Mathematik im alten Ägypten - Deutsches Archäologisches Institut

Unterrichtsmaterialien
zur ägyptischen Archäologie
O
AIR
EK
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
ƒf
Éãd
’G
á°
dÉH
áj
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
für die:
Sekundarstufe I
DEU
TSC
Mathematik im alten Ägypten:
Zahlen (-system), einfache Rechnungen,
Kalendersystem
G á « ∏« ‚E’ G á «f
É ŸC
Anmerkung zur Verwendung des Unterrichtsmaterials
Das vorliegende Unterrichtsmaterial enthält einen Informationsteil für Lehrkräfte inkl. – im Rahmen der Verwendung des Materials im Unterricht – copyrightfreiem Bildmaterial zur Veranschaulichung des behandelten Themas.
Die pädagogisch-didaktischen Hinweise beschränken sich auf ein Minimum, so dass die Art der Anwendung des
Materials ganz den Wünschen und Bedürfnissen der Lehrkraft und der Klasse überlassen bleibt. Die Lesetexte und
Arbeitsblätter können aus diesem Heft herauskopiert bzw. von der CD ausgedruckt werden. Für die Arbeitsblätter
liegen jeweils Lösungen für die Lehrkraft vor. Sind Bastelbögen vorhanden, so finden sich diese auch auf der beigelegten CD mit Bildmaterial für den gegebenenfalls farbigen Ausdruck. Alle Materialien wurden im Unterricht an der
DEO erfolgreich getestet.
Ich wünsche allen Anwenderinnen und Anwendern viel Freude und Erfolg und stehe für Rückfragen und Anmerkungen gerne zur Verfügung!
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
O
AIR
EK
DEU
TSC
J. Sigl, DAIK ([email protected])
ƒf
Éãd
’G
É ŸC
á°
dÉH
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
áj
G á « ∏« ‚E’ G á «f
DAIK 2013
Mathematik im alten Ägypten
Impressum
Unterrichtsmaterialien zur ägyptischen Archäologie
Herausgeber
Deutsches Archäologisches Institut,
Abteilung Kairo
31, Sh. Abu el-Feda
11211 Kairo-Zamalek
Ägypten
Konzept, Texte und Redaktion
J. Sigl/ H. Sonbol, DAIK
M. Belal, DEO
A. Imhausen, Goethe-Universität
Frankfurt am Main
Gestalterisches Konzept, Layout, Satz
N. Mancy (freie Grafikerin, Kairo)
J. Sigl/ H. Sonbol, DAIK
Bildnachweis
Cover: J. Sigl;
S. 2, 4, 7: © British Museum Company
Limited;
S. 12, 13: J. Sigl/ G. Dreyer;
Druck
Printness © DAI Kairo, 2013
Digitaler Zugang
www.dainst.org
www.deokairo.de
S. 18, 19: J. Sigl;
S. 22, 23: J. Dorner (Vermessung)/D.
Härtrich (Fotos)/S. Khamis
(Grundrisszeichnung)/U. Fauerbach
(Gestaltung).
Projektpartner des Transformationspartnerschaftsprojekts „Schule“
Auswärtiges Amt (AA)
www.auswaertiges-amt.de
O
AIR
EK
ó ŸG
ƒf
Éãd
’G
á°
dÉH
áj
SQ
É≤
DAIK 2013
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
Iô g
Deutsche Evangelische Oberschule in Kairo (DEO)
www.deokairo.de
Thomas Schröder-Klementa
DEU
TSC
Deutsches Archäologisches Institut, Abteilung Kairo (DAIK)
www.dainst.org
Stephan J. Seidlmayer
G á « ∏« ‚E’ G á «f
É ŸC
Mathematik im alten Ägypten
Inhaltsverzeichnis
Info1
Literatur9
Pädagogisch-didaktische Hinweise
10
Bildmaterial11
12
Arbeitsblatt 1 – Lösungen
13
Arbeitsblatt 2
14
Arbeitsblatt 2 – Lösungen
15
Arbeitsblatt 3
16
Arbeitsblatt 3 – Lösungen
17
Arbeitsblatt 4
18
Arbeitsblatt 4 – Lösungen
19
Arbeitsblatt 5
20
Arbeitsblatt 5 – Lösungen
21
Bastelbogen – Knickpyramide
22
Bastelbogen – Rote Pyramide
23
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
O
AIR
EK
DEU
TSC
Arbeitsblatt 1
ƒf
Éãd
’G
á°
dÉH
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
áj
G á « ∏« ‚E’ G á «f
É ŸC
Mathematik im alten Ägypten
Info
Entstehung der Mathematik
Zahlen und mathematische Aufgaben ermöglichen es dem Menschen Ordnung in Gegenstände,
Personen und Abläufe zu bringen (Personallisten, Zählungen von Lebensmitteln etc.) sowie Vorgänge zu planen (Bauvorhaben, Feldzugsausrüstung usw.). Die Entstehung der Mathematik ist
in allen alten Hochkulturen somit in etwa zeitgleich mit dem Aufbau einer zentralen Staatsverwaltung anzusetzen. In Ägypten begann bereits um 2900 v. Chr., zur Zeit der Reichseinigung (unter
König Narmer) der im Delta und im Niltal lebenden Kleinkönigreiche, die Entwicklung eines hoch
entwickeltes Mathematikverständnisses. Mit der Entstehung des Verwaltungswesens bildete sich
– als einer der wichtigsten Berufe des alten Ägypten – der des Schreibers heraus.
Mathematik in Ägypten hat eine eigenständige Entwicklung und wurde aus anderen Kulturkreisen
wohl erst ab der Perserzeit beeinflusst. Die ägyptische Rechentechnik hat jedoch umgekehrt die
Entwicklung der hellenistischen Mathematik gelenkt.
Mathematiker
Die Anforderungen aus Verwaltung und Wirtschaft im Staatsgeschäft verlangten vom Schreiber
in erster Linie die Kenntnisse der Schrift. Dabei handelte es sich natürlich um die Hieroglyphen,
wie sie in Tempeln und Gräbern aller Zeiten der pharaonischen Hochkultur zu sehen sind. Für
das ­Alltagsgeschäft der Staatsführung und Korrespondenz war jedoch die Schreibschriftform der
Hieroglyphen wichtiger, das Hieratische (und ab ca. dem 1. Jahrtausend v. Chr. das daraus entwickelte Demotische). Hieratisch wurde wie Arabisch von rechts nach links und von oben nach
unten (in Spalten oder Zeilen) geschrieben und stellte eine vereinfachte, Zeichen verbindende
Form der Hieroglyphen dar. Die Leserlichkeit der in dieser Schriftform geschriebenen Texte hängt
jeweils von der Handschrift des Schreibers ab. Obwohl also die altägyptischen Worte zum überwiegenden Teil heute übersetzbar sind, kann die Entzifferung vieler Texte durchaus Probleme
bereiten. Diese Quellen sind jedoch die wichtigsten für die moderne Wiedergewinnung des altägyptischen Wissens und Denkens.
Neben allgemeinen Schriftkenntnissen musste der Schreiber je nach Aufgabe und Rang
­Spezialkenntnisse besitzen, die von der Verfassung von Briefen und Listen (nach Mustern) bis hin
zu Berechnungen von Steuerabgaben, Flächen, Volumina u.ä. reichten. Eine Ausbildung dafür
wurde sowohl als Einzelunterricht als auch – ab dem Mittleren Reich (ca. 1980-1750 v. Chr.) – in
Schreiberschulen bewerkstelligt. Sie war grundsätzlich zugänglich für alle Bevölkerungsschichten
und mit einem wesentlichen sozialen Aufstieg verbunden. Etwa in der Zeit der Schreiberschulen
entstanden auch das erste Schulbuch, die Kemit, sowie weitere Lehrtexte, u.a. zu Mathematik.
Die Mathematiker des alten Ägypten können in zwei Kategorien eingeteilt werden: In „Programmierer“ und „Computer“ (Seidlmayer 2001). Während erstere als Entwickler mathematischer Theorien und Berechnungen zu gelten haben, wurden zweitere lediglich auf deren Anwendung hin
ausgebildet, nicht aber in das Hintergrundwissen eingeführt.
