Aufbau des Zahlensystems Übung

1. Üb. Aufbau d.Zahlensystems u.Funktionenlehre SS2016
1. (a) A und B seien Mengen. Zeigen Sie:
A=∅
⇐⇒
(A ∪ B) \ (A ∩ B) = B.
(b) Seien A, B, C, D Mengen. Zeigen Sie:
(A \ B) ∩ (C \ D) = (A ∩ C) \ (B ∪ D).
(c) Sei M eine nichtleere Menge, A, B j M. Geben Sie für
h
i
M \ (M \ A) ∩ (M \ B)
eine möglichst einfache Darstellung an.
(d) Für welche Mengen A, B, C, D gilt
(A × C) ∪ (B × D) = (A ∪ B) × (C ∪ D)?
(e) Seien A und B Mengen. Zeigen oder widerlegen Sie folgende Aussage:
P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B).
2. Gegeben seien die nichtleeren Mengen X und Y , nichtleere Teilmengen A1 , A2 von X,
nichtleere Teilmengen B1 , B2 von Y , und eine Funktion f : X → Y . Weiter sei
f (X) := {f (x); x ∈ X},
f −1 (Y ) := {x ∈ X; f (x) ∈ Y }.
Zeigen Sie:
(a) Aus A1 j A2 folgt f (A1 ) j f (A2 ).
(b) f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 ).
(c) f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ).
(d) f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ).
(e) f −1 (Y \ B) = X \ (f −1 (B)).
3. Seien X, Y nichtleere Mengen, f : X → Y injektiv, A j X nichtleer.
Zeigen Sie:
f −1 (f (A)) = A.
4. Sei A eine nichtleere Menge, f : A → A eine Abbildung. Zeigen oder widerlegen Sie:
(a) f injektiv
=⇒
f surjektiv.
(b) f surjektiv
=⇒
Unterscheiden Sie jeweils die Fälle A endlich bzw. A unendlich.
f injektiv.
5. Geben Sie für folgende Funktionen an, ob sie injektiv, surjektiv oder sogar bijektiv sind!
Wenn nicht, verändern Sie Definitions- oder Wertemenge so, dass die Funktion injektiv
bzw. surjektiv wird.
(a) f : IR → [0, ∞)
(b) f : IR → IR
(c) f : IR → IR
mit
f (x) = x2 .
mit
f (x) = x3 .
mit
f (x) = 1 + x2 .
6. Geben Sie an, welche der folgenden Relationen Äquivalenzrelationen sind, und geben Sie
gegebenenfalls die Äquivalenzklassen an:
(a) M 6= ∅ und R = {(x, y); x, y ∈ M}.
(b) M 6= ∅ und R = {(x, y); x = y}.
n
o
(c) M = ZZ × IN und R =
(a, b), (c, d) ; a · d = b · c .
7. Seien A und B nichtleere Mengen, f : A → B eine Abbildung. Zeigen Sie:
R = {(x, y) ∈ A × A; f (x) = f (y)} ist eine Äquivalenzrelation auf A.
8. Sei M eine nichtleere Menge, S ⊂ P(M) eine Partition von M, d.h. ein System von
nichtleeren Teilmengen von M mit folgenden Eigenschaften:
(i) Für alle x ∈ M gibt es ein M1 ∈ S mit x ∈ M1 .
(ii) Für alle M1 , M2 ∈ S mit M1 6= M2 gilt M1 ∩ M2 = ∅.
Zeigen Sie: Dann gibt es eine Äquivalenzrelation R auf M, so dass die Äquivalenzklassen
zu R genau die Mengen von S sind.
2. Üb. Aufbau d.Zahlensystems u.Funktionenlehre SS2016
9. Sei M eine nichtleere Menge, A, B ⊂ M. Geben Sie für die Menge
h
i
X := (A ∪ B) ∩ (M \ A) ∩ (M \ B)
eine möglichst einfache Darstellung an.
(2 Punkte)
10. Gegeben seien die nichtleeren Mengen X und Y und eine Funktion f : X → Y .
(a) Zeigen Sie: Sind B1 , B2 nichtleere Teilmengen von Y mit B1 j B2 , dann gilt f −1 (B1 ) j
f −1 (B2 ).
(b) Welche Beziehung zwischen f (A1 ∩ A2 ) und f (A1 ) ∩ f (A2 ) gilt bei beliebigem f ?
