser-Verlag, München, 16. Auflage, 2007
K ÖHLER /R ÖGNITZ
Köhler, Günter:
Maschinenteile.
Teubner-Verlag, Stuttgart, 6. Auflage, 1981
S TEINHILPER /
Steinhilper, W.; Röper, R:
R ÖPER
Maschinen- und Konstruktionselemente.
Springer-Verlag, Berlin, 1982
D UBBEL
Beitz, W; Küttner, K. –H.:
Taschenbuch für den Maschinenbau.
Springer-Verlag, Berlin, 16. Auflage, 1987
C ONRAD
Conrad, Klaus-Jörg:
Grundlagen der Konstruktionslehre
Carl-Hanser-Verlag, München, 4. Auflage, 2008
P AHL /
Pahl, G; Beitz, W.:
B EITZ
Konstruktionslehre.
Springer-Verlag, Berlin, 4. Auflage, 1997
Literatur
/INA/
- 24 Technisches Taschenbuch;
Schaeffler KG, Industriestraße 1 – 3, 91074 Herzogenurach; www.ina.com