Mathematische Lehrtexte aus dem alten Ägypten, ihr Inhalt und Aufbau
1
O
AIR
EK
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
ƒf
Éãd
’G
á°
dÉH
áj
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
J. Sigl, DAIK
DEU
TSC
Zahlen sind unter den ersten bekannten Hieroglyphen vertreten. Sie werden in Datumsangaben
und Auflistungen genutzt. Die ältesten Beweise für das mathematische Wissen der alten Ägyp-
G á « ∏« ‚E’ G á «f
É ŸC
Mathematik im alten Ägypten
Info
Abbildung 1: Mathematischer Papyrus Rhind (mit Erlaubnis der British Museum Company Limited, London)
ter sind jedoch die monumentalen Bauten des 3. Jahrtausends v. Chr., u.a. die Pyramiden, für
deren Planung bereits eine intensive mathematische Vorarbeit geleistet worden sein muss. Die
ältesten schriftlichen Quellen zu Berechnungen sind jedoch erst aus viel späterer Zeit überliefert:
Es sind auf Papyrus, Holztäfelchen und Lederrollen verfasste Lehrtexte, Beispielrechnungen und
Anwendungsbeweise, deren älteste Exemplare aus der Zeit des Mittleren Reichs stammen (ca.
1980-1750 v. Chr.). Eines der wichtigsten und bekanntesten Schriftzeugnisse ist der nach seinem
Ankäufer benannte Mathematische Papyrus Rhind, der heute im British Museum in London liegt
(Abbildung 1; gekauft 1858 in Luxor; 87 mathematische Aufgaben niedergeschrieben von einem
Schreiber namens Ahmes um 1650 v. Chr.; Inventarnummer im British Museum EA 10057; Länge
199,5cm, Höhe 32cm). In all diesen Texten werden nicht etwa die hinter bestimmten Berechnungen stehenden Theorien dargestellt und Herleitungen erklärt, sondern anhand von Beispielen
rein die Anwendung der mathematischen Formeln demonstriert, wobei geometrischen Berechnungen erklärende Zeichnungen beigefügt werden (Arbeitsblatt 4). Die Praxisorientierung hatte
dabei immer höchste Priorität. Arithmetrik und Geometrie bildeten ein fest zusammengehöriges
Gefüge. Die Verfasser dieser Texte werden vermutlich die „Programmierer“ unter den ägyptischen Mathematikern gewesen sein. Den „Computern“ wurden über die Lehrtexte das notwendige Handwerkszeug gegeben um Aufgaben nach dem gleichen Schema zu lösen.
Die mathematischen Handschriften der alten Ägypter sind voll mit komplizierten Rechenvorgängen:
Multiplikationen (Arbeitsblatt 3), Divisionen mit ganzen Zahlen und mit Brüchen, Flächen-, Volumenund andere Maßberechnungen. Diese Rechenoperationen umfassen auch die Anwendung von
Addition und Subtraktion, die jedoch nie explizit erklärt werden. Ihre Lösung geschah trivial, d.h.
der Weg zum Ergebnis wurde als Grundkenntnis vorausgesetzt. Die Multiplikation wurde auf
die Addition zurückgeführt: Der relevante Faktor wurde einfach so oft verdoppelt oder halbiert
bzw. mit 10 multipliziert bis das gewünschte Ergebnis erreicht war. Bei der Division näherte sich
der ägyptische Mathematiker der Berechnung in der Gestalt an, dass er sich überlegte, wie
oft der Divisor bei fortwährender Multiplikation mit 2 in den Dividenden passte. Ein eventuell
übrig bleibender Rest wurde in Bruchteilen des Divisors ausgedrückt. Bei einer Berechnung, die
mehrere Teilrechnungen umfasste, wurde sich dem Ergebnis mit Hilfe des sog. falschen Ansatzes
(Regula falsi/ probierender Ansatz) genähert.
Die aus dem alten Ägypten erhaltenen Mathematikaufgaben sind in drei übergeordnete Gruppen
zu teilen:
• Aufgaben zur Übung mathematischer Grundtechniken (inkl. Aufgaben zur Berechnung von
unbestimmten Größen, die wir heute mittels algebraischer Gleichungen lösen);
• Aufgaben der administrativen Mathematik (Rationenberechnungen, Berechnungen von
Mengen an Zutaten für Bier oder Brot);
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
O
AIR
EK
DEU
TSC
2
ƒf
Éãd
’G
É ŸC
á°
dÉH
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
áj
G á « ∏« ‚E’ G á «f
J. Sigl, DAIK
Mathematik im alten Ägypten
Info
• Berechnungen von Konstruktionselementen (Volumen eines Pyramidenstumpfes, Neigung
einer Pyramide, Berechnungen von Schiffsteilen).
Eine Besonderheit stellen einige Aufgaben aus dem Papyrus Rhind dar, die die Berechnung von
Kreisflächen beschreiben. In der heutigen Mathematik wird dazu die Zahl π verwendet. Diese war
den alten Ägyptern jedoch noch nicht bekannt. Dennoch schaffte es der Verfasser des Papyrus
auf verschiedene Weise das Problem zu lösen. Es wurde in der Ägyptologie versucht die Methode
der Kreisflächenberechnungen aus diesen Aufgaben inklusive einem π-ähnlichen Faktor zu
rekonstruieren. Tatsächlich fanden verschiedene Wissenschaftler Näherungswerte heraus, die
sich nur ab der zweiten Nachkommastelle von π unterschieden. Ob dem alten Ägypter jedoch
tatsächlich diese Methode sowie der Näherungswert an π vorschwebte lässt sich dadurch weder
beweisen noch widerlegen.
Die Mathematikaufgaben in den erhaltenen Lehrschriften sind vorwiegend nach folgendem Schema
aufgebaut: Nach einer in roter Tinte geschriebenen „Überschrift“ wird zunächst ein Problem
beschrieben und dann der Lösungsweg vorgeführt – größtenteils in Form einer Textaufgabe. In
einigen Texten werden dabei Handlungsschritte – wie das Erreichen von Zwischenergebnissen o.ä.
– übersprungen, die der Mathematiker wohl auswendig kennen musste oder die dem alten Ägypter
zu logisch erschienen um extra auf sie hinzuweisen. Auffällig ist die überwiegende Fehlerlosigkeit,
in der grundlegende Rechenschritte gelöst werden. Es wurde daher vermutet, dass für Addition,
Subtraktion, Multiplikation und Division Rechentabellen vorlagen. Solche Tabellen wurden für
natürliche Zahlen jedoch bisher nicht gefunden, sondern nur für Bruchrechenaufgaben.
Zahlen und Zahlensystem (Arbeitsblatt 1)
Die Ägypter verwendeten wie wir ein Dezimalsystem. Im Gegensatz zu den weltweit heute genutzten arabischen Ziffern, die ein Zeichen für je die Zahlen Null bis Neun kennen, die in unterschiedlicher Kombination höhere Zahlen darstellen, gab es im alten Ägypten für natürliche
Strich
1
Zahlen nur Zeichen für die Zahl 1, 10, 100, 1000,
10000, 100000 und 1000000.
Klammerfessel
10
Lotosblume
1000
Finger
10000
Kaulquappe
100000
Gott der Unendlichkeit
1000000
Beispiel: 19607 =
n („nein, nicht (existent)“
3
O
AIR
EK
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
dÉH
áj
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
J. Sigl, DAIK
100
ƒf
Éãd
’G
á°
Die Zahl Null existierte bei den Ägyptern nicht.
Man musste jedoch gelegentlich das „Nicht-Vorhandensein“ eines Wertes kennzeichnen. Dazu
verwendete man das Zeichen für „nein/nicht“.
Schlaufe
DEU
TSC
Die Zahlzeichen wurden additiv, der Größe ihres Wertes nach hintereinander gesetzt – beginnend mit den höchsten Zahlzeichen – um Zahlen
zu bilden. Dem idealen Schriftbild folgend, versuchte der alte Ägypter dabei kleinere oder breite Zeichen übereinander zu kombinieren. Während normale Texte in Hieroglyphen sowohl von
links nach rechts als auch von rechts nach links
und oben nach unten geschrieben werden konnten, sind die hieroglyphischen Zahlen immer von
links nach rechts zu lesen.
G á « ∏« ‚E’ G á «f
É ŸC
Mathematik im alten Ägypten
Info
Die magische Zahl 7 (Arbeitsblatt 3)
Die Zahl 7 taucht in vielen heutigen und vergangenen Kulturkreisen meist in Zusammenhang mit Märchen, Mythologie und Religion
auf. Wie im alten Ägypten ist sie dort verbunden mit sowohl positiven, erschaffenden (z.B.
