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Automatisches Zeichnen von Metro-Plänen
Einleitung Model Ergebnisse Ordnung im Untergrund – Automatisches Zeichnen von Metro-Plänen Martin Nöllenburg Alexander Wolff Fakultät für Informatik Universität Karlsruhe (TH) Institut für Informatik Universität Würzburg Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 1 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Lehrstuhl für Informatik I 1 Effiziente Algorithmen 2 Wissensbasierte Systeme Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 2 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Lehrstuhl für Informatik I 1 Effiziente Algorithmen Alexander Wolff 2 Jan Haunert Joachim Spoerhase N.N. Wissensbasierte Systeme Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 2 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Lehrstuhl für Informatik I 1 Effiziente Algorithmen Alexander Wolff 2 Jan Haunert Joachim Spoerhase N.N. Wissensbasierte Systeme Dietmar Seipel Martin Nöllenburg und Alexander Wolff Christian Schneiker 2 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Lehrstuhl für Informatik I 1 Effiziente Algorithmen Alexander Wolff 2 Jan Haunert Joachim Spoerhase N.N. Wissensbasierte Systeme Dietmar Seipel Martin Nöllenburg und Alexander Wolff Christian Schneiker 2 21 Ausgabe 3/09 S. 48 ff. Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Übersicht Einleitung U-Bahn-Linienpläne Was ist das? Unser Model Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Ergebnisse Wien Sydney Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 3 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse U-Bahn-Linienpläne Was ist das? U-Bahn-Linienpläne schematische Diagramme für den öffentlichen Verkehr zeigen Linien und Stationen Ziel: Navigation erleichtern „Wie komme ich von A nach B?“ „Wo muss ich aus-/umsteigen?“ C B D Chesham Chalfont & Latimer Amersham A 5 Watford Rickmansworth Moor Park Northwood Northwood Hills Ruislip Ruislip Manor Ickenham Burnt Oak Harrowon-the-Hill West Harrow South Harrow Golders Green Hampstead Dollis Hill Kensal Rise Brondesbury Kensal Green Queen's Park Kilburn Park Warwick Avenue Royal Oak Westbourne Park Park Royal 3 White City West Acton Ealing Common South Acton East Acton Holland Park 2 Hammersmith 1 Oxford Circus Gloucester Road Earl's Court St. James's Park Aldgate East Gunnersbury Bermondsey Pimlico Southwark Putney Bridge Bus Hammersmith & City Metropolitan Docklands Light Railway Gallions Reach Beckton North Woolwich King George V Greenwich Deptford Bridge 100m Elverson Road Lewisham Oval Clapham High Street 100m Clapham South Airport interchange Connection with Tramlink Cyprus Cutty Sark Elephant & Castle Stockwell Clapham North Connections with National Rail Connections with riverboat services Tooting Bec Under construction National Rail Beckton Park for Maritime Greenwich New Cross New Cross Gate Vauxhall Kennington restricted service - see opposite key Royal Albert Silvertown Island Gardens Borough Lambeth North Southfields Interchange stations Single and return tickets issued for Underground/DLR journeys are not valid between Gunnersbury-Stratford or Custom House-North Woolwich Prince Regent London City Airport Crossharbour & London Arena Mudchute n ctio stru con District Custom House Pontoon Dock South Quay River Thames East London Royal Victoria West Silvertown North Greenwich 2 Heron Quays Wimbledon Jubilee 4 Bus to London City Airport Canning Town East India Blackwall West India Quay Canary Wharf Canada Water Surrey Quays East Putney Circle 3 Devons Road Poplar for ExCeL Wapping Rotherhithe London Bridge Waterloo Fulham Broadway Wimbledon Park Northern Piccadilly Victoria Waterloo & City Central Westferry Limehouse Tower Gateway River Thames Waterloo East Kew Gardens Richmond Bakerloo BromleyBow Church by-Bow East Ham Upton Park Plaistow West Ham er Und Hatton Cross for Heathrow Terminal 4 Heathrow Terminal 4 Underground station closed until September 2006. Replacement bus services run from Hatton Cross. Key to lines and symbols Bow Road All Saints Shadwell Tower Hill Fenchurch Street 150m 2 Stepney Green Whitechapel Aldgate Monument Charing Cross 100m Parsons Green ser vice 1 Bank Embankment West Brompton Hounslow Central Heathrow Terminals 1, 2, 3 Heathrow Terminal 4 Shoreditch Moorgate St. Paul's Cannon Street Blackfriars Temple Westminster Victoria South Kensington Dagenham Heathway Becontree Barking Pudding Mill Lane 200m Leicester Square Mansion House Charing Cross Piccadilly Circus Sloane Square Chancery Lane Covent Garden Green Park Knightsbridge West Kensington Hornchurch Elm Park Dagenham East Upney Stratford Mile End n ctio stru con Hounslow West Turnham Stamford Ravenscourt Green Brook Park Gants Hill Leyton Homerton 2 Bethnal Green Liverpool Street Holborn Tottenham Court Road Marble Arch High Street Hyde Park Kensington Corner Kensington (Olympia) Barons Court Russell Square Goodge Street Lancaster Bond Queensway Gate Street Notting Hill Gate Shepherd's Bush Acton Central Shepherd's Bush Goldhawk Road Acton