(c) Zeigen Sie: f ist injektiv genau dann, wenn für alle nichtleeren Teilmengen A1 , A2
von X gilt f (A1 ∩ A2 ) = f (A1 ) ∩ f (A2 ).
(4 Punkte)
11. Familie Meier fordert Angebote für eine Heizungsreparatur an. Firma A berechnet in
ihrem Angebot für die Fahrtkosten 42, 00 Euro und für jede Arbeitsstunde 76, 00 Euro. Bei
der Firma B sind die Fahrtkosten 35, 00 Euro und jede Arbeitsstunde wird mit 80, 00 Euro
berechnet.
(a) Welche Kosten entstehen jeweils, wenn die Reparatur 3, 5 Stunden dauert? Welche
Firma ist in diesem Fall kostengünstiger?
(b) Wie lauten jeweils die Gleichungen der zwei Funktionen, die jeder Arbeitszeit x (in
Stunden) die entstehenden Kosten y (in Euro) zuordnet? Stellen Sie die Funktionen
grafisch dar!
(c) Bei welcher Arbeitszeit wären die Kosten bei beiden Firmen gleich?
(3 Punkte)
12. Geben Sie für folgende Funktion
f : IR → IR
mit
f (x) =
|x|
|x| − 1
an, ob sie injektiv, surjektiv oder sogar bijektiv ist! Wenn nicht, verändern Sie Definitionsoder Wertemenge so, dass die Funktion injektiv, surjektiv bzw. bijektiv wird und bestimmen Sie die Umkehrfunktion.
(3 Punkte)
13. Geben Sie an, welche der folgenden Relationen Äquivalenzrelationen sind, und geben Sie
gegebenenfalls die Äquivalenzklassen an:
n
o
(a) M = IN × IN und R =
(a, b), (c, d) ; a + d = b + c .
(b) M = IR \ {0} und R = {(x, y); x = y1 }.
(4 Punkte)
Abgabe der Aufgaben bis 2.5. vor der Vorlesung.
Abgabe nur in Dreiergruppen (genau 3 Namen auf einer abzugebenden Übung)
Gruppenabgabe mit Gruppen zu höchstens 3 Studierenden.
3. Üb. Aufbau d.Zahlensystems u.Funktionenlehre SS2016
14. Überprüfen Sie für folgende Mengen X mit der angegebenen Nachfolgerfunktion f , welche
Peano-Axiome erfüllt sind und welche nicht!
(Die Kenntnis der Menge IR der reellen Zahlen wird hier vorausgesetzt mit dem Wissen
aus der Schule.)
(a) X := IR \ {0; −1; −2; −3; · · · }; f (x) := x + 1 für alle x ∈ X.
(b) X := {0; 2; 4; 6; 8; · · · }; f (x) := x + 2 für alle x ∈ X.
(c) X := {−1; 0; 1}; f (−1) := 0, f (0) := 1; f (1) := 0.
15. Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion:
(a)
n
X
k=1
k2 =
1
n(n + 1)(2n + 1).
6
(b) Zu jedem n ∈ IN gibt es ein k ∈ IN mit 11n+1 + 122n−1 = 133k.
n
X
2n − 1 (n+1) 3
(c)
k · 3k =
·3
+ .
4
4
k=1
16. Wenn man in der Ebene mehrere Geraden zeichnet, entsteht eine Anzahl von Gebieten,
die durch Stücke der Geraden berandet werden. Zeigen Sie:
Man kann die entstehenden Gebiete mit nur zwei Farben so einfärben, dass nie Gebiete mit
gleicher Farbe eine gemeinsame Grenze haben. (Ein Punkt zählt dabei nicht als Grenze.)
17. Prüfen Sie den Beweis für folgende Behauptung:
Für alle n ∈ IN gilt: Sind in einem Raum n Personen, dann sind alle diese Personen gleich
alt.
Beweis (vollst. Induktion nach n):
Ind.-Anfang: Für n = 1 ist die Behauptung wahr.
Ind.-Schluß:
Voraussetzung: Sei n ∈ IN so, dass die Aussage Sind in einem Raum n Personen, dann
”
sind diese gleich alt“ wahr ist.
Behauptung: Sind in einem Raum n + 1 Personen, dann sind diese gleich alt.