7 Schöpfungstage) als auch negativen, zerstörenden Kräften (z.B. 7 Todsünden). Beispiels aus dem altägyptischen Zusammenhängen mit der Zahl 7 sind beispielsweise
folgende: Siebenheiten verschiedener Götter;
das 7-sternige Sternbild des Großen Wagen,
das damals mit Osiris in Verbindung gebracht
Abbildung 2: Eine Aufgabe zur Potenz der Zahl 7 im Ma- wurde; 7 Uräusschlangen schützten den Köthematischen Papyrus Rhind (mit Erlaubnis der British
nig gegen Feinde usw. Wann immer erforderMuseum Company Limited, London).
lich, konnte man sich der Macht dieser Zahl
versichern und sie als machtgeladenes Instrument einsetzen. So begegnet man ihr sowohl im Diesseits, als auch im Jenseits und unterstützt
durch ihre Präsenz die für die maatgerechte Existenz des Landes unvergleichlich wichtigen Prozesse von Schöpfung, Feindvernichtung und Regeneration.
Einführung in die altägyptischen Bruchzahlen (Arbeitsblatt 5)
Neben natürlichen Zahlen kannten die alten Ägypter auch Bruchzahlen. Bruchrechnen war damals jedoch deutlich schwieriger, da man nur mit sog. Stammbrüchen (Zähler: 1, Nenner: eine
beliebige Zahl) und den festen Bruchzahlen 1/2 und 2/3 arbeitete. Alle anderen Brüche wurden
als Summen von Stammbrüchen geschrieben, wobei die Stammbrüche ihrer Größe nach, mit
dem Größten beginnend geordnet werden:
1/2
1/3
1/12
1/56
2/3
5/12 = 1/3 + 1/12
6/7 = 1/2 + 1/3 + 1/42
Die Zerlegung von Brüchen (a/b) in Stammbrüche (1/n) und den festen Bruch 2/3 kann durch folgende Schritte bewerkstelligt werden (aus dem alten Ägypten ist dieses Verfahren wohlgemerkt
nicht bekannt!):
• Man prüft, ob der Bruch 2/3 von der zu zerlegenden Zahl abziehbar ist ohne einen negativen Wert zu ergeben. Wenn ja, sollten er vor der Weiterrechnung subtrahiert werden. Wenn
nein, geht man über zum nächsten Schritt.
• Gesucht wird der größte Stammbruch, der im gegebenen Bruch enthalten ist: bei gleichbleibendem Zähler (a) sucht man dazu nach einem neuen Nenner (c), der das kleinste Vielfache
des Zählers (n), das wiederum größer als der Nenner des Ausgangsbruchs ist (a/c = gekürzt
1/n): z.B. 6/7 => größter Stammbruch = 6/12 = 1/2. (Als kleiner Trick kann man einfach den
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
O
AIR
EK
DEU
TSC
4
ƒf
Éãd
’G
É ŸC
á°
dÉH
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
áj
G á « ∏« ‚E’ G á «f
J. Sigl, DAIK
Mathematik im alten Ägypten
Info
Nenner durch den Zähler dividieren und den Dezimalbruch, den man dabei erhält, auf die
nächsthöhere natürliche Zahl aufrunden. Dies ist dann der Multiplikationsfaktor.)
• Die Differenz beider Brüche (= (na – b)/nb) ist zu bilden.
• Schritte 2 und 3 werden solange wiederholt, bis der Rest ein Stammbruch ist.
Die ägyptische Bruchrechnung stellte hohe Anforderungen an die Fähigkeiten des Rechnenden.
Erleichtert wurde die Arbeit durch Bruchrechentabellen, in denen Summen von Stammbrüchen,
die einfache Strammbrüche ergaben bzw. die Verdopplung von Stammbrüchen (die in der Praxis
oft benötigt wurden) verzeichnet waren. Diese Listen wurden eventuell sogar auswendig gelernt.
Zahlen in Jahreseinteilungen und Daten im alten Ägypten (Arbeitsblatt 2)
Jahre, Monate, Tage und Stunden wurden bei
den alten Ägyptern nach dem Sonnen-, dem
Mond- und dem Sternenlauf sowie dem Wechsel
Regierungsjahr
der Jahreszeiten eingeteilt. Das jährlich wiederkehrende Ereignis, das den Anfang eines neuMonat
en Jahres markierte, war die Überschwemmung
des Nils, die über die Menge an Feldfrüchten und
Monatstag
das Überleben von Mensch und Tier bestimmte.
Sie trat in etwa Ende Juni, ungefähr gleichzeitig
Überschwemmungszeit
mit dem heliakischen (in der Morgendämmerung
stattfindenden) Aufgang des Sterns Sirius (oder
Zeit der Saat/der Herauskommens
Sothis) ein. Die Jahre wurden als Regierungsjahre des jeweiligen Königs gezählt. Wie heute
Zeit der Hitze/Ernte/Flut
hatte ein Jahr 12 Monate und war 365 Tage lang.
Die Monate waren unterteilt in drei Dekaden, d.h.
Wochen á 10 Tage, und wurden in drei Jahreszeiten zusammengefasst, die jeweils Ende Juni,
Ende Oktober und Ende Februar wechselten. Die fünf fehlenden Tage wurden später im Griechischen als Epagomenen bezeichnet und als düstere, unsichere Zeit angesehen (im Grunde sind
diese Tage mit den unsrigen „zwischen den Jahren“ zu vergleichen, sprich zwischen Weihnachten und Neujahr, in denen bereits das Gefühl des neuen Jahres in der Luft liegt, dieses aber noch
nicht begonnen hat).
Die Reihenfolge der einzelnen Elemente des altägyptischen Datums ist Jahr – Monat – Tag. Ein
Beispiel sieht demnach folgendermaßen aus (nach der Feldstele Thutmosis II. in Südaswan,
ASW/ROY/06):
5
O
AIR
EK
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
ƒf
Éãd
’G
á°
dÉH
áj
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
J. Sigl, DAIK
DEU
TSC
„Regierungsjahr 1, 2. Monat der Überschwemmungszeit, Tag 7. Erscheinen der Majestät des Königs von Oberund Unterägypten (Aa-cheper-n-Ra) , des Sohnes des Re (Thutmosis II. mit vollkommenen Kronen).“
G á « ∏« ‚E’ G á «f
É ŸC
Mathematik im alten Ägypten
Info
Die Jahreseinteilung war jedoch an Probleme geknüpft. Die Nilflut beispielsweise trat nicht zuverlässig am immer gleichen Tag des Jahres ein und konnte auch ganz ausfallen. Für Neujahr
wurde daher auf den ersten Neumond nach dem heliakischen Aufgang des Sirius gewartet. Das
altägyptische Neujahr wanderte durch die Eigenbewegung des Sterns im Laufe der Jahrtausende
von Mitte Juni bis Mitte Juli (in der römischen Zeit nach 30 v. Chr.).
In jede der drei Jahreszeiten fielen vier Mondzyklen von je 29 bis 30 Tagen. Es gab somit Jahre
mit 12 und mit 13 Neumonden im Wechsel. Dieser luni-stellare, für die Festlegung von religiösen
Riten und Festen genutzte Kalender musste also ständig durch genaue astronomische Beobachtungen angepasst werden. Für die Verwaltung war er daher nicht zu gebrauchen.
Ein zweiter Kalender, der sog. bürgerliche, standardisierte Kalender, hatte das Neujahr zu Anfang
seiner Existenz wohl ebenfalls am Neumondstag nach dem Sirius-Aufgang. Er teilte das Jahr wie
oben beschrieben in 12 Monate von 30 Tagen und je drei Dekaden. Die übrigen 5 Tage werden
im Griechischen als Epagomene bezeichnet, die „Nachfolgenden“. Sie wurden an die Monate frei
angehängt. Danach begann das neue Jahr egal ob der erste Neumondstag da war oder nicht.
Da das tatsächliche Sonnenjahr 365 1/4 Tage lang ist, verschob sich dieser Kalender ständig zu
den Jahreszeiten und zum luni-stellaren Kalender. Nur alle 1460 Jahre stimmten beide Kalender
überein. Dies war den Ägyptern durchaus bewusst, wie eine Aufzeichnung auf dem Papyrus
Ebers beweist. Doch da die Jahreseinteilung als von den Göttern gegeben angesehen wurde,
verbat es sich etwas zu ändern.
