A05100 - Bandornamente korr

Mathematik
Bandornamente
Einführung
Deckbewegungen endlicher Figuren
Bei den Deckbewegungen endlicher Figuren stossen wir nicht auf Translationen.
Da endliche Figuren nicht translationssymmetrisch sein können, gibt es bei ihnen nur drei
Arten von Symmetrien:
1. nur drehsymmetrisch, die Figur besitzt ein Drehzentrum
2. nur spiegelsymmetrisch, die Figur besitzt eine Symmetrieachse
3. drehsymmetrisch und spiegelsymmetrisch, die Figur besitzt ein Drehzentrum
und mindestens zwei Symmetrieachsen.
Beispiele endlicher symmetrischer Figuren
Figuren mit einem Drehzentrum und keiner Symmetrieachse (Windrad, Kreissäge)
Drehung um 180°
2-fach rotationssymmetrisch
Drehungen um 60°, 120°, . . ., 300°
6-fach rotationssymmetrisch
Drehungen um 22,5°, 45°, . . . , 337,5°
16-fach rotationssymmetrisch
Figuren mit einer Symmetrieachse und keinem Drehzentrum
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Einführung
B.. Willimann
07.03.2007
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Mathematik
Bandornamente
Einführung
Figuren mit einem Drehzentrum und zwei oder mehr Symmetrieachsen
Drehung um 180°
2 Geradenspiegelungen
Drehungen um 90°, 180°, 270°
4 Geradenspiegelungen
Drehungen um 30°, 60°, . . . , 330°
12 Geradenspiegelungen
Synonyme für Geradenspiegelungen sind auch Achsenspiegelungen und Klappungen
Zusammenhang zwischen Translation und Spiegelung
Jede Translation lässt sich durch ein Hintereinanderausführen zweier
Geradenspiegelungen an zwei parallelen Geraden ersetzen
Zusammenhang zwischen Drehung und Spiegelung
(Folgende 4 Aussagen sind gleichbedeutend)
Eine Drehung lässt sich immer durch ein Hintereinanderausführen zweier
Geradenspiegelungen an sich schneidenden Geraden mit dem Schnittpunkt als
Drehzentrum ersetzen.
Jede Figur, die mindestens 2 Symmetrieachsen hat ist auch drehsymmetrisch
Es gibt keine endliche Figur, die mehr als eine Symmetrieachse hat, aber nicht
drehsymmetrisch ist
Es gibt keine endliche Figur mit nur einer Symmetrieachse, die drehsymmetrisch ist
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Mathematik
Bandornamente
Einführung
Was verstehen wir unter einem Bandornament?
Wir denken uns eine zylindrische Rolle, auf der eine
rechteckige Stempelform rundherum aufgeklebt
wurde. Jetzt rollen wir den Stempel in Gedanken auf
einem Parallelstreifen in beiden Richtungen
unbegrenzt oft ab. So entsteht auf dem Streifen ein
Bandornament.
Beispiele aus der Schweiz:
An Engadiner Häusern findet sich eine grosse Vielfalt von Sgraffitto-Bandornamenten.
Sgraffitto ist eine Art von Wandmalerei, bei der dunkel eingefärbter Putz mit einer
weiteren Putzschicht überdeckt wird und aus dieser, so lange sie feucht ist, die Figuren
bis auf die untere Schicht herausgekratzt werden.
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Mathematik
Bandornamente
Die sieben verschiedenen Bandornamente
Bei unendlichen symmetrischen Figuren und Mustern können als Deckbewegungen
Punktspiegelungen, Geradenspiegelungen, Translationen und Schubspiegelungen
auftreten. (Die letzten beiden sind bei endlichen Figuren nicht möglich.)
