Fall 3: Mehrere Kapazitätsengpässe Beispiel (1/4)

Fall 3: Mehrere Kapazitätsengpässe
 Bei Vorliegen mehrerer Engpässe ist zunächst zu prüfen, ob ein Engpass die anderen
Engpässe dominiert. Ist dies der Fall, reduziert sich das Optimierungsproblem auf
den Fall mit einem Engpass.
 Anderenfalls ist es nicht möglich, eine einfache Rangordnung der Produkte nach
dem relativen Deckungsbeitrag zu bilden.
 Um das optimale Produktionsprogramm zu finden, müssen die Beziehungen zwischen
den Engpassbelastungen, den Deckungsbeiträgen und den Kapazitäten gleichzeitig
betrachtet werden.
Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms simultan anhand eines
linearen Optimierungsmodells
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Beispiel (1/4)
 Ein Unternehmen stellt die Produkte A und B in zwei Fertigungsstufen her. In der
ersten Fertigungsstufe stehen für beide Produkte maximal 3.500 Stunden, in der
zweiten Fertigungsstufe maximal 2.000 Stunden zur Verfügung.
 Kapazitätsbeanspruchung der Produkte:
Stufe
Produkt A Produkt B
1
25
20
2
10
20
 Die maximale Absatzmenge im Planungszeitraum beträgt bei Produkt A 150 Stück
und bei Produkt B 100 Stück. Die erwarteten Absatzpreise sind 140 € bzw. 120 €. Die
variablen Kosten pro Stück belaufen sich bei beiden Produkten auf jeweils 20 €.
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Beispiel (2/4)
Produkt
Preis
(in €)
Variable
Kosten
(in €)
DB
absolut
(in €)
DB
relativ,
Stufe 1
(in €)
Rangfolge,
Stufe 1
DB
relativ,
Stufe 2
(in €)
Rangfolge,
Stufe 2
A
140
20
120
4,8
2
12
1
B
120
20
100
5
1
5
2
 Bei isolierter Betrachtung der beiden Engpässe ergibt sich keine eindeutige
Präferenzfolge, so dass keiner der Engpässe den anderen dominiert.
 Die Zielfunktion
DB = 120 x xA + 100 x xB
muss unter simultaner Betrachtung beider Engpässe maximiert werden.
 Im Folgenden wird zunächst eine grafische Lösung präsentiert.
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Beispiel (3/4)
 Restriktionen:
xA ≤ 150
xB ≤ 100
25 x xA + 20 x xB ≤ 3.500
10 x xA + 20 x xB ≤ 2.000
 Achsenschnittpunkte:
25 x xA + 20 x 0 = 3.500 ⇔ xA = 3.500/25 = 140
25 x 0 + 20 x xB = 3.500 ⇔ xB = 3.500/20 = 175
10 x xA + 20 x 0 = 2.000 ⇔ xA = 2.000/10 = 200
10 x 0 + 20 x xB = 2.000 ⇔ xB = 2.000/20 = 100
 Isodeckungsbeitragslinie:
DB =120 x xA + 100 x xB
⇔ 100 xB = DB – 120 x xA
⇔ xB = DB/100 – 1,2 x xA
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Beispiel (4/4)
Optimales Produktionsprogramm:
xB
xA = 100 Stk.
200
xB = 50 Stk.
DB = 120 x 100 + 100 x 50 = 17.000 €
150
Restriktionen
100
zulässiger Lösungsraum
50
Isodeckungsbeitragslinien
50
100
150
200
xA
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Simplexverfahren als Lösungsmethode (1/2)
 Zielfunktion:
n
DB =
∑d
i
× x i → max
i=1
 Nebenbedingungen:
n
∑b
ji
× x i ≤ B j ∀ j → Kapazitätsrestriktionen für i = 1, ..., m
i=1
0 ≤ x i ≤ x i ∀ i → (Nichtnegativitätsbedingung, Höchstmengen)
mit
xi
di
b ji
Bj
x i
= Produktionsmenge des Produktes i
= Deckungsbeitrag des Produktes i
= Produktionskoeffizient
= Kapazität des Fertigungsaggregats j
= Absatzobergrenze des Produktes i
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Simplexverfahren als Lösungsmethode (2/2)
 Umwandlung der Ungleichungen in Gleichungen durch Einführung von
Schlupfvariablen, zum Beispiel:
x i ≤ x i
→
x i + s1 = x i
n
∑ b ji × xi ≤ B j
i=1
→
n
∑b
ji
× x i + s2 = B j
i=1
mit:
sk ≥ 0 wobei k = 1, …, K und K = Anzahl der Restriktionen
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Ablaufschema Simplexverfahren
Bestimmung der
Spalte mit kleinstem
Zielkoeffizienten
(Pivotspalte)
Welche Restriktion
greift zuerst (wenn
überhaupt)?