Beweis: Seien n + 1 Personen in einem Raum, darunter zum Beispiel Fritz, Karl und
Walter. Walter sei zum Beispiel 25 Jahre alt. Verlässt Fritz den Raum, dann sind nur
noch n Personen in dem Raum, d.h. nach Voraussetzung sind diese alle gleich alt, also
alle 25 Jahre alt. Karl ist also auch 25 Jahre alt. Geht Fritz hinein und Karl hinaus, dann
sind wiederum n Personen im Raum, die nach Voraussetzung alle gleich alt sind, also alle
25 Jahre alt. Damit sind insgesamt alle n + 1 Personen 25 Jahre alt, also alle gleich alt,
und die Behauptung ist bewiesen.
18. Durch
1! := 1;
(n + 1)! := (n!) · (n + 1)
werden die Fakultäten natürlicher Zahlen (induktiv) definiert.
(a) Berechnen Sie n! für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
(b) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Für alle n ∈ IN gilt
n
X
k=1
k · (k!) < (n + 1)!.
19. In Computerprogrammen bezeichnet man oft die Potenz ab mit a∧ b. Zeigen Sie:
(a) Die dadurch definierte Verknüpfung auf IN ist weder kommutativ noch assoziativ.
(b) Für alle a, b, c ∈ IN, a 6= 1, gilt: Aus a∧ b = a∧ c folgt b = c.
4. Üb. Aufbau d.Zahlensystems u.Funktionenlehre SS2016
20. Zeigen Sie:
(a) Die durch die Peano-Axiome eingeführte Addition in IN und die Addition von Kardinalzahlen liefern dieselben“ Ergebnisse.
”
(b) Die Multiplikation der Kardinalzahlen ist kommutativ.
21. In Ihrer Strumpf-Schublade sind 10 graue, 10 braune und 10 schwarze Socken der gleichen Art. Das Licht ist ausgefallen, d.h. Sie sehen nichts. Wie viele Socken müssen Sie
herausnehmen, um
(a) garantiert zwei gleichfarbige Socken,
(b) garantiert zwei graue Socken
zu erhalten?
22. Zeigen Sie: Liegen in einem Quadrat der Seitenlänge
√ 2 mindestens 5 Punkte, dann gibt
es zwei (dieser 5) mit Abstand kleiner oder gleich 2.
23. Zeigen Sie: Im Hörsaal sitzen mindestens 2 Personen, die gleich viele Bekannte unter den
im Hörsaal Anwesenden haben.
Es werde vorausgesetzt, daß bekannt“ symmetrisch ist, d.h. wenn Max Bekannter von
”
Thomas ist, dann ist auch Thomas Bekannter von Max. Max ist aber nicht Bekannter
von sich selbst.
Betrachten Sie die Menge Mk der Personen, die genau k Bekannte haben. Zeigen Sie:
Höchstens eine der Mengen M0 und Mn−1 ist nicht leer.
24. Ein Lehrer erzählt seinem Kollegen: Meine Klasse hat 34 Schüler/innen. 19 davon sind
”
Jungen. 29 Schüler/innen stehen im Notendurchschnitt Drei oder besser. Von diesen sind
16 Jungen. 27 Schüler/innen haben Religion, und von diesen sind 17 Jungen, und 15 stehen
Drei oder besser. 13 Jungen mit Fach Religion stehen Drei oder besser.“ Der Kollege, der
zufällig Mathematik unterrichtet, denkt: Hoffentlich ist er im Unterricht ehrlicher.“ Wer
”
hat recht?
25. Welche Endziffer kann eine Quadratzahl im Zehnersystem haben?
26. Sei n ∈ IN und a = (an an−1 an−2 . . . a1 a0 )10 . Zeigen Sie:
(a) 2 ist Teiler von a genau dann, wenn 2 die Zahl (a0 )10 teilt.
(b) 4 ist Teiler von a genau dann, wenn 4 die Zahl (a1 a0 )10 teilt.
(c) 8 ist Teiler von a genau dann, wenn 8 die Zahl (a2 a1 a0 )10 teilt.
27. (a) Stellen Sie die Zahl 99 jeweils im Ziffernsystem zur Basis 2, 5 und 12 dar.
(b) Stellen Sie die Zahlen a = (2135)6 und b = (11111)2 im Zehnersystem dar.
28. Im Zehnersystem gilt
12345679 · 9 = 111111111.
Gibt es analoge Aussagen in anderen Stellensystemen? Beweisen Sie Ihre Aussage!
29. Bestimmen Sie direkt (ohne Umwandlung in das Zehnersystem)
(7438001)9 + (487201)9
und
(375)11 · (729)11 .