238 v. Chr. versuchte Ptolemaios III. ein Schaltjahr per Dekret einzuführen. Dieses wurde jedoch
nach seinem Tod schnell wieder abgeschafft. Erst Kaiser Augustus gelang es für das römische
Reich und all seine Provinzen – darunter auch Ägypten – das Schaltjahr fest im Kalender zu fixieren.
Die Tage wurden im alten Ägypten bereits in 24 Stunden geteilt: 12 Tages- und 12 Nachtstunden.
Da diese sich am Auf- und Untergang der Sonne orientierten variierte ihre Länge im Laufe des
Jahres mit der Zahl der Sonnenstunden. Als Uhren dienten tagsüber verschiedene Sonnenuhren,
darunter auch Wanduhren, wie sie heute noch an einigen Gebäuden zu sehen sind. Für die Nacht
griff man auf Wasseruhren zurück. Sie bestanden aus einem Gefäß aus dem durch ein Loch
Wassertropfen auslaufen konnten. Mittels einer Skala konnte so der Ablauf der Zeit bestimmt
werden. Eine andere Möglichkeit stellte die Positionsbeobachtung der Sterne dar. Auf aufwendigen Sternenuhren waren die Positionen verschiedener Sternbilder zu bestimmten Nachtstunden
von ihrem jeweiligen Auf- bis Untergang vermerkt. Auch die Verschiebung der Erscheinungszeiten über das Jahr hinweg war auf ihnen ablesbar.
Ägyptische Maßeinheiten (Arbeitsblatt 4)
Altägyptische Maß- und Gewichtseinheiten sind durch Grabungsfunde (Ellenmaßstäbe, Messstricke, Waagen, Gewichte usw.), aus Abbildungen und in Schriftstücken überliefert. Die Größe
dieser Einheiten war genormt bzw. wurde von der obersten Staatsverwaltung festgelegt. Dennoch ergaben sich im Laufe der über 3000 Jahre der pharaonischen Geschichte zahlreiche Veränderungen und Neudefinitionen. Im Folgenden werden vor allem die aus dem Neuen Reich
(1539-1077 v. Chr.) überlieferten Werte verwendet.
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
O
AIR
EK
DEU
TSC
6
ƒf
Éãd
’G
É ŸC
á°
dÉH
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
áj
G á « ∏« ‚E’ G á «f
J. Sigl, DAIK
Mathematik im alten Ägypten
Info
Abbildung 3: Aufgaben zu Pyramiden und anderen geometrischen Berechnungen mit Längenmaßen auf dem
Mathematischen Papyrus Rhind (mit Erlaubnis der British Museum Company Limited, London).
Wie in mittelalterlichen Europa wurde auch bei den alten Ägyptern die Elle (Mech) als Längenmaß verwendet. Als Standard diente die sog. königliche Elle. Sie reichte vom Ellebogen bis zur
Spitze des Mittelfingers und war umgerechnet 52,5cm lang. Die Elle wurde in sieben Handbreiten
und diese wiederum in je vier Fingerbreiten unterteilt:
1 Elle = 52,5 cm
= 7 Handbreiten => 1 Handbreite = 7,5cm
= 28 Fingerbreiten => 1 Handbreite = 4 Fingerbreiten => 1 Fingerbreite = 1,875cm
Daneben wurden auf zeremoniellen Ellenstäben – aus Holz gefertigten Maßstäben – noch die
Fünffingerbreite, die Faust (6 Fingerbreiten), die Doppelhandbreite, die kleine (3 Handbreiten)
und große Spanne (3 1/2 Handbreiten), das Dscheser-Maß (4 Handbreiten), das Remen-Maß (5
Handbreiten)und die sog. kleine Elle (6 Handbreiten) sowie Bruchteile von einer Fingerbreite als
Maßeinheiten vermerkt. Diese tauchen jedoch in den schriftlichen Niederlegungen von Maßen
selten auf.
7
O
AIR
EK
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
ƒf
Éãd
’G
á°
dÉH
áj
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
J. Sigl, DAIK
DEU
TSC
Für die Vermessung langer Strecken, beispielsweise von Feldern, wurden genormte Messstricke
von 100 Ellen verwendet. Im Grunde handelte es sich dabei um normale Seile, in die im Abstand
von einer Elle Knoten geknüpft worden waren. Daneben taucht der sog. Doppel-Remen auf, der
sich als Länge der Diagonale eines Quadrats mit einer Seitenlänge von einer Elle definiert und
damit 74,25cm entspricht. Sehr lange Strecken wurden in Flußmaßen von je 20000 Ellen (ca.
10,5km) gemessen.
G á « ∏« ‚E’ G á «f
É ŸC
Mathematik im alten Ägypten
Info
Die größte Flächenmaßeinheit war der Setschat (die Arure), der als Quadrat von 100 Ellen, d.h.
10000 Quadratellen (2756,5m2) – definiert war. Dieser konnte unterteilt werden in:
Cha = 1000 Quadratellen = 10 mal 100 Ellen = 275,65m2
Ta = 100 Quadratellen = 10 mal 10 Ellen = 27,565m2
Remen = 1/2 Ta = 50 Quadratellen
Heseb = 1/2 Remen = 1/4 Ta = 25 Quadratellen
Sa = 1/2 Heseb = 1/4 Remen = 17,5 Quadratellen
Flächenmaße wurden sowohl bei der Landvermessung, als
auch beispielsweise bei der Abmessung von Stoffen benutzt.
Getreide, Gold, Myrrhe und ähnliche Waren wurden in Heqat
bzw. Oipe (= 4 Heqat) und Sack (= 20 Heqat) abgemessen. Ein
Heqat entsprach 4,75l und wurde in verschiedene Bruchteile
zerlegt, die mit Teilen der Hieroglyphe für das sogenannte Horusauge (rechts) geschrieben wurden.
Flüssigkeiten wurden allgemein in Hin (= 1/10 Heqat) abgemessen. Die kleinste Maßeinheit war
die für Arzneien: Ro (= 1/320 Heqat). Daneben gab es für einige flüssige und feste Stoffe – beispielsweise Bier, Honig, Wein, Weihrauch – zusätzlich noch spezielle Maßeinheiten in Krügen
und Töpfen unterschiedlichen Fassungsvermögens. Holz, Stroh, Gemüse oder ähnliches wurde
in Eselsladungen oder Bündeln bemessen.
Das Grundgewicht und eine der (Geld-) Werteinheiten im alten Ägypten war der Deben. Er entsprach ursprünglich ca. 13,6g. Im Mittleren Reich wurde der 13,6g-Deben primär zum abwiegen
von Gold verwendet. Für Kupfer und alles, was mit Kupfer aufgewogen wurde, gab es weitere,
größere Gewichte von ca. 26-28g. Im Neuen Reich kam es zu einer Vereinheitlichung des Deben
auf ein Standardgewicht von etwa 91g.
Neben dem Deben ist der Wertmesser Schati bereits im Alten Reich in Texten belegt. Mit ihm
konnte neutral der Wert von jedem Handelsgut wiedergegeben werden. Er hatte jedoch keinen
Währungscharakter wie heutiges Geld, sondern ist bisher nur als immaterieller Maßstab bekannt.
Geschäfte wurden in der Realität als Tauschhandel abgeschlossen.
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
O
AIR
EK
DEU
TSC
8
ƒf
Éãd
’G
É ŸC
á°
dÉH
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
áj
G á « ∏« ‚E’ G á «f
J. Sigl, DAIK
Mathematik im alten Ägypten
Literatur
• Chace, A.B., The Rhind Mathematical Papyrus I+II, Oberlin (Ohio) 1927.
• Gillings, R. J., Mathematics in the Time of the Pharaohs, London 1972.
• Helck, W., Maße und Gewichte (pharaonische Zeit), in: Helck, W./Westendorf, W., Lexikon
der Ägyptologie III, Wiesbaden 1980, 1199-1209.
• Imhausen, A., Ägyptische Algorithmen (Ägyptologische Abhandlungen 65), Wiesbaden
2003.
• Imhausen, A., Ancient Egyptian Mathematics: New Perspectives on Old Sources, in:
The Mathematic Intelligencer 28/1 (2006), 19-27: http://www.springerlink.com/content/
k305070274802760/.
• Imhausen, A., Egyptian Mathematical Texts and Their Contexts, in: Science in Context
16/3 (2003), 367-389: http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=onli
ne&aid=189907.
• Loprieno, A., Zahlwort, in: Helck, W./Westendorf, W., Lexikon der Ägyptologie VI, Wiesbaden 1986, 1306-1319.
