Lösungen zu Übungsaufgaben Mikro I

Lösungen zu Übungsaufgaben Mikro I
Kapitel 6
Kostentheorie
6.6
1.a)
Kostentheorie
1.b)
Herleitung einer Kostenfunktion aus einer Produktionsfunktion
2. Produktionsfunktion; Ein fixer Faktor, ein variabler Faktor: Kurze Frist.
Kostenrestriktion: C = rK + wL.
Kostenarten: TC, VC, FC, ATC, AVC, AFC, MC.
3.1 Produktionsfunktion so umstellen, daß der Input als abhängige Variable auftritt und der Output als unabhängige Variable.
Diese in die Kostenrestriktion einsetzen, und die outputabhängige Kostenfunktion ermitteln.
3.2 Zeichnung ist erst im Ergebnis möglich.
6. Die kurzfristige Produktionsfunktion lautet Q = 6L.
Diese muß nach L aufgelöst werden: L = Q/6.
Diese Gleichung kann nun in die Kostenrestriktion eingesetzt werden:
C = rK + wL = 3*2 + 2*Q/6 =
TC = C(Q) = 6 + Q/3.
Damit haben wir die Kostenfunktion in der üblichen Form (in Abhängigkeit vom Output) hergeleitet
und können nun die verschiedenen Kostenarten ableiten:
TC = 6+(Q/3);
ATC = (6/Q)+(1/3);
VC = Q/3;
AVC = 1/3;
FC = 6;
AFC = 6/Q;
MC = 1/3
Mit Hilfe der obigen Gleichung können die dazugehörigen Kurven gezeichnet werden:
$/t
TC
12
VC
6
FC
Q
18
$/Q
2.0
AFC
1/3
ATC
AVC=MC
18
Q
6.14
1.a)
Kostentheorie
1.b)
Langfristige Kostenminierung
2. Langfristig: alle Inputfaktoren (hier: zwei) sind variabel.
Lagrange-Ansatz: Beim L. ist darauf zu achten, ob ein gegebenes Ziel mit geringstmöglichem Aufwand (Kosten) oder bei gegebenem Budget ein möglichst hoher Zielwert zu erreichen ist. Entsprechend ist im Lagrange-Ansatz die Zielfunktion und die Nebenbedingung zu formulieren. Hier ist das
Ziel gegeben (Produktion von 2 Einheiten), dieses ist die Nebenbedingung, also ist der Aufwand zur
Mikro I – WS 04/05
Erreichung des Ziels zu minimieren. (Alles hier Beschriebene gilt auch für den L. in der Haushaltstheorie.)
Isoquante: Kurve gleicher Outputs.
Isokostenlinie: Kurve gleicher Kosten.
→ Im Normalfall tangieren sich Isoquante und Isokostenlinie im Optimum.
(Expansionspfad: Kurve aller optimalen Produktionspunkte. D.h. der hier gesuchte Punkt liegt auf dem
Expansionspfad.)
[Punkt 2 ist hier mit Absicht ausführlich dargestellt. Der in Klammern geschriebene Begriff gehört
zum Themenkomplex, spielt aber bei der Lösung der Aufgabe keine Rolle.
Ich empfehle Ihnen, die Fachbegriffe in einer inhaltlich sortierten „Vokablliste“ zu sammeln, und dort
eine kurze Erklärung und vor allem Querverweise einzuarbeiten, damit deutlich wird, welche Begriffe
mit welchen zusammenhängen.]
3.1 1. Zeichnen: Die Isoquante für Q = 2 einzeichnen, mehrere Isokostenlinie einzeichnen, darunter
auch diejenige, die die Isoquante berührt.
2. Mittels des Lagrange-Ansatzes die kostenminimale Faktorkombination berechnen (Expansionspfad). Inputmengen für Q = 2 bestimmen.
3.2 Zeichnung
5.
[Abschätzung des Ergebnisses] Da die Produktionselastizitäten (die Exponenten an den Faktoren K
und L der Produktionsfunktion) gleich sind (beide ½), die Preise aber im Verhältnis 1 zu 4, ist zu vermuten, daß die Firma von dem preiswerteren Inputfaktor (hier Arbeit) die vierfache Menge einsetzt.
Setzt man versuchsweise K = 1 und L = 4 in die Produktionsfunktion ein, ergibt sich ein Output von 2.
6.
Der Lagrange-Ansatz lautet:
L = PKK + PLL + λ( F(K, L) – Q )
L = 4K + L + λ((KL)1/2 – 2)
| Ableiten nach K, L und λ
(I) LK = 4 + λ*1/2*K-1/2L1/2 = 0 → λ = -4 / [1/2*K-1/2L1/2]
(II) LL = 1 + λ*1/2*K1/2L-1/2 = 0 → λ = -1 / [1/2*K1/2L-1/2]
(III) Lλ = (KL)1/2 – 2 = 0 (dies ist die Nebenbedingung)
(I) und (II) nach λ aufgelöst gleichsetzen:
-4 / [1/2*K-1/2L1/2] = λ = -1 / [1/2*K1/2L-1/2]
| *(-1) | Gleichung über Kreuz multiplizieren
4 * [1/2*K1/2L-1/2] = 1 * [1/2*K-1/2L1/2]
|*2
| *K1/2 *L1/2
4* K
=L
Zwischenergebnis: Das optimale (=kostenminimale) Faktoreinsatzverhältnis ist, viermal so viel Arbeit
wie Kapital einzusetzen. Setzt man jetzt 4K für L in die Nebenbedingung ein, erhält man als Ergebnis,
wieviel Kapital man für die Produktion der gewünschten Menge (hier 2) benötigt.
(K*4K)1/2 = 2
(4*K2)1/2 = 2
2 K = 2 → K = 1, L = 4.
Die richtige Antwort lautet, daß die kostenminimale Inputkombination, um einen Output von Q = 2
herzustellen, eine Einheit Kapital und 4 Einheiten Arbeit ist.
7.
Da dasselbe Ergebnis sich schon zeichnerisch angedeutet hat und auch in der Abschätzung sich Ähnliches ergeben hat, kann man davon ausgehen, daß das Ergebnis richtig ist (in der Abschätzung schätzt
man der Einfachheit halber mit gerundeten Zahlen. Ist die Produktionsfunktion und die Preise so gewählt, daß sich runde Zahlen als Ergebnis ergeben, kann – wie hier – die Abschätzung und das Rechenergebnis identisch sein. Arbeitet man später z.B. mit empirisch ermittelten Funktionen und Preisen, trifft die Abschätzung meistens nur die Größenordnung).
Beim Lagrange-Ansatz kommt man immer zu dem Zwischenergebnis MPK / r = MPL / w (mit r als
Preis für Kapital und w als Preis für die Arbeit). Deswegen kann man die Rechnung beginnen, indem
man die entsprechenden Größen direkt in diese Gleichung einsetzt. Vgl. dazu PR, Anhang zu Kapitel 7
(5. Auflage dt.: S. 356-359).
Mikro I – WS 04/05