30. Russische Bauernmultiplikation: Im antiken Ägypten verwendete man folgendes Verfahren, um zwei Zahlen zu multiplizieren. Es war im Mittelalter auch hier sehr gebräuchlich und bis weit in die Neuzeit hinein in Russland, daher die Bezeichnung.
Zur Durchführung des Verfahrens muss man nur halbieren, verdoppeln und addieren:
Man schreibt die beiden Faktoren nebeneinander. Unter die linke Zahl schreibt man deren
Hälfte als ganze Zahl, wobei man bei ungeraden Zahlen einfach abrundet. Z.B. schreibt
man unter 7 die Zahl 3. Die rechte Zahl wird verdoppelt. Das wiederholt man, bis man
links 1 erreicht hat.
Jetzt schaut man, welche Zahlen links gerade sind, und streicht die entsprechende Zahl
rechts durch. Zuletzt müssen die nicht gestrichenen Zahlen rechts addiert werden.
Halbieren Verdoppeln
35
43
17
86
8
172
4
344
2
688
1
1 376
Summe:
1 505
(a) Lösen Sie folgende Aufgaben schriftlich mit Hilfe der russischen Bauernmultiplikation:
i.) 177 · 824
Was fällt Ihnen auf?
ii.) 512 · 19
iii.) 824 · 177.
(b) Begründen Sie, warum das Verfahren für alle natürlichen Zahlen funktioniert, d.h.:
Warum bricht der Algorithmus ab und warum liefert er das gewünschte Ergebnis?
Tipp: Es hat etwas mit der Zahldarstellung im Binärsystem zu tun.
5. Üb. Aufbau d.Zahlensystems u.Funktionenlehre SS2016
31. Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion: Zu jedem n ∈ IN ist
57 ganzzahlig teilbar.
7n+1 +82n−1
durch
(4 Punkte)
32. Geben Sie an, für welche n ∈ IN folgende Ungleichungen richtig sind (mit Beweis)!
(a) 3n < n!
(b) 3n > n4 .
(4 Punkte)
33. (a) Bei wie vielen Punkten in einem Quadrat der
√ Seitenlänge 3 gibt es immer mindestens
2 Punkte mit Abstand kleiner oder gleich 2 ? Zeigen Sie: Es gibt Punktkonstellationen
mit einem Punkt weniger, so dass je zwei Punkte einen Abstand größer als
√
2 haben.
(b) Bei wie vielen Punkten in einem Würfel der√Kantenlänge 3 gibt es immer mindestens
2 Punkte mit Abstand kleiner oder gleich 3 ?
(3 Punkte)
34. Jeder Wissenschaftler, der am Institut für angewandte Sprachkombinatorik der Universität Freies Siegerland beschäftigt ist, beherrscht mindestens eine Fremdsprache.
Sieben sprechen Russisch, vierzehn Englisch und neun Französisch. Zwei beherrschen sowohl Russisch als auch Englisch, sieben Englisch und Französisch, drei Russisch und
Französisch, und nur der Institutsleiter beherrscht alle drei Sprachen.
Wie viele Wissenschaftler sind an dem Institut beschäftigt, wie viele können nur Russisch
und wie viele können nur Französisch?
(2 Punkte)
35. Sei n ∈ IN und a = (an an−1 an−2 . . . a1 a0 )10 , Q(a) := (a0 + a1 + a2 + . . . + an )10 ihre
Quersumme“. Zeigen Sie:
”
75 ist Teiler von a genau dann, wenn 25 die Zahl (a1 a0 )10 und 3 die Quersumme Q(a)
teilt.
(4 Punkte)
36. (a) Stellen Sie die Zahl 125 jeweils im Ziffernsystem zur Basis 2, 5, 8 und 12 dar.
(b) Stellen Sie die Zahl (230140)5 im Zehnersystem dar.
(c) Gegeben ist die Zahl a = 2(15)307)16 im Hexadezimalsystem. Bestimmen Sie ohne
Umrechnung auf das Dezimalsystem die Darstellung von a im Binärsystem und im
System mit Basis 8.
(d) a ∈ IN habe im Ziffernsystem zur Basis 8 zwölf Stellen. Wie viele Stellen hat a im
Ziffernsystem zur Basis 16?
(5 Punkte)
Abgabe der Aufgaben bis 30.5. vor der Vorlesung.
Abgabe nur in Dreiergruppen (genau 3 Namen auf einer abzugebenden Übung)
Gruppenabgabe mit Gruppen zu höchstens 3 Studierenden.