• Müller-Römer, F., Mathematikunterricht im Alten Ägypten (Propylaeum-DOK), Heidelberg
2011: http://archiv.ub.uni-heidelberg.de/propylaeumdok/volltexte/2011/1169/.
• Neugebauer, O., Vorlesungen über Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften 1 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen 43),
Berlin/Heidelberg 1969.
• Pommerening, T., Die altägyptischen Hohlmaße (Beihefte zu Studien zur altägyptischen
Kultur 10), Hamburg 2005.
• Reineke, W.-F., Dezimalsystem, in: Helck, W./Otto, E., Lexikon der Ägyptologie I, Wiesbaden 1975, 1072-1074.
• Reineke, W.F., Die Entstehung der ägyptischen Bruchrechnung, in: Altorientalische Forschungen 19.2 (1992), 201-211.
• Reineke, W.-F., Mathematik, in: Helck, W./Westendorf, W., Lexikon der Ägyptologie III,
Wiesbaden 1980, 1237-1245.
• Rochholz, M., Schöpfung, Feindvernichtung, Regeneration. Untersuchungen zum Symbolgehalt der machtgeladenen Zahl 7 im alten Ägypten (Ägypten und Altes Testament
56),Wiesbaden 2002.
• Seidlmayer, S., Computer im alten Ägypten, in: Gegenworte 8 (2001), 69-72.
• Thiele, R./Haase, K., So rechneten die Alten Ägypter, in: Lehmann, J., So rechneten Ägypter und Babylonier, Leipzig 1994, 8-75: http://haftendorn.uni-lueneburg.de/geschichte/altevoelker/lehmann-agypterbabylonier.pdf.
• Vleming, S., Maße und Gewichte in demotischen Texten (insb. aus der ptol. Zeit), in:
Helck, W./Westendorf, W., Lexikon der Ägyptologie III, Wiesbaden 1980, 1209-1214.
9
O
AIR
EK
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
ƒf
Éãd
’G
á°
dÉH
áj
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
J. Sigl, DAIK
DEU
TSC
• Wirsching, A., Die Pyramiden von Giza – Mathematik in Stein gebaut, Norderstedt 2006.
G á « ∏« ‚E’ G á «f
É ŸC
Mathematik im alten Ägypten
Pädagogisch-didaktische Hinweise
Inhalt
Arbeitsmaterial
empfohlene Altersstufe
Einführung in Zahlen und
Zahlensystem der alten
Ägypter
Arbeitsblatt 1 - Zahlen und Zahlensystem
3.-10. Klasse
+ Abbildung 1: Rhind Mathematical Papyrus
(Grundlage für alle anderen
Inhalte!)
Arbeitsblatt 2 - Kalendersystem und Datum
5.-10. Klasse
Arbeitsblatt 3 - Potenzrechnung
5.-10. Klasse
(Info zu Mathematik und
Zahlen: ab S. 1)
Verwendung von hieroglyphischen Zahlen in
Datumsangaben
(Info zur Zeitrechnung: S.
5-6)
Multiplikation/ Potenzrechnung
(Info zur Zahl 7: S. 4)
Geometrieberechnungen
an Pyramiden
(Info zu Mathematik und
Zahlen: ab S. 1; zu Maßeinheiten: ab S. 6)
Stammbruchrechnungen
+ Abbildung 2
Bastelbögen Pyramiden;
8.-10. Klasse
Arbeitsblatt 4 - Berechnungen an Pyramiden
+ Abbildung 3
(Bastelbögen auch für
Grundschule und 5-7. Klasse
geeignet)
Arbeitsblatt 5 - Bruchzahlen
8.-10. Klasse
(Info zu Bruchrechungen:
S. 4-5)
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
O
AIR
EK
DEU
TSC
10
ƒf
Éãd
’G
É ŸC
á°
dÉH
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
áj
G á « ∏« ‚E’ G á «f
M. Belal, DEO 2013
Mathematik im alten Ägypten
Bildmaterial
Anmerkung zur Verwendung des Materials
11
O
AIR
EK
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
ƒf
Éãd
’G
á°
dÉH
áj
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
DAIK 2013
DEU
TSC
Das Bildmaterial ist frei von Copyright lediglich im Rahmen des Schulunterrichts einsetzbar! Eine Weiterverbreitung
oder -nutzung außerhalb desselben ist ausgeschlossen!
G á « ∏« ‚E’ G á «f
É ŸC
Mathematik im alten Ägypten
Arbeitsblatt 1
Name: ________________________________________________ Klasse: ________ Datum: ____________
Zahlen und Zahlensystem
Das ägyptische Zahlensystem war ein Dezimalsystem. Es kannte jedoch nur Werte für:
1 Strich
10
Klammerfessel
100
Messstrick
1000
Lotosblume
10000
Finger
100000Kaulquappe
1000000
Gott der Unendlichkeit
Um Zahlen zu bilden wiederholte man einfach
das entsprechende Zeichen so oft wie nötig (maximal neun mal). Beim Aufschreiben begann man
mit den höchsten Werten und setzte die jeweils
niedrigeren dahinter. Die hieroglyphischen Zahlen sind immer von links nach rechts zu lesen.
Um das Ganze noch anschaulicher und platzsparender zu machen konnte man auch Zeichen
übereinander anordnen:
Aufgabe 1:
Diese Anhängetäfelchen stammen aus
den ältesten Königsgräbern Ägyptens in
Abydos. Sie sind also rund 5000 Jahre
alt. Die kleinen Täfelchen waren Etiketten
von G
­ efäßen oder anderen Waren. Sie bezeichneten deren Inhalt, Menge oder Herkunft. Viele sind nur mit Zahlen beschriftet.
Welche Zahlen erkennst du? Welche der
Topfmarken hat eine fehlerhafte Zahl?
A
B
C
D
A: ____
B: ____
C: ____
E
F
D: ____
E: ____
(G. Dreyer, DAIK 1999)
F: ____
Aufgabe 2:
Übertrage die folgenden Hieroglyphenzahlen in die heutigen arabischen und die arabischen in Hieroglyphen.
= 19607
__________________
Ein Zeichen für Null brauchten die Ägypter nicht.
Wenn sie doch einmal zeigen wollten, dass ein
Wert gleich Null war, schrieben sie dieses Zeichen:
__________________
__________________
__________________
„nicht existierend“
__________________
Auch Kronprinzen mussten in die Schule
(J. Sigl, DAIK 2012)
______________________________
343
______________________________
1042
______________________________
70691
______________________________
400211 ______________________________
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
O
AIR
EK
DEU
TSC
12
55
ƒf
Éãd
’G
É ŸC
á°
dÉH
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
áj
G á « ∏« ‚E’ G á «f
J. Sigl, DAIK 2013
Mathematik im alten Ägypten
Arbeitsblatt 1 – Lösungen
Name: ________________________________________________ Klasse: ________ Datum: ____________
Zahlen und Zahlensystem
Das ägyptische Zahlensystem war ein Dezimalsystem. Es kannte jedoch nur Werte für:
1 Strich
10
Klammerfessel
100
Messstrick
1000
Lotosblume
10000
Finger
100000Kaulquappe
1000000
Gott der Unendlichkeit
Um Zahlen zu bilden wiederholte man einfach
das entsprechende Zeichen so oft wie nötig (maximal neun mal). Beim Aufschreiben begann man
mit den höchsten Werten und setzte die jeweils
niedrigeren dahinter. Die hieroglyphischen Zahlen sind immer von links nach rechts zu lesen.
Um das Ganze noch anschaulicher und platzsparender zu machen konnte man auch Zeichen
übereinander anordnen:
Aufgabe 1:
Diese Anhängetäfelchen stammen aus
den ältesten Königsgräbern Ägyptens in
Abydos. Sie sind also rund 5000 Jahre
alt. Die kleinen Täfelchen waren Etiketten
von G
­ efäßen oder anderen Waren. Sie bezeichneten deren Inhalt, Menge oder Herkunft. Viele sind nur mit Zahlen beschriftet.
Welche Zahlen erkennst du? Welche der
Topfmarken hat eine fehlerhafte Zahl?
B
A
C
D
A: ____
6
B: ____
6
C: ____
8
E
F
D: ____
9
E: 10
F!
____
F: ____
100
(G. Dreyer, DAIK 1999)
Aufgabe 2:
Übertrage die folgenden Hieroglyphenzahlen in die heutigen arabischen und die arabischen in Hieroglyphen.
= 19607
18
__________________
Ein Zeichen für Null brauchten die Ägypter nicht.