Town 3 Hackney Wick Upminster Upminster Bridge er Und South Ealing Bayswater Latimer Road North Acton North Ealing Ealing Broadway Dalston Kingsland Old Street Euston 200m Northfields Boston Manor Chiswick Park Hounslow East Osterley Barkingside Wanstead Hackney Central Canonbury Highbury & Islington Angel Farringdon Barbican Fairlop Leytonstone Caledonian Road & Barnsbury King's Cross St. Pancras Euston Square Hainault Newbury Park Redbridge Finsbury Park Holloway Road Caledonian Road Mornington Crescent Warren Street Regent's Park Arsenal Kentish Town Camden Road Camden Town Great Portland Euston Street Baker Street Edgware Marylebone Road Chigwell Grange Hill 4 South Woodford Walthamstow Central 6 5 Roding Valley Woodford Blackhorse Road Tottenham Hale Snaresbrook Chalk Farm 2 Swiss Cottage St. John's Wood Edgware Road Paddington Paddington Theydon Bois Debden Loughton Buckhurst Hill Manor House Tufnell Park Kentish Town West Belsize Park 200m Finchley Road Maida Vale Ladbroke Grove 654 Kilburn West Hampstead Brondesbury Park Stonebridge Park Harlesden Willesden Junction Alperton Hanger Lane Finchley Road & Frognal Willesden Green Wembley Central Sudbury Hill Sudbury Town Perivale Gospel Oak Seven Sisters Turnpike Lane Archway Hampstead Heath verzerren Geometrie und Maßstab Epping Oakwood Wood Green Highgate 3 Brent Cross Neasden Wembley Park Arnos Grove Bounds Green East Finchley Hendon Central Kingsbury Preston Road Northwick Park South Kenton North Wembley Southgate Woodside Park West Finchley Finchley Central Colindale Queensbury Rayners Lane Greenford Cockfosters Totteridge & Whetstone Mill Hill East 4 Edgware Canons Park Kenton North Harrow South Ruislip Northolt Stanmore Harrow & Wealdstone Pinner Eastcote Ruislip Gardens High Barnet Croxley Chorleywood West Ruislip Hillingdon Uxbridge Closed Sundays Colliers Wood Served by Piccadilly line trains early morning and late evening Morden Clapham Common Brixton 2 100m Balham Tooting Broadway South Wimbledon 3 D C B A 6 5 4 3 2 1 Station in Zone D Bakerloo Station in Zone C Special fares apply for single and return tickets to and from Harrow & Wealdstone. Station in Zone B Central No service Woodford - Hainault after 2000 daily. Station in Zone A Station in Zone 6 and Zone A Station in Zone 6 Circle District Cannon Street open until 2100 Mondays to Fridays. Closed Saturdays and Sundays. Station in Zone 5 Station in Zone 4 Station in both zones Station in Zone 3 Station in Zone 2 Station in both zones Station in Zone 1 3 Points to remember Explanation of zones District East London Hammersmith & City Metropolitan Northern Piccadilly Earl’s Court - Kensington (Olympia) 0700 to 2345 Mondays to Saturdays, 0800 to 2345 Sundays. Shoreditch station opens 0700 to 1030 and 1530 to 2030 Mondays to Fridays. Closed Saturdays. Open from 0700 to 1500 Sundays. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff No service Whitechapel - Barking early morning or late evening Mondays to Saturdays or all day Sundays. For Chesham change at Chalfont & Latimer on most trains. 4 On Sundays between 1300 and 1730, Camden Town is open for interchange and exit only. Kompromiss zwischen schematischen Strassenkarten ↔ abstrakten Graphen No service Uxbridge - Rayners Lane in the early mornings. Replacement bus service between Hatton Cross and Heathrow Terminal 4. Heathrow Terminal 4 Underground station closed until September 2006. Waterloo & City verbessern die Lesbarkeit 0615 to 2130 Mondays to Fridays. 0800 to 1830 Saturdays. Closed Sundays. Certain stations are closed on public holidays. von Graphikdesignern angefertigt 4 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse U-Bahn-Linienpläne Was ist das? Was ist das? Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 5 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse U-Bahn-Linienpläne Was ist das? Was ist das? Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 5 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse U-Bahn-Linienpläne Was ist das? Was ist das? Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 5 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse U-Bahn-Linienpläne Was ist das? Was ist das? Definition Ein Graph ist ein Paar (V , E), das aus zwei Mengen besteht: – Die Elemente der Menge V heißen Knoten (engl. vertices). – E Kanten (engl. edges). Eine Kante ist ein Paar von Knoten. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 5 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse U-Bahn-Linienpläne Was ist das? Was ist das? Definition Ein Graph ist ein Paar (V , E), das aus zwei Mengen besteht: – Die Elemente der Menge V heißen Knoten (engl. vertices). – E Kanten (engl. edges). Eine Kante ist ein Paar von Knoten. Beispiel: AT&T-Graph Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 5 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse U-Bahn-Linienpläne Was ist das? Was ist das? Definition Ein Graph ist ein Paar (V , E), das aus zwei Mengen besteht: – Die Elemente der Menge V heißen Knoten (engl. vertices). – E Kanten (engl. edges). Eine Kante ist ein Paar von Knoten. Beispiel: AT&T-Graph, DB-Graph Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 5 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse U-Bahn-Linienpläne Was ist das? Was ist das? Definition Ein Graph ist ein Paar (V , E), das aus zwei Mengen besteht: – Die Elemente der Menge V heißen Knoten (engl. vertices). – E Kanten (engl. edges). Eine Kante ist ein Paar von Knoten. Beispiel: AT&T-Graph, DB-Graph, der vollständige Graph... Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 5 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse U-Bahn-Linienpläne Was ist das? (Etwas) formaler Das U-Bahn-Plan-Problem Gegeben: Ziel: – ebener eingebetteter Graph G = (V , E), V ⊂ R2 , – Linienüberdeckung L (Pfade oder Kreise in G), zeichne G und L übersichtlich. Was macht einen Plan übersichtlich? Wir haben echte U-Bahn-Linienpläne analysiert und ihre Designprinzipien modelliert als harte Beschränkungen – müssen erfüllt werden, weiche Beschränkungen – so gut wie möglich erfüllen. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 6 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse U-Bahn-Linienpläne Was ist das? (Etwas) formaler Das U-Bahn-Plan-Problem Gegeben: Ziel: – ebener eingebetteter Graph G = (V , E), V ⊂ R2 , – Linienüberdeckung L (Pfade oder Kreise in G), zeichne G und L übersichtlich. Was macht einen Plan übersichtlich? Wir haben echte U-Bahn-Linienpläne analysiert und ihre Designprinzipien modelliert als harte Beschränkungen – müssen erfüllt werden, weiche Beschränkungen – so gut wie möglich erfüllen. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 6 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse U-Bahn-Linienpläne Was ist das? (Etwas) formaler Das U-Bahn-Plan-Problem Gegeben: Ziel: – ebener eingebetteter Graph G = (V , E), V ⊂ R2 , – Linienüberdeckung L (Pfade oder Kreise in G), zeichne G und L übersichtlich. Was macht einen Plan übersichtlich? Wir haben echte U-Bahn-Linienpläne analysiert und ihre Designprinzipien modelliert als harte Beschränkungen – müssen erfüllt werden, weiche Beschränkungen – so gut wie möglich erfüllen. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 6 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse U-Bahn-Linienpläne Was ist das? (Etwas) formaler Das U-Bahn-Plan-Problem Gegeben: Ziel: – ebener eingebetteter Graph G = (V , E), V ⊂ R2 , – Linienüberdeckung L (Pfade oder Kreise in G), zeichne G und L übersichtlich. Was macht einen Plan übersichtlich? Wir haben echte U-Bahn-Linienpläne analysiert und ihre Designprinzipien modelliert als harte Beschränkungen – müssen erfüllt werden, weiche Beschränkungen – so gut wie möglich erfüllen. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 6 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse U-Bahn-Linienpläne Was ist das? (Etwas) formaler Das U-Bahn-Plan-Problem Gegeben: Ziel: – ebener eingebetteter Graph G = (V , E), V ⊂ R2 , – Linienüberdeckung L (Pfade oder Kreise in G), zeichne G und L übersichtlich. Was macht einen Plan übersichtlich? Wir haben echte U-Bahn-Linienpläne analysiert und ihre Designprinzipien modelliert als harte Beschränkungen – müssen erfüllt werden, weiche Beschränkungen – so gut wie möglich erfüllen. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 6 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Harte Beschränkungen (H1) erhalte die Topologie des Netzwerks (H2) zeichne alle Kanten als oktilineare Strecken, also horizontal, diagonal oder vertikal (0◦ , 45◦ , 90◦ ) (H3) Mindestabstand zwischen benachbarten Stationen (H4) Martin Nöllenburg und Alexander Wolff zw. Stationen u. anderen Kanten 7 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Weiche Beschränkungen (S1) wenige Knicke auf U-Bahn-Linien (S2) geringe Gesamtkantenlänge (S3) relative Lage benachbarter Stationen beibehalten: erhalte mentale Karte Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 8 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Mathematische Programmierung Lineares Programm (LP): lineare Beschränkungen lineare Zielfunktion reellwertige Variablen (∈ R) kann effizient gelöst werden Ganzzahliges Programm (IP): ganzzahlige Variable (∈ Z), kann i.A. nicht effizient gelöst werden. Trotzdem existieren IP-Löser, die viele schwere Optimierungsprobleme hinreichend schnell lösen. Wir formulieren ein IP, so dass lineare Beschränkungen → harte Beschränkungen, Zielfunktion → weiche Beschränkungen. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 9 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Mathematische Programmierung Lineares Programm (LP): lineare Beschränkungen lineare Zielfunktion reellwertige Variablen (∈ R) kann effizient gelöst werden Ganzzahliges Programm (IP): ganzzahlige Variable (∈ Z), kann i.A. nicht effizient gelöst werden. Trotzdem existieren IP-Löser, die viele schwere Optimierungsprobleme hinreichend schnell lösen. Wir formulieren ein IP, so dass lineare Beschränkungen → harte Beschränkungen, Zielfunktion → weiche Beschränkungen. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 9 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Mathematische Programmierung Lineares Programm (LP): lineare Beschränkungen lineare Zielfunktion reellwertige Variablen (∈ R) kann effizient gelöst werden Ganzzahliges Programm (IP): ganzzahlige Variable (∈ Z), kann i.A. nicht effizient gelöst werden. Trotzdem existieren IP-Löser, die viele schwere Optimierungsprobleme hinreichend schnell lösen. Wir formulieren ein IP, so dass lineare Beschränkungen → harte Beschränkungen, Zielfunktion → weiche Beschränkungen. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 9 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Mathematische Programmierung Lineares Programm (LP): lineare Beschränkungen lineare Zielfunktion reellwertige Variablen (∈ R) kann effizient gelöst werden Ganzzahliges Programm (IP): ganzzahlige Variable (∈ Z), kann i.A. nicht effizient gelöst werden. Trotzdem existieren IP-Löser, die viele schwere Optimierungsprobleme hinreichend schnell lösen. Wir formulieren ein IP, so dass lineare Beschränkungen → harte Beschränkungen, Zielfunktion → weiche Beschränkungen. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 9 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Mathematische Programmierung Lineares Programm (LP): lineare Beschränkungen lineare Zielfunktion reellwertige Variablen (∈ R) kann effizient gelöst werden Ganzzahliges Programm (IP): ganzzahlige Variable (∈ Z), kann i.A. nicht effizient gelöst werden. Trotzdem existieren IP-Löser, die viele schwere Optimierungsprobleme hinreichend schnell lösen. Wir formulieren ein IP, so dass lineare Beschränkungen → harte Beschränkungen, Zielfunktion → weiche Beschränkungen. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 9 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Mathematische Programmierung Lineares Programm (LP): lineare Beschränkungen lineare Zielfunktion reellwertige Variablen (∈ R) kann effizient gelöst werden Ganzzahliges Programm (IP): ganzzahlige Variable (∈ Z), kann i.A. nicht effizient gelöst werden. Trotzdem existieren IP-Löser, die viele schwere Optimierungsprobleme hinreichend schnell lösen. Wir formulieren ein IP, so dass lineare Beschränkungen → harte Beschränkungen, Zielfunktion → weiche Beschränkungen. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 9 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Mathematische Programmierung Lineares Programm (LP): lineare Beschränkungen lineare Zielfunktion reellwertige Variablen (∈ R) kann effizient gelöst werden Ganzzahliges Programm (IP): ganzzahlige Variable (∈ Z), kann i.A. nicht effizient gelöst werden. Trotzdem existieren IP-Löser, die viele schwere Optimierungsprobleme hinreichend schnell lösen. Wir formulieren ein IP, so dass lineare Beschränkungen → harte Beschränkungen, Zielfunktion → weiche Beschränkungen. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 9 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Mathematische Programmierung Lineares Programm (LP): lineare Beschränkungen lineare Zielfunktion reellwertige Variablen (∈ R) kann effizient gelöst werden Ganzzahliges Programm (IP): ganzzahlige Variable (∈ Z), kann i.A. nicht effizient gelöst werden. Trotzdem existieren IP-Löser, die viele schwere Optimierungsprobleme hinreichend schnell lösen. Wir formulieren ein IP, so dass lineare Beschränkungen → harte Beschränkungen, Zielfunktion → weiche Beschränkungen. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 9 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Beispiel: Oktilinearität und relative Lage 2 1 3 u 4 v y 0 Sektoren – für jeden Knoten u teile Ebene in Sektoren 0–7 – nummeriere oktilin. Kantenrichtungen entspr. secu (v ) = 5 (Eingabe) 7 5 6 dir(u, v ) = 5 (Ausgabe) z1 x Koordinaten führe zusätzliche z1 - und z2 -Koordinaten für jeden Knoten v ein: z2 Martin Nöllenburg und Alexander Wolff z1 (v ) = x(v ) + y (v ) z2 (v ) = x(v ) − y (v ) 10 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Beispiel: Oktilinearität und relative Lage Ziel 2 prev u 4 v orig Zeichne Kante uv 1 3 5 mit Länge mindestens `uv 0 in einer von drei Richtungen 7 6 next Kann man das mit linearen Beschränkungen ausdrücken? Binäre Variable αprev (u, v ) + αorig (u, v ) + αnext (u, v ) = 1 Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 11 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Beispiel: Oktilinearität und relative Lage Ziel 2 prev u 4 v orig Zeichne Kante uv 1 3 5 mit Länge mindestens `uv 0 in einer von drei Richtungen 7 6 next Kann man das mit linearen Beschränkungen ausdrücken? Binäre Variable αprev (u, v ) + αorig (u, v ) + αnext (u, v ) = 1 Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 11 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Beispiel: Oktilinearität und relative Lage Ziel 2 prev u 4 v orig Zeichne Kante uv 1 3 5 mit Länge mindestens `uv 0 in einer von drei Richtungen 7 6 next Kann man das mit linearen Beschränkungen ausdrücken? Binäre Variable αprev (u, v ) + αorig (u, v ) + αnext (u, v ) = 1 Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 11 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Beispiel: Oktilinearität und relative Lage 2 prev u 4 v orig Sektor prev 1 3 5 0 7 6 next y (u) − y (v ) ≤ M(1 − αprev (u, v )) −y (u) + y (v ) ≤ M(1 − αprev (u, v )) x(u) − x(v ) ≥ −M(1 − αprev (u, v )) + `uv Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 12 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Beispiel: Oktilinearität und relative Lage 2 prev u 4 v orig Sektor prev 1 3 5 0 7 6 next y (u) − y (v ) ≤ M(1 − αprev (u, v )) −y (u) + y (v ) ≤ M(1 − αprev (u, v )) x(u) − x(v ) ≥ −M(1 − αprev (u, v )) + `uv Wie funktioniert das? Fall 1: αprev (u, v ) = 0 y (u) − y (v ) ≤ M −y (u) + y (v ) ≤ M x(u) − x(v ) ≥ `uv − M Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 12 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Beispiel: Oktilinearität und relative Lage 2 prev u 4 v orig Sektor prev 1 3 5 0 7 6 next y (u) − y (v ) ≤ M(1 − αprev (u, v )) −y (u) + y (v ) ≤ M(1 − αprev (u, v )) x(u) − x(v ) ≥ −M(1 − αprev (u, v )) + `uv Wie funktioniert das? Fall 2: αprev (u, v ) = 1 y (u) − y (v ) ≤ 0 −y (u) + y (v ) ≤ 0 x(u) − x(v ) ≥ `uv Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 12 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Beispiel: Oktilinearität und relative Lage 2 prev u 4 v orig Sektor orig 1 3 5 0 7 6 next z2 (u) − z2 (v ) ≤ M(1 − αorig (u, v )) −z2 (u) + z2 (v ) ≤ M(1 − αorig (u, v )) z1 (u) − z1 (v ) ≥ −M(1 − αorig (u, v )) + 2`uv Sektor next x(u) − x(v ) ≤ M(1 − αnext (u, v )) −x(u) + x(v ) ≤ M(1 − αnext (u, v )) y (u) − y (v ) ≥ −M(1 − αnext (u, v )) + `uv Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 13 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Beispiel: Oktilinearität und relative Lage 2 prev u 4 v orig 5 6 next 2 v 5 z2 (u) − z2 (v ) ≤ M(1 − αorig (u, v )) −z2 (u) + z2 (v ) ≤ M(1 − αorig (u, v )) z1 (u) − z1 (v ) ≥ −M(1 − αorig (u, v )) + 2`uv Sektor next 1 u 4 orig 0 7 3 prev Sektor orig 1 3 0 7 6 next Martin Nöllenburg und Alexander Wolff x(u) − x(v ) ≤ M(1 − αnext (u, v )) −x(u) + x(v ) ≤ M(1 − αnext (u, v )) y (u) − y (v ) ≥ −M(1 − αnext (u, v )) + `uv 13 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Zusammenfassung des Models Obige Beschränkungen erzwingen Oktilinearität, minimale Kantenlänge, (zum Teil) relative Lage. Ähnlich erzwingt man Erhaltung der Einbettung, Planarität. Weiche Beschränkungen: als gewichtete Summe in der Zielfunktion modelliert, d.h. min λbends costbends + λlength costlength + λdir costdir insgesamt O(|V |2 ) Beschränkungen und Variable Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 14 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Zusammenfassung des Models Obige Beschränkungen erzwingen Oktilinearität, minimale Kantenlänge, (zum Teil) relative Lage. Ähnlich erzwingt man Erhaltung der Einbettung, Planarität. Weiche Beschränkungen: als gewichtete Summe in der Zielfunktion modelliert, d.h. min λbends costbends + λlength costlength + λdir costdir insgesamt O(|V |2 ) Beschränkungen und Variable Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 14 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Zusammenfassung des Models Obige Beschränkungen erzwingen Oktilinearität, minimale Kantenlänge, (zum Teil) relative Lage. Ähnlich erzwingt man Erhaltung der Einbettung, Planarität. Weiche Beschränkungen: als gewichtete Summe in der Zielfunktion modelliert, d.h. min λbends costbends + λlength costlength + λdir costdir insgesamt O(|V |2 ) Beschränkungen und Variable Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 14 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Zusammenfassung des Models Obige Beschränkungen erzwingen Oktilinearität, minimale Kantenlänge, (zum Teil) relative Lage. Ähnlich erzwingt man Erhaltung der Einbettung, Planarität. Weiche Beschränkungen: als gewichtete Summe in der Zielfunktion modelliert, d.h. min λbends costbends + λlength costlength + λdir costdir insgesamt O(|V |2 ) Beschränkungen und Variable Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 14 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Ästhetische Kriterien Mathematische Programmierung Zusammenfassung des Models Obige Beschränkungen erzwingen Oktilinearität, minimale Kantenlänge, (zum Teil) relative Lage. Ähnlich erzwingt man Erhaltung der Einbettung, Planarität. Weiche Beschränkungen: als gewichtete Summe in der Zielfunktion modelliert, d.h. min λbends costbends + λlength costlength + λdir costdir insgesamt O(|V |2 ) Beschränkungen und Variable Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 14 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Wien Eingabe Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 15 21 Eingabe |V | |E| Linien normal reduziert 90 44 96 50 5 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Wien Eingabe Eingabe |V | |E| Linien normal reduziert 90 44 96 50 5 ↓ IP normal verbessert Heuristic 1 Heuristic 2 Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 15 21 Beschr. Var. 39363 23226 5703 1875 9960 6048 1800 872 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Wien Eingabe Eingabe |V | |E| Linien normal reduziert 90 44 96 50 5 ↓ IP