Die verschiedenen Typen beschreiben wir durch die auftretenden Deckbewegungen,
wobei wir folgende Abkürzungen benutzen:
• T = Translation
Verschiebung um 1 Einheit
• P = Punktspiegelung
Drehung um 180°
• Q = Querspiegelung
(Achsen-) Spiegelung in Querrichtung
• L = Längsspiegelung
(Achsen-) Spiegelung in Längsrichtung
• S = Schubspiegelung
Verschiebung um ½ Einheit und Querspiegelung
Das folgende Bandornament z.B. ist symmetrisch bezüglich der Mittelparallelen m und
bezüglich der zu m senkrechten Symmetrieachsen vom Typ a1 und a2. Die letzten beiden
nennen wir Querspiegelungsachsen. Weiter kommt dieses Ornament bei einer
Punktspiegelung an S mit sich selbst zur Deckung:
Ohne Beweis formulieren wir den
Hauptsatz für Bandornamente:
Aus der Sicht der Kongruenzabbildungen gibt es
genau 7 verschiedene Typen von Bandornamenten
Diese charakterisieren wir wie folgt:
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Die sieben verschiedenen Bandornamente
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Mathematik
Bandornamente
Die sieben verschiedenen Bandornamente
Die 7 Typen von Bandornamenten und ihre Kongruenzabbildungen:
Typ 1: T
Typ 2: T P
Typ 3: T Q
Typ 4: T S
Typ 5: T L S
Typ 6: T P Q S
Typ 7: T P Q L S
Betrachten Sie die Punkte, vertikalen Achsen und die Mittellinie als nicht als zum Ornament gehörend
Interessante Seite für Bandornamente: http://fraktalwelt.de/myhome/frieze-g.htm
Eine weitere, übliche Darstellungsart:
(Sie können dazu auch das Flussdiagramm auf der übernächsten Seite verwenden)
b b b b b
entspricht _____ Typ
bdbdbdbdbd
entspricht _____ Typ
bqbqbqbqqb
entspricht _____ Typ
bpbpbpbpbp
entspricht _____ Typ
c c c c c
entspricht _____ Typ
o o o o o
entspricht _____ Typ
bdpqbdpqbdpq
entspricht _____ Typ
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Die sieben verschiedenen Bandornamente
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Bandornamente
Die sieben verschiedenen Bandornamente
Eine dritte Art der Klassifikation:
(Sie können dazu auch das Flussdiagramm auf der nächsten Seite verwenden)
entspricht Typ _____ der vorhergehenden Seite
entspricht Typ _____ der vorhergehenden Seite
entspricht Typ _____ der vorhergehenden Seite
entspricht Typ _____ der vorhergehenden Seite
entspricht Typ _____ der vorhergehenden Seite
entspricht Typ _____ der vorhergehenden Seite
entspricht Typ _____ der vorhergehenden Seite
Tragen Sie hier Beispiele von unendlichen Friesen ein, die keine Bandornamente sind:
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Bandornamente
Flow Chart für die Typenbestimmung
Bestimmen Sie mit diesem Flussdiagramm den Bandornamenttyp
eines unendlichen Frieses:
Unendlicher
Fries
+ 7
+ 2,6,7
P?
L?
1,3,4,5
Typ 7
TPQLS
2,6
+6
Q?
Typ 6
TPQS
2
Typ 2
TP
+3
Typ 3
Q?
TQ
1,4,5
+5
Typ 5
L?
S?
TLS
1,4
+4
Typ 4
S?
T?
TS
1 (oder nichts)
+1
Typ 1
T?
S?
T
nichts
Kein
Bandornament!
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Flow Chart für die Typenbestimmung
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Mathematik
Bandornamente
Fries
Der Fries in der Architektur
Ein Fries ist in der Baukunst ein waagerechter, gemalter, geschnitzter oder
gemeisselter Streifen mit seriellen Ornamenten oder figürlichen Darstellungen als
Gliederung und Schmuck einer Wand.
Ein Fries ist ein schmaler Streifen, welcher Flächen teilt oder voneinander abgrenzt.
Auch ein glatter Streifen kann ein Fries sein. Im Allgemeinen ist ein Fries jedoch der
obere Rand einer Wandfläche welcher mit einem mit Ornamenten verzierten oder auch
einem glatten Streifen dekoriert ist.
Bei antiken Tempeln ist der Fries der Streifen welcher unter dem Kranzgesims entlang
läuft. Dieser Fries besteht bei dorischen Tempeln aus Triglyphen (Dreischlitzplatten)
und Metopen (Zwischenfeldern). Bei ionischen und korinthischen Tempeln besteht der
Fries aus einem Zophoros (Figurenrelief) oder aus einem Bukranienfries (Fries mit
Rinderschädeln). Die am häufigsten vorkommenden Friese sind der
Akanthusfries (Bärenklau, Distel), der Palmettenfries (Palmetten und Voluten),
der Anthemionfries (Palmetten und Lotosblüten), der Mäander, der laufende Hund
(Mäander in gerundeter Form ähnlich einer Welle). Der Zangenfries und auch das
Flechtband sind Sonderformen welche nicht zu den reinen antiken Friesformen zählen.
Präsentationsthemen:
1. Antike Tempel: Fries unter dem Kranzgesims
2. Dorische Tempel: Triglyphen und Metopen
3. Ionische und korinthische Tempel: Zophoros und Bukranienfries
4. Akanthusfries (Bärenklau und Distel)
5. Palmettenfries (Palmetten und Voluten)
6. Anthemionfries (Palmetten und Lotosblüten)
7. Mäanderfries
8. Zangenfries
9. Flechtband
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Fries
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