Wenn sie doch einmal zeigen wollten, dass ein
Wert gleich Null war, schrieben sie dieses Zeichen:
119
__________________
2011
__________________
119905
__________________
„nicht existierend“
1413125
__________________
343
______________________________
1042
______________________________
70691
______________________________
400211 __________________________
O
AIR
EK
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
ƒf
Éãd
’G
á°
dÉH
áj
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
J. Sigl, DAIK 2013
______________________________
DEU
TSC
Auch Kronprinzen mussten in die Schule
(J. Sigl, DAIK 2012)
55
G á « ∏« ‚E’ G á «f
É ŸC
13
Mathematik im alten Ägypten
Arbeitsblatt 2
Name: ________________________________________________ Klasse: ________ Datum: ____________
Kalendersystem und Datum
Jahre, Monate, Tage und Stunden wurden bei
den alten Ägyptern nach dem Sonnen-, dem
Mond- und dem Sternenlauf sowie dem Wechsel der Jahreszeiten eingeteilt. Wie heute hatte ein Jahr 12 Monate und war 365 Tage lang
(Merke: das tatsächliche Sonnenjahr ist 365
¼ Tage lang. Heute wird daher alle vier Jahre
ein Schaltjahr eingeschoben damit sich der Kalender nicht zum echten Jahr verschiebt). Die
Monate waren unterteilt in drei Dekaden, d.h.
Wochen von je 10 Tage. Je vier Monate wurden in drei Jahreszeiten zusammengefasst, die
jeweils Anfang Juli, November und März wechselten. Die fünf fehlenden Tage wurden später
im Griechischen als Epagomenen bezeichnet
und als düstere, unsichere Zeit angesehen. Die
Reihenfolge der einzelnen Elemente altägyptischen Datumsangaben ist Jahr – Monat – Tag.
Regierungsjahr
Monat
Monatstag
Überschwemmungszeit
Zeit der Saat/der Herauskommens
Zeit der Hitze/Ernte/Flut
Regierungsjahr 1, Monat 2
der Überschwemmungszeit,
Tag 7.
Aufgabe 1:
Markiere im Zeitstrahl unten die drei ägyptischen Jahreszeiten bunt. Vergiss dabei die Epagomene nicht! Überlege wie weit sich die Jahreszeiten nach 120 Jahren verschoben hatten, weil die
Ägypter kein Schaltjahr kannten!
Feb März April Mai
Jan
1
100
Juni
Juli
200
Aug
Sep
Okt
Nov
300
Dez
365 Tage
Aufgabe 2:
Schreibe die unten gefragten Datumsangaben in Hieroglyphen! Nutze dabei die kurze Form des
Datums – Jahreszahl, Monat und Tag. Achte dabei auf den Beginn der heutigen Monatseinteilung
und der altägyptischen Monate!
7. Oktober 2012
Beispiel:______________________________________________________
das heutige Datum:
______________________________________________________
dein Geburtstag:
______________________________________________________
internationales Neujahr:
______________________________________________________
islamisches Neujahr:
______________________________________________________
altägyptisches Neujahr:
______________________________________________________
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
O
AIR
EK
DEU
TSC
14
ƒf
Éãd
’G
É ŸC
á°
dÉH
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
áj
G á « ∏« ‚E’ G á «f
J. Sigl, DAIK 2013
Mathematik im alten Ägypten
Arbeitsblatt 2 – Lösungen
Name: ________________________________________________ Klasse: ________ Datum: ____________
Kalendersystem und Datum
Jahre, Monate, Tage und Stunden wurden bei
den alten Ägyptern nach dem Sonnen-, dem
Mond- und dem Sternenlauf sowie dem Wechsel der Jahreszeiten eingeteilt. Wie heute hatte ein Jahr 12 Monate und war 365 Tage lang
(Merke: das tatsächliche Sonnenjahr ist 365
¼ Tage lang. Heute wird daher alle vier Jahre
ein Schaltjahr eingeschoben damit sich der Kalender nicht zum echten Jahr verschiebt). Die
Monate waren unterteilt in drei Dekaden, d.h.
Wochen von je 10 Tage. Je vier Monate wurden in drei Jahreszeiten zusammengefasst, die
jeweils Anfang Juli, November und März wechselten. Die fünf fehlenden Tage wurden später
im Griechischen als Epagomenen bezeichnet
und als düstere, unsichere Zeit angesehen. Die
Reihenfolge der einzelnen Elemente altägyptischen Datumsangaben ist Jahr – Monat – Tag.
Regierungsjahr
Monat
Monatstag
Überschwemmungszeit
Zeit der Saat/der Herauskommens
Zeit der Hitze/Ernte/Flut
Regierungsjahr 1, Monat 2
der Überschwemmungszeit,
Tag 7.
Aufgabe 1:
Markiere im Zeitstrahl unten die drei ägyptischen Jahreszeiten bunt. Vergiss dabei die Epagomene nicht! Überlege wie weit sich die Jahreszeiten nach 120 Jahren verschoben hatten, weil die
Ägypter kein Schaltjahr kannten!
Jan
Feb März April Mai
1
100
Juni
Juli
200
Aug
Sep
Okt
Nov
300
Dez
365 Tage
Aufgabe 2:
Schreibe die unten gefragten Datumsangaben in Hieroglyphen! Nutze dabei die kurze Form des
Datums – Jahreszahl, Monat und Tag. Achte dabei auf den Beginn der heutigen Monatseinteilung
und der altägyptischen Monate!
7. Oktober 2012
Beispiel:______________________________________________________
______________________________________________________
18. Oktober 2012
dein Geburtstag:
______________________________________________________
8. April 1981
internationales Neujahr:
islamisches Neujahr:
______________________________________________________
1. Januar (z.B. 2013)
15. November (z.B. 2012)/
______________________________________________________
1. Muharram (z.B. 1434)
altägyptisches Neujahr:
(z.B. Regierungsjahr 1), 1. Monat
______________________________________________________
der Überschwemmungszeit, Tag 1
15
O
AIR
EK
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
ƒf
Éãd
’G
á°
dÉH
áj
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
J. Sigl, DAIK 2013
DEU
TSC
das heutige Datum:
G á « ∏« ‚E’ G á «f
É ŸC
Mathematik im alten Ägypten
Arbeitsblatt 3
Name: ________________________________________________ Klasse: ________ Datum: ____________
Potenzrechnung
Der mathematische Papyrus Rhind
Der mathematische Papyrus Rhind ist einer der wenigen bekannten Lehrtexte für Mathematik aus dem alten Ägypten. Er wurde 1858 von dem schottischen Anwalt und Antiquar
­Alexander Henry Rhind in Luxor angekauft und befindet sich heutzutage im British ­Museum
in London (Inv. Nr. EA 19957). Gefunden wurde er wahrscheinlich bei illegalen Ausgrabungen in der Umgebung des Tempels Ramses II. (des Ramesseums) auf der Westseite
des Nils bei Luxor. Die 87 Beispielrechnungen wurden ca. 1650 v. Chr. von einem Schreiber namens Ahmes verfasst. Sie beschäftigen sich zumeist mit Problemen aus dem normalen Alltag eines altägyptischen Verwaltungsbeamten: z.B. Berechnungen von Lebensmittelvergaben, Materialbedarf und geometrischen Berechnungen für Bauvorhaben usw.
Eine altägyptische Potenzrechnung (pRhind, Aufgabe 79)
Trage die fehlenden Werte in die Lückenrechnung A ein und überlege bei B welchen Potenzen
welcher Zahl diese entsprechen. Die Geschichte, die sich aus dieser Aufgabe verfassen lässt,
hilft dir dabei!
A: Übersetzung
B:
Geschichte:
Häuser _________ = ____ Gegeben sind sieben Häuser,
Katzen +_________ = ____ in jedem leben sieben Katzen,
Mäuse +_________ = ____ jede Katze frisst sieben Mäuse,
Ähren +_________ = ____ jede Maus frisst sieben Ähren,
Körner +_________ = ____ jede Ähre enthält sieben Körner.
Zu berechnen ist die Summe der
genannten Dinge.
Summe =_________
Noch zwei Rechengeschichten mit ähnlichem Inhalt
Leonardo Fibonacci von Pisa: Übersetzung aus Englischer Kinderreim (ca. 1730 n. Chr.)
seinem Buch ‚Liber Abacci‘ (ca. 1200 n. Chr.):
Sieben alte Weiber gehen nach Rom;
jede von ihnen führt sieben Esel mit sich;
auf jedem Esel sind sieben Säckchen;
in jedem Säckchen sind sieben Brote;
und jedes Brot hat sieben Messerchen;
und jedes Messerchen hat sieben Scheiden.