normal verbessert Heuristic 1 Heuristic 2 Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 15 21 Beschr. Var. 39363 23226 5703 1875 9960 6048 1800 872 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Wien Eingabe Eingabe |V | |E| Linien normal reduziert 90 44 96 50 5 ↓ IP normal verbessert Heuristic 1 Heuristic 2 Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 15 21 Beschr. Var. 39363 23226 5703 1875 9960 6048 1800 872 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Wien Eingabe Eingabe |V | |E| Linien normal reduziert 90 44 96 50 5 ↓ IP normal verbessert Heuristic 1 Heuristic 2 Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 15 21 Beschr. Var. 39363 23226 5703 1875 9960 6048 1800 872 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Wien Eingabe Martin Nöllenburg und Alexander Wolff Ausgabe 15 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Wien Ausgabe Offizielle Karte Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 15 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Sydney Eingabe Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 16 21 Eingabe |V | |E| Linien normal reduziert 174 62 183 71 10 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Sydney Eingabe Eingabe |V | |E| Linien normal reduziert 174 62 183 71 10 Beschr. Var. 81416 45182 6242 3041 20329 11545 2105 1329 ↓ IP normal verbessert Heuristic 1 Heuristic 2 Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 16 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Sydney Eingabe Eingabe |V | |E| Linien normal reduziert 174 62 183 71 10 Beschr. Var. 81416 45182 6242 3041 20329 11545 2105 1329 ↓ IP normal verbessert Heuristic 1 Heuristic 2 Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 16 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Sydney Eingabe Eingabe |V | |E| Linien normal reduziert 174 62 183 71 10 Beschr. Var. 81416 45182 6242 3041 20329 11545 2105 1329 ↓ IP normal verbessert Heuristic 1 Heuristic 2 Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 16 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Sydney Eingabe Eingabe |V | |E| Linien normal reduziert 174 62 183 71 10 Beschr. Var. 81416 45182 6242 3041 20329 11545 2105 1329 ↓ IP normal verbessert Heuristic 1 Heuristic 2 Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 16 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Sydney Eingabe Martin Nöllenburg und Alexander Wolff Ausgabe 16 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Sydney Ausgabe Offizielle Karte Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 16 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Sydney: Andere Arbeiten Ausgabe [HMdN-GD04] Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 17 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Sydney: Andere Arbeiten Ausgabe [SR-IV04] reduced Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 17 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Sydney: Andere Arbeiten Ausgabe [SR-IV04] normal appendix Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 17 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do To do Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 18 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do To do Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 18 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do To do Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 18 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Beschriftung Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 19 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Beschriftung Henri-Bourassa Honore-Beaugrand Sauve Saint-Michel Cremazie Radisson D’Iberville Jarry Langelier Fabre Cadillac Jean-Talon Assomption Viau De Castelnau Pie-IX Beaubien Parc Joliette Rosemont Acadie Prefontaine Laurier Outremont Cote-Vertu Frontenac Mont-Royal Edouard-Montpetit Du College Papineau Sherbrooke Universite-de-Montreal De La Savanne Beaudry Cote-des-Neiges Berri-UQAM Namur Plamondon Jean-Drapeau Saint-Laurent Cote-Sainte-Catherine Snowdon Place-des-Arts Longueil Champ-de-Mars McGill Place d’Armes Villa-Maria Peel Square-Victoria Guy-Concordia Vendome Bonaventure Atwater Lucien L’Allier Place-Saint-Henri Georges-Vanier Lionel Groulx Charlevoix LaSalle De L’Eglise Verdun Jolicoeur Montréal (17 min.) Monk Angrignon Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 19 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Andere Konventionen Watford Junction Watford Chesham Epping Cockfosters High Barnet Chalfont & Latimer Watford High Street Croxley Rickmansworth Mill Hill East Stanmore West Ruislip Hillingdon Ruislip Harrow on-the-Hill West Harrow Eastcote Canons Park Kenton Northwick Park Colindale Kingsbury Preston Road Rayners Lane South Harrow South Kenton Upper Holloway Hampstead Dollis Hill Brondesbury Park Stonebridge Park Harlesden Willesden Junction South Queen's Kilburn Park High Road Hampstead Camden Town Swiss Cottage Kilburn Park Warwick Avenue Hanger Lane Royal Oak North Acton Ladbroke Grove Holland Park Latimer Road East Acton White City