6. Üb. Aufbau d.Zahlensystems u.Funktionenlehre SS2016
38. Aus den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sind drei dreistellige Zahlen a = (a1 a2 a3 ), b = (b1 b2 b3 ),
c = (c1 c2 c3 ) zu bilden, so dass die Summe a + b + c möglichst nahe an 1000 heran reicht.
Jede der Ziffern darf insgesamt genau einmal vorkommen.
Beispiel: Die Zahlen a = 123, b = 456, c = 789 haben die Summe 1.368, die Zahlen
a = 125, b = 374, c = 689 die Summe 1.188.
Welche Summen sind möglich? Ist 1000 genau zu erreichen?
39. Adam, Bernd und Christa treffen sich am 1. März zum Joggen. Adam joggt jeden dritten
Tag, Bernd jeden vierten und Christa jeden sechsten Tag. Wie oft treffen sich alle drei
bis Ende April?
40. Zeigen Sie: Für die Addition und Multiplikation in Q
I + gilt das Distributivgesetz.
41. Sei ID die Menge der rationalen Zahlen, die sich als abbrechender Dezimalbruch darstellen
lassen.
Zeigen Sie: Für alle a, b ∈ ID gilt a + b ∈ ID und a · b ∈ ID.
1
42. (a) Formen Sie jeden der Stammbrüche 21 , 13 , . . . , 11
in Dezimalbrüche um.
(b) Wandeln Sie folgende Dezimalbrüche in gewöhnliche vollständig gekürzte Brüche
um: 1, 6; 0, 27; 0, 04; 0, 04; 1, 2; 1, 20; 5, 15.
43. Seien u, v, w ∈ {1, 2, . . . , 9}, w 6= 9. Zeigen Sie
0, uvw =
(uvw)10 − (uv)10
.
900
1
1
44. (a) Bestimmen Sie sämtliche Stammbrüche zwischen
und
, die eine abbrechende
100
200
Dezimalbruchentwicklung haben. Wieviele Nachkommastellen haben sie?
1
1
(b) Bestimmen Sie sämtliche Stammbrüche zwischen
und
, die eine reinperiodi100
120
sche Dezimalbruchentwicklung haben.
45. Frau Bauer hat eine Klasse mit 30 Schüler/innen. Ein Drittel davon sind Jungen. Herr
3
Adam hat eine Klasse mit 20 Schüler/innen, von denen Jungen sind. Welchen Jungen4
anteil hat eine Versammlung beider Klassen?
46. (a) Wie viele Liter einer 50-prozentigen Lösung muß man zu 10 Litern einer 20-prozentigen
Lösung schütten, damit eine 25-prozentige Lösung entsteht?
(b) Ich habe einen neuen Regenschirm für Mutti als Geburtstagssgeschenk gekauft. Er
”
kostet 24 Euro. Gibst du die Hälfte dazu?“ – Nein, das finde ich unfair. Du hast ja
”
doppelt soviel Taschengeld wie ich!“
Machen Sie einen fairen Aufteilungsvorschlag!


für a > 0
a
47. Für a ∈ Q
I sei der Absolutbetrag |a| definiert durch |a| := 0
für a = 0 .


−a für a < 0
Zeigen Sie für alle a, b, c ∈ Q,
I c > 0:
(a) |a + b| ≤ |a| + |b|,
(b) |a · b| = |a| · |b|.
(c) Die Aussagen |a − b| ≤ c und b − c ≤ a ≤ b + c sind gleichbedeutend.
7. Üb. Aufbau d.Zahlensystems u.Funktionenlehre SS2016
48. (a) Bilden Sie aus den Ziffern 3, 5, 7 alle möglichen dreistelligen Zahlen (mit lauter verschiedenen Ziffern) und addieren diese. Dividieren Sie dann die Summe durch die
Quersumme der Ziffern. Was fällt Ihnen auf?
(b) Wählen Sie drei andere Ziffern und gehen Sie dann genauso vor. Was passiert? Woran
liegt das?
49. Ein Zahnrad mit 18 Zähnen treibt ein weiteres Zahnrad mit 48 Zähnen an. Bei Stillstand
werden die sich berührenden Zähne bzw. Vertiefungen gekennzeichnet.
(a) Nach wie vielen Umdrehungen der einzelnen Zahnräder befinden sich die Kennzeichnungen zum ersten Mal wieder an derselben Stelle? Begründung?