(Pivotzeile)
keine
Es existiert
keine
optimale
Lösung!
ja
Existiert mindestens
eine Variable
mit negativem
Zielkoeffizienten?
Bestimmung des
nächsten Tableaus
durch Zeilenaddition
bzw. -subtraktion
nein
Optimale Lösung
liegt vor!
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Beispiel (1/3)
 Ausgangsdaten
Produktart
A
B
absoluter Deckungsbeitrag
120
100
Kapazitätsbeanspruchung Maschine 1
25
20
Kapazitätsbeanspruchung Maschine 2
10
20
Absatzhöchstmenge
150
100
Gesamtkapazität Maschine 1
3.500
Gesamtkapazität Maschine 2
2.000
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Beispiel (2/3)
 Maximierung der Zielfunktion:
max DB = 120 × x A + 100 × xB
 Nebenbedingungen:
(1) 25x A + 20xB ≤ 3.500
(Kapazitätsrestriktion)
(2) 10x A + 20xB ≤ 2.000
(Kapazitätsrestriktion)
(3) x A ≤ 150
(Absatzrestriktion)
(4) xB ≤ 100
(Absatzrestriktion)
(5) x A , xB ≥ 0
(Nichtnegativitätsbedingung)
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Beispiel (3/3)
 Umwandlung der Ungleichungen in ein Gleichungssystem:
25x A + 20xB + s1
= 3.500
10x A + 20xB
= 2.000
+ s2
xA
+ s3
xB
= 150
+ s4 = 100
120x A + 100xB − DB = 0
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Ausgangstableau (Erstes Simplextableau)
Basis
x1
x2
s1
s2
s3
s4
Lösung
s1
25
20
1
0
0
0
3.500
s2
10
20
0
1
0
0
2.000
s3
1
0
0
0
1
0
150
s4
0
1
0
0
0
1
100
DB
-120
-100
0
0
0
0
0
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Zweites Simplextableau
Basis
x1
x2
s1
s2
s3
s4
Lösung
x1
1
0,8
0,04
0
0
0
140
s2
0
12
-0,4
1
0
0
600
s3
0
-0,8
-0,04
0
1
0
10
s4
0
1
0
0
0
1
100
DB
0
-4
4,8
0
0
0
16800
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100
Optimaltableau
Basis
x1
x2
s1
s2
s3
s4
Lösung
x1
1
0
0,067
-0,067
0
0
100
x2
0
1
-0,033
0,083
0
0
50
s3
0
0
-0,067
0,067
1
0
50
s4
0
0
-0,033
-0,083
0
1
50
DB
0
0
4,67
0,33
0
0
17.000
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Übungsaufgabe 8
 Ermitteln Sie das optimale Produktionsprogramm und den entsprechenden
Deckungsbeitrag grafisch!
Zielfunktion: max DB = 20 x xA + 100 x XB
Nebenbedingungen:
XA ≤ 100
XB ≤ 80
2 x xA + 4 x xB ≤ 300
60 x xA + 50 x xB ≤ 7.600
Absatzrestriktionen
Kapazitätsrestriktionen:
300 kg Material bzw. 7.600 ZE
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Übungsaufgabe 9
 Ein Unternehmen stellt zwei Produkte her, die die Fertigungsstufen A und B
durchlaufen. Die Fertigungsstufe A hat eine Kapazität von 180 Std./Monat und die
Fertigungsstufe B weist eine Kapazität von 200 Std./Monat auf. Die Absatzhöchstgrenze des Produktes 2 beträgt 50 ME/Monat.
 Es liegen folgende Daten vor:
Preis
(€/ME)
var. Kosten
(€/ME)
1
100
2
80
Produkt
Produktionskoeffizient
A
B
20
2
3
20
4
2
 Bestimmen Sie das optimale Produktionsprogramm, welches zu einer Maximierung
des Gesamtdeckungsbeitrags führt mit Hilfe des Simplexverfahrens!
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