Es wird nach der Summe aller erwähnten Dinge
gefragt.
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
O
AIR
EK
DEU
TSC
16
As I was going to Saint Ives,
I met a man with seven wives,
Every wife had seven sacks,
Every sack had seven cats,
Every cat had seven kits;
Kits, cats, sacks and wives,
How many were there going to Saint Ives?
ƒf
Éãd
’G
É ŸC
á°
dÉH
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
áj
G á « ∏« ‚E’ G á «f
J. Sigl, DAIK 2013
Mathematik im alten Ägypten
Arbeitsblatt 3 – Lösungen
Name: ________________________________________________ Klasse: ________ Datum: ____________
Potenzrechnung
Der mathematische Papyrus Rhind
Der mathematische Papyrus Rhind ist einer der wenigen bekannten Lehrtexte für Mathematik aus dem alten Ägypten. Er wurde 1858 von dem schottischen Anwalt und Antiquar
­Alexander Henry Rhind in Luxor angekauft und befindet sich heutzutage im British ­Museum
in London (Inv. Nr. EA 19957). Gefunden wurde er wahrscheinlich bei illegalen Ausgrabungen in der Umgebung des Tempels Ramses II. (des Ramesseums) auf der Westseite
des Nils bei Luxor. Die 87 Beispielrechnungen wurden ca. 1650 v. Chr. von einem Schreiber namens Ahmes verfasst. Sie beschäftigen sich zumeist mit Problemen aus dem normalen Alltag eines altägyptischen Verwaltungsbeamten: z.B. Berechnungen von Lebensmittelvergaben, Materialbedarf und geometrischen Berechnungen für Bauvorhaben usw.
Eine altägyptische Potenzrechnung (pRhind, Aufgabe 79)
Trage die fehlenden Werte in die Lückenrechnung A ein und überlege bei B welchen Potenzen
welcher Zahl diese entsprechen. Die Geschichte, die sich aus dieser Aufgabe verfassen lässt,
hilft dir dabei!
A: Übersetzung
B:
Geschichte:
Häuser7
Häuser _________ = ____
71
Gegeben sind sieben Häuser,
72
Katzen
49 = ____
Katzen +_________
in jedem leben sieben Katzen,
73
Mäuse
343 = ____
Mäuse +_________
jede Katze frisst sieben Mäuse,
74
Ähren
2401 = ____
Ähren +_________
jede Maus frisst sieben Ähren,
75
Körner16807
Körner +_________ = ____
jede Ähre enthält sieben Körner.
Zu berechnen ist die Summe der
genannten Dinge.
Summe19607
Summe =_________
Noch zwei Rechengeschichten mit ähnlichem Inhalt
Leonardo Fibonacci von Pisa: Übersetzung aus Englischer Kinderreim (ca. 1730 n. Chr.)
seinem Buch ‚Liber Abacci‘ (ca. 1200 n. Chr.):
17
O
AIR
EK
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
ƒf
Éãd
’G
á°
dÉH
áj
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
J. Sigl. DAIK 2013
As I was going to Saint Ives,
I met a man with seven wives,
Every wife had seven sacks,
Every sack had seven cats,
Every cat had seven kits;
Kits, cats, sacks and wives,
How many were there going to Saint Ives?
DEU
TSC
Sieben alte Weiber gehen nach Rom;
jede von ihnen führt sieben Esel mit sich;
auf jedem Esel sind sieben Säckchen;
in jedem Säckchen sind sieben Brote;
und jedes Brot hat sieben Messerchen;
und jedes Messerchen hat sieben Scheiden.
Es wird nach der Summe aller erwähnten Dinge
gefragt.
G á « ∏« ‚E’ G á «f
É ŸC
Mathematik im alten Ägypten
Arbeitsblatt 4
Name: ________________________________________________ Klasse: ________ Datum: ____________
Berechnungen an Pyramiden
Die Pyramiden des Snofru
König Snofru herrschte ca. 2543-2510 v. Chr. über Ägypten. Er erbaute im Laufe seiner Regierungszeit drei Pyramiden. Zwei davon, die sogenannte Knick- und die Rote Pyramide stehen in
Dahschur, südlich von Kairo und werden inklusive ihres Umfeldes von Mitarbeitern des DAIK seit
1975 erforscht.
Aufgabe 1:
Bastle eine der beiden/die beiden Dahschur-Pyramiden des Snofru aus den Bastelbögen zusammen. Auf der Unterseite findest du jeweils die Höhe und die Seitenlänge an der Grundfläche
(Breite) der Pyramiden. Diese Werte brauchst du für Aufgabe 2.
Aufgabe 2a (nach dem Vorbild von pRhind, Aufgabe 56):
Gegeben sind jeweils die Höhe (H) und die Breite (B) der Grundfläche der beiden Pyramiden des
Snofru in Dahschur. Rechne diese Werte zunächst in die Maßeinheit der alten Ägypter, Ellen, um.
Beachte dazu: 1 Elle = 52,5cm.
Knickpyramide:
Rote Pyramide: H = 105 m = ______________ Ellen / B = 189 m = ________________ Ellen
H = 104 m = ______________ Ellen / B = 220 m = ________________ Ellen
Aufgabe 2b (nach dem Vorbild von pRhind, Aufgabe 56):
Anstatt des Neigungswinkels der Pyramide berechneten die alten Ägypter den Rücksprung (x) der Schräge in der Höhe von 1 Elle über der Grundfläche (h).
Überlege anhand der Skizze nach welchem bis heute
gängigen mathematischen Prinzip sie dabei vorgingen und berechne dann den jeweiligen Rücksprung
der beiden Pyramiden des Snofru in Ellen.
(J. Sigl, DAIK 2012)
Knickpyramide:
Rote Pyramide:
___________________
____________________
___________________
____________________
___________________
____________________
Aufgabe 2c:
Die Ägypter kannten neben Ellen u.a. auch die kleinere Maßeinheite ‚Handbreit‘: 1 Elle = 7 Handbreit. Rechne die Ergebnisse von Aufgabe 2b in Handbreiten und in Zentimeter um.
Knickpyramide:
Rote Pyramide: NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
O
AIR
EK
DEU
TSC
18
x = ________________ Handbreit / x = _________________ cm
x = ________________ Handbreit / x = _________________ cm
ƒf
Éãd
’G
É ŸC
á°
dÉH
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
áj
G á « ∏« ‚E’ G á «f
J. Sigl, DAIK 2013
Mathematik im alten Ägypten
Arbeitsblatt 4 – Lösungen
Name: ________________________________________________ Klasse: ________ Datum: ____________
Berechnungen an Pyramiden
Die Pyramiden des Snofru
König Snofru herrschte ca. 2543-2510 v. Chr. über Ägypten. Er erbaute im Laufe seiner Regierungszeit drei Pyramiden. Zwei davon, die sogenannte Knick- und die Rote Pyramide stehen in
Dahschur, südlich von Kairo und werden inklusive ihres Umfeldes von Mitarbeitern des DAIK seit
1975 erforscht.
Aufgabe 1:
Bastle eine der beiden/die beiden Dahschur-Pyramiden des Snofru aus den Bastelbögen zusammen. Auf der Unterseite findest du jeweils die Höhe und die Seitenlänge an der Grundfläche
(Breite) der Pyramiden. Diese Werte brauchst du für Aufgabe 2.
Aufgabe 2a (nach dem Vorbild von pRhind, Aufgabe 56):
Gegeben sind jeweils die Höhe (H) und die Breite (B) der Grundfläche der beiden Pyramiden des
Snofru in Dahschur. Rechne diese Werte zunächst in die Maßeinheit der alten Ägypter, Ellen, um.
Beachte dazu: 1 Elle = 52,5cm.
H = 105 m = 10500
: 52,5 = 200
18900 :52,5 = 360 Ellen
Knickpyramide:
______________
Ellen / B = 189 m = ________________
10400:52,5=198,10
220
: 52,5 = 419,05 Ellen
Rote Pyramide: H = 104 m = ______________ Ellen / B = 220 m = ________________
Aufgabe 2b (nach dem Vorbild von pRhind, Aufgabe 56):
Anstatt des Neigungswinkels der Pyramide berechneten die alten Ägypter den Rücksprung (x) der Schräge in der Höhe von 1 Elle über der Grundfläche (h).