(b) Uberlegen Sie allgemein: Wenn das eine Zahnrad m Zähne und das andere n Zähne
hat, wie kann man dann die Aufgabe lösen?
50. Drei Fünftel einer Klasse sind Mädchen, und es kommen noch fünf Mädchen und fünf
Jungen dazu. Gibt es am Ende mehr, genauso viele oder weniger Mädchen als Jungen in
der Klasse?
51. Bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 80 km/h benötigt man 7, 5 Stunden von Dortmund nach München. Wie lang braucht ein Fahrradfahrer mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 6m/s für die Strecke?
52. Sei ID die Menge der rationalen Zahlen, die sich als abbrechender Dezimalbruch darstellen
lassen. Zeigen Sie: Zwischen je zwei verschiedenen Bruchzahlen liegt immer eine Zahl, die
sich als abbrechender Dezimalbruch schreiben läßt.
53. (a) Formen Sie jeden der Brüche 25
, 5 , 52 in Dezimalbrüche um. Rechnung muss durch31 26 11
geführt werden (nicht mit Taschenrechner).
(b) Wandeln Sie folgende Dezimalbrüche in gewöhnliche vollständig gekürzte Brüche
um: 1, 128; 0, 23; 34, 412010.
54. Geben Sie die Lösungsmengen in Q
I folgender Gleichungen bzw. Ungleichungen an:
(a) |x − 1| = 3,
(b) |x − 1| < 57
(c) |3x + 1| > 16.
Abgabe der Aufgaben bis 13.6. vor der Vorlesung.
Abgabe nur in Dreiergruppen (genau 3 Namen auf einer abzugebenden Übung)
Möglichst Gruppenabgabe mit Gruppen zu höchstens 3 Studierenden.
8. Üb. Aufbau d.Zahlensystems u.Funktionenlehre SS2016
63. Zeigen Sie:
(a) Für alle n ∈ IN, n > 1, und alle Primzahlen p ist die Lösung der Gleichung
xn = p irrational.
√
(b) Für n ∈ IN gilt: n ist eine natürliche Zahl oder irrational.
64. Zwischen welchen Grenzen liegen die Werte der Ausdrücke
x + y,
x − y,
x · y,
y
,
x
x2 + y 2,
|x + y|,
wenn x und y folgende Bedingungen erfüllen:
(a) 2 < x < 5,
3 < y < 7,
(b) − 2 < x < 5,
3 < y < 7.
65. Es werde folgendes vorausgesetzt:
Für alle n ∈ IN, y1 , y2 , . . . , yn ∈ IR mit y1 , y2 , . . . , yn > 0 und y1 · y2 · . . . · yn = 1 gilt
y1 + y2 + . . . + yn ≥ n.
Zeigen Sie: Für alle n ∈ IN, x1 , x2 , . . . , xn ∈ IR mit x1 , x2 , . . . , xn > 0 gilt
√
x1 + x2 + . . . + xn
≥ n x1 · x2 · . . . · xn .
n
66. Ist eine Balkenwaage wegen unterschiedlich langer Hebelarme ungenau, dann wiegt man
einen Körper unbekannter Masse m mit einer Doppelwägung zuerst in der einen (z.B. der
linken) Waagschale und dann in der anderen. Wie groß ist die Masse m, wenn die beiden
Wägungen m1 und m2 als Ergebnis hatten?
Anleitung: Für eine Balkenwaage gilt das Hebelgesetz:
Sind a und b die Entfernungen der Massen m1 bzw. m2 vom Auflagepunkt (Länge der
Hebelarme), dann gilt a · m1 = b · m2 .
67. Zeigen Sie, daß folgende Zahlen irrational sind:
√
√ √
(a)
3
(b)
2+ 3
(c)
√
3
25.
68. Richtig oder falsch?
(a) Die Summe zweier rationaler Zahlen ist immer rational.
(b) Die Summe einer irrationalen und einer rationalen Zahl ist immer irrational.
(c) Die Summe zweier irrationaler Zahlen ist immer irrational.
Begründen Sie Ihre Antwort (Beweis oder Gegenbeispiel).
69. Bestimmen Sie die Kettenbruchentwicklungen von
√
77
und 3 + 2.
62
9. Üb. Aufbau d.Zahlensystems u.Funktionenlehre SS2016
70. In der ägyptischen Mathematik wurden Bruchzahlen durch Summen verschiedener Stamm1 1
1
4
brüche darsgestellt, z.B. die Zahl durch die Summe + + .