Wood Lane Acton Central Earl's Court Hyde Park Corner Knightsbridge Gloucester Road South Kensington South Ealing Chiswick Park Stamford Brook Turnham Ravenscourt Green Park West Kensington West Brompton Northfields Piccadilly Circus Barbican Homerton Shoreditch Bank Aldgate Tower Hill Cannon Street Mansion House Aldgate East Hornchurch Dagenham Heathway Upton Park West Ham Bow Road Devons Road All Saints East Ham Star Lane Royal Prince Beckton Gallions Reach Victoria Regent Park East India Poplar Custom Royal Cyprus Beckton House Albert West Silvertown Blackwall Canning Town Westferry Pontoon Dock North Greenwich West India Quay Wapping Becontree Upney Barking Plaistow Langdon Park Limehouse Shadwell Monument Upminster Bridge Woodgrange Elm Park Park Dagenham East Abbey Road Bromley Bow Church -by-Bow Stepney Green Whitechapel Tower Gateway Upminster Wanstead Park Stratford High Street Pudding Mill Lane Mile End Bethnal Green London City Airport Temple Embankment Blackfriars Rotherhithe King George V Canary Wharf Heron Quays South Quay Borough Woolwich Arsenal Crossharbour Canada Water London Bridge Lambeth North Pimlico Fulham Broadway Canary Wharf Bermondsey Southwark Waterloo Gunnersbury Osterley Hackney Central Canonbury Dalston Dalston Kingsland Junction Haggerston Moorgate St Paul's Charing Cross Westminster St. James's Park Leyton Stratford International Hackney Wick Stratford Old Street Liverpool Street Farringdon Chancery Lane Victoria Highbury & Islington Holborn Covent Garden Leicester Square Green Park Sloane Square Leytonstone High Road Hoxton Euston Square Russell Goodge Square Street Tottenham Court Road Gants Hill Wanstead Leyton Midland Road Angel Warren Street Oxford Circus Newbury Park Leytonstone Caledonian Road & Barnsbury King's Cross St. Pancras Euston Bond Street Marble Arch High Street Kensington Kensington (Olympia) Barons Hammersmith Court Lancaster Gate Queensway Goldhawk Road South Acton Regent's Park Bayswater Notting Hill Gate Shepherd's Bush Shepherd's Bush Market ° Ealing Common Acton Town Great Portland Street Baker Street Edgware Marylebone Road Westbourne Park West Acton Edgware Road Paddington Park Royal North Ealing Caledonian Road Mornington Crescent St. John's Wood Maida Vale Fairlop Barkingside Redbridge Arsenal Holloway Road Camden Road Grange Hill Hainault South Woodford Snaresbrook Walthamstow Queens Road Finsbury Park Kentish Town Kentish Town West Finchley Road Kensal Green Alperton Perivale Blackhorse Walthamstow Road Central Tottenham Hale South Tottenham Manor House Tufnell Park Gospel Oak Finchley Belsize Road & Park Frognal West Hampstead Chalk Farm Kilburn Brondesbury Kensal Rise Greenford Ealing Broadway Hampstead Heath Willesden Green Wembley Central Sudbury Town Northolt Seven Sisters Harringay Green Lanes Golders Green Neasden North Wembley Sudbury Hill South Ruislip Chigwell Roding Valley Woodford Turnpike Lane Crouch Hill Archway Brent Cross Wembley Park Ruislip Manor Ickenham Ruislip Gardens Highgate Hendon Central Buckhurst Hill Wood Green East Finchley Burnt Oak Queensbury Harrow & Wealdstone North Harrow Bounds Green Finchley Central Edgware Headstone Lane Northwood Hills Loughton Arnos Grove West Finchley Hatch End Northwood Debden Southgate Woodside Park Carpenders Park Pinner Uxbridge Theydon Bois Oakwood Totteridge & Whetstone Bushey Moor Park Chorleywood Amersham Mudchute Island Gardens Surrey Quays Boston Manor Kew Gardens Parsons Green Hounslow East Hounslow Central Elephant & Castle Clapham Junction Putney Bridge Richmond New Cross Gate Vauxhall Kennington Brockley East Putney Stockwell Heathrow Terminal 4 Clapham South Wimbledon District Line Metropolitan Line Central Line Hammersmith & City Line Northern Line Circle Line Jubilee Line Piccadilly Line Victoria Line Waterloo & City Line Docklands Light Railway London Overground Balham Station Elverson Road Lewisham Forest Hill Clapham Common THE LONDON UNDERGROUND Bakerloo Line Greenwich Clapham North Wimbledon Park Heathrow Terminal 5 Cutty Sark Brixton Honor Oak Park Southfields Heathrow Terminals 1, 2, 3 New Cross Deptford Bridge Oval Hounslow West Hatton Cross Tooting Bec Tooting Broadway Interchange Stations Sydenham Crystal Palace Penge West Anerley T.F.L. UndergrounD Colliers Wood South Wimbledon A hexalinear diagrammatic map of the London Underground drawn with horizontal lines and 60° diagonals only. © Maxwell J. Roberts, 13/5/2009 Morden Norwood Junction West Croydon Thanks to Max Roberts, Dept. of Psychology, University of Essex Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 20 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Andere Konventionen Thanks to Max Roberts, Dept. of Psychology, University of Essex Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 20 21 Zeichnen von Metro-Plänen Einleitung Model Ergebnisse Wien Sydney To Do Zusammenfassung Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 21 21 Zeichnen von Metro-Plänen NP-Hardness Problem Statements Proof Idea A Similar Problem R ECTILINEAR G RAPH D RAWING Decision Problem Given a planar embedded graph G with max degree 4. Is there a drawing of G that preserves the embedding, uses straight-line edges, is rectilinear? Theorem (Tamassia’87) R ECTILINEAR G RAPH D RAWING can be solved efficiently. Beweis. By reduction to a flow problem. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 22 21 Zeichnen von Metro-Plänen NP-Hardness Problem Statements Proof Idea A Similar Problem R ECTILINEAR G RAPH D RAWING Decision Problem Given a planar embedded graph G with max degree 4. Is there a drawing of G that preserves the embedding, uses straight-line edges, is rectilinear? Theorem (Tamassia’87) R ECTILINEAR G RAPH D RAWING can be solved efficiently. Beweis. By reduction to a flow problem. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 22 21 Zeichnen von Metro-Plänen NP-Hardness Problem Statements Proof Idea A Similar Problem R ECTILINEAR G RAPH D RAWING Decision Problem Given a planar embedded graph G with max degree 4. Is there a drawing of G that preserves the embedding, uses straight-line edges, is rectilinear? Theorem (Tamassia’87) R ECTILINEAR G RAPH D RAWING can be solved efficiently. Beweis. By reduction to a flow problem. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 22 21 Zeichnen von Metro-Plänen NP-Hardness Problem Statements Proof Idea A Similar Problem R ECTILINEAR G RAPH D RAWING Decision Problem Given a planar embedded graph G with max degree 4. Is there a drawing of G that preserves the embedding, uses straight-line edges, is rectilinear? Theorem (Tamassia’87) R ECTILINEAR G RAPH D RAWING can be solved efficiently. Beweis. By reduction to a flow problem. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 22 21 Zeichnen von Metro-Plänen NP-Hardness Problem Statements Proof Idea Our Problem M ETRO M AP Decision Problem Given a planar embedded graph G with max degree 8. Is there a drawing of G that preserves the embedding, uses straight-line edges, is octilinear? Theorem (Nöllenburg’05) M ETRO M AP is NP-hard. Beweis. By reduction from P LANAR 3-S AT to M ETRO M AP. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 23 21 Zeichnen von Metro-Plänen NP-Hardness Problem Statements Proof Idea Outline of the Reduction x1 ∨ x3 ∨ x4 x1 ∨ x2 ∨ x3 x1 x3 x2 x4 x2 ∨ x3 ∨ x4 x1 ∨ x2 ∨ x4 Input: planar 3-SAT formula ϕ = (x1 ∨ x3 ∨ x4 ) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3 ) ∧ . . . Goal: planar embedded graph Gϕ with: Gϕ has a metro map drawing ⇔ ϕ satisfiable. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 24 21 Zeichnen von Metro-Plänen NP-Hardness Problem Statements Proof Idea Outline of the Reduction x1 ∨ x3 ∨ x4 x1 ∨ x2 ∨ x3 x1 x3 x2 x4 x2 ∨ x3 ∨ x4 x1 ∨ x2 ∨ x4 Input: planar 3-SAT formula ϕ = (x1 ∨ x3 ∨ x4 ) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3 ) ∧ . . . Goal: planar embedded graph Gϕ with: Gϕ has a metro map drawing ⇔ ϕ satisfiable. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 24 21 Zeichnen von Metro-Plänen NP-Hardness Problem Statements Proof Idea Outline of the Reduction x1 ∨ x3 ∨ x4 x1 ∨ x2 ∨ x3 x1 x3 x2 x4 x2 ∨ x3 ∨ x4 x1 ∨ x2 ∨ x4 Input: planar 3-SAT formula ϕ = (x1 ∨ x3 ∨ x4 ) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3 ) ∧ . . . Goal: planar embedded graph Gϕ with: Gϕ has a metro map drawing ⇔ ϕ satisfiable. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 24 21 Zeichnen von Metro-Plänen Problem Statements Proof Idea NP-Hardness Variable Gadget .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... ... ... .. . .. . .. . x = true Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 25 21 Zeichnen von Metro-Plänen Problem Statements Proof Idea NP-Hardness Variable Gadget .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... ... ... .. . .. . .. . x = false Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 25 21 Zeichnen von Metro-Plänen NP-Hardness Problem Statements Proof Idea Outline of the Reduction x1 ∨ x3 ∨ x4 x1 ∨ x2 ∨ x3 x1 x3 x2 x4 x2 ∨ x3 ∨ x4 x1 ∨ x2 ∨ x4 Input: planar 3-SAT formula ϕ = (x1 ∨ x3 ∨ x4 ) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3 ) ∧ . . . Goal: planar embedded graph Gϕ with: Gϕ has a metro map drawing ⇔ ϕ satisfiable. Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 26 21 Zeichnen von Metro-Plänen NP-Hardness Problem Statements Proof Idea Clause Gadget Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 27 21 Zeichnen von Metro-Plänen NP-Hardness Problem Statements Proof Idea Clause Gadget Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 27 21 Zeichnen von Metro-Plänen NP-Hardness Problem Statements Proof Idea Clause Gadget Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 27 21 Zeichnen von Metro-Plänen NP-Hardness Problem Statements Proof Idea Clause Gadget Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 27 21 Zeichnen von Metro-Plänen NP-Hardness Problem Statements Proof Idea Clause Gadget Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 27 21 Zeichnen von Metro-Plänen NP-Hardness Problem Statements Proof Idea Clause Gadget Martin Nöllenburg und Alexander Wolff 27 21 Zeichnen von Metro-Plänen