Überlege anhand der Skizze nach welchem bis heute
gängigen mathematischen Prinzip sie dabei vorgingen und berechne dann den jeweiligen Rücksprung
der beiden Pyramiden des Snofru in Ellen.
(J. Sigl, DAIK 2012)
Knickpyramide:
Rote Pyramide:
180
: 200 = x : 1
___________________
____________________
209,53
: 198,1 = x : 1
x___________________
• 200 = 1 • 180
x____________________
• 198,1 = 1 • 209,53
x___________________
= 180 : 200 = 0,9
x____________________
= 209,53 : 198,1 = 1,06
Aufgabe 2c:
Die Ägypter kannten neben Ellen u.a. auch die kleinere Maßeinheite ‚Handbreit‘: 1 Elle = 7 Handbreit. Rechne die Ergebnisse von Aufgabe 2b in Handbreiten und in Zentimeter um.
19
O
AIR
EK
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
ƒf
Éãd
’G
á°
dÉH
áj
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
J. Sigl, DAIK 2013
x = ________________
Handbreit / x = _________________
0,9 • 7 = 6,3
0,9 • 52,5 = 47,25 cm
x = ________________
Handbreit / x = _________________
1,06 • 7 = 7,4
1,06 • 52,5 = 55,53 cm
DEU
TSC
Knickpyramide:
Rote
Pyramide: G á « ∏« ‚E’ G á «f
É ŸC
Mathematik im alten Ägypten
Arbeitsblatt 5
Name: ________________________________________________ Klasse: ________ Datum: ____________
Bruchzahlen
Neben natürlichen Zahlen kannten die alten Ägypter auch Bruchzahlen. Im Gegensatz zu heute
existierten dabei jedoch nur Stammbrüche (Zähler: 1, Nenner: eine beliebige Zahl) und die festen
Bruchzahlen 1/2 und 2/3. Alle Brüche wurden somit als Summen von Stammbrüchen geschrieben, wobei die Stammbrüche ihrer Größe nach, mit dem Größten beginnend geordnet wurden:
1/2
1/3
1/12
1/56
2/3
5/12 = 1/3 + 1/12
6/7 = 1/2 + 1/3 + 1/42
Die Zerlegung von Brüchen (a/b) in Stammbrüche (1/n) und den festen Bruch 2/3 kann durch
folgende Schritte bewerkstelligt werden:
• Man prüft, ob der Bruch 2/3 von der zu zerlegenden Zahl abziehbar ist ohne einen negativen
Wert zu ergeben. Wenn ja, sollte er vor der Weiterrechnung subtrahiert werden. Wenn nein,
geht man über zum nächsten Schritt.
• Gesucht wird der größte Stammbruch, der im gegebenen Bruch enthalten ist: bei gleichbleibendem Zähler (a) sucht man dazu nach einem neuen Nenner (c), der das kleinste Vielfache
des Zählers (n), das wiederum größer als der Nenner des Ausgangsbruchs ist (a/c = gekürzt
1/n): z.B. 6/7 => größter Stammbruch = 6/12 = 1/2. (Als kleiner Trick kann man einfach den
Nenner durch den Zähler dividieren und den Dezimalbruch, den man dabei erhält, auf die
nächsthöhere natürliche Zahl aufrunden. Dies ist dann der Multiplikationsfaktor.)
• Die Differenz beider Brüche (= (na – b)/nb) ist zu bilden.
• Schritte 2 und 3 werden solange wiederholt bis der Rest ein Stammbruch ist.
Aufgabe:
Setze die folgenden Zahlen in arabische / hieroglyphische Zahlen um (Schriftrichtung: links nach
rechts):
Hieroglyphen
Stammbrüche
in
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Bruch
in
1/120
=
=
19/36
=
=
23/30
=
=
1 3/4
=
=
18 10/21
=
=
Stammbrüche
in
Bruch
Hieroglyphen
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
O
AIR
EK
DEU
TSC
20
in
ƒf
Éãd
’G
É ŸC
á°
dÉH
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
áj
G á « ∏« ‚E’ G á «f
J. Sigl, DAIK 2013
Mathematik im alten Ägypten
Arbeitsblatt 5 – Lösungen
Name: ________________________________________________ Klasse: ________ Datum: ____________
Bruchzahlen
Neben natürlichen Zahlen kannten die alten Ägypter auch Bruchzahlen. Im Gegensatz zu heute
existierten dabei jedoch nur Stammbrüche (Zähler: 1, Nenner: eine beliebige Zahl) und die festen
Bruchzahlen 1/2 und 2/3. Alle Brüche wurden somit als Summen von Stammbrüchen geschrieben, wobei die Stammbrüche ihrer Größe nach, mit dem Größten beginnend geordnet wurden:
1/2
1/3
1/12
1/56
2/3
5/12 = 1/3 + 1/12
6/7 = 1/2 + 1/3 + 1/42
Die Zerlegung von Brüchen (a/b) in Stammbrüche (1/n) und den festen Bruch 2/3 kann durch
folgende Schritte bewerkstelligt werden:
• Man prüft, ob der Bruch 2/3 von der zu zerlegenden Zahl abziehbar ist ohne einen negativen
Wert zu ergeben. Wenn ja, sollte er vor der Weiterrechnung subtrahiert werden. Wenn nein,
geht man über zum nächsten Schritt.
• Gesucht wird der größte Stammbruch, der im gegebenen Bruch enthalten ist: bei gleichbleibendem Zähler (a) sucht man dazu nach einem neuen Nenner (c), der das kleinste Vielfache
des Zählers (n), das wiederum größer als der Nenner des Ausgangsbruchs ist (a/c = gekürzt
1/n): z.B. 6/7 => größter Stammbruch = 6/12 = 1/2. (Als kleiner Trick kann man einfach den
Nenner durch den Zähler dividieren und den Dezimalbruch, den man dabei erhält, auf die
nächsthöhere natürliche Zahl aufrunden. Dies ist dann der Multiplikationsfaktor.)
• Die Differenz beider Brüche (= (na – b)/nb) ist zu bilden.
• Schritte 2 und 3 werden solange wiederholt bis der Rest ein Stammbruch ist.
Aufgabe:
Setze die folgenden Zahlen in arabische / hieroglyphische Zahlen um (Schriftrichtung: links nach
rechts):
in
Stammbrüche
in
Bruch
=
1/228
=
1/228
=
1/8 1/144
=
19/144
=
1/2 1/8
=
5/8
=
2/3 1/9 1/18 1/171 1/342
=
18/19
=
1 1/6 1/12 1/114 1/228
=
1 5/19
Bruch
in
Stammbrüche
in
Hieroglyphen
1/120
=
1/120
=
19/36
=
1/2 1/36
=
23/30
=
2/3 1/10
=
1 3/4
=
1 1/2 1/4
=
18 10/21
=
18 1/3 1/7
=
21
O
AIR
EK
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
ƒf
Éãd
’G
á°
dÉH
áj
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
J. Sigl, DAIK 2013
DEU
TSC
Hieroglyphen
G á « ∏« ‚E’ G á «f
É ŸC
Mathematik im alten Ägypten
Bastelbogen – Knickpyramide
Bastelanleitung:
• Pyramide entlang der blauen Linien ausschneiden;
• Kanten der Pyramide (rot) mit Schere oder Cutter und Lineal leicht
einritzen;
• Klebeflächen (1, 2a, 2b) nacheinander mit Kleber bestreichen und
zusammenfügen.
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
O
AIR
EK
DEU
TSC
22
ƒf
Éãd
’G
É ŸC
á°
dÉH
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
áj
G á « ∏« ‚E’ G á «f
J. Dorner/D. Härtrich/S. Khamis/U. Fauerbach, DAIK 2011
Mathematik im alten Ägypten
Bastelbogen – Rote Pyramide
Bastelanleitung:
• Pyramide entlang der blauen Linien ausschneiden;
• Kanten der Pyramide (rot) mit Schere oder Cutter und Lineal leicht
einritzen;
23
O
AIR
EK
NG. OBERSCH
EVA
UL
HE
ƒf
Éãd
’G
á°
dÉH
áj
SQ
É≤
ó ŸG
Iô g
J. Dorner/D. Härtrich/U. Fauerbach, DAIK 2011
DEU
TSC
• Klebeflächen (1, 2) nacheinander mit Kleber bestreichen und zusammenfügen.
G á « ∏« ‚E’ G á «f
É ŸC