5
2 5 10
p
Um eine solche Darstellung für einen Bruch
mit p, q ∈ IN, 0 < p < q und p und q
q
teilerfremd zu finden, kann man zuerst den größten Stammbruch ermitteln, der kleiner
p
als ist. Dazu sucht man die erste Zahl q ′ , die größer als q und gleichzeitig Vielfaches
q
p
von p ist, und erhält als ersten Stammbruch ′ in gekürzter Darstellung.
q
p
5
Beispiel: Für = erhält man mit q ′ = 10
q
7
5
5 1 1 10 − 7
1
3
5
=
+
−
= +
= + .
7
10
7 2
2
14
2 14
Mit dem Rest (
3
) verfährt man ebenso.
14
k
367
, 2 ≤ k ≤ 10, und
.
11
512
(b) Ist die Darstellung eines Bruchs als Summe von Stammbrüchen eindeutig?
p
(c) Zeigen Sie: In dem obigen Verfahren ist ′ der größtmögliche Stammbruch, der kleiq
p
ner als ist.
q
(d) Zeigen Sie: Das obige Verfahren endet mit einem Rest, der Stammbruch ist.
(a) Bestimmen Sie solche Darstellungen für
71. Für a, b ∈ Q
I mit b > a > 0 gilt a2 < ab. Daraus folgt a2 − b2 < ab − b2 und damit
(a + b)(a − b) < b(a − b). Kürzen liefert a − b < b und damit a < 0. Wo steckt der Fehler?
72. Geben Sie alle Lösungen folgender Gleichungen in IN, ZZ, Q
I +, Q
I und IR an.
(a) 2x2 + 6 = 14,
(b) 8x2 + 3 = 5,
(c) 2x2 − 5x + 3 = 0,
(d) x2 + 2x − 5 = 0.
73. Zeigen Sie, dass die Gleichung x4 − 6x3 + 10x2 − 8x + 12 = 0 keine rationale Zahl als
Lösung hat.
√
I bezüglich der Addition und
74. Zeigen Sie, dass die Menge M := {a + b 13; a, b ∈ Q}
Multiplikation einen Körper bildet.
75. Entsprechend der Dezimalbruchentwicklung kann man auch die b-Bruchentwicklung betrachten mit Basis b > 1 statt 10. Geben Sie für folgende Zahlen die b-Bruchentwicklung
für b = 2, b = 3 und b = 6 an:
1
2
11
a= , c= , d= .
3
5
36
10. Üb. Aufbau d.Zahlensystems u.Funktionenlehre SS2016
76. Untersuchen Sie, in welchen Intervallen folgende Funktionen monoton wachsen oder monoton fallen:
2
x2
2
(b) y =
(c)
y
=
(a) y =
x
2 + x2
1 + x2
77. Bilden Sie zu den folgenden Funktionen f (x) die Umkehrfunktionen f −1 (x) und skizzieren
Sie jeweils die Graphen von f und f −1 . Geben Sie jeweils Definitions- und Wertebereich
an!
1
1
(a) y = 2x − 1
(b) y = x2 + 1
(c) y = x3 − 1
2
2
78. Bilden Sie für folgende Funktionen f , g und h die Verkettungen f ◦ g, g ◦ f , f ◦ g ◦ h bzw.
h ◦ g ◦ f:
(a) f (x) = x2 ,
g(x) = x − 4
(b) f (x) = x2 ,
√
g(x) = x2 − 2,
h(x) =
x
3
79. Eine Brücke hat einen parabelförmigen Träger, dessen höchster Punkt 4 m über der
Fahrbahn liegt. Sein Bogen trifft die Fahrbahn in zwei Punkten, die 24 m voneinander
entfernt liegen. In Abständen von jeweils 4 m sind (5) Vertikalstreben angebracht. Wie
lang müssen diese Streben jeweils sein?
80. Der Druck der atmosphärischen Luft hängt (unter Annahme gleicher Temperatur von
z.B. 0o Celsius) von der Höhe ab. Ist p0 der Luftdruck in Höhe des Meeresspiegels (NN),
dann gilt annähernd
p(h) = p0 · e−h/c .
p0
(a) In Höhe 8000 m über NN betrage der Luftdruck . Bestimmen Sie die Konstante
3
c.
(b) In welcher Höhe beträgt der Luftdruck nur die Hälfte des Luftdrucks in Meereshöhe?
