Aufgabe 1. Produktionsfunktion y = f(x1,x2) - Hu

Lösungsskizze zu Übungsblatt 9
(Fehler und Irrtümer vorbehalten)
Aufgabe 1.
Produktionsfunktion y = f(x1,x2) = x1a x2b
1. Produktionsmöglichkeitenmenge T = {(y, x1, x2)| y≤ x1a x2b }
2. Grenzprodukte der Produktionsfaktoren 1 und 2:
MP1 = ∂f(x1, x2)/∂x1 = a⋅x1a-1 x2b
und
MP2 = ∂f(x1, x2)/∂x2 = b⋅x1a x2b-1
Die technische Rate der Substitution (TRS):
TRS =
dx 2
MP1
ax a −1 x b
ax
=−
= − 1a b −21 = − 2
dx1
MP2
bx1
bx1 x 2
3. Definition: abnehmende/ konstante/ zunehmende Skalenerträge liegen vor, wenn
f(t⋅x1,t⋅x2) </=/> t⋅f(x1, x2), wobei t>1 ist.
Da f(t⋅x1,t⋅x2) = (t⋅x1)a (t⋅x2)b = ta+b⋅x1a x2b = ta+b f(x1, x2), gilt:
(i)
abnehmende Skalenerträge, wenn
f(t⋅x1,t⋅x2) = ta+b f(x1, x2) < t⋅f(x1, x2) ⇔ a+b<1
(ii)
konstante Skalenerträge, wenn
f(t⋅x1,t⋅x2) = ta+b f(x1, x2) = t⋅f(x1, x2) ⇔ a+b=1
(iii)
zunehmende Skalenerträge, wenn
f(t⋅x1,t⋅x2) = ta+b f(x1, x2) > t⋅f(x1, x2) ⇔ a+b>1
Sinkende Grenzprodukte liegen vor, wenn
∂MP1/∂x1 = a(a-1)⋅x1a-2 x2b <0 ⇔ a<1 und
∂MP2/∂x2 = b(b-1)⋅x1a x2b-2 <0 ⇔ b<1
Kombination zunehmender Skalenerträge (a+b>1) und abnehmender Grenzprodukte (a<1, b<1) ist
möglich.
4. Sei (a, b) = (1/2, 3/2) und sei x2 (kurzfristig) fix mit x2 = x2* = 1. Die kurzfristige
Produktionsfunktion ist dann durch y = f(x1,1) = x1 und die Produktionsmöglichkeitenmenge
durch T(x2*) = {(y, x1)| y≤
x1 } gegeben.
y
f(x1, 1)
T(1)
x1
5. Sei wiederum (a, b) = (1/2, 3/2). Das Grenzprodukt von Produktionsfaktor 2 ist dann durch MP2
1 1
3 2 2
= x1 x 2 gegeben. Erhöht sich die eingesetzte Menge von x2 bei konstantem x1 , gilt für das
2
Grenzprodukt von Produktionsfaktor 2:
1
∂MP2/∂x2 =
1
1
1
−
1 3 2 −2
3
x1 x 2 = x12 x 2 2 >0
22
4
Dieser Verlauf von MP2 steht im Widerspruch zum Gesetz vom abnehmenden Grenzprodukt!
Aufgabe 2.
-1-
1. Um Grenzprodukte der Faktoren zu berechnen, bilde jeweils horizontale bzw. vertikale
Differenzen.
Betrachte zum Beispiel die „Grenzproduktivität“ der Pflanzendichte: sie sinkt mit der Anzahl der
Pflanzen pro „Acre“
9000
Å3000Æ
12000
Å3000Æ
15000
Å3000Æ
18000
Å3000Æ
21000
50.6
3,6
54.2
-0,7
53.5
-5
48.5
-9,3
39.2
78.7
7,2
85.9
2,9
88.8
-1,3
87.5
-5,6
81.9
94.4
10,9
105.3
6,6
111.9
2,3
114.2
-2
112.2
97.8
14,6
112.4
10,2
122.6
6
128.6
1,7
130.3
88.9
18,2
107.1
13,9
121.0
9,6
130.6
5,3
135.9
Entsprechend stellt man fest, dass auch die „Grenzproduktivität“ der Stickstoffmenge sinkt.
0
R 50
50
R 50
100
R 50
150
R 50
200
50.6
28,1
78.7
15,7
94.4
3,4
97.8
-8,9
88.9
54.2
31,7
85.9
19,4
105.3
7,1
112.4
-5,3
107.1
53.5
35,3
88.8
23,1
111.9
10,7
122.6
-1,6
121.0
48.5
39.2
39
87.5
42,7
81.9
26,7
114.2
14,4
128.6
2
130.6
30,3
112.2
18,1
130.3
5,6
135.9
2. Um die Existenz von Skalenerträgen zu prüfen, vergleiche folgende Tabellenzellen:
(
0, 9000) mit (
⇒ 50,6
0, 18000) [ die Mengen beider Produktionsfaktoren steigen um Faktor 2]
→ 48,5
[ die Ernte sinkt ]
( 50, 9000) mit ( 100, 18000) [ die Mengen beider Produktionsfaktoren steigen um Faktor 2]
⇒ 78.7
→
114,2
[ die Ernte steigt zwar, aber weniger als um Faktor 2 ]
(100, 9000) mit ( 200, 18000) [ die Mengen beider Produktionsfaktoren steigen um Faktor 2]
⇒ 94,4
→
130,6
[die Ernte steigt zwar, aber weniger als um Faktor 2]
Fazit: Es liegen abnehmende Skalenerträge vor.
Hinweis: Bei der Beantwortung der Frage nach Existenz abnehmender, zunehmender bzw.
konstanter Skalenerträge in der Maisproduktion haben wir uns auf die beiden im Rahmen der
Studie untersuchten Produktionsfaktoren Stickstoff und Pflanzendichte beschränkt. Alle
anderen für die Maisproduktion relevanten Faktoren wurden als konstant angenommen. Der
Begriff der Skalenerträge bezieht sich hier daher nur auf die betrachteten Faktoren. Würde
man weitere Faktoren, zum Beispiel weitere Düngermittel, in die Betrachtung ziehen, könnte
man – streng genommen – über Skalenerträge keine Aussage machen. Grund: Man müsste
alle Faktoren erhöhen. Abnehmende Skalenerträge scheinen aber auch für den erweiterten
Fall nicht unwahrscheinlich, da der Ernte pro Landeinheit natürliche Grenzen gesetzt sind
(gegeben den Stand der Saatgutentwicklung etc.)
-2-