(c) In Meereshöhe herrsche ein Luftdruck von 1013 mbar. Wie hoch liegt ein Ort, an
dem ein Luftdruck von 933 mbar gemessen wird.
(d) Sie fahren auf einem Gletscher in Höhe von 3000 m über Meereshöhe Ski. Welcher
Luftdruck herrscht dort vor, wenn in Meereshöhe der Luftdruck 1013 mbar beträgt?
81. Sind L1 , L2 , . . . , Ln die Schallpegel von n Schallquellen, dann ergibt sich der Gesamtschallpegel Lges durch
n
X
Lges = 10 · log10
100,1·Lj .
j=1
(a) Berechnen Sie den Gesamtschallpegel eines Lautsprechersystems mit 10 Boxen, von
denen jede einen Schallpegel von 90 dB hat.
(b) Die Bagger Ihrer Baufirma erzeugen einen Schallpegel von 90 dB. Da die Grenzwerte
für die Lärmbelästigung gerichtlich auf Veranlassung der Nachbarn der Baustelle auf
diese 90 dB festgesetzt wurden, darf nur jeweils ein Bagger gleichzeitig arbeiten. Wie
viele Bagger dürfen gleichzeitig arbeiten, wenn Sie lärmgedämpfte Fahrzeuge mit
jeweiligem Schallpegel von 74 dB einsetzen?
Abgabe der Aufgaben 76 (b), 77 (b), 78 (b), 79, 81 bis 11.7. vor der Vorlesung.
Abgabe nur in Dreiergruppen (genau 3 Namen auf einer abzugebenden Übung)
Querschnittsübung zu Aufbau des Zahlensystems ..
1. Geben Sie an, ob folgende Aussagen wahr oder unwahr sind.
Für jede richtige Antwort gibt es einen Punkt, für jede falsche wird 1 Punkt abgezogen.
Ist die Gesamtpunktzahl dieser Aufgabe negativ, wird sie mit 0 Punkten bewertet.
(a) Gibt es Ziffern a, b, c ∈ {1, 2, . . . , 9}, so dass die Zahl (a7bbca2c)10 Vielfaches von 9
ist, dann gilt a + b + c = 9.
wahr unwahr (b) Ist n ∈ IN im Ziffernsystem zur Basis 8 6-stellig, dann ist n im Ziffernsystem zur
Basis 16 4-stellig.
wahr unwahr (c) Ist a irrational mit a < −2, b irrational mit b > 5. Dann gilt a + b ist irrational.
wahr unwahr 2. Zeigen Sie durch vollständige Induktion: Für alle n ∈ IN gilt
√
1
1
1
1
√ + √ + √ + . . . + √ ≥ n.
n
1
2
3
3. (a) Zeigen Sie: Für beliebiges n ∈ IN ist n4 − n2 durch 12 ganzzahlig teilbar.
(b) Geben Sie an, wie viele Nachkommastellen
1
1
·
15
128
1607
maximal hat. Begründung erforderlich.
4. 30% der Kunden einer Bank sind jünger als 35 Jahre. Die Hälfte aller Kunden hat bei
der Bank ein Guthaben von weniger als 10.000 Euro. Von den Kunden, die jünger als 35
Jahre sind, haben 80% ein Guthaben von weniger als 10.000 Euro. Welcher Anteil der
Kunden, die mindestens 10.000 Euro angelegt haben, sind mindestens 35 Jahre alt?
5. (a) Bestimmen Sie die Zahlen mit den Kettenbruchentwicklungen [3; 4, 2, 14, 2] bzw.
[0; 1, 2, 4].
√
(b) Bestimmen Sie mit dem Heron-Verfahren 26 auf 4 Stellen genau hinter dem Komma.
6. (a) Von einer quadratischen Funktion kennt man die Funktionswerte
f (0) = 3,
f (1) = 0,
f (2) = −5.
Geben Sie die Funktionsvorschrift der Funktion und - wenn möglich - Minimum bzw.
Maximum der Funktion an.
(b) Eine Bakterienkultur vermehrt sich exponentiell, d.h. die Anzahl der Bakterien nach
x Stunden errechnet sich durch
f (x) = a · eb·x .
Um 8 Uhr hat man 2.300 Bakterien gezählt, um 12 Uhr 36.800. Geben Sie die genaue
Funktionsvorschrift an und bestimmen Sie ohne Benutzung des Taschenrechners die
Anzahl der Bakterien um 11 Uhr und